北京市朝阳区2020-2021学年度高二下学期期末质量检测数学试题

北京市朝阳区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.10y -+= 倾斜角的大小是（ ） A. 6π B. 3πC. 23πD. 56π 【答案】B【解析】【分析】把直线方程化成斜截式，根据斜率等于倾斜角的正切求解.10y -+=化成斜截式为1y =+，因为tan k α=，所以3πα=.故选B.【点睛】本题考查直线的斜截式方程和基本性质，属于基础题.2.在ABC △中，a =，4b =，π3A =，则B = （ ） A. π6 B. π3 C. π2 D. 2π3【答案】A【解析】【分析】 根据正弦定理sin sin a bA B =求解. 【详解】由正弦定理可得sin sin a bA B = ，4sin 1sin 2b A B a ∴=== 又434,a b A B =>=∴>6B π∴=.故选A.【点睛】本题考查解三角形，正弦定理余弦定理是常用方法.注意增根的排除，大边对大角是常用排除方法.3.已知直线1:1l y kx =+，2:(2)l y k x =-，若12l l ⊥，则实数k 的值是（ ）A. 0B. 1C. 1-D. 0或1-【答案】B【解析】【分析】根据直线垂直斜率之积为1求解.【详解】因为12l l ⊥，所以(2)1k k -=-，解得1k =.故选B.【点睛】本题考查直线垂直的斜率关系，注意斜率不存在的情况.4.在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别是棱1,AA AB 的中点，则异面直线EF 和1C D 所成角的大小是（ ） A. π6 B. π4 C. π3 D. π2【答案】D【解析】【分析】 平移EF 到1A B ，平移1C D 到1AB ，则1A B 与1AB 所求的角即为所求的角.【详解】如图所示，∵,E F 分别是棱1,AA AB 的中点∴EF ∥1A B又∵1C D ∥1AB ，11AB A B ⊥∴1EF C D ⊥∴EF 和1C D 所成的角为π2. 故选D.【点睛】本题考查异面直线所成的角，常用方法：1、平移直线到相交；2、向量法.5.已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若,l l m α⊥，则m α⊥B. 若,l l αβ，则αβ∥C. 若,l ααβ⊥⊥，则l β∥D. 若,l l αβ⊥⊥，则αβ∥ 【答案】D【解析】【分析】分析条件的特殊情况，结合定理举例推翻错误选项即可.【详解】当直线,l m 是相交且垂直，确定的平面与α平行时，m α，故A 错误；当,αβ相交，直线l 与交线平行时，,l l αβ，故B 错误；当直线l 在面β内，且αβ⊥，直线l 垂直,αβ的交线时，l α⊥，故C 错误；垂直与同一直线的两个平面平行，故D 正确.故选D.【点睛】本题考查空间线面的位置关系，结合定理与举例判断.6.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高数据（单位：厘米）按[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]分组，绘制成频率分布直方图（如图）．从身高在[)120130,，[)130140,，[)140150,三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在[]140,150内的学生中选取的人数应为 （ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】 先求[)120130,，[)130140,，[)140150,三组频率，再求各组频数，最后根据分层抽样总体与各层抽样比例相同求解.【详解】各组频率等于各组矩形的面积，所以，身高在[)120130,，[)130140,，[)140150,的频率分别为0.3，0.2，0.1， 身高在[)120130,，[)130140,，[)140150,的频数分别为30，20，10， 分层抽样的比例为183********=++ . 所以，身高在[]140,150内的学生中选取的人数为310310⨯=. 故选A.【点睛】本题考查频率分布直方图与分层抽样，属于基础题.7.如图，设A ，B 两点在河的两岸，某测量者在A 同侧的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50米，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为（ ）A. 502 米B. 503米C. 252 米D. 5063米 【答案】A【解析】【分析】 先根据三角形内角和求ABC ∠，再根据正弦定理sin sin AB AC ACB ABC=∠∠求解. 【详解】在ABC ∆中50,45,105AC m ACB CAB ︒︒=∠=∠=，则30ABC ︒∠=由正弦定理得sin sin AB AC ACB ABC=∠∠ ， 所以250sin 25021sin 2AC ACB AB ABC⨯∠===∠ m. 故选A.【点睛】本题考查解三角形的实际应用，正弦定理余弦定理是常用方法，注意增根的排除.8.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，F 是棱11A D 上的动点．下列说法正确的是（ ）A. 对任意动点,F 在平面11ADD A 内不存在．．．与平面CBF 平行的直线 B. 对任意动点,F 在平面ABCD 内存在．．与平面CBF 垂直的直线 C. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，二面角F BC A --的大小不变．．D. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变大．．【答案】C【解析】【分析】不论F 是在11A D 任意位置，平面CBF 即平面11A D CB ，再求解.【详解】因为AD 在平面11ADD A 内，且平行平面CBF ，故A 错误；平面CBF 即平面11A D CB ，又平面11A D CB 与平面ABCD 斜相交，所以在平面ABCD 内不存在与平面CBF 垂直的直线，故B 错误；平面CBF 即平面11A D CB ，平面11A D CB 与平面ABCD 是确定平面，所以二面角不改变，故C 正确；平面CBF 即平面11A D CB ，点D 到平面11A D CB 的距离为定值，故D 错误.故选C.【点睛】本题考查空间线面关系，属于综合题.本题的关键在于平面CBF 的确定.9.2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体, 称之为“扭曲棱柱”. 对于空间中的凸多面体, 数学家欧拉发现了它的顶点数, 棱数与面数存在一定的数量关系.根据上表所体现的数量关系可得有12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数是（ ）A. 14B. 16C. 18D. 20 【答案】C【解析】【分析】分析顶点数, 棱数与面数的规律，根据规律求解.【详解】易知同一凸多面体顶点数, 棱数与面数的规律为：棱数＝顶点数＋面数－2，所以，12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数＝12＋8－2＝18.故选C.【点睛】本题考查逻辑推理，从特殊到一般总结出规律.10.已知二次函数22(0)y x x m m =-+≠交x 轴于,A B 两点(,A B 不重合)，交y 轴于C 点. 圆M 过,,A B C 三点.下列说法正确的是（ ）① 圆心M 在直线1x =上；② m 的取值范围是(0,1)；③ 圆M 半径的最小值为1；④ 存在定点N ，使得圆M 恒过点N .A. ①②③B. ①③④C. ②③D. ①④【答案】D【解析】【分析】根据圆的的性质得圆心横坐标为1；根据二次函数的性质与二次函数与x 轴有两个焦点可得m 的取值范围；假设圆方程为222(1)()x y b r -+-=，用待定系数法求解，根据二次函数的性质和m 的取值范围求圆半径的取值范围，再根据圆方程的判断是否过定点.【详解】二次函数22(0)y x x m m =-+≠对称轴为1x =， 因为对称轴1x =为线段AB 的中垂线，所以圆心在直线1x =上，故①正确；因为二次函数与x 轴有两点不同交点，所以440m ∆=->，即1m <，故②错误；不妨设A 在B 的左边，则(11,0)A m --，(0,)C m设圆方程为222(1)()x y b r -+-= ，则()()()()222222111001m b r m b r ⎧---+-=⎪⎨⎪-+-=⎩，解得， 12m b +=，()221114r m =-+ 因为1m <，所以()2211114r m =-+>即1r >，故③错误； 由上得圆方程为()22211(1)()1124m x y m +-+-=-+， 即()22210x x y y m y -+---=，恒过点(0,1)N ，故④正确. 故选D.【点睛】本题考查直线与圆的应用，关键在于结合图形用待定系数法求圆方程，曲线方程恒过定点问题要分离方程参数求解.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．11.某学校甲、乙两个班各15名学生参加环保知识竞赛，成绩的茎叶图如下：则这30名学生的最高成绩是_______；由图中数据可得_______班的平均成绩较高．【答案】 (1). 96 (2). 乙【解析】【分析】最高成绩位的“茎”最大的“叶”上的最大数，再分析两个班的成绩主要集中在哪些“茎”上，比较这些“茎”的大小即可得出结果.【详解】由茎叶图可知，30名学生的最高成绩是96分，因为甲班的成绩集中在（60， 80）分，乙班的成绩集中在（70，80）分，故乙班的平均成绩较高。

北京市朝阳区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．新版《北京市生活垃圾管理条例》于2020年5月1日实施，条例规定生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的分类，分别投入相应标识的收集容器．下图为某小区分类垃圾桶上的标识，其图标部分可以看作轴对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列计算正确的是（ ）A ．235a a a ⋅=B ．325()a a =C ．2336(2)6ab a b =D ．223344a a a ÷= 3．一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）A ．三边形B ．四边形C ．五边形D ．六边形 4．下列因式分解变形正确的是（ ）A ．22242(2)a a a a -=-B ．2221(1)a a a -+=-C ．24(2)(2)a a a -+=+-D ．256(2)(3)a a a a --=-- 5．把分式方程11122x x x--=--化为整式方程正确的是（ ） A ．1(1)1x --= B ．1(1)1x +-=C ．1(1)2x x --=-D ．1(1)2x x +-=- 6．如图，要测量池塘两岸相对的两点A ，B 的距离，可以在池塘外取AB 的垂线BF 上的两点C ，D ，使BC =CD ，再画出BF 的垂线DE ，使E 与A ，C 在一条直线上，可得△ABC ≌△EDC ，这时测得DE 的长就是AB 的长．判定△ABC ≌△EDC 最直接的依据是（ ）A ．HLB ．SASC ．ASAD ．SSS7．如图，在3×3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC 为格点三角形，在图中最多能画出（ ）个格点三角形与△ABC 成轴对称．A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个8．n m ，1m n +，1n 都有意义，下列等式①22n n m m=；②111m n m n =++；③22n n m m =；④22n n m m +=+中一定不成立．．．．．的是（ ） A ．②④B ．①④C ．①②③④D ．②二、填空题9．分解因式：328x x -=______．10．若分式21x +有意义，则x 的取值范围是_________. 11．若20a b -=，且0b ≠，则分式a b a b +-的值为______． 12．如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为______．13．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC=CD=DE,点D 、E 可在槽中滑动．若∠BDE=75°,则∠CDE 的度数是__________14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为（2，0），若点A 在第一象限内，且AB =OB ，∠A =60°，则点A 到y 轴的距离为______．15．对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，①可以四个角都是锐角；②至少有两个角是锐角；③至少有一个角是钝角；④最多有三个角是钝角；所有正确结论的序号是______．16．一个三角形的三条高的长都是整数，若其中两条高的长分别为4和12，则第三条高的长为_____．三、解答题17．计算：3232()a a a a ⋅+-÷．18．解分式方程：22111x x x =--． 19．解分式方程：31(1)(2)1x x x x +=-+-. 20．已知2277x x -=，求代数式2(23)(3)(21)x x x ---+的值．21．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ＞BC ，P 为BC 上一点（不与B ，C 重合）．在AB 上找一点M ，在AC 上找一点N ，使得△AMN 与△PMN 全等，以下是甲、乙两位同学的作法．甲：连接AP ，作线段AP 的垂直平分线，分别交AB ，AC 于M ，N 两点，则M ，N 两点即为所求；乙：过点P 作PM ∥AC ，交AB 于点M ，过点P 作PN ∥AB ，交AC 于点N ，则M ，N 两点即为所求．（1）对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是 ；A ．两人都正确B ．甲正确，乙错误C ．甲错误，乙正确（2）选择一种你认为正确的作法，补全图形并证明．22．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E ．求证：E 为AB 的中点．23．2020年12月17日，中国研制的嫦娥五号返回器成功携带月球样品着陆地球，在接近大气层时，它的飞行速度接近第二宇宙速度，约为某列高铁全速行驶速度的112倍．如果以第二宇宙速度飞行560千米所用时间比该列高铁全速行驶10千米所用时间少50秒，那么第二宇宙速度是每秒多少千米？24．已知22a m n =+，2b m =，c mn =，且m >n >0．（1）比较a ，b ，c 的大小；（2）请说明以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在．25．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =2，直线BC 上有一点P ，M ，N 分别为点P 关于直线AB ，AC 的对称点，连接AM ，AN ，BM ．（1）如图1，当点P 在线段BC 上时，求∠MAN 和∠MBC 的度数；（2）如图2，当点P 在线段BC 的延长线上时，①依题意补全图2；②探究是否存在点P ，使得3BM BN=，若存在，直接写出满足条件时CP 的长度；若不26．在学习了“等边对等角”定理后，某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”，简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当AB＞AC时，∠C ＞∠B．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：（1）在△ABC中，AD是BC边上的高线．①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD；②如图2，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）证明：∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB=∠ADC=90°．∴∠BAD=90°-∠B，∠CAD=90°-∠C．∵AB＞AC，∴（在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD∠CAD．（2）在△ABC中，AD是BC边上的中线．①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD；②如图3，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）证明：参考答案1．B【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【详解】解：厨余垃圾是轴对称图形；可回收物不是轴对称图形，注意箭头；有害垃圾是轴对称图形；其他垃圾不是轴对称图形，注意箭头．所以是轴对称图形的有2个．故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．A【分析】根据幂的运算法则和整式的除法法则对各选项进行计算，即可作出判断．【详解】A 、232+35=a a a a ⋅=，故本选项正确；B 、32236=()a a a ⨯=，故本选项错误；C 、23336368()2=2ab a b a b =，故本选项错误；D 、223344a a ÷=，故本选项错误； 故选：A【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．D【分析】根据多边形的外角和为360°得到内角和的度数，再利用多边形内角和公式求解即可.【详解】解：设多边形的边数为x ，∵多边形的内角和等于外角和的两倍，∴多边形的内角和为360°×2=720°，∴180°（n ﹣2）=720°，解得n=6.故选D.【点睛】本题主要考查多边形的内角和与外角和，n 边形的内角的和等于： （n － 2）×180°(n 大于等于3且n 为整数）；多边形的外角和为360°.4．B【分析】根据提公因式分解因式可得出A 错误；根据完全平方公式可得B 正确；根据平方差公式可得C 错误；根据十字相乘法可判断D 错误．【详解】A 、2242(2)a a a a -=-，故此选项错误；B 、2221(1)a a a -+=-，故此选项正确；C 、24(2)(2)a a a -+=+-，故此选项错误；D 、256(6)(+1)a a a a --=-，故此选项错误．故选：B【点睛】本题主要考查了因式分解，要灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要提取公因式，再考虑运用公式法分解．5．D【分析】两边同时乘以最简公分母2x -即可化为整式方程，再依次判断即可．【详解】解：两边同时乘以2x -得1(1)2+-=-，x x故选：D．【点睛】本题考查解分式方程．注意去分母两边同时乘以最简公分母时两边都要乘，每一项都要乘．6．C【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，再根据已知选择判断方法．【详解】解：根据题意，∠ABC=∠EDC，BC=CD，∠ACB=∠ECD，∴能证明△ABC≌△EDC最直接的依据是ASA．故选：C．【点睛】本题考查证明三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．A【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.【详解】解：如图，可以画6个.【点睛】本题考查了轴对称变换，能确定对称轴的位置是解题关键.8．D【分析】根据题意，判断出0m ≠，0n ≠，+0m n ≠，根据分式的性质逐个判断即可．【详解】解：∵ n m ，1m n +，1n都有意义， ∴ 0m ≠，0n ≠，+0m n ≠， ①222=n n n m mm ⎛⎫= ⎪⎝⎭，仅需10n n m m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即=1n m 时成立； ②111=m n m n++，不成立； ③22n n m m=，（右侧分子分母同时除以2），因此成立； ④22n n m m +=+，()()2=2n m m n ++即2=2n m ，当=n m 时成立； 故仅有②一定不成立，故选D【点睛】本题综合考查了分式的基本性质，解题关键是根据题意得出m 、n 和+m n 的范围． 9．()()222+-x x x【分析】原式提取2x ，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：328x x -22(4)x x =-2(2)(2)x x x =+-，故答案为：()()222+-x x x ．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【解析】 ∵分式21x +有意义， ∴10x +≠，解得1x ≠-.故答案为1x ≠-.11．3-【分析】由已知2a−b ＝0，可知b ＝2a ；将所得结果代入所求的式子中，经过约分、化简即可得到所求的值．【详解】解：∵2a−b ＝0，∴b ＝2a ； ∴23=32a b a a a a b a a a++==----． 故答案为−3．【点睛】正确对式子进行变形，化简求值是解决本题的关键．在解题过程中要注意思考已知条件的作用．12．（a+b ）2-2ab = a 2+b 2【分析】利用各图形的面积求解即可．【详解】解：两个阴影图形的面积和可表示为：a 2+b 2或 （a+b ）2-2ab ，故可得： （a+b ）2-2ab = a 2+b 2故答案为：（a+b ）2-2ab = a 2+b 2【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是明确四块图形的面积．13．80°【分析】根据OC=CD=DE ，可得∠O=∠ODC ，∠DCE=∠DEC ，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC 据三角形的外角性质即可求出∠ODC 数，进而求出∠CDE 的【详解】∵OC CD DE ==，∴O ODC ∠=∠，DCE DEC ∠=∠，设O ODC x ∠=∠=，∴2DCE DEC x ∠=∠=，∴180CDE DCE DEC ∠=︒-∠-∠1804x =︒-，∵75BDE ∠=︒，∴180ODC CDE BDE ∠+∠+∠=︒，即180475180x x +-+=︒︒︒，解得：25x =︒，180480CDE x ︒∠=-=︒.【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．14．1【分析】过A 作AC ⊥OB ，首先证明△AOB 是等边三角形，再求出OC 的长即可．【详解】解，过A 作AC ⊥OB 于点C ，∵AB=OB ，∠A=60°∴∠AOB=60°且△AOB 是等边三角形，∵点B 的坐标为（2，0）∴OB=2∵AC ⊥OB∴112122OC OB ==⨯= 故答案为：1．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质，掌握等边三角形的性质是解答此题的关键．15．④【分析】四边形的内角和是360︒，根据四边形内角的性质选出正确选项．【详解】解：①错误，如果四个角都是锐角，那么内角和就会小于360︒；②错误，可以是四个直角；③错误，可以是四个直角；④正确．故选：④．【点睛】本题考查四边形内角的性质，解题的关键是掌握四边形内角的性质．16．5或4．【分析】先设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，根据三角形面积公式，可求222,,412S S S a b c h ===，结合三角形三边的不等关系，可得关于h 的不等式组，解即可．【详解】解：设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，那么 222,,412S S S a b c h===， 又∵a-b ＜c ＜a+b ， ∴2222412412S S S S c -<<+， 即2233S S S h <<， 解得3＜h ＜6，∴h=4或h=5，故答案为：5或4．【点睛】本题考查了三角形面积、三角形三边之间的关系、解不等式组．求出整数值后，能根据三边关系列出不等式组是解题关键．17．0．【分析】原式先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘除法即可．【详解】解：3232()a a a a ⋅+-÷=462a a a -÷=44a a -=0．【点睛】此题主要考查了积的乘方和同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 18．方程无解．【分析】先两边同乘以(1)(1)x x +-将分式方程化为整式方程，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得．【详解】 22111x x x =--，即211(1)(1)x x x x =-+-， 方程两边同乘以(1)(1)x x +-化成整式方程，得12x x +=，移项，得21x x -=-，合并同类项，得1x -=-，系数化为1，得1x =，经检验，1x =时，原分式方程的分母等于0，即1x =不是原方程的解，故方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．19．方程无解【分析】去分母将分式方程化为整式方程，求解并验证根即可．【详解】解：去分母得：3(1)(2)(2)x x x x +-+=+，去括号得：22322x x x x ++-=+，移项合并得：1x -=-，解得：1x =．经检验1x =是该方程的增根，即方程无解．【点睛】本题考查解分式方程．解分式方程的思路就是去分母两边乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程求解．解分式方程一定不要忘了验根．20．19【分析】先通过整式的运算法则将代数式化简成22712x x -+，再整体代入求值．【详解】解：原式()()224129263x x x x x =-+-+-- 224129253x x x x =-+-++22712x x =-+∵2277x x -=，∴2277x x -=，∴原式71219=+=．【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整体代入的思想求值．21．A ．【分析】(1)如图1，根据线段垂直平分线的性质得到MA=MP，NA=NP，则根据“SSS”可判断△AMN≌△PMN，则可对甲进行判断；如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形AMPN为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到MA=PN，MP=AN，则根据“SSS”可判断△AMN≌△PNM，则可对乙进行判断．(2)根据（1）即可得出证明过程【详解】（1）解：如图1，∵MN垂直平分AP，∴MA=MP，NA=NP，而MN=MN，∴△AMN≌△PMN（SSS），所以甲正确；如图2，∵MN∥AN，PN∥AM，∴四边形AMPN为平行四边形，∴MA=PN，MP=AN，而MN=MN，∴△AMN≌△PNM（SSS），所以乙正确．故选：A．（2）正确做法的证明同（1）【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定．22．见解析【分析】证明AE=DE，EB=DE即可解决问题【详解】证明：∵AD平分∠BAC∴∠CAD=∠EAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠EAD=∠ADE，∴DE=AE，∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∴∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠ABD=90°，∵∠EAD=∠ADE，∴∠BDE=∠ABD，∴BE=DE，∴AE=BE，∴E是AB的中点．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．23．第二宇宙速度是每秒11.2千米．【分析】设第二宇宙速度是每秒xkm，则高铁全速行驶的速度是每秒1112x km，根据第二宇宙速度飞行560千米所用时间+50=该列高铁全速行驶10千米所用时间，列出方程求解即可．【详解】解：设第二宇宙速度是每秒xkm ，则高铁全速行驶的速度是每秒1112x km ， 根据题意， 11125601050x x+=， 解得11.2x =，经检验11.2x =是该方程的解．所以，第二宇宙速度是每秒11.2千米．【点睛】本题考查分式方程的应用．能结合题意找出等量关系列出方程是解题关键．不要忘记验根哦． 24．（1）a ＞b ＞c ；（2）见解析【分析】（1）a 、b 、c 两两作差可得出a 、b 、c 之间的大小关系；（2）对于任意一个三角形的三边a ，b ，c ，满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【详解】（1）∵a -b =m 2+n 2-m 2=n 2＞0；a -c =m 2+n 2-mn =（m -n ）2+mn ＞0；b -c = m 2-mn =m （m -n ）＞0∴a ＞b ＞c ；（2）由（1）a ＞b ＞c 可得，a +b ＞c∵a -b = m 2+n 2-m 2=n 2＜mn∴a -b ＜c∴以a 、b 、c 为边长的三角形一定存在．【点睛】本题主要考查了利用差比法比较代数式的大小和用三角形三边关系证明三角形的存在． 25．（1）∠MAN =90°，∠MBC =90°；（2）补全图形见解析；（3）存在，CP=1．【分析】（1）连接CN ，AP ，MP ，根据轴对称的性质和等腰三角形三线合一可得∠NAC=∠CAP ，∠PAB=∠MAB ，∠ABC=∠ABM ，再根据等腰直角三角形的性质即可求得∠MAN 和∠MBC ；（2）①依据轴对称图形对应点的连线被对称轴垂直平分补全图即可；②根据垂直平分线的性质可得PB=BM ，PC=CN ，再设BN 长为x ，利用3BM BN和线段的和差列出方程求解即可．【详解】解：（1）如图，连接CN ，AP ，MP ，∵N 、P 关于AC 对称，∴C 为PN 的中点，且AC 为NP 的中垂线，∴AN=AP ，∴△ANP 为等腰三角形，∴∠NAC=∠CAP （三线合一），同理可证∠PAB=∠MAB ，∠ABC=∠ABM ，∵AC=BC=2，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°，∴∠MAN=∠NAC+∠CAP+∠PAB+∠BAM=2∠CAB=90°，∠MBC=∠ABC+∠ABM=2∠ABC=90°；（2）①补全图2如下，②由（1）知B 在PM 的中垂线上，A 在PN 的中垂线上，∴PB=BM ，PC=CN ，设BN 长为x ，则BM 的长为3x ，CN 长为2-x ，∴PC=CN=2-x ，∵PB=BM=PC+BC,∴322x x =-+，解得x=1，∴满足条件的P 点存在，且CP=2-1=1．【点睛】本题考查轴对称的性质，作轴对称图形，等腰三角形三线合一，垂直平分线的性质等．理解轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分是解题关键．26．（1）①见解析，②∠B<∠C ，>；（2）①见解析；②＜【分析】（1）①由HL 证明Rt △ABD ≌Rt △ACD 可得结论；②由AB ＞AC 得∠C ＞∠B 即可得出结论；（2）①由SSS 证明△ABD ≌△ACD 可得结论；②作辅助线证明△BDE CDA ≅∆，得BE CA =，∠BED CAD =∠，证得∠BAD BED <∠，即可得到结论．【详解】解：（1）①证明：∵AD 是BC 边上的高线∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt △ADB 和Rt △ADC 中AB AC AD AD =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △ACD∴∠BAD =∠CAD ；②证明：∵ AD 是BC 边上的高线，∴∠ADB =∠ADC =90°．∴ ∠BAD =90°-∠B ，∠CAD =90°-∠C ． ∵AB ＞AC ，∴ ∠B<∠C （在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD > ∠CAD ．故答案为：∠B<∠C ，>；（2）①证明：∵AD 是BC 边上的中线∴BD=CD在△ABD 和△ACD 中AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD∴∠BAD=∠CAD②如图，延长AD 至点E ，使AD=ED ，连接BE ，∵AD 是△ABC 的BC 边上的中线，∴BD CD =在△BDE 和△CDA 中，BD CD BDE CDA ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE CDA ≅∆∴BE CA =，∠BED CAD =∠，又AB AC >，则AB BE >∴∠BAD BED <∠∴∠BAD CAD <∠．故答案为：＜．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．。

2020-2021学年北京市石景山区高二（下）期末数学试卷试题数：20，总分：1001.（单选题，4分）已知集合A={x|x2-x-2≤0}，B={x|-2＜x≤1}，则A∪B=（）A.{x|-1≤x≤2}B.{x|-2＜x≤2}C.{x|-2＜x≤1}D.{x|-2≤x≤2}2.（单选题，4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A.y= √x+1B.y=（x-1）2C.y=2-xD.y=log 12x3.（单选题，4分）对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是（）A.a1，a3，a9成等比数列B.a2，a3，a6成等比数列C.a3，a6，a9成等比数列D.a2，a4，a8成等比数列4.（单选题，4分）袋中有10个除颜色以外完全相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球．从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是（）A. 15B. 310C. 12D. 355.（单选题，4分）已知a=log2e，b=ln2，c=log 1213，则a，b，c的大小关系为（）A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞a＞bD.c＞b＞a6.（单选题，4分）若a，b，c，d∈R，则“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.（单选题，4分）设函数f（x）= 2+lnx，则（）x时f（x）取到极大值A.x= 12时f（x）取到极小值B.x= 12C.x=2时f（x）取到极大值D.x=2时f（x）取到极小值8.（单选题，4分）某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（）A. 81125B. 54125C. 36125D. 271259.（单选题，4分）已知函数f（x）=e x-a|x|有三个零点，则实数a的取值范围为（）A.（-∞，0）B.（0，1）C.（0，e）D.（e，+∞）10.（单选题，4分）在一次知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙11.（填空题，4分）函数f（x）=x•e x的导函数f′（x）=___ ．12.（填空题，4分）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，如表是过去200例类似项目开发的实施结果：13.（填空题，4分）已知f（x）=-x3+ax+3在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是___ ．14.（填空题，4分）若数列{a n}满足a1=- 14，a n•a n-1=a n-1-1（n＞1，n∈N*），则a2021=___ ．15.（填空题，4分）已知集合A0={x|0＜x＜1}．给定一个函数y=f（x），定义集合A n={y|y=f（x），x∈A n-1}，若A n∩A n-1=∅对任意的n∈N*成立，则称该函数y=f（x）具有性质“φ”（例如y=x+1具有性质“φ”）下列函数：① y= 1x ；② y=x2+1；③ y=cos（π2x）+2，其中具有性质“φ”的函数的序号是___ ．16.（问答题，7分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=2，a3=2a2+16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和．17.（问答题，7分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设事件A为“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自不同协会”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设随机变量X为选出的4人中种子选手的人数，求X的分布列．18.（问答题，9分）已知函数f（x）=2x3-ax2+2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当0＜a＜3时，求f（x）在区间[0，1]上的最大值及最小值．19.（问答题，8分）为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》《生活中的数学》《数学与哲学》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每一课程都是等可能的．（1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；（2）设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．20.（问答题，9分）已知函数f（x）=xlnx+kx，k∈R．（Ⅰ）求y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若不等式f（x）≤x2+x恒成立，求k的取值范围．2020-2021学年北京市石景山区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：20，总分：1001.（单选题，4分）已知集合A={x|x2-x-2≤0}，B={x|-2＜x≤1}，则A∪B=（）A.{x|-1≤x≤2}B.{x|-2＜x≤2}C.{x|-2＜x≤1}D.{x|-2≤x≤2}【正确答案】：B【解析】：求出集合A，由此能求出A∪B．【解答】：解：∵A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}，B={x|-2＜x≤1}，∴A∪B={x|-2＜x≤2}．故选：B．【点评】：本题考查并集及其运算和一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，是基础题．2.（单选题，4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A.y= √x+1B.y=（x-1）2C.y=2-xxD.y=log 12【正确答案】：A【解析】：根据题意，依次判断各选项中函数的单调性，即可得到答案．【解答】：解：对于A，y= √x+1在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；对于B，y=（x-1）2是二次函数，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；）x是指数函数，在R上为减函数，不符合题意；对于C，y=2-x=（12x是对数函数，在区间（0，+∞）上为减函数，不符合题意；对于D，y=log 12【点评】：本题考查函数单调性的性质与判断，需注意常见函数的单调性，属于基础题．3.（单选题，4分）对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是（）A.a1，a3，a9成等比数列B.a2，a3，a6成等比数列C.a3，a6，a9成等比数列D.a2，a4，a8成等比数列【正确答案】：C【解析】：根据：若a，A，b构成等比数列，则A2=ab，即可对选项逐一判断．【解答】：解：由于1+9≠2×3，所以a 32≠a1a9，即a1、a3、a9不能构成等比数列，选项A错误．由于2+6≠2×3，所以a 32≠a2a6，即a2、a3、a6不能构成等比数列，选项B错误．由于3+9=2×6，所以a 62 =a3a9，即a3、a6、a9能构成等比数列，选项C正确．由2+8≠2×4，所以a 42≠a2a8，即a2、a4、a8不能构成等比数列，选项D错误．故选：C．【点评】：本题主要考查等比数列的性质，考查推理论证和运算求解的能力，属于基础题．4.（单选题，4分）袋中有10个除颜色以外完全相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球．从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是（）A. 15B. 310C. 12D. 35【正确答案】：D【解析】：易知10个小球中除5个白球外还有5个小球，其中黑球有3个，所以利用古典概型概率计算公式即可得出所求事件的概率．【解答】：解：根据题意，袋中除白球外共有5个小球，其中黑球有3个，．所以从袋中任取一个已知不是白球的小球是黑球的概率为35【点评】：本题考查古典概型概率计算公式，考查运算求解能力，属于基础题．5.（单选题，4分）已知a=log2e，b=ln2，c=log 1213，则a，b，c的大小关系为（）A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞a＞bD.c＞b＞a【正确答案】：C【解析】：可以得出log1213＞log2e＞1，ln2＜1，然后即可得出a，b，c的大小关系．【解答】：解：∵ log1213=log23＞log2e＞log22=1，ln2＜lne=1，∴c＞a＞b．故选：C．【点评】：本题考查了对数的换底公式，对数函数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．6.（单选题，4分）若a，b，c，d∈R，则“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：必要性根据等差数列的性质容易证明，充分性不成立只需要举一个反例即可说明．【解答】：解：若a，b，c，d依次成等差数列，则a+d=b+c，即必要性成立，若a=2，d=2，b=1，c=3，满足a+d=b+c，但a，b，c，d 依次成等差数列错误，即充分性不成立，即“a+d=b+c“是“a，b，c，d依次成等差数列”的必要不充分条件．【点评】：本题考查充分必要条件，考查等差数列的概念，属于基础题．7.（单选题，4分）设函数f（x）= 2x+lnx，则（）A.x= 12时f（x）取到极大值B.x= 12时f（x）取到极小值C.x=2时f（x）取到极大值D.x=2时f（x）取到极小值【正确答案】：D【解析】：可求得f′（x）= x−2x2，然后判断f（x）的单调性，再得到f（x）的极值点和极值即可．【解答】：解：∵f（x）= 2x +lnx（x＞0），∴f′（x）= x−2x2，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2）上单调递减，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上单调递增，∴当x=2时，f（x）取到极小值．故选：D．【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，属于基础题．8.（单选题，4分）某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（）A. 81125B. 54125C. 36125D. 27125【正确答案】：A【解析】：本题是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，至少有两次击中目标包括两次击中目标或三次击中目标，这两种情况是互斥的，根据独立重复试验概率公式和互斥事件的概率公式得到结果．【解答】：解：由题意知，本题是一个n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率，射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，∴至少有两次击中目标包括两次击中目标或三次击中目标，这两种情况是互斥的，∴至少有两次击中目标的概率为C 320.62×0.4+C 330.63=54+27125 = 81125故选：A ．【点评】：本题考查n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目可以作为选择和填空出现．9.（单选题，4分）已知函数f （x ）=e x -a|x|有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A.（-∞，0）B.（0，1）C.（0，e ）D.（e ，+∞）【正确答案】：D【解析】：根据题意，分析可得x ＜0时，函数f （x ）=e x -a|x|有一个零点，则当x ＞0时，函数f （x ）=e x -a|x|有2个零点；当x ＞0时，函数f （x ）=e x -a|x|=e x -ax ，对其求导分析可得在（0，lna ）上，f′（x ）＜0，函数f （x ）为减函数，在（lna ，+∞）上，f′（x ）＞0，函数f （x ）为增函数，即可得其最小值，分析可得必有f （x ）min =a-alna ＜0，解可得a 的取值范围，综合可得答案．【解答】：解：函数f （x ）=e x -a|x|有三个零点，则函数y=e x 与y=a|x|有3个不同的交点， 则必有a ＞0，图象如图：当x ＜0时，函数y=e x 与y=a|x|有1个交点，即x ＜0时，函数f （x ）=e x -a|x|有一个零点，若函数函数f （x ）=e x -a|x|有三个零点，则当x ＞0时，函数f （x ）=e x -a|x|=e x -ax 有2个零点； 当x ＞0时，f （x ）=e x -a|x|=e x -ax ，其导数f′（x ）=e x -a ，令f′（x ）=e x -a=0可得，x=lna ，分析可得：在（0，lna ）上，f′（x ）＜0，函数f （x ）为减函数，在（lna ，+∞）上，f′（x ）＞0，函数f （x ）为增函数，当x=lna 时，f （x ）=e x -ax 有最小值，即f （x ）min =f （lna ）=a-alna ，若（0，+∞）上，函数f （x ）=e x -a|x|=e x -ax 有2个零点，必有f （x ）min =a-alna ＜0，解可得a ＞e ，综合可得：a 的取值范围为（e ，+∞）；故选：D．【点评】：本题考查函数的零点判定定理，涉及函数的图象，关键是分析函数y=e x与y=a|x|的交点情况．10.（单选题，4分）在一次知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙【正确答案】：A【解析】：分别讨论甲、乙、丙预测正确，然后进行推导，判断是否符合题意即可．【解答】：解：若甲预测正确，则乙、丙预测错误，即甲的成绩比乙高，丙的成绩比乙低，故三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，则丙也预测正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲预测错误，即丙的成绩比乙高，乙的成绩比甲高，故丙的成绩比甲、乙都高，即乙的预测也正确，不符合题意．故选：A．【点评】：本题考查了简单的合情推理的应用，考查了推理论证能力、应用意识以及创新意识，考查逻辑推理的核心素养，属于基础题．11.（填空题，4分）函数f （x ）=x•e x 的导函数f′（x ）=___ ． 【正确答案】：[1]（1+x ）e x【解析】：根据函数的导数运算公式即可得到结论．【解答】：解：函数的导数f′（x ）=e x +xe x =（1+x ）e x ， 故答案为：（1+x ）e x【点评】：本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式．12.（填空题，4分）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，如表是过去200例类似项目开发的实施结果：【正确答案】：[1]4760【解析】：由表可知，投资成功、失败的概率分别为 192200 、 8200 ，而投资成功的收益为5×12%万元，投资失败的损失为5×50%万元，再结合数学期望的计算公式即可得解．【解答】：解：由题表可知，投资成功的概率为 192200 ，投资失败的概率为 8200 ，而投资成功的收益为5×12%万元，投资失败的损失为5×50%万元，所以该公司一年后估计可获收益的数学期望为5×12%× 192200 -5×50%× 8200 =0.476万元=4760元．故答案为：4760．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，以及期望的实际应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．13.（填空题，4分）已知f （x ）=-x 3+ax+3在定义域上单调递减，则实数a 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1]（-∞，0]【解析】：由f（x）=-x3+ax+3在定义域上单调递减⇒f′（x）=-3x2+a≤0恒成立，从而可得答案．【解答】：解：∵f（x）=-x3+ax+3在定义域上单调递减，∴f′（x）=-3x2+a≤0在定义域R上恒成立，∴a≤（3x2）min，又3x2≥0，∴a≤0，∴数a的取值范围为（-∞，0]．故答案为：（-∞，0]．【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．14.（填空题，4分）若数列{a n}满足a1=- 14，a n•a n-1=a n-1-1（n＞1，n∈N*），则a2021=___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：由已知可得数列的前几项，得到数列是以3为周期的周期数列，则答案可求．【解答】：解：由a1=- 14，a n•a n-1=a n-1-1（n＞1，n∈N*），得a2=1−1a1=1−1−14=5，a3=1−1a2=1−15=45，a4=1−1a3=1−145=−14，..．∴数列{a n}是以3为周期的周期数列，又2021=3×673+2，∴a2021=a2=5．故答案为：5．【点评】：本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，求出数列的周期是关键，是基础题．15.（填空题，4分）已知集合A0={x|0＜x＜1}．给定一个函数y=f（x），定义集合A n={y|y=f（x），x∈A n-1}，若A n∩A n-1=∅对任意的n∈N*成立，则称该函数y=f（x）具有性质“φ”（例如y=x+1具有性质“φ”）下列函数：① y= 1x ；② y=x2+1；③ y=cos（π2x）+2，其中具有性质“φ”的函数的序号是___ ．【正确答案】：[1] ① ②【解析】：分别运用反比例函数、二次函数和余弦函数的单调性和值域，结合新定义，即可判断．：由A0={x|0＜x＜1}，A n={y|y=f（x），x∈A n-1}，【解答】：解：① y=1x可得A1={y|y＞1}，A2={y|0＜y＜1}，A3={y|y＞1}，A4={y|0＜y＜1}，…，满足A n∩A n-1=∅对任意的n∈N*成立，故① 具有性质“g”；② y=x2+1：由A0={x|0＜x＜1}，A n={y|y=f（x），x∈A n-1}，可得A1={y|1＜y＜2}，A2={y|2＜y＜5}，A3={y|5＜y＜26}，…，满足A n∩A n-1=∅对任意的n∈N*成立，故② 具有性质“g”；x)+2：由A0={x|0＜x＜1}，A n={y|y=f（x），x∈A n-1}，③ y=cos(π2可得A1={y|2＜y＜3}，A2={y|1＜y＜2}，A3={y|1＜y＜2}，…，不满足A n∩A n-1=∅对任意的n∈N*成立，故③ 不具有性质“g”．故答案为：① ② ．【点评】：本题考查函数的新定义的理解和运用，考查函数的单调性和运用，以及集合的运算，考查运算能力和推理能力，属于中档题．16.（问答题，7分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=2，a3=2a2+16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和．【正确答案】：【解析】：（1）设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；（2）把（1）中求得的{a n}的通项公式代入b n=log2a n，得到b n，说明数列{b n}是等差数列，再由等差数列的前n项和公式求解．【解答】：解：（1）设等比数列的公比为q，由a1=2，a3=2a2+16，得2q2=4q+16，即q2-2q-8=0，解得q=-2（舍）或q=4．∴ a n=a1q n−1=2×4n−1=22n−1；（2）b n =log 2a n = log 222n−1=2n −1 ， ∵b 1=1，b n+1-b n =2（n+1）-1-2n+1=2，∴数列{b n }是以1为首项，以2为公差的等差数列， 则数列{b n }的前n 项和 T n =n ×1+n (n−1)×22=n 2 ．【点评】：本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和，考查对数的运算性质，是基础题．17.（问答题，7分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设事件A 为“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自不同协会”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设随机变量X 为选出的4人中种子选手的人数，求X 的分布列．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用古典概型的概率公式求解即可；（Ⅱ）先求出随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列即可．【解答】：解：（Ⅰ）由题意可得，P （A ）= C 21•C 31•C 32C 84=935 ；（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为1，2，3，4， 则P （X=1）= C 51C 33C 84 = 114 ，P （X=2）= C 52C 32C 84 = 37 ，P （X=3）= C 53C 31C 84 = 37 ，P （X=4）= C 54C 30C 84 = 114 ，所以X 的分布列为：【点评】：本题考查了古典概型概率公式的应用，离散型随机变量及其分布列的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．18.（问答题，9分）已知函数f（x）=2x3-ax2+2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当0＜a＜3时，求f（x）在区间[0，1]上的最大值及最小值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求出f'（x），分a＞0，a=0，a＜0，分别利用导数的正负研究函数的单调性即可；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的单调性，即可求出[0，1]上的单调性，即可得到函数f（x）的最值．【解答】：解：（Ⅰ）函数f（x）=2x3-ax2+2，则f'（x）=6x2-2ax=2x（3x-a），令f'（x）=0，解得x=0或x= a3，① 当a＞0时，则当x＜0或x＞a3时，f'（x）＞0，当0＜x＜a3时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调增区间为（-∞，0），(a3，+∞)，单调减区间为（0，a3）；② 当a=0时，f（x）在R上单调递增；③ 当a＜0时，当x＜a3或x＞0时，f'（x）＞0，当a3＜x＜0时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（-∞，a3），（0，+∞），单调递减区间为（a3，0）．（Ⅱ）当0＜a＜3时，由（Ⅰ）可知，f（x）在（0，a3）上单调递减，（a3，1）递增，所以f（x）在[0，1]的最小值为f(a3)=−a327+2，最大值为f（0）=2或f（1）=4-a，不妨设最小值为m，最大值为M，则m= −a 327+2 ，则M= {4−a ，0＜a ＜22，2≤a ＜3．【点评】：本题考查了导数的应用，主要考查了利用导数研究函数的单调性以及函数的最值问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．19.（问答题，8分）为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》《生活中的数学》《数学与哲学》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每一课程都是等可能的．（1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；（2）设X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据分步计数原理总事件数是43，满足条件的事件数是A 43，利用古典概率计算公式即可得出．（Ⅱ）设X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X=0，1，2，3．P （ξ=0）= 3343 ；P （ξ=1）= ∁31×3243 ；P （ξ=2）= ∁32×343 ；P （ξ=3）= 143，即可得出．【解答】：解：（Ⅰ）根据分步计数原理总事件数是43，满足条件的事件数是A 43， ∴3个学生选择了3门不同的选修课的概率：P 1= A 4343 = 38（Ⅱ）设X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X=0，1，2，3．P （X=0）= 3343 = 2764；P （X=1）=∁31×3243 = 2764； P （X=2）= ∁32×343 = 964； P （X=3）= 143 = 164 ． ∴X 的分布列为：∴期望Eξ=0× 64 +1× 64 + 2×64 +3× 64 = 4 ．【点评】：本题考查了分步计数原理、古典概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.（问答题，9分）已知函数f （x ）=xlnx+kx ，k∈R ． （Ⅰ）求y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）若不等式f （x ）≤x 2+x 恒成立，求k 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）先求出f'（x ），利用导数的几何意义求出切线的斜率，求出切点坐标，由点斜式即可得到切线方程；（Ⅱ）将问题转化为lnx-x+k-1≤0恒成立，构造函数g （x ）=lnx-x+k-1，利用导数求解g （x ）的最值，即可得到答案．【解答】：解：（Ⅰ）函数f （x ）=xlnx+kx ，k∈R ，定义域为（0，+∞）， f'（x ）=1+lnx+k ，则f'（1）=1+k ，由f （1）=k ， 故切点为（1，k ），切线的斜率为1+k ，所以y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y-k=（1+k ）（x-1），即y=（k+1）x-1； （Ⅱ）不等式f （x ）≤x 2+x 恒成立，即lnx+k≤x+1恒成立，即lnx-x+k-1≤0恒成立， 令g （x ）=lnx-x+k-1，则g'（x ）= 1x −1 ，令g'（x ）=0，解得x=1， 当0＜x ＜1时，g'（x ）＞0，则g （x ）单调递增， 当x ＞1时，g'（x ）＜0，则g （x ）单调递减， 则g （x ）的最大值为g （1）=k-2， 所以k-2≤0，即k≤2， 故k 的取值范围为（-∞，2]．【点评】：本题考查了导数的几何意义以及不等式恒成立问题，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题．。

【区级联考】北京市朝阳区2020-2021学年八年级上学期期末质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各式中，是最简二次根式的是( )A B C D 2．下列图形中，有稳定性的是( )A ．长方形B ．梯形C ．平行四边形D ．三角形3．若分式1x x -的值等于0，则x 的值为( ) A ．-1 B ．1 C ．0 D ．24．汉语言文字博大精深，丰富细腻易于表达，比如形容时间极短的词语中有“刹那”、“转眼间”、“弹指一挥间”等，根据唐玄奘《大唐西域记》中记载，一刹那大约是0.013秒，将0.013用科学计数法表示为（ ）A ．21.310-⨯B ．31.310-⨯C ．31310-⨯D ．41.310-⨯ 5．若图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为( )A ．40°B ．50°C ．60°D ．70° 6．如图，在△ABC 中，AC=BC ，D 在BC 的延长线上，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于点P ，则下列结论中不一定．．．正确的是( )A ．∠ACD =2∠AB ．∠A =2∠PC ．BP ⊥ACD ．BC =CP 7．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是( )A ．()ax ay a x y -=-B ．244(4)4x x x x -+=-+C ．298(3)(3)8x x x x x -+=+-+D ．2(32)(32)49a a a ---=- 8．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角” (如图)就是一例.这个三角形给出了()na b +(n =1，2，3，4，5，6)的展开式(按a 的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应()2222a b a ab b +=++展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着()4432234464a b a a b a b ab b +=++++展开式中各项的系数，等等.有如下三个结论：①当a =1,b =1时，代数式++++432234a 4a b 6a b 4ab b 的值是1；②当a =-1,b =2时，代数式++++432234a 4a b 6a b 4ab b 的值是1；③当代数式432436942781a a a a +⨯+⨯+⨯+的值是1时，a 的值是-2或-4.上述结论中，所有正确结论的序号为( )A ．①②B ．②C ．③D ．②③二、填空题9x 的取值范围是_________．10．计算：(3)(2)x x +-=___．11．如图，在五边形ABCDE 中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______°．12．已知26x x a -+是完全平方式，则a 的值为____________．13．等腰三角形的一个内角是80︒，则它的顶角度数是_______________．14．如图所示，AB 交CD 于O 点，OA =OB ，请你添加一个条件，使得△AOC ≌△BOD ，你添加的条件是__15．如图，两车从南北方向的路段AB 的A 端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C ，D 两地，此时可以判断C ，D 到B 的距离相等，用到的数学道理是___．16．如图，∠AOB =30°，点M ，N 在射线OA 上(都不与点O 重合)，且MN =2，点P 在射线OB 上，若△MPN 为等腰直角三角形，则PO 的长为 ___．三、解答题17()02019--18．计算：()32126+33a a a a -÷．19．已知：如图，D 是BC 上的一点，AB=BD ， DE ∥AB ，∠A=∠DBE ．求证： AC=BE ．20．计算：221a a b a b---． 21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，D 是AC 上一点，E 是BC 延长线上一点，连接BD ，DE ，若∠ABD ＝20°，BD =DE ，求∠CDE 的度数．22．已知x y -=求代数式()()21221x y y x x ++---的值. 23．阅读材料： 如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b c p ++=，那么这个三角形的面积为S =的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在△ABC 中，7,5,6a b c ===.(1)求△ABC 的面积；(2)过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，求线段CD 的长.24．研学活动继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为教育的新内容和新方式．朝阳区一所中学组织学生去某市进行研学活动，原计划乘坐特快列车前往，为了节省时间，现改为乘坐高铁列车前往．已知北京与该市的距离约为1200千米，高铁列车的平均速度是特快列车的平均速度的2.4倍，且乘坐高铁列车所用时间比乘坐特快列车所用时间少用7小时，求特快列车的平均速度．25．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是三角形内一点，连接AD ，BD ，CD ，∠BDC =90°，∠DBC =45°．(1)求证：∠BAD =∠CAD ；(2)求∠ADB 的度数．26．观察下列式子：2622464+=--，5325434+=--，210224104-+=---，135213454-+=---…… 按照上面式子的规律，完成下列问题：(1)填空：()12()414+=--； (2)再写出两个式子；(3)把这个规律用字母表示出来，并说明其正确性(不必写出字母的取值范围).27．已知C 是线段AB 垂直平分线m 上一动点，连接AC ，以AC 为边作等边三角形ACD ，点D 在直线AB 的上方，连接DB 与直线m 交于点E ，连接BC ，AE ．(1)如图1，点C 在线段AB 上．①根据题意补全图1；②求证：∠EAC =∠EDC ；(2)如图2，点C 在直线AB 的上方， 0°＜∠CAB ＜30°，用等式表示线段BE ，CE ，DE 之间的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy 中的线段AB 及点P ，给出如下定义：若点P 满足P A=PB ，则称P 为线段AB 的“轴点”，其中，当0°＜∠APB ＜60°时，称P 为线段AB 的“远轴点”；当60°≤∠APB ≤180°时，称P 为线段AB 的“近轴点”.(1)如图1，点A ，B 的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，则在1(1,3)P -，2(0,2)P ，3(0,1)P-，4(0,4)P 中，线段AB 的“近轴点”是 .(2)如图2，点A 的坐标为(3，0)，点B 在y 轴正半轴上，且∠OAB =30°.①若P 为线段AB 的“远轴点”，直接写出点P 的横坐标t 的取值范围 ；②点C 为y 轴上的动点(不与点B 重合且BC ≠AB )，若Q 为线段AB 的“轴点”，当线段QB与QC的和最小时，求点Q的坐标.参考答案1．B【解析】【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，是逐个检查定义中的两个条件①被开方数不含分母②被开方数不含能开的尽方的因数或因式，据此可解答.【详解】（1）A被开方数含分母，错误.(2)B满足条件，正确.(3) C被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误.(4) D被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误.所以答案选B.【点睛】本题考查最简二次根式的定义，掌握相关知识是解题关键.2．D【解析】【分析】根据三角形的特征和四边形的特征解答，本题中，三角形具有稳定性，四边形容易变形，长方形、平行四边形和梯形都属于四边形.【详解】解：三角形具有稳定性，四边形容易变形，长方形、平行四边形和梯形都属于四边形，所以选择D.【点睛】本题关键是掌握三角形的特征和四边形的特征，三角形具有稳定性，例如：生活中，房屋上用的三角形钢梁就是利用三角形的稳定性；四边形容易变形，例如：生活中，可以伸缩的大门就是利用四边形容易变形的特征.3．B【解析】【分析】根据分式的值为0的条件及分式有意义的条件列出关于x的不等式组，解关于x的不等式组，求出x的值，即可得到答案．【详解】解：∵分式1xx-的值为0，∴10xx-=⎧⎨≠⎩，解得x=1且x≠0.故选B．【点睛】本题考查分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件是解题的关键. 4．A【解析】【分析】根据科学计数法的表示即可求解.【详解】0.013=21.310-⨯故选A.【点睛】此题主要考查科学计数法的表示，解题的关键是熟知负指数幂的应用. 5．B【解析】【分析】根据全等三角形的对应角相等即可解答.【详解】解：已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，由图可知边a相邻的两个角分别为60°，70°，所求角为边a的对角，所以∠1=180-60°-70°=50°.所以本题选B.【点睛】掌握两个三角形全等，对应边，对应角相等是解答本题的关键.6．C【解析】【分析】根据题中的条件可以一一分析解答.【详解】已知在△ABC中，AC＝BC，D在BC的延长线上，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点P，可得∠A＝∠ABC，∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCD，且∠ACD＝∠A＋∠ABC＝2∠A，故A正确.又因为∠ACD＝∠A＋∠ABC＝2∠A，∠ACP＝∠PCD，所以∠A＝∠ACP，可得AB//P C.又因为AB//PC，可得∠ABP＝∠P，即∠A＝2∠P，B正确.又因为∠CBP＝∠P，所以BC＝CP，D正确.C没有足够的条件证明，错误.故本题选C.【点睛】能够正确转化相关条件是解答本题的关键.7．A【解析】【分析】根据题意，因式分解就是把多项式化成成整式的积的形式，依据定义即可判断，故即可得到题目的答案．【详解】解：A. 结果是整式的积的形式，故是因式分解，选项正确；B. 结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误；C. 结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误；D. 结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误；故选A.【点睛】此题主要考查的是因式分解的定义的有关知识，题目中等难度，考查学生对因式分解的定义的知识的掌握程度，因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型． 8．D【解析】【分析】由“杨辉三角”构造方法判断即可确定结论的正确性.【详解】解：①当a ＝1,b ＝1时，代数式()4432234a 4a b 6a b 4ab b a b ＋＋＋＋＝＋＝16，故结论错误. ②当a ＝1,b ＝1时，代数式()4432234a 4a b 6a b 4ab b a b ＋＋＋＋＝＋＝1，故结论正确.③代数式()4432a 4?3a 6?9a 4?27a 81a 3＋＋＋＋＝＋，值是1时，所以a 的值是－2或－4，故结论正确.故选D.【点睛】此题考查了完全平方公式，弄清“杨辉三角”构造方法是解本题的关键．9．x≥-1【分析】根据二次根式的性质即可求解.【详解】依题意得x+1≥0，解得x≥-1故填：x≥-1【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知根号内被开方数为非负数.10．x 2＋x －6【解析】【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果．【详解】解：()()32x x -＋＝x 2－2x ＋3x －6＝ x 2＋x －6故答案为：x 2＋x －6.【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．360o .【分析】根据任意多边形外角和为360o 解答本题.【详解】根据多边形的外角和为0360，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360o .故答案为360o .【点睛】本题考查了任意多边形外角和为360o 知识点，掌握该知识点是解答本题的关键.12．9【解析】【分析】根据完全平方式的结构是：a 2＋2ab ＋b 2和a 2－2ab ＋b 2两种，据此即可求解．【详解】解：a ＝（62）2＝9． 故答案为9．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，掌握完全平方公式是解答本题的关键.13．20度或80度【分析】先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．【详解】当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°−80°×2＝20°．故答案为：80°或20°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．14．OC =OD【分析】全等三角形的判定方法有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，只要添加一个符合的条件即可．【详解】理由是：在△AOC 和△BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD (SAS ).故答案为OC =OD .【点睛】考查全等三角形判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.15．答案不唯一，如：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等【解析】【分析】由题意有AB 是线段DC 的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质即可推出C ，D 到B 点的距离相等.【详解】因为AB ⊥DC 且DA ＝CA ，所以BA 是线段DC 的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，可知：BD ＝BC ，即C ，D 到B 的距离相等.【点睛】本题的解题方法有多种，主要考查在拥有一定已知条件的情况下，如何证明两个线段相等，除去上述方法以外，还可以认为是△BDA 与△BCA 全等，所以C ，D 到B 的距离相等.16．2或4【解析】【分析】△MPN是等腰直角三角形，则有三种可能：∠PMN是直角，∠MPN是直角，∠PNM是直角，根据角度和边长的关系，分三种情况一一讨论，求出PO的长度.【详解】情况一，∠PMN＝90°，则PM＝MN=2.在△OPM中，∠PMO＝90°，∠O＝30°，所以PO＝2×PM＝4.情况二，∠MPN＝90°，则PN＝PM过P做PC垂直OA于C，易知PC＝1.△OCP 中，∠O＝30°，∠PCO＝90°，所以OP＝2×PC＝2.情况三，∠PNM＝90°，由于OB上不存在这样的P点满足条件，所以该情况不会出现. 综上，PO的长度为2或4.【点睛】解本题的关键在于，看清P点的取法并不唯一，导致本题的答案也并不唯一，应当每一个情况都要考虑，以免漏答.17．-1.【解析】【分析】本题涉及零指数幂、二次根式的化简、绝对值三个考点.在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.【详解】原式=1-=-1．【点睛】本题考查实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算，同时还要注意运算符号的变化.18．4a 2-2a+1.【解析】【分析】根据多项式除以单项式的法则，分别算出括号内每一项除以3a 的值，再将这些值相加即可.【详解】()32126+33a a a a -÷ 2421a a =-+．【点睛】本题主要考查多项式除以单项式，解题关键是熟练掌握运算法则，即先用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，直接计算即可.19．证明见解析.【解析】【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质证明即可.【详解】∵DE ∥AB ，∴∠ABC=∠EDB ．在△ABC 和△BDE 中A=DBE AB=BDABC=EDB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△ABC ≌△BDE ．∴AC=BE ．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.20．22b a b -. 【分析】最简公分母为(a ＋b)(a －b)，所以通分得()()a b a b a b ++-－()()a ab a b +-，然后对分子运算，得()()b a b a b +-，最后约分. 【详解】221a a b a b--- ()()1a a b a b a b =--+- ()()()()a b a a b a b a b a b +=-+-+- 22b a b =-． 【点睛】在进行分式的加减运算时，在通分前如果分子分母有相同的项，要注意先把相同项约掉，且一定要保持最终的结果是最简分式.21．∠CDE =20°．【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝50°，进而可得∠BDC ＝30°，由BD ＝DE 可得∠E ＝∠BDC ＝30°，再根据三角形外角的性质得∠ACB ＝∠E ＋∠CDE ，即可得到∠CDE 的大小.【详解】∵AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，∴=50ABC ACB ∠∠=︒ ．∵∠ABD ＝20°，∴∠DBC ＝30°．∵BD =DE ，∴30E DBC ∠=∠=︒ ．∵∠ACB =∠CDE +∠E ，∴∠CDE =20°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解答本题的关键.22．2.【解析】【分析】先将代数式化简，再根据x －y .【详解】()()21221x y y x x ++---2221221x x y xy x =+++---222x y xy =+-()2x y =-．x y -=当 原式=2．【点睛】本题主要考查代数式的化简，掌握代数式运算的法则、牢记完全平方公式是解答本题的关键.23．(1)(2)CD =【解析】【分析】（1）根据2a b c p ＋＋＝，S （2）根据三角形面积公式求出CD 的长即可.【详解】(1)根据题意=92a b c p ++=．∴S ===(2)∵1=?2S AB CD，∴1·2AB CD=．∴CD=【点睛】本题主要考查学生对新定义的理解能力以及三角形面积公式，利用海伦——秦九韶公式求出题中三角形的面积是解题的关键.24．特快列车的平均速度为100千米/时．【解析】【分析】设特快列车的平均速度为x千米/时，则高铁列车的平均速度为2.4x千米/时，根据题中“乘坐高铁列车所用时间比乘坐特快列车所用时间少用7小时”列出分式方程求解即可.【详解】设特快列车的平均速度为x千米/时，则高铁列车的平均速度为2.4x千米/时．由题意，得1200120072.4x x=+．解得100x=．经检验，100x=是原方程的解，且符合题意．答：特快列车的平均速度为100千米/时．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是找出题中所给的等量关系.25．(1)证明见解析；(2)∠ADB=135°．【分析】（1）根据∠BDC=90°，∠DBC=45°可推出DBDC，进而可证△ABD≌△ACD，即可证得∠BAD ＝∠CAD；（2）根据△ABD≌△ACD，可得∠ADB＝∠ADC，又根据∠BDC＝90°，∠ADB＋∠ADC ＋∠BDC ＝360°，即可求出∠ADB 的大小.【详解】(1)∵∠BDC =90°，∠DBC =45°，∴∠DCB=∠DBC =45°．∴DB =DC ．在△ABD 和△ACD 中AB AC AD AD BD CD ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝ ，,∴△ABD ≌△ACD ．∴∠BAD =∠CAD ．(2)∵△ABD ≌△ACD ，∴∠ADB =∠ADC ．∵∠BDC =90°，∴∠ADB =135°．【点睛】本题主要考查了等角对等边，全等三角形的判定与性质，解题的关键是要证出△ADB ≌△ACD.26．(1)7，7；(2)见解析；(3)见解析.【解析】【分析】（1）观察给定等式，发现两分数的分子之和是8，分母是分子－4，根据规律填空即可；（2）根据规律写出两个式子即可；（3）将观察到的规律用字母表示出来，将等式的左边通分、合并同类项，得出结果后与等式的右边进行比较，从而得出结论.【详解】 (1)()()7127414+=--． (2)答案不唯一，如：113211434-+=---，9129414-+=---． (3)8244x x x x-+=--．其中x ≠4．说明如下：844844284x x x xx x x x x x 左边-=+---=+---=- =2=右边． ∴8244x x x x-+=--成立． 【点睛】本题考查了数字的变化以及分解因式，解题的关键是发现等式前面两分子数之和为定值8，并利用分解因式的方法证明该结论.27．(1)①补全图形见解析；②证明见解析；(2)BE=CE+DE ，证明见解析.【解析】【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②根据垂直平分线的性质可得EA ＝EB ，CA ＝CB ，根据等边三角形的性质可得CA ＝CD ，因此CD ＝CB ，即可证得∠EDC ＝∠B ；（2）如图，在EB 上截取EF ，使EF =CE ，连接CF ．根据垂直平分线的性质以及等边三角形的性质可推出∠EDC ＝∠EAC，又因为∠1＝∠2，可得∠DEA ＝60°，所以∠AEB ＝120°，进而可推出△CEF 是等边三角形，因此△CDF ≌△CBE ，故BE ＝DF ＝CE ＋DE.【详解】(1)①补全图形如图所示．②∵直线m 是AB 的垂直平分线，∴EA=EB ，CA=CB ．∴∠EAC =∠B ．∵△ACD是等边三角形，∴CA=CD．∴CD=CB．∴∠EDC=∠B．∴∠EAC=∠EDC．(2)BE=CE+DE．如图，在EB上截取EF，使EF=CE，连接CF．∵直线m是AB的垂直平分线，∴EA=EB，CA=CB．∴∠EAB=∠EBA，∠CAB=∠CBA．∴∠EAC=∠EBC．∵△ACD是等边三角形，∴CA=CD，∠ACD=60°．∴CD=CB．∴∠EDC=∠EBC．∴∠EDC=∠EAC．∵∠1=∠2，∴∠DEA=∠ACD=60°．∴∠AEB=120°．∵EA=EB，m⊥AB，∴∠AEC=∠BEC=60°．∴△CEF是等边三角形．∴∠CEF=∠CFE=60°．∴△CDF≌△CBE．∴DF=BE．∴BE=CE+DE．【点睛】本题主要考查了学生作图的能力、垂直平分线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握这些知识点并综合运用是解答的关键.28．(1)P2 , P3；(2)t＜0或t＞3；(3)当点Q的坐标为(1，0)时，线段QB与QC的和最小．【解析】【分析】（1）利用近轴点的意义即可得出结论；（2）①根据远轴点的定义通过图像判断即可；②根据题意，点Q在线段AB的垂直平分线l上，将情况分为点B，C在l的同侧以及在l的异侧进行讨论：当B，C在l的同侧时，易知当点C与点O重合，Q为AO与直线l的交点时，QB＋QC最小，根据30°角的三角函数关系得到QC与BQ的关系，再根据OA＝QC＋AQ ＝QC＋BQ＝3列方程求出Q点坐标即可；当B，C在l的异侧时，显然QB+QC＞3，即可得到答案．【详解】(1)P2 , P3．(2)①t＜0或t＞3．②根据题意，点Q在线段AB的垂直平分线l上．当点B，C在直线l的同侧时，对于满足题意的点C的每一个位置，都有QB+QC=QA+QC．∵QA+QC≥AC，AC≥AO∴当点C与点O重合，Q为AO 与直线l交点时，QB+QC最小．∵∠OAB=30°，AQ=BQ，∴∠QBA=∠QBO=30°．∴OQ=12 BQ．在Rt△BOQ中，设OQ=x，则AQ=BQ=2x．∴3x=3．解得x=1．∴Q(1，0)．当点B，C在直线l的异侧时，QB+QC＞3．综上所述，当点Q的坐标为(1，0)时，线段QB与QC的和最小．【点睛】本题主要考查学生对新定义的理解能力、垂直平分线的性质以及运用一元一次方程解决问题的能力，解题的关键是正确理解题中所给“远轴点”、“近轴点”的意义，并利用所学灵活解决问题.。

2020-2021学年北京市东城区三年级（下）期末数学试卷一、直接写出下面各题的得数。

（8分）1．直接写出下面各题的得数。

50×70＝18×3＝400÷4＝15×20＝600×2＝0÷7＝270÷9＝93÷3＝二、填空。

（17分）2．一年有个月；2021年共有天；一天是小时。

3．在横线上填“＞”“＜”或“＝”。

66÷366×30÷980×980.8+0.60.8﹣0.64．这支油画棒的长度是厘米。

（括号里填小数）5．指南针是我国古代的四大发明之一，它的指针一端指向南，另一端指向。

6．在横线上填写适当的单位名称。

一张课桌桌面的面积大约是25 ；一间教室地面的面积大约是60 。

7．陈叔叔公司的工作时间是“朝九晚五”，意思是上午9时上班，下午5时下班。

①在如图的公告栏中用24时计时法表示这个公司员工的上、下班时间。

②按这个规定，陈叔叔一天工作小时。

8．下面两个图形是由相同的小正方形拼成的，这两个图形的面积。

（填“相等”或“不相等”）三、选择正确答案的序号填在括号里。

（10分）9．下面的物品中，最便宜的是（）A．B．C．D．10．35×16的结果比34×16的结果大（）A．1B．16C．34D．3511．王老师为同学们买了29本书，每本书的价格在22元至29元之间，这些书的总价格大约（）A．不到300元B．在300元到600元之间C．在600元到900元之间D．超过900元12．一根铁丝正好可以围成一个边长是2厘米的正方形，把这根铁丝展开再围成一个长方形（无剩余），这个长方形的面积可能是（）平方厘米。

A．3B．7C．12D．1513．物流公司的张叔叔早上6时开货车从沈阳出发，平均每小时行驶90千米，当天下午2时到达北京。

下面问题中，需要用到上面的所有信息才能解决的问题是（）A．张叔叔几时从沈阳出发？B．张叔叔从沈阳到北京需要多少小时？C．张叔叔从沈阳到北京大约行驶了多少千米？D．张叔叔如果途中休息了1小时，几时到北京？四、列竖式计算下面各题（带*号的题要验算）。

2020-2021学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷试题数：21，总分：150（其中i是虚数单位），则z在复平面内对应的点的坐标1.（单选题，5分）已知复数z=1+ii是（）A.（1，1）B.（1，-1）C.（-1，1）D.（-1，-1）2.（单选题，5分）如图、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，若AB=PD=3，AD=2，则该四棱锥的体积为（）A.18B.12C.9D.63.（单选题，5分）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率是（）A. 14B. 13C. 12D. 234.（单选题，5分）设α，β是两个不同的平面，n是平面α内的一条直线，则“n⊥β”是“α⊥β”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.（单选题，5分）在△ABC中，√3asinB=3bcosA，则∠A=（）A. 5π6B. 2π3C. π3D. π66.（单选题，5分）水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮．以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”．育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献．某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量（单位：kg）如表：品种第1年第2年第3年第4年第5年第6年甲900 920 900 850 910 920乙890 960 950 850 860 890根据以上数据，下面说法正确的是（）A.甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大B.甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小C.甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等D.甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定7.（单选题，5分）向量a⃗，b⃗⃗，e⃗，e2⃗⃗⃗⃗在正方形网格中的位置如图所示，若a⃗−b⃗⃗=λ e1⃗⃗⃗⃗+μ=（）e2⃗⃗⃗⃗（λ，μ∈R），则λμA.3B. 13C.-3D. −138.（单选题，5分）某中学举办知识竞赛，共50人参加初试，成绩如表：95 90 85 80 75 70 65 60 60以下成绩（分）人数 1 4 6 5 4 6 7 8 9如果有40%的学生可以参加复试，则进入复试的分数线可以为（）A.65B.70C.75D.809.（单选题，5分）在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若点E 是棱AB 的中点，点M 是底面ABCD 内的动点，且满足A 1M⊥C 1E ，则线段AM 的长的最小值为（ ） A. √55 B.2√55 C.1 D. √5210.（单选题，5分）已知不共线的平面向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ ， c ⃗ 两两的夹角相等，且| a ⃗ |=1，| b ⃗⃗ |=2，| c ⃗ |=3，实数λ1，λ2，λ3∈[-1，1]，则|λ1 a ⃗ +λ2 b ⃗⃗ +λ3 c ⃗ |的最大值为（ ） A. √3 B.2 √3 C. √21 D.511.（填空题，5分）已知平面向量 a ⃗ =（2，k ）， b ⃗⃗ =（3，2），且 a ⃗ ⊥ b ⃗⃗ ，则实数k=___ ． 12.（填空题，5分）若复数z=a 2+a-2+（a 2-1）i 为纯虚数，则实数a 的值为 ___ ．13.（填空题，5分）某班有42名学生，其中选考物理的学生有21人，选考地理的学生有14人，选考物理或地理的学生有28人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为 ___ ．14.（填空题，5分）已知一组不全相等的样本数据的平均数为10，方差为2，现再加入一个新数10，则新样本数据的平均数 ___ ，方差 ___ .（填“变大”，“变小”，“不变”）15.（填空题，5分）已知等边△ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，点M 是AC 边上的动点，则 MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 ___ ，最小值为 ___ ． 16.（填空题，5分）已知△ABC 的三边长为连续的正整数，给出下列四个结论： ① 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于另外两个角的和； ② 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角大于另外两个角的和； ③ 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的2倍； ④ 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的3倍． 其中所有正确结论的序号是 ___ ．17.（问答题，14分）在△ABC 中， b 2+c 2−√62bc =a 2 ．（Ⅰ）求cosA 的值；（Ⅱ）若B=2A ， b =√6 ，求a 的值．18.（问答题，14分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点．（Ⅰ）求证：BD || 平面AEF；（Ⅱ）求证：EF⊥平面ACC1A1；（Ⅲ）判断点C1是否在平面AEF内，并说明理由．19.（问答题，14分）某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在[70，80）中的市民有200人．心理测评评价标准调查评分[0，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100] 心理等级 E D C B A （Ⅰ）求n的值及频率分布直方图中t的值；（Ⅱ）在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40，50）的市民的心理等级转为B的概率为14，调查评分在[50，60）的市民的心理等级转为B的概率为13，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B 的概率；（Ⅲ）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷100）20.（问答题，14分）在锐角△ABC 中， A =π6，BC =√7 ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点．且DE=2．再从条件 ① 、条件 ② 、条件 ③ 中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并求，（Ⅰ）sinC 的值； （Ⅱ）∠BDE 的大小； （Ⅲ）四边形BCED 的面积． 条件 ① ： AB =3√3 ； 条件 ② ： cosB =√2114； 条件 ③ ：EC=3．21.（问答题，14分）将平面直角坐标系中的一列点A 1（1，a 1），A 2（2，a 2），…，A n （n ，a n ），…记为|A n |，设f （n ）= A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •j ，其中j 为与y 轴方向相同的单位向量．若对任意的正整数n ，都有f （n+1）＞f （n ），则称{A n }为T 点列．（Ⅰ）判断 A 1(1，1)，A 2(2，12)，A 3(3，13)，⋅⋅⋅，A n (n ，1n )，⋅⋅⋅ 是否为T 点列，并说明理由；（Ⅱ）若{A n }为T 点列，且a 2＞a 1.任取其中连续三点A k ，A k+1，A k+2，证明△A k A k+1A k+2为钝角三角形；（Ⅲ）若{A n }为T 点列，对于正整数k ，l ，m （k ＜l ＜m ），比较 A l A m+k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •j 与 A l−k A m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •j 的大小，并说明理由．2020-2021学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（单选题，5分）已知复数z=1+ii（其中i是虚数单位），则z在复平面内对应的点的坐标是（）A.（1，1）B.（1，-1）C.（-1，1）D.（-1，-1）【正确答案】：B【解析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】：解：∵ z=1+ii = (1+i)(−i)−i2=1−i，∴z在复平面内对应的点的坐标是（1，-1）．故选：B．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.（单选题，5分）如图、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，若AB=PD=3，AD=2，则该四棱锥的体积为（）A.18B.12C.9D.6【正确答案】：D【解析】：根据棱锥的体积公式，计算即可．【解答】：解：四棱锥P-ABCD中，底面矩形ABCD的面积为S矩形ABCD=AB•AD=3×2=6，因为PD⊥底面ABCD，所以四棱锥的高为PD=3，所以该四棱锥的体积为V四棱锥P-ABCD= 13 S矩形ABCD•PD= 13×6×3=6．故选：D．【点评】：本题考查了利用棱锥的体积公式计算四棱锥体积的应用问题，是基础题．3.（单选题，5分）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率是（）A. 14B. 13C. 12D. 23【正确答案】：B【解析】：根据不放回抽取的规则以及古典概型的概率计算公式即可求解．【解答】：解：对2个红色球，2个绿色球依次编号为1，2，a，b，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，共有（1，2），（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（a，b），（2，1），（a，1），（b，1），（a，2），（b，2），（b，a）12种，则两个球颜色相同的情况共有（1，2），（2，1），（a，b），（b，a）4种，则两个球颜色相同的概率P= 412=13，故选：B．【点评】：本题考查了古典概型的概率计算公式，涉及到不放回抽取的应用，属于基础题．4.（单选题，5分）设α，β是两个不同的平面，n是平面α内的一条直线，则“n⊥β”是“α⊥β”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：由空间中直线与平面、平面与平面的位置关系结合充分必要条件的判定方法得答案．【解答】：解：n⊂α，若n⊥β，由平面与平面垂直的判定可得α⊥β，反之，若n⊂α，α⊥β，可得n与β有三种位置关系，即n⊂β或n || β或n与β相交，相交也不一定垂直，∴“n⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故选：A．【点评】：本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．5.（单选题，5分）在△ABC中，√3asinB=3bcosA，则∠A=（）A. 5π6B. 2π3C. π3D. π6【正确答案】：C【解析】：根据已知条件，运用正弦定理，可得tanA= √3，再结合A角的范围，即可求解．【解答】：解：∵ √3asinB=3bcosA，∴由正弦定理，可得√3sinAsinB=3sinBcosA，∵B∈（0，π），∴sinB≠0，tanA= √3，又∵A∈（0，π），．∴A= π3故选：C．【点评】：本题考查了正弦定理，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．6.（单选题，5分）水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮．以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”．育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献．某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量（单位：kg）如表：乙890 960 950 850 860 890根据以上数据，下面说法正确的是（）A.甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大B.甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小C.甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等D.甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定【正确答案】：D【解析】：根据已知数据对应各个选项逐个计算判断即可求解．【解答】：解：选项A：甲种水稻产量的平均数为：900+920+900+850+910+9206=900，乙种水稻产量的平均数为：890+960+950+850+860+8906=900，即甲乙种的水稻产量的平均数相等，故A错误，选项B：甲种的水稻产量分别为：850，900，900，910，910，920，中位数为900+9102= 905，乙种的水稻产量分别为：850，860，890，890，950，960，中位数为890＜905，故B错误，选项C：甲种的水稻产量的极差为920-850=70，乙种的水稻产量的极差为960-850=110＞70，故C错误，选项D：甲种的水稻产量的方差为：16[(850−900)2+(910−900)2+(920−900)2+(920−900)2] = 17003，乙种的水稻产量的方差为：16[(890−900)2+(960−900)2+(950−900)2 +（850-900）2+（860-900）2+（890-900）2]= 52003＞17003，因为甲乙种的水稻产量的平均数相等，而甲种的水稻产量的方差小于乙，故甲种的水稻产量稳定，故D正确，故选：D．【点评】：本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题，涉及到平均数，中位数以及方差的运算，考查了学生的运算能力，属于中档题．7.（单选题，5分）向量a⃗，b⃗⃗，e⃗，e2⃗⃗⃗⃗在正方形网格中的位置如图所示，若a⃗−b⃗⃗=λ e1⃗⃗⃗⃗+μ e2⃗⃗⃗⃗（λ，μ∈R），则λμ=（）A.3B. 13C.-3D. −13【正确答案】：D【解析】：由图可知：a⃗=−e1⃗⃗⃗⃗−4e2⃗⃗⃗⃗，b⃗⃗=−2e1⃗⃗⃗⃗−e2⃗⃗⃗⃗，再利用向量的线性运算性质即可得出．【解答】：解：由图可知：a⃗=−e1⃗⃗⃗⃗−4e2⃗⃗⃗⃗，b⃗⃗=−2e1⃗⃗⃗⃗−e2⃗⃗⃗⃗，∴ a⃗−b⃗⃗ =（- e1⃗⃗⃗⃗−4e2⃗⃗⃗⃗）-（-2 e1⃗⃗⃗⃗−e2⃗⃗⃗⃗）= e1⃗⃗⃗⃗−3e2⃗⃗⃗⃗，则λ=1，μ=-3，所以λμ =- 13．故选：D．【点评】：本题考查了向量的坐标运算及其线性运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.（单选题，5分）某中学举办知识竞赛，共50人参加初试，成绩如表：A.65B.70C.75D.80【正确答案】：C【解析】：计算累计频数即可．【解答】：解：因为50×40%=20，且75～95分共有20人，所以进入复试的分数线可以定为75．故选：C．【点评】：本题考查频数表的理解，属于基础题．9.（单选题，5分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点E是棱AB的中点，点M 是底面ABCD内的动点，且满足A1M⊥C1E，则线段AM的长的最小值为（）A. √55B.2√55C.1D. √52【正确答案】：B【解析】：以点A 为原点建立空间直角坐标系，再由A 1M⊥C 1E 可得M 的轨迹方程，从而由平面知识得到AM 长的最小值．【解答】：解：如图所示，建立空间直角坐标系，设A 1（0，0，1），C 1（1，1，1），E （ 12 ，0，0），M （x ，y ，0），所以 A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x ，y ，-1）， C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（- 12，-1，-1）， 因为A 1M⊥C 1E ，所以- 12 x-y+1=0，即点M 的轨迹方程为x+2y-2=0， 所以线段AM 的最小值为 2√12+22=2√55， 故选：B ．【点评】：本题考查空间线面关系的应用，涉及空间向量的应用，点到直线距离的最小值求法，属于中档题．10.（单选题，5分）已知不共线的平面向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ ， c ⃗ 两两的夹角相等，且| a ⃗ |=1，| b ⃗⃗ |=2，| c ⃗ |=3，实数λ1，λ2，λ3∈[-1，1]，则|λ1 a ⃗ +λ2 b ⃗⃗ +λ3 c ⃗ |的最大值为（ ） A. √3 B.2 √3 C. √21 D.5【正确答案】：C【解析】：根据向量之间的夹角和模长求解两两之间的数量积，然后把目标式平方，结合λ1，λ2，λ3的取值范围，即可求解．【解答】：解：∵不共线的平面向量a⃗，b⃗⃗，c⃗两两的夹角相等，∴平面向量a⃗，b⃗⃗，c⃗两两的夹角都为120°，∵| a⃗ |=1，| b⃗⃗ |=2，| c⃗ |=3，，b⃗⃗•c⃗=−3，∴ a⃗•b⃗⃗=−1，a⃗•c⃗=−32|λ1a⃗+λ2b⃗⃗+λ3c⃗|2 = λ12+4λ22+9λ32−2λ1λ2−6λ2λ3−3λ1λ3 = (λ1−λ2)2+(3λ3−λ2)2+2λ22−3λ1λ3，∵λ1，λ2，λ3∈[-1，1]，∴当λ1=1，λ2=1，λ3=-1 时，|λ1a⃗+λ2b⃗⃗+λ3c⃗|2取得最大值为21，∴|λ1a⃗+λ2b⃗⃗+λ3c⃗ |的最大值为√21．故选：C．【点评】：本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．11.（填空题，5分）已知平面向量a⃗ =（2，k），b⃗⃗ =（3，2），且a⃗⊥ b⃗⃗，则实数k=___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：根据a⃗⊥b⃗⃗可得出a⃗•b⃗⃗=0，然后进行数量积的坐标运算即可求出k的值．【解答】：解：∵ a⃗⊥b⃗⃗，∴ a⃗•b⃗⃗=6+2k=0，解得k=-3．故答案为：-3．【点评】：本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．12.（填空题，5分）若复数z=a2+a-2+（a2-1）i为纯虚数，则实数a的值为 ___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：根据已知条件，结合纯虚数的概念，即可求解．【解答】：解：∵复数z=a2+a-2+（a2-1）i为纯虚数，∴ {a2+a−2=0，解得a=-2．a2−1≠0故答案为：-2．【点评】：本题考查了纯虚数的概念，属于基础题13.（填空题，5分）某班有42名学生，其中选考物理的学生有21人，选考地理的学生有14人，选考物理或地理的学生有28人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为 ___ ．【正确答案】：[1] 16【解析】：设既选考物理又选考地理的学生有x人，然后根据已知条件求出x的值，再根据古典概型的概率计算公式即可求解．【解答】：解：设既选考物理又选考地理的学生有x人，则只选物理的人数为21-x人，只选地理的人数为14-x人，所以选考物理或地理的学生人数为21-x+14-x+x=28，解得x=7，故所求事件的概率为742=16，故答案为：16．【点评】：本题考查了古典概型以及概率计算公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．14.（填空题，5分）已知一组不全相等的样本数据的平均数为10，方差为2，现再加入一个新数10，则新样本数据的平均数 ___ ，方差 ___ .（填“变大”，“变小”，“不变”）【正确答案】：[1]不变; [2]变小【解析】：由平均数公式以及方差的计算公式分析即可．【解答】：解：设原来的一组数据有n个，分别为x1，x2，•••，x n，则有x1+x2+•••+x n=10n，方差s2=1n[（x1-10）2+（x2-10）2+•••+（x n-10）2]，所以（x1-10）2+（x2-10）2+•••+（x n-10）2=ns2，加入一个新数10后，平均数为1n+1（x1+x2+•••+x n+10）= 10n+10n+1=10，故平均数不变；新的方差s2’= 1n+1[（x1-10）2+（x2-10）2+•••+（x n-10）2+（10-10）2]= 1n+1•ns2= nn+1•s2＜s2，故方差变小．故答案为：不变；变小．【点评】：本题考查了平均数与方差的运算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．15.（填空题，5分）已知等边△ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，点M 是AC 边上的动点，则 MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 ___ ，最小值为 ___ ． 【正确答案】：[1]3; [2]- 116【解析】：以AC 所在的直线为x 轴，AC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，再结合平面向量的数量积公式和三角函数的单调性，即可求解．【解答】：解：以AC 所在的直线为x 轴，AC 的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， ∵等边△ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点， ∴A （-1，0），B （0， √3 ），C （1，0）， D (12，√32) ， 设点M 的坐标为M （x ，0），-1≤x≤1，∴ MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1−x ，0) ， MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(12−x ，√32) ， ∴ MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1−x )(12−x)=x 2−32x +12，设f （x ）= x 2−32x +12，-1≤x≤1， ∵函数f （x ）的对称轴为 x =34 ，∴f （x ）在区间 [−1，34] 单调递减，在区间 [34，1] 单调递增，当x=-1时，f （x ）max =f （-1）=3， 当x= 34 时， f (x )min =f (34)=−116 ． 故答案为：3， −116．【点评】：本题主要考查了平面向量的数量积公式，建立平面直角坐标系是解本题的关键，属于中档题．16.（填空题，5分）已知△ABC 的三边长为连续的正整数，给出下列四个结论：① 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于另外两个角的和；② 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角大于另外两个角的和； ③ 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的2倍； ④ 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的3倍． 其中所有正确结论的序号是 ___ ． 【正确答案】：[1] ① ② ③【解析】：根据题意，由余弦定理和正弦定理分析四个结论，综合可得答案．【解答】：解：根据题意，设△ABC 的三边长依次为n-1，n ，n+1，设最大角为A ，最小角得B ，对于 ① ，当n=4时，△ABC 的三边长依次为3，4，5，此时△ABC 为直角三角形，三个内角中的最大角等于另外两个角的和， ① 正确；对于 ② ，当n=3时，△ABC 的三边长依次为2，3，4，cosA= 4+9−162×2×3 ＜0，为钝角三角形，三个内角中的最大角大于另外两个角的和， ② 正确； 对于 ③ ，当n=5时，△ABC 的三边长依次为4，5，6，cosA= 16+25−362×4×5 = 18 ，cosB= 25+36−162×5×6 = 34 ，有cosA=2cos 2B-1=cos2B ，则有A=2B ， ③ 正确；对于 ④ ，假设存在符合题意的三角形，则A=3B ，则有 n+1sinA = nsinC = n−1sinB ， 又由A=3B ，则sinA=sin3B=3sinB-4sin 3B ，sinC=sin （A+B ）=sin4B ，n+1sin3B = n sin4B = n−1sinB ，变形可得：n-1= n 8cos 3B−4cosB = n+14cos 2B−1， 由n-1= n+14cos 2B−1 ，可得2cos 2B= nn−1 ， 而n-1= n8cos 3B−4cosB ，联立可得：n 2-n-8=0，无整数解，即不存在使得三个内角中的最大角等于最小角的3倍的三角形， ④ 错误； 故答案为： ① ② ③ ．【点评】：本题考查三角形中的几何计算，涉及余弦定理的应用，属于中档题． 17.（问答题，14分）在△ABC 中， b 2+c 2−√62bc =a 2 ．（Ⅰ）求cosA 的值；（Ⅱ）若B=2A ， b =√6 ，求a 的值．【正确答案】：【解析】：（I）根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．（II）由已知条件cosA=√64，运用三角函数的同角公式，可得sinA= √104，再结合正弦定理和二倍角公式，即可求解．【解答】：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，b2+c2=a2+√62bc，又∵由余弦定理，可得cosA=b 2+c2−a22bc，∴ cosA=√62bc2bc=√64．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，0＜A＜π2，∴ sinA=√1−cos2A=√104．∵B=2A，∴ sinB=sin2A=2sinAcosA=2×√104×√64=√154又∵ b=√6，asinA =bsinB，∴ a=bsinAsinB =√6×√104√154=2．【点评】：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．18.（问答题，14分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点．（Ⅰ）求证：BD || 平面AEF；（Ⅱ）求证：EF⊥平面ACC1A1；（Ⅲ）判断点C1是否在平面AEF内，并说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由已知利用正方体的性质可证BD || EF，根据线面平行的判定即可得解．（Ⅱ）利用线面垂直的性质可证AA1⊥BD，利用正方形的性质可证AC⊥BD，又由（Ⅰ）知BD || EF，可证EF⊥AA1，利用线面垂直的判定即可证明EF⊥平面ACC1A1．（Ⅲ）取CC1中点G，连接GB，FG，EC1，由正方体性质可证DF || CG，DF=CG，通过证明四边形DCGF为平行四边形．可证FG || DC，FG=DC，通过证明四边形ABGF为平行四边形，可证AF || BG，利用正方体的性质可证BE || GC1，BE=GC1，通过证明四边形BGC1E为平行四边形，可证BG || EC1，通过证明EC1 || AF，可得点C1在平面AEF内．【解答】：解：（Ⅰ）因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点，所以BE || DF，BE=DF，所以四边形BEFD为平行四边形，所以BD || EF，又因为BD⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以BD || 平面AEF．（Ⅱ）因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥BD，因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，又由（Ⅰ）知BD || EF，所以EF⊥AA1，EF⊥AC，又因为AC∩AA1=A，所以EF⊥平面ACC1A1．（Ⅲ）点C1在平面AEF内，理由如下：取CC1中点G，连接GB，FG，EC1，因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点G，F分别是棱CC1，DD1的中点，所以DF || CG，DF=CG，所以四边形DCGF为平行四边形．所以FG || DC，FG=DC，又因为AB || DC，AB=DC，所以AB || FG，AB=FG，所以四边形ABGF为平行四边形．所以AF || BG，因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，G分别是棱BB1，CC1的中点，所以BE || GC1，BE=GC1，所以四边形BGC1E为平行四边形．所以BG || EC1，所以EC1 || AF，故点C1在平面AEF内．【点评】：本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质和判定，考查了空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．19.（问答题，14分）某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在[70，80）中的市民有200人．心理测评评价标准调查评分[0，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100] 心理等级 E D C B A （Ⅰ）求n的值及频率分布直方图中t的值；（Ⅱ）在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40，50）的市民的心理等级转为B的概率为14，调查评分在[50，60）的市民的心理等级转为B的概率为13，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率；（Ⅲ）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷100）【正确答案】：【解析】：（1）根据每组的小矩形的面积之和为1可解决此问题；（2）可先计算P（M⃗⃗⃗），然后计算P（M）=1-P（M⃗⃗⃗）；（3）先计算市民心理健康调查评分的平均值，再计算市民心理健康指数的平均值，可解决此问题．【解答】：解：（Ⅰ）由已知条件可得n=2000.02×10=1000，又因为每组的小矩形的面积之和为1．所以（0.035+0.025+0.02+0.004+8t）×10=1，解得t=0.002；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：t=0.002，所以调查评分在[40，50）中的人数是调查评分在[50，60）中人数的12，若按分层抽样抽取3人，则调查评分在[40，50）中有1人，在[50，60）中有2人，设事件M=“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”．因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，所以P(M)=34×23×23=13，所以P(M)=1−P(M)=1−13=23，故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为23；（Ⅲ）由频率分布直方图可得，45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7．估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7，所以市民心理健康指数平均值为80.7100=0.807＞0.75．所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动．【点评】：本题考查频率分布直方图中某个矩形对应纵坐标算法、平均数算法、独立事件概率算法，考查数学运算能力，属于中档题．20.（问答题，14分）在锐角△ABC中，A=π6，BC=√7，D，E分别是边AB，AC上的点．且DE=2．再从条件① 、条件② 、条件③ 中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并求，（Ⅰ）sinC的值；（Ⅱ）∠BDE的大小；（Ⅲ）四边形BCED的面积．条件① ：AB=3√3；条件② ：cosB=√2114；条件③ ：EC=3．【正确答案】：【解析】：选条件① ③ 时，（Ⅰ）直接利用正弦定理的应用求出结果；（Ⅱ）直接利用三角函数的值和余弦定理的应用求出结果；（Ⅲ）利用三角形的面积公式的应用求出结果．选条件② ③ 时，（Ⅰ）直接利用三角函数的关系式的应用求出结果；（Ⅱ）直接利用三角函数的值和正弦定理的应用求出结果；（Ⅲ）利用作差法的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．【解答】：解：选条件① ③ 时，（Ⅰ）因为A=π6，BC=√7，AB=3√3，又因为在△ABC中，ABsinC =BCsinA，所以sinC=AB⋅sinABC =3√3×12√7=3√2114．（II）因为△ABC是锐角三角形，由（Ⅰ）知sinC=3√2114，所以cosC=√1−sin2C=√714．在△ABC中，因为AB2=BC2+AC2-2BC⋅AC⋅cosC，所以27=7+AC2−2√7AC×√714，即AC2-AC-20=0，解得AC=5．又因为EC=3，所以AE=2．又因为DE=2，所以∠ADE=A=π6．故∠BDE=5π6．（Ⅲ）因为AB=3√3，A=π6，由（Ⅱ）知AC=5，所以S△ABC=12AB⋅AC•sinA=15√34．又因为∠AED=∠BDE−A=2π3，所以S△ADE=12AE⋅DE⋅sin∠AED=√3．所以四边形BCED的面积为S△ABC−S△ADE=11√34．选条件② ③ 时，（Ⅰ）因为A=π6，cosB=√2114，所以0＜B＜π2，sinB=√1−cos2B=5√714．所以sinC=sin（B+A）=sinBcosA+cosBsinA 5√714×√32×√2114×12=3√2114．（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理：ACsinB =BCsinA，得AC=BC⋅sinBsinA=√7×5√71412=5，又因为EC=3，所以AE=2，又因为DE=2，所以∠ADE=A=π6故∠BDE=5π6．（Ⅲ）因为△ABC是锐角三角形，由（Ⅰ）知sinC=3√2114，所以cosC=√1−sin2C=√714．由余弦定理得：AB2=BC2+AC2−2BC⋅AC⋅cosC=7+25−2×√7×5×√714=27，解得：AB=3√3．所以S△ABC=12AB⋅AC⋅sinA=15√34．又因为∠AED=∠BDE−A=2π3，所以S△ADE=12AE⋅DE⋅sin∠AED=√3．所以四边形BCED的面积为S△ABC−S△ADE=11√34．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．21.（问答题，14分）将平面直角坐标系中的一列点A 1（1，a 1），A 2（2，a 2），…，A n （n ，a n ），…记为|A n |，设f （n ）= A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •j ，其中j 为与y 轴方向相同的单位向量．若对任意的正整数n ，都有f （n+1）＞f （n ），则称{A n }为T 点列．（Ⅰ）判断 A 1(1，1)，A 2(2，12)，A 3(3，13)，⋅⋅⋅，A n (n ，1n )，⋅⋅⋅ 是否为T 点列，并说明理由；（Ⅱ）若{A n }为T 点列，且a 2＞a 1.任取其中连续三点A k ，A k+1，A k+2，证明△A k A k+1A k+2为钝角三角形；（Ⅲ）若{A n }为T 点列，对于正整数k ，l ，m （k ＜l ＜m ），比较 A l A m+k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •j 与 A l−k A m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •j 的大小，并说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用T 点列的定义进行判断即可；（Ⅱ）利用{A n }为T 点列，得到对|A n |中连续三点A k ，A k+1，A k+2，都有a k+2-a k+1＞a k+1-a k ＞0，a k+2＞a k+1＞a k ，分析得出 |A k A k+2|2＞|A k+1A k+2|2＞|A k A k+1|2 ，∠A k A k+1A k+2为△A k A k+1A k+2的最大内角，然后由余弦定理判断即可；（Ⅲ）利用{A n }为T 点列，a n+2-a n+1＞a n+1-a n ，n=1，2，⋅⋅⋅，则列举不等式后，利用不等式的基本性质左右分别相加，可得a m+k -a l ＞a m -a l-k ，再由 A l A m+k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j =a m+k −a l ，A l−k A m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j =a m −a l−k ，即可判断得到答案．【解答】：解：（Ⅰ）{A n }为T 点列．理由如下： 由题意可知， A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1，1n+1−1n )，j =(0，1) ，所以 f (n )=A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j =1n+1−1n ，f (n +1)−f (n )=1n+2−1n+1−(1n+1−1n )=2n (n+1)(n+2)＞0 ， 即f （n+1）＞f （n ），n=1，2，…，所以 A 1(1，1)，A 2(2，12)，A 3(3，13)，A n (n ，1n )，⋅⋅⋅ 为T 点列； （Ⅱ）由题意可知， A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1，a n+1−a n )，j =(0，1) ， 所以 f (n )=A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j =a n+1−a n ， 因为{A n }为T 点列，所以f （n+1）-f （n ）=a n+2-a n+1-（a n+1-a n ）＞0，n=1，2，⋅⋅⋅， 又因为a 2＞a 1，所以a 2-a 1＞0，所以对|A n |中连续三点A k ，A k+1，A k+2，都有a k+2-a k+1＞a k+1-a k ＞0，a k+2＞a k+1＞a k ， 又 |A k A k+1|2=1+(a k+1−a k )2，|A k A k+2|2=4+(a k+2−a k )2，|A k+1A k+2|2=1+(a k+2−a k+1)2 ，所以 |A k A k+2|2＞|A k+1A k+2|2＞|A k A k+1|2 ， 所以∠A k A k+1A k+2为△A k A k+1A k+2的最大内角， 由余弦定理可得， cos∠A k A k+1A k+2=|A k+1A k+2|2+|A k A k+1|2−|A k A k+2|22|A k+1A k+2|⋅|A k A k+1|= 2a k+12−2a k+1a k −2a k+1a k+2+2a k+2a k −22|A k+1A k+2|⋅|A k A k+1| =2(a k+1−a k )(a k+1−a k+2)−22|A k+1A k+2|⋅|A k A k+1|＜0 ， 故∠A k A k+1A k+2为钝角，所以△A k A k+1A k+2为钝角三角形； （Ⅲ）由正整数k ，l ，m 满足k ＜l ＜m ，则m≥3，因为{A n }为T 点列，由（Ⅱ）知a n+2-a n+1＞a n+1-a n ，n=1，2，⋅⋅⋅， 所以a m+k -a m+k-1＞a m+k-1-a m+k-2， a m+k-1-a m+k-2＞a m+k-2-a m+k-3， ••••••a m+1-a m ＞a m -a m-1，两边分别相加可得a m+k -a m ＞a m+k-1-a m-1， 所以a m+k-1-a m-1＞a m+k-2-a m-2＞a l -a l-k ， 则a m+k -a m ＞a l -a l-k ， 所以a m+k -a l ＞a m -a l-k ，又 A l A m+k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(m +k −l ，a m+k −a l )，A l−k A m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(m −l +k ，a m −a l−k ) ， 所以 A l A m+k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j =a m+k −a l ，A l−k A m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j =a m −a l−k ， 所以 A l A m+k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j ＞A l−k A m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j ．【点评】：本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于难题．。

2020-2021学年北京市延庆区高二（下）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（单选题，4分）若全集U=R，A={x|x＜-1}，B={x|x＞1}，则（）A.A⊆BB.B⊆AC.∁U A⊆BD.B⊆∁U A2.（单选题，4分）复数2i1−i=（）A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i3.（单选题，4分）设向量a⃗ =（1，x-2），b⃗⃗ =（x+2，4），若a⃗ || b⃗⃗，则x=（）A.0B. ±2√2C. 103D. 2√24.（单选题，4分）“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.（单选题，4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2b，sinB=√34，则（）A. A=π3B.A= π3或A= 2π3C. sinA=√33D. sinA=√3986.（单选题，4分）焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2的抛物线的标准方程是（）A.x2=4yB.y2=8xC.x2=8yD.y2=4x7.（单选题，4分）设等差数列{a n}的前n项和S n，且a1=10，a3=8，那么下列不等式中成立的是（）A.a11+a12＜0B.a11-a12＜0C.S11-S12＜0D.S11-S10＜08.（单选题，4分）若f(x)=sinx−√3cosx在[-a，a]是增函数，则a的最大值为（）A.1B.2C. π6D. 5π69.（单选题，4分）学校要邀请9位学生家长中的6人参加一个座谈会，其中甲，乙两位家长不能同时参加，则邀请的不同方法为（）A.140种B.98种C.84种D.49种10.（单选题，4分）设集合A⊆{1，2，4，⋯，11}．若A中的任意三个元素均不构成等差数列，则A中的元素最多有（）A.6个B.7个C.8个D.9个11.（填空题，5分）曲线y=−1x在x=3处切线的斜率为 ___ ．12.（填空题，5分）若(x+ax2)6的展开式中的常数项为30，则常数a的值为 ___ ．13.（填空题，5分）若函数f （x ）=-x 2+ax 在区间（-1，0）上恰有一个极值点，则a 的取值范围是 ___ ．14.（填空题，5分）已知f （x ）=（x+1）3，设（x+1）3=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3，则a 1+2a 2+3a 3=___ ．15.（填空题，5分）已知函数 f (x )={|x +4e |，x ≤ 0，x +1x，x ＞0. 若关于x 的方程f （x ）=a （a∈R ）有四个实数解x i （i=1，2，3，4），其中x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则（x 1+x 2）（x 3-x 4）的取值范围是 ___ ．16.（问答题，14分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n∈N *，从条件 ① 、条件 ② 和条件 ③ 中选择两个作为已知，并完成解答．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n }满足b 3=a 2，b 4=a 4，求数列{a n +b n }的前n 项和T n ．条件 ① ：a 2=4；条件 ② ：a n+1-a n =2；条件 ③ ：S 2=6．17.（问答题，14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD ，PA=AD=CD=2，BC=3， AC =2√2 ，E 为PB 中点，CD⊥BC ．（Ⅰ）求证：BC || 平面PAD ；（Ⅱ）求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值．18.（问答题，14分）2020年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30平方米．下表为2007年-2016年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据．单位：平方米2平方米的概率；（Ⅱ）在给出的10年数据中，随机抽取三年，记X为同年中农村人均住房建筑面积超过城镇人均住房建筑面积4平方米的年数，求X的分布列和数学期望E（X）．19.（问答题，14分）已知函数f（x）=e x+ax（a∈R）．（Ⅰ）若a＜0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=3，证明：当x＞0时，f（x）＞x2+3x+1恒成立．20.（问答题，14分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)经过点（0，2），且e=√22．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆C相切于点M，与直线x=x0相交于点N．已知点P（-2，0），且PM⊥PN，求此时x0的值．21.（问答题，15分）已知数列A n：a1，a2，⋅⋅⋅，a n（n≥2）满足：① |a1|=1；② |a k+1||a k|=2（k=1，2，⋅⋅⋅，n-1）．记S（A n）=a1+a2+…+a n．（Ⅰ）直接写出S（A3）的所有可能值；（Ⅱ）证明：S（A n）＞0的充要条件是a n＞0；（Ⅲ）若S（A n）＞0，求S（A n）的所有可能值的和．2020-2021学年北京市延庆区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（单选题，4分）若全集U=R，A={x|x＜-1}，B={x|x＞1}，则（）A.A⊆BB.B⊆AC.∁U A⊆BD.B⊆∁U A【正确答案】：D【解析】：由题意可得∁U A={x|x≥-1}，∁U B={x|x≤1}，再判断集合间的关系即可．【解答】：解：∵全集U=R，A={x|x＜-1}，B={x|x＞1}，∴∁U A={x|x≥-1}，∁U B={x|x≤1}，故B⊆∁U A，故选：D．【点评】：本题考查了补集的求法及集合间的关系应用，属于基础题．2.（单选题，4分）复数2i1−i=（）A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i【正确答案】：C【解析】：根据已知条件，运用复数的运算法则，即可求解．【解答】：解：2i1−i = 2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i．故选：C．【点评】：本题主要考查了复数的运算法则，属于基础题．3.（单选题，4分）设向量a⃗ =（1，x-2），b⃗⃗ =（x+2，4），若a⃗ || b⃗⃗，则x=（）A.0B. ±2√2C. 103D. 2√2【正确答案】：B【解析】：利用向量平行的性质，可得（x+2）（x-2）=4，然后求出x的值．【解答】：解：∵向量a⃗ =（1，x-2），b⃗⃗ =（x+2，4），a⃗ || b⃗⃗，∴（x+2）（x-2）=4，解得x= ±2√2．故选：B．【点评】：本题考查了向量平行的性质，考查运算求解能力，是基础题．4.（单选题，4分）“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：根据题意，由等比数列的定义可得若“ad=bc”，不一定有“a，b，c，d成等比数列”，反之若“a，b，c，d成等比数列”，必有“ad=bc”，结合充分必要条件的定义分析可得答案．【解答】：解：根据题意，若“ad=bc”，不一定有“a，b，c，d成等比数列”，如ad=bc=0时，反之，若“a，b，c，d成等比数列”，必有“ad=bc”，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件，故选：B．【点评】：本题考查充分必要条件的判断，涉及等比数列的定义和性质，属于基础题．5.（单选题，4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2b，sinB=√34，则（）A. A=π3B.A= π3或A= 2π3C. sinA=√33D. sinA=√398【正确答案】：B【解析】：根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．【解答】：解：∵a=2b，sinB=√34，∴由正弦定理可得，asinA =bsinB，则sinA= asinBb=2×√34=√32，∵A∈（0，π），∴A= π3或A= 2π3．故选：B．【点评】：本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．6.（单选题，4分）焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2的抛物线的标准方程是（）A.x2=4yB.y2=8xC.x2=8yD.y2=4x【正确答案】：D【解析】：由题意设抛物线方程为y2=2px（p＞0），再由焦点到准线的距离为2，得p=2，则抛物线方程可求．【解答】：解：由题意可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），且p=2，则抛物线方程为y2=4x，故选：D．【点评】：本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，是基础题．7.（单选题，4分）设等差数列{a n}的前n项和S n，且a1=10，a3=8，那么下列不等式中成立的是（）A.a11+a12＜0B.a11-a12＜0C.S11-S12＜0D.S11-S10＜0【正确答案】：A【解析】：设出等差数列的公差为d ，根据a 1=10和a 3=8求出a 1和d ，即可逐一判断．【解答】：解：设等差数列的公差为d ，由a 1=10，a 3=a 1+2d=10+2d=8，得到d=-1，所以a n =11-n ．对于A ，a 12+a 11=a 1+11d+a 1+10d=-1＜0，故正确；对于B ，a 11-a 12=-d ＞0，故B 错；对于C ，S 11-S 12=-a 12=-（11-12）＞0，故C 错；对于D ，S 11-S 10=a 11=11-11=0，故D 错；故选：A ．【点评】：本题考查了等差数列的性质，属于基础题．8.（单选题，4分）若 f (x )=sinx −√3cosx 在[-a ，a]是增函数，则a 的最大值为（ ）A.1B.2C. π6D. 5π6【正确答案】：C【解析】：利用辅助角公式进行化简，求出函数的单调递增区间，根据函数的单调性建立不等式进行求解即可．【解答】：解：f （x ）=2sin （x- π3 ），由2kπ- π2 ≤x - π3 ≤2kπ+ π2 ，k∈Z ，得2kπ- π6 ≤x≤2kπ+ 5π6 ，k∈Z ，当k=0时，函数的递增区间为[- π6 ， 5π6 ]，∵f （x ）在[-a ，a]是增函数，∴ {−a ≥−π6a ≤5π6，得0＜a≤ π6 ， 即a 的最大值为 π6 ，故选：C ．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，求出函数的单调区间是解决本题的关键，是中档题．9.（单选题，4分）学校要邀请9位学生家长中的6人参加一个座谈会，其中甲，乙两位家长不能同时参加，则邀请的不同方法为（）A.140种B.98种C.84种D.49种【正确答案】：D【解析】：分甲，乙两位家长都不参加，甲，乙两位家长只有1人参加，两种情况求解．【解答】：解：若甲，乙两位家长都不参加，则有C76=7种不同的方法，若甲，乙两位家长只有1人参加，则有C21C75=42种不同的方法，综上所述，共有7+42=49种不同的方法．故选：D．【点评】：本题考查了组合及计数问题，考查分类讨论的思想，属于基础题．10.（单选题，4分）设集合A⊆{1，2，4，⋯，11}．若A中的任意三个元素均不构成等差数列，则A中的元素最多有（）A.6个B.7个C.8个D.9个【正确答案】：A【解析】：若数列a1，a2，a3，a4，……，a n中任意三个元素均不构成等差数列，则数列a1-k，a2-k，a3-k，a4-k，……，a n-k（k为任意实数）中任意三个元素也均不构成等差数列，从而转化为A中的元素从小到大排序后从1开始，且后一项尽量小即可，从而写出集合A即可．【解答】：解：由等差数列的性质可得，若数列a1，a2，a3，a4，……，a n中任意三个元素均不构成等差数列，则数列a1-k，a2-k，a3-k，a4-k，……，a n-k（k为任意实数）中任意三个元素也均不构成等差数列，故若使A中的元素最多，则可以使A中的元素从小到大排序后从1开始，且后一项尽量小即可；则a1=1，a2=2，a3=4，a4=5，a5=10，a6=11，故选：A．【点评】：本题考查了学习转化能力，同时考查了等差数列的应用及转化思想方法的应用，属于中档题．11.（填空题，5分）曲线y=−1x在x=3处切线的斜率为 ___ ．【正确答案】：[1] 19【解析】：对y=−1x求导，利用导数的几何意义求解即可．【解答】：解：y′= 1x2，所以y′|x=3= 19，即曲线y=−1x 在x=3处切线的斜率为19．故答案为：19．【点评】：本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．12.（填空题，5分）若(x+ax2)6的展开式中的常数项为30，则常数a的值为 ___ ．【正确答案】：[1] ±√2【解析】：先求出二项展开式的通项公式，再令x的指数为0，求出r的值，即可求得展开式中的常数项的值，再结合已知即可求解a的值．【解答】：解：(x+ax2)6的展开式的通项公式为T r+1= C6r x6-r(ax2)r=a r C6r x6-3r，令6-3r=0，可得r=2，所以(x+ax2)6的展开式中常数项为a2C62 =30，解得a=± √2．故答案为：± √2．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，考查运算求解能力，属于基础题．13.（填空题，5分）若函数f （x ）=-x 2+ax 在区间（-1，0）上恰有一个极值点，则a 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1]（-2，0）【解析】：利用导数求得极值点，即可求解．【解答】：解：∵f′（x ）=-2x+a ，令f′（x ）=0，可得x= a 2，∵函数f （x ）=-x 2+ax 在区间（-1，0）上恰有一个极值点，∴-1＜ a2 ＜0， ∴-2＜a ＜0，故答案为：（-2，0）．【点评】：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了数形结合和转化的思想方法，属于中档题．14.（填空题，5分）已知f （x ）=（x+1）3，设（x+1）3=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3，则a 1+2a 2+3a 3=___ ． 【正确答案】：[1]12【解析】：对f （x ）求导，再令x=1，即可求解．【解答】：解：对f （x ）求导可得f′（x ）=3（x+1）2=a 1+2a 2x+3a 3x 2， 令x=1可得a 1+2a 2+3a 3=3×22=12． 故答案为：12．【点评】：本题主要考查二项式定理，导数的应用，考查运算求解能力，属于基础题． 15.（填空题，5分）已知函数 f (x )={|x +4e |，x ≤ 0，x +1x ，x ＞0. 若关于x 的方程f （x ）=a （a∈R ）有四个实数解x i （i=1，2，3，4），其中x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则（x 1+x 2）（x 3-x 4）的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1] (0，16e√4e 2−1]【解析】：由函数的图象及性质判断出x 1，x 2，x 3，x 4之间的关系，进而把所求式子转化为y=x- 1x 在（0，2e- √4e 2−1 ）上的取值范围，即可得到所求范围．【解答】：解：函数f(x)={|x+4e|，x ≤ 0，x+1x，x＞0.的图象如右：关于x的方程f（x）=a（a∈R）有四个实数解，可得y=f（x）的图象与直线y=a有四个交点，可以判断2＜a≤4e，x1+x2=2×（-4e）=-8e，x3+1x3≤4e，x4+1x4≤4e，即x3，x4是方程x²-4ex+1=0的两个根，则可得x3∈（0，2e- √4e2−1 ]，x4∈（1，2e+ √4e2−1 ]，且有x3x4=1，所以x4= 1x3，故（x1+x2）（x3-x4）=-8e（x3- 1x3），其中x3∈（0，2e- √4e2−1 ]，又由函数y=x- 1x在（0，2e- √4e2−1 ]上递增，可得函数y=x- 1x在（0，2e- √4e2−1 ]上的值域为[-2 √4e2−1，0），可知-8e（x3- 1x3）的取值范围为（0，16 √4e2−1 ]．故答案为：（0，16 √4e2−1 ]．【点评】：本题考查函数图象的运用及函数方程的关系，考查数形结合思想，正确作出函数图象，并从图象中挖掘出有效信息是解题的关键，属于中档题．16.（问答题，14分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*，从条件① 、条件② 和条件③ 中选择两个作为已知，并完成解答．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n}满足b3=a2，b4=a4，求数列{a n+b n}的前n项和T n．条件① ：a2=4；条件② ：a n+1-a n=2；条件③ ：S2=6．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由已知可得数列{a n }是首项为a 1=2，公差为d=2的等差数列，即可求解； （Ⅱ）可得 b n =b 1q (n−1)=2n−1 ，分组求和即可．【解答】：解：（Ⅰ）选 ① ② 由已知a 2=4，a n+1-a n =2 所以数列 {a 1+d =4d =2⇒{a 1=2d =2 ，选 ② ③ 由已知S 2=6，a n+1-a n =2 所以数列 {2a 1+d =6d =2⇒{a 1=2d =2 ，选 ① ③ 由已知S 2=6，a 2=4 所以数列 {2a 1+d =6a 1+d =4⇒{a 1=2d =2，所以数列{a n }是首项为a 1=2，公差为d=2的等差数列，所以数列{a n }的通项公式为：a n =a 1+（n-1）d=2+（n-1）2=2n ， （Ⅱ）设等比数列{b n }满足b 3=a 2，b 4=a 4， 所以数列 {a 1q 2=4a 1q 3=8⇒{a 1=1q =2 ， 所以数列{b n }是首项为b 1=1，公比为q=2的等比数列， 所以数列{b n }的通项公式为： b n =b 1q (n−1)=2n−1 ，因为数列{a n +b n }的前n 项和 T n =(2+4+6+⋯+2n )+(1+2+4+⋯2n−1) = (2+2n )n2+(1−2n )1−2=n 2+n+2n -1．【点评】：本题考查了等差、等比数列的性质，考查了数列求和，属于中档题．17.（问答题，14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD ，PA=AD=CD=2，BC=3， AC =2√2 ，E 为PB 中点，CD⊥BC ． （Ⅰ）求证：BC || 平面PAD ；（Ⅱ）求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（I ）由题意推导出AD || BC ，再由线面平行的判定定理即可得证；（Ⅱ）过A 作AD 的垂线交BC 于点M ．以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz ．求出平面PCD 的法向量与 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线AE 与平面PCD 所成的角的正弦值．【解答】：（I ）证明：因为PA=AD=CD=2， AC =2√2 所以AD 2+CD 2=AC 2.所以AD⊥CD ． 因为BC⊥CD ，所以AD || BC ． 因为AD⊂平面PAD ． 因为BC⊄平面PAD ， 所以BC || 平面PAD ．（Ⅱ）解：过点A 作AD 的垂线交BC 于点M ． 因为PA⊥平面ABCD ， 所以PA⊥AM ，PA⊥AD ，所以以点A 为坐标原点，以AM ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则A （0，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2），B （2，-1，0）． 因为E 为PB 的中点，∴E （1，- 12，1）．所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，- 12 ，1）， PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，2，-2）， PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，-2）． 设平面PCD 的法向量为 n ⃗⃗ =（x ，y ，z ），则{n ⃗⃗•PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2x +2y −2z =0n ⃗⃗•PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2y −2z =0 ，令y=1，得 n ⃗⃗ =（0，1，1）． 设直线AE 与平面PCD 所成的角为α，所以 sinα=|cos〈n ⃗⃗，AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗〉|=n⃗⃗⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗⃗||AE⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=−12×1+1×1√2×32=√26． 所以直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值为 √26 ．【点评】：本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系的判定，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题． 18.（问答题，14分）2020年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30平方米．下表为2007年-2016年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据． 单位：平方米2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年城镇 18.66 20.25 22.7925 27.1 28.3 31.6 32.9 34.6 36.6 农村 23.324.8 26.5 27.9 30.7 32.4 34.1 37.1 41.2 45.8 2平方米的概率；（Ⅱ）在给出的10年数据中，随机抽取三年，记X 为同年中农村人均住房建筑面积超过城镇人均住房建筑面积4平方米的年数，求X 的分布列和数学期望E （X ）．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）分别写出“抽取连续两年数据”和“两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米”的基本事件数 ，再由古典概型，得解；（Ⅱ）X 所有可能的取值为0，1，2，3，再根据超几何分布计算概率的方式求得每个X 的取值所对应的概率，进而得数学期望．【解答】：解：（Ⅰ）随机抽取连续两年数据共9次，其中两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米的共5次．设“两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米”为事件A，所以P(A)=59．（Ⅱ）X所有可能的取值为0，1，2，3，在这10年中，农村人均住房建筑面积超过城镇人均住房建筑面积4平方米的年份为2007年，2008年，2012年，2014年，2015年，2016年，共6年，P(X=0)=C60C43C103=130，P(X=1)=C61C42C103=310，P(X=2)=C62C41C103=12，P(X=3)=C63C40C103=16，所以随机变量X的分布列为故E(X)=30×0+10×1+2×2+6×3=5．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查对数据的分析与处理能力，属于中档题．19.（问答题，14分）已知函数f（x）=e x+ax（a∈R）．（Ⅰ）若a＜0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=3，证明：当x＞0时，f（x）＞x2+3x+1恒成立．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）对f（x）求导，利用导数与单调性的关系即可求解；（Ⅱ）令g（x）=f（x）-（x2+3x+1）=e x-x2-1，对g（x）求导，利用导数求出g（x）的单调性，从而可得g（x）＞0即可得证．【解答】：（Ⅰ）解：f'（x）=e x+a，当a＜0时，令f'（x）=0，解得x=ln（-a）．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：在（ln（-a），+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：令g（x）=f（x）-（x2+3x+1）=e x-x2-1，则g'（x）=e x-2x．令h（x）=e x-2x，则h'（x）=e x-2，当0＜x＜ln2时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞ln2时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；所以h（x）≥h（ln2）=e ln2-2ln2=2-2ln2＞0，即g'（x）＞0恒成立．所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（0）=1-0-1=0，所以e x-x2-1＞0，即当x＞0时，f（x）＞x2+3x+1恒成立．【点评】：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式恒成立的证明，考查运算求解能力，属于中档题．20.（问答题，14分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)经过点（0，2），且e=√22．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆C相切于点M，与直线x=x0相交于点N．已知点P（-2，0），且PM⊥PN，求此时x0的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由椭圆过点（0，2），且e=√22，列方程组，解得a，b，即可得出答案．（Ⅱ）设N（x0，0），设直线方程为y=kx+m，联立椭圆的方程，由Δ=0，得m2=8k2+4，解得M点坐标，设N（x0，y0），则y0=kx0+m，则N（x0，kx0+m），若在x轴存在P（-2，0）使MP⊥MQ ，则 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解得答案．【解答】：解：（Ⅰ）由已知得， {e =ca =√22b =√a 2−c 2=2，解得 {a 2=8b 2=4，椭圆E的方程为 x 28+y 24=1 ．（Ⅱ）设N （x 0，0），设直线方程为y=kx+m ， 代入 x 28+y 24=1 得x 2+2（kx+m ）2=8，化简得（2k 2+1）x 2+4kmx+2m 2-8=0， 由Δ=（4km ）2-4（2k 2+1）（2m 2-8）=0， 得8k 2+4-m 2=0，m 2=8k 2+4， 方程的解为 x =−2km2k 2+1=−8k m ，y=kx+m=k• −8k m +m= 4m， 则 M (−8k m ，4m) ， 设N （x 0，y 0），则y 0=kx 0+m ，则N （x 0，kx 0+m ），所以在x 轴存在P （-2，0）使MP⊥MQ ． PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x 0+2，kx 0+m) ， PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−8k m +2，4m ) ，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x 0+2)(−8k m +2) +(kx 0+m )4m =0 ，-4kx 0-16k+2x 0m+8m=0， x 0=−(8m−16k )2m−4k=−4 ，所以x 0=-4．【点评】：本题考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 21.（问答题，15分）已知数列A n ：a 1，a 2，⋅⋅⋅，a n （n≥2）满足： ① |a 1|=1； ②|a k+1||a k |=2 （k=1，2，⋅⋅⋅，n-1）．记S （A n ）=a 1+a 2+…+a n ．（Ⅰ）直接写出S （A 3）的所有可能值； （Ⅱ）证明：S （A n ）＞0的充要条件是a n ＞0； （Ⅲ）若S （A n ）＞0，求S （A n ）的所有可能值的和．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由A n、S（A n）的定义，可得所求值；（Ⅱ）分别从充分性和必要性证明，结合等比数列的通项公式和求和公式，以及数列A n，即可得证；（Ⅲ）由（Ⅱ）和A n、S（A n）的定义，计算可得所求和．【解答】：解：（Ⅰ）S（A3）的所有可能值是-7，-5，-3，-1，1，3，5，7．…………………（3分）（Ⅱ）证明：充分性：若a n＞0，即a n=2n−1．所以满足a n=2n−1，且前n项和最小的数列是-1，-2，-4，…，-2n-2，2n-1．+2n−1 =1．所以a1+a2+⋅⋅⋅+a n ≥ −(1+2+4+⋅⋅⋅+2n−2)+2n−1 = −1−2n−2⋅21−2所以S（A n）．……………………（6分）必要性：若S（A n）＞0，即a1+a2+⋅⋅⋅+a n＞0．假设a n＜0，即a n=−2n−1．所以S(A n)=a1+a2+⋅⋅⋅+a n≤ (1+2+4+⋅⋅⋅+2n−2)−2n−1=−1＜0，与已知S（A n）＞0矛盾．所以S（A n）＞0．……………………（8分）综上所述，S（A n）＞0的充要条件是a n＞0．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，S（A n）＞0可得a n＞0，所以a n=2n−1．因为数列A n：a1，a2，…，a n（n≥2）中a1有-1，1两种，a2有-2，2两种，a3有-4，4两种，…，a n-1有-2n-2，2n-2两种，a n有2n-1一种，所以数列A n：a1，a2，…，a n（n≥2）有2n-1个，且在这2n-1个数列中，每一个数列都可以找到前n-1项与之对应项是相反数的数列．所以这样的两数列的前n项和是2×2n-1．×2n−1=22n−2．所以这2n-1个数列的前n项和是2×2n−1×12所以S（A n）的所有可能值的和是22n-2.……………………（15分）【点评】：本题考查数列的新定义的理解和运用，考查数列的求和，以及转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。

2020-2021学年北京市密云区高二（下）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（单选题，4分）如图所示，全集U=R，M={x|x＞0}，N={x|-1≤x≤1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A.（-∞，-1]B.[-1，0）C.（0，1]D.[-1，0]2.（单选题，4分）下列选项不正确的是（）A.（sinx）′=cosxB.（cosx）′=sinxC. (1x )′=−1x2D. (√x)′=2√x3.（单选题，4分）命题“对任意的x＞0，x3-x2+1≤0”的否定是（）A.∃x0＞0，x3-x2+1＞0B.∃x0≤0，x3-x2+1＞0C.∀x0＞0，x3-x2+1＞0D.∀x0≤0，x3-x2+1＞04.（单选题，4分）导函数y=f'（x）的图象如图所示，在x1，x2，x3，x4中，使得函数f（x）取到极大值的是（）A.x1B.x2C.x3D.x45.（单选题，4分）(x−1x )5的展开式中x3项的系数为（）A.5B.-5C.10D.-106.（单选题，4分）手机上有一款绘图软件，软件中提供了红、黄、绿三种基本颜色，每种颜色都有0～255种色号，在手机上绘图时可以分别从三种颜色的所有色号中各选一个配成一种颜色，那么在手机上绘图时可配成的颜色种数为（）A.2563B.2553C. A2563D. A25537.（单选题，4分）若随机变量X～N（1，4），P（X≤0）=m，则P（0＜X＜2）=（）A. 1−2m2B. 1−m2C.1-2mD.1-m8.（单选题，4分）设a，b∈R，则“（a-b）a2＜0”是“a＜b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件9.（单选题，4分）以下四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系是（）A.r1＞r2＞r3＞r4B.r4＞r3＞r2＞r1C.r1＞r3＞r4＞r2D.r1＞r2＞r4＞r310.（单选题，4分）已知可导函数f（x）的导函数为f'（x），f（0）=2021，若对任意的x∈R，都有f（x）＜f'（x），则不等式f（x）＜2021e x的解集为（）A.（0，+∞）B. (2021e2，+∞)C. (−∞，2021e2)D.（-∞，0）11.（填空题，5分）已知（2+x）n的展开式的二项式系数之和为16，则n=___ ；展开式的常数项是 ___ ．12.（填空题，5分）甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点各不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P（A|B）等于 ___ ．13.（填空题，5分）能说明“若a＜1，b＜1，则ab＜1”是假命题的一组a，b的值依次为___ ．14.（填空题，5分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是___ ．15.（填空题，5分）已知a，b为正实数，直线y=2x-a与曲线y=ln（2x+b）相切，则a与b满足的关系式为 ___ ，2a +3b的最小值为 ___ ．16.（问答题，14分）某医院有内科医生5名，外科医生4名，现选派5名参加赈灾医疗队．其中：（Ⅰ）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（Ⅱ）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（Ⅲ）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？（Ⅳ）队中至少有2名内科医生和1名外科医生，有几种选法？17.（问答题，14分）已知关于x的不等式ax2-5x+6＜0的解集为A={x|2＜x＜b}．（Ⅰ）求a，b的值；(x∈A)的最小值．（Ⅱ）求函数f(x)=(a+b)x−25(2a−b)x18.（问答题，14分）已知函数f（x）=xlnx-1．（Ⅰ）求f（x）在x=1处的切线方程；，1]上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数f（x）在[13（Ⅲ）写出函数f（x）的零点个数．19.（问答题，13分）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，小于85分为非优秀统计成绩后，得到列联表如表所示：．已知在甲、乙两班全部105人中，随机抽取1人为优秀的概率为7（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表的数据，能否在犯错误的概率不超5%的前提下认为“成绩与班级有关系”？．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.（问答题，15分）智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测．调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差．对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”．现在某社区随机抽取了24人用两种体温计进行体温检测，分别记智能体温计和水银体温计测温结果为x℃和y℃，得到数据如下：（Ⅱ）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）医学上通常认为，人的体温在不低于37.3℃且不高于38℃时处于“低热”状态．该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是37.3℃，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由．21.（问答题，15分）已知函数f（x）=ae x-x+1，g（x）=-x2+3ax，a∈R．（Ⅰ）证明：函数f（x）在（0，f（0））处的切线恒过定点；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意实数b，当a=1时，都有（1+cosbx）（f（x）-g（x））≥0．2020-2021学年北京市密云区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（单选题，4分）如图所示，全集U=R，M={x|x＞0}，N={x|-1≤x≤1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A.（-∞，-1]B.[-1，0）C.（0，1]D.[-1，0]【正确答案】：D【解析】：先确定阴影部分对应的集合为∁M∪N M，再根据集合运算的定义运算即可．【解答】：解：阴影部分表示的集合为∁M∪N M，又∵M={x|x＞0}，N={x|-1⩽x⩽1}，∵M∪N={x|x⩾-1}，∴∁M∪N M=[-1，0]．故选：D．【点评】：本题集合的表示与运算，考查venn图的应用，属于基础题．2.（单选题，4分）下列选项不正确的是（）A.（sinx）′=cosxB.（cosx）′=sinxC. (1x )′=−1x2D. (√x)′=2√x 【正确答案】：B【解析】：根据基本初等函数的求导公式求导即可．【解答】：解：(sinx)′=cosx，(cosx)′=−sinx，(1x )′=−1x2，(√x)′=12√x．故选：B．【点评】：本题考查了基本初等函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．3.（单选题，4分）命题“对任意的x＞0，x3-x2+1≤0”的否定是（）A.∃x0＞0，x3-x2+1＞0B.∃x0≤0，x3-x2+1＞0C.∀x0＞0，x3-x2+1＞0D.∀x0≤0，x3-x2+1＞0【正确答案】：A【解析】：利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，即可求解．【解答】：解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，可知命题“对任意的x＞0，x3-x2+1≤0”的否定是”∃x0＞0，x3-x2+1＞0“．故选：A．【点评】：本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．4.（单选题，4分）导函数y=f'（x）的图象如图所示，在x1，x2，x3，x4中，使得函数f（x）取到极大值的是（）A.x1B.x2C.x3D.x4【正确答案】：B【解析】：利用函数的图象，结合函数的导数判断函数的极大值即可．【解答】：解：由函数的极大值的条件可知，在x1，x2，x3，x4中，x∈（x1，x2）时，f'（x）＞0，函数是增函数，x∈（x2，x4），f'（x）＜0，函数是减函数，所以函数在x=x2时，函数取得极大值，故选：B．【点评】：本题考查函数的导数的应用，函数的极值的判断，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．5.（单选题，4分）(x−1x )5的展开式中x3项的系数为（）A.5B.-5C.10D.-10【正确答案】：B【解析】：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3项的系数．【解答】：解：∵ (x−1x )5的展开式的通项公式为 T r+1= C5r•（-1）r•x5-2r，令5-2r=3，求得r=1，可得展开中x3项的系数为- C51 =-5，故选：B．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．6.（单选题，4分）手机上有一款绘图软件，软件中提供了红、黄、绿三种基本颜色，每种颜色都有0～255种色号，在手机上绘图时可以分别从三种颜色的所有色号中各选一个配成一种颜色，那么在手机上绘图时可配成的颜色种数为（）A.2563B.2553C. A2563D. A2553【正确答案】：A【解析】：根据题意，分析可得每种颜色有256种色号，由分步计数原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意，红、黄、绿三种基本颜色有0～255种色号，即每种颜色有256种色号，从三种颜色的所有色号中各选一个配成一种颜色，则可以配成256×256×256=2563种颜色，故选：A．【点评】：本题考查分步计数原理的应用，注意分步、分类计数原理的区别，属于基础题．7.（单选题，4分）若随机变量X～N（1，4），P（X≤0）=m，则P（0＜X＜2）=（）A. 1−2m2B. 1−m2C.1-2mD.1-m【正确答案】：C【解析】：利用正态分布曲线的对称性求解即可．【解答】：解：因为随机变量X～N（1，4），所以正态曲线的对称轴为X=1，所以P（X≤0）=P（X≥2）=m，则P（0＜X＜2）=1-2m．故选：C．【点评】：本题考查了正态分布的理解和应用，正态分布曲线的对称性的运用，考查了数据分析能力与运算能力，属于基础题．8.（单选题，4分）设a，b∈R，则“（a-b）a2＜0”是“a＜b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【正确答案】：A【解析】：由不等式的性质结合充分必要条件的判定得答案．【解答】：解：由（a-b）a2＜0，得a-b＜0，即a＜b，由a＜b，得a-b＜0，则（a-b）a2≤0，∴“（a-b）a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件，故选：A．【点评】：本题考查充分必要条件的判定，考查不等式的性质，是基础题．9.（单选题，4分）以下四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系是（）A.r1＞r2＞r3＞r4B.r4＞r3＞r2＞r1C.r1＞r3＞r4＞r2D.r1＞r2＞r4＞r3【正确答案】：C【解析】：利用散点图，然后由相关系数的正负以及散点的集中程度进行分析，即可判断得到答案．【解答】：解：由散点图的特征可知，（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关，所以r1＞0，r3＞0，r2＜0，r4＜0，又（1）（2）中的散点更为集中，更接近于一条直线，故r1＞r3，r2＜r4，所以r2＜r4＜0＜r3＜r1．故选：C．【点评】：本题考查了相关系数的理解与应用，当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关；|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小．属于基础题．10.（单选题，4分）已知可导函数f（x）的导函数为f'（x），f（0）=2021，若对任意的x∈R，都有f（x）＜f'（x），则不等式f（x）＜2021e x的解集为（）A.（0，+∞）B. (2021，+∞)e2)C. (−∞，2021e2D.（-∞，0）【正确答案】：D，可得g（0）=2021，利用导数可得g（x）在R 【解析】：依题意，构造函数g（x）= f(x)e x上单调递增，再由f（x）＜2021e x⇔g（x）＜g（0）解不等式即可．，【解答】：解：令g（x）= f(x)e x∵对任意的x∈R，都有f（x）＜f'（x），＞0，∴g′（x）= f′(x)−f(x)e x∴g（x）在R上单调递增，又f（0）=2021，∴g（0）=2021，∴f（x）＜2021e x⇔g（x）＜g（0），∴x＜0，∴不等式f（x）＜2021e x的解集{x|x＜0}．故选：D．【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了转化思想与运算能力，属于中档题．11.（填空题，5分）已知（2+x）n的展开式的二项式系数之和为16，则n=___ ；展开式的常数项是 ___ ．【正确答案】：[1]4; [2]16【解析】：由题意利用二项式系数的性质求得n，再利用通项公式，求出展开式的常数项．【解答】：解：（2+x）n的展开式的二项式系数之和为 2n=16，则n=4．根据它的通项公式T r+1= C4r•24-r•x r，令r=0，可得展开式的常数项是16，故答案为：4；16．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．12.（填空题，5分）甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，B 为“甲独自去一个景点”，则概率P （A|B ）等于 ___ ． 【正确答案】：[1] 12【解析】：利用分步计数原理以及条件概率的计算公式求解即可．【解答】：解：甲独自去一个景点，可有3个景点选择，乙和丙只能在剩下的两个景点中选择，所以甲独自去一个景点有3×2×2=12种， 因为三个人去的景点不同，则有3×2×1=6种， 所以概率P （A|B ）= 612 = 12 ． 故答案为： 12 ．【点评】：本题考查了条件概率的求解，分步计数原理的应用，解题的关键是掌握条件概率的计算公式，属于基础题．13.（填空题，5分）能说明“若a ＜1，b ＜1，则ab ＜1”是假命题的一组a ，b 的值依次为 ___ ． 【正确答案】：[1]a=-2，b=-2【解析】：直接利用赋值法和不等式的性质的应用求出结果．【解答】：解：当a=-2，b=-2时，ab=4， 与“若a ＜1，b ＜1，则ab ＜1”是假命题矛盾， 故a=-2，b=-2， 故答案为：a=-2，b=-2．【点评】：本题考查的知识要点：赋值法的应用，不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14.（填空题，5分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是___ ． 【正确答案】：[1]0.8【解析】：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4名男生和2名女生中任选3人，满足条件的事件是3人中至少有1名女生，包括有1个女生，有2个女生，用组合数写出事件数，得到结果．【解答】：解：由题意知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4名男生和2名女生中任选3人，共有C63=20种结果，满足条件的事件是3人中至少有1名女生，包括有1个女生，有2个女生，共有C41C22+C42C21=16种结果，根据等可能事件的概率公式得到P= 1620=0.8．故答案为：0.8【点评】：本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，在解题时，注意题目中所说的至少有一名女生的说法，女生总数是2个，至少有一个就包含两种情况，做到不重不漏．15.（填空题，5分）已知a，b为正实数，直线y=2x-a与曲线y=ln（2x+b）相切，则a与b满足的关系式为 ___ ，2a +3b的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]a+b=1; [2]5+2 √6【解析】：求出原函数的导函数，结合在切点处的斜率值是2求出切点，得到切线方程，求得a+b=1，然后利用基本不等式求2a +3b的最小值．【解答】：解：由y=ln（2x+b），得y′= 22x+b，因此曲线y=ln（2x+b）在切点处的切线的斜率等于2，∴ 2 2x+b =2，即x= 1−b2，此时y=0．则切点为（1−b2，0），相应的切线方程为y=2（x- 1−b2）=2x-1+b，则-a=-1+b，∴a+b=1．又a＞0，b＞0，∴ 2a +3b=（2a+3b）（a+b）=5+ 2ba+3ab≥5+2 √2ba•3ab=5+2 √6．当且仅当2ba =3ab时上式等号成立．故答案为：a+b=1；5+2 √6．【点评】：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．16.（问答题，14分）某医院有内科医生5名，外科医生4名，现选派5名参加赈灾医疗队．其中：（Ⅰ）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（Ⅱ）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（Ⅲ）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？（Ⅳ）队中至少有2名内科医生和1名外科医生，有几种选法？【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据题意，分析可得在剩下的7人中再选3人即可，由组合数公式计算可得答案；（Ⅱ）根据题意，分析可得在剩下的7人中选5人即可，由组合数公式计算可得答案；（Ⅲ）根据题意，用间接法分析：先计算“在9人中选出5人”的选法，排除其中“甲、乙均不能参加”的选法，计算可得答案；（Ⅳ）根据题意，分3种情况讨论：① 队中有2名内科医生和3名外科医生，② 队中有3名内科医生和2名外科医生，③ 队中有4名内科医生和1名外科医生，由加法原理计算可得答案．【解答】：解：（Ⅰ）根据题意，某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，在剩下的7人中再选3人即可，有C73=35种选法；（Ⅱ）甲、乙均不能参加，在剩下的7人中选5人即可，有C75=21种选法；（Ⅲ）在9人中选出5人，有C95=126种选法，甲、乙均不能参加的选法有21种，则甲、乙两人至少有一人参加的选法有126-21=105种；（Ⅳ）分3种情况讨论：① 队中有2名内科医生和3名外科医生，有C52C43=40种选法，② 队中有3名内科医生和2名外科医生，有C53C42=60种选法，③ 队中有4名内科医生和1名外科医生，有C54C41=20种选法，则有40+60+20=120种不同的选法．【点评】：本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．17.（问答题，14分）已知关于x的不等式ax2-5x+6＜0的解集为A={x|2＜x＜b}．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f(x)=(a+b)x−25(2a−b)x(x∈A)的最小值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由方程与不等式的关系知2，b是方程ax2-5x+6=0的解，从而由韦达定理求解．（Ⅱ）化简f（x）=4x+ 25x，从而利用基本不等式求解．【解答】：解：（Ⅰ）∵关于x的不等式ax2-5x+6＜0的解集为A={x|2＜x＜b}，∴2+b= 5a ，2b= 6a，解得a=1，b=3，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4x+ 25x≥2 √4×25 =20，（当且仅当4x= 25x ，即x= 52时，等号成立），故f（x）的最小值为20．【点评】：本题考查了方程与不等式的关系，同时考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．18.（问答题，14分）已知函数f（x）=xlnx-1．（Ⅰ）求f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[13，1]上的最大值和最小值；（Ⅲ）写出函数f（x）的零点个数．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用导数的几何意义求出切线的斜率，求出切点坐标，由点斜式即可得到切线方程；（Ⅱ）利用导数研究函数的单调性，结合区间端点的函数值，比较即可得到最值；（Ⅲ）利用（Ⅱ）中的单调性，结合零点的存在性定理进行分析求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）函数f（x）=xlnx-1（x＞0），则f'（x）=lnx+1，所以f（1）=-1，f'（1）=1，故切点为（1，-1），切线的斜率为1，所以f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f'（x）=lnx+1，令f'（x）=0，解得x= 1e，当13≤x＜1e时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，当1e＜x≤1时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，又f(13)=−13ln2−1，f(1e) = −1e−1，f（1）=-1，故f（x）在[13，1]上的最大值为-1和最小值为−1e−1；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，函数f（x）在(0，1e )上单调递减，在(1e，+∞)上单调递增，因为f(1e ) = −1e−1＜0，又当0＜x＜1e时，x＞0，lnx＜-1，即xlnx-1＜0，所以limx→0f(x)＜0，故函数f（x）的零点个数为1个．【点评】：本题考查了导数几何意义的应用，利用导数求解函数的最值，函数零点问题的研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．19.（问答题，13分）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，小于85分为非优秀统计成绩后，得到列联表如表所示：已知在甲、乙两班全部105人中，随机抽取1人为优秀的概率为7．（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表的数据，能否在犯错误的概率不超5%的前提下认为“成绩与班级有关系”？．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题中的条件，计算列联表中的数据即可；（Ⅱ）由列联表中的数据，计算卡方的值，对照临界表中的数据，比较即可得到答案．=30人，【解答】：解：（Ⅰ）由题意，两班优秀人数为105× 27所以列联表如下：≈6.109＞3.841，（Ⅱ）由列联表中的数据可得，K2=55×50×30×75所以在犯错误的概率不超5%的前提下认为“成绩与班级有关系”．【点评】：本题考查了列联表的应用以及独立性检验的应用，解题的关键是由公式求出卡方的值，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．20.（问答题，15分）智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测．调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差．对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”．现在某社区随机抽取了24人用两种体温计进行体温检测，分别记智能体温计和水银体温计测温结果为x℃和y℃，得到数据如下：（Ⅱ）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X 为使用智能体温计“测温准确”的人数，求X 的分布列与数学期望；（Ⅲ）医学上通常认为，人的体温在不低于37.3℃且不高于38℃时处于“低热”状态．该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是37.3℃，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）先找到用智能体温计与水银体温计测量结果相同的个数，然后由古典概型的概率公式求解即可；（Ⅱ）先求出随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可；（Ⅲ）用古典概型的概率公式求出从社区任意抽取1人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率，然后用相互独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式，求解这3个人中至少有1人处于“低热”状态的概率，由计算结果分析即可．【解答】：解：（Ⅰ）表中24人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测量结果相同的序号是：01，04，06，07，09，12，13，14，16，18，19，20，21，22，23，24，共有16种情况， 所以所求概率为 1624 = 23 ；（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为x=0，1，2，3，由（1）可知，用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为 23， 则X ～B （3， 23 ）， 所以P （X=0）= C 3•(23)0•(13)3 = 127 ，P （X=1）= C 31•(23)1•(13)2 = 29 ，P （X=2）= C 32•(23)2•(13)1 = 49 ， P （X=3）= C 33•(23)3•(13)0 = 827， 所以X 的分布列为：则E （X ）=3× 3 =2；（Ⅲ）设这3人中至少有1人处于“低热”状态为事件N ，表中24人的体温数据中，用智能体温计的测温结果，高于其真实体温的序号为02，05，11，17，共4种情况，所以从社区任意抽取1人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为 424 = 16 ， 故这三人中至少有1人处于“低热”状态的概率为： P （N ）=1-（ 16× 16× 16）=215216， 结论1：因为P （N ）= 215216 ，接近于1，由此可以认定这3人中至少有1人处于“低热”状态． 结论2：因为P （N ）= 215216 ＜1，所以有可能这3人都不处于“低热”状态．【点评】：本题考查了古典概型概率公式的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，相互独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.（问答题，15分）已知函数f （x ）=ae x -x+1，g （x ）=-x 2+3ax ，a∈R ． （Ⅰ）证明：函数f （x ）在（0，f （0））处的切线恒过定点； （Ⅱ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意实数b ，当a=1时，都有（1+cosbx ）（f （x ）-g （x ））≥0．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）先求出切点的坐标，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式求解切线的方程，由此可以证明切线恒过定点；（Ⅱ）分a≤0和a ＞0两种情况进行讨论，利用导函数的正负研究函数f （x ）的单调性即可； （Ⅲ）构造函数h （x ）=f （x ）-g （x ），利用导数以及零点的存在性定理可得，在（0，1）上存在x0，使得h'（x0）=0，即可得到h（x）的单调性，由此确定h（x）的最小值h（x0）＞0，即可证明f（x）-g（x）＞0，再利用余弦函数的有界性，证明1+cosbx∈[0，2]，从而证明结论．【解答】：（Ⅰ）证明：因为函数f（x）=ae x-x+1，则f（0）=ae0-0+1=a+1，故切点为（0，a+1），又f'（x）=ae x-1，则f'（0）=ae0-1=a-1，故切线方程为y-（a+1）=（a-1）（x-0），即y=（a-1）x+a+1，所以（x+1）a-x-y+1=0，所以切线恒过定点（-1，2）；（Ⅱ）解：因为f'（x）=ae x-1，① 当a≤0时，f'（x）＜0，故函数f（x）单调递减，所以f（x）的单调递减区间为R；② 当a＞0时，令f'（x）=0，解得x=-lna，当x＜-lna时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，当x＞-lna时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，所以f（x）的单调递增区间为（-lna，+∞），单调递减区间为（-∞，-lna）．综上所述，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为R；当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（-lna，+∞），单调递减区间为（-∞，-lna）．（Ⅲ）证明：当a=1时，f（x）=e x-x+1，g（x）=-x2+3x，令h（x）=f（x）-g（x）=e x+x2-4x+1，则h'（x）=e x+2x-4，则h''（x）=e x+2＞0对于x∈R恒成立，所以h'（x）在R上单调递增，又h'（0）=-3＜0，h'（1）=e-2＞0，故在（0，1）上存在x0，使得h'（x0）=0，即e x0 +2x0-4=0 ① ，故当x＜x0时，h'（x）＜0，则h（x）单调递减，当x＞x0时，h'（x）＞0，则h（x）单调递增，所以当x=x0时，函数h（x）取得最小值h（x0），则h（x0）= e x0+x02−4x0+1② ，由① 可知，e x0 =-2x0+4，代入② 中可得，h（x0）=（x0-1）（x0-5），x0∈（0，1），所以h（x0）在（0，1）上单调递减，则h（1）＜h（x0）＜h（0），即0＜e-2＜h（x0）＜2，所以h（x）的最小值h（x0）＞0，则h（x）＞0，即f（x）-g（x）＞0恒成立，又b∈R，则cosbx∈[-1，1]，所以1+cosbx∈[0，2]，故对任意实数b，当a=1时，都有（1+cosbx）（f（x）-g（x））≥0．【点评】：本题考查了导数的综合应用，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题．。

2020-2021学年北京市昌平区高二（下）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（单选题，5分）已知全集A={x|x2≤4}，B={x∈Z|x＞-1}，则A∩B=（）A.{0，1，2}B.{1，2}C.{-1，0，1，2}D.{x|-1＜x≤2}2.（单选题，5分）已知x，y∈R，且x＞0，y＞0，x+y=2，那么xy的最大值为（）A. 14B. 12C.1D.23.（单选题，5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，1）上单调递增的是（）A.y=1-x2B.y=2|x|C.y= √xD.y=lnx4.（单选题，5分）在等差数列{a n}中，a5=4，数列{a n}的前9项的和为（）A.4B.8C.36D.72}，则函数f（x）=cx2-x-a的图5.（单选题，5分）若不等式ax2-x-c＞0的解集为{x|-1＜x＜12象可以为（）A.B.C.D.6.（单选题，5分）为了调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助与性别之间的关系，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：男女需要志愿者40 30不需要志愿者160 270经计算可得X2≈9.967．由P（X2≥6.635）=0.01，下列结论正确的是（）A.有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关B.有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关C.在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关D.在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关7.（单选题，5分）已知奇函数y={f(x)， x＞0g(x)， x＜0.如果f（x）=a x（a＞0且a≠1）对应的图象如图所示，那么g（x）=（）A. (12)−xB. −(12) xC.2-xD.-2x8.（单选题，5分）“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1．不断重复这样的运算，经过有限步后最终都能够得到1，得到1即终止运算．已知正整数k，经过6次运算后得到1，则k的值为（）A.32B.32或5C.64D.64或109.（单选题，5分）设无穷等比数列{a n}，则“0＜a2＜a1”是“{a n}为递减数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.（单选题，5分）2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．给出下列四个结论：① 在[t1，t2]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；② 在[t2，t3]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；③ 在t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢；④ 甲小区在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t2，t3]的平均分出量最大．其中所有正确结论的序号是（）A. ① ②B. ② ③C. ① ④D. ③ ④11.（填空题，5分）已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={0，1，2，3}，B={3，4}，则（∁U A）∪B=___ ．12.（填空题，5分）命题p：∃x＞0，x2+x-1≥0，则￢p：___ ．13.（填空题，5分）函数f（x）= lg(2x−1)√1−x的定义域为 ___ ．14.（填空题，5分）已知数列{a n}满足a1=17，a n+1=a n-4，则当n=___ 时，数列{a n}的前n项和取得最大值．15.（填空题，5分）已知函数f（x）=xe-x，则f′（1）=___ ；若函数g（x）=f（x）-m有两个零点，则实数m的取值范围是 ___ ．16.（填空题，5分）数列{a n}：a1，a2，…，a n，…；{b n}：b1，b2，…，b n，…定义数列a n b n：a1，a2，b3，a4，a5，b6，a7，…① 设a n= {−1，n为奇数2，n为偶数，b n=1，1≤n≤29，则数列a n b n的所有项的和等于 ___ ；② 设a n=5n，b n=4n-1，1≤n≤29，则数列a n b n与b n a n有 ___ 个公共项．17.（问答题，14分）已知等差数列{a n}满足a3+a5=20，a6=4a2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}是各项均为正数的等比数列，c n=a n+b n，再从条件① 、条件② 、条件③ 中选择两个作为一组已知条件，求数列{c n}的前n项和S n．条件① ：b1=1；条件② ：b5=8b2；条件③ ：b2+b3=6．18.（问答题，14分）已知函数f（x）= 13x3−x2 +1．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．19.（问答题，14分）记数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数n，都有S n= 32a n−2n．（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）设b n=a n+2，求证：数列{b n}是等比数列；（Ⅲ）求数列{a n}的前n项和S n．20.（问答题，14分）已知函数f（x）=lnx-（a+1）x+1，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求证：f（x）≤0；x2-1在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+ a221.（问答题，14分）已知集合A={1，2，3，…，n}，n∈N*．集合A含有k个元素的子集分别记为A k，1，A k，2，A k，3，…，A k，m，其中1≤k≤n，k∈N*，m∈N*．当1≤j≤m，j∈N*时，设A k，j={x1，x2，……，x k}，且x1＜x2＜x3＜…＜x k．定义：S（A k，j）=x k-x k-1+x k-2-…+（-1）k+1x1；T[k]=S（A k，1）+S（A k，2）+S（A k，3）+…+S（A k，m）．（Ⅰ）若n=5，（ⅰ）写出满足S（A4，j）=2的一个集合A4，j，并写出j的最大值；（ⅱ）求T[1]+T[2]+T[3]的值；（Ⅱ）若存在唯一的n∈N*，使得T[1]+T[2]+…+T[n]=1024，求n的值．2020-2021学年北京市昌平区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（单选题，5分）已知全集A={x|x2≤4}，B={x∈Z|x＞-1}，则A∩B=（）A.{0，1，2}B.{1，2}C.{-1，0，1，2}D.{x|-1＜x≤2}【正确答案】：A【解析】：可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|-2≤x≤2}，B={x∈Z|x＞-1}，∴A∩B={x∈Z|-1＜x≤2}={0，1，2}．故选：A．【点评】：本题考查了集合的描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）已知x，y∈R，且x＞0，y＞0，x+y=2，那么xy的最大值为（）A. 14B. 12C.1D.2【正确答案】：C）2=1，即可得答案．【解析】：根据题意，由基本不等式的性质可得xy≤（x+y2【解答】：解：根据题意，x＞0，y＞0，x+y=2，）2=1，当且仅当x=y=1时等号成立，则xy≤（x+y2即xy的最大值为1．【点评】：本题考查基本不等式的性质以及应用，注意基本不等式的形式，属于基础题．3.（单选题，5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，1）上单调递增的是（）A.y=1-x2B.y=2|x|C.y= √xD.y=lnx【正确答案】：B【解析】：根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．【解答】：解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=1-x2，是二次函数，是偶函数，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；对于B，y=2|x|= {2x，x≥02−x，x＜0，既是偶函数，又在区间（0，1）上单调递增，符合题意；对于C，y= √x，其定义域为[0，+∞），不是偶函数，不符合题意；对于D，y=lnx，是对数函数，其定义域为（0，+∞），不是偶函数，不符合题意；故选：B．【点评】：本题考查函数单调性和奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．4.（单选题，5分）在等差数列{a n}中，a5=4，数列{a n}的前9项的和为（）A.4B.8C.36D.72【正确答案】：C【解析】：利用等差数列的通项公式和前n项和公式直接求解．【解答】：解：在等差数列{a n}中，a5=4，∴数列{a n}的前9项的和为：S9=92(a1+a9) =9a5=36．【点评】：本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．}，则函数f（x）=cx2-x-a的图5.（单选题，5分）若不等式ax2-x-c＞0的解集为{x|-1＜x＜12象可以为（）A.B.C.D.【正确答案】：C，且a＜0，由根与系数【解析】：根据题意，分析可得方程ax2-x-c=0的解为x1=-1或x2= 12的关系分析a、c的值，即可得f（x）的解析式，分析可得答案．【解答】：解：根据题意，不等式ax 2-x-c ＞0的解集为{x|-1＜x ＜ 12 }， 则方程ax 2-x-c=0的解为x 1=-1或x 2= 12，且a ＜0， 则有 {(−1)+12=1a(−1)×12=−c a，解可得 {a =−2c =−1 ， 函数f （x ）=cx 2-x-a=-x 2-x+2，是开口向下，对称轴为x=- 12的二次函数， 故选：C ．【点评】：本题考查一元二次不等式的解法，涉及二次函数的性质，属于基础题．6.（单选题，5分）为了调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助与性别之间的关系，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：男女 需要志愿者4030不需要志愿者160 270 经计算可得X 2≈9.967．由P （X 2≥6.635）=0.01，下列结论正确的是（ ） A.有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关 B.有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关C.在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关D.在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关 【正确答案】：B【解析】：利用独立性检验中K 2的统计意义判断．【解答】：解：因为9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关． 故选：B ．【点评】：本题考查独立性检验，属于基础题． 7.（单选题，5分）已知奇函数 y ={f (x )， x ＞0g (x )， x ＜0.如果f （x ）=a x （a ＞0且a≠1）对应的图象如图所示，那么g （x ）=（ ）A. (12)−xB. −(12) xC.2-xD.-2x【正确答案】：D【解析】：根据函数的奇偶性，先求出函数f（x）的图象即可得到结论．【解答】：解：当x＞0时，函数单调递减，则0＜a＜1，∵f（1）= 12，∴a= 12，即函数f（x）=（12）x，当x＜0，则-x＞0，则f（-x）=（12）-x=-f（x），则y=-（12）-x=-2x，即g（x）=-2x，x＜0，故选：D．【点评】：本题主要考查函数解析式的求解，根据指数函数的图象求出函数的解析式，结合函数奇偶性的性质是解决本题的关键．8.（单选题，5分）“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1．不断重复这样的运算，经过有限步后最终都能够得到1，得到1即终止运算．已知正整数k，经过6次运算后得到1，则k的值为（）A.32B.32或5C.64D.64或10【正确答案】：D【解析】：利用正整数k经过6次运算后得到1，按照变换规则，逆向逐项分析，即可得到k 的所有可能的取值．【解答】：解：根据题意，正整数k经过6次运算后得到1，所以正整数k经过5次运算后得到2，经过4次运算后得到4，经过3次运算后得到8或1（不符合题意，舍去），经过2次运算后得到16，则经过1次运算后得到32或5，所以正整数k的值为64或10，故选：D．【点评】：本题主要考查了归纳推理的应用，按照变换规则，进行逆向分析是解题关键，考查了学生的推理能力，是中档题．9.（单选题，5分）设无穷等比数列{a n}，则“0＜a2＜a1”是“{a n}为递减数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：由已知求出等比数列的公比范围，然后结合通项公式判断{a n}的单调性，举出反例说明“{a n}为递减数列”不能得到“0＜a2＜a1”，进一步得出结论．【解答】：解：因为无穷等比数列{a n}，0＜a2＜a1，所以公比q满足0＜q=a2a1＜1，所以有a n＞a n+1=a n q，即{a n}为递减数列；而无穷等比数列{a n}如果是递减数列，它的第一项和第二项可以为负，如−18，−14，−12，−1，−2……，所有不一定可以得到0＜a2＜a1，所以“0＜a2＜a1”是“{a n}为递减数列”的充分而不必要条件，故选：A．【点评】：本题考查了等比数列的单调性的判断，通项公式及充要条件的判断，属于基础题．10.（单选题，5分）2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．给出下列四个结论：① 在[t1，t2]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；② 在[t2，t3]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；③ 在t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢；④ 甲小区在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t2，t3]的平均分出量最大．其中所有正确结论的序号是（）A. ① ②B. ② ③C. ① ④D. ③ ④【正确答案】：B【解析】：利用平均变化率、瞬时变换率的含义理解统计表，并进行选项判断．【解答】：解：① 在[t1，t2]这段时间内，甲的增长量小于乙的增长量，所以甲的平均分出量小于乙，说法错误．② 在[t2，t3]这段时间内，甲的增长量小于乙的增长量，所以乙的平均分出量大于甲，说法正确．③ 在t2时刻，乙的图象比甲的图象陡，瞬时增长率大，说法正确．④ 甲的图象大致为一条直线，所以三个时间段的平均分出量相等，说法错误．故选：B．【点评】：本题考查在图象中理解瞬时变化率及平均变化率，属于基础题．11.（填空题，5分）已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={0，1，2，3}，B={3，4}，则（∁U A）∪B=___ ．【正确答案】：[1]{3，4，5}【解析】：进行补集和并集的运算即可．【解答】：解：∵U={0，1，2，3，4，5}，A={0，1，2，3}，B={3，4}，∴∁U A={4，5}，（∁U A）∪B={3，4，5}．故答案为：{3，4，5}．【点评】：本题考查了集合的列举法的定义，并集和补集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．12.（填空题，5分）命题p：∃x＞0，x2+x-1≥0，则￢p：___ ．【正确答案】：[1]∀x＞0，x2+x-1＜0【解析】：根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】：解：命题为特称命题，则命题的否定为：∀x＞0，x2+x-1＜0．故答案为：∀x＞0，x2+x-1＜0．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．13.（填空题，5分）函数f（x）=√1−x___ ．【正确答案】：[1]（12，1）【解析】：由题意根据函数的定义域的求法，得出x的范围．【解答】：解：对于函数f（x）=√1−x2x-1＞0，1-x＞0，求得12＜x＜1，可得函数的定义域为（12，1），故答案为：（12，1）．【点评】：本题主要考查函数的定义域的求法，属于基础题．14.（填空题，5分）已知数列{a n}满足a1=17，a n+1=a n-4，则当n=___ 时，数列{a n}的前n项和取得最大值．【正确答案】：[1]5【解析】：根据条件求得数列{a n}是首项为17，公差为-4的等差数列，进而分析出何时项为正，何时为负即可求解结论．【解答】：解：∵数列{a n}满足a1=17，a n+1=a n-4，∴数列{a n}是首项为17，公差为-4的等差数列，∴a n=17-4（n-1）=21-4n，∴当n≤5时，a n＞0，当n＞5时，a n＜0，∴当n=5时，数列{a n}的前n项和取得最大值，故答案为：5．【点评】：本题考查等差数列的前n项和取最大值时n的值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.（填空题，5分）已知函数f（x）=xe-x，则f′（1）=___ ；若函数g（x）=f（x）-m有两个零点，则实数m的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1]0; [2]（0，1e）【解析】：根据题意，求出函数的导数，将x=1代入可得第一空答案，由函数的导数分析f （x）的单调性，可得f（x）的最值，据此作出函数的大致图像，分析可得答案．【解答】：解：根据题意，函数f（x）=xe-x，则其导数f（x）=（x）′e-x+x（e-x）′=（1-x）e-x，则f′（1）=（1-1）e-1=0，f′（x）=（1-x）e-x，在区间（-∞，1）上，f′（x）＞0，则f（x）为增函数，在区间（1，+∞）上，f′（x）＜0，则f（x）为减函数，则f（x）≤f（1）= 1e，在区间（-∞，0）上，f（x）＜0，在区间（0，+∞）上，0＜f（x）≤ 1e，若函数g（x）=f（x）-m有两个零点，即函数y=f（x）与直线y=m有且仅有2个交点，必有0＜m≤ 1e ，即m的取值范围为（0，1e）．故答案为：0，（0，1e）．【点评】：本题考查函数导数与单调性的关系，注意正确计算函数的导数，属于中档题．16.（填空题，5分）数列{a n}：a1，a2，…，a n，…；{b n}：b1，b2，…，b n，…定义数列a n b n：a1，a2，b3，a4，a5，b6，a7，…① 设a n= {−1，n为奇数2，n为偶数，b n=1，1≤n≤29，则数列a n b n的所有项的和等于 ___ ；② 设a n=5n，b n=4n-1，1≤n≤29，则数列a n b n与b n a n有 ___ 个公共项．【正确答案】：[1]19; [2]2【解析】：① 由题意可以得到数列a n b n的通项公式，然后根据{a n}、{b n}的通项公式可以知道29个项里面有9个1，10个-1，10个2，从而得到问题解答；② 由题意可以得到数列a n b n和b m a m的通项公式，再令a n b n=b m a m即可得到n、m的关系式，最后根据5的倍数与4的倍数的特征可以得到解答．【解答】：解：① 由题意可得：a nb n= {a n，n≠3k，k∈N∗b n，n=3k，k∈N∗，∴当1≤n≤29时，数列a n b n的所有项的和为：9×1+（15-5）×（-1）+（14-4）×2=19；② 由题意可得：a nb n= {5n，n≠3k，k∈N∗4n−1，n=3k，k∈N∗，b m a m= {4m−1，m≠3k，k∈N∗5m，m=3k，k∈N∗，很显然，要使a n b n=b m a m，必须n、m同时为3的倍数或者同时不为3的倍数，若n、m同时为3的倍数，则有5m=4n-1，则n=24或n=9，此时m=19或m=7，不成立；若n、m同时不为3的倍数，则有5n=4m-1，则m=4或14或19或29，此时对应的有n=3或11或15或23，把与题意相矛盾的舍去，剩下m=14，n=11或m=29，n=23，即a11b11=b14a14或a23b23=b29a29，即数列a n b n与b n a n有2个公共项；故答案为19；2．【点评】：本题考查数列的综合应用，熟练掌握数列通项的求法是解题关键．17.（问答题，14分）已知等差数列{a n}满足a3+a5=20，a6=4a2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}是各项均为正数的等比数列，c n=a n+b n，再从条件① 、条件② 、条件③中选择两个作为一组已知条件，求数列{c n}的前n项和S n．条件① ：b1=1；条件② ：b5=8b2；条件③ ：b2+b3=6．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，即可求得数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }的公比为q ，分别取条件 ① ② 、条件 ① ③ 、条件 ② ③ 作为已知条件，列关于首项与公比的方程组，求解首项与公比，即可求得数列{b n }的通项公式，再由数列的分组求和及等差数列与等比数列的前n 项和公式求解．【解答】：解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由已知可得 {2a 1+6d =20a 1+5d =4(a 1+d ) ，解得 {a 1=1d =3 ．∴a n =a 1+（n-1）d=3n-2， 则数列{a n }的通项公式为a n =3n-2； （Ⅱ）设数列{b n }的公比为q ， 选择条件 ① ② 作为已知条件：则 {b 1=1b 1q 4=8b 1q，解得 {b 1=1q =2 ， ∴ b n =b 1q n−1=2n−1 ；选择条件 ① ③ 作为已知条件：则 {b 1=1b 1q +b 1q 2=6，解得 {b 1=1q =2 或 {b 1=1q =−3 （舍）， ∴ b n =b 1q n−1=2n−1 ；选择条件 ② ③ 作为已知条件：则 {b 1q 4=8b 1q b 1q +b 1q 2=6 ，解得 {b 1=1q =2 ， ∴ b n =b 1q n−1=2n−1 ；∴ c n =a n +b n =3n −2+2n−1 ，则 S n =[1+4+7+...+(3n −2)]+(1+2+22+...+2n−1) = n +n (n−1)2×3+1−2n1−2=n (3n−1)2+2n −1 ． ∴数列{c n }的前n 项和S n = n (3n−1)2+2n −1 ．【点评】：本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和，考查运算求解能力，是中档题．18.（问答题，14分）已知函数f （x ）= 13x 3−x 2 +1． （Ⅰ）求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f （x ）在[-2，2]上的最大值和最小值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求出函数的导数，就是f（1），f′（1），求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值，最值即可．【解答】：解：（Ⅰ）f′（x）=x2-2x，则f′（1）=-1，∵f（1）= 13，∴切点是（1，13），故切线方程是y- 13=-（x-1）即3x+3y-4=0；（Ⅱ）令f′（x）=x2-2x=0，解得：x=0或x=2，x，f′（x），f（x）在[-2，2]的变化如下：∴f（x）地方极大值是f（0）=1，又f（2）=- 13，f（-2）=- 173，∴f（x）在[-2，2]的最大值是f（0）=1，f（x）在[-2，2]在最小值是f（-2）=- 173．【点评】：本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用，是中档题．19.（问答题，14分）记数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数n，都有S n= 32a n−2n．（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）设b n=a n+2，求证：数列{b n}是等比数列；（Ⅲ）求数列{a n}的前n项和S n．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）直接利用数列的递推关系式和赋值法的应用求出结果；（Ⅱ）利用递推关系式的应用求出数列为等比数列；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，进一步利用分组法的应用求出数列的和．【解答】：解：（Ⅰ）数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数n，都有S n= 32a n−2n．当n=1时，解得a1=4，当n=2时，S2=a1+a2=32a2−4，解得a2=16．（Ⅱ）由于S n=32a n−2n① ，当n≥2时，S n−1=32a n−1−2(n−1)② ，① - ② 得：a n=3a n-1+4，由于b n=a n+2，所以b n+1=a n+1+2=3a n+6，故b n+1b n =3a n+6a n+2=3，所以数列{b n}是以6为首项，3为公比的等比数列；（Ⅲ）由（Ⅱ）得：b n=6×3n−1，故a n=b n-2=6×3n-1-2，所以S n=32a n−2n=32(6×3n−1−2)−2n=3n+1−2n−3．【点评】：本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．20.（问答题，14分）已知函数f（x）=lnx-（a+1）x+1，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求证：f（x）≤0；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+ a2x2-1在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求出f'（x），令f'（x）=0，求出x的值，然后利用f'（x）的正负确定函数f（x）的单调性，由函数极值的定义求出函数f（x）的极值，即函数f（x）的最值，从而得到f（x）的取值范围，即可证明；（Ⅱ）求出g'（x），然后分a≤0，0＜a＜1和a≥1三种情况，分别利用导数判断函数的单调性，结合函数极值的定义分析求解即可．【解答】：（Ⅰ）证明：函数f（x）=lnx-（a+1）x+1，定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=lnx-x+1，则f'（x）= −x+1x，令f'（x）=0，解得x=1，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，当x＞1时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，所以当x=1时，函数f（x）取得唯一的极大值f（1）=0，故f（x）的最大值为0，所以f（x）≤0；（Ⅱ）解：函数g（x）=f（x）+ a2x2-1，则g'（x）= ax 2−(a+1)x+1x=(x−1)(ax−1)x，① 当a≤0时，则ax-1＜0，当0＜x＜1时，x-1＜0，则g'（x）＞0，故g（x）单调递增，当x＞1时，x-1＞0，则g'（x）＜0，故g（x）单调递减，所以当x=1时，g（x）取得极大值，符合题意；② 当0＜a＜1时，则ax＜x，当0＜x＜1时，ax-1＜x-1＜0，则g'（x）＞0，故g（x）单调递增，当1＜x＜1a时，x-1＞0，ax-1＜0，则g'（x）＜0，故g（x）单调递减，所以当x=1时，g（x）取得极大值，符合题意；③ 当a≥1时，当x＞1时，ax-1≥x-1＞0，则g'（x）＞0，故g（x）单调递增，所以1不是函数g（x）的极大值．综上所述，实数a的取值范围为（-∞，1）．【点评】：本题考查了利用导数在函数中的应用，利用导数研究函数的单调性以及函数的最值问题，利用导数研究函数的极值问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.（问答题，14分）已知集合A={1，2，3，…，n}，n∈N*．集合A含有k个元素的子集分别记为A k，1，A k，2，A k，3，…，A k，m，其中1≤k≤n，k∈N*，m∈N*．当1≤j≤m，j∈N*时，设A k，j={x1，x2，……，x k}，且x1＜x2＜x3＜…＜x k．定义：S（A k，j）=x k-x k-1+x k-2-…+（-1）k+1x1；T[k]=S（A k，1）+S（A k，2）+S（A k，3）+…+S（A k，m）．（Ⅰ）若n=5，（ⅰ）写出满足S （A 4，j ）=2的一个集合A 4，j ，并写出j 的最大值； （ⅱ）求T[1]+T[2]+T[3]的值；（Ⅱ）若存在唯一的n∈N*，使得T[1]+T[2]+…+T[n]=1024，求n 的值．【正确答案】：【解析】：理解定义：S （A k ，j ）=x k -x k-1+x k-2-…+（-1）k+1x 1，T[k]=S （A k ，1）+S （A k ，2）+S （A k ，3）+…+S （A k ，m ）．（Ⅰ）用特殊值和枚举法解题，（Ⅱ）分类讨论．【解答】：解：（Ⅰ）若n=5，（i ）取A 4，j ={1，2，3，4}，S （A 4，j ）=4-3+2-1=2． j 的最大值为3．（ii ）枚举法：集合A 含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，则T[1]=15； 集合A 含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，则T[2]=20；集合A 含有3个元素的子集有{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，则T[3]=30； ∴T[1]+T[2]+T[3]=65．（Ⅱ）对于集合A 的子集，可以分两类，一类含n ，一类不含n ；如果有集合{x 1，x 2，...，x k ，n}（x 1，x 2，...，x k ，n∈Z ，且x 1＜x 2＜...＜x k ＜n ），则存在唯一与之对应的集合{x 1，x 2，...，x k }，满足S （{x 1，x 2，...，x k }）+S （{x 1，x 2，...，x k ，n}）=n ，且这样的集合有 C n−1k（1≤k ＜n ）组，最后还剩下集合{n}；∴T[1]+T[2]+…+T[n]=n （ C n−11 + C n−12 +...+ C n−1n−1 ）+n=2n-1•n ，令2n-1•n=1024，得n=8．【点评】：本题考查等比数列的前4项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．。

天一中学2020~2021学年度第二学期期末学情检测高二年级数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4. 本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设集合，，则A∩B=A. 0，1，B.C. 0，D.2.已知函数关于直线对称，且在上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.3.若且，则与的夹角是A. B. C. D.4.已知函数，在上有且仅有2个实根，则下面4个结论：在区间上有最小值点；在区间上有最大值点；的取值范围是；在区间上单调递减所有正确结论的编号为A. B. C. D.5.中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是A. a，b，c成公比为2的等比数列，且B. a，b，c成公比为2的等比数列，且C. a，b，c成公比为的等比数列，且D. a，b，c成公比为的等比数列，且6.有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是A. 增加，增加B. 增加，减小C. 减小，增加D. 减小，减小7.若直线l是曲线的切线，且l又与曲线相切，则a的取值范围是A. B. C. D.8.已知正方体的棱长为2，M，N分别是棱BC，的中点，动点P在正方形包括边界内运动，若面AMN，则线段的长度范围是A. B.C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.如图，，，，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线则下面说法正确的是A. 曲线与x轴围成的面积等于B. 与的公切线方程为：C. 所在圆与所在圆的交点弦方程为：D. 用直线截所在的圆，所得的弦长为10.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：的离心率为，且双曲线C的左焦点在直线上，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为，，则下列说法正确的是A. 双曲线C的渐近线方程为B. 双曲线C的方程为C. 为定值D. 存在点P，使得11.如图，在某城市中，M、N两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到N、M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N、M处为止则下列说法正确的是A. 甲从M到达N处的方法有120种B. 甲从M必须经过到达N处的方法有9种C. 甲、乙两人在处相遇的概率为D. 甲、乙两人相遇的概率为12.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复N次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是A. ，B. 数列是等比数列C. 的数学期望ND. 数列的通项公式为N三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设复数z满足条件，那么的最大值是▲ ．14.已知F为抛物线的焦点，过F作斜率为的直线和抛物线交于A，B两点，延长AM，BM交抛物线于C，D两点，直线CD的斜率为若，则▲ ．15.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关“作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有的把握认为中学生追星与性别有关，则男生至少有▲ 人．参考数据及公式如下：，．16.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面组成的多面体。

2020-2021学年北京市海淀区八一学校高二（下）期末数学试卷试题数：19，总分：1001.（单选题，4分）若集合A={x|1＜x＜3}，B={x|-1＜x＜2}，则A∩B=（）A.{x|-1＜x＜3}B.{x|-1＜x＜1}C.{x|1＜x＜2}D.{x|2＜x＜3}2.（单选题，4分）下列函数中，值域为[0，+∞）的是（）A.y=2xB. y=x12C.y=tanxD.y=cosx3.（单选题，4分）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A.a+c＜b+cB.a-c＞b-cC.ac＞bcD. ab ＜cb4.（单选题，4分）已知a=3-2，b=log0.42，c=log23，则（）A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞c＞aD.c＞a＞b5.（单选题，4分）已知f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log 12x，则f（x）＞0的解集是（）A.（-1，0）B.（0，1）C.（-∞，-1）∪（0，1）D.（-1，0）∪（0，1）6.（单选题，4分）某学习小组有3名男生和2名女生，现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示，则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率为（ ）A. 35B. 310C. 12D. 257.（单选题，4分）“lna ＞lnb”是“3a ＞3b ”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.（单选题，4分）已知曲线： ① y 2=x ② x 2+y 2=1 ③ y=x 3 ④ x 2-y 2=1．上述四条曲线中，满足：“若曲线与直线有且仅有一个公共点，则他们必相切”的曲线条数是（ ）A.1B.2C.3D.49.（单选题，4分）已知函数f （x ）= {ax +1，x ≤0|lnx |，x ＞0．给出下列三个结论： ① 当a=-2时，函数f （x ）的单调递减区间为（-∞，1）；② 若函数f （x ）无最小值，则a 的取值范围为（0，+∞）；③ 若a ＜1且a≠0，则∃b∈R ，使得函数y=f （x ）-b 恰有3个零点x 1，x 2，x 3，且x 1x 2x 3=-1． 其中，所有正确结论的个数是（ ）A.0B.1C.2D.310.（单选题，4分）已知函数f （x ）在定义域（0．+∞）上是单调函数，若对于任意x∈（0，+∞），都有f （f （x ）- 1x ）=2，则f （ 15 ）的值是（ ）A.5B.6C.7D.811.（填空题，4分）已知函数f （x ）= {2，x ≤03x 2−4，x ＞0，那么f （f （-2））=___ ． 12.（填空题，4分）（2x+ 1x）4的展开式中的常数项为___ ．13.（填空题，4分）小明计划周六去长沙参加会议，有飞机和火车两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为0.95、0.8，若当天天晴则乘飞机，否则乘火车，天气预报显示当天天晴的概率为0.8．则小明能准时到达的概率为___ ；若小明当天准时到达，则他是乘火车去的概率为___ ．（结果保留两位小数）14.（填空题，4分）不等式 x−1lnx ＞1 的解集为___ ．15.（填空题，4分）已知集合A={a 1，a 2，…，a n ，n∈N *且n ＞2}，令T A ={x|x=a i +a j }，a i ∈A ，a j ∈A ，1≤i≤j≤n ，card （T A ）表示集合T A 中元素的个数．① 若A={2，4，8，16}，则card （T A ）=___ ；② 若a i+1-a i =c （1≤i≤n -1，c 为非零常数），则card （T A ）=___ ．16.（问答题，9分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为 13 ，乙每次投篮投中的概率为 12 ，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列和期望．17.（问答题，10分）已知函数f （x ）=x 3-3x 2，g （x ）=ax 2-4．（1）求函数f （x ）的极值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），都有f （x ）≥g （x ），求实数a 的取值范围．18.（问答题，9分）某社区超市购进了A ，B ，C ，D 四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为a i ，i=1，2，3，…，15）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：量（单位：件）；（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包．现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）若某顾客已选中产品B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）19.（问答题，12分）已知函数f（x）=x2-alnx-x，其中常数a≠0．（Ⅰ）若函数f（x）为单调函数，求实数a的最大值；（Ⅱ）如果函数f（x）只有一个零点，求实数a的取值范围．2020-2021学年北京市海淀区八一学校高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：19，总分：1001.（单选题，4分）若集合A={x|1＜x＜3}，B={x|-1＜x＜2}，则A∩B=（）A.{x|-1＜x＜3}B.{x|-1＜x＜1}C.{x|1＜x＜2}D.{x|2＜x＜3}【正确答案】：C【解析】：利用交集定义直接求解．【解答】：解：∵集合A={x|1＜x＜3}，B={x|-1＜x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}．故选：C．【点评】：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.（单选题，4分）下列函数中，值域为[0，+∞）的是（）A.y=2xB. y=x12C.y=tanxD.y=cosx【正确答案】：B【解析】：此题考查求函数的定义域与值域，对应求出值域即可确定正确答案为B【解答】：解：A，y=2x的值域为（0，+∞），故A错B，y= √x的定义域为[0，+∞），值域也是[0，+∞），故B正确．C，y=tanx的值域为（-∞，+∞），故C错D，y=cosx的值域为[-1，+1]，故D错．故选：B．【点评】：本题目属于基础题型，准确求出每一个函数的值域，即可确定正确答案，考查学生的基础解题能力．3.（单选题，4分）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A.a+c＜b+cB.a-c＞b-cC.ac＞bcD. ab ＜cb【正确答案】：A【解析】：先由数轴观察a、b、c的大小关系，然后根据不等式的基本性质对各项作出正确判断．【解答】：解：由数轴可以看出a＜b＜0＜c．对于A，∵a＜b，∴a+c＜b+c，故A正确；对于B，∵a＜b，∴a-c＜b-c，故B错误；对于C，∵a＜b，c＞0，∴ac＜bc，故C错误；对于D，∵a＜b＜0＜c，∴ ab ＞0＞cb，故D错误．故选：A．【点评】：此题主要考查了不等式的基本性质及实数和数轴的基本知识，属于基础题．4.（单选题，4分）已知a=3-2，b=log0.42，c=log23，则（）A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞c＞aD.c＞a＞b【正确答案】：D【解析】：根据对数函数的单调性可得出：log0.42＜0，log23＞1，并得出0＜3-2＜1，这样即可得出a，b，c的大小关系．【解答】：解：0＜3-2＜1，log0.42＜log0.41=0，log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：D．【点评】：本题考查了对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．5.（单选题，4分）已知f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log 12x，则f（x）＞0的解集是（）A.（-1，0）B.（0，1）C.（-∞，-1）∪（0，1）D.（-1，0）∪（0，1）【正确答案】：C【解析】：由已知结合奇函数的性质求出f（x）的解析式，然后结合对数函数的单调性即可求解．【解答】：解：因为f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log 12x，当x＜0时，-x＞0，则f（-x）=-f（x）=log 12（-x），所以f（x）=-log 12（-x），又f（0）=0，则由f（x）＞0可得，{x＞0log12x＞0或{x＜0−log12(−x)＞0，解可得0＜x＜1或x＜-1．故选：C．【点评】：本题主要考查了对数函数的单调性在求解不等式中的应用，属于基础试题．6.（单选题，4分）某学习小组有3名男生和2名女生，现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示，则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率为（）A. 35B. 310C. 12D. 25【正确答案】：C【解析】：设事件A 表示“抽到的第1个同学是男生”，事件B 表示“抽到的第2个同学也是男生”，则P （A ）= 35 ，P （AB ）= 35×24 = 310 ，由此利用条件概率计算公式能求出在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率．【解答】：解：某学习小组有3名男生和2名女生，现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示，设事件A 表示“抽到的第1个同学是男生”，事件B 表示“抽到的第2个同学也是男生”， 则P （A ）= 35 ，P （AB ）= 35×24 = 310 ，则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率：P （B|A ）= P (AB )P (A ) = 31035 = 12 ． 故选：C ．【点评】：本题考查概率的求法，考查条件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（单选题，4分）“lna ＞lnb”是“3a ＞3b ”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：解指数不等式和对数不等式，求出两个命题的等价命题，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】：解：“3a ＞3b ”⇔“a ＞b”，“lna ＞lnb”⇔“a ＞b ＞0”，∵“a ＞b ＞0”是“a ＞b”的充分而不必要条件，故“lna ＞lnb”是“3a ＞3b ”的充分而不必要条件，故选：A ．【点评】：本题考查的知识点是充要条件，熟练掌握充要条件的定义是解答的关键，属于基础题．8.（单选题，4分）已知曲线： ① y 2=x ② x 2+y 2=1 ③ y=x 3 ④ x 2-y 2=1．上述四条曲线中，满足：“若曲线与直线有且仅有一个公共点，则他们必相切”的曲线条数是（ ）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：A【解析】：分别根据直线和抛物线，圆，幂函数，双曲线有一个点的情况，进行讨论即可．【解答】：解： ① 当直线和抛物线y 2=x 对称轴平行时，曲线与直线有且仅有一个公共点， 但此时直线不是切线，故 ① 错误，② 当直线和圆x 2+y 2=1只有一个公共点时，直线与圆相切，故 ② 正确，③ 当直线和x 轴平行时，直线和y=x 3只有一个交点，但此时直线和曲线不相切，故 ③ 错误， ④ 当直线和双曲线x 2-y 2=1的渐近线平行时，直线和双曲线有一个交点，但此时直线和双曲线不相切，故 ④ 错误，故正确的只有 ② ，故选：A ．【点评】：本题主要考查命题的真假判断，涉及直线和曲线相切的位置关系的判断，要求掌握常见曲线和直线的位置关系．9.（单选题，4分）已知函数f （x ）= {ax +1，x ≤0|lnx |，x ＞0．给出下列三个结论： ① 当a=-2时，函数f （x ）的单调递减区间为（-∞，1）；② 若函数f （x ）无最小值，则a 的取值范围为（0，+∞）；③ 若a ＜1且a≠0，则∃b∈R ，使得函数y=f （x ）-b 恰有3个零点x 1，x 2，x 3，且x 1x 2x 3=-1． 其中，所有正确结论的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3【正确答案】：C【解析】：直接利用函数的图象和性质求出函数的单调区间，进一步确定 ① 的结论，再利用函数的图象判定函数的单调区间和最值进一步判定 ② 的结论，最后利用分类讨论思想的应用判定 ③ 的结论．【解答】：解：对于 ① ：当a=-2时，由0＜e -2＜1，f （0）=1＜f （e -2）=|lne -2|=2，所以函数f （x ）在区间（-∞，1）上不单调递减，故 ① 错误；对于 ② ：若函数 f (x )={ax +1，x ≤0|lnx |，x ＞0. 可转换为 f (x )={ax +1，x ≤0−lnx ，1≥x ＞0lnxx ＞1，画出函数的图象，如图所示：所以函数f （x ）无最小值，则a 的取值范围为（0，+∞）．故 ② 正确．对于 ③ 令y=f （x ）-b=0，结合函数我的图象，不妨设x 1＜0＜x 2＜1＜x 3，则ax 1+1=-lnx 2=lnx 3=b ，所以 x 1=b−1a ，x 2=e −b ， x 3=e b ，所以 x 2•x 3=e −b •e b =1 ， 令 x 1=b−1a =-1，即b=-a+1，当a ＜0时，b=-a+1＞1，故y=f （x ）-b=0有三个零点，且x 1•x 2•x 3=-1，符合题意， 当0＜a ＜1时，0＜b=-a+1＜1，故y=f （x ）-b=0有三个零点，且x 1•x 2•x 3=-1，符合题意，故 ③ 正确．故正确答案为： ② ③ ，故选：C ．【点评】：本题考查的知识要点：函数的图象和性质的应用，函数的零点，函数的单调性，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．10.（单选题，4分）已知函数f （x ）在定义域（0．+∞）上是单调函数，若对于任意x∈（0，+∞），都有f （f （x ）- 1x ）=2，则f （ 15 ）的值是（ ）A.5B.6C.7D.8【正确答案】：B【解析】：由函数f （x ）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且f （f （x ）- 1x ）=2，知f （x ）- 1x 为一个常数，令这个常数为n ，则有f （x ）- 1x =n ，f （n ）=2，所以 n +1n =2，解得n=1，由此能求出f （ 15 ）=6．【解答】：解：∵函数f （x ）在定义域（0，+∞）上是单调函数， 且f （f （x ）- 1x ）=2， ∴f （x ）- 1x 为一个常数，令这个常数为n ，则有f （x ）- 1x=n ， ① f （n ）=2， ②由 ① 得 f （x ）=n+ 1x， ③ ② 代入 ③ ，得 n +1n =2， 解得n=1， 因此f （x ）=1+ 1x ， 所以f （ 15）=6． 故选：B ．【点评】：本题考查函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．11.（填空题，4分）已知函数f （x ）= {2，x ≤03x 2−4，x ＞0 ，那么f （f （-2））=___ ．【正确答案】：[1]8【解析】：根据题意，由函数的解析式可得f （-2）=2，则有f （f （-2））=f （2），计算可得答案．【解答】：解：根据题意，函数f （x ）= {2，x ≤03x 2−4，x ＞0，则f （-2）=2，则f （f （-2））=f （2）=2×22-4=8，故答案为：8．【点评】：本题考查分段函数的求值，注意函数解析式的定义，属于基础题． 12.（填空题，4分）（2x+ 1x ）4的展开式中的常数项为___ ． 【正确答案】：[1]24【解析】：由通项公式可得第3项为常数项．【解答】：解：由通项公式得：T r+1=C 4r （2x ）4-r （ 1x）r =24-r C 4r x4-2r ， 令r=2，得展开式的常数项为：24-2C 42 =24， 故答案为：24【点评】：本题考查了二项式定理．属基础题．13.（填空题，4分）小明计划周六去长沙参加会议，有飞机和火车两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为0.95、0.8，若当天天晴则乘飞机，否则乘火车，天气预报显示当天天晴的概率为0.8．则小明能准时到达的概率为___ ；若小明当天准时到达，则他是乘火车去的概率为___ ．（结果保留两位小数） 【正确答案】：[1]0.92; [2]0.17【解析】：记“小明能准时到达”为事件A ，“小明乘坐火车去”为事件B ，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出小明能准时到达的概率；利用条件概率计算公式能求出若小明当天准时到达，则他是乘火车去的概率．【解答】：解：记“小明能准时到达”为事件A ，“小明乘坐火车去”为事件B ， 则小明能准时到达的概率为P （A ）=0.8×0.95+0.2×0.8=0.92， P （AB ）=0.2×0.8=0.16，若小明当天准时到达，则他是乘火车去的概率为： P （B|A ）= P (AB )P (A ) = 0.160.92 ≈0.17． 故答案为：0.92，0.17．【点评】：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14.（填空题，4分）不等式 x−1lnx ＞1 的解集为___ ． 【正确答案】：[1]（1，+∞）【解析】：由原不等式，讨论lnx＞0，或lnx＜0，即x＞1或0＜x＜1，构造函数f（x）=lnx-x+1，求得导数，判断单调性，即可得到所求解集．＞1，【解答】：解：不等式x−1lnx当x＞1时，原不等式等价为x-1＞lnx，-1，由f（x）=lnx-x+1的导数为f′（x）= 1x当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；可得f（x）＜f（1）=0，即有lnx＜x-1；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增，可得f（x）＜f（1），即为lnx＜x-1；这与0＜x＜1时，原不等式等价为x-1＜lnx，矛盾，综上可得，原不等式的解集为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．【点评】：本题考查不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，以及构造函数法，运用导数判断单调性，考查运算能力，属于中档题．15.（填空题，4分）已知集合A={a1，a2，…，a n，n∈N*且n＞2}，令T A={x|x=a i+a j}，a i∈A，a j∈A，1≤i≤j≤n，card（T A）表示集合T A中元素的个数．① 若A={2，4，8，16}，则card（T A）=___ ；② 若a i+1-a i=c（1≤i≤n-1，c为非零常数），则card（T A）=___ ．【正确答案】：[1]10; [2]2n-3【解析】：对于① 若A={2，4，8，16}，直接计算出T A={6，10，18，12，20，24}，即可得出答案；② 若a i+1-a i=c（1≤i≤n-1，c为非零常数），说明数列a1，a2，…，a n，构成等差数列，利用特殊化思想，取特殊的等差数列进行计算，结合类比推理可得card（T A）=2n-3．【解答】：解：① 若A={2，4，8，16}，则T A={4，6，8，10，16，18，12，20，24，32}，∴card（T A）=10；② 若a i+1-a i=c（1≤i≤n-1，c为非零常数），说明数列a1，a2，…，a n，构成等差数列，取特殊的等差数列进行计算，取A={1，2，3，…，n}，则T A={3，4，5，…，2n-1}，由于（2n-1）-3+1=2n-3，∴T A中共2n-3个元素，利用类比推理可得若a i+1-a i=c（1≤i≤n-1，c为非零常数），则card（T A）=2n-3．故答案为：10；2n-3．【点评】：本题考查集合与元素的位置关系和数列的综合应用，综合性较强，解题时注意特殊化思想和转化思想的运用，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属基础题．16.（问答题，9分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列和期望．【正确答案】：【解析】：（1）设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（A k）= 13，P（B k）= 12，k∈（1，2，3），由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式能求出甲获胜的概率．（2）ξ的所有可能为：1，2，3，分别求出相应的概率，由此能出投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．【解答】：解：（1）设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（A k）= 13，P（B k）= 12，k∈（1，2，3）．记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知：P（C）=P（A1）+P（A1B1A2）+P（A1B1A2B2A3）= P(A1)+P(A1)P(B1)P(A2) + P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)= 13+23×12×13+(23)2×(12)2×13= 1327．----（5分）（2）ξ的所有可能为：1，2，3，由独立性知：P（ξ=1）=P（A1）+P（A1B1）= 13+23×12= 23，P（ξ=2）=P（A1B1A2）+P（A1B1A2B2）= 23×12×13+（23）2（12）2= 29，P（ξ=3）=P（A1B1A2B2）=（23）2（12）2= 19，综上知，ξ的分布列为：∴Eξ= 1×23+2×29+3×19= 139（次）------（11分）∴甲获胜的概率为1327；甲的投篮次数的期望为139次．------（12分）【点评】：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17.（问答题，10分）已知函数f（x）=x3-3x2，g（x）=ax2-4．（1）求函数f（x）的极值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求导，令f′（x）=0得x=0或x=2，列表格分析f′（x），f（x）随x变化情况进而得出函数f（x）的极大值，极小值．（2）令F（x）=f（x）-g（x）=x3-（3+a）x2+4，求导，令F′（x）=0，得x=0或x=2(3+a)3，分当2(3+a)3≤0时，当2(3+a)3＞0，两种情况讨论F（x）的最小值，分析它是否可以大于等于0，进而可得出a的取值范围．【解答】：解：（1）f′（x）=3x2-6x，令f′（x）=0，得x=0或x=2，f′（x），f（x）随x变化情况如下表：当x=2时，f（x）有极小值-4．（2）令F（x）=f（x）-g（x）=x3-（3+a）x2+4，F′（x）=3x2-2（3+a）x，由F′（x）=0，得：x=0或x= 2(3+a)3，当2(3+a)3≤0时，即a≤-3时F′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，所以此时F（0）=4为最小值，所以F（x）≥0恒成立，即f（x）≥g（x）．当2(3+a)3＞0，即a＞-3时，所以当x=3时，F（x）取得最小值，若要满足f（x）≥g（x），则F（2(3+a)3）≥0，即[ 2(3+a)3]3-（3+a）[ 2(3+a)3]2+4=- 427（3+a）3+4≥0，解得a≤0，所以-3＜a≤0，综上所述，a的取值范围是a≤0．【点评】：本题考查利用导数求函数的极值，恒成立问题，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．18.（问答题，9分）某社区超市购进了A，B，C，D四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为a i，i=1，2，3，…，15）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：量（单位：件）；（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包．现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）若某顾客已选中产品B ，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）【正确答案】：【解析】：（I ）由题意可得：产品A 的月销售量约为5× 30015 ×30（件）．（II ）一位顾客购买两种以上（含两种）新产品的概率= 915 = 35 ．现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的个数为ξ，则ξ～B （3， 35 ）．P （ξ=k ）= ∁3k(25)3−k (35)k ．随机变量X=2ξ，即可得出．（III ）某顾客已选中产品B ，为提高超市销售业绩，应该向其推荐D 种新产品．【解答】：解：（I ）由题意可得：5× 30015×30=3000（件）．因此产品A 的月销售量约为3000（件）．（II ）一位顾客购买两种以上（含两种）新产品的概率= 915= 35．现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的个数为ξ，则ξ～B （3， 35）．P（ξ=k ）= ∁3k (25)3−k (35)k．随机变量X=2ξ的分布列为：EX= 2×3×35 = 185．（III）某顾客已选中产品B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐D种新产品．【点评】：本题考查了二项分布列及其数学期望、排列与概率的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=x2-alnx-x，其中常数a≠0．（Ⅰ）若函数f（x）为单调函数，求实数a的最大值；（Ⅱ）如果函数f（x）只有一个零点，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系，分析可得当f'（x）≥0对x＞0成立时，2x 2−x−ax≥0，即2x2-x-a≥0对x＞0成立，结合二次函数的性质分析可得a的范围；（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）的结论，当a≤−18时，函数f（x）是单调递增函数，讨论a＞−18时的情况即可，求出函数的导数，分情况讨论a的范围，分析其单调性，讨论其零点的情况，综合即可得答案．【解答】：解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=x2-alnx-x，因为f′(x)=2x 2−x−ax，其中x＞0因为f（x）是单调函数，所以f'（x）≥0或f'（x）≤0对x＞0成立当f'（x）≥0对x＞0成立时，2x 2−x−ax≥0，即2x2-x-a≥0对x＞0成立所以2x2-x≥a，根据二次函数的性质得到−18≥a，当f'（x）≤0对x＞0成立时，2x 2−x−ax≤0，即2x2-x-a≤0对x＞0成立所以2x2-x≤a，根据二次函数的性质这种情形不成立；综上，a≤−18，所以实数a的最大值为−18．（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ），当a≤−18时，函数f（x）是单调递增函数，而f（1）=0，则函数f（x）只有一个零点，当a＞−18时，令f′(x)=2x 2−x−ax=0，得x1=1−√1+8a4，x2=1+√1+8a4，当−18＜a＜0时，0＜x1＜x2所以x，f'（x），f（x）的变化情况如下表1111而2x12−x1−a=0，所以f(x1)=x12−alnx1−x1=a(1−lnx1)−x12注意到x1＜x2＜1所以1−lnx1＞0，a＜0，−x12＜0，所以f(x1)=a(1−lnx1)−x12＜0所以在x∈（0，x2）时，f（x）≤f（x1）＜0，所以函数f（x）在区间（0，x2）上没有零点，而当x→+∞时，f（x）→+∞，所以函数f（x）在区间（x2，+∞）上有一个零点，当a＞0，其中x1=1−√1+8a4＜0（舍）所以x，f'（x），f（x）的变化情况如下表当x2=√4=1时，即a=1时，f（x2）=0函数f（x）的唯一的一个极小值，即最小值为f（1）=0，符合题意，当x2=1+√1+8a4＞1时，即a＞1时，则f（x2）＜f（1）=0，而当x→+∞时，f（x）→+∞，所以函数f（x）在区间（x2，+∞）上还有一个零点，矛盾当0＜x2=1+√1+8a4＜1，即a＜1时则f（x2）＜f（1）=0，而此时x→0时，f（x）→+∞，所以函数f（x）在区间（0，x2）上还有一个零点，矛盾，综上，实数a的取值范围是{a|a＜0或a=1}．【点评】：本题考查利用导数分析函数的单调性以及极值，涉及函数零点的讨论，注意正确求导．。

2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知随机变量X 服从正态分布N (μ,σ2),且P (μ-2σ<X<μ+2σ)=0．954 4,P (μ-σ<X<μ+σ)=0．682 6．若μ=4,σ=1,则P (5<X<6)=( )A ．0．135 9B ．0．135 8C ．0．271 8D ．0．271 6 1．(文科做)若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－3B ． a >－3C ． a ≤－3D ．a ≥－32．集合A ＝｛1，2，3，a ｝，B ＝｛3，a ｝，则使A ∪B ＝A 成立的a 的个数是 （ ） A ．2个 B ．5个 C ．3个 D ． 4个3．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{3,6}B ．{2,6}C ．{1,3,4,5}D ．{1,2,4,6}4．已知随机变量ξ,η满足ξ+η=8,且ξ服从二项分布B (10,0．6),则E (η)和D (η)的值分别是( ) A ．6和2．4B ．2和5．6C ．2和2．4D ．6和5．64．(文科做)函数y ＝f (2x －1)的定义域为[0,1]，则y ＝f (x )的定义域为( )A ． [0,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C ． [－1,1] D ．[]－1，0其线性回归方程一定过的定点是（ ） A ．(2,2) B ．(1,2) C ．(1．5,0)D ．(1．5,5)6．已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},则A ∩B=( )A ．{x|2<x<3}B ．{x|x<4或x>5}C ．{x|2<x<5}D ．{x|x<2或x>5}7．设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．(文科做)已知某四个家庭xx 上半年总收入x (单位：万元)与总投资y (单位：万元)的对照数据如表所示：根据上表提供的数据，若用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0．7x ＋0．35，则m 的值为( )A ． 3B ． 5C ． 4D ．68．有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用ξ表示取到次品的件数，x 0 1 2 3 y2468x 3 4 5 6y 2．5 3 m 4．5则E (ξ)等于( )A ．35B ．815C ．1415D ．1 9． 甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0．6，乙被录取的概率为0．7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )A ．0．12B ．0．42C ．0．46D ．0．889．(文科做)函数f (x )＝x 2＋x －6的单调增区间是( )A ．(－∞，－3)B ．[2，＋∞)C ．[0,2)D ．[－3,2]10(文科做)．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2a －b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝( )A ．13B ．0C ．－13D ．1 10．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )A ．C 35C 14C 45B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49C ．35×14D ．C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫593×4911． f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1， 当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞) B．[8,9] C ．(8,9] D ．(0,8) 12．函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( )A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ． (－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,用ξ表示取到白球的个数,则P (ξ=1)= 13．（文科做）下列不等式：①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1．其中可以作为“x 2<1”的一个充分条件的所有序号为_______14,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体．经过搅匀后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X ,则X 的均值E (X )=14(文科做)．已知f (x )＝ax 3＋bx ＋xx ，且f (xx)＝xx ，则f (－xx)＝________．15．下列是关于男婴与女婴出生时间调查的列联表：那么a= ,b= ,c= ,d= ,e= ．16．已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________三．解答题：（本大题共６小题，共70分）17．（本题满分10分）已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |x 2－3x ≤10}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）设命题p ：函数f (x )＝lg (ax 2－4x ＋a )的定义域为R ；命题q ：不等式2x 2＋x >2＋ax 在x ∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．19．（本题满分12分）甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为1/2，乙每次击中目标的概率为2/3 (1)记甲击中目标的次数为X ,求X 的概率分布列及数学期望E (X ); (2)求乙至多击中目标2次的概率; (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率19(文科做)已知p ：A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－9≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；(2)若p 是非q 的充分条件，求实数m 的取值范围20（本题满分12分）将编号为1,2,3,4的四个材质和大小都相同的球，随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个球，ξ表示球的编号与所放入盒子的编号正好相同的个数． (1)求1号球恰好落入1号盒子的概率；(2)求ξ的分布列．20(文科做)某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下： API [0， 50] (50， 100] (100， 150] (150， 200] (200， 250] (250， 300] (300， ＋∞) 空气 质量 优 良 轻微 污染 轻度 污染 中度 污染 中度 重污染 重度 污染 天数413183091115(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失S (单位：元)与空气质量指数API(记为ω)的关系式为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤ω≤100，3ω－200，100<ω≤300，2000，ω>300.试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于400元且不超过700元的概率；(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：P (K 2≥k 0)0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 k 0 1．323 2．072 2．706 3．841 5．024 6．635 7．87910．828K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计10021．（本题满分12分）已知函数f(x)＝x·|x|－2x．(1)求函数f(x)＝0时x的值；(2)画出y＝f(x)的图象，并结合图象写出f(x)＝m有三个不同实根时，实数m的取值范围．22．已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a(其中a>0)．(1)当a＝4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a的取值范围．西宁市第四高级中学xx —17xx 第二学期期末测试试题答案高二数学1 2 3 4 5 6 A DABCD7 8 9 10 11 12 AB D D D B （13)0.6 13文(2)(3)(4) （14)6/5 文 xx （15)47 92 88 82 53 （16) a>5/617. 解 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}，∁R P ＝{x |x <4或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |x <4或x >7}∩{x |－2≤x ≤5}＝{x |－2≤x ＜4}．(2)当P ≠∅时，由P ∪Q ＝Q 得P ⊆Q ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1，解得0≤a ≤2；当P ＝∅，即2a ＋1<a ＋1时，有P ⊆Q ，得a <0. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]． 18.对于命题p ：Δ<0且a >0，故a >2；对于命题q ：a >2x －2x＋1在x ∈(－∞，－1)上恒成立，又函数y ＝2x －2x＋1为增函数，所以⎝⎛⎭⎪⎫2x －2x＋1<1，故a ≥1，命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，等价于p ，q 一真一假．故1≤a ≤2.19. (1)X 的概率分布列为X 0 1 2 3 PE (X )=0E (X )=3(2)乙至多击中目标2次的概率为1(3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A ,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标0次为事件B 1,甲恰好击中目标3次且乙恰好击中目标1次为事件B 2,则A=B 1+B 2.B 1,B 2为互斥事件,P (A )=P (B 1)+P (B 2)19 文科做(1)A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3，x ∈R ，m ∈R }，∵A ∩B ＝[1,3]，∴m ＝4.(2)∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，∴m >6或m ＜－4.20.(1)设事件A 表示“1号球恰好落入1号盒子”，P (A )＝A 33A 44＝14，所以1号球恰好落入1号盒子的概率为14.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,4.P (ξ＝0)＝3×3A 44＝38，P (ξ＝1)＝4×2A 44＝13， P (ξ＝2)＝C 24A 44＝14，P (ξ＝4)＝1A 44＝124.所以随机变量ξ的分布列为20．文科做(1)记“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于400元且不超过700元”为事件A .由400<S ≤700，即400<3ω－200≤700，解得200<ω≤300，其满足条件天数为20.所以P (A )＝20100＝15. (2)根据以上数据得到如下列联表：非重度污染重度污染合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计85 15100K 2＝100×63×8－22×7285×15×30×70≈4.575>3.841，所以有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关．21.(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图由图象可得实数m ∈(－1,1)．22. (1)当a ＝4时，不等式为|2x ＋1|－|x －1|≤2.当x <－12时，－x －2≤2，解得－4≤x <－12；当－12≤x ≤1时，3x ≤2，解得－12≤x ≤23；当x >1时，x ≤0，此时x 不存在，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－4≤x ≤23. (2)令f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x <－12，3x ，－12≤x ≤1，x ＋2，x >1.故f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞，即f (x )的最小值为－32. 若f (x )≤log 2a 有解，则log 2a ≥－32，解得a ≥24，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞ 【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。

2020-2021学年北京二十中高二（下）期末数学试卷试题数：20，总分：1501.（单选题，4分）已知集合M=（-3，5]，N=[5，+∞），则M∪N=（）A.（-3，+∞）B.{5}C.（-3，5）D.[5，+∞）2.（单选题，4分）命题“∀x∈（0，+∞），e x≥x+1”的否定是（）A.∃x∈（0，+∞），e x≥x+1B.∀x∈（0，+∞），e x＜x+1C.∃x∈（0，+∞），e x＜x+1D.∀x∈（-∞，0]，e x≥x+13.（单选题，4分）已知-1＜a＜0，b＜0，则b，ab，a2b的大小关系是（）A.b＜ab＜a2bB.a2b＜ab＜bC.a2b＜b＜abD.b＜a2b＜ab4.（单选题，4分）函数y=f（x）在x=0处的切线l经过点（1，0），如图所示，则f′（0）+f′（-1）=（）A.0B.-1C.1D.25.（单选题，4分）已知数列{a n}和{b n}满足b n=|a n|，则“数列{a n}为等比数列”是“数列{b n}为等比数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.（单选题，4分）中国古典乐器一般按“八音”分类．“八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼•春官•大师》，分为金、石、土、革、丝、木、匏（pào ）、竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（ ） A. 314 B. 1114 C. 114 D. 277.（单选题，4分）已知{a n }是等差数列，公差d ＜0，前n 项和为S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（ ） A.a 1＞0，S 4＞0 B.a 1＜0，S 4＜0 C.a 1＞0，S 4＜0 D.a 1＜0，S 4＞08.（单选题，4分）函数f （x ）=x 3+kx 2-7x 在区间[1，+∞）上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A.（-∞，2] B.（-∞，2） C.[-2，2] D.[2，+∞）9.（单选题，4分）无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，前n 项和为S n ，若对∀n∈N *，S n ∈{2，3}，则k 的最大值是（ ） A.3 B.4 C.5 D.610.（单选题，4分）已知a∈R ．设函数f （x ）= {x 2−2ax +2a ，x ≤1，x −alnx ，x ＞1． 若关于x 的不等式f （x ）≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ）A.[0，1]B.[0，2]C.[0，e]D.[1，e]11.（填空题，5分）已知f（x）=cosx•e x，则f'（0）=___ ．12.（填空题，5分）设（3x2-x）n展开式的二项式系数和为32，则含x6的系数是 ___ ．13.（填空题，5分）已知数列{a n}满足① ∀k∈N*，a k+1＞a k，② ∀k∈N*，|a k+1-a k|≤2，请写出一个满足条件的数列的通项公式 ___ ．（答案不唯一）14.（填空题，5分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a3=3，a n+3= a n+1a n+2+7，n∈N∗，下列a n说法正确的是 ___ ．① a4=9；② ∀n∈N*，a n都是正整数；③ a2k-1，a2k，a2k+1成等差数列；④ ∃k∈N*，∀n∈N*，a n+a n+2=ka n+1．15.（问答题，14分）设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，a3=8，a4+a5=48．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的通项公式为b n=a n+n-1，求数列{b n}的前n项和S n．16.（问答题，14分）2021年6月18时48分，我国航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波先后进入天和核心舱，这标志着中国人首次进入自己的空间站，后续还会有更多航天员进入天和核心舱开展研究工作．我国的航天员一般是从空军歼击机或强击机在飞的合格飞行员当中挑选的．某校甲、乙、丙三位同学立志投身祖国的航天事业，于是报考了空军飞行员，选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5，0.6，0.75，能通过文考关的概率分别是0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响．（1）求甲被录取成为空军飞行员的概率；（2）设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X的分布列及期望．17.（问答题，14分）已知函数f（x）=xlnx．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证：f（x）＜x2+x．18.（问答题，14分）单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩．现有运动员甲，乙二人在2021赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如表：（Ⅰ）从如表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；（Ⅱ）从如表5站中任意选取2站，用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假如从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由．[（x1- x）2+（x2- x）2+…+（x n−x）2]，其中x为x1，x2，…，x n的平均（注：方差s2= 1n数）19.（问答题，14分）设函数f（x）=e x-ax-2．（1）求f（x）的单调区间；（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x-k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．20.（问答题，15分）设n是正整数，对每一个满足0≤a i≤n（i=1，2，…，n）的整数数列A：0，a1…，a n，定义变换T：T将数列A变换成数列T（A）：0，T（a1），T（a2），…，T（a n），其中T（a i）为数列A位于a i之前的与a i不相等的项的个数（i=1，2，…，n），令A k+1=T（A k）（k=0，1，2，⋯）．（1）已知数列A0分别为0，1，2，3和0，0，2，0，1，3，请写出对应的数列A1，A2，A3；（2）数列B：0，b1，b2，…，b n，满足b i-1≤b i，且b i=i或b i-1（i=1，2，…，n），求证：T （B）=B；（3）求证：对任意满足已知条件的数列A0，当上k≥n时，A k=T（A k）．2020-2021学年北京二十中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：20，总分：1501.（单选题，4分）已知集合M=（-3，5]，N=[5，+∞），则M∪N=（）A.（-3，+∞）B.{5}C.（-3，5）D.[5，+∞）【正确答案】：A【解析】：进行并集的运算即可．【解答】：解：∵M=（-3，5]，N=[5，+∞），∴M∪N=（-3，+∞）．故选：A．【点评】：本题考查了集合的区间的定义，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，4分）命题“∀x∈（0，+∞），e x≥x+1”的否定是（）A.∃x∈（0，+∞），e x≥x+1B.∀x∈（0，+∞），e x＜x+1C.∃x∈（0，+∞），e x＜x+1D.∀x∈（-∞，0]，e x≥x+1【正确答案】：C【解析】：根据含有量词的命题的否定即可得到结论【解答】：解：命题为全称命题，则命题“∀x∈（0，+∞），e x≥x+1”的否定是∃x∈（0，+∞），e x＜x+1，故选：C．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.（单选题，4分）已知-1＜a＜0，b＜0，则b，ab，a2b的大小关系是（）A.b＜ab＜a2bB.a2b＜ab＜bC.a2b＜b＜abD.b＜a2b＜ab【正确答案】：D【解析】：因为该题为选择题，故可以用特值法，取符合条件的a，b代入进行比较即可．【解答】：解：取特殊值：a= −12，b=-1，则ab= 12，a2b=- 14，故b＜a2b＜ab，故选：D．【点评】：本题考查不等式比较大小，属于基础题．4.（单选题，4分）函数y=f（x）在x=0处的切线l经过点（1，0），如图所示，则f′（0）+f′（-1）=（）A.0B.-1C.1D.2【正确答案】：B【解析】：由图可知f′（-1）=0，再由两点求斜率得到f′（0），作和得答案．【解答】：解：由图可知，x=-1是函数的极大值点，则f′（-1）=0，又函数y=f（x）在x=0处的切线l经过点（1，0），∴直线l的斜率k= 0−11−0=-1，即f′（0）=-1．∴f′（0）+f′（-1）=-1+0=-1．故选：B．【点评】：本题考查函数的极值点与导数的关系，考查数形结合思想，是基础题．5.（单选题，4分）已知数列{a n}和{b n}满足b n=|a n|，则“数列{a n}为等比数列”是“数列{b n}为等比数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：利用等比数列的定义及其举例说明即可判断出结论．【解答】：解：数列{a n}和{b n}满足b n=|a n|，则“数列{a n}为等比数列”⇒“数列{b n}为等比数列”，反之不成立：例如：b n=1，a n为：1，1，-1，1，……，∴数列{a n}为等比数列”是“数列{b n}为等比数列”的充分不必要条件．故选：A．【点评】：本题考查了等比数列的定义通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.（单选题，4分）中国古典乐器一般按“八音”分类．“八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼•春官•大师》，分为金、石、土、革、丝、木、匏（pào）、竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（）A. 314B. 1114C. 114D. 27【正确答案】：B【解析】：现从“八音”中任取不同的“两音”，基本事件总数n= C82=28，含有打击乐器包含的基本事件个数m= C41C41+C42 =22，由此能求出含有打击乐器的概率．【解答】：解：八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，分为金、石、土、革、丝、木、匏（pào）、竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，基本事件总数n= C82=28，含有打击乐器包含的基本事件个数m= C41C41+C42 =22，∴含有打击乐器的概率为p= mn =2228= 1114．故选：B．【点评】：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（单选题，4分）已知{a n}是等差数列，公差d＜0，前n项和为S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A.a1＞0，S4＞0B.a1＜0，S4＜0C.a1＞0，S4＜0D.a1＜0，S4＞0【正确答案】：A【解析】：首先由a3，a4，a8成等比数列可得a42=a3a8，然后计算得出a1=−53d，再由d ＜0可得a1＞0，最后由等差数列的前n项和公式即可得出S4的表达式，进而得出所求的答案．【解答】：因为a3，a4，a8成等比数列，所以a42=a3a8，即(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d)，即a1=−53d，因为d＜0，所以a1＞0；而S4=4a1+4×32d=4a1+6d=4×(−53d)+6d = −23d＞0，故选：A．【点评】：本题考查等差数列、等比数列以及等差数列的前n项和，考查学生的数学运算的核心素养，属于中档题．8.（单选题，4分）函数f（x）=x3+kx2-7x在区间[1，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是（）A.（-∞，2]B.（-∞，2）C.[-2，2]D.[2，+∞）【正确答案】：D【解析】：对f（x）求导，可得f'（x）=3x2+2kx-7，将函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增转化为f'（x）=3x2+2kx-7≥0在[1，+∞）上恒成立，再结合复合函数的单调性，以及x 的取值范围，求出k的取值范围．【解答】：解：∵f（x）=x3+kx2-7x，∴f'（x）=3x2+2kx-7，∵函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，∴f'（x）=3x2+2kx-7≥0在[1，+∞）上恒成立，即2k≥−3x+7x ，设g（x）= −3x+7x，则2k≥g（x）max，由复合函数的单调性，可得g（x）在区间[1，+∞）上单调递减，∴g（x）≥g（1）=-3+7=4，∴2k≥4，即k≥2，∴实数k的取值范围为[2，+∞）．故选：D．【点评】：本题考查利用导数求函数的单调性，以及函数恒成立问题，考查了转化的思想，属于中档题．9.（单选题，4分）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，前n项和为S n，若对∀n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值是（）A.3B.4C.5D.6【正确答案】：B【解析】：由题意可知a1=S1∈（2，3），所以将数列写出至最多项，其中有相同的情况舍去，列举出所有的情况即可知道k的最大值．【解答】：解：由∀n∈N*，S n∈{2，3}，得a1=S1∈{2，3}，当n≥2时，a n=S n-S n-1，所以a n∈{0，±1}，所以数列{a n}最多有2，0，1，-1或3，0，1，-1，共有4个元素，故选：B．【点评】：本题主要考查数列的求和，涉及分类讨论，考查学生的逻辑推理和分类讨论的能力，属于中档题．10.（单选题，4分）已知a∈R ．设函数f （x ）= {x 2−2ax +2a ，x ≤1，x −alnx ，x ＞1． 若关于x 的不等式f （x ）≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A.[0，1] B.[0，2] C.[0，e] D.[1，e] 【正确答案】：C【解析】：分2段代解析式后，分离参数a ，再构造函数求最值可得．【解答】：解：当x=1时，f （1）=1-2a+2a=1＞0恒成立； 当x ＜1时，f （x ）=x 2-2ax+2a≥0⇔2a≥x 2x−1恒成立， 令g （x ）= x 2x−1 =- x 21−x =- (1−x−1)21−x =- (1−x )2−2(1−x )+11−x =-（1-x+ 11−x-2）≤-（2 √(1−x )•11−x -2）=0，∴2a≥g （x ）max =0，∴a≥0．当x ＞1时，f （x ）=x-alnx≥0⇔a≤ xlnx 恒成立， 令h （x ）= xlnx，则h′（x ）=lnx−x•1x(lnx )2= lnx−1(lnx )2， 当x ＞e 时，h′（x ）＞0，h （x ）递增， 当1＜x ＜e 时，h′（x ）＜0，h （x ）递减， ∴x=e 时，h （x ）取得最小值h （e ）=e ， ∴a≤h （x ） min =e ， 综上a 的取值范围是[0，e]． 故选：C ．【点评】：本题考查了函数恒成立，属中档题．11.（填空题，5分）已知f （x ）=cosx•e x ，则f'（0）=___ ． 【正确答案】：[1]1【解析】：先求f′（x ），然后求得f'（0）．【解答】：解：∵f′（x）=（cosx）′•e x+cosx（e x）′=-（sinx）e x+（cosx）e x=e x（cosx-sinx），∴f′（0）=e0（cos0-sin0）=1．故答案为：1．【点评】：本题考查导数运算，考查数学运算能力，属于基础题．12.（填空题，5分）设（3x2-x）n展开式的二项式系数和为32，则含x6的系数是 ___ ．【正确答案】：[1]15【解析】：首先根据二项式系数和为32求得n值，然后通过二项展开式通项求得含x6的系数．【解答】：解：∵（3x2-x）n展开式的二项式系数和为32，∴ C n0 + C n1+•••+ C n n =2n=32，解得n=5．（3x2-x）5展开式的第r+1项为T r+1= C5r（3x2）5-r（-x）r=（-1）r•35-r• C5r x10-r，由10-r=6，得r=4，∴含x6的系数是（-1）4•3• C54 =15．故答案为：15．【点评】：本题考查二项式系数、二项展开式，考查运算能力，属于基础题．13.（填空题，5分）已知数列{a n}满足① ∀k∈N*，a k+1＞a k，② ∀k∈N*，|a k+1-a k|≤2，请写出一个满足条件的数列的通项公式 ___ ．（答案不唯一）【正确答案】：[1]a n=n【解析】：由已知可得数列为递增数列且后一项与前一项差的绝对值小于等于2，由此可得数列{a n}的一个通项公式．【解答】：解：由数列{a n}满足① ∀k∈N*，a k+1＞a k，可知数列为递增数列，满足② ∀k∈N*，|a k+1-a k|≤2，可知后一项与前一项差的绝对值小于等于2，则可求数列{a n}的一个通项公式为a n=n．故答案为：a n=n．【点评】：本题考查数列通项公式的求法，正确理解题意是关键，是基础题．14.（填空题，5分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a3=3，a n+3= a n+1a n+2+7，n∈N∗，下列a n说法正确的是 ___ ．① a4=9；② ∀n∈N*，a n都是正整数；③ a 2k-1，a 2k ，a 2k+1成等差数列； ④ ∃k∈N *，∀n∈N *，a n +a n+2=ka n+1． 【正确答案】：[1] ② ③【解析】：根据a 1=1，a 2=2，a 3=3，a n+3= a n+1a n+2+7a n，n ∈N ∗ ，直接求出a 4，由递推公式a n+3=a n+1a n+2+7a n，n ∈N ∗ ，得a n +a n+2a n+1=a n+2+a n+4a n+3，令 b n=a n +a n+2a n+1，则有b n =b n+2，从而得出数列{b n }的通项公式，从而可判断 ② ③ ④ 的正误．【解答】：解： a 4=a 2a 3+7a 1=13 ，故 ① 错误；因为a n+3=a n+1a n+2+7a n，n ∈N ∗ ，所以a n+3a n -a n+1a n+2=7，a n+4a n+1-a n+2a n+3=7， 两式相减得：a n+3（a n +a n+2）=a n+1（a n+2+a n+4），即 a n +a n+2a n+1=a n+2+a n+4a n+3． 于是令 b n =a n +a n+2a n+1 ，则有b n =b n+2，又因为 b 1=a 1+a 3a 2=2 ， b 2=a 2+a 4a 3=5 ，所以 b n ={2，n =2k −1，k ∈N ∗5，n =2k ，k ∈N ∗，所以a n+2=b n a n+1-a n ．又因为a 1=1，a 2=2，a 3=3均为整数， 所以∀n∈N *，a n 都是整数，故 ② 正确； 当n 为奇数时，则n+1为偶数，n+2为奇数，a n +a n+2a n+1=2 ，即a n +a n+2=2a n+1，即a 2k-1+a 2k+1=2a 2k ，所以a 2k-1，a 2k ，a 2k+1成等差数列，故 ③ 正确； 因为 b n ={2，n =2k −1，k ∈N ∗5，n =2k ，k ∈N ∗，所以当n 为奇数时，a n +a n+2=2a n+1；当n 为偶数时，a n +a n+2=5a n+1，故 ④ 错误． 故答案为： ② ③ ．【点评】：本题考查数列递推式、等差数列，考查分类讨论的思想，难度较大，属中高档题． 15.（问答题，14分）设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 3=8，a 4+a 5=48． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }的通项公式为b n =a n +n-1，求数列{b n }的前n 项和S n ．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用等比数列的性质的应用求出数列的通项公式；（2）利用分组法的应用求出数列的和．【解答】：解：（1）数列{a n}是各项均为正数的等比数列，设数列的首项为a1，公比为q，由于a3=8，a4+a5=48，所以{a1q2=8a1q3+a1q4=48，解得q=2或-3（负值舍去），所以a1=2．故a n=2n．（2）由（1）得：数列{b n}的通项公式为b n=a n+n-1=2n+n-1，所以S n=(21+22+...+2n)+(1+2+...+n−1) = 2×(2n−1)2−1+(n−1)(1+n−1)2= 2n+1+n(n−1)2−2．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．16.（问答题，14分）2021年6月18时48分，我国航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波先后进入天和核心舱，这标志着中国人首次进入自己的空间站，后续还会有更多航天员进入天和核心舱开展研究工作．我国的航天员一般是从空军歼击机或强击机在飞的合格飞行员当中挑选的．某校甲、乙、丙三位同学立志投身祖国的航天事业，于是报考了空军飞行员，选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5，0.6，0.75，能通过文考关的概率分别是0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响．（1）求甲被录取成为空军飞行员的概率；（2）设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X的分布列及期望．【正确答案】：【解析】：（1）设甲，乙，丙三位同学分别通过复检为事件A，B，C，通过文考为A1，B1，C1，根据已知条件，可得对应的概率，即可推得甲被录取成为空军飞行员的概率P1=1×1×0.5×0.6×0.1=0.3．（2）由题意可得，甲同学被录取的概率P1=0.5×0.6×1=0.3，乙同学被录取的概率P1=0.6×0.5×1=0.3，丙同学被录取的概率P1=0.75×0.4×1=0.3，该事件可看作3次的独立重复试验，其中随机变量X可能值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，再结合期望公式，即可求解．【解答】：解：（1）设甲，乙，丙三位同学分别通过复检为事件A，B，C，通过文考为A1，B1，C1，由题意可得，P（A）=0.5，P（B）=0.6，P（C）=0.75，P（A1）=0.6，P（B1）=0.5，P（C1）=0.4，∴甲被录取成为空军飞行员的概率P1=1×1×0.5×0.6×1=0.3．（2）由题意可得，甲同学被录取的概率P1=0.5×0.6×1=0.3，乙同学被录取的概率P1=0.6×0.5×1=0.3，丙同学被录取的概率P1=0.75×0.4×1=0.3，该事件可看作3次的独立重复试验，其中随机变量X可能值为0，1，2，3，P(X=0)=C30(1−0.3)3=0.343，P(X=1)=C31(0.3)•(1−0.3)2=0.441，P(X=2)=C32(0.3)2•(1−0.3)=0.189，P(X=3)=C33(0.3)3 =0.027，故随机变量X的分布列为：【点评】：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列的求解，需要学生熟练掌握期望公式，属于基础题．17.（问答题，14分）已知函数f（x）=xlnx．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证：f（x）＜x2+x．【正确答案】：【解析】：（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）等价于lnx-x-1＜0，构造函数g（x）=lnx-x-1，利用导数求函数g（x）的最值即可证明．【解答】：解：（1）f′（x）=lnx+1⇒f′（1）=1，又f（1）=0，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．（2）证明：f（x）＜x2+x⇔xlnx＜x2+x⇔lnx＜x+1⇔lnx-x-1＜0，构造函数g(x)=lnx−x−1，g′(x)=1x −1=1−xx，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）在（0，1）上单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）max=g（1）=-2＜0，所以lnx-x-1＜0．【点评】：本题考查导数的几何意义，考查利用导数证明不等式，属于中档题．18.（问答题，14分）单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩．现有运动员甲，乙二人在2021赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如表：（Ⅰ）从如表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；（Ⅱ）从如表5站中任意选取2站，用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假如从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由．（注：方差s 2= 1n [（x 1- x ）2+（x 2- x ）2+…+（x n −x ）2]，其中 x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数）【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意，分别列出甲乙两人在五站中的最好成绩，然后利用概率的计算公式求解即可；（Ⅱ）先确定X 的可能取值，然后分别求出对应的概率，列出分布列，再由数学期望的计算公式求解即可；（Ⅲ）分别求出甲和乙的平均数和方差，然后比较即可．【解答】：解：（Ⅰ）由题意可知，甲乙两人在五站中最好的成绩依次为： 甲：86.20，92.80，87.50，89.50.86.00； 乙：88.40，88.60，89.10，88.20，87.70， 所以5站中随机选取1站，在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率为 C 21C 51 = 25；（Ⅱ）由题意可得，X 的可能取值为0，1，2， 所以P （X=0）= C 32C 52 = 310 ，P （X=1）=C 31C 21C 52=35，P （X=2）= C 22C 52 = 110 ，所以X 的分布列为：期望为E （X ）= 0×10+1×5+2×10 = 5 ； （Ⅲ）由可知（Ⅰ），甲：86.20，92.80，87.50，89.50.86.00； 乙：88.40，88.60，89.10，88.20，87.70，所以甲的平均成绩为88.4，乙的平均成绩也为88.4，又甲的方差为 15[（86.20-88.40）2+（92.80-88.40）2+（87.50-88.40）2+（89.50-88.40）2+（86.00-88.40）2]=6.3960，乙的方差为 15 [（88.40-88.40）2+（88.60-88.40）2+（89.10-88.40）2 +（88.20-88.40）2+（87.70-88.40）2]=0.2120， 所以乙的成绩更为稳定，故推荐乙参加．【点评】：本题考查了离散型随机变量及其分布列以及离散型随机变量的期望，考查了运算能力，属于中档题．19.（问答题，14分）设函数f （x ）=e x -ax-2． （1）求f （x ）的单调区间；（2）若a=1，k 为整数，且当x ＞0时，（x-k ）f′（x ）+x+1＞0，求k 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）分类讨论，利用导数的正负，可求f （x ）的单调区间；（2）当x ＞0时，（x-k ）f′（x ）+x+1＞0等价于k ＜ x+1e x −1 +x （x ＞0），令g （x ）= x+1e x −1 +x ，求最值，即可求k 的最大值．【解答】：解：（1）f （x ）的定义域为R ，f′（x ）=e x -a ， 若a≤0，则f′（x ）＞0，f （x ）在R 上单调递增； 若a ＞0，则f′（x ）=0解得x=lna ． 当x 变化时，f′（x ），f （x ）变化如下表：（2）由于a=1，所以（x-k ）f′（x ）+x+1=（x-k ）（e x -1）+x+1． 故当x ＞0时，（x-k ）f′（x ）+x+1＞0等价于k ＜ x+1e x −1 +x （x ＞0） ① ， 令g （x ）= x+1e x −1 +x ，则g′（x ）= e x (e x −x−2)(e x −1)2 ，而函数f （x ）=e x -x-2在（0，+∞）上单调递增，f （1）＜0，f （2）＞0， 所以f （x ）在（0，+∞）存在唯一的零点．故g′（x）在（0，+∞）存在唯一的零点．设此零点为a，则a∈（1，2）．当x∈（0，a）时，g′（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，g′（x）＞0．所以g（x）在（0，+∞）的最小值为g（a）．又由g′（a）=0，可得e a=a+2，所以g（a）=a+1∈（2，3）．由于① 式等价于k＜g（a），故整数k的最大值为2．【点评】：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查函数的单调性，考查函数的最值，正确求导、确定函数的单调性是关键．20.（问答题，15分）设n是正整数，对每一个满足0≤a i≤n（i=1，2，…，n）的整数数列A：0，a1…，a n，定义变换T：T将数列A变换成数列T（A）：0，T（a1），T（a2），…，T（a n），其中T（a i）为数列A位于a i之前的与a i不相等的项的个数（i=1，2，…，n），令A k+1=T（A k）（k=0，1，2，⋯）．（1）已知数列A0分别为0，1，2，3和0，0，2，0，1，3，请写出对应的数列A1，A2，A3；（2）数列B：0，b1，b2，…，b n，满足b i-1≤b i，且b i=i或b i-1（i=1，2，…，n），求证：T （B）=B；（3）求证：对任意满足已知条件的数列A0，当上k≥n时，A k=T（A k）．【正确答案】：【解析】：（1）直接根据T（A）的定义求解即可；（2）根据新定理采用递推的证明方式证明即可；（3）采用反证法证明，并结合（2）的结论即可得出证明．【解答】：（1）当A0={0，1，2，3}时，有A1=A2=A3={0，1，2，3}；当A0={0，0，2，0，1，3}时，有A1={0，0，2，1，4，5}，A2=A3={0，0，2，3，4，5}．（2）证明：当b1=0时，显然T（b1）=0；当b1=1时，显然T（b1）=1．若b k+1=b k（k≥1），由T（b k）=b k，前k项中与b k不相等的项有b k个，故前k+1项中与b k+1不相等的项有b k个，所以T（b k+1）=b k，即T（b k+1）=b k+1；若b k+1=k+1，由条件知b0≤b1≤…≤b k≤k＜b k+1，故T（b k+1）=k+1=b k+1．因为k=1，2，…，n-1，且具有任意性，所以T（B）=B．（3）证明：设A0={a0，a1，a2，…，a n}，则A1={0，T（a1），T（a2），…，T（a n）}．假设数列A1中第一个不为0的项为第m+1项T（a m）（m≥1），显然T（a m）=m，即A1={0，…，0，m，T（a m+1），…，a n}，下面考察此A1．若T（a m+1）=m，则A1中第m+2项满足（2）中的条件；若T（a m+1）≠m，则A2=T（A1）={0，…，0，m，m+1，T[T（a m+2）]，…，T[T（a n）]}，即A2中第m+2项满足（2）中的条件；因为数列A0={a0，a1，a2，…，a n}一共有n+1项，所以在至多n次后，A n中每一项均满足（2）中的条件，即k≥n时，A k=T（A k）．【点评】：本题考查学生对新问题的分析和综合应用能力，以及对知识的迁移能力，对思维要求较高，难度较大，关键是读懂题中“变换”的含义，善于抓住问题的本质，需要缜密的逻辑思维推理能力．。

北京市东城区2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（）A．M＝∅B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M2．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x33．（5分）已知函数y＝sin x在区间M上单调递增，那么区间M可以是（）A．（0，2π）B．（0，π）C．D．4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（）A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B 5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．a D．6．（5分）下列各式正确的是（）A．B．C．D．7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100 B．900 C．81 D．9二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）关于函数f（x）＝1+cos x，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A．当t＜0或t≥2时，有0个交点B．当t＝0或时，有1个交点C．当时，有2个交点D．当0＜t＜2时，有2个交点10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（）A．对于任意实数a，f（x）为偶函数B．对于任意实数a，f（x）＞0C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是．12．（5分）sin的值为．13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f （x）可以为．（写出符合条件的一个函数即可）14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为．15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝；若f（t）＝1，则实数t＝．16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．其中正确命题的序号有．（注：请写出所有正确结论的序号）四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．（1）求∁U A；（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁U A，求m的取值范围．18．（13分）已知函数，f（0）＝．（1）求f（x）的解析式和最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．（1）求tanβ的值；（2）求的值．20．（16分）已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）的单调性并说明理由；（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．21．（15分）对于集合A，定义函数f A（x）＝对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．2020-2021学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（）A．M＝∅B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M【分析】利用集合与集合的关系直接求解．【解答】解：∵集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，∴M⫋N．故选：C．【点评】本题考查集合的关系的判断，考查交集、并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x3【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝|x|，是偶函数，符合题意；对于B，y＝lnx，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；对于C，y＝e x，是指数函数，不是偶函数，不符合题意；对于D，y＝x3，是幂函数，不是偶函数，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性，属于基础题．3．（5分）已知函数y＝sin x在区间M上单调递增，那么区间M可以是（）A．（0，2π）B．（0，π）C．D．【分析】直接利用函数的单调性和子区间之间的关系求出结果．【解答】解：根据函数y＝sin x的单调递增区间：[]（k∈Z），当k＝0时，单调增区间为[]，由于为[]的子区间，故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（）A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为∃x∈A，2x∉B，故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．a D．【分析】直接利用不等式的应用和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：由于a＞b，且a和b的正负号不确定，所以选项ACD都不正确．对于选项：B由于函数y＝2x为单调递增函数，且a＞b，故正确故选：B．【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6．（5分）下列各式正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式直接求解．【解答】解：在A中，sin＞0＞sin＝﹣sin，故A错误；在B中，＜cos，故B正确；在C中，＞，故C错误；在D中，＞cos＝sin，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】可以取特殊值讨论充要性．【解答】解：若a，b为正实数，取a＝1，b＝1，则a+b＝2，则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的不充分条件；若a+b＞2，取a＝1，b＝0，则b不是正实数，则“a+b＞2”是“a，b为正实数''的不必要条件；则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题考查命题充要性，以及不等式，属于基础题．8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100 B．900 C．81 D．9【分析】由题意令V＝2m/s，0m/s，则可求出耗氧量，求出之比．【解答】解：鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量为：令v＝2＝，即，即，即o＝8100，鲑鱼静止时耗氧量为：令v＝0＝，即，即o'＝100，故鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为，故选：C．【点评】本题考查对数求值，属于中档题．二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）关于函数f（x）＝1+cos x，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A．当t＜0或t≥2时，有0个交点B．当t＝0或时，有1个交点C．当时，有2个交点D．当0＜t＜2时，有2个交点【分析】直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况，进一步确定结果．【解答】解：根据函数的解析式画出函数的图象：①对于选项A：当t＜0或t≥2时，有0个交点，故正确．②对于选项B：当t＝0或时，有1个交点，故正确．③对于选项C：当t＝时，只有一个交点，故错误．④对于选项D：当，只有一个交点，故错误．故选：AB．【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的应用，利用函数的图象求参数的取值范围，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（）A．对于任意实数a，f（x）为偶函数B．对于任意实数a，f（x）＞0C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】直接利用函数的对称性和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：函数f（x）＝4|x|+x2+a，①对于选项A：由于x∈R，且f（﹣x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数．故选项A正确．②对于选项B：由于x2≥0，所以，故4|x|+x2≥1所以当x＝0时a＝﹣2时，f（x）＜0，故选项B错误．③对于选项C：由于函数f（x）的图象关于y轴对称，在x＞0时，函数为单调递增函数，在x＜0时，函数为单调递减函数，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，故选项C正确．④对于选项D：由于函数的图象关于y轴对称，且在x＞0时，函数为单调递增函数，在x＜0时，函数为单调递减函数，故存在实数a＝0时，当x∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）时，不等式成立，故选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是（﹣1，1）．【分析】解不等式1﹣x2＞0即可．【解答】解：令1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题．12．（5分）sin的值为﹣．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：sin＝sin（2π﹣）＝﹣sin＝﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f （x）可以为f（x）＝．（写出符合条件的一个函数即可）【分析】由函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，即是符合要求的一个函数．【解答】解：∵函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，∴函数f（x）＝（）x即是符合要求的一个函数，故答案为：f（x）＝（）x．【点评】本题主要考查了指数函数的单调性和值域，是基础题．14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．【分析】①利用交集定义直接求解．②利用并集定义直接求解．【解答】解：①设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B．故答案为：A∩B．②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．故答案为：A∪C．【点评】本题考查并集、交集的求法，考查并集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝；若f（t）＝1，则实数t＝0或1 ．【分析】结合已知函数解析式，把x＝﹣2代入即可求解f（﹣2），结合已知函数解析式及f（t）＝1，对t进行分类讨论分别求解．【解答】解：f（x）＝则f（﹣2）＝2﹣2＝，∵f（t）＝1，①当t≥1时，可得＝1，即t＝1，②当t＜1时，可得2t＝1，即t＝0，综上可得t＝0或t＝1．故答案为：；0或1【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．其中正确命题的序号有①②④．（注：请写出所有正确结论的序号）【分析】直接利用函数的图象求出函数的解析式，进一步利用函数的额关系式再利用函数的性质的应用求出结果．【解答】解：浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t ﹣1（a＞0且a≠1），函数的图象经过（2，2）所以2＝a2﹣1，解得a＝2．①当x＝0时y＝，故选项A正确．②当第8个月时，y＝28﹣1＝27＝128＞60，故②正确．③当t＝1时，y＝1，增加0.5，当t＝2时，y＝2，增加1，故每月的增加不相等，故③错误．④根据函数的解析式，解得t1＝log210+1，同理t2＝log220+1，t3＝log230+1，所以2t2＝2log220+2＝log2400+2＞t1+t2＝log2300+2，所以则2t2＞t1+t3．故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，定义性函数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．（1）求∁U A；（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁U A，求m的取值范围．【分析】（1）根据题意，求出集合A，进而由补集的性质分析可得答案；（2）根据题意，结合集合间的关系分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，因为A＝{x|x2+3x+2＜0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1}．因为全集U＝R，所以∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，（2）根据题意，∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，若B⊆∁U A，当m﹣1≥﹣1或m≤﹣2，即m≥0或m≤﹣2，所以m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）．【点评】本题考查集合的补集运算，涉及集合的子集关系，属于基础题．18．（13分）已知函数，f（0）＝．（1）求f（x）的解析式和最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．【分析】（1）利用函数值，转化求解函数的解析式，推出函数的周期；（2）利用函数的自变量的范围，求出相位的范围，然后求解正弦函数的最值．【解答】解：（1）因为，所以．又因为φ∈，所以φ＝．所以．所以f（x）最的小正周期．（2）因为x∈[0，2π]，所以．当，即时，f（x）有最大值2，当，即x＝2π时，f（x）有最小值．【点评】本题考查函数的周期以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．（1）求tanβ的值；（2）求的值．【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得tanβ的值．（2）由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：（1）因为β的终边与单位圆交于点B，B点的纵坐标为，所以．因为，所以．所以．（2）因为α的终边与单位圆交于点A，A点的纵坐标为，所以．因为，所以，故＝＝＝．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于基础题．20．（16分）已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）的单调性并说明理由；（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．【分析】（1）定义域为R，然后求出f（﹣x），得f（﹣x）＝﹣f（x），所以为奇函数；（2）直接由指数函数的单调性可判断函数f（x）的单调性；（3）不等式变形，由奇函数的性质得出ax﹣1＞x﹣2对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，令关于a的函数g（a）＝xa+1﹣x＞0在（﹣∞，2]上恒成立，g（a）一定单调递减，所以满足则只需解出x的范围．【解答】解：（1）f（x）为奇函数．因为f（x）定义域为R，，所以f（﹣x）＝﹣f（x）．所以f（x）为奇函数；（2）在（﹣∞，+∞）是增函数．因为y＝3x在（﹣∞，+∞）是增函数，且y＝3﹣x在（﹣∞，+∞）是减函数，所以在（﹣∞，+∞）是增函数，（3）由（1）（2）知f（x）为奇函数且f（x）（﹣∞，+∞）是增函数．又因为f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0，所以f（ax﹣1）＞﹣f（2﹣x）＝f（x﹣2）．所以ax﹣1＞x﹣2对任意a∈（﹣∞，2]恒成立．令g（a）＝xa+（1﹣x），a∈（﹣∞，2]．则只需，解得所以﹣1＜x≤0．所以x的取值范围为（﹣1，0]．【点评】考查函数的奇函数的判断即函数的单调性，使用中档题．21．（15分）对于集合A，定义函数f A（x）＝对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．【分析】（1）由新定义的元素即可求出f A（1）与f B（1）的值，再分情况求出A*B；（2）对x是否属于集合A，B分情况讨论，即可证明出f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）利用（2）的结论即可证明出*运算具有交换律和结合律．【解答】解：（1）∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，∴f A（1）＝﹣1，f B（1）＝1，∴A*B＝{1，4，5}；（2）①当x∈A且x∈B时，f A（x）＝f B（x）＝﹣1，所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1，所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），②当x∈A且x∉B时，f A（x）＝﹣1，f B（x）＝1，所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1，所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），③当x∉A且x∈B时，f A（x）＝1，f B（x）＝﹣1．所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1．所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．④当x∉A且x∉B时，f A（x）＝f B（x）＝1．所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1．所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．综上，f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）因为A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，B*A＝{x|f B（x）•f A（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，所以A*B＝B*A．因为（A*B）*C＝{x|f A*B（x）•f C（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，A*（B*C）＝{x|f A（x）•f B*C（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，所以（A*B）*C＝A*（B*C）．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了新定义问题，是中档题．。

北京市朝阳区2020—2021学年度第一学期期末质量检测高三年级地理试卷（考试时间90分钟满分100分）本试卷共7页。

考生务必将答案答在答题卡上。

一、选择题（共15小题，每小题3分，共计45分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项）2020年11月24日4时30分，嫦娥五号在海南文昌成功发射。

12月1日23时11分，嫦娥五号成功着陆月球风暴洋。

12月17日1时59分, 载有1731克月球土壤样品的返回器在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆。

据此完成下面小题。

1. 嫦娥五号（）A. 发射时海参崴（131°53′E,43°07′N）已日出B. 返回器着陆之日，文昌较四子王旗的白昼时间短C. 发射至着陆月球的时段，北京正午太阳高度变小D. 发射至返回器着陆四子王旗期间经过了两个节气2. 月球土壤样品可（）A. 直接用于栽种优质作物B. 用于分析月球矿产资源C. 用于研究月球海洋水文D. 用于分析月球圈层结构【答案】1. C 2. B【解析】【分析】【1题详解】由题可知，嫦娥五号发射是为北京时间11月24日4时30分，为东八区的区时。

根据时间计算东加西减、一度差4分钟原则，海参崴（131°53′E,43°07′N）的时间约为11月24日5时18分，而此时太阳直射南半球，北半球日出时间应在6点之后，A错误。

返回器着陆时间为12月17日，此时太阳直射南半球，北半球越往北昼越短，文昌纬度比四王子旗低，昼较长，B错误。

发射至着陆月球的时段为11月24日至12月1日，此时间段太阳直射点直射南半球并向南运动，北京正午太阳高度一直在减小，C正确。

发射至返回器着陆期间，经过了大概7天左右，而每个节气大概15天，D错误。

故选C。

【2题详解】由题可知，月球土壤样品仅1731克，不可能直接用于载种作物，A错误。

月壤样品可用于分析月球的矿产资源，而无法分析月球的圈层结构和海洋水文，B正确，C、D错误。

2020-2021学年北京市朝阳区六年级（上）期末数学试卷一.选择题。

（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下面四个算式中，计算结果最小的是（ ） A ．45+16B ．45−16C ．45×16D ．45÷162．（3分）“学校图书馆有故事书420本，______。

科技书有多少本？”为了解决这个问题，小明补充一条信息后，设科技书有x 本，列出的方程是“（1+16）x ＝420”。

小明补充的信息是（ ） A ．故事书比科技书少16B ．故事书比科技书多16C ．科技书比故事书少16D ．科技书比故事书多163．（3分）根据如图所示，求网格部分面积，列式正确的是（ ）A ．14×15B ．34×15C ．45×34D ．34×454．（3分）下面图形中的角是45°圆心角的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（3分）以小明家为观测点，图书馆在小明家北偏西30°方向上，距离是600m 。

下列图中能表示图书馆与小明家位置关系的是（ ）A．B．C．D．6．（3分）根据信息回答问题。

2020年上半年，北京厨余垃圾设施日均处理约1532吨，其中家庭产生的厨余垃圾设施日均处理约551吨。

﹣﹣摘自《北京日报》客户端如图中能表示家庭产生的厨余垃圾设施日均处理量与北京厨余垃圾设施日均处理量之间关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（3分）修一条路，甲队单独修需要8天完成，乙队单独修需要6天完成。

如果两队合修，完成这个任务的78所用的天数是（ ）A ．14B ．7C ．247D ．38．（3分）北京第一高楼是位于朝阳区的北京中信大厦，又名“中国尊”，总高528米，比北京第二高楼国贸三期A 座高60%。

下面关于这两个建筑物高度之间的数量关系理解错误的是（ ）A ．B ．C ．国贸三期A 座的高度是5份，“中国尊”的高度是8份D ．国贸三期A 座的高度比“中国尊”少359．（3分）下面是1名同学推导圆面积公式的过程，其中错误的是（ ）A ．长＝πr ，宽＝rS 圆＝长×宽＝πr ×r ＝πr 2B ．底＝πr ，高＝rS 圆＝底×高＝πr ×r ＝πr 2C ．底=18πr ，高＝rS 圆＝底×高÷2×8=18πr ×r ×8＝πr 2D ．上底+下底＝（14πr +24πr ），高＝rS 圆＝（上底+下底）×高÷2×83=（14πr +24πr ）×r ÷2×83=πr 2 10．（3分）一个正方形被分成3部分（如图），这3部分面积之间关系正确的是（ ）A ．图①＜图②，图②＜图③B ．图①＜图②，图②＝图③C ．图①＝图②，图②＜图③D ．图①＝图②，图②＝图③二、直接写出下面各题的得数。