北京市朝阳区2019-2020学年度第二学期期末质量检测高二数学试题

北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测高二年级数学试卷 2020.1(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分第一部分 （选择题 共50分）一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 不等式(2)0x x -<的解集是（A ）{}02x x << （B ）{}0x x >（C ）{}2x x < （D ）{}02<<或x x x2. 已知1x ≥，则当4x x +取得最小值时，x 的值为 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）43. 已知双曲线2221(0)16x y a a -=>的一个焦点为(5,0)，则a 的值为（A ）9（B ）6（C ）5（D ）34. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，则椭圆C 的方程为 （A ）22184x y += （B ）221164x y += （C ）221816x y += （D ）221168x y +=5. 若向量,,a b c 不共面，则下列选项中三个向量不共面的是（A ）,,-+b c b b c （B ）,,a b c a b c +++ （C ）,,a b a b c +- （D ）,,a b a b a -+6.已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出⊥m l 的所有序号是①,,αβαβ⊥⊥⊥m l ②,,αβαβ⊥∥∥m l③,,αβαβ⊂⊥∥m l ④,,αβαβ⊂⊥∥m l （A ）①②③（B ）①②（C ）②③④ （D ）③④7. 已知0>mn ，21+=m n ，则12+m n的最小值是 （A ）4（B ）6（C ）8（D ）168. 已知数列{}n a 和{}n b 满足=n n b a ，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n b 为等比数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件9. 经过双曲线2222:1(0,0)-=>>x y M a b a b的左焦点作倾斜角为60°的直线l ，若l 与双曲线M 的左支有两个不同的交点，则M 的离心率的取值范围是（A ）(2,)+∞（B ）(1,2) （C ）(1,（D ）)+∞10. 已知球O 的直径为3，,,,A B C D 是球O 上四个不同的点，且满足0⋅=AB AC ，0⋅=AC AD ，0⋅=AD AB ，分别用123,,S S S 表示,,ABC ACD ABD 的面积，则123++S S S 的最大值是（A ）14（B ）92（C ）9 （D ）18第二部分（非选择题 共100分）二.填空题:本大题共6小题,每空5分,共30分，答案写在答题卡上.11. 双曲线2214-=x y 的渐近线方程是________.12. 抛物线22=y x 的焦点坐标是________；准线方程是_________.13. 已知公比不为1的等比数列{}n a 满足12=a ，234+=a a ，则4=a _________. 14. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________，面积最大的侧面的面积为________.15. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的17是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为_________.16. 不等式222()-≤-x y cx y x 对满足0>>x y 的任意实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值是________.俯视图三.解答题:本大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17. （本小题满分16分）已知数列{}n a 是递增的等差数列，23=a ，且125,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2=+n n n b a ，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）若12+=n n n c a a ，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足2425>n T 的n 的最小值.18. （本小题满分18分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD .已知==PA PD AB ，090∠=APD .（Ⅰ）证明：∥AD平面PBC ； （Ⅱ）证明：⊥AB PD ；（Ⅲ）求二面角--A PB C 的余弦值.PDCBA19. （本小题满分18分）已知抛物线22(0)=>y px p 经过点(1,2). （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过抛物线C 的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，设O 为原点（ⅰ）当直线l 的斜率为1时，求∆AOB 的面积； （ⅱ）当3=FA FB 时，求直线l 的方程.20. （本小题满分18分）已知椭圆2222:10)+=>>（x y C a b a b ，直线20++=x y 经过椭圆C 的左焦点A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线:=+l y kx m （0≠k ）交椭圆C 于,M N 两点（,M N 不同于点A ）.过原点O 的一条直线与直线l 交于点P ，与直线,AM AN 分别交于点,D E .（ⅰ）当k MN 的最大值；（ⅱ）若=OD OE ，求证：点P 在一条定直线上.北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期期末质量检测高二年级数学试卷 参考答案 2020．1三、解答题：（本题满分70分） 17．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d （0d >），由条件可得121113,(4)(),0,a d a a d a d d +=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩解得11,2.a d =⎧⎨=⎩所以12(1)21n a n n =+-=-，*n ∈N ．…………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2212n n n n b a n =+=-+，则12323121135(21)2222(121)222122 2.n nnn n S b b b b n n n n ++=++++=++++-++++++--=+-=+-所以数列{}n b 的前n 项和2122n n S n +=+-． (11)分（Ⅲ）因为122(21)(21)n n n c a a n n +==-+11,2121n n =--+ 所以1111121335212121n nT n n n =-+-++-=-++. 由2242125n n >+得12n >，又因为*n ∈N ， 所以满足2425n T >的n 的最小值为13. ……………………………………16分 18．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 为矩形，所以AD BC ∥． 又因为BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ． ……………………………………………………4分（Ⅱ）根据题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，因为AB平面ABCD ，且AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ． 又因为PD ⊂平面PAD ，所以AB PD ⊥． ……………………………………………………9分（Ⅲ）取AD 的中点为O ，取BC 的中点为E ，连接,OP OE ，则OE AD ⊥，又因为PA PD =，所以PO AD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以,,OA OE OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图． 不妨设2AB =，因为PA PD AB ==，90APD ∠=︒，所以2PA PD ==，2AD =，1OP =．所以(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(0,0,1)P ，(1,0,0)D -．所以(1,2,1)PB =-，(2,0,0)BC =-，(1,0,1)=--PD ．由（Ⅱ）可知，AB PD ⊥．因为90APD ∠=︒，所以⊥PA PD ．O xyz PA BC D E所以⊥PD 平面PAB ．所以PD 为平面PAB 的一个法向量． 设平面PBC 的一个法向量为(),,x y z =n ，则0,0,PB BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n即0,20.x z x ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩取1y =，得平面PBC的一个法向量为=n ．则cos ,3PD PD PD ⋅〈〉===-⋅n n n，由图可知，二面角--A PBC 为钝角， 所以二面角--A PB C 的余弦值是-…………………………………18分 19．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）由抛物线22y px =过点(1,2)，得24p =．于是2p =，所以该抛物线的方程为24y x =，准线方程为1x =-．……………………………………………………………4分 （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ．焦点F 的坐标为(10)，．（i ）由题可知，直线l 的方程为1y x =-．联立24,1,y x y x ⎧=⎨=-⎩得2440y y --=．由韦达定理可得12124,4.y y y y +=⎧⎨=-⎩因为||1OF =，1212||||||y y y y+=-，所以()121212111||||||||||||||2221||2OB OF O A A FBS S S OF y OF y OF y y y y =+=⋅+⋅=+=-===△△△所以AOB △的面积为 (10)分（ii ）易知直线l 的斜率存在且不为0，焦点坐标为(10)，， 设直线():1l y k x =-．联立()24,1,y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2222(24)0k x k x k -++=．由韦达定理可得1221242,1.x x kx x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩①② 由题意，||3||FA FB =，因为,A B 分别到准线的距离等于,A B 到焦点F 的距离， 所以1213(1)x x +=+，即1232x x =+．③ 联立②③，解得1213,3x x ==，代入①得23k =，所以k = 所以直线l的方程为)1y x =-． …………………………………18分20．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）设0(,0)A x ，因为点A 在直线20x y ++=上，所以020x +=，得02x =-，所以(2,0)A -． 所以2a =．又因为离心率c e a ==，所以c =1b =． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………………………………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ．（i）因为k =22,1,4y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y可得22)14x m ++=，即229440x m ++-=，由2161440m ∆=-+>得29m <．由韦达定理，2121244,.99m x x x x -+=-= 由弦长公式得||MN ===由于216144144m -+≤，所以||MN =≤=当且仅当0m =时，||MN. ……………………………11分 （ii ）若||||OD OE =，则O 为DE 的中点，所以0D E x x +=. 设直线0:DE y k x =，直线11:(2)2y AM y x x =++， 两个方程联立可得：101(2)2y x k x x +=+． 解得10112(2)D y x k x y =+-，同理20222.(2)E y x k x y =+- 所以12011022220,(2)(2)D E y y x x k x y k x y +=+=+-+-即0121202112(2)(2)0.k y x y y k y x y y +-++-=所以210102012122()20.y m y mk y k y k y y y y k k --⋅+⋅++-= 化简得：00120122(1)(2)()0.k mky y k y y k k-+-+=① 由22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得: 2222()44y m k y k -+=，即2222(14)240k y my m k +-+-=，11 / 11 由222244(14)(4)0m k m k ∆=-+->，得2214m k <+． 所以2212122224,.1414m m k y y y y k k -+==++ 代入①得到：2200022422(1)(2)0.1414k mk m k m k k k k k--+-=++ 所以2200()(4)(2)0,k k m k mk m k ----=即0(2)(22)0.m k k k k m ---=若2m k =，则直线l 过点A ，与已知不符合.又0k ≠，所以0220k k m --=.又由0:DE y k x =，联立:l y kx m =+，消去y 得：02P m x k k==-， 所以，点P 在定直线2x =上. ………………………………………………18分。

北京市西城区2019—2020学年度第二学期期末试卷高二数学参考答案及评分标准 2020.7一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

（1）D （2）B （3）C （4）A （5） C（6）C（7）B（8）D（9）B（10）B二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（11）（12）40（13）45（14）1（15）3()1f x x =+（答案不唯一） （16） ②④注：第16小题只选对一个正确命题得2分，错选不得分.三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（17）（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. ………………3分令()0f x '=，解得11x =-，21x =.随着x 的变化，()f x '，()f x 变化情况如下表：x(,1)-∞- 1- (1,1)- 1 (1,)+∞()f x ' +-+()f x极大值 极小值………………8分所以，函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,+)∞，单调递减区间为(1,1)-.………………9分(Ⅱ) 因为函数()f x 在区间[1,1]-上单调递减，在区间[1,3]上单调递增，又(1)2f -=，(1)2f =-，(3)18f =， ………………11分 所以，函数()f x 在区间[1,3]-上的最大值为18，最小值为2-. ………………13分（18）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)设A =“连续射击3次，中29环”.则 223()0.25(0.2)P A C =⋅⋅ ………………4分0.03=所以该射手命中29环的概率为0.03. ………………5分(Ⅱ)设B =“连续射击3次，命中不少于28环”,依题意，命中30环的概率为3(0.2)0.008=； ………………7分 命中28环的概率为2222330.15(0.2)(0.25)0.2C C ⋅⋅+⋅⋅ ………………11分0.0180.03750.0555=+=； ………………12分由（1）知，命中29环的概率为0.03；所以 ()0.0080.05550.030.0935P B =++=, ………………13分 所以该射手连续射击3次，命中不少于28环的概率为0.0935.（19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，()ln f x x x =-，所以11()1x f x x x-'=-=. ………………3分 所以(1)0f '=，又因为(1)1f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y =. …………5分 （Ⅱ）由已知，()1a x af x x x-'=-=，(0,)x ∈+∞.① 当0a <时，()0f x '>，函数()f x 在定义域内是增函数，不存在极值. ………………7分 ② 当0a >时，令()0f x '=，解得x a =. 随着x 的变化，()f x '，()f x 变化情况如下表：x(0,)aa (,)a +∞()f x ' -0 +()f x极小值………………9分所以，函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增，…………10分 所以，函数()f x 的极小值点为x a =，极小值为()ln f a a a a =-， …………12分 函数()f x 不存在极大值. ………………13分综上，当0a <时，函数()f x 没有极值；当0a >时，()f x 有极小值ln a a a -，极小值点为x a =，无极大值. （20）（本小题满分14分）解：(Ⅰ)设A =“从样本中随机选1人，该学生选择了化学”，则 17121074501(),1001002P A ++++===所以，从样本中随机选1人，该学生选择了化学的概率为12. ………………4分(Ⅱ) 第8、9、10组共有11人，其中选择政治的有6人.所以X 的所有可能取值为0,1,2. ………………5分252112(0)11C P X C ===， ………………6分11562116(1)11C C P X C ===， ………………7分262113(2)11C P X C ===. ………………8分………………9分故X 的期望26312()0+1211111111E X =⨯⨯+⨯=. ………………11分 (Ⅲ) 选择地理的总人数为： 20141210975279+++++++=.所以P （“同时选择生物”）14+12+9+237==7979； P （“同时选择化学”）12+10+729==7979； P （“同时选择政治”）20222==7979+；P （“同时选择物理”）109524==7979++；P （“同时选择历史”）=20147546==7979+++. ………………13分因为4679最大，所以一个学生选择了地理，同时选择历史的可能性最大. …………14分 （21）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)当0a =时，()e 1x f x x =--，所以()e 1x f x '=-. ………………1分解()0f x '>，得0x >；解()0f x '<，得0x <.所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增， ………………3分 所以()f x 的最小值为(0)0f =，所以()0f x ≥. ………………5分(Ⅱ) 因为2()e 12xa f x x x =---，所以()e 1x f x ax '=--.设()e 1x g x ax =--，则曲线()y f x =的切线斜率不存在最小值等价于()g x 不存在最小值. ……………7分()e x g x a '=-.① 当0a ≤时，()0g x '>恒成立，所以()g x 在区间(,)-∞+∞上单调递增，不存在最小值，所以0a ≤符合题意. ………………9分 ② 当0a >时,解()0g x '>，得ln x a >；解()0g x '<，得ln x a <.所以()g x 在区间(,ln )a -∞上单调递减，在区间(ln ,)a +∞上单调递增，……………10分 所以()g x 在ln x a =处取得最小值，所以0a >不符合题意. ………………12分 综上, a 的取值范围为{0}a a ≤. ………………13分（22）（本小题满分14分）解：(Ⅰ)函数()f x 定义域为{|0}x x >，11()ax f x a x x+'=+=. ① 当0a ≥时,()0f x '>恒成立，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. ……………2分 ② 当0a <时,解()0f x '>，得10x a <<-；解()0f x '<，得1x a>-.所以()f x 的单调递增区间为1(0,a -，单调递减区间为1(,)a-+∞. ………………4分综上，当0a ≥时，()f x 单调递增区间为(0,)+∞；当0a <时，()f x 的单调递增区间为1(0,a -，单调递减区间为1(,)a-+∞.(Ⅱ)证法1：由已知1()e ln x g x x ax a -=--+，0x >.因为(1)1g =，所以只需证明()g x 存在最小值，但1x =不是最小值点，即min ()(1)1g x g <=. ……6分因为e ()ln e x g x x ax a =--+，所以11()e x g x a x-'=--.因为函数1e x y -=，1y x=-在区间(0,)+∞上是增函数，所以()g x '在区间(0,)+∞上是增函数， ………………8分因为1a >，所以(1)0g a '=-<，11(1ln(1))1101ln(1)1ln(1)g a a a a a '++=+--=->++++.所以方程()0g x '=在区间(0,)+∞上存在唯一解， ………………10分 不妨设为0x ，则01x >，随着x 的变化，()g x '，()g x 变化情况如下表：x0(0,)x 0x 0(,)x +∞()g x ' -+()g x极小值所以()g x 有最小值，最小值为0()(1)1g x g <=. ………………13分 所以函数1()e ()x g x f x -=-存在最小值，且最小值小于1. ………………14分 证法2: 由已知1e ()eln ln exx g x x ax a x ax a -=--+=--+，0x >.所以11()e x g x a x-'=--， 因为1e x y -=，1y x=-在区间(0,)+∞上是增函数， 所以()g x '在(0,)+∞上是增函数， ………………6分因为1a >，所以(1)0g a '=-<，1(1ln(1))101ln(1)g a a a a '++=+-->++.所以方程()0g x '=存在唯一解， ………………8分 不妨设为0x ，则01x >，随着x 的变化，()g x '，()g x 变化情况如下表：x0(0,)x 0x 0(,)x +∞()g x ' -+()g x极小值 所以01min000()()e ln x g x g x x ax a -==--+，且0101e x a x --=. ………………10分所以0011min 0001()2e ln e 1x x g x x x x --=--+-，01x >. 设111()2e ln e 1x x h x x x x--=--+-， 11122111()=e e (1)(e )x x x h x x x x x x---'--+=-+， 当1x >时，()0h x '<，所以()h x 在区间(1,)+∞上单调递减. ………………12分 所以当1x >时，()(1)1h x h <=，即()g x 的最小值小于1， ………………13分 所以函数()g x 存在最小值，且最小值小于1. ………………14分。

北京市东城区2019-2020学年高二下学期期末统一检测数学试题参考答案1．A 【思路点拨】令1x =即可求得63x⎛- ⎝展开式中各项系数之和.【解析】解：令1x =，得63x⎛⎝展开式中各项系数之和为()66312-=. 故选：A .【名师指导】本题考查二项式定理展开式各项系数之和，解题的关键在于赋值法，是基础题. 2．B 【思路点拨】由已知结合导数的定义即可直接求解. 【解析】解：因为函数()y f x =在0x x =处的导数为1， 则()()()()()0000000111limlim 2222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故选：B .【名师指导】本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题． 3．B 【思路点拨】由表格中的数据求得样本点的中心的坐标，则答案可求. 【解析】由表格中的数据可得：124534x +++==，7691084y +++==.则样本点的中心的坐标为()3,8. 即回归直线必过定点()3,8. 故选：B.【名师指导】本题主要考查了回归直线的性质，必过样本中心点，属于基础题.4．D 【思路点拨】根据题意，分2步进行分析：①将4名学生站成一排，②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，由分步计数原理计算可得答案. 【解析】解：根据题意，分2步进行： ①将4名学生站成一排，有44A 种排法；②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，有35A 种情况； 则有4345A A 种排法；故选：D .【名师指导】本题考查排列的应用，解题方法是插空法，属于基础题． 5．D 【思路点拨】利用离散型随机变量的期望与方差公式，转化求解即可. 【解析】解：随机变量X 服从二项分布，即(),XB n p ，且()2E X =，() 1.6D X =，可得2np =，()1 1.6np p -=，解得0.2p =，10n =， 故选：D.【名师指导】此题考查离散型随机变量的期望与方差公式的应用，考查二项分布的性质，属于基础题 6．A【解析】试题分析：由正态曲线和均值、标准差的意义，得1212,μμσσ<>；故选A ． 考点：正态曲线．7．C 【思路点拨】本题首先可以求出当2X =时的概率，然后求出当3X =时的概率，最后两者相加，即可得出结果.【解析】当2X =时，()12533815256C C P X C ===； 当3X =时，()33381356C P X C ===，则()()()151222356567P X P X P X ≥==+==+=， 故选：C.【名师指导】本题考查超几何分布的概率计算公式，能否将2X ≥分为2X =、3X =两种情况是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.8．B 【思路点拨】将9个数分为2组，一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数：2､4､6､8，然后分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，再由加法原理计算可得答案.【解析】解：根据题意，将9个数分为2组， 一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数：2､4､6､8， 若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，有3510C =种情况，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，有1254C C 30=种情况，则和为奇数的情况有103040+=种. 故选：B .【名师指导】本题考查组合问题，分类加法计数原理，是基础题.9．A 【思路点拨】由函数()()1y x f x '=-的图象，可得1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>.由此可得函数()f x 的单调性，则答案可求. 【解析】解：函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，∴1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>. ∴函数()f x 在(),2-∞-上单调递增，在()2,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递减. ∴()f x 有极大值()2f -.故选：A .【名师指导】本题考查根据导函数的相关图象求函数的单调区间，考查数形结合思想，是中档题.10．C 【思路点拨】根据体积公式用r 表示出l ，得出费用关于r 的函数，利用导数求出函数的极小值点即可.【解析】解：由题意知2323142282333V r l r r l r πππππ=+⨯=+=， 故33322222282282282333333V r r r l r r r r r πππππ---===-=， 由0l >可知r <.∴ 建造费用()3222221282562344611723r y rl r r r r r r rπππππππ-=+⨯+⨯⨯=⨯+=+，(0r <<，则()3221445614r y r r rπππ-'=-=.当(r ∈时，0y '<，r ∈时，0y '>.当r =.故选：C .【名师指导】本题考查数学建模能力，利用导数求解最值问题，考查运算能力，是中档题.11．58-【思路点拨】本题首先可以写出二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项，然后令x 的幂的指数等于3，求出r 的值，即可求得3x 的系数.【解析】二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项()555215521222rr r r r r rr x x T C C x ---+⎛⎫⎛⎫⋅⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫==⋅-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令523-=r ，解得1r =，则()154133212258T C x x ⎛⎫=⋅-⋅⋅ ⎪⎝=-⎭，3x 的系数为58-，故答案为：58-.【名师指导】本题考查多项式中某一项的系数的求法，考查二项展开式的通项的应用，二项式()na b +的展开式的通项1rn rr r n T C ab -+=⋅⋅，考查计算能力，是简单题.12．①③【思路点拨】根据题意，由导数的计算公式依次分析3个结论，综合即可得答案. 【解析】解：根据题意，依次分析3个结论： ①若y =y '=，①正确；②若x y e -=，则x y e -'=-，②错误； ③若cos y x =，则sin y x '=-，③正确； 即正确的为①③ 故答案为：①③．【名师指导】本题考查导数的运算，掌握基本初等函数的导数公式是解题关键． 13．12【思路点拨】根据题中条件，先确定第一次抽到白球后，袋中还有3个红球，3个白球，进而可求出结果.【解析】解：第一次抽到白球后，袋中还有3个红球，3个白球， 故第二次抽到红球的概率为12. 故答案为：12. 【名师指导】本题主要考查求古典概型的概率，属于基础题型.14．42【思路点拨】分两种情况，甲排在第一位和甲排在第二位进行求解即可 【解析】解：由题意知，甲的位置影响乙的排列，∴①甲排在第一位共有4424A =种， ②甲排在第二位共有133318A A =种，∴故编排方案共有241842+=种. 故答案为：42.【名师指导】此题考查排列问题，属于基础题15．ln21-【思路点拨】根据()()f m g n t ==得到m ，n 的关系，利用消元法转化为关于t 的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论. 【解析】解：不妨设()()f m g n t ==， ∴31ln 22m net -=+=，(0t >) ∴3ln m t -=，即3ln m t =+，122t n e-=⋅，故1223ln t n m e t --=⋅--(0t >)， 令()1223ln t h t et -=⋅--(0t >)，()1212t h t et-'=⋅-，()1221''20t h t e t -=⋅+>所以()h t '在()0,∞+上是增函数，且102h ⎛⎫'=⎪⎝⎭， 当12t >时，()0h t '>， 当102t <<时，()0h t '<，即当12t =时，()h t 取得极小值同时也是最小值， 此时1123ln ln 2122h ⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即n m -的最小值为ln21-， 故答案为：ln21-.【名师指导】本题考查利用导数求函数的最小值，考查化归转化思想与运算能力，是中档题. 16．（1）8250x y +-=；（2）()f x 的单调递增区间为()3,+∞，()f x 的单调递减区间为()0,3.【思路点拨】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解. 【解析】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()2123ln 2f x x x x =--，()312f ∴=- 求导()32f x x x'=--，()14f '=-.由点斜式得切线方程为：34(1)2y x +=--，即8250x y +-=.所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为8250x y +-=.（2）由（1）知，()()()2133232x x x x f x x x x x+---'=--==()0x >， 令()0f x '=，得11x =-，23x =.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间为()3,+∞，()f x 的单调递减区间为()0,3.【名师指导】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的单调区间，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于中档题. 17．【思路点拨】（1）根据题意补全列联表即可； （2）由表中数据计算2K ，参照附表得出结论. 【解析】解：（1）根据题意补全列联表，如下；（2）由表中数据，计算()()()()()()22210010304020 4.762 3.84130705050n ad bc K a b c d a c b d ⨯⨯-⨯=≈>-=++++⨯⨯⨯，参照附表知，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“爱好冰上运动与性别有关”. 【名师指导】本题考查列联表，独立性检验，考查运算能力，是基础题.18．【思路点拨】（1）先计算出200种垃圾中能辨识的垃圾种数，即可求出概率； （2）由题可知X 的可能取值为0，1，2，3，且X 服从二项分布，计算出概率，即可列出分布列，求出数学期望.【解析】（1）由题意可知，样本中垃圾种类一共200种，能辨识的垃圾种数是：700.9600.6300.9400.6150⨯+⨯+⨯+⨯=. 所求概率为1500.75200=. （2）X 的可能取值为0，1，2，3， 依题意可知，()~3,0.6X B ,033(0)(10.6)0.064P X C ==-=，123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==-=，223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==-=，333(3)0.60.216P X C ===，所以X 的分布列为()30.6 1.8E X =⨯=.【名师指导】本题考查二项分布的分布列即数学期望的求法，属于基础题.19．【思路点拨】（1）先对函数求导，然后结合导数可分析函数的单调性，进而可求函数的极值；（2）“函数2xy x e ax ⋅=-，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程x a xe =有两个非零实根”.构造函数，对其求导，然后结合导数及函数的性质可求. 【解析】解：由题意可知函数()f x 的定义域为R . （1）因为()2xf x x e =⋅.所以()()22xf x exx '=+，由()0f x '=，得12x =-，20x =， 当2x <-时，()0f x '>，函数单调递增， 当20x -<<时，()0f x '<，函数单调递减， 当0x >时，()0f x '>，函数单调递增，因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为()242f e-=； 当0x =时，()f x 有极小值，并且极小值为()00f =. （2）因为()2xy f x ax x e ax =-=⋅-，所以0x =为一个零点.所以“函数2xy x e ax ⋅=-，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程x a xe =有两个非零实根”.令()xh x xe =，则()()1xh x x e '=+，所以，当1x <-时，()0h x '<，()h x 在(),1-∞-上单调递减；当1x >-时，()0h x '>，()h x 在()1,-+∞上单调递增； 当1x =-时，()h x 有最小值()11h e-=-，0x <时，()0h x <，0x >时，()0h x >. 若方程x a xe =有两个非零实根，则()11h a e-=-<，即1a e >-.若0a ≥，方程x a xe =只有一个非零实根， 所以0a <. 综上，10a e-<<. 【名师指导】本题考查函数极值的求解，利用导数研究函数零点的个数，考查化归转化思想和数学运算能力，是中档题.20．【思路点拨】（1）当3n =时，{}3,4,5n S =.由此能写出n S 的所有奇子集.（2）首先证明n S 的奇子集与偶子集个数相等，对于n i S ∀∈，1i >，含i 的n S 的子集共有12n -个，从而对于每个数i ，在奇子集的和与偶子集的和中，i 所占的个数是一样的.由此能证明n S 的所有奇子集的容量的和与所有偶子集的容量的和相等. （3）每个元素在奇子集中都出现22n -次，由此能求出奇子集的容量和. 【解析】解：（1）解：当3n =时，{}3,4,5n S =n S 的所有奇子集为{}3，{}5，{}3,4，{}4,5.（2）证明：首先证明n S 的奇子集与偶子集个数相等. ∵3n ≥，∴一定存在奇数n k S ∈， 设奇数n k S ∈，对于n S 的每个奇子集A ， 当k A ∈时，取{}B x x A x k =∈≠且. 当k A ∉时，取{}B A k =，则B 为n S 的偶子集.反之，亦然.所以，n S 的奇子集与偶子集是一一对应的. 所以，n S 的奇子集与偶子集个数相等.对于n i S ∀∈，1i >，含i 的n S 的子集共有12n -个， 其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，从而对于每个数i ，在奇子集的和与偶子集的和中，i 所占的个数是一样的. 所以n S 的所有奇子集的容量的和与所有偶子集的容量的和相等. （3）解：由于每个元素在奇子集中都出现22n -次， 故奇子集的容量和为()()231212312n n n n n n n --++++-⨯=-⨯.【名师指导】本题考查集合新定义，理解新定义是解题基础，解题关键是通过集合中的任一奇数，把奇子集与偶子集建立一一对应的关系，从而完成解题．考查了学生分析解决问题的能力，创新意识，逻辑推理能力．。

北京市朝阳区2019-2020学年 高二下学期期末质量检测试题（考试时间120分钟 满分150分） 第一部分（选择题共50分）一、选择题共10题，每题5分，共50分，在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）若随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E(X)是 （A ）14（B ）21（C ）1 （D ）32（2）某物体作直线运动，位移y （单位：m ）与时间t （（单位：s ）满足关系式221y t =+,那么该物体在t=3s 时的瞬时速度是（A ）2m/s （B ）4m/s （C ）7m/s （D ）12m/s(3)曲线()ln f x x =在点(1，0)处的切线方程为(A)x-y-1=0 (B)x-y+1=0 ( C )10( D )10x y x y +-=++=（4）61()x x+的二项展开式中的带数项为（A ）1 （B ）6 （C ）15 （D ）20（5）从3名男生和4名女生中各选2人组成一队参加数学建模比赛，则不同的选法种数是（A ）12 （B ） 18 （C ）35 （D ）36（6）某射手每次射击击中目标的概率都是45，则这名射手在3次射击中恰有2次击中目标的概率为12163248()()()()125125125125A B C D （7）曲线()xf x e =上任意一点P 处的切线斜率的取值范围是(A) (, (B) () (C) ( (D) [)-∞+∞-∞+∞（8）一般地，一个程序模块由许多子模块组成，一个程序模块从开始到结束的路线称为该程序模块的执行路径．如图是一个计算机程序模块，则该程序模块的不同的执行路径的条数是（A ）6 （B ）14 （C ）49 （D ）84(9)函数2()(2)xf x x x e =-的图象大致是(10)已知函数()ln ,()1f x x g x ax ==+,若存在01x e≥使得00()()f x g x =-，则实数a 的取值范围是222211(A) [2,] (B) [,2]11(C) [,] (D) [,2]2e e e e e e e e ---第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6题，每题5分，共30分．（11）已知函数()sin f x x =的导函数为()f x '，则()2f π'= ________(12)若随机变量1~(3,)4X B .则X 的数学期望E(X)是________（13）从某校高一年级所有学生中随机选取100名学生，将他们参加知识竞赛的成绩的数据绘制成频率分布直方图，如图所示．从成绩在[70,80),[80,90]两组内的学生中，用分层抽样的方法选取了6人参加一项活动，若从这6人中随机选取两人担任正副队长，则这两人来自同一组的概率为________（14）在5(21)x +的二项展开式中，二项式系数之和为________;所有项的系数之和为________（15）某商场举行促销活动，凡购买一定价值的商品便可以获得两次抽奖机会第一次抽奖中奖的概率是0.5，第二次抽奖中奖的概率是0.3，两次抽奖是否中奖互不影响，那么两次抽奖中至少有一次中奖的概率是________（16）设定义在R 上的连续函数f （x ）的导函数为()f x '，已知函数()y x f x '=⋅的图象（如图）与x 轴的交点分别为（-2,0） ， （0,0） ，（2,0），给出下列四个命题：①函数f(x)的单调递增区间是(2,0),(2,)-+∞; ②函数f(x)的单调递增区间是(,2),(2,)-∞-+∞; ③x=-2是函数f （x ）的极小值点； ④x=2是函数f （x ）的极小值点. 其中，正确命题的序号是________注：本题给出的命题中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分．三、解答题共4题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）（本小题18分）新生婴儿性别比是指在某段时间内新生儿中男婴人数与女婴人数的比值的100倍.下表是通过抽样调查得到的某地区2014年到2018年的年新生婴儿性别比.（Ⅰ）根据样本数据，估计从该地区2015年的新生儿中随机选取1人为女婴的概率(精确到0.01)；（Ⅱ）从2014年到2018年这五年中，随机选取两年，用X表示该地区的新生婴儿性别比高于107的年数，求x的分布列和数学期望：（Ⅲ）根据样本数据，你认为能否否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断？并说明理由．（18）（本小题18分已知函数322()2,f x x ax a x a a R =-++∈（Ⅰ）若a=0，求证：当[1,)x ∈+∞时，()f x x ≥恒成立； （Ⅱ）当a=1时，求f （x ）在区间[0，2]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若函数f （x ）存在极大值和极小值，且极大值和极小值的差不超过4，求a 的取值范围.(19)(本小题18分)已知函数1()ln ,f x a x a R x=+∈ (Ⅰ)当a ＝1时，求曲线f (x )在点(1，f (1) )处的切线方程； (Ⅱ)求函数f (x )的极值；(Ⅲ)若y ＝f (x )在x ＝1时取得极值，设1()()g x f x x=-，当120x x <<时，试比较21()()2g x g x -与2121x x x x -+的大小，并说明理由．(20) (本小题16分)已知集合12{,,,}n S a a a =中的元素都是正整数，对任意,i j a a S ∈，定义11(,)||i j i jd a a a a =-．若存在正整数k ，使得对任意,()i j i j a a S a a ∈≠，都有d 21(,)i j d a a k ≥，则称集合S 具有性质F k ．记d （S ）是集合{(,)|,}i j i j d a a a a S ∈中的最大值．（Ⅰ）判断集合{1,2,3,4}A =和集合{6,8,12,16}B =是否具有性质F 4，直接写出结论；（Ⅱ）若集合S 具有性质F k ，求证： （i ）21()n d S k-≥； （ii ）n ≤2k —1．参考答案一、选择题：（本题满分50分）二、填空题：（本题满分30分） 三、解答题：（本题满分70分） 17．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）设“从该地区2015年的新生儿中随机选取1人为女婴”为事件A ， ………2分则100()100108.0P A =+ ……………………………………4分1000.48208=≈． ……………………………………6分 （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2． ……………………………………7分23253(0)10C P X C ===，1132256(1)10C C P X C ===，22251(2)10C P X C ===， ……………………………………10分所以X 的分布列为……………………………………12分所以X 的数学期望3614()0121010105E X =⨯+⨯+⨯=． …………………14分 （Ⅲ）答案一：可以否定．从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于0.5，由样本估计总体，所以可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断． 答案二：不能否定．尽管从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于0.5，但由于抽样调查本身存在一定的随机性，且从数据上看，男女婴在新生儿中的比例都近似于0.5，所以不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断． 答案三：无法判断．由于样本容量未知，如果样本容量较小，那么通过样本数据不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断，如果样本容量足够大，那么根据样本数据，可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断．…………………… 18分（注：1．其余答案，酌情给分．2．如果学生直接从生物学的角度，或者生活常识等角度说明，应适当扣分，没有体现用样本估计总体．）18．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）证明：当0a =时，3()f x x =． …………………………………1分设3()g x x x =-，则2()31g x x '=-． …………………………………3分因为[1,)x ∈+∞，所以()0g x '>．所以()g x 在[1,)+∞上单调递增，所以()(1)0g x g ≥=． …………………5分 所以当[1,)x ∈+∞时，()f x x ≥恒成立． …………………………………6分 （Ⅱ）当1a =时，32()21f x x x x =-++．所以2()341(31)(1)f x x x x x '=-+=--． ………………………………7分 令()(31)(1)0f x x x '=--=得13x =或1x =． …………………………8分 当x 在[0,2]上变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：…………………………10分所以，当[0,2]x ∈时，函数()f x 的最大值为(2)3f =，……………………11分 函数()f x 的最小值为(0)(1)1f f ==． …………………………………12分（Ⅲ）因为322()2f x x ax a x a =-++，所以22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--． 令()(3)()0f x x a x a '=--=得3ax =或x a =．……………………………13分 依题意，函数()f x 存在极大值和极小值，所以0a ≠． （ⅰ）当0a >时，aa >．当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以函数()f x 的极大值为34()327a a f a =+，极小值为()f a a =． 依题意有34()()4327a a f f a a a -=+-≤，所以3a ≤． 所以(0,3]a ∈． …………………………………15分 （ⅱ）当0a <时，aa <．当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以函数()f x 的极大值为()f a a =，极小值为34()327a a f a =+．依题意有34()()()4327a a f a f a a -=-+≤，所以3a ≥-． 所以[3,0)a ∈-． …………………………………17分 综上所述，[3,0)(0,3]a ∈-． …………………………………18分19．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）当1a =时，()1()ln 0f x x x x=+>，(1)1f =，……………………………2分 22111()x f x x x x-'=-=，(1)0f '=， ……………………………4分 所以曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为1y =．…………………………6分 （Ⅱ）由1()ln f x a x x =+()0x >，得2211()a ax f x x x x -'=-=()0x >．………8分 ① 若0a >，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．…10分 所以，当1x a=时，()f x 有极小值1ln f a a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 无极大值； ………11分② 若0a =，当(0,)x ∈+∞时，21()0f x x '=-<恒成立， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 无极值． ………12分 ③ 若0a <，当(0,)x ∈+∞时，21()0ax f x x-'=<恒成立， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 无极值． ………13分 综上，当0a >时，()f x 有极小值1ln f a a a a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()f x 无极大值； 当0a ≤时，()f x 无极值． …………………………………………14分（Ⅲ）由21()a f x x x'=-，(1)0f '=，所以1a =． 由1()()ln g x f x x x=-=，所以21()()2g x g x --2121x x x x -+2212121221111ln ln 1ln 221x x x x x x x x x x x x ---=-=-++ ．又120x x <<，所以211x x >． 构造函数11()ln 21x x x x ϕ-=-+， ………………………………16分 则222211(1)12(1)()2(1)2(1)2(1)x x x x x x x x x x ϕ+---'=-=-=+++． 当1x >时，22(1)()02(1)x x x x ϕ-'=>+恒成立，所以()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以当1x >时，()(1)0x ϕϕ>=，即11ln 21x x x ->+， …………………17分 所以22121111ln 21x xx x x x ->+成立，所以212121ln ln 2x x x x x x -->+，即212121()()2g x g x x x x x -->+．…………………18分20．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）集合{1,2,3,4}A =具有性质4F ， ……………………………………2分集合{6,8,12,16}B =不具有性质4F ． ……………………………………4分（Ⅱ）证明：不妨设12n a a a <<<． ……………………………………5分 （i ）由120n a a a <<<<得12111na a a >>>． 对任意1i j n ≤≤≤，有11(,)(,)i j j i i jd a a d a a a a ==-，………………………6分 因为1111111111()()()0n i j i j na a a a a a a a ---=-+-≥，所以11111n i ja a a a -≥-． 所以对任意1i j n ≤≤≤，都有1(,)(,)n i j d a a d a a ≥，所以111()nd S a a =-． ………………………8分又因为11223111111111n n na a a a a a a a --=-+-++- 1223121(,)(,)(,)n n n d a a d a a d a a k --=+++≥， 所以21()n d S k -≥． ……………………………………………10分 （ii ）由（i ）可知，对任意1,2,,1i n =-，都有21112(,)(,)(,)(,)i i i n n n i i n i d a a d a a d a a d a a k -+++-=+++≥， 所以211i n n i a a k --≥，所以21i n ia k->． ……………12分 因为对任意1,2,,1i n =-，i a i ≥，所以11i a i ≤，所以21n i i k->，即2()i n i k -<，1,2,,1i n =-． ……………14分若2n k ≥，则当i k =时，2()()(2)i n i k n k k k k k -=-≥-=，矛盾．所以2n k <． 又因为n 是正整数，所以21n k ≤-． …………………………16分。

2019-2020学年北京市朝阳区高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分） 1.交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险的基准保费为a 元，在下一年续保时，实行费率浮动机制，保费与车辆发生道路交通事故出险的情况相联系，最终保费=基准保费×(1+与道路交通事故相联系的浮动比率)，具体情况如表： 交强险浮动因素和浮动费率比率表 类别 浮动因素浮动比率 A 1 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10% A 2 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20% A 3 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%A 4 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A 5 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮10% A 6 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如表： 类型 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 数量 20 10 10 38 20 2若以这100辆该品牌的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，则随机抽取一辆该品牌车在第四年续保时的费用的期望为( )A. a 元B. 0.958a 元C. 0.957a 元D. 0.956a 元2. 已知点P 在曲线y =上，为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则的取值范围是( )A. [0,)B.C.D.3. 曲线y =sinxsinx+cosx 在点M(π4,0)处的切线斜率为( )A. 12B. −12C. −√22 D. √224. 已知(2x −3)4=a 0+a 1(x −2)+a 2(x −2)2+a 3(x −2)3+a 4(x −2)4，则a 2=( )A. 24B. 56C. 80D. 2165. 将大小形状相同的3个黄球和5个黑球放入如图所示的2×5的十宫格中，每格至多放一个，要求相邻方格的小球不同色(有公共边的两个方格为相邻)，如果同色球不加以区分，则所有不同的放法种数为( )A. 40B. 36C. 24D. 206. 一个袋中有3个黑球，2个白球，第一次摸出球，然后再放进去，再摸第二次，则两次摸球都是白球的概率为( )A. 25B. 45C. 225D. 4257. 曲线上切点为的切线方程是( )A.B. C.D.或8. 如图，一只蚂蚁在A 处觅食(蚂蚁只能走黑色实线)，B 处有一块巧克力，蚂蚁找到巧克力的最短路径爬法有( )A. 210种B. 72种C. 35种D. 12种9. 函数f(x)=x −2x 的大致图象是( )A.B.C.D.10. 已知函数f(x)=x 3(e x −e −x )，若f(a −1)≥f(−a)，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,12]B. [12,+∞)C. [0,12]D. [12,1]二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）)=______ ．11. (文)设f(x)=sinx−2cosx+1的导函数为f′(x)，则f′(3π4，则E(X)=______．12. 随机变量X～B(3,p)，P(X≤2)=262713. 某调查机构就某单位一千多名职工的月收入进行调查，现从中随机抽出100名，已知抽到的职工的月收入都在[1500,4500)元之间，根据调查结果得出职工的月收入情况残缺的频率分布直方图如图所示，则该单位职工的月收入的平均数大约是______ 元．14. 已知甲盒内有外形和质地相同的1个红球和2个黑球，乙盒内有外形和质地相同的2个红球和2个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取1个球．则取出的2个球中恰有1个红球的概率等于______ ．15. 下列有关命题中，正确命题的序号是______．①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”；②命题“∃x∈R，x2+x−1<0”的否定是“∀x∈R，x2+x−1>0”；③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是假命题．④若“p或q为真命题，则p，q至少有一个为真命题．”三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）)6展开式中，各二项式系数的最大值是(1)，常数项是(2)．16. (x−√x四、解答题（本大题共4小题，共70.0分）17. 某学校举行了一次安全教育知识竞赛，竞赛的原始成绩采用百分制，已知高三学生的原始成绩均分布在[50,100]内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表．原始成绩85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级优秀良好及格不及格为了解该校高三年级学生安全教育学习情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示，其中等级为不及格的有5人，优秀的有3人．(1)求n和频率分布直方图中的x的值；(2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高三学生中任选3人，求至少有1人成绩是及格以上等级的概率；(3)在选取的样本中，从原始成绩在80分以上的学生中随机抽取3名学生进行学习经验介绍，记ξ表示抽取的3名学生中优秀等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．18. 已知函数f(x)=x3−ax2−3x，g(x)=−6x(a∈R)．(1)若x=3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1,a]上的最小值和最大值；(2)若ℎ(x)=f(x)−g(x)在x∈(0,+∞)时是增函数，求实数a的取值范围．19. 已知函数f(x)=axe x−(a−1)(x+1)2(其中a∈R，e为自然对数的底数，e=2.718128…)．(1)当a=−1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)仅有一个极值点，求a的取值范围．20. 2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇、蓄势待发的一年．突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金t(t≤2500)万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n万元．(1)判断{a n−2t}是否为等比数列？并说明理由；(2)若企业每年年底上缴资金t=1500，第m(m∈N∗)年年底企业的剩余资金超过21000万元，求m的最小值．(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算，属于中档题．设一辆该品牌车在第四年续保时的费用为X，求出X的分布列，计算X的数学期望得出答案．解：设一辆该品牌车在第四年续保时的费用为X，由题意可知：X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a，由统计数据可知：P(X=0.9a)=0.2，P(X=0.8a)=0.1，P(X=0.7a)=0.1，P(X=a)=0.38，P(X=1.1a)=0.2，P(X=1.3a)=0.02，∴X的分布列为：X0.9a0.8a0.7a a 1.1a1.3aP0.20.10.10.380.20.02∴E(X)=0.9a×0.2+0.8a×0.1+0.7a×0.1+a×0.38+1.1a×0.2+1.3a×0.02=0.956a，故选：D．2.答案：D解析：解析：试题分析：因为，y=，所以，，即，由，所以，的取值范围是，故选D。

北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测高二年级数学试卷 2020.1(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分第一部分 （选择题 共50分）一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 不等式(2)0x x -<的解集是（A ）{}02x x << （B ）{}0x x >（C ）{}2x x < （D ）{}02<<或x x x2. 已知1x ≥，则当4x x +取得最小值时，x 的值为 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）43. 已知双曲线2221(0)16x y a a -=>的一个焦点为(5,0)，则a 的值为（A ）9（B ）6（C ）5（D ）34. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，则椭圆C 的方程为（A ）22184x y +=（B ）221164x y +=（C ）221816x y +=（D ）221168x y +=5. 若向量,,a b c 不共面，则下列选项中三个向量不共面的是（A ）,,-+b c b b c （B ）,,a b c a b c +++ （C ）,,a b a b c +- （D ）,,a b a b a -+6.已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出⊥m l的所有序号是①,,αβαβ⊥⊥⊥m l ②,,αβαβ⊥∥∥m l③,,αβαβ⊂⊥∥m l ④,,αβαβ⊂⊥∥m l （A ）①②③（B ）①②（C ）②③④ （D ）③④7. 已知0>mn ，21+=m n ，则12+m n的最小值是 （A ）4（B ）6（C ）8（D ）168. 已知数列{}n a 和{}n b 满足=n n b a ，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n b 为等比数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件9. 经过双曲线2222:1(0,0)-=>>x y M a b a b的左焦点作倾斜角为60°的直线l ，若l 与双曲线M 的左支有两个不同的交点，则M 的离心率的取值范围是（A ）(2,)+∞（B ）(1,2) （C ）(1,（D ）)+∞10. 已知球O 的直径为3，,,,A B C D 是球O 上四个不同的点，且满足0⋅=AB AC ，0⋅=AC AD ，0⋅=AD AB ，分别用123,,S S S 表示,,ABC ACD ABD 的面积，则123++S S S 的最大值是（A ）14（B ）92（C ）9 （D ）18第二部分（非选择题 共100分）二.填空题:本大题共6小题,每空5分,共30分，答案写在答题卡上.11. 双曲线2214-=x y 的渐近线方程是________.12. 抛物线22=y x 的焦点坐标是________；准线方程是_________.13. 已知公比不为1的等比数列{}n a 满足12=a ，234+=a a ，则4=a _________. 14. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________，面积最大的侧面的面积为________.15. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的17是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为_________.16. 不等式222()-≤-x y cx y x 对满足0>>x y 的任意实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值是________.俯视图三.解答题:本大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17. （本小题满分16分）已知数列{}n a 是递增的等差数列，23=a ，且125,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2=+n n n b a ，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）若12+=n n n c a a ，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足2425>n T 的n 的最小值.18. （本小题满分18分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD .已知==PA PD AB ，090∠=APD .（Ⅰ）证明：∥AD平面PBC ； （Ⅱ）证明：⊥AB PD ；（Ⅲ）求二面角--A PB C 的余弦值.PDCBA19. （本小题满分18分）已知抛物线22(0)=>y px p 经过点(1,2). （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过抛物线C 的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，设O 为原点（ⅰ）当直线l 的斜率为1时，求∆AOB 的面积； （ⅱ）当3=FA FB 时，求直线l 的方程.20. （本小题满分18分）已知椭圆2222:10)+=>>（x y C a b a b ，直线20++=x y 经过椭圆C 的左焦点A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线:=+l y kx m （0≠k ）交椭圆C 于,M N 两点（,M N 不同于点A ）.过原点O的一条直线与直线l 交于点P ，与直线,AM AN 分别交于点,D E .（ⅰ）当k MN 的最大值；（ⅱ）若=OD OE ，求证：点P 在一条定直线上.。

北京市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，点M ，N 分别是线段1A E 与线段1DD 上的动点，当点M ，N 之间的距离最小时，异面直线AM 与1CD 所成角的余弦值为（ ） A．14B．21CD 1841【答案】A 【解析】 【分析】以A 为坐标原点，以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴正向建系，设12AA =，(0,2,)N a ，(2,1,0)E ,1(0,0,2)A ,1(2,1,2)A E =-,设11A M t A E =，得(2,,22)M t t t -，求出2MN 取最小值时t 值，然后求1,AM CD 的夹角的余弦值． 【详解】以A 为坐标原点，以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴正向建系，设12AA =，(0,2,)N a ，(2,1,0)E ,1(0,0,2)A ,1(2,1,2)A E =-,设11A M t A E =，由11AM AA A E =+得(2,,22)M t t t -，则2222222164(2)(22)5(22)55MN t t t a t t a ⎛⎫=+-+--=-++-- ⎪⎝⎭，当25220t t a ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩即25t =，65a =时，2MN 取最小值165.此时1(2,0,2)CD =-，4262,,(2,1,3)5555AM ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，令(2,1,3)n =．得1111cos ,cos ,14n CD AM CD n CD n CD ⋅<>=<>===故选：A.【点睛】本题考查求异面直线所成的角，解题关键求得MN 的取最小值时M 的位置．解题方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法表示距离、求角．2．已知函数()()2xf x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为（ ）A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．310x y -+=D ．310x y ++=【答案】B 【解析】 【分析】先对已知函数f(x)求导，由()'13f e =可得a 的值，由此确定函数和其导函数的解析式，进而可得x=0处的切线方程。

北京市东城区2019-2020学年度第二学期期末统一检测北京市东城区2019-2020学年度第二学期期末教学统一检测 高二数学参考答案及评分标准 2020.7一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A （2）B （3）B （4）D （5）D（6）C （7）C （8）B （9）A （10）C二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）（11）58− （12）①③ （13）12（14）42 （15）1ln 2−+注：（12）题给出的结论中，有多个符合题目要求。

全部选对得4分，不选或错选得0分，其他得2分。

三、解答题（共5小题，共40分）（16）（共8分）解：由题意可知函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（Ⅰ）因为21()23ln 2f x x x x =−−， 所以3'()2f x x x=−−， ………1分 '(1)4f =−. ………2分因为3(1)2f =−， ………3分 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为8250x y +−=.………4分 （Ⅱ） ()f x 的定义域为(0,)+∞. ………5分 因为2323(1)(3)'()2x x x x f x x x x x−−+−=−−==， 由'()0f x =，得11x =−，23x =. ………6分 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表： 单调递减单调递增 7分所以，()f x 的单调递增区间为(3,)+∞，()f x 的单调递减区间为(0,3). ………8分（17）（共8分）解：（Ⅰ）共需要填6个空，对2个空 ……1分对4个空 ………2分全对 ………4分（Ⅱ）由题可知，22()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d −++++，经过计算， 4.762k ≈，………7分 参照附表，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“爱好冰上运动与性别有关”. ………8分（18）（共8分）解：（Ⅰ）由题意可知，样本中垃圾种类一共200种，辨识度高的垃圾种数是：700.9600.6300.9400.6150+++=⨯⨯⨯⨯.………1分 所求概率为1500.75200=. ………3分 （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3. ………4分依题意可知，(3,0.6)X B ~.033(0)(10.6)0.064P X C ===−,123(1)0.6(10.6)0.288P X C ===−,223(2)0.6(10.6)0.432P X C ===−,333(3)0.60.216P X C ===. ………6分所以X 的分布列为………7分()30.6 1.8E X =⨯=. ………………8分（19）（共8分）解：由题意可知函数()f x 的定义域为R .（Ⅰ）因为2()e x f x x =，所以22'()2e e e (2)e (2)x x x x f x x x x x x x =⋅+⋅=⋅+=⋅+⋅. ………1分由'()0f x =，得12x =−，20x =. ………2分当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：因此，当2x =−时，()f x 有极大值，并且极大值为24(2)ef −=； 当0x =时，()f x 有极小值，并且极小值为(0)0f =.………4分（全对给1分）（Ⅱ）因为()y f x ax =−，所以2()e e x x ax y x x x a −=−=⋅.所以0x =为一个零点.所以“函数2e x x a y x =−在定义域内有三个零点”可以转化为“方程e x a x =⋅有两个非零实根”. ………5分令()e x h x x =，则'()e e (1)e x x x h x x x =+=+⋅，所以，当1x <−时，'()0h x <，()h x 在(,1)−∞−上单调递减； 当1x >−时，'()0h x >，()h x 在(1,)−+∞上单调递增.当1x =−时，()h x 有最小值1(1)e h −=−. ………6分 若方程e x a x =⋅有两个非零实根，则1(1)e h −=−a <，即1e a >−. 又0a ≥，(,1)x ∈−∞−，e 0x x a ⋅−<恒成立，不存在零点，………7分所以0a <．综上，10ea −<<. 所以当1(,0)e a ∈−时，函数()y f x ax =−在定义域内有三个零点．………8分（20）（共8分）（Ⅰ）解：当3n =时，{3,4,5}n S =.n S 的所有奇子集为{3}{5}{3,4}{4,5}，，，. ………3分（少写或写错扣1分）（Ⅱ）证明：首先证明n S 的奇子集与偶子集个数相等.设奇数n k S ∈，对于n S 的每个奇子集A ，当k A ∈时，取{|B x x A =∈且}x k ≠.当k A ∉时，取{}B A k =，则B 为n S 的偶子集.反之，亦然.所以，n S 的奇子集与偶子集是一一对应的.所以，n S 的奇子集与偶子集个数相等.对于n i S ∀∈，1>i ，含i 的n S 的子集共有12−n 个， …4分其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，从而对于每个数i ，在奇子集的和与偶子集的和中，i 所占的个数是一样的.所以n S 的所有奇子集的容量的和与所有偶子集的容量的和相等. …6分（Ⅲ）解：由于每个元素在奇子集中都出现22−n 次，故奇子集的容量和为23(121)2(31)2n n n n n n n −−++++−⨯=−⨯． ………8分。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。

2019-2020学年北京市朝阳区数学高二(下)期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．函数()1log 1a x f x x x +=+（01a <<）的图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】C【解析】【分析】对x 分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.【详解】()()()log 11log log 101log 0.a a a ax x x f x x x x x x x ⎧--<-+⎪==--<<⎨+⎪>⎩，，，，， 故选C ．【点睛】识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 2．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．10101010i --B ．10111010i --C ．10111012i --D ．10111010i -【答案】B【解析】【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-， 可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-， 可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.3．函数sin ()ln x f x x=的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用特征值的符号是否一致进行排除即可．【详解】解：f （﹣x ）()sin x sinx ln x ln x-==-=--f （x ），则函数f （x ）是奇函数，图象关于原点对称， 排除B ，D ，函数的定义域为{x|x ≠0且x ≠±1}，由f （x ）＝0得 sinx ＝0，得距离原点最近的零点为π，则f （6π）16266sinln ln ＜πππ==0，排除C ， 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用对称性以及特殊值进行排除是解决本题的关键．4．已知复数z 满足2z zi i +=-（i 为虚数单位），则z =（ ） AB ．2 C．2 D ．1 【答案】C【解析】【分析】 整理得到21i z i-=+，根据模长的运算可求得结果. 【详解】 由2z zi i +=-得：21i z i -=+212i z i -∴===+ 本题正确选项：C【点睛】本题考查向量模长的求解，属于基础题.5．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说:“罪犯在 乙、丙、丁三人之中”；乙说:“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话， 且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解析】∵乙、丁两人的观点一致，∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假；若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾；∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯．6．只用1,2,3,4四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（ ）A ．96B ．144C ．240D ．288【答案】B【解析】【分析】 以重复使用的数字为数字1为例，采用插空法可确定符合题意的五位数的个数；重复使用每个数字的五位数个数一样多，通过倍数关系求得结果.【详解】当重复使用的数字为数字1时，符合题意的五位数共有：323436A C =个当重复使用的数字为2,3,4时，与重复使用的数字为1情况相同∴满足题意的五位数共有：364144⨯=个本题正确选项：B【点睛】本题考查排列组合知识的综合应用，关键是能够明确不相邻的问题采用插空法的方式来进行求解；易错点是在插空时，忽略数字相同时无顺序问题，从而错误的选择排列来进行求解.7．在ABC V 中，90CAB ∠=︒，1AC =，3AB =.将ABC V 绕BC 旋转至另一位置P （点A 转到点P ），如图，D 为BC 的中点，E 为PC 的中点.若3AE =，则AB 与平面ADE 所成角的正弦值是（ ）A ．38B 3C ．34D 3【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，证明PC ⊥平面ADE ，然后找出AB 与平面ADE 所成角，求解三角形得出答案.【详解】解：如图，由题意可知，111222CE PC AC ===，又3AE =，1AC =， ∴222CE AE AC +=，即AE PC ⊥，Q D ，E 分别为BC ，PC 的中点，∴//DE PB .Q BP PC ⊥，∴PC DE ⊥，而AE DE E =I ，∴PC ⊥平面ADE .延长ED 至F ，使=ED DF ，连接BF ，则CED V 与BFD △全等，可得BF ⊥平面ADE .∴BAF ∠为AB 与平面ADE 所成角，在V Rt AFB 中，由12BF CE ==,3AB =, 可得132sin 63BF BAF AB ∠===.故选：B.【点睛】本题考查直线与平面所成角，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题.8．已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 的的对边，若cos c A b <，则ABC ∆的形状为（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形 【答案】A【解析】【分析】由已知结合正弦定理可得sin sin cos A C B <利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin()sin cos A B B A +<整理可得sin cos sin cos sin cos A B B A B A +<从而有sin cos 0A B <结合三角形的性质可求【详解】解：A Q 是ABC ∆的一个内角，0A π<<，sin 0cos A c A b∴><Q 由正弦定理可得，sin sin cos C B A <sin()sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 0A B B AA B B A B A A B ∴+<∴+<∴<又sin 0A >，cos 0B ∴<，即B 为钝角，故选A ．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和及诱导公式，两角和的正弦公式，属于基础试题．9．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．1【答案】B【解析】试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，把直线l 向上平移，z 增加，当l 过点(3,2)B 时，3227z =+⨯=为最大值．故选B ．考点：简单的线性规划问题．10．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表: 20()P K k ≥ 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828得到正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”【答案】B【解析】【分析】通过27.218K ≈与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.【详解】解:27.218 6.635K ≈>，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.11．已知命题“x R ∀∈，使得212(1)02x a x +-+>”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(.1)-∞-B ．(3,)-+∞C ．(13)-，D ．()3.1- 【答案】C【解析】【分析】利用二次函数与二次不等式的关系，可得函数的判别式∆<0，从而得到13a -<<.【详解】由题意知，二次函数的图象恒在x 轴上方，所以21(1)4202a ∆=--⋅⋅<， 解得：13a -<<，故选C.【点睛】本题考查利用全称命题为真命题，求参数的取值范围，注意利用函数思想求解不等式.12．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20B ．24C ．28D ．32 【答案】A【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出.详解：,x y Q 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++- 116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++226(2)46(242022y x x y ++=++-≥+-=++ 当且仅当10x y ==时取等号. x y ∴+的最小值为20.故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l 的参数方程为：21x at y a t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为：1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，若它们总有公共点 ，则a 取值范围是___________． 【答案】3[,0)(0,)2-+∞U 【解析】【分析】把参数方程化为普通方程，若直线与椭圆有公共点， 对判别式0∆≥进行计算即可.【详解】直线l 的参数方程为21x at y a t =⎧⎨=-⎩（t 为参数）， 消去t 化为普通方程为ax ﹣y ﹣1＝0，且a 0≠,椭圆C 的参数方程为：12x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），消去参数化为()22114y x -+=． 联立直线与椭圆()2210114ax y y x --=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消y 整理得()()224+8210a x a x -++=， 若它们总有公共点，则()()22=8+24416(23)0a aa ∆-+=+≥，解得32a ≥-且a 0≠, 故答案为()3,00,2⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程之间的互化，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题． 14．在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，12AA =，则直线1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为__________．【解析】分析：过1C 作111C H B D ⊥，垂足为H ，则1C H ⊥平面11BB D D ，则1C BH ∠即为所求平面角，从而可得结果.详解：依题意，画出图形，如图，过1C 作111C H B D ⊥，垂足为H ，由1BB ⊥平面11A C ，可得11C H BB ⊥，所以1C H ⊥平面11BB D D ，则1C BH ∠即为所求平面角，因为4AB BC ==，12AA =， 所以111221025C H sin C BH BC ∠===10点睛：本题考查长方体的性质，以及直线与平面所成的角，属于中档题.求直线与平面所成的角由两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.15．某技术学院为了让本校学生毕业时能有更好的就业基础，增设了平面设计、工程造价和心理咨询三门课程.现在有6名学生需从这三门课程中选择一门进修，且每门课程都有人选，则不同的选择方法共有______种（用数学作答）.【答案】540【解析】【分析】根据题意可知有3种不同的分组方法，依次求出每种的个数再相加即得．【详解】由题可知6名学生不同的分组方法有三类：①4，1，1；②3，2，1；③2，2，2.所以不同的选择方法共有411332132226213631364222540C C C A C C C A C C C A ++=种. 【点睛】本题考查计数原理，章节知识点涵盖全面．16．函数()()2ln 2f x x =-的定义域为______.【答案】(【解析】【分析】根据()f x 有意义，需满足220x ->，解出x 的范围即可．【详解】要使()f x 有意义，则：220x ->；x <()f x ∴的定义域为(．故答案为：(．【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，以及对数函数的定义域，一元二次不等式的解法，属于容易题．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．在同一直角坐标系中，经过伸缩变换12x x y y⎧'='=⎪⎨⎪⎩后，曲线C 的方程变为221x y ''+=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为3sinπρθ=（-）. （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）过点(1,0)P 作l 的垂线l 0交C 于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，求11||||PA PB -的值. 【答案】（1）2214x y +=0y -+=（2）11||||PA PB -= 【解析】【分析】（1）将变换公式代入221x y ''+=得，即可曲线C 的方程，利用极坐标与直角的互化公式，即可求解直线的直角坐标方程；（2）将直线l 0的参数方程代入曲线C的方程整理得27120t --=，利用根与系数的关系和直线的参数方程中参数的几何意义，即可求解11||||PA PB -的值. 【详解】。

2019-2020学年北京市名校数学高二下期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若228m C =,则m 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】B 【解析】分析：根据组合数的计算公式，即可求解答案.详解：由题意()212821m m m C -==⨯且2m >，m N +∈，解得8m =，故选B.点睛：本题主要考查了组合数的计算公式的应用，其中熟记组合数的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.2．已知数列{}n a 满足112a =，11n n a a +=+，*n N ∈，设n S 为数列{}n a 的前n 项之和，则19S =（ ） A ．3232-B ．3242-C ．3232D ．3612【答案】A 【解析】 【分析】由11n n a a +=+可知数列{}n a 为等差数列且公差为1-，然后利用等差数列求和公式代入计算即可． 【详解】由11n n a a +=+可知数列{}n a 为等差数列且公差为1-，所以19119181191832319192222S a d ⨯⨯=+=⨯-=- 故选A ． 【点睛】本题主要考查等差数列的概念及求和公式，属基础题．3．将曲线22132x y+=按13:12x x y y ϕ⎧=⎪⎪⎨⎪='⎩'⎪变换后的曲线的参数方程为（ ） A ．3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩B．x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩C ．1cos 31sin 2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩D．cos 32x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【答案】D 【解析】由变换ϕ：1 ',31 '2 xxy y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得：3',2'x xy y=⎧⎨=⎩,代入曲线22132x y+=可得：()()2232132x y''+=，即为：22321,x y+=令3,22x cosy sinθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(θ为参数)即可得出参数方程．故选D.4．如图是某陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的体积为（）A．3πB．πC．73πD．3π【答案】C【解析】【分析】几何体上部分为圆柱，下部分为圆锥，代入体积公式计算即可.【详解】解：几何体上部分为圆柱，下部分为圆锥，其中圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥的底面半径为1，高为1，所以几何体的体积2211211373Vπππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=.故选：C.【点睛】本题考查了常见几何体的三视图与体积的计算，属于基础题.5．已知实数x ，y 满足约束条件5001202x y y x y x ⎧⎪+-≥⎪-≥⎨⎪⎪--≤⎩，若不等式()()2212420a x xy a y -++-≥恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．73B ．53CD【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数yt x=，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点()23C ，处取得最大值max 32y t x ==，在点A 或点B 处取得最小值min 1t =，即312t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． 题中的不等式即：()2222224a x yx xy y +≤++，则：22222224421221x xy y t t a x y t ++++≤=++恒成立， 原问题转化为求解函数()2242131212t t f t t t ++⎛⎫=≤≤ ⎪+⎝⎭的最小值，整理函数的解析式有：()22211112424221211131224112122t t t f t t t t t ⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪++- ⎪ ⎪=⨯=⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪⎝⎭-++ ⎪ ⎪-⎝⎭，令12m t =-，则112m ≤≤， 令()34g m m m=+，则()g m在区间12⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间1⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增， 且()172124g g ⎛⎫==⎪⎝⎭，，据此可得，当112m t ==，时，函数()g m 取得最大值，则此时函数()f t 取得最小值，最小值为：()2241211712113f ⨯+⨯+==⨯+．综上可得，实数a 的最大值为73．本题选择A 选项．【方法点睛】本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等．①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值．若等号不成立，则利用对勾函数的单调性解决问题．6．已知函数()22cos f x x x =-，则()0f ，13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，23f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是（ ） A ．()12033f f f ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．()12033f f f ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．()21033f f f ⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()21033f f f ⎛⎫⎛⎫<<-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由()2cos f x x x =-为偶函数，知1133f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()f x 在（0，1）为增函数，知()12033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此能比较大小关系．【详解】∵()2cos f x x x =-为偶函数，∴1133f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵()'22sin f x x x =+，由()0,1x ∈时，()'0f x >， 知()f x 在（0，1）为增函数， ∴()12033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()12033f f f ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：A ． 【点睛】本题考查函数值大小的比较，解题时要认真审题，注意函数的单调性和导数的灵活运用． 7．若2223340a b c +-=，则直线0ax by c 被圆221x y +=所截得的弦长为（ ）A ．23B ．1C ．12D ．34【答案】B 【解析】因为22243a b c +=，所以圆心(0,0)O 到直线0ax by c 的距离2d ==，所以1212l ==⨯=，应选答案B 。

2019-2020学年北京市名校数学高二第二学期期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线l ：0mx ny +=，{},1,2,3,4,5,6m n ∈，所得到的不同直线条数是（） A ．22 B ．23 C ．24 D ．25【答案】B 【解析】 【分析】根据排列知识求解，关键要减去重复的直线. 【详解】当m,n 相等时，有1种情况；当m,n 不相等时，有266530A =⨯= 种情况，但123,246== 246,123==24,36=12,36=重复了8条直线， 因此共有130823+-=条直线. 故选B. 【点睛】本题考查排列问题，关键在于减去斜率相同的直线，属于中档题. 2．下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）A ．y x =与3y = B ．2y = 与y x =C ．xy x =与0y x = D ．211x y x +=-与11y x =-【答案】C 【解析】 【分析】先判断两个函数的定义域是否是同一个集合，再判断两个函数的解析式是否可以化为一致． 【详解】解：对于A 、∵y x =的定义域为R ，3y =的定义域为R ．两个函数的对应法则不相同，∴不是同一个函数．对于B 、∵2y =的定义域[)0,+∞，y x =的定义域均为R ．∴两个函数不是同一个函数．对于C 、∵x y x=的定义域为R 且0x ≠，0y x =的定义域为R 且0x ≠．对应法则相同，∴两个函数是同一个函数． 对于D 、211x y x +=-的定义域是1x ≠±，11y x =-的定义域是1x ≠，定义域不相同，∴不是同一个函数．故选C ． 【点睛】本题考查两个函数解析式是否表示同一个函数，需要两个条件：①两个函数的定义域是同一个集合；②两个函数的解析式可以化为一致．这两个条件缺一不可，必须同时满足． 3．()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（） A ．15 B ．20C ．30D ．35【答案】C 【解析】 【分析】利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得2x 的系数. 【详解】根据二项式定理展开式通项为1C r n r rr n T a b -+=()()()66622111111x x x x x ⎛⎫++=++⋅+ ⎪⎝⎭则()61x +展开式的通项为16r rr T C x +=则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的项为22446621C x C x x ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为2466151530C C +=+= 故选:C 【点睛】本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题. 4．已知i 为虚数单位，若复数1()1aiz a R i-=∈+的实部为-2，则z =（ ）A ．5BCD ．13【答案】C 【解析】分析：利用复数的除法运算得到z ，进的得到z .详解：由题复数()11aiz a R i-=∈+的实部为-2，()()()()()11111,1112ai i a a iai z i i i -⋅---+-===++⋅-12,5,2aa -∴=-= 则()1123,2a a i z i z --+==--∴= 故选C.点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模，属基础题. 5．下列不等式中正确的有( )①sin ,(,0)x x x >∈-∞；②1,xe x x R ≥+∈；③ln ,(0,)xx x e x <<∈+∞ A ．①③ B ．①②③ C ．② D ．①②【答案】B 【解析】 【分析】逐一对每个选项进行判断,得到答案. 【详解】①()sin ,,0x x x >∈-∞,设函数()sin f x x x =-,()f x 递减,()(0)0f x f >=,即sin x x >,正确②1,xe x x R ≥+∈,设函数()1xg x e x =--,()g x 在(0,)+∞递增,()g x 在(,0)-∞递减,()(0)0g x g ≥=,即1x e x ≥+,正确③ln ,(0,)xx x e x <<∈+∞,由②知x e x >,设函数()ln m x x x =-,()m x 在(0,1)递减,()m x 在(1,)+∞递增,()(1)10m x m ≥=>,即ln ,(0,)xx x e x <<∈+∞正确 答案为B 【点睛】本题考查了利用导函数求函数的单调性进而求最值来判断不等式关系,意在考查学生的计算能力. 6．已知点A ，B 是抛物线C ：24y x =上的两点，且线段AB 过抛物线C 的焦点F ，若AB 的中点到y 轴的距离为2，则AB =（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的抛物线的定义写出弦长公式，利用AB 中点横坐标来求得弦长. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212112AB x x x x =+++=++，而AB 的中点的横坐标为1222x x +=，所以426AB =+=.故选C.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线的定义和性质，考查运算求解能力和化归与转化的数学思想.7．某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812863y x x =-+-，则该生产厂家获取的最大年利润为（ ） A ．300万元 B ．252万元 C ．200万元 D ．128万元【答案】C 【解析】 【分析】求得函数的导数，得到函数的单调性，进而求解函数的最大值，即可得到答案. 【详解】由题意，函数31812863y x x =-+-，所以281y x '=-+，当09x <<时，0y '>，函数()f x 为单调递增函数； 当9x >时，0y '<，函数()f x 为单调递减函数，所以当9x =时，y 有最大值，此时最大值为200万元，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记函数的导数在函数中的应用，准确判定函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 8．若复数11miz i+=+在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．()1,0-C ．()1,+∞D ．(),1-∞-【答案】A 【解析】11mi z i +=+(1)(1)11222mi i m m i +-+-==+ ，所以10211102mm m +⎧>⎪⎪∴-<<⎨-⎪<⎪⎩，选A. 9．若函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象如图所示，则()y f x =的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】分析：先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x 的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．详解：由()'y f x =的图象易得当0x ＜时'0f x ，（）＞， 故函数()y f x =在区间0-∞（，）上单调递增； 当01x <＜ 时，f'（x ）＜0，故函数()y f x =在区间01（，） 上单调递减； 故选：C ．点睛：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．10．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为 A 2 B 3 C ．2 D 5【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来． 11．已知7tan(x π-=）则cos2x = ( ) A ．14-B ．14C ．18-D ．18【答案】D 【解析】分析：先根据诱导公式得tan x ，再利用二倍角公式以及弦化切得结果. 详解：因为7tan(x π-=），所以7tan x =, 因此2222222271cos sin 1tan 19cos 2cos sin 7cos sin 1tan 819x x x x x x x x x ---=-====+++， 选D.点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.12．设椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点()()0,0E t t b <<.已知动点P 在椭圆上,且点2,,P E F 不共线,若2PEF ∆的周长的最小值为4b ,则椭圆C 的离心率为（ ） A ．32B ．2 C ．12D ．33【答案】A 【解析】分析：利用椭圆定义2PEF ∆的周长为12PE 2a PF EF +-+，结合三点共线时，1PE PF -的最小值为1EF -，再利用对称性，可得椭圆的离心率.详解：2PEF ∆的周长为2212PE PE 2PF EF a PF EF ++=+-+21212a PE 2a 2a 4b EF PF EF EF =++-≥+-==，∴213e 114c b a a ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭故选：A点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)． 二、填空题：本题共4小题 13．已知纯虚数z 满足122zi z+=-+(其中i 是虚数单位)，则z =__________. 【答案】z i =- 【解析】设,z a bi z a bi =+∴=-，1212()2,2z a bi i i z a bi++-=-+∴=-++，整理得42224155a b a b a bi i ++-++=--，42205,,24115a b a a z i a b b b ++⎧=-⎪=⎧⎪∴∴∴=-⎨⎨-+=-⎩⎪=-⎪⎩14．已知(3a =，1)，(sin b α=，cos )α，且a ∥b ，则4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+＝ ．【答案】57【解析】 【分析】 【详解】因为(3a =，1)，(sin b α=，cos )α由a ∥b 知， 属于，4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+12cos 2cos 1055cos 9cos 147αααα-===+．考点：平行向量间的坐标关系．15．若()f x 为R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=-，对于下列命题：①()20f =；②()f x 是以4为周期的周期函数；③()f x 的图像关于0x =对称；④(2)()f x f x +=-.其中正确命题的序号为_________ 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由()00f =结合题中等式可判断命题①的正误；根据题中等式推出()()4f x f x +=来判断出命题②的正误；由函数()y f x =为奇函数来判断命题③的正误；在题中等式中用2x +替换x 可判断出命题④的正误. 【详解】对于命题①，由于函数()y f x =是R 上的奇函数，则()00f =，在等式()()2f x f x -=-中，令2x =可得()()020f f =-=，得()20f =，命题①正确；对于命题②，()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=⎡⎤⎣⎦，所以，()y f x =是以4为周期的周期函数，命题④正确；对于命题③，由于函数()y f x =是R 上的奇函数，不关于直线0x =（即y 轴）对称，命题③错误；对于命题④，由()()2f x f x -=-，可得()()2f x f x =-+，即()()2f x f x +=-， 由于函数()y f x =是R 上的奇函数，则()()2f x f x +=-，命题④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、对称性以及周期性的推导，求解时充分利用题中的等式以及奇偶性、对称性以及周期性的定义式，不断进行赋值进行推导，考查推理能力，属于中等题。

2019-2020学年北京市朝阳区数学高二下期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若不等式()()2210a a x x -++≤对一切()0,2x ∈恒成立,则a 的取值范围是 ( )A．⎛-∞ ⎝⎦ B．⎫+∞⎪⎪⎣⎭C．⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭D．⎣⎦ 【答案】C【解析】【分析】本题是通过x 的取值范围推导出a 的取值范围，可先将a 与x 分别放于等式的两边，在通过x 的取值范围的出a 的取值范围。

【详解】()()2210a a x x -++≤221x a a x --≤+ 221x a a x -+≥+，211x a a x，-+≥+ 因为()0,2x ∈ 所以111x 212x x x+≥≤+， 所以212a a -+≥，解得11,,22x ⎛⎡⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭ 【点睛】本题主要考察未知字母的转化，可以先将需要求解的未知数和题目已给出未知数区分开来，再进行求解。

2．设集合{}2|log (1)1M x x =-<，{|2}N x x =≥|，则M N ⋃=（）A ．{|23}x x ≤<B ．{|2}x x ≥C ．{|1}x x >D ．3|}1{x x ≤<【答案】C【解析】【分析】解出集合M 中的不等式即可【详解】因为{}{}2|log (1)1|13M x x x x =-<=<<，{|2}N x x =≥所以M N ⋃={|1}x x >故选：C【点睛】本题考查的是解对数不等式及集合的运算，属于基本题.3．已知随机变量满足，，若，则（ ） A ．， B ．， C ．， D ．，【答案】C【解析】【分析】 根据题目已知条件写出的分布列，取特殊值计算出两者的期望和方差，由此得出正确选项. 【详解】依题意可知： 0 10 1由于，不妨设.故,，故选C.【点睛】本小题主要考查随机变量分布列期望和方差的计算，考查分析与阅读理解能力，属于中档题.4．对33000分解质因数得333300023511=⨯⨯⨯，则33000的正偶数因数的个数是（ ）A ．48B ．72C ．64D ．96【答案】A【解析】分析：分33000的因数由若干个2、若干个3、若干个5、若干个11相乘得到，利用分步计数乘法原理可得所有因数个数，减去不含2的因数个数即可得结果.详解：33000的因数由若干个2（共有32102,2,2,2四种情况），若干个3（共有03,3两种情况），若干个5（共有32105,5,5,5四种情况），若干个11（共有1011,11两种情况），由分步计数乘法原理可得33000的因数共有424264⨯⨯⨯=，不含2的共有24216⨯⨯=， ∴正偶数因数的个数有641648-=个，即33000的正偶数因数的个数是48，故选A.点睛：本题主要考查分步计数原理合的应用，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.5．已知向量{},,a b c 是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（ ）A ．a b +，a ，a b -B ．a b +，b ，a b -C ．a b +，c ，a b -D ．a b +，2a b -，a b - 【答案】C【解析】【分析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A 、B 、D 三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C 中的向量不共面【详解】解：()()2a b a b a ++-=，∴a ，a b +，a b -共面，不能构成基底，排除A ；()()2a b a b b +--=，∴b ，a b +，a b -共面，不能构成基底，排除B ；()()31222a b a b a b -=-++，∴a b +，a b -，2a b -共面，不能构成基底，排除D ； 若c 、a b +，a b -共面，则()()()()c a b m a b m a m b λλλ=++-=++-，则a 、b 、c 为共面向量，此与{},,a b c 为空间的一组基底矛盾，故c 、a b +，a b -可构成空间向量的一组基底．故选：C ．【点睛】本题主要考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决本题的关键，属于中档题.6．如图，,E F 分别为棱长为1的正方体的棱1111,A B B C 的中点，点,G H 分别为面对角线AC 和棱1AA 上的动点，则下列关于四面体E FGH -的体积正确的是（ ）A ．该四面体体积有最大值，也有最小值B ．该四面体体积为定值C ．该四面体体积只有最小值D ．该四面体体积只有最大值 【答案】D【解析】【分析】易证EF AC ，从而可推出EFG ∆面积为定值，则只需研究点H 到平面EFG 的距离的取值范围即可得到四面体体积的取值范围【详解】,E F 分别为棱长为1的正方体的棱1111,A B B C 的中点，所以11EF AC ，又11AC AC ∥，故点G 到EF 的距离为定值，则EFG ∆面积为定值，当点H 与点A 重合时，为平面构不成四面体，故只能无限接近点A ，当点H 与点1A 重合时，h 有最大值，体积有最值，所以四面体体积有最大值，无最小值故选D【点睛】本题主要考查了四面体体积的判断，运动中的定量与变量的分析，空间想象与转化能力，属于中档题 7．甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（ ）A ．25B ．12C ．35D ．45【答案】C【解析】【分析】首先求得甲的平均数，然后结合题意确定污损的数字可能的取值，最后利用古典概型计算公式求解其概率值即可.【详解】 由题意可得：x =甲888785929395906+++++=， 设被污损的数字为x ，则：x =乙8586868890998966x x ++++++=+， 满足题意时，x x >甲乙，即：908966x x >+⇒<， 即x 可能的取值为0,1,2,3,4,5x =, 结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值：63105p ==. 故选C.【点睛】 本题主要考查茎叶图的识别与阅读，平均数的计算方法，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．若不等式()()121311133x x a gx g ++-≥-对任意的(],1x ∈-∞恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(],0-∞B ．(],1-∞C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞ 【答案】B【解析】【分析】 不等式可整理为1212()()333x x x x a +≤=+，然后转化为求函数y 12()()33x x =+在（﹣∞，1）上的最小值即可，利用单调性可求最值．【详解】不等式()()121311133x xa g x g ++-≥-，即不等式lg ()12133x xa ++-≥lg3x ﹣1， ∴()1121333x xx a -++-⋅≥，整理可得1212()()333x x x x a +≤=+， ∵y 12()()33x x =+在（﹣∞，1）上单调递减，∴x ∈（﹣∞，1），y 1212()()3333x x =++=＞1， ∴要使原不等式恒成立，只需a ≤1，即a 的取值范围是（﹣∞，1]．故选：B.【点睛】本题考查不等式恒成立问题、函数单调性，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力． 9．设函数 ()'f x 是奇函数()f x 的导函数，当0x >时，()ln ()0f x x x f x '⋅+<，则使得2(1)()0x f x -<成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(1,0)(0,1)- D ．(1,0)(1,) 【答案】D【解析】分析：根据题意，设()()()ln 0g x x f x x =⋅>，对()g x 求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得()g x 在()0,∞+上为减函数，分析()g x 的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间()0,1和()1,+∞上都有()0f x <，结合函数的奇偶性可得在区间()1,0-和(),1-∞-上都有()0f x >，进而将不等式变形转化可得()2100x f x -><或()2100x f x -<>，解可得x 的取值范围，即可得答案. 详解：根据题意，设()()()ln 0g x x f x x =⋅>，其导数()()()()()ln 1ln f x x x f x g x f x x f x x x+⋅=⋅+='⋅''， 又当0x >时，()()ln 0f x x x f x '⋅+<，则有()()()ln 0f x x x f x g x x '+⋅'=<，即函数()g x 在()0,∞+上为减函数，又()()1ln110g f =⋅=，则在区间()0,1上，()()ln 0g x x f x =⋅>，又由ln 0x <，则()0f x <，在区间()1,+∞上，()()ln 0g x x f x =⋅<，又由ln 0x >，则()0f x <，则()f x 在区间()0,1和()1,+∞上都有()0f x <，又由()f x 为奇函数，则在区间()1,0-和(),1-∞-上都有()0f x >，()()210x f x -<⇒()2100x f x -><或()2100x f x -<>，解可得：10x -<<或1x >.则x 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞.故选：D.点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，以及不等式的解法，关键是分析()0f x <与()0f x >的解集.10．若函数()()212log 35f x x ax =-+ 在区间()1,-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()8,-+∞B ．[)6-+∞,C ．(],6-∞-D ．[]8,6-- 【答案】D【解析】【分析】 根据复合函数的单调性，同增异减，则235t x ax =-+，在区间()1,-+∞上是增函数，再根据定义域则2350t x ax =-+>在区间()1,-+∞上恒成立求解.【详解】因为函数()()212log 35f x x ax =-+ 在区间()1,-+∞上是减函数， 所以235t x ax =-+，在区间()1,-+∞上是增函数，且2350t x ax =-+>在区间()1,-+∞上恒成立. 所以16a ≤-且350a ++≥， 解得86a -≤≤-.故选：D【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于中档题.11．已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ） A ．它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C ．它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等【答案】D【解析】由题知222:12x C y -=．则两双曲线的焦距相等且2c =223x y +=的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为2y x =±，由于实轴长度不同故离心率c e a =不同．故本题答案选D ， 12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos b c A =⋅，则ABC 的形状为A ．正三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 【答案】C【解析】【分析】根据题目,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos b c A =⋅可知，利用边化角的方法，将式子化为sin sin cos B C A =，利用三角形的性质将sin B 化为sin()A C +，化简得cos 0C =，推出90C ∠=︒，从而得出ABC 的形状为直角三角形．【详解】由题意知，cos b c A =⋅∴由正弦定理得sin sin cos B C A =又()B A C∴sin()sin cos A C C A +=展开得，sin cos sin cos sin cos A C C A C A +=∴sin cos 0A C = 又角A ，B ，C 是三角形的内角sin 0cos 0A C ∴>∴=又0<C<π2C π∴=综上所述，ABC 的形状为直角三角形，故答案选C ．【点睛】本题主要考查了解三角形的相关问题，主要根据正余弦定理，利用边化角或角化边，若转化成角时，要注意A B C π++=的应用．二、填空题：本题共4小题13．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是 ． 【答案】12【解析】试题分析：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表共有246C =种基本事件，甲被选中包含133C =种，基本事件，因此甲被选中的概率是31=.62考点：古典概型概率 14．某产品发传单的费用x 与销售额y 的统计数据如表所示：根据表可得回归方程ˆ9ˆyx a =+，根据此模型预报若要使销售额不少于75万元，则发传单的费用至少为_________万元．【答案】1．【解析】【分析】计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到ˆa，进而构造不等式，可得答案．【详解】由已知可得：3x =，30y =，代入ˆ9ˆyx a =+，得ˆ3a =， 令7ˆ935yx =+≥ 解得：8x ≥，故答案为：1．【点睛】本题考查的知识点是线性回归方程，难度不大，属于基础题．在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.15．已知函数()()2log 41x f x mx =++，当0m =时，关于x 的不等式()3log 1f x <的解集为__________． 【答案】()0,1【解析】【分析】首先应用条件将函数解析式化简，通过解析式的形式确定函数的单调性，解出函数值1所对应的自变量，从而将不等式转化为()()3log 0f x f <，进一步转化为3log 0x <，求解即可，要注意对数式中真数的条件即可得结果.【详解】当0m =时，()()2log 41x f x =+是R 上的增函数，且()()20log 111f =+=，所以()3log 1f x <可以转化为()()3log 0f x f <，结合函数的单调性，可以将不等式转化为3log 0x <，解得01x <<，从而得答案为()0,1.故答案为()0,1【点睛】解决该题的关键是将不等式转化，得到x 所满足的不等式，从而求得结果，挖掘题中的条件就显得尤为重要.16．已知随机变量X 的分布列为P(X=i)=i 2a (i =1,2,3),则P(X=2)=_____. 【答案】13【解析】分析：根据所给的随机变量的分布列，写出各个变量对应的概率，根据分布列中各个概率之和是1，把所有的概率表示出来相加等于1，得到关于a 的方程，解方程求得a 的值，最后求出P （X=2）． 详解：∵P （X=i ）=i 2a(i =1,2,3)， 1231222a a a∴++= 612a∴= ∴a=3，∴P （X=2）=2163=.故答案选：C ．点睛：（1）本题主要考查分布列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 分布列的两个性质： ①P i ≥0，i ＝1，2，...；②P 1+P 2+ (1)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=45．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．46．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．38．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是．16．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：===i，则，解得：a=1．故选：C．3．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出直角坐标．【解答】解：点M的极坐标（4，）化成直角坐标为，即．故选：B．4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换．【分析】把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．【解答】解：由得，代入直线x﹣2y=2得，即2x′﹣y′=4．故选B．5．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．4【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用积分的几何意义即可得到结论．【解答】解：由题意，S===4﹣=，故选：C．6．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为故选：C．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据集合关系进行判断．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，故①正确，②由|x|＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；故②正确，③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，当a=0时，B=∅，也满足B⊆A，当a≠0时，B={}，由=1，得a=1，则实数a的所有可能取值构成的集合为{0，1}．故③错误，故正确的是①②，故选：C8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε=3）=（）2×（）；故选C．9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数，由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解答】解：∵在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，基本事件总数n==120，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===．故选：C．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率，令f′（x）=2有解；利用有解问题即求函数的值域问题，求出值域即a的范围．【解答】解：f′（x）=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2＞2∴a＞2故选C11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，一方面0＜1+ln（x2﹣m）≤，．利用lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．可得1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，可得m≥x﹣e x﹣e，利用导数求其最大值即可得出．【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为0.3．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P （X＜0）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2∵P（X＞4）=0.3，∴P（X＜0）=P（X＞4）=0.3．故答案为：0.3．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（1）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣alnx，x＞0，∴f′（x）=2x﹣=，若函数f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=2﹣a=0，解得：a=2，经检验，a=2符合题意，故答案为：2．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是46．【考点】归纳推理．【分析】由三角形阵可知，上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，利用累加法可求．【解答】解：设第一行的第二个数为a 1=1，由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，即a 2﹣a 1=1，a 3﹣a 2=2，a 4﹣a 3=3，…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2，a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+3+2+1+1 =+1=，∴a 10==46．故答案为：46．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线1与曲线y=x 2（x ＞0）和y=x 3（x ＞0）均相切，切点分别为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x 2，得y ′=2x ，切线方程为y ﹣x 12=2x 1（x ﹣x 1），即y=2x 1x ﹣x 12， 由y=x 3，得y ′=3x 2，切线方程为y ﹣x 23=3x 22（x ﹣x 2），即y=3x 22x ﹣2x 23， ∴2x 1=3x 22，x 12=2x 23， 两式相除，可得=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（φ为参数），直线l 过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦|AB |的长． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）圆C 的参数方程为（φ为参数），利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程．由题意可得：直线l 的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得：圆C的普通方程为x2+y2=4．由题意可得：直线l的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离，∴|AB|=2=2．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（Ⅱ）把代入椭圆方程中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：l：x﹣y+1=0．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，可得直角坐标方程：x2+y2+y2=2，即．（Ⅱ）把代入中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴，由t得几何意义可知，．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲，乙为正品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：，元件乙为正品的概率约为：．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，，，，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P所以：．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为在区间[1，4]上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，当a=1时，f（x）=x3﹣x2+6x，f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（Ⅱ）即在区间[1，4]上恒成立，令，故当时，g（x）单调递减，当时，g（x）单调递增，时，∴，即．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X 0 1 2 3P．…22．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；（2）问题可化为，设，求出函数的导数，问题等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】解：（1）∵在[1，2]上是增函数，∴恒成立，…所以a≤x2…只需a≤（x2）min=1…（2）因为﹣2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，…不妨设1≤x1≤x2≤2，则，可化为，设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为[1，2]上的减函数，即在[1，2]上恒成立，等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，…设g（x）=x3﹣ax，所以m≥g（x）max，因﹣2≤a＜0，所以g'（x）=3x2﹣a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，所以g（x）max=g（2）=8﹣2a≤12（当且仅当a=﹣2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…2016年10月17日。

北京市朝阳区2019-2020学年 高二下学期期末质量检测试题（考试时间120分钟满分150分） 第一部分（选择题共50分）一、选择题共10题，每题5分，共50分，在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）若随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E(X)是 （A ）14（B ）21（C ）1 （D ）32（2）某物体作直线运动，位移y （单位：m ）与时间t （（单位：s ）满足关系式221y t =+,那么该物体在t=3s 时的瞬时速度是（A ）2m/s （B ）4m/s （C ）7m/s （D ）12m/s(3)曲线()ln f x x =在点(1，0)处的切线方程为(A)x-y-1=0 (B)x-y+1=0( C )10( D )10x y x y +-=++=（4）61()x x+的二项展开式中的带数项为（A ）1 （B ）6 （C ）15 （D ）20（5）从3名男生和4名女生中各选2人组成一队参加数学建模比赛，则不同的选法种数是（A ）12 （B ） 18 （C ）35 （D ）36（6）某射手每次射击击中目标的概率都是45，则这名射手在3次射击中恰有2次击中目标的概率为12163248()()()()125125125125A B C D （7）曲线()xf x e =-上任意一点P 处的切线斜率的取值范围是(A) (, (B) () (C) ( (D) [)-∞+∞-∞+∞（8）一般地，一个程序模块由许多子模块组成，一个程序模块从开始到结束的路线称为该程序模块的执行路径．如图是一个计算机程序模块，则该程序模块的不同的执行路径的条数是（A ）6 （B ）14 （C ）49 （D ）84(9)函数2()(2)xf x x x e =-的图象大致是(10)已知函数()ln ,()1f x x g x ax ==+,若存在01x e≥使得00()()f x g x =-，则实数a 的取值范围是222211(A) [2,] (B) [,2]11(C) [,] (D) [,2]2e e e e e e e e ---第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6题，每题5分，共30分．（11）已知函数()sin f x x =的导函数为()f x '，则()2f π'= ________(12)若随机变量1~(3,)4X B .则X 的数学期望E(X)是________（13）从某校高一年级所有学生中随机选取100名学生，将他们参加知识竞赛的成绩的数据绘制成频率分布直方图，如图所示．从成绩在[70,80),[80,90]两组内的学生中，用分层抽样的方法选取了6人参加一项活动，若从这6人中随机选取两人担任正副队长，则这两人来自同一组的概率为________（14）在5(21)x +的二项展开式中，二项式系数之和为________;所有项的系数之和为________（15）某商场举行促销活动，凡购买一定价值的商品便可以获得两次抽奖机会第一次抽奖中奖的概率是0.5，第二次抽奖中奖的概率是0.3，两次抽奖是否中奖互不影响，那么两次抽奖中至少有一次中奖的概率是________（16）设定义在R 上的连续函数f （x ）的导函数为()f x '，已知函数()y x f x '=⋅的图象（如图）与x 轴的交点分别为（-2,0），（0,0），（2,0），给出下列四个命题：①函数f(x)的单调递增区间是(2,0),(2,)-+∞; ②函数f(x)的单调递增区间是(,2),(2,)-∞-+∞; ③x=-2是函数f （x ）的极小值点； ④x=2是函数f （x ）的极小值点. 其中，正确命题的序号是________注：本题给出的命题中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分．三、解答题共4题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）（本小题18分）新生婴儿性别比是指在某段时间内新生儿中男婴人数与女婴人数的比值的100倍.下表是通过抽样调查得到的某地区2014年到2018年的年新生婴儿性别比.（Ⅰ）根据样本数据，估计从该地区2015年的新生儿中随机选取1人为女婴的概率(精确到0.01)；（Ⅱ）从2014年到2018年这五年中，随机选取两年，用X表示该地区的新生婴儿性别比高于107的年数，求x的分布列和数学期望：（Ⅲ）根据样本数据，你认为能否否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断？并说明理由．（18）（本小题18分已知函数322()2,f x x ax a x a a R =-++∈（Ⅰ）若a=0，求证：当[1,)x ∈+∞时，()f x x ≥恒成立； （Ⅱ）当a=1时，求f （x ）在区间[0，2]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若函数f （x ）存在极大值和极小值，且极大值和极小值的差不超过4，求a 的取值范围.(19)(本小题18分)已知函数1()ln ,f x a x a R x=+∈ (Ⅰ)当a ＝1时，求曲线f (x )在点(1，f (1) )处的切线方程； (Ⅱ)求函数f (x )的极值；(Ⅲ)若y ＝f (x )在x ＝1时取得极值，设1()()g x f x x=-，当120x x <<时，试比较21()()2g x g x -与2121x x x x -+的大小，并说明理由．(20) (本小题16分)已知集合12{,,,}n S a a a =中的元素都是正整数，对任意,i j a a S ∈，定义11(,)||i j i jd a a a a =-．若存在正整数k ，使得对任意,()i j i j a a S a a ∈≠，都有d 21(,)i j d a a k ≥，则称集合S 具有性质F k ．记d （S ）是集合{(,)|,}i j i j d a a a a S ∈中的最大值．（Ⅰ）判断集合{1,2,3,4}A =和集合{6,8,12,16}B =是否具有性质F 4，直接写出结论；（Ⅱ）若集合S 具有性质F k ，求证： （i ）21()n d S k-≥； （ii ）n ≤2k —1．参考答案一、选择题：（本题满分50分）二、填空题：（本题满分30分） 三、解答题：（本题满分70分） 17．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）设“从该地区2015年的新生儿中随机选取1人为女婴”为事件A ， ………2分则100()100108.0P A =+ ……………………………………4分1000.48208=≈． ……………………………………6分 （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2． ……………………………………7分23253(0)10C P X C ===，1132256(1)10C C P X C ===，22251(2)10C P X C ===， ……………………………………10分所以X 的分布列为……………………………………12分所以X 的数学期望3614()0121010105E X =⨯+⨯+⨯=． …………………14分 （Ⅲ）答案一：可以否定．从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于0.5，由样本估计总体，所以可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断．答案二：不能否定．尽管从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于0.5，但由于抽样调查本身存在一定的随机性，且从数据上看，男女婴在新生儿中的比例都近似于0.5，所以不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断．答案三：无法判断．由于样本容量未知，如果样本容量较小，那么通过样本数据不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断，如果样本容量足够大，那么根据样本数据，可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断．…………………… 18分（注：1．其余答案，酌情给分．2．如果学生直接从生物学的角度，或者生活常识等角度说明，应适当扣分，没有体现用样本估计总体．）18．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）证明：当0a =时，3()f x x =． …………………………………1分设3()g x x x =-，则2()31g x x '=-． …………………………………3分因为[1,)x ∈+∞，所以()0g x '>．所以()g x 在[1,)+∞上单调递增，所以()(1)0g x g ≥=． …………………5分 所以当[1,)x ∈+∞时，()f x x ≥恒成立． …………………………………6分 （Ⅱ）当1a =时，32()21f x x x x =-++．所以2()341(31)(1)f x x x x x '=-+=--． ………………………………7分 令()(31)(1)0f x x x '=--=得13x =或1x =． …………………………8分 当x 在[0,2]上变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：…………………………10分所以，当[0,2]x ∈时，函数()f x 的最大值为(2)3f =，……………………11分 函数()f x 的最小值为(0)(1)1f f ==． …………………………………12分（Ⅲ）因为322()2f x x ax a x a =-++，所以22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--． 令()(3)()0f x x a x a '=--=得3ax =或x a =．……………………………13分 依题意，函数()f x 存在极大值和极小值，所以0a ≠． （ⅰ）当0a >时，aa >．当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以函数()f x 的极大值为34()327a a f a =+，极小值为()f a a =． 依题意有34()()4327a a f f a a a -=+-≤，所以3a ≤． 所以(0,3]a ∈． …………………………………15分 （ⅱ）当0a <时，aa <．当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以函数()f x 的极大值为()f a a =，极小值为34()327a a f a =+．依题意有34()()()4327a a f a f a a -=-+≤，所以3a ≥-． 所以[3,0)a ∈-． …………………………………17分 综上所述，[3,0)(0,3]a ∈-． …………………………………18分19．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）当1a =时，()1()ln 0f x x x x=+>，(1)1f =，……………………………2分 22111()x f x x x x-'=-=，(1)0f '=， ……………………………4分 所以曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为1y =．…………………………6分 （Ⅱ）由1()ln f x a x x =+()0x >，得2211()a ax f x x x x -'=-=()0x >．………8分 ① 若0a >，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．…10分 所以，当1x a=时，()f x 有极小值1ln f a a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 无极大值； ………11分② 若0a =，当(0,)x ∈+∞时，21()0f x x'=-<恒成立， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 无极值． ………12分 ③ 若0a <，当(0,)x ∈+∞时，21()0ax f x x-'=<恒成立， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 无极值． ………13分 综上，当0a >时，()f x 有极小值1ln f a a a a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()f x 无极大值； 当0a ≤时，()f x 无极值． …………………………………………14分（Ⅲ）由21()a f x x x'=-，(1)0f '=，所以1a =． 由1()()ln g x f x x x=-=，所以21()()2g x g x --2121x x x x -+2212121221111ln ln 1ln 221x x x x x x x x x x x x ---=-=-++． 又120x x <<，所以211x x >． 构造函数11()ln 21x x x x ϕ-=-+， ………………………………16分 则222211(1)12(1)()2(1)2(1)2(1)x x x x x x x x x x ϕ+---'=-=-=+++． 当1x >时，22(1)()02(1)x x x x ϕ-'=>+恒成立，所以()x ϕ在(1,)+∞上单调递增， 所以当1x >时，()(1)0x ϕϕ>=，即11ln 21x x x ->+， …………………17分 所以22121111ln 21x xx x x x ->+成立，所以212121ln ln 2x x x x x x -->+，即212121()()2g x g x x x x x -->+．…………………18分20．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）集合{1,2,3,4}A =具有性质4F ， ……………………………………2分集合{6,8,12,16}B =不具有性质4F ． ……………………………………4分（Ⅱ）证明：不妨设12n a a a <<<． ……………………………………5分（i ）由120n a a a <<<<得12111na a a >>>． 对任意1i j n ≤≤≤，有11(,)(,)i j j i i jd a a d a a a a ==-，………………………6分 因为1111111111()()()0n i j i j na a a a a a a a ---=-+-≥，所以11111n i ja a a a -≥-． 所以对任意1i j n ≤≤≤，都有1(,)(,)n i j d a a d a a ≥，所以111()nd S a a =-． ………………………8分又因为11223111111111n n na a a a a a a a --=-+-++- 1223121(,)(,)(,)n n n d a a d a a d a a k --=+++≥， 所以21()n d S k -≥． ……………………………………………10分 （ii ）由（i ）可知，对任意1,2,,1i n =-，都有21112(,)(,)(,)(,)i i i n n n i i n i d a a d a a d a a d a a k -+++-=+++≥， 所以211i n n i a a k --≥，所以21i n ia k->． ……………12分 因为对任意1,2,,1i n =-，i a i ≥，所以11i a i ≤，所以21n i i k->， 即2()i n i k -<，1,2,,1i n =-． ……………14分若2n k ≥，则当i k =时，2()()(2)i n i k n k k k k k -=-≥-=，矛盾．所以2n k <． 又因为n 是正整数，所以21n k ≤-． …………………………16分。