2022-2023学年北京市朝阳区高二上学期期末练习数学试题一、单选题1．若向量()1,1,0a =，()1,0,2b =-，则a b +=（ ）A B ．4 C ．5 D 【答案】A【分析】由空间向量坐标的加减运算，和模长公式计算即可. 【详解】由题意，得()0,1,2a b +=，201a b ∴+=+=故选：A.2．已知点1,0A ，直线l ：30x y -+=，则点A 到直线l 的距离为（ ）A ．1B ．2CD ．【答案】D【分析】利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】已知点(1,0)A ，直线:30l x y -+=，则点A 到直线l =故选：D .3．若直线y x m =+是圆2220x y y =++的一条对称轴，则m 的值为（ ） A ．12-B ．1-C ．2D ．1【答案】B【分析】依据题给条件列出关于m 的方程，解之即可求得m 的值 【详解】圆2220x y y =++的圆心坐标为()0,1-， 又直线y x m =+是圆2220x y y =++的一条对称轴， 则圆心()0,1-在直线y x m =+上，则10m -=+，则1m =- 故选：B4．已知椭圆()222104x y b b+=>的离心率为12，则b =（ ）AB C ．2 D ．3【答案】B【分析】由2222a b e a -=即可求解.【详解】椭圆的离心率满足222222224142c a b b e a a ，即可解得30b b .故选：B5．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，若11AA =，2AB AC ==，112B C =，则异面直线1A C 与11B C 所成的角的余弦值为（ ）A ．12B ．36C ．33D ．328【答案】C【分析】因为11B C ∥BC ，所以1A CB ∠或其补角为异面直线1A C 与11B C 所成的角，连接1A B ，根据余弦定理即可求得答案．【详解】如图，连接1A B ，则2211(2)3A B =+2211(2)3AC +2BC =， 因为11B C ∥BC ，所以1A CB ∠或其补角为异面直线1A C 与11B C 所成的角，22211113c 23os 22AC BC A B ACB AC BC ∠+-===⋅⨯⨯则异面直线1A C 与11B C 所成的角的余弦值为33. 故选：C ．6．已知抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在抛物线上，PQ l ⊥于点Q ．若PQF △是锐角三角形，则点P 的横坐标的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,+∞C ．()0,2D ．()2,+∞【答案】D【分析】在x 轴上取点()4,0A ，推导出AFP ∠为锐角，设点(),P x y ，可得出0FA FP ⋅>，可求得x 的范围.【详解】如图所示：在x 轴上取点()4,0A ，由抛物线的定义可得PQ PF =，则PFQ PQF ∠=∠， 由于PQF △为锐角三角形，则FPQ ∠为锐角，由已知可得PQ x ∥轴，所以AFP FPQ ∠=∠，则AFP ∠为锐角， 焦点()2,0F ，设点(),P x y ，则()2,0FA =，()2,FP x y =-， 则2(2)0FA FP x ⋅=->，解得2x >， 因此，点P 的横坐标的取值范围是()2,+∞. 故选：D.7．设直线1l 的方向向量为()1,u a →=，2l 的法向量为()1,2v a →=-，则“2a =”是“12l l ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】因为12l l ⊥，所以2a =或1a =-，再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】解：因为12l l ⊥，所以21()1,20,(2)(1)02a a a a a a -⨯-=-∴--=∴-+=， 所以2a =或1a =-.当2a =时，12l l ⊥成立，所以“2a =”是“12l l ⊥”的充分条件； 当12l l ⊥时，2a =不一定成立，所以“2a =”是“12l l ⊥”的非必要条件. 所以“2a =”是“12l l ⊥”的充分不必要条件. 故选：A8．设A 是圆()22:19C x y ++=上的动点，PA 是圆的切线，且4PA =，则点P 到点()8,0Q 距离的最小值为（ ） A ．15 B ．6 C ．5 D ．4【答案】D【分析】本题首先可根据题意得出5PC =，则点P 的轨迹方程为()22125x y ++=，然后用圆心到点()8,0Q 的距离减去半径即可得出结果.【详解】解：由圆的方程()2219x y ++=，易知圆心()1,0C -，半径为3，因为PA 是圆的切线，且4PA =， 所以222325PC PA =+=，5PC =， 所以，点P 的轨迹方程为()22125x y ++=，点P 到点()8,0Q 54=，故选：D.9．古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为64的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD 的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为()222210x y a b a b +=>>，下列选项中满足题意的方程为（ ） A ．2216416x y +=B ．221644x y +=C ．22125616x y +=D ．2216432x y +=【答案】B【分析】由题意可得到对于椭圆有16ab =成立，由此一一验证各选项是否满足，即得答案.【详解】∵用面积为64的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD 的四边相切， ∴464ab = ，即16ab =，对于A ，2216416x y +=,8,4a b == ，不满足16ab =，故A 错误； 对于B ，221644x y +=，8,2a b ==，满足0,16a b ab >>= ，故B 正确；对于C ，22125616x y +=，16,4a b == ，不满足16ab =，故C 错误；对于D ，2216432x y +=，8,a b ==不满足16ab =，故D 错误． 故选：B ．10．在等比数列{}n a 中，19a =-，51a =-记13521n n T a a a a -=⋯（1n =，2，…）.则数列{}n T （ ） A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项【答案】A【分析】根据题意易求得等比数列{}n a 的公比q ，设数列{}n b 为等比数列{}n a 的奇数项13521,,,,n a a a a -⋯（1n =，2，…），则数列{}n b 是以1a 为首项，2q 为公比的等比数列，再分奇偶讨论数列{}n T 的项，即可得出结论.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ， 则45119a q a ==，所以213q =， 设数列{}n b 为等比数列{}n a 的奇数项13521,,,,n a a a a -⋯（1n =，2，…）， 则数列{}n b 是以9-为首项，13为公比的等比数列，则1311933n n n b --⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以21323151n n n T b b a a a b b a -⋯==，当4n ≥时，1n b <，当13n ≤≤时，1n b ≥， 当n 为奇数时，0n T <，因为31b =-， 所以327n T T ≥=-，当n 为偶数时，0n T >，因为31b =-，所以227n T T ≤=，综上所述，数列{}n T 有最大项227T =和最小项327T =-. 故选：A.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11BCC B 内，且不在棱上，则（ ）A ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥B ．在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥C ．在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC D ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC 【答案】B【分析】对于A ，通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断A;对于B ，找到特殊点，说明在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥，判断B;利用面面平行的性质推出矛盾，判断C;利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断D.【详解】A 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥，作,PE BC QF CD ⊥⊥ ,垂足分别为,E F ,连接,E F ，则PEFQ 为矩形，且EF 与AC 相交， 故PQ EF ∥,由于PQ AC ∥，则AC EF ∥，这与,AC EF 相交矛盾，故A 错误； B 、假设P 为正方形11BCC B 的中心，Q 为正方形11DCC D 的中心，作,PH BC QG CD ⊥⊥ ,垂足分别为,H G ,连接,H G ，则PHGQ 为矩形， 则PQ HG ∥ ,且,H G 为,BC CD 的中点，连接,GH BD ,则GH BD ∥,因为AC BD ⊥ ，所以GH AC ⊥,即PQ AC ⊥，故B 正确； C 、在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC ，由于平面ABC ⋂平面11DCC D CD =,平面1PQC 平面111DCC D C Q =,故1CD C Q ∥ ,而11C D CD ∥ ,则Q 在11C D 上，这与题意矛盾，C 错误； D 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC ， 1C Q ⊂平面1PQC ,则1AC C Q ⊥,又1CC ⊥平面,ABCD AC 平面ABCD ，故1C C AC ⊥ ,而11111,C C C Q C C C C Q =⊂，平面11DCC D ，故AC ⊥平面11DCC D ， 由于AD ⊥平面11DCC D ,故,C D 重合，与题意不符，故D 错误， 故选∶B12．已知1F ，2F 分别椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点，P 为椭圆上一点，满足21π2PF F ∠=，线段1PF 交y 轴于点Q ，若22QF c =，则椭圆的离心率是（ ） A ．12 B ．22C 12+D 21【答案】D【分析】由题意得2PF 垂直于x 轴，2OQ PF ∥，Q 为1PF 的中点，利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，结合椭圆的方程可得22||b PF a=，由勾股定理和离心率公式，计算可得答案．【详解】由题意可得2PF 垂直于x 轴，2OQ PF ∥，因为O 为12F F 的中点，则Q 为1PF 的中点，可得12||2||22PF QF c ==， 由x c =可得22221c y a b +=，则2221c b y b a a=±-=±，即有22||b PF a =，在直角三角形12PF F 中，可得2221212||||||PF PF F F =+，即有422284b c c a=+，可得22b ac =，即2220c ac a +-=，由ce a=可得，2210e e +-=，解得21e =-或21e =--(舍去)， 故选：D.13．一些二次曲面常常用于现代建筑的设计中，常用的二次曲面有球面、椭球面、单叶双曲面和双曲抛物面、比如，中心在原点的椭球面的方程为()22222210,0,0x y z a b c a b c++=>>>，中国国家大剧院就用到了椭球面的形状（如图1），若某建筑准备采用半椭球面设计（如图2），半椭球面方程为()2221022x y z z ++=≥，该建筑设计图纸的比例（长度比）为1：50（单位：m ），则该建筑的占地面积为（ ）A ．2100m πB ．25000m πC ．28000m πD ．210000m π【答案】B【分析】令0z =，得到xOy 平面上的曲线方程为222x y +=，为一个圆，求出面积即可求解. 【详解】解析：求占地面积即求半椭球面的底面积， 所以，到xOy 平面上的曲线方程为222x y +=，为一个圆， 2的圆，因为该建筑设计图纸的比例（长度比）为1：50（单位：m ）50=所以，建筑的占地面积为(25000ππ⨯=平方米.故选：B二、填空题14．已知3,,32a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,,2b y =-，若a 与b 共线，则x y -=_________.【答案】52-＃＃ 2.5-【分析】由向量共线的坐标表示得出x y -的值.【详解】解：因为a 与b 共线，所以a b λ=，即3232x y λλλ=-⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩,解得32x =-，1y =，则52x y -=-.故答案为：52-．15．在公差为d 的等差数列{}n a 中，1053S S =，则1a d等于_________. 【答案】3【分析】根据等差数列求和公式即可求解. 【详解】由1053S S =得111109541035322a d a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+⇒= ⎪⎝⎭，所以13a =d ． 故答案为：3．16．设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足.若直线AF 的斜率为PF =__________. 【答案】4【分析】设准线与x 轴焦点为B ,可得B 的坐标为(1,0)-，2BF =, 由直线AF斜率为60AFB ︒∠=，结合抛物线的定义,可得PAF △是等边三角形，即可得答案. 【详解】如图由抛物线方程为24y x =，可得其焦点为(1,0)F ，准线方程为=1x -， 设准线与x 轴焦点为B ,则B 的坐标为(1,0)-， 2BF = 由直线AF 斜率为3-60AFB ︒∠=，可得4cos 60BF AF ︒==，因为AP x ∥轴，所以60PAF AFB ︒∠=∠=,又由抛物线的定义有PA PF =, 所以PAF △是等边三角形，故4PA PF ==， 故答案为：4.17．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C ：()2222220x y x y x y +=++≠就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C 关于坐标轴和直线y x =±均对称；②曲线C 恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③曲线C 围成的图形的面积是44π+； ④曲线C 上的任意两点间的距离不超过4；⑤若(),P m n 是曲线C 上任意一点，则6m n +-的最小值是2. 其中正确的结论序号是_________. 【答案】①⑤【分析】对绝对值里面的,x y 进行分类讨论，去掉绝对值，从而可作出曲线C . 根据曲线C 2①；曲线C 恰好经过8个整点()()()()()()()()2,0,2,0,0,2,0,2,2,2,2,2,2,2,2,2------即可判断②； 曲线C 所围成的面积为四个半圆的面积与边长为22③； 由图可知，曲线C 上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即可判断④； 因为(,)P m n 到直线60x y +-=的距离为62m n d +-=，所以62m n d +-，转化为圆上的点到直线的距离最小的问题，求解即可判断⑤.【详解】由于222||2||+=+x y x y ，则当0,0x y ≥≥时，曲线C 的方程可化为2222x y x y +=+，化简得2(1)x -+2(1)2y -=，表示圆心为(1,1)，半径为2的半圆；当0,0x y ≥<时，曲线C 的方程可化为2222x y x y +=-，化简得2(1)(x y -+21)2+=，表示圆心为(1,1)-，半径为2的半圆；当0,0x y <≥时，曲线C 的方程可化为2222x y x y +=-+，化简得2(1)x ++2(1)2y -=，表示圆心为(1,1)-，半径为2的半圆；当0,0x y <<时，曲线C 的方程可化为2222x y x y +=--，化简得2(1)x ++2(1)2y +=，表示圆心为(1,1)--，半径为2的半圆．作出曲线22:2||2||C x y x y +=+如图所示：曲线C 是四个半径为2的半圆围成的图形，由图易知曲线C 关于坐标轴和直线y x =±均对称，故①正确；曲线C 恰好经过8个整点()()()()()()()()2,0,2,0,0,2,0,2,2,2,2,2,2,2,2,2------，故②错误； 曲线C 所围成的面积为四个半圆的面积与边长为22从而曲线C 所围成图形的面积为2214π(2)(22)84π2⨯⨯+=+，故③错误；由图可知，曲线C 上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即222242+④错误；因为(,)P m n 到直线60x y +-=的距离为2266211m n m n d +-+-+62m n d +-=，当d 最小时，易知(,)P m n 在曲线C 的第一象限内的图象上，因为曲线C 的第一象限内的图象是圆心为(1,1)，半径为2r =圆心(1,1)到60x y +-=的距离1d ==从而min 1d d r =-=min 62m n +-=，故⑤正确. 故答案为：①⑤．18．已知等比数列{}n a 的公比12q =，且267a a =，则使1212111n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅成立的正整数n的最大值为___________. 【答案】8【分析】根据等比数列通项代入等式化简得116a =，再分别求出数列{}n a 和1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和，代入不等式即可求出n 的范围，则得到其最大值. 【详解】解：因为等比数列{}n a 的公比12q =，且267a a =， 所以()61152a q a q =，整理得:4111116a q a ==，解得116a =， 因为{}n a 为等比数列，所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11a 为首项，公比为1q 的等比数列，所以原不等式等价为:()111111111nna q a q q q⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦>--①， 因为12q =，116a = 所以，将其代入①式整理得:9232162n <⨯=，解得9n <， 由n *∈N ，所以正整数n 的最大值为8， 故答案为：819．P 为抛物线22y x =上一动点，当点P 到直线440x y --=的距离最短时，P 点的坐标是___________. 【答案】(1,2)【分析】设200(,2)P x x ，求出P 到直线l 距离，结合绝对值变形后配方可得最小值．【详解】设200(,2)P x x ，则点200(,2)P x x 到直线440x y --=的距离为()2012d x =-+， 当01x =，即当(1,2)P 时，抛物线22y x = 上一点到直线440x y --==. 故答案为：(1,2)．20．设等比数列{}n a 满足1212a a +=，1312a a -=-，记m b 为{}n a 在区间(]()*0,N m m ∈中的项的个数，则数列{}m b 的前50项和50S =___________. 【答案】144【分析】根据已知条件求出等比数列{}n a 的首项和公比，得出12n n a +=，讨论当13m ≤≤时和+1222n n m +≤<时m b 值，代入计算即可得出结果.【详解】由题意得，1212131(1)12(1)12a a a q a a a q +=+=⎧⎨-=-=-⎩，所以解得14a =，2q =， 所以{}n a 是首项为4，公比为2的等比数列，所以12n n a +=，因为m b 为{}n a 在区间(]()*0,N m m ∈中的项的个数所以当13m ≤≤时，0m b =；当+1222n n m +≤<时，m b n =， 所以()5012345678915161731323350()()()()S b b b b b b b b b b b b b b b b =++++++++++++++++++，即23450031222324(5031)144S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=. 故答案为: 144三、双空题21．已知直线l ：0x y m ++=是双曲线C ：22221x y a b-=的一条渐近线，则m =___________；双曲线C 的离心率为___________.【答案】 0【分析】根据双曲线的渐近线过原点，即可求得m 的值，由题意可得,a b 的关系，即可求得离心率. 【详解】由题意可知双曲线C ：22221,0,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =± ，过原点，由于直线l ：0x y m ++=是双曲线C ：22221x y a b-=的一条渐近线，故0,1bm a=-=-，即a b =，故c所以离心率为ce a=. 故答案为：0四、解答题22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n n S S a +=++，__________.请在①471a a +=；②1a ，3a ，4a 成等比数列；③105S =，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求n S 的最小值. 【答案】(1)5n - (2)414【分析】（1）选①由等差数列性质列方程求1a ；选②由等比中项性质列方程求1a ；选③由求和公式列方程求1a . 最后由公式法写出通项公式； （2）由公式法写出n S ，讨论函数最小值即可.【详解】（1）由11n n n S S a +=++得111n n n n n a a S S a ++-=--=，故数列{}n a 为首项为1a ，公差1d =的等差数列，选①，471291a a a d +=+=，解得14a =-； 选②，1a ，3a ，4a 成等比数列，则2143a a a ，即211132a a a ，解得14a =-；选③，()111091052a a S ++==，解得14a =-.综上，故()4115n a n n =-+-⨯=-. （2）由（1）得5n a n =-，2299452222nn n n S ，*n ∈N ，故n S 的最小值为45414S S ==. 23．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，2AB AC ==，14AA =，AB AC ⊥，1BE AB ⊥交1AA 于点E ，D 为1CC 的中点.(1)求证：BE ⊥平面1AB C ；(2)求直线BD 与平面1AB C 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； 15【分析】（1）先证明AC BE ⊥，再根据线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，确定平面1AB C 的法向量，根据空间角的向量求法可得答案.【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C 中，1AA ⊥平面ABC ， 因为AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥ ．因为AB AC ⊥ ，1AB AA A ⋂= ，1,AB AA ⊂平面11ABB A , 所以AC ⊥ 平面11ABB A ，因为BE ⊂平面11ABB A ， 所以AC BE ⊥ ．又因为11BE AB AC AB A ⊥=， ，1,AC AB ⊂平面1AB C ，所以BE ⊥平面1AB C .（2）由（1）知知1,,AB AC AA 两两垂直，则以点A 为原点，1,,AB AC AA 的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()1,(),0,0,02,0,40,,2,200),(2,A B D B ， 设()0,0,E a ,1(2,0,4)AB =,(2,0,)BE a =- ， 因为1AB BE ⊥ ，∴440,1a a -+=∴= ， 故(2,0,1)BE =-,由（1）知BE ⊥平面1AB C故平面1AB C 的一个法向量为(2,0,1)BE =- ，(2,2,2)BD =-,设直线BD 与平面1AB C 所成角为π,[0,]2θθ∈，则|15sin |cos ,||||52||3BD BD BD BE BE BE θ⋅=〈〉==⋅⨯24．已知椭圆E 的焦点在x 331,⎛ ⎝⎭.(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l ：2y kx =-与椭圆E 相交于,A B 两点，且原点O 在以AB 为直径的圆上，求直线l 斜率k 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)2k =±【分析】（1）依题意设出椭圆E 的方程，根据离心率的值以及椭圆经过的点，待定系数法求出椭圆的方程；（2）把直线的方程代入椭圆的方程，使用根与系数的关系，再由原点O 在以AB 为直径的圆上，利用OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=，解方程求出k 的值，并检验判别式是否大于0． 【详解】（1）解：依题意，可设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，c a =a ∴=，又222213b a c c =-=，椭圆经过点，则有221314a b +=，,即得2239144c c +=,解得c =2a =，1b =， ∴椭圆的方程为2214x y +=． （2）解：记A 、B 两点坐标分别为1(A x ,2)x ，B 2(x ,2)y ，由22244y kx x y =-⎧⎨+=⎩消去y ，得22(41)16120k x kx +-+=， 直线与椭圆有两个交点，∴22(16)4(41)120k k ∆=-+⨯>，即234k >， 由韦达定理1221641kx x k +=+，1221241x x k =+， 原点O 在以AB 为直径的圆上， OA OB ∴⊥，即0OA OB ⋅=，又1(OA x =,1)y ，2(OB x =,2)y ，∴12121212(2)(2)OA OB x x y y x x kx kx ⋅=+=+--2212122216(1)2()41(1)24041214kk x x k x x k k k k =+-++=+⋅-⋅+=++． 即得()22(1)122164410k k k k +⨯-⨯++=所以2416k = 2443k ∴=>， 2k ∴=±．25．设有限数列A ：()*12,,,N n a a a n ⋅⋅⋅∈，定义集合{}1i j M a a i j n =+≤<≤为数列A 的伴随集合.(1)已知有限数列P ：-1，0，1，2和数列Q ：1，2，4，8.分别写出P 和Q 的伴随集合；(2)已知有限等比数列A ：()2*4,4,,4N n n ⋅⋅⋅∈，求A 的伴随集合M 中各元素之和S ；(3)已知有限等差数列A ：122022,,,a a a ⋅⋅⋅，判断0，507，11100是否能同时属于A 的伴随集合M ，并说明理由.【答案】(1)数列P 的伴随集合为{}1,0,1,2,3-，数列Q 的伴随集合为{}3,5,6,9,10,12(2)()()14431n n S +--=(3)500,,117100不能同时属于数列A 的伴随集合M ,理由见解析【分析】（1）由数列A 的伴随集合定义可得P ，Q 的伴随集合；（2）先证明(1,1)i j k l a a a a i j n k l n +≠+<<≤≤≤≤，可得求集合M 中各元素之和时， 每个()1i a i n ≤≤均出现n ﹣1次，由等比数列的求和公式，计算可得所求和； （3）假设500,,117100同时属于数列A 的伴随集合M ．设数列A 的公差为d （d ≠0），运 用等差数列的定义和通项公式、性质，推理论证得到矛盾，即可判断．【详解】（1）数列P 的伴随集合为{}1,0,1,2,3-，数列Q 的伴随集合为{}3,5,6,9,10,12． （2）先证明:对任意i k ≠或j l ≠，则(1,1)i j k l a a a a i j n k l n +≠+<<≤≤≤≤． 假设()1,1i j k l a a a a i j n k l n +=+<<≤≤≤≤．当i k =且j l ≠，因为i j l k a a a a +=+，则j l a a =，即22j l =， 所以j l =，与j l ≠矛盾．同理，当i k ≠且j l =时，也不成立．当i k ≠且j l ≠时，不妨设i k <，因为i j l k a a a a +=+，则2222i j k l +=+， 所以1222j i k i l i ---+=+，左边为奇数，右边为偶数，所以1222j i k i l i ---+≠+，综上，对任意i k ≠或j l ≠，则(1,1)i j k l a a a a i j n k l n +≠+<<≤≤≤≤ 所以求集合M 中各元素之和时，每个()1i a i n ≤≤均出现n 1-次， 所以()()21444nS n =-+++ ()()()()()()1414441411141433nn n n n n +---=-=---=（3）假设500,,117100同时属于数列A 的伴随集合M ． 设数列A 的公差为()0d d ≠，则1122330,50,711,100i j i j i j a a a a a a ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩即()()()111122133220,5022,71122,100a i j d a i j d a i j d ⎧⎪++-=⎪⎪++-=⎨⎪⎪++-=⎪⎩①②③②-①得，()()()2211750-=i j i j d ++， ③-①得，()()()3311-=10011i j i j d ++， 两式相除得，()()()()22113311075070=i j i j i j i j +-++-+，因为*112233,,,,,N i j i j i j ∈，所以()()2211-5000i j i j k ++=，()()()3311-77Z,0i j i j k k k ++=∈≠，所以()()2211-5000i j i j ++≥． 又因为11221,,,2022i j i j ≤≤，所以()()()()2211-20222021214040i j i j ++≤+-+=，()()()()2211-12202120224040i j i j ++≥+-+=-，所以()()2211-4040i j i j ++≤，与()()2211-5000i j i j ++≥矛盾， 所以500,,117100不能同时属于数列A 的伴随集合M ．。
