北京市朝阳区2017-2018学年高二上学期期末考试数学理试题(有答案)

2017-2018学年北京人大附中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知p：∀x∈R，2x＞0，则（）A．￢p：∃x∉R，2x≤0 B．￢p：∃x∈R，2x≤0 C．￢p：∃x∈R，2x＜0 D．￢p：∃x∉R，2x＞03．如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=， =， =，则等于（）A．﹣B． C．﹣+D．﹣﹣﹣4．给定原：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，那么下列形式正确的是（）A．逆：若a、b全为0，则a2+b2=0B．否：若a2+b2≠0，则a、b全不为0C．逆否：若a、b全不为0，则a2+b2≠0D．否定：若a2+b2=0，则a、b全不为05．双曲线﹣=1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C． x±y=0 D．x±y=06．已知点P是双曲线﹣=1上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．5 D．107．已知AB是经过抛物线y2=2px的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x= D．x=﹣8．在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，则下列中：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于x轴对称；③曲线W关于y轴对称；④曲线W关于直线y=x对称所有真的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为．10．已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x= ．11．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，若|PF1|﹣|PF2|=1，则|PF1|= ，||PF2|= ．12．已知△ABC的顶点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），CD是AB边上的高，则点D的坐标为．13．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若p∨q为真，（p∧q）为假，则m的取值范围为．14．已知点A（0，2），点B（0，﹣2），直线MA、MB的斜率之积为﹣4，记点M的轨迹为C （I）曲线C的方程为；（II）设QP，为曲线C上的两点，满足OP⊥OQ（O为原点），则△OPQ面积的最小值是．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知向量=（2，﹣1，﹣2），=（1，1，﹣4）．（1）计算2﹣3和|2﹣3|；（2）求＜，＞16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=3，BC=CC1=4（1）求证：AB1⊥C1B（2）求直线C1B与平面ABB1A1所成的角的正弦值．17．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点为F（1，0），经过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若△AOB的面积为4，求|AB|一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知点P为抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作⊙A：（x﹣3）2+y2=1的两条切线PM、PN，切点为M、N（I）当|PA|最小时，点P的坐标为；（II）四边形PMAN的面积的最小值为．19．在四面体ABCD中，若E、F、H、I、J、K分别是棱AB、CD、AD、BC、AC、BD的中点，则EF、HI、JK相交于一点G，则点G为四面体ABCD的重心．设A（0，0，2），B（2，0，0），C （0，3，0），D（2，3，2）．（I）重心G的坐标为；（II）若△BCD的重心为M，则= ．二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，两焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上，求直线l的方程．21．如图（1），在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB边上一点，沿CD将图形折叠成图（2），使得二面角B﹣CD﹣A是直二面角．（1）若D是AB边的中点，求二面角C﹣AB﹣D的大小；（2）若AD=2BD，求点B到平面ACD的距离；（3）是否存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年北京人大附中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用．【分析】先有a=3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断“A⊆B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论．【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选A．2．已知p：∀x∈R，2x＞0，则（）A．￢p：∃x∉R，2x≤0 B．￢p：∃x∈R，2x≤0 C．￢p：∃x∈R，2x＜0 D．￢p：∃x∉R，2x＞0【考点】的否定．【分析】直接利用全称的否定是特称，写出结果即可．【解答】解：因为全称的否定是特称，所以，p：∀x∈R，2x＞0，则￢p：∃x∈R，2x≤0．故选：B．3．如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=， =， =，则等于（）A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可．【解答】解：由题意在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=， =，=，可知： =+， =，==，=﹣+．故选：C．4．给定原：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，那么下列形式正确的是（）A．逆：若a、b全为0，则a2+b2=0B．否：若a2+b2≠0，则a、b全不为0C．逆否：若a、b全不为0，则a2+b2≠0D．否定：若a2+b2=0，则a、b全不为0【考点】四种间的逆否关系．【分析】根据四种之间的关系，分别写出原的逆、否、逆否，再写出原的否定即可得出结论．【解答】解：原：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，所以逆是：“若a、b全为0，则a2+b2=0”，选项A正确；否是：“若a2+b2≠0，则a、b不全为0”，选项B错误；逆否是：“若a、b不全为0，则a2+b2≠0”，选项C错误；否定是：“若a2+b2=0，则a、b不全为0”，选项D错误．故选：A．5．双曲线﹣=1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C． x±y=0 D．x±y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】通过双曲线的离心率，求出a，b的比值，然后求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：由已知，双曲线﹣=1的离心率为2，∴，∴．该双曲线的渐近线方程为：y=，即： x±y=0．故选：C6．已知点P是双曲线﹣=1上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．5 D．10【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用勾股定理，结合双曲线的定义，即可求出△PF1F2的面积．【解答】解：由题意得 a=2，b=，c=3，∴F1（﹣3，0）、F2（3，0），Rt△PF1F2中，由勾股定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|﹣|PF2|）2+2•|PF|•|PF2|=4a2+2•|PF1|•|PF2|，1∴36=4×4+2•|PF1|•|PF2|，∴|PF1|•|PF2|=10，∴△PF1F2面积为•|PF1|•|PF2|=5，故选：C．7．已知AB是经过抛物线y2=2px的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=D．x=﹣【考点】抛物线的标准方程．【分析】求出A，B的坐标，利用两点间的距离公式结合弦长公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，A（1，），B（，﹣），∴|AB|==，∴=1++p，∴p=1，∴抛物线的准线方程为x=﹣．故选：D．8．在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，则下列中：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于x轴对称；③曲线W关于y轴对称；④曲线W关于直线y=x对称所有真的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】轨迹方程．【分析】根据距离相等列出方程化简求出y关于x的函数，作出图象即可得出结论．【解答】解：曲线W的轨迹方程为|x|+|y|=，两边平方得：2|xy|=﹣2x﹣2y+2，即|xy|+x+y=1，①若xy＞0，则xy+x+y+1=2，即（x+1）（y+1）=2，∴y=，函数为以（﹣1，﹣1）为中心的双曲线的一支，②若xy＜0，则xy﹣x﹣y+1=0，即（x﹣1）（y﹣1）=0，∴x=1（y＜0）或y=1（x＜0）．作出图象如图所示：∴曲线W关于直线y=x对称；故选A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为．【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据题意设双曲线方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入题中的点的坐标，即可得到λ=4，将方程化成标准形式，即可得到该双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线以y=±x为渐近线，∴该双曲线为等轴双曲线，设方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）∵点（2，0）是双曲线上的点，∴22﹣02=λ，可得λ=4由此可得双曲线方程为x2﹣y2=4，化成标准形式得故答案为：10．已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x= ．【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等，列出方程求出x的值．【解答】解：∵∥，∴2×2=﹣2×x∴x=﹣4．故答案为：﹣411．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，若|PF1|﹣|PF2|=1，则|PF1|= 2.5 ，||PF2|= 1.5 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，结合|PF1|﹣|PF2|=1，可得结论．【解答】解：椭圆+=1中，a=2，∵P是椭圆+=1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∴由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=4，∵|PF1|﹣|PF2|=1，∴|PF1|=2.5，||PF2|=1.5．故答案为：2.5，1.5．12．已知△ABC的顶点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），CD是AB边上的高，则点D的坐标为．【考点】空间中的点的坐标．【分析】=（﹣1，2，0）．设=λ，可得： =（1﹣λ，2λ，0）．有⊥，可得•=0，解得λ，即可得出．【解答】解： =（﹣1，2，0）．设=λ，可得： =+λ=（1﹣λ，2λ，0）．∴=（1﹣λ，2λ，﹣1）．∵⊥，∴•=﹣（1﹣λ）+4λ=0，解得：λ=，∴=．故答案为：．13．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若p∨q为真，（p∧q）为假，则m的取值范围为（1，2]∪∪，∴＜，＞=．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=3，BC=CC1=4（1）求证：AB1⊥C1B（2）求直线C1B与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）证明AC，CB，CC1两两垂直，以C为原点建立坐标系，求出，的坐标，计算其数量积为0得出AB1⊥C1B；（2）求出平面ABB1A1的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O．∵CC1⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又AC⊥BC，∴AC，CB，CC1两两垂直，以CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵AC=3，BC=CC1=4，∴A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，4），=（0，﹣4，4），∴=﹣3•0+4•（﹣4）+4•4=0，∴AB1⊥BC1．（2）解：∵A1（3，0，4），A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，0），=（0，0，4），=（0，4，﹣4）．设平面ABB1A1的法向量=（x，y，z），则，∴．令x=4得=（4，3，0）．∴cos＜＞===．∴直线C1B与平面ABB1A1所成角的正弦值为．17．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点为F（1，0），经过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若△AOB的面积为4，求|AB|【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）设出抛物线的方程，求出p的值，从而求出抛物线的标准方程即可；（2）通过讨论直线l的斜率，求出|AB|的表达式，求出k的值，从而求出|AB|即可．【解答】解：（1）依题意可设：抛物线C的标准方程为y2=2px（p＞0），由其焦点为F（1，0）易得：2p=4，得：p=2，故所求抛物线C的标准方程为y2=4x；（2）①当直线l斜率不存在即与x轴垂直时，易知：|AB|=4，此时△AOB的面积为S△AOB=|OF|•|AB|=×1×4=2，不符合题意，故舍去．②当直线l斜率存在时，可设其为k（k≠0），则此时直线l的方程为y=k（x﹣1），将其与抛物线C的方程：y2=4x联立化简整理可得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，（k≠0），设A、B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）由韦达定理可得：，由弦长公式可得：|AB|=x1+x2+p=2++2=+4，由点到直线的距离公式可得：坐标原点O到直线l的距离为d=，故△AOB的面积为S△AOB=|AB|d=2（+|k|）==4，==16，解得：k=±，k2=，又|AB|=+4=12+4=16，因此，当△AOB的面积为4时，所求弦AB的长为16．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知点P为抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作⊙A：（x﹣3）2+y2=1的两条切线PM、PN，切点为M、N（I）当|PA|最小时，点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）；（II）四边形PMAN的面积的最小值为．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（I）设P（x，y），则|PA|2=（x﹣3）2+y2=（x﹣3）2+2x=（x﹣2）2+5，即可求出当|PA|最小时，点P的坐标；（II）由圆的方程为求得圆心C（3，0）、半径r为：1，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小，利用距离公式，结合配方法，即可得出结论．．【解答】解：（I）设P（x，y），则|PA|2=（x﹣3）2+y2=（x﹣3）2+2x=（x﹣2）2+5，∴x=2时，|PA|最小，此时y=±2，∴点P的坐标为（2，±2）；（II）圆C：（x﹣3）2+y2=1圆心C（3，0）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小．由（I），|PA|最小为，∴四边形PMAN的面积的最小值为2×=故答案为：（2，2）或（2，﹣2）；．19．在四面体ABCD中，若E、F、H、I、J、K分别是棱AB、CD、AD、BC、AC、BD的中点，则EF、HI、JK相交于一点G，则点G为四面体ABCD的重心．设A（0，0，2），B（2，0，0），C （0，3，0），D（2，3，2）．（I）重心G的坐标为；（II）若△BCD的重心为M，则= 3 ．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】（I）利用重心的坐标计算公式即可得出．（II）利用重心的坐标计算公式可得M坐标，可得，，再利用模的计算公式即可得出．【解答】解：（I）x G==1，y G==，z G==1，∴重心G的坐标为．（II）M，即M．=， =，∴==3．故答案分别为：；3．二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，两焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设椭圆C的标准方程为=1（a＞b＞0），由题意可得：c=，2a+2c=4+2，a2=b2+c2，联立解出即可得出；（2）由题意易知：直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）．设原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（x0，y0）．线段OO′的中点D的坐标为，由题意可知： =k+2， +=1，×k=﹣1，联立解出即可得出．【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为=1（a＞b＞0），由题意可得：c=，2a+2c=4+2，a2=b2+c2，联立解得：c=，a=2，b=1．所求椭圆C的方程为=1．（2）由题意易知：直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）．设原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（x0，y0）．则线段OO′的中点D的坐标为，由题意可知：点D在直线l上，故有=k+2，①点O在椭圆C上，故有+=1，②线段OO′与直线l垂直，故有×k=﹣1，③由①③可得：x0=﹣，，将其代入②可得：k=．故所求直线l的方程为：y=x+2．21．如图（1），在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB边上一点，沿CD将图形折叠成图（2），使得二面角B﹣CD﹣A是直二面角．（1）若D是AB边的中点，求二面角C﹣AB﹣D的大小；（2）若AD=2BD，求点B到平面ACD的距离；（3）是否存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）取AB中点M，连结CM，DM，则∠CMD为所求二面角的平面角，计算出△CDM的边长，利用余弦定理求出∠CMD；（2）利用在余弦定理求出∠BCD，则B到平面ACD的距离为BC•sin∠BCD；（3）以A为原点建立空间直角坐标系，设，B到平面ACD的距离为h，求出，计算是否为0即可得出结论．【解答】解：（1）在图（1）中，∵AC=BC=1，∠ACB=90°，∴AB=．当D为AB边的中点时，AD=BD=CD==，且CD⊥AB．在图（2）中取AB的中点M，连结DM，CM．∵CA=CB=1，AD=BD=，AB=1，∴DM=，CM=，且CM⊥AB，DM⊥AB．∴∠CMD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．在△CDM中，由余弦定理得cos∠CMD===．∴二面角C﹣AB﹣D的大小为arccos．（2）在图（1）中，当AD=2BD时，BD=AB=，在△BCD中，由余弦定理得：CD==．由正弦定理得：，∴sin∠BCD==．在图（2）中，∵二面角B﹣CD﹣A是直二面角，∴∠BCD为BC与平面ACD所成的角，∴点B到平面ACD的距离为BC•sin∠BCD=．（3）设=λ（λ＞0），则AD=，BD=．在平面ACD中过A作AC的垂线Ay，过A作平面ACD的垂线Az，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示：设B到平面ACD的距离为h，则A（0，0，0），C（1，0，0），D（，，0），B（，，h）．设AB的中点为M，则M（，，），∴=（，，），=（，，0）．∵CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB，假设二面角C﹣AB﹣D是直二面角，则CM⊥平面ABD，∴CM⊥AD．∵=•++0=≠0．与CM⊥AD矛盾．∴不存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角．2016年10月28日。

北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类）2018.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.A.C.2.B.3. 在平面直角坐标系中，的是D.4.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. B.6..则点A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分7.范围是8. 如图1，如图2①②③.以上三个结论中正确的序号是A. ①B.①②C. ①③D. ②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.程为.10. 的值为.12.已知数设13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：.bbcdacacbCBA证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2表示为_________；（3当且仅当__________________时，等号成立.14.(单位m)仰角变为原来的一半，m ；m.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分). 16. (本小题满分13分)为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国P 21BCⅠ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI）（AQI指数越小，空气质量越好）统计表.表1：2016年12月AQI表2：2017年12月AQI根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.17. (本小题满分14分)（Ⅲ）求二面角的余弦值.18. (本小题满分13分)（Ⅱ）说明理由；（Ⅲ）范围.19. (本小题满分14分).20. (本小题满分13分)已知集合，其中.表示..北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（理工类）2018.1一、选择题（40分）二、填空题（30分）三、解答题（80分）15. （本小题满分13分）解：，解得. …………… 6分……………… 13分16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分1，2，3. ………………9分（Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.………………13分17. （本小题满分14分）根据题意，AC D =BC ⊂平面A ………………4分1A B E =1AB 的中点，………………8分轴建立空间坐标系（如图）.1A B B=，所以1AC⊥…………14分18.（本小题满分13分）解：…………3分...有且只有一个实数根. ……………7分，由于.,.则只需满足：……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ） (2)分（Ⅱ）设.由，得，则过点的切线的斜率为 (6)分（Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线方程为.直方程为，.设和交点的坐标为则由（1.代入（2），化简得.1为半径的圆上.…………14分20. （本小题满分13分）解：………… 3分.………… 8分+a..……………13分。

2017-2018学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|lnx＞0}，则A∩B是（）A．{x|x＞0}B．{x|x＞2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|0＜x＜2}2．（5分）已知i为虚数单位，设复数z满足z+i=3，则|z|=（）A．3 B． C．4 D．103．（5分）某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：试估计该商品日平均需求量为（）A．16 B．16.2 C．16.6 D．16.84．（5分）“”是“cos2α=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）下列函数中，是奇函数且在（0，1）内是减函数的是（）①f（x）=﹣x3②③f（x）=﹣sinx④．A．①③B．①④C．②③D．③④6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为（）A．4 B．C．D．7．（5分）阿波罗尼斯（约公元前262﹣190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（k＞0且k≠1）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比为，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，△PAD为等边三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．若点M为平面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD及其内部的轨迹为（）A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．一段圆弧D．一条线段二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为．10．（5分）已知双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，一条渐近线方程为x+y=0，则双曲线C的方程是．11．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，则=．12．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x2+y2的最小为．13．（5分）高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题．一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：（1）图1矩形中白色区域面积等于图2矩形中白色区域面积；（2）图1阴影区域面积用a，b，c，d表示为；（3）图2中阴影区域的面积为；（4）则柯西不等式用字母a，b，c，d可以表示为（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程：．14．（5分）如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为α和90°﹣α．后退l（单位m）至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔CB的高为m；旗杆BA的高为m．（用含有l和α的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，f（x）≥0．16．（13分）已知由实数构成的等比数列{a n}满足a1=2，a1+a3+a5=42．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a2+a4+a6+…+a2n．17．（13分）2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行．整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决．图1（扇形图）和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计．两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图．在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法．选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术．选手乙的接发球技术统计表（Ⅰ）观察图，在两位选手共同使用的8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术？（Ⅱ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球．从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少？（Ⅲ）如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定？（结论不要求证明）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC．已知D是BC的中点，AB=AA1=2．（Ⅰ）求证：平面AB1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅲ）求三棱锥A1﹣AB1D的体积．19．（14分）已知椭圆的一个焦点坐标为（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点E（3，0），过点（1，0）的直线l（与x轴不重合）与椭圆C交于M，N两点，直线ME与直线x=5相交于点F，试证明：直线FN与x轴平行．20．（13分）已知函数f（x）=xcosx+a，a∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程f'（x）=0（f'（x）为f（x）的导数）在区间（0，1）内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数F（x）=xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围．2017-2018学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|lnx＞0}，则A∩B是（）A．{x|x＞0}B．{x|x＞2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|0＜x＜2}【解答】解：集合A={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|lnx＞0}={x|x＞1}，则A∩B={x|1＜x＜2}．故选：C．2．（5分）已知i为虚数单位，设复数z满足z+i=3，则|z|=（）A．3 B． C．4 D．10【解答】解：由z+i=3，得z=3﹣i，∴|z|=．故选：B．3．（5分）某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：试估计该商品日平均需求量为（）A．16 B．16.2 C．16.6 D．16.8【解答】解：由题意得：14×0.1+15×0.2+16×0.3+18×0.2+20×0.2=16.8，故选：D．4．（5分）“”是“cos2α=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当时，cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=1﹣2×=1﹣1=0，即充分性成立，若cos2α=0，则cos2α=1﹣2sin2α=0，即sin2α=，即sinα=±，则sinα=，不一定成立，即“”是“cos2α=0”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）下列函数中，是奇函数且在（0，1）内是减函数的是（）①f（x）=﹣x3②③f（x）=﹣sinx④．A．①③B．①④C．②③D．③④【解答】解：①f（x）是奇函数在（0，1）递减，符合题意；②函数f（x）是偶函数，不合题意；③函数f（x）是奇函数，在（0，1）递减，符合题意；④f（x）是奇函数，x∈（0，1）时，f（x）=，f′（x）=＞0，f（x）在（0，1）递增，不合题意；故选：A．6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为（）A．4 B．C．D．【解答】解：由四棱锥的三视图得该四棱锥是倒放的四棱锥S﹣ABCD，其中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=3，棱锥的高为h=2，故该四棱锥的体积：V===4．故选：A．7．（5分）阿波罗尼斯（约公元前262﹣190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（k＞0且k≠1）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比为，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：设A（1，0），B（﹣1，0），P（x，y）则，化简得（x+3）2+y2=8如图，当点P到AB（x轴）距离最大时，△PAB面积的最大值，∴△PAB面积的最大值是．故选：A．8．（5分）如图，△PAD为等边三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．若点M为平面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD及其内部的轨迹为（）A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．一段圆弧D．一条线段【解答】解：在空间中，存在过线段PC中点且垂直线段PC的平面，平面上点到P，C两点的距离相等，记此平面为α平面α与平面ABCD有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．故点M在正方形ABCD及其内部的轨迹为一条线段．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为48．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S=2执行循环体，S=2，i=2不满足条件i＞4，执行循环体，S=4，i=3不满足条件i＞4，执行循环体，S=12，i=4不满足条件i＞4，执行循环体，S=48，i=5此时，满足条件i＞4，退出循环，输出S的值为48．故答案为：48．10．（5分）已知双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，一条渐近线方程为x+y=0，则双曲线C的方程是．【解答】解：根据题意，抛物线y2=8x的焦点为（2，0），则双曲线的焦点在x 轴上，且c=2，设双曲线的方程为﹣=1，又由双曲线的一条渐近线方程为x+y=0，则有=1，又由c=2，则有a2+b2=c2=4，解可得a2=b2=2，则双曲线的方程为；故答案为：．11．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，则=2．【解答】解：∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，∴∠ABC=120°，∴=﹣•=﹣||•||•cos120°=﹣2×2×（﹣）=2，故答案为：2．12．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x2+y2的最小为8．【解答】解：根据变量x，y满足约束条件，画出可行域：z=x2+y2表示O（0，0）到可行域的距离的平方，由图形可知，原点到直线x+y﹣4=0的距离的平方最小，则z=x2+y2的最小值是：（）2=8．故答案为：8．13．（5分）高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题．一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：（1）图1矩形中白色区域面积等于图2矩形中白色区域面积；（2）图1阴影区域面积用a，b，c，d表示为S1=bd+ac；（3）图2中阴影区域的面积为；（4）则柯西不等式用字母a，b，c，d可以表示为（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程：由图1中阴影部分的面积S1=bd+ac，图2中的面积为S2=（a+d）（b+c）﹣dc﹣ab=ac+bd，∴两图中的阴影部分面积相等；∵sin∠BAD≤1，则（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．当且仅当=时，取等号．【解答】解：图1中阴影部分的面积S1=bd+ac，由图1中阴影部分的面积S1=bd+ac，图2中的面积为S2=（a+d）（b+c）﹣dc﹣ab=ac+bd，∴两图中的阴影部分面积相等；∵sin∠BAD≤1，则（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．当且仅当=时，取等号．故答案为：S1=bd+ac；由图1中阴影部分的面积S1=bd+ac，图2中的面积为S2=（a+d）（b+c）﹣dc﹣ab=ac+bd，∴两图中的阴影部分面积相等；∵sin∠BAD≤1，则（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．当且仅当=时，取等号．14．（5分）如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为α和90°﹣α．后退l（单位m）至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔CB的高为lsinαm；旗杆BA的高为m．（用含有l和α的式子表示）【解答】解：由题意可知∠BP1C=α，∠AP1C=90°﹣α，P1P2=l，∠BP2C=，∴∠P2BP1=∠BP1C﹣∠BP2C=，∴P2B=P1P2=l，∴BC=P1Bsin∠BP1C=lsinα．P1C=P1Bcos∠BP1C=lcosα，在Rt△AP1C中，tan∠AP1C=，即tan（90°﹣α）=，∴=，∴AC=，∴BA=AC﹣BC=﹣lsinα=，故答案为：lsinα，．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，f（x）≥0．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=sin2x+cos2x+sin2x﹣cos2x=1+sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）+1；所以函数f（x）的最小正周期为T==π；…（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=，当x∈时，，，；当，即x=0时，f（x）取得最小值0；所以当时，f（x）≥0．…（13分）16．（13分）已知由实数构成的等比数列{a n}满足a1=2，a1+a3+a5=42．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a2+a4+a6+…+a2n．【解答】解：（Ⅰ）由可得2（1+q2+q4）=42．由数列{a n}各项为实数，解得q2=4，q=±．所以数列{a n}的通项公式为a n=2n或a n=（﹣1）n﹣12n．（Ⅱ）当a n=2n时，；当a n=（﹣1）n﹣12n 时，．17．（13分）2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行．整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决．图1（扇形图）和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计．两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图．在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法．选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术．选手乙的接发球技术统计表（Ⅰ）观察图，在两位选手共同使用的8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术？（Ⅱ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球．从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少？（Ⅲ）如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定？（结论不要求证明）【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术．…（2分）（Ⅱ）根据表1的数据可知，选手乙的反手拉球2次，分别记为A，B，正手拉球4次，分别记为a，b，c，d．则从这六次拉球中任取两次，共15种结果，分别是：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd．其中至少抽出一次反手拉球的共有9种，分别是：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd．则从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率．…（10分）（Ⅲ）正手技术更稳定．…（13分）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC．已知D是BC的中点，AB=AA1=2．（Ⅰ）求证：平面AB1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅲ）求三棱锥A1﹣AB1D的体积．【解答】（Ⅰ）证明：因为△ABC为正三角形，且D是BC的中点，所以AD⊥BC．因为侧棱AA1⊥底面ABC，AA1∥BB1，所以BB1⊥底面ABC．又因为AD⊂底面ABC，所以BB1⊥AD．而B1B∩BC=B，所以AD⊥平面BB1C1C．因为AD⊂平面AB1D，所以平面AB1D⊥平面BB1C1C．（Ⅱ）证明：连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE．由已知得，四边形A1ABB1为正方形，则E为A1B的中点．因为D是BC的中点，所以DE∥A1C．又因为DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知A1C∥平面AB1D，所以A1与C到平面AB1D的距离相等，所以．由题设及AB=AA1=2，得BB1=2，且．所以，所以三棱锥A1﹣AB1D的体积为．19．（14分）已知椭圆的一个焦点坐标为（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点E（3，0），过点（1，0）的直线l（与x轴不重合）与椭圆C交于M，N两点，直线ME与直线x=5相交于点F，试证明：直线FN与x轴平行．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆的一个焦点坐标为（2，0），则有所以a2=5，b2=1．所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）根据题意，分2种情况讨论：①当直线l的斜率不存在时，此时MN⊥x轴．设D（1，0），直线x=5与x轴相交于点G，易得点E（3，0）是点D（1，0）和点G（5，0）的中点，又因为|MD|=|DN|，所以|FG|=|DN|．所以直线FN∥x轴．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．因为点E（3，0），所以直线ME的方程为．令x=5，所以．由消去y得（1+5k2）x2﹣10k2x+5（k2﹣1）=0．显然△＞0恒成立．所以，因为==，所以y2=y F．所以直线FN∥x轴．综上所述，所以直线FN∥x轴．20．（13分）已知函数f（x）=xcosx+a，a∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程f'（x）=0（f'（x）为f（x）的导数）在区间（0，1）内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数F（x）=xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=xcosx+a，得f′（x）=cosx﹣xsinx．∴曲线y=f（x）在点处的切线的斜率；（Ⅱ）设g（x）=f′（x）=cosx﹣xsinx，则g'（x）=﹣sinx﹣（sinx+xcosx）=﹣2sinx﹣xcosx．当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，则函数g（x）为减函数．又∵g（0）=1＞0，g（1）=cos1﹣sin1＜0，∴有且只有一个x0∈（0，1），使g（x0）=0成立．∴函数g（x）在区间（0，1）内有且只有一个零点，即方程f′（x）=0在区间（0，1）内有且只有一个实数根；（Ⅲ）若函数F（x）=xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，由于F′（x）=f（x），即f（x）=xcosx+a在区间（0，1）内有且只有一个零点x1，且f（x）在x1两侧异号．∵当x∈（0，1）时，函数g（x）为减函数，∴在（0，x0）上，g（x）＞g（x0）=0，即f′（x）＞0成立，函数f（x）为增函数；在（x0，1）上，g（x）＜g（x0）=0，即f′（x）＜0成立，函数f（x）为减函数．则函数f（x）在x=x0处取得极大值f（x0）．当f（x0）=0时，虽然函数f（x）在区间（0，1）内有且只有一个零点x0，但f （x）在x0两侧同号，不满足F′（x）在区间（0，1）内有且只有一个极值点的要求．由于f（1）=a+cos1，f（0）=a，显然f（1）＞f（0）．若函数f（x）在区间（0，1）内有且只有一个零点x1，且f（x）在x1两侧异号，则只需满足：，即，解得﹣cos1≤a＜0．第21页（共21页）。

2017-2018学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，，则M∩N=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x≥0} D．{x|﹣1＜x≤0}2．复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）3．执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）A．30辆B．300辆C．170辆D．1700辆5．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知点Q（2，0）及抛物线x2=4y上一动点P（x，y），则y+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．37．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．27 B．30 C．32 D．368．设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是，最小值是．10．若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为．11．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是．12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为．13．已知A，B为圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9（m，n∈R）上两个不同的点（C为圆心），且满足，则|AB|= ．14．已知点O在△ABC的内部，且有=，记△AOB，△BOC，△AOC的面积分别为S△AOB，S△BOC，S△AOC．若x=y=z=1，则S△AOB：S△BOC：S△AOC= ；若x=2，y=3，z=4，则S△AOB：S△BOC：S△AOC= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．16．如图，在△ABC中，点D在BC边上，，．（Ⅰ）求sin∠C的值；（Ⅱ）若BD=5，求△ABD的面积．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．18．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）在区间上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=﹣e时，（ⅰ）证明：f（x）+2≤0；（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．19．已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．20．已知有穷数列：的各项均为正数，且满足条件：①a1=a k；②．（Ⅰ）若k=3，a1=2，求出这个数列；（Ⅱ）若k=4，求a1的所有取值的集合；（Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．2015-2016学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，，则M∩N=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x≥0} D．{x|﹣1＜x≤0}【考点】交集及其运算．【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由N中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，且x≠1，解得：0≤x＜1，即N={x|0≤x＜1}，∵M={x|﹣1＜x＜1}，∴M∩N={x|0≤x＜1}，故选：A．2．复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先将z=i（1+i）化简，从而判断即可．【解答】解：z=i（1+i）=﹣1+i，∴复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为：（﹣1，1），故选：D．3．执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的m，i的值，当m=0时满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得m=1，i=1，m=1×（2﹣1）+1=2，i=2，不满足条件m=0，m=2×（2﹣2）+1=1，i=3，不满足条件m=0，m=1×（2﹣3）+1=0，i=4，满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．故选：B．4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）A．30辆B．300辆C．170辆D．1700辆【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率，由此能估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆．【解答】解：由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为（0.03+0.035+0.02）×10=0.85，∴估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有：2000×0.85=1700（辆）．故选：D．5．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增，则f′（x）≥0恒成立，即f′（x）=a﹣sinx≥0，即a≥sinx，∵﹣1≤sinx≤1，∴a≥1，则“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”充分不必要条件，故选：A．6．已知点Q（2，0）及抛物线x2=4y上一动点P（x，y），则y+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线的准线是y=﹣1，焦点F（0，1）．设P到准线的距离为d，利用抛物线的定义得出：y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1，利用当且仅当F、Q、P共线时取最小值，从而得出故y+|PQ|的最小值．【解答】解：抛物线x2=4y的准线是y=﹣1，焦点F（0，1）．设P到准线的距离为d，则y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=3﹣1=2（当且仅当F、Q、P共线时取等号）故y+|PQ|的最小值是2．故选C．7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．27 B．30 C．32 D．36【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算四个侧面的面积．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是边长为3的正方形，DA⊥平面PAB，AP⊥平面ABCD，AP=4，∴CD⊥平面PAD，PB=PD=5，∴S△ADP==6，S△ABP==6，S△CDP==，S△CBP==．∴四棱锥的侧面积S=6+6++=27．故选A．8．设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20【考点】函数的值．【分析】由已知得f（x）=，f（x+20）＞f（x），由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R），∴f（x）=，∵f（x）为R上的“20型增函数”，∴f（x+20）＞f（x），当x=0时，|20﹣a|﹣a＞0，解得a＜10．∴实数a的取值范围是a＜10．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是π，最小值是﹣1 ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的周期性和最小值，得出结论．【解答】解：函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是=π，最小值为﹣2+1=﹣1，故答案为：π，﹣1．10．若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为 4 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，1），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z．由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4．故答案为：4．11．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是4．【考点】等比数列的通项公式；数列的函数特性．【分析】由基本不等式可得，a1+2a3≥2=，结合已知即可求解【解答】解：∵a2=2，且a n＞0由基本不等式可得，a1+2a3≥2==4即最小值为故答案为：12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为12 ．【考点】计数原理的应用．【分析】由题意，甲必须站两端，有2种方法，其余3名同学，有=6种方法，根据乘法原理，可得结论．【解答】解：由题意，甲必须站两端，有2种方法，其余3名同学，有=6种方法，根据乘法原理，共有2×6=12种方法．故答案为：12．13．已知A，B为圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9（m，n∈R）上两个不同的点（C为圆心），且满足，则|AB|= 4 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求得圆的圆心和半径，运用向量的减法运算和数量积的性质：向量模的平方即为向量的平方，求得|+|2+||2=36，即可得到所求值．【解答】解：由圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9可得，圆心C（m，n），半径为3，由题意可得||=||=3，由|+|2+||2=|+|2+|﹣|2=2+2+2•+2+2﹣2•=2（2+2）=2（32+32）=36，由，可得||2=16，即有||=4．故答案为：4．14．已知点O在△ABC的内部，且有=，记△AOB，△BOC，△AOC的面积分别为S△AOB，S△BOC，S△AOC．若x=y=z=1，则S△AOB：S△BOC：S△AOC= 1：1：1 ；若x=2，y=3，z=4，则S△AOB：S△BOC：S△AOC= 4：2：3 ．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】（1）由=，得O是△ABC的重心，故S△AOB=S△BOC=S△AOC，得出答案；（2）延长OA，OB，OC，使OD=2OA，OE=3OB，OF=4OC，结合已知可得O是△DEF的重心，故△DOE，△EOF，△DOF的面积相等，进而得到答案．【解答】解：若=，则O是△ABC的重心，∴S△AOB=S△BOC=S△AOC=S△ABC，∴S△AOB：S△BOC：S△AOC=1：1：1．若2+3+4=，延长OA，OB，OC，使OD=2OA，OE=3OB，OF=4OC，如图所示：则，∴O是△DEF的重心，∴S△DOE=S△EOF=S△DOF．∴S△AOB==×OD×sin∠AOB=S△DOE，S△BOC==OFsin∠BOC=S△EOF，S△AOC==OFsin∠BOC=S△DOF，∴S△AOB：S△BOC：S△AOC=：： =4：2：3．故答案为1：1：1，4：2：3．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，利用排列组合知识能求出选出的3名同学来自班级的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望E（X）．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，则P（A）==．所以选出的3名同学来自班级的概率为．…（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望E（X）==．16．如图，在△ABC中，点D在BC边上，，．（Ⅰ）求sin∠C的值；（Ⅱ）若BD=5，求△ABD的面积．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由．利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解．（Ⅱ）先由正弦定理求AD的值，再利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为，所以．又因为，所以．所以=．…（Ⅱ）在△ACD中，由，得．所以．…17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出AB∥CD，从而AB∥面PCD，由此能证明AB∥EF．（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB．以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz．利用向量法能求出平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD．又因为AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，所以AB∥面PCD．又因为A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，所以AB∥EF．…解：（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB．因为PA=PD，所以PG⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PG⊥平面ABCD．所以PG⊥GB．在菱形ABCD中，因为AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，所以AD⊥GB．如图，以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz．设PA=PD=AD=2a，则G（0，0，0），A（a，0，0），．又因为AB∥EF，点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．所以，．所以，．设平面AFE的法向量为n=（x，y，z），则有所以令x=3，则平面AFE的一个法向量为．因为BG⊥平面PAD，所以是平面PAF的一个法向量．因为，所以平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为．…18．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）在区间上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=﹣e时，（ⅰ）证明：f（x）+2≤0；（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，分离出a，结合函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）（i）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的最大值，证出结论；（ii）求出|f（x）|≥2，令g（x）=+，求出g（x）的最大值小于|f（x）|的最小值，从而判断无解．【解答】解：函数f（x）定义域x∈（0，+∞），f′（x）=a+，（Ⅰ）因为f（x）在区间上为增函数，所以f′（x）≥0在x∈上恒成立，即，在x∈上恒成立，则．…（Ⅱ）当a=﹣e时，f（x）=﹣ex+lnx，．（ⅰ）令f′（x）=0，得．令f′（x）＞0，得，所以函数f（x）在单调递增．令f′（x）＜0，得，所以函数f（x）在单调递减．所以，．所以f（x）+2≤0成立．…（ⅱ）由（ⅰ）知，f（x）max=﹣2，所以|f（x）|≥2．设．所以．令g'（x）=0，得x=e．令g'（x）＞0，得x∈（0，e），所以函数g（x）在（0，e）单调递增，令g'（x）＜0，得x∈（e，+∞），所以函数g（x）在（e，+∞）单调递减；所以，，即g（x）＜2．所以|f（x）|＞g（x），即|f（x）|＞．所以，方程|f（x）|=没有实数解．…19．已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得椭圆的a，b，c，由离心率公式可得所求值；（Ⅱ）讨论切线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得证；（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．讨论当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S△OAB=1．当l的斜率存在时，运用弦长公式和点到直线的距离公式，运用基本不等式可得面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知a2=4，，即有．则．故椭圆C的离心率为；（Ⅱ）证明：若切线l的斜率不存在，则l：x=±1．在中，令x=1得y=±1．不妨设A（1，1），B（1，﹣1），则．可得OA⊥OB；同理，当l：x=﹣1时，也有OA⊥OB．若切线l的斜率存在，设l：y=kx+m，依题意，即k2+1=m2．由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣4=0．显然△＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．所以．所以=====．所以OA⊥OB．综上所述，总有OA⊥OB成立．（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S△OAB=1．当l的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，====．所以=，（当且仅当时，等号成立）．所以．此时，．综上所述，当且仅当时，△OAB面积的最大值为．20．已知有穷数列：的各项均为正数，且满足条件：①a1=a k；②．（Ⅰ）若k=3，a1=2，求出这个数列；（Ⅱ）若k=4，求a1的所有取值的集合；（Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）∵k=3，a1=2，由①知a3=2；由②知，，整理得，a2．即可得出a3．（II）若k=4，由①知a4=a1．由于，解得或．分类讨论即可得出．（Ⅲ）依题意，设k=2m，m∈N*，m≥2．由（ II）知，或．假设从a1到a2m恰用了i次递推关系，用了2m﹣1﹣i次递推关系，则有，其中|t|≤2m ﹣1﹣i，t∈Z．对i分类讨论即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵k=3，a1=2，由①知a3=2；由②知，，整理得，．解得，a2=1或．当a2=1时，不满足，舍去；∴这个数列为．（Ⅱ）若k=4，由①知a4=a1．∵，∴．∴或．如果由a1计算a4没有用到或者恰用了2次，显然不满足条件；∴由a1计算a4只能恰好1次或者3次用到，共有下面4种情况：（1）若，，，则，解得；（2）若，，，则，解得a1=1；（3）若，，，则，解得a1=2；（4）若，，，则，解得a1=1；综上，a1的所有取值的集合为．（Ⅲ）依题意，设k=2m，m∈N*，m≥2．由（ II）知，或．假设从a1到a2m恰用了i次递推关系，用了2m﹣1﹣i次递推关系，则有，其中|t|≤2m﹣1﹣i，t∈Z．当i是偶数时，t≠0，无正数解，不满足条件；当i是奇数时，由得，∴．又当i=1时，若，有，，即．∴a1的最大值是2m﹣1．即．2016年8月22日。

2017-2018 学年北京市旭日区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10 小题，每题5 分，共 50 分 .在每题给出的四个选项中，选出吻合题目要求的一项）1．圆（ x ﹣2） 2+y 2=4 被直线 x=1 截得的弦长为（ ）A ． 1B ．C ． 2D ．2的点的横坐标是（）2．抛物线 y =2x 上与其焦点距离等于 3 A ． 1B ． 2C ．D ．3．已知 p ： “x ＞ 2”， q ：“x 2＞ 4”，则 p 是 q 的（）A ．充分而不用要条件B ．必需而不充分条件C ．充分必需条件D ．即不充分也不用要条件 4．已知两条不一样的直线 a ， b ，三个不一样的平面 α，β， γ，以下说法正确的选项是（ ）A ．若 a ∥ α， b ⊥ a ，则 b ∥ αB ．若 a ∥ α， a ∥β，则 α∥ βC ．若 α⊥ β，a ⊥ α，则 a ∥ βD ．若 α⊥ γ，β∥ γ，则 α⊥ β5．在圆 x 2 +y 2=16 上任取一点 P ，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD ，D 为垂足，当点 P 在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹方程是（）A ．B ． x 2+y 2=4 C ．D ．6．如图， 在平行六面体 ABCD ﹣ A 1B 1C 1D 1 中，M 为 AC 与 BD 的交点， 若 = ，= ，= ．则以下向量中与相等的向量是（）A ．﹣++B ．C ．D ．﹣﹣+2﹣ y22y b27．若由方程 x=0 和 x +（ ﹣ ） =2 所构成的方程组至多有两组不一样的实数解，则实数 b 的取值范围是（）A ．或B ． b ≥ 2 或 b ≤﹣ 2C ．﹣ 2≤ b ≤ 2D ．8．设 O 是坐标原点，若直线 l ： y=x +b （b ＞ 0）与圆 x 2+y 2、P ，且=4 交于不一样的两点P 1 2，则实数 b 的最大值是（ ） A ． B ． 2 C ． D ．9．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A ．B ．C ．D ．10．已知动圆 C 位于抛物线 x 2=4y 的内部（ x 2≤ 4y ），且过该抛物线的极点，则动圆C 的周长的最大值是（ ）A ． πB ． 2πC ． 4πD ． 16π二、填空题（本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分，请把正确答案填在答题卡上） 11 p ： ”任意两个等腰直角三角形都是相似的p ；判断 ? p ．写出 ”的否定 ? ： 是 ．（后一空中填 “真 ”或 “假 ”） 12．已知 A （ 8，0）， B （ 0 ， 6），O （ 0， 0），则△ AOB 的外接圆的方程是．13．中心在原点，焦点在 y 轴上，虚轴长为而且离心率为 3 的双曲线的渐近线方程为．14．过椭圆 C ： +=1 的右焦点 F 2 的直线与椭圆C 订交于 A ，B 两点．若 =，则点 A 与左焦点 F 1 的距离 | AF 1| =．15．如图为四棱锥 P ﹣ ABCD 的表面睁开图，四边形 ABCD 为矩形，，AD=1 ．已知极点 P 在底面 ABCD 上的射影为点 A ，四棱锥的高为 ，则在四棱锥P ﹣ ABCD 中， PC与平面 ABCD 所成角的正切值为．16．如图，正方体 ABCD ﹣ A 1B1C1D1的棱长为 1，N 为 CD1中点， M 为线段 BC 1上的动点，（M 不与 B， C1重合）有四个：①CD1⊥平面 BMN ；②MN ∥平面 AB 1D1；③平面 AA 1CC1⊥平面 BMN ；④三棱锥 D﹣ MNC 的体积有最大值．此中真的序号是．三、解答题（本大题共 3 小题，共40 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上）17．如图，长方体ABCD ﹣ A 1B 1C1 D1中， AA 1=AB=1 ，AD=2 ， E 为 BC 的中点，点M ，N 分别为棱 DD 1， A 1D 1的中点．（Ⅰ）求证：平面CMN ∥平面 A 1DE ；（Ⅱ）求证：平面 A 1DE ⊥平面 A 1AE ．18．如图，四棱锥 P﹣ ABCD 的底面 ABCD 为直角梯形， AD ‖BC ，且，BC⊥ DC，∠BAD=60 °，平面 PAD⊥底面 ABCD ，E 为 AD 的中点，△ PAD 为等边三角形，M 是棱 PC上的一点，设（M 与 C 不重合）．（Ⅰ）求证：CD ⊥ DP；（Ⅱ）若 PA∥平面 BME ，求 k 的值；（Ⅲ）若二面角M ﹣ BE﹣A 的平面角为150°，求k 的值．19．已知椭圆W ：，过原点O 作直线l1交椭圆W 于A， B 两点，P 为椭圆上异于 A ，B 的动点，连接 PA， PB，设直线 PA，PB 的斜率分别为 k1， k2（k1， k2≠ 0），过 O 作直线 PA， PB 的平行线 l2， l3，分别交椭圆 W 于 C， D 和 E， F．（Ⅰ）若 A ， B 分别为椭圆W 的左、右极点，能否存在点P，使∠ APB=90 °？说明原由．（Ⅱ）求k1?k2的值；22（Ⅲ）求 | CD | +| EF|的值．2015-2016 学年北京市旭日区高二 （上）期末数学试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题（本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分 .在每题给出的四个选项中，选出吻合题目要求的一项）1．圆（ x ﹣2） 2+y 2=4 被直线 x=1 截得的弦长为（ ）A ．1B ．C ． 2D ． 【考点】 直线与圆的地点关系．【分析】 算出已知圆的圆心为C （ 2，0），半径 r=2 ．利用点到直线的距离公式，算出点C到直线直线 l 的距离 d=1，由垂径定理加以计算，可得直线 l 被圆截得的弦长．【解答】 解：圆（ x ﹣ 2） 2+y 2=4 的圆心为 C （ 3， 0），半径 r=2， ∵点 C 到直线直线 x=1 的距离 d=1 ，∴依据垂径定理，得圆（ x 2 2 y 22=2﹣ ） + =4 被直线 x=1 截得的弦长为 应选： D ．2．抛物线 y 2=2x 上与其焦点距离等于3 的点的横坐标是（）A ．1B ．2C ．D ．【考点】 抛物线的简单性质．【分析】 确立抛物线 y 2=2x 的焦点为（， 0），准线方程为 x= ﹣ ．设所求点 P 的坐标为x y 0），利用 PF =3，联合抛物线的定义即可得出．（0，| |【解答】 解：由抛物线方程2， 0），准线方程为 x= ﹣．y =2x 的焦点为（ 设所求点 P 的坐标为（ x 0， y 0），由抛物线的定义可得， | PF| =x 0+ =3 ．解得 x 0= ．应选： C ．3．已知 p ： “x ＞ 2”， q ：“x 2＞ 4”，则 p 是 q 的（ ）A ．充分而不用要条件B ．必需而不充分条件C ．充分必需条件D ．即不充分也不用要条件 【考点】 必需条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】 由 x 2＞ 4，解得 x ＞ 2 或 x ＜﹣ 2，即可判断出结论．【解答】 解：由 x 2＞ 4，解得 x ＞ 2 或 x ＜﹣ 2，∴ p 是 q 的充分不用要条件．应选： A ．4．已知两条不一样的直线 a ， b ，三个不一样的平面 α，β， γ，以下说法正确的选项是（）A ．若 a ∥ α， b ⊥ a ，则 b ∥ αB ．若 a ∥ α， a ∥β，则 α∥ βC ．若 α⊥ β，a ⊥ α，则 a ∥ βD ．若 α⊥ γ，β∥ γ，则 α⊥ β【考点】 空间中直线与平面之间的地点关系．【分析】 对 4 个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】 解：对于 A ，若 a ∥ α， b ⊥ a ，则 b ∥ α， b 与 α订交或 b? α，不正确；对于 B ，若 a ∥ α，a ∥ β，则 α∥ β或 α，β订交，不正确；对于 C ，若 α⊥ β， a ⊥ α，则 a ∥ β或 a? β，不正确；对于 D ，若 α⊥ γ，β∥ γ，在 β内存在直线与 α垂直，依据平面与平面垂直的判断，可得α⊥β，正确．应选： D ．2y 2P ，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运5．在圆 x+ =16 上任取一点动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹方程是（ ）A ．B ． x 2+y 2=4 C ．D ．【考点】 轨迹方程．x 2+y 2=16【分析】设出 M 点的坐标，由 M 为线段 PD 的中点获得 P 的坐标，把 P 的坐标代入圆 整理得线段 PD 的中点 M 的轨迹．【解答】 解：设 M （ x ， y ），由题意 D （ x ， 0），P （ x ，y 1） ∵M 为线段 PD 的中点，∴ y 1+0=2y ， y 1=2y ．P x y1）在圆 x 2y 2 2 y 2 又∵ （ ， + =16 上，∴ x + 1 =16 ，∴ x 2+4y 2=16，即=1．∴点 M 的轨迹方程为应选： C ．=1．6．如图， 在平行六面体ABCD﹣ A 1B 1C 1D 1 中，M为AC与BD的交点， 若= ，= ，= ．则以下向量中与相等的向量是（）A．﹣+ + B ．C D．﹣﹣+．【考点】 相等向量与相反向量．【分析】 由题意可得 =+ =+= + [ ﹣ ] ，化简获得结果．【解答】 解：由题意可得 =+=+=+= + （﹣）=+（﹣）=﹣ + + ，应选 A ．7．若由方程 x 2﹣ y 2=0 和 x 2+（ y ﹣ b ） 2=2 所构成的方程组至多有两组不一样的实数解，则实数 b 的取值范围是（ ）A ．或B ． b ≥ 2 或b ≤﹣ 2C ．﹣ 2≤ b ≤ 2D ．【考点】 曲线与方程．【分析】 由方程 x 2﹣ y 2=0 和 x 2+（ y ﹣ b ）2=2 所构成的方程组至多有两组不一样的实数解，直线与 x 2+（ y ﹣ b ） 2=2 相切或相离，利用点到直线的距离公式，即可得出结论．【解答】 解：由题意， x 2﹣ y 2=0 表示两条直线 x ± y=0．2222∵由方程 x ﹣y =0 和 x +（ y ﹣b ） =2 所构成的方程组至多有两组不一样的实数解，22∴直线与 x +（ y ﹣ b ） =2 相切或相离，∴≥ ，∴ b ≥ 2 或 b ≤﹣ 2，应选： B ．8．设 O 是坐标原点，若直线2y 2交于不一样的两点P 1、 Pl ： y=x +b （b ＞ 0）与圆 x + =4 2，且 ，则实数 b 的最大值是（ ）A ．B ． 2C ．D ．【考点】 直线与圆的地点关系．【分析】 设 P 1P 2 中点为 D ，则 OD ⊥P 1P 2，确立 | | 2≤ 2，即可求出实数b 的最大值．【解答】 解：设 P 1P 2 中点为 D ，则 OD ⊥ P 1P 2， ∵，∴| 2 | ，| ≥ | ∵||2+ || 2=4∴| | 2≤2∵直线 l ： y=x +b （ b ＞ 0）与圆 x 2+y 2、 P ，=4 交于不一样的两点 P 12∴| | 2＜4∴| | 2≤2∴（）2≤2∵ b ＞ 0 ∴ b ≤ 2．∴实数 b 的最大值是 2． 应选： B ．9．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A ．B ．C ．D ．【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】 依据三视图作出三棱锥的直观图，依据三视图中的数据计算棱锥的体积． 【解答】 解：由三视图可知三棱锥是从边长为BC 的中点．4 的正方体中截出来的M ﹣ ADD ′，此中M为∴三棱锥的体积V===．应选：C ．10．已知动圆 C 位于抛物线 x 2=4y 的内部（ x 2≤ 4y ），且过该抛物线的极点，则动圆C 的周长的最大值是（ ）A ． πB ． 2πC ． 4πD ． 16π【考点】 抛物线的简单性质．【分析】设圆的方程为 x 2yb22x22 4 ﹣ 2b y=0 ，利用 4 ﹣ 2b=0 ， +（ ﹣ ） =b ，与 =4y 联立可得 y+（ ）求出 b ，即可求出动圆 C 的周长的最大值．【解答】 解：设圆的方程为 x 2 y b 2 2，+（ ﹣ ） =b22+（ 4﹣ 2b ） y=0，∴ 4﹣ 2b=0 ，与 x =4y 联立可得 y∴b=2 ，∴动圆 C 的周长的最大值是 2π× 2=4π．应选： C ．二、填空题（本大题共6 小题，每题 5 分，共 30 分，请把正确答案填在答题卡上）11．写出 p ：”任意两个等腰直角三角形都是相似的 ”的否定 ?p ： 存在两个等腰直角三角形，它们不相似 ；判断 ?p 是 假 ．（后一空中填 “真 ”或 “假”） 【考点】 的否定．【分析】 依据全称的否定是特称进行求解即可．【解答】 解：是全称，则的否定是：存在两个等腰直角三角形，它们不相似， ∵任意两个等腰直角三角形都是相似的为真． ，∴原为真，则的否定为假，故答案为：存在两个等腰直角三角形，它们不相似假12．已知 A （8， 0），B （ 0， 6），O （0， 0），则△ AOB 的外接圆的方程是 （x ﹣ 4）2+（ y﹣ 3） 2=25 ．【考点】 圆的标准方程．【分析】 依据题意，△ AOB 是以 AB 为斜边的直角三角形，因其他接圆是以 AB 为直径的圆．由此算出 AB 中点 C 的坐标和 AB 长度，联合圆的标准方程形式，即可求出△AOB 的外接圆的方程．【解答】 解：∵△ AOB 的极点坐标为 A （8， 0）， B （ 0， 6）， O （ 0， 0），∴OA ⊥ OB ，可得△ AOB 的外接圆是以 AB 为直径的圆∵ AB 中点为 C 4 3 AB =10（，），| |∴圆的圆心为 C （4， 3），半径为 r=5 22可得△ AOB 的外接圆的方程为（ x 4 y 3﹣ ） +（ ﹣ ） =25故答案为：（ x ﹣ 4）2 +（ y ﹣ 3）2=2513．中心在原点，焦点在y 轴上，虚轴长为 而且离心率为 3 的双曲线的渐近线方程为y=± x ．【考点】 双曲线的简单性质．【分析】 设双曲线的方程为﹣ =1（a ，b ＞ 0），由题意可得 b ，运用离心率公式和 a ，b ，c 的关系，可得 a=1，可得双曲线的方程，即可获得渐近线方程． 【解答】 解：设双曲线的方程为 ﹣=1（ a ， b ＞ 0），由题意可得 2b=4，即 b=2，又 e= =3， c 2=a 2+b 2，解得 a=1，可得双曲线的方程为 y 2﹣=1，即有渐近线的方程为y= ± x ．故答案为： y=±x ．14．过椭圆 C ：+=1 的右焦点 F 2 的直线与椭圆 C 订交于 A ，B 两点．若= ，则点 A 与左焦点 F 1的距离 | AF 1| =．【考点】 椭圆的简单性质．【分析】 求得椭圆的 a b c=，可得 F2 为 AB的中点，即有AB， ， ，右焦点坐标，由⊥x 轴，令 x=1 ，可得 | AF 2| ，再由椭圆的定义，即可获得所求值．【解答】 解：椭圆 C ：+=1 的 a=2， b=， c=1，右焦点 F 2 为（ 1， 0），由=，可得 F 2 为 AB 的中点，即有AB ⊥ x 轴，令x=1，可得y=±?=±，由椭圆的定义可得，| AF 1|+| AF 2| =2a=4，可得 | AF 1| =4﹣ | AF 2| =4﹣ = ．故答案为：．15．如图为四棱锥 P ﹣ ABCD 的表面睁开图，四边形极点 P 在底面 ABCD 上的射影为点A ，四棱锥的高为ABCD 为矩形，，则在四棱锥，AD=1 ．已知P ﹣ ABCD 中， PC与平面ABCD所成角的正切值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】作出四棱锥的直观图，依据 PA⊥平面 ABCD 即可得出∠ PCA 为所求角，利用勾股定理计算 AC ，即可得出线面角的正切值．【解答】解：作出四棱锥的直观图以以下图：∵极点 P 在底面 ABCD 上的射影为点 A ，∴ PA⊥平面 ABCD ，∴∠ PCA 为直线 PC 与平面 ABCD 所成的角， PA=．∵四边形ABCD为矩形，，AD=1 ，∴AC=，∴tan∠PCA=．故答案为：．16．如图，正方体 ABCD ﹣ A 1B1C1D1的棱长为 1，N 为 CD1中点， M 为线段 BC 1上的动点，（M 不与 B， C1重合）有四个：①CD1⊥平面 BMN ；②MN ∥平面 AB 1D1；③平面 AA 1CC1⊥平面 BMN ；④三棱锥 D﹣ MNC 的体积有最大值．此中真的序号是②③．【考点】棱柱的结构特色．【分析】直接利用空间中线线关系，线面关系及面面关系逐个判断 4 个得答案．【解答】解：① ∵ CD1与 BM 成 60°角，∴ CD 1与平面 BMN 不垂直，①错误；② ∵平面 BMN ∥平面 AB 1D1，∴ MN ∥平面 AB 1D 1，②正确；③ ∵平面 BMN 与平面 BC 1D 重合，而平面AA 1CC1⊥平面 BC1D，③正确；④ ∵M 与 B 重合时，三棱锥D﹣ MNC 的体积最大，而M 不与 B ，C1重合，④错误．∴z正确的序号为②③ ．故答案为：②③ ．三、解答题（本大题共 3 小题，共 40 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上）17．如图，长方体ABCD ﹣ A 1B 1C1D1中， AA 1=AB=1 ，AD=2 ， E 为 BC 的中点，点 M ，N 分别为棱 DD 1， A 1D 1的中点．（Ⅰ）求证：平面CMN ∥平面 A 1DE ；（Ⅱ）求证：平面 A 1DE ⊥平面 A 1AE ．【考点】平面与平面垂直的判断；平面与平面平行的判断．【分析】（ I ）由中位 定理可得MN ∥ A 1D ，由 方体的 构特色可得四 形A 1ECN 是平行四 形，故CN ∥ A 1E ，从而平面 CMN ∥平面 A 1DE ；（II ）由 AA 1⊥平面 ABCD 可得 AA 1⊥ DE ，由 段的 度可由勾股定理的逆定理得出AE⊥DE ，故 DE ⊥平面 A 1AE ，从而平面 A 1DE ⊥平面 A 1AE ．【解答】 解：（Ⅰ）∵ M ， N 分 棱 DD 1， A 1D 1 的中点，∴ MN ∥A 1D ，∵A D ? 平面 A 1 DE ， MN ?平面 A DE ，∴ MN ∥平面 A CD．1 1 1∵E 是 BC 中点， N 是 A 1D 1 的中点，∴ A 1N=CE ， A 1N ∥CE ， ∴四 形 A 1ECN 是平行四 形，∴ CN ∥A 1E ，∵A E 平面 A DE ， CN ?平面 A DE ，∴ CN ∥平面 A CD，1 ? 1 11又∵ MN CN=N ， MN ? 平面 MCN ， CN ? 平面 MCN ， ∩∴平面 CMN ∥平面 A 1DE ．（Ⅱ）∵ AA 1⊥平面 ABCD ， DE ? 平面 ABCD ，∴AA 1⊥ DE ． ∵ A B=1 ， AD=2 ， E BC 的中点， ∴，∴EA 2+ED 2=AD 2，即 AE ⊥ DE ．∵AA 1? 平面 AA 1E ， AE ? 平面 AA 1E ， AE ∩AA 1=A ，∴DE ⊥平面 A 1AE ．又 DE? 平面 A 1DE ，因此平面 A 1DE ⊥平面 A 1AE ．18P ABCD的底面 ABCD直角梯形， AD BCBC DC ， ．如 ，四棱‖ ，且 ， ⊥ ∠BAD=60 °，平面 PAD ⊥底面 ABCD ，E AD 的中点，△ PAD 等 三角形，M 是棱PC上的一点，（M 与 C 不重合）．（Ⅰ）求 ： CD ⊥ DP ；（Ⅱ）若 PA ∥平面 BME ，求 k 的 ； （Ⅲ）若二面角MBE A 的平面角150°，求 k 的 ．【考点】 二面角的平面角及求法；直 与平面平行的判断．【分析】（Ⅰ）推 出 PE ⊥ AD ，从而 PE ⊥平面 ABCD ， 而 PE ⊥CD ，再由 CD ⊥ DA ，得CD ⊥平面PAD ，由此能 明 CD ⊥ DP ． ⋯.. （Ⅱ） 接 AC 交 BE 于 N ， 接 MN ，推 出 PA ∥ MN ，从而∠ CBN= ∠AEN=90 °， 而 △CNB ≌△ ANE ．由此能求出 k=1． （Ⅲ）法一： 接CE ， 点 M 作 MF ∥ PE 交 CE 于 F ， A （ 0，1， 0）作接 MG ， ∠ MGF 二面角MBE C 的平面角，由此能示出k ．FG ⊥ BE于G ，法二：以 E 原点，射EB ，EA ，EP 分 x 正半， y 正半， z 正半建立空直角坐系，利用和量法能求出k．【解答】（本分14 分）明：（Ⅰ）因△ PAD 等三角形，E AD 的中点，因此PE⊥ AD ．因平面 PAD ⊥平面 ABCD ，且平面 PAD ∩平面 ABCD=AD ，PE? 平面 PAD ，因此PE⊥平面 ABCD ．又 CD? 平面 ABCD ，因此 PE⊥CD ．由已知得 CD ⊥ DA ， PE∩AD=E ，因此 CD⊥平面 PAD．双 DP? 平面 PAD，因此 CD⊥ DP．⋯..解：（Ⅱ）接AC 交 BE 于 N，接 MN ．因 PA∥平面 BME ， PA? 平面 PAC，平面 PAC∩平面 BME=MN ，因此 PA∥ MN ．因AD ∥BC ，BC⊥ DC ，因此∠ CBN= ∠ AEN=90 °．又 CB=AE ，∠ CNB= ∠ ANE ，因此△ CNB ≌△ ANE ．因此 CN=NA ， M PC 的中点， k=1 ．⋯..（Ⅲ）方法一：依意，若二面角M BE A 的大小 150°，二面角M BE C 的大小30°．接 CE，点 M 作 MF ∥ PE 交 CE 于 F， A （ 0，1， 0）作 FG⊥ BE 于 G，接 MG ．因 PE⊥平面 ABCD ，因此 MF⊥平面 ABCD ．又 BE? 平面 ABCD ，因此 MF⊥ BE．又 MF ∩FG=F ，MF ? 平面 MFG ， FG? 平面 MFG ，因此 BE⊥平面 MFG ，从而 BE ⊥ MG ．∠ MGF 二面角 M BE C 的平面角，即∠ MGF=30 °．在等△PAD中，．因为，因此．又，因此．在△ MFG 中，解得 k=3 ．⋯..方法二：因为EP⊥EA ， EP⊥ EB ， EA ⊥ EB ，以 E 原点，射 EB， EA ， EP 分 x 正半， y 正半， z 正半建立空直角坐系，如．∵，∠ BAD=60 °，A010，D0 10 E000∴ （，，），，（，，），（，，），平面 ABE 即 xoy 平面的一个法向量=（ 0， 0， 1）．M （ x， y， z），由条件可知：（ k＞ 0），即，∴，解得：即，．平面MBE的一个法向量=（ x'， y'， z'），，x'=0 ，令， z'=k ．即=（ 0，）．因二面角 M BE A 的平面角150°，因此 | cos＜＞ | =| cos150°|，即==，解得 k= ± 3．因 k＞ 0，因此 k=3．⋯..19．已知 W ：，原点 O 作直 l1交 W于 A， B 两点， P 上异于 A ，B 的点，接PA， PB，直 PA，PB 的斜率分k1， k2（k1， k2≠ 0）， O作直 PA， PB 的平行 l2， l3，分交 W 于 C， D 和 E， F．（Ⅰ）若 A ， B 分 W 的左、右点，能否存在点P，使∠ APB=90 °？明原由．（Ⅱ）求 k1?k2的；（Ⅲ）求 | CD | 2+| EF|2的．【考点】的性．【分析】（Ⅰ）不存在点 P，使∠ APB=90 °．原由以下： P（x P， y P），运用向量垂直的条件和数目的坐表示，合方程，即可判断；（Ⅱ） P（ x P，y P），A（ x A，y A），运用直的斜率公式和点差法，化整理可得所求；（Ⅲ）方法一：因为 l 2， l3分平行于直 PA， PB，求得直方程，立方程，求得弦，化整理，即可获得所求；方法二、 C（ x C，y C），E（ x E，y E），由直 l2，l 3都原点， D（ x C， y C），F（x E， y E）．因为 l2， l3分平行于直 PA， PB，由平行的条件，求得直方程，代入方程，化整理，即可获得所求．【解答】解：（Ⅰ）不存在点P，使∠ APB=90 °．明以下：P（ x P， y P）．依意，此 A （ 2， 0）， B（2， 0），，．若∠ APB=90 °，需使，即．⋯（ 1）又点P 在W 上，因此，把代入（ 1）式中解得， x =2y =0．P± ，且P然与 P 上异于 A ， B 的点矛盾，因此不存在；（Ⅱ） P（ x P，y P），A （ x A， y A），依意直l 1原点， B （ x A， y A）．因为 P 上异于 A ，B 的点，直 PA 的斜率，直 PB 的斜率．即．W的方程化x24y2P 和点 A 都 W 上的点，+=4 ，因为点，两式相减得，因点 P 和点 A 不重合，因此，即；（Ⅲ）方法一：因为l 2， l3分平行于直PA， PB，直 l2的斜率 k CD =k 1，直 l3的斜率 k EF=k 2．设直线 l2的方程为y=k 1x，代入到椭圆方程中，得，解得．设 C（ x C， y C），由直线l2过原点，则D（﹣ x C，﹣ y C）．则=．因为 y C=k 1x C，因此 | CD| 2=，即| CD|2=．直线 l3的方程为y=k 2x，代入到椭圆方程中，得，解得．同理可得．则|CD2+|EF2．|| =由（Ⅱ）问，且 k1≠ 0，则．即| CD | 2+| EF|2=16化简得|CD|2+|EF2．|=16即|CD2EF2| +||=20 ．方法二：设 C（ x C， y C）， E（ x E， y E），由直线 l2， l3都过原点，则D（﹣ x C，﹣ y C）， F（﹣ x E，﹣ y E）．因为 l2， l3分别平行于直线PA， PB，则直线 l2的斜率 k CD =k 1，直线 l3的斜率 k EF=k 2，由（Ⅱ）得，可得．因为 k CD =k1≠ 0，则．因为点 C 不行能在 x 轴上，即 y C≠ 0，因此，过原点的直线l 3的方程为，代入椭圆W 的方程中，得，化简得．因为点 C（ x C， y C）在椭圆 W 上，因此，因此，没关系设x E=2y C，代入到直线中，得．即，则．| CD| 2+| EF|2===．又，因此 | CD | 2+| EF|2=20．2016年8月1日。

…○…………装………学校:___________姓名：________…○…………装………绝密★启用前北京朝阳2017-2018学年上学期高二期中试卷数学（理科）试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．在直角坐标系xOy 中，在y 轴上截距为−1且倾斜角为3π4的直线方程为（）． A ．x +y +1=0 B ．x +y −1=0 C ．x −y +1=0 D ．x −y −1=0 2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的正视图为（）．A ．B ．C ．D ．3．下列命题中，正确的是（）．①若一平面内有两条直线都与另一平面平行，则这两个平面平行； ②若一平面内有无数条直线与另一平面平行，则这两个平面平行； ③若一平面内任何一条直线都平行于另一平面，则这两个平面平行； ④若一平面内的两条相交直线分别与另一平面平行，则这两个平面平行． A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③④4．已知三点A (1,0)，B (0, 3)，C (2, 3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（）．○…………外…………………○…………订………在※※装※※订※※线※※内※※答※※题○…………内…………………○…………订………5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面： ①若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α； ②若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β； ③若α∥β，m ⊂α，则m ∥β； ④若α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α，则m ⊥β． 上述四个命题中，正确命题的序号是（）． A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．③④6．向量a =(1,1,0)，b =(0,1,1)，c =(1,0,1)，d =(1,0,−1)中，共面的三个向量是（）． A ．a ，b ，c B ．b ，c ，d C ．c ，d ，a D ．d ，a ，b7．某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）．A ．2 5B ．2 6C ．2 7D ．4 28．己知k ∈R ，点P (a ,b )是直线x +y =2k 与圆x 2+y 2=k 2−2k +3的公共点，则ab 的最大值为（）．A ．15B ．9C ．4D ．19．如图，四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD = BD ⊥CD ，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面A ′−BCD ．使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是（）．A ．∠BA ′C =90°B ．AC ′⊥BD○…………线……___○…………线……C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30° D ．四面体A ′−BCD 的体积为13 10．如图，正方体中，，分别为棱，上的点. 已知下列判断：①平面；②在侧面上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面内总存在与平面平行的直线；④平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，与点的位置无关. 其中正确判断的个数有（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个1111ABCD A BC D -E F 1DD AB 1AC ^1B EF 1B EF D 11BCC B1111A B C D 1B EF 1B EF ABCD E F○…………外……装…………○………订…………○……※不※※要※※在※※装※※订※※内※※答※※题※※○…………内……装…………○………订…………○……第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题11．若方程x 2+y 2−2ax +4y =5a 表示圆，则实数a 的取值范围是__________． 12．如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1和B 1D 1所成角的大小为___________，直线BC 1和平面B 1D 1DB 所成角的大小为___________．13．如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1，AD =2，AA 1=3，∠BAD =90°，∠BAA 1=∠DAA 1=60°，则AC 1=___________．14．己知圆x 2−2ax +y 2=0与圆x 2+y 2=4交于A ，B 两点．O 是坐标原点，且∠AOB ≥120°，则实数a 的取值范围是___________．15．“降水量”是指从天空降落到地面上的液态或固态（经融化后）降水，未经蒸发、渗透、流失而水平面上积聚的深度，降水量以m m 为单位．为了测量一次降雨的降水量，一个同学使用了如图所示的简易装置：倒置的圆锥．雨后，用倒置的圆锥接到的雨水的数据如图所示，则这一场雨的降水量为__________m m ．○…………外…………○………○…………线………：___________○…………内…………○………○…………线………16．如图，正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的棱长均为2．点M 是侧棱AA 1的中点，点P 、Q 分别是侧面BCC 1B 1，底面ABC 的动点，且A 1P ∥平面BCM ，PQ ⊥平面BCM ．则点Q 的轨迹的长度为___________．三、解答题17．已知圆C :(x −a )2+(y −2)2=4(a >0)及直线l :x −y +3=0，直线l 被圆C 截得的弦长为2 2． （1）求实数a 的值．（2）求过点P (3,5)并与圆C 相切的切线方程．18．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，各个侧面均是边长为2的正方形．D 为线段AC 的中点．（1）求证：BD ⊥平面ACC 1A 1． （2）求证：直线AB 1∥平面BC 1D ．（3）设M 为线段BC 1上任意一点，在△BC 1D 内的平面区域（包括边界）是否存在点E ，使CE ⊥DM ?请说明理由．………○…………线※※题※※………○…………线19．如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ⊥AD ，AD =CD =2AB =2，E 、F 分为PC 、CD 的中点，DE =EC ． （1）求证：平面ABE ⊥平面BEF ． （2）若PA =1，求四面体BDEF 的体积．（3）设PA =a ，若平面EBD 与平面ABCD 所成锐二面角θ∈ π4，π3 ，求a 的取值范围．参考答案1．A【解析】由题意可得，直线的斜率k=−1，再根据直线的截距得到直线过点（0，-1）根据直线方程的截距式可知所求的直线方程为y=−x−1，即x+y+1=0，故选A．2．D【解析】【分析】根据三视图的特点，画出几何体的正视图，即可得到答案．【详解】该几何体的正视图如下所示：故选：D．【点睛】本题考查空间图形的三视图的做法，属于基础题，易错点：对角线的方向可能出错．3．C【解析】【分析】分别根据面面平行的定义和面面平行的判定定理进行判定．【详解】①根据面面平行的判定定理可知，平面内的两条直线必须是相交直线，否则面面不平行．②根据面面平行的定义可知，必须是平面内的所有直线都与另外一个平面平行，否则面面不平行．③根据面面平行的定义可知，一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，正确．④根据面面平行的判定定理可知，一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行，正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了面面平行的定义和面面平行的判定定理的应用，要求熟练掌握相应的定义和定理，注意定理成立的条件．4．C【解析】【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．【详解】因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，可设圆心P（1，p），由PA=PB得|p|=1+(p−3)2，得p=233圆心坐标为P（1，233），所以圆心到原点的距离|OP|=(233)=1+129=213，故选：C．【点睛】本题主要考查圆性质及△ABC外接圆的性质，理解外接圆的性质并灵活运用是解决本题的关键．5．C【解析】【分析】根据线面平行（或垂直）的判定定理与性质定理逐一进行判断即可.【详解】若m⊂β，α⊥β，则m⊥α或者m∥α或者m与α相交，所以①错误．②若n⊥α，n⊥β则α∥β，又因为m⊥α，所以根据线面垂直的定义可得m⊥β，所以②正确．③若α∥β，m⊂α，则m∥β，由线面平行的定义可得③是正确的．④若α⊥γ，β⊥γ则α与β可能平行也可能相交，只有当α∥β，且m⊥α时有m⊥β，当α与β相交时不满足m ⊥β，所以④错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，主要考查了线面垂直的判定与线面平行及面面垂直的性质定理．需要答题者有一定的空间想像能力及根据条件做出正确联想的能力． 6．D 【解析】 【分析】假设三向量共面，根据共面定理，得出向量的线性表示，列出方程组，求出方程组的解，即可判断这组向量是否共面． 【详解】对于A ，设a →、b →、c →三向量共面，则a →=x b →+y c →，∴（1，1，0）=x （0，1，1）+y （1，0，1）=（y ，x ，x +y ）； ∴ x =1y =1x +y =0 ，此方程组无解， ∴a →、b →、c →三向量不共面； 同理，C 、D 中三向量也不共面；对于B ，设a →、b →、d →三向量共面，则a →=x b →+y d →，∴（1、1、0）=x （0、1、1）+y （1、0、﹣1）=（y 、x 、x ﹣y ）； ∴ x =1y =1x −y =0 ，此方程组有唯一的解， ∴a →、b →、d →三向量共面． 故选：D ． 【点睛】本题考查了判断空间向量是否共面的问题，属于基础题． 7．C 【解析】试题分析：画出该四面体D −ABC 的直观图如下图所示由三视图及直观图可知，CD⊥CB,CD⊥AC,CD=CB=CE=2,AE=2AC= 22+(23)2=4AD= AC2+CD2=25,BD= CD2+CB2=22,AB=42+(23)2=27，故选C．考点：三视图．视频8．B【解析】【分析】先根据直线与圆相交，圆心到直线的距离小于等于半径，以及圆半径为正数，求出k的范围，再根据P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，满足直线与圆方程，代入直线与圆方程，化简，求出用k表示的ab的式子，根据k的范围求ab的最大值．【详解】由题意，圆心（0.0）到直线的距离d=2≤2−2k+3解得﹣3≤k≤1，又∵k2﹣2k+3＞0恒成立∴k的取值范围为﹣3≤k≤1，由点P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，得（a+b）2﹣a2﹣b2=2ab=3k2+2k﹣3=3（k+13）2﹣103，∴k=﹣3时，ab的最大值为9．故选：B．【点睛】本题主要考查了直线与圆相交位置关系的判断，做题时考虑要全面，不要丢情况．9．A【解析】【分析】根据题意，依次分析命题：对于A可利用反证法说明真假；对于B△BA'D为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，根据线面垂直可知∠BA′C=90°；对于C由CA'与平面A'BD 所成的角为∠CA'D=45°知C的真假；，对于D利用等体积法求出所求体积进行判定即可，综合可得答案．【详解】由题设知：△BA'D为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，故A正确；若B成立可得BD⊥A'D，产生矛盾，故B不正确；由CA'与平面A'BD所成的角为∠CA'D=45°知C不正确；，D不正确．V A′﹣BCD=V C﹣A′BD=16故选：A．【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了空间想象能力，论证推理能力，解题的关键是折叠前后那些垂直关系保持不变．10．B【解析】分析：由正方体的结构特征，对所给的几个命题用线面，面面之间的位置关系直接判断正误即可解答：解：如图对于①A1C⊥平面B1EF，不一定成立，因为A1C⊥平面AC1D，而两个平面面B1EF与面AC1D不一定平行．对于②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形，此是一个正确的结论，因为其投影三角形的一边是棱BB1，而E点在面上的投影到此棱BB1的距离是定值，故正确；对于③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线，此两平面相交，一个面内平行于两个平面的交线一定平行于另一个平面，此结论正确；对于④平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关，此结论不对，与两者都有关系，可代入几个特殊点进行验证，如F与A重合，E 与D重合时的二面角与F与B重合，E与D重合时的情况就不一样．故此命题不正确综上，②③是正确的故选B11．(−∞,−4)∪(−1,+∞)【解析】方程x2+y2−2ax+4y=5a表示圆，则4a2+16=20a>0，即a2+5a+4>0，解得a<−4或a>−1，实数a的取值范围是(−∞,−4)∪(−1,+∞),故答案为(−∞,−4)∪(−1,+∞)．12．60°30°【解析】【分析】连结DC1，A1C1，设A1C1∩B1D1=O，连结BO，由B1D1∥BD，得∠DBC1是线BC1和B1D1所成角，由此能求出直线BC1和B1D1所成角的大小；推导出C1O⊥平面B1D1DB，从而∠OBC1是直线BC1和平面B1D1DB所成角，由此能求出直线BC1和平面B1D1DB所成角的大小．【详解】连结DC1，A1C1，设A1C1∩B1D1=O，连结BO，∵B1D1∥BD，∴∠DBC1是线BC1和B1D1所成角，∵BD=BC1=DC1，∴∠DBC1=60°，∴直线BC1和B1D1所成角的大小为60°；正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵B1D1⊥A1C1，BB1⊥A1C1，B1D1∩BB1=B1，∴C1O⊥平面B1D1DB，∴∠OBC1是直线BC1和平面B1D1DB所成角，∵OC1=12BC1，∴sin∠OBC1=OC1BC1=12，∴∠OBC1=30°．∴直线BC1和平面B1D1DB所成角为30°．故答案为：60°，30°．【点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般．求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线．2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．13． 23【解析】【分析】首先，画出图形，然后，结合AC 1→=AC →+CC 1→=AB →+AD →+AA 1→，两边平方，同时结合数量积的运算法则进行计算即可．【详解】平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1，如图所示：∵∠BAA 1=∠DAA 1=60°∴A 1在平面ABCD 上的射影必落在直线AC 上，∴平面ACC 1A 1⊥平面ABCD ，∵AB=1，AD=2，AA 1=3，∵AC 1→=AC →+CC 1→=AB →+AD →+AA 1→∴|AC 1→|2=（AB →+AD →+AA 1→）2=|AB →|2+|AD →|2+|AA 1→|2+2AB →⋅AD →+2AB →⋅AA 1→+2AD →⋅AA 1→=1+9+4+0+2×1×3×12+2×2×3×12=23， ∴|AC 1→|= 23，∴AC 1等于 23．故答案为： 23．【点睛】本题重点考查了向量的坐标分解，向量的加法运算法则与运算律、数量积的运算等知识，属于中档题．14．(−∞,−2]∪[2,+∞)【解析】【分析】由题意可知，若∠AOB ≥120°，则 AB ≥2 3，即O 到直线AB 的距离小于等于1.【详解】∵圆x 2−2ax +y 2=0与圆x 2+y 2=4交于A ，B 两点，∴直线AB ： x 2−2ax +y 2 − x 2+y 2 =−4，即ax =2若若∠AOB ≥120°，则 AB ≥2 3，即O 到直线AB 的距离小于等于1.∴ 2a ≤1∴实数a 的取值范围是(−∞,−2]∪[2,+∞)故答案为：(−∞,−2]∪[2,+∞)【点睛】本题考查了两圆间的位置关系，解题关键是把两圆间的关系转化为直线与圆间的关系，进而转化为垂径定理问题即可.15．1 【解析】设圆锥形液面的底面半径为r ，则圆锥容器的底面半径为2r ，圆锥形液面的体积，设降水量为x ，则()224ππ2r r x =⋅，解得1x =,故答案为1. 16．43 【解析】【分析】根据已知可得点Q 的轨迹是过△MBC 的重心，且与BC 平行的线段，进而根据正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中棱长均为2，可得答案．【详解】∵点P 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1P ∥平面BCM ，则P 点的轨迹是过A 1点与平面MBC 平行的平面与侧面BCC 1B 1的交线，则P 点的轨迹是连接侧棱BB 1，CC 1中点的线段l ，∵Q 是底面ABC 内的动点，且PQ ⊥平面BCM ，则点Q 的轨迹是过l 与平面MBC 垂直的平面与平面ABC 的线段m ，故线段m 过△ABC 的重心，且与BC 平行，由正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中棱长均为2，故线段m 的长为：23×2=43，故答案为：43【点睛】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，棱柱的几何特征，动点的轨迹，难度中档．17．（1）a=1；（2）5x−12y+45=0或x=3【解析】试题分析：（1）根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，然后根据垂径定理得到弦心距，弦的一半及圆的半径成直角三角形，利用勾股对了列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后由a大于0，得到满足题意a的值；（2）把（1）求出a的值代入圆的方程中确定出圆的方程，即可得到圆心的坐标，并判断得到已知点在圆外，分两种情况：当切线的斜率不存在时，得到x=3为圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，由3,5和设出的k写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，把k的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程.试题解析：（1）根据题意可得圆心C(a,2)，半径r=2，则圆心到直线l:x−y+3=0的距离d=22=2，由勾股定理可以知道d2+2222=r2，代入化简得|a+1|=2，解得a=1或a=−3，又a>0，所以a=1．（2）由（1）知圆C:(x−1)2+(y−2)2=4，圆心为(1,2)，半径r=2，点(3,5)到圆心的距离为4+9=13>r=2，故点(3,5)在圆外，当切线方程的斜率存在时，设方程为y−5=k(x−3)，则圆心到切线的距离d=k2+1= r=2，化简得：12k=5，故k=512．∴切线方程为y−5=512(x−3)，即5x−12y+45=0，当切线方程斜率不存在时，直线方程为x=3与圆相切，综上，过点P(3,5)并与圆相切的切线方程为5x−12y+45=0或x=3．18．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）充分利用正三棱柱的性质得到CC1⊥底面ABC，得到CC1⊥BD，只要再证明BD垂直于AC即可；（2）连接B1C交BC1于O，连接OD，D为AC 中点，得到AB1∥OD，利用线面平行的判定定理可得；（3）在△BC1D内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E在线段C1D上；只要利用线面垂直的判定定理和性质定理证明．【详解】（1）证明：∵三棱柱ABC−A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，∴CC1⊥BC，CC1⊥AC，∴CC1⊥平面ABC，又∵BD⊂平面ABC，∴CC1⊥BD，又底面为等边三角形，D为线段AC的中点，∴BD⊥AC，又AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1．（2）证明：连接B1C交BC1于O，连接OD，则O为B1C的中点，∵D是AC的中点，∴OD∥AB1，又OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D．（3）在△BC1D内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E在线段C1D上，证明如下：过C作CE⊥C1D交线段C1D与E，由（1）可知，BD⊥平面ACC1A1，而CE⊂平面ACC1A1，∴BD⊥CE，由CE⊥C1D，BD∩C1D=D，得CE⊥平面BC1D，∵DM⊂平面BC1D，∴CE⊥DM．【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19．（1）见解析；（2）16；（3）255,2155【解析】【分析】（1）由题目给出的条件，可得四边形ABFD为矩形，说明AB⊥BF，再证明AB⊥EF，由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根据面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF；（2）明确锥体的高为DF，即可得到几何体的体积；（3）以A点为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系，利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值，根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围，最后求解不等式可得a的取值范围．【详解】（1）证明：∵AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，F为CD的中点，∴ABFD为矩形，AB⊥BF，又∵DE=EC，F是CD中点，∴CD⊥EF，∵AB∥CD，∴AB⊥EF，∵BF∩EF=F，∴AB⊥平面BEF，又AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面BEF．（2）∵AB⊥平面BEF，AB∥DF，∴DF⊥平面BEF，∵AB=CD=2AB=2，∴△BEF中，BF=2，EF=12PD=52，BE=12PD=52，∴△BEF的面积S=12×2×54−1=12×2×12=12，∴四面体BDEF的体积V=13S⋅DF=13×12×1=16．（3）∵DE=EC，∴DC⊥EF，又PD∥EF，AB∥CD，∴AB⊥PD，又AB⊥PD，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，如图，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,a)，C(2,2,0)，E1,1,a2，∴BD=(−1,2,0)，BE=0,1,a2，平面BCD的法向量n1=(0,0,1)，设平面EBD的法向量为n2=(x,y,z)，则n2⋅BD=0n2⋅BE=0，即−x+2y=0y+az2=0，取y=1，得x=2，z=−2a，则n2=2,1,−2a，∴cosθ=2a4+1+42=5a2+4，∵平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈π4,π3，∴cosθ∈12,22，即2∈12,22，由5a2+4≥12，得：−2155≤a≤2155，由5a2+4≤22得：a≤−255或a≥255，∴a的取值范围是255,2155．【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.。

北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类） 2018.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合|(2)0Ax x x ，|ln 0B x x，则A B 是 A. |12x xB.|02x xC. |0xxD.|2x x2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =A.3B. 4D.103. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是 A.(00)， B.(20)-， C.(01)-， D. (02)，4.“sin 2α=”是“cos2=0α”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. 4B.43C.3D. 6. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分7. 已知函数()f x x x a =⋅-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是正视图侧视图俯视图A .2a <- B.2a ≤- C.20a -≤< D.2a >- 8. 如图1，矩形ABCD中，AD =点E 在AB 边上， CE DE⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()00180∈，时，① 存在某个位置，使1CE DA ⊥；② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1A C 所成的角都不相等. 以上三个结论中正确的序号是A . ① B. ①② C. ①③D. ②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C ，则双曲线C 的渐近线方程为.10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为. 11.ABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若 AF x AB y AE =+（,x y ∈R ），则+=x y _________.12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1nn i i S a ==∑，则10a= ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.Abb cdaca cbD C BA证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α-. 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同一条水（用含平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA 的高为 m.有l 和α的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos2cos sin b A b A a B =-，且02A π<<，求()f B 的取值范围. 16. (本小题满分13分)为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表.表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）P 21B表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.17. (本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ． （Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）求证：1//B C 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角1A A B C --的余弦值.ACBB 1C 1A 1D18. (本小题满分13分)已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率； （Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由； （Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围.19. (本小题满分14分)已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：FTMN ；（Ⅲ）求线段FN 的长.20. (本小题满分13分)已知集合{}12,,...,n P a a a =，其中i a ∈R ()1,2i n n ≤≤>.()M P 表示+i j a a 1)i j n ≤<≤（中所有不同值的个数.（Ⅰ）若集合{}1,3,57,9P =，，求()M P ； （Ⅱ）若集合{}11,4,16,...,4n P -=，求证：+ija a的值两两不同，并求()M P ；（Ⅲ）求()M P 的最小值.（用含n 的代数式表示）。