第二讲数的整除
【知识梳理】
知识点1：整除
整数a除以整数b(b≠0)，所得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除(也可以说b能整除a)．如:15÷5=3，所以15能被5整除(5能整除15)．
如果整数a能被整数b(b≠0)整除，则称a是b的倍数，b是a的因数．如15是5的倍数，5是15的因数．
特别的，注意0÷b=0(b≠0)，所以说零能被任何非零整数整除，零也是任何非零整数的倍数．
还有0÷1=0，所以说1能整除任何整数，1是任何整数的因数．
因为整除均在整数范围内考察，所以以下所指之数不特加说明均指整数．
知识点2：“除”和“除以”的区别
1、除。
A除B 表示B是【被除数】，A是【除数】。
2、除以。
A除以B 表示A是【被除数】，B是【除数】。
说明：被除数一般就是"÷" 前面的数，除数就是"÷"后面的数。
【典例剖析】
例1 甲数=2×3×5×7，乙数=2×3×11，甲乙两数的最大公约数是（），最小公倍数是（）。
【分析】考查最大公约数和最小公倍数的求法。
【解】最大公约数是2×3=6，最小公倍数2×3×5×7×11=2310
反馈练习：
１、a=2×3×5，b=2×3×7，a和b的最大公约数是( )，最小公倍数是( )。
（０８年联考）
2、A=2×3×7，B=2×5×7，A和B的最大公约数是( )，最小公倍数是（）。
（０９年联考）
３、如果A=60，B=42，那么A、B的最大公因数是（），最小公倍数是（）；（2020年联考卷）
例２在6、3、5、0、8、7这六个数中选中五个数组成一个能同时被2、3、5整除的最小
五位数( )。
（０８年联考）
【分析】考查整除的性质。
【解】先满足2和5的倍数，个位是0，然后满足3的倍数即可。
答案是：35670
反馈练习：
4、0、2、
5、8四个数字组成的四位数中，能同时被3和5整除的最大的数是（），最小的数是（）。
5、一个能被2和3整除的四位数，它的千位上的数是奇数又是合数，它的百位上的数不是质数也不是合数，它十位上的数是最小的质数，个位上的数是最小的自然数，这个数是（）。
6、有9、
7、2、1、0五个数字，用其中的四个数字，组成能同时被2、3、5整除的最小的四位数是（）。
例３ a与b是互质数，它们的最小公倍数是最大公约数的m倍，则m是( )（０８年联考）
① ab ② a ③ b ④ 1
【分析】考查最大公约数和最小公倍数的求法。
【解】特殊值法。
设a与b分别是2和3，答案是①
反馈练习：
7、自然数a是自然数b的3倍，那么a与b的最小公倍数是( )
A.ab
B.3
C.a
D.b
8、自然数m和n，n= m+1，m和n的最大公约数是（），最小公倍数是（）。
9、m、n是非零自然数，m÷n=1……1，那么m和n的最大公因数是（）。
A. 1
B. mn
C. m
D. n
10、a与b是相邻的两个非零自然数，它们的最大公约数是（），最小公倍数是（）。
例４把46块水果糖和38块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖剩1块，巧克力剩3块。
你知道这个组最多有几位同学吗？
【分析】考查最大公因数。
【解】46—1=45，38—3=35，求得45和35的最大公因数是5。
反馈练习：
1１、被2、3、5除，结果都余1的最小整数是（），最小三位整数是（）。
1２、一筐苹果4个4个拿，6个6个拿，或者8个8个拿都正好拿完，这筐苹果最少有（）个。
1３、一个数被6、7、8除都余1，这个数最小是（）。
例５学生133人，编成几个小组，每个小组的人数相等，每个小组最多能有多少人?一共可以编成多少个这样的小组?
【分析】首先把133分解质因数：133＝19×7，所以根据题意有：可编成7个小组，每个小组19人
【解】每个小组最多能有19人，一共可以编成7个这样的小组。
【过关练习】
1、由10以内的质数和0组成能被
2、
3、5整除的最小三位数是( )。
2、已知a、b是自然数，且b＝a＋1，则a和b的最大公约数是( )，最小公倍数是( )。
3、六年级同学站队，每排5人多2人，每排6人多3人，每排7人则差3人，六年级学生
人数不超过300人，那么他们应是( )人。
4、两个素数，和是18，积是65，这两个数是和
5、把一块长 48 米 , 宽 32 米的长方形土地划成若干相同的正方形而没有剩余 , 至少能
划几块 ?
6、三根铁丝分别长 24 厘米、 30 厘米和 42 厘米 , 现把它们截成同样长的小段 , 不能
有剩余 , 每段铁丝最长是多少厘米？一共可截成几段 ?
7、如果一个长方形的长与宽都是整数厘米，且这个长方形的面积是18平方厘米，请你计算一下，这个长方形的周长是多少厘米？
8、这是学校新学期购买计算器的清单，由于采购员粗心大意，致使有些部分被墨水遮住，但他记得单价都是整数元.你能运用所学的知识推算出这种计算器的单价和总价吗？为什么？
9、上海共青森林公园有一行小树，从第一棵到最后一棵的距离是90米.原来每3米有一棵小树，现要改成每5米一棵，问有几棵小树不要移动（包括两端的两棵）？
【提高练习】
1、四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.
2、在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.
3、能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.
4、能同时被2、
5、7整除的最大五位数是_____.
5、1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.
6、所有能被3整除的两位数的和是______.
7、你能知道边长是整厘米数，面积是144平方厘米的形状不同的长方形（正方形除外）有
多少种吗？
8、如图有一行正整数，任何三个相邻的数字之和都是15.
（1）请你把这行数字中的空格填写完整；
（2）指出x、y、z各代表什么数字？
（3）用x、y、z这三个数字可以组成的两位数或三位数中，能被5整除的数有哪些？
9、试一试：
x 4 y 5 z 6
把下列六个数分成两组，使每组三个数的乘积相等.
66、70、102、105、110、255．
10、三种级别的牛肉干，已知特级、一级、二级分别重1.96千克、2.8千克、3.64千克，三种牛肉干的总价都是280元.现需要把牛肉干按整数克装小袋，要求每小袋价格相等.那么每小袋价格最低是多少元？最多一共可装成多少小袋？
答案：
反馈练习
1、6,210
2、14,210
3、6,420
4、8520，2085
5、9120
6、2190
7、C
8、1，mn
9、A 10、1,ab 11、31,120 12、24 13、169
【过关练习】
1、270
2、1，ab
3、207
4、13和5
5、6
6、6，16
7、长方形的周长是38厘米或者22厘米或者18厘米.
52元，
8、设计算器的金额为a
所以a=2，计算器的单价是58元，总价是522元.
9、3、5的最小公倍数是15，所以90÷15=6，6+1=7.所以共有7棵小树不要移动.
【提高练习】
1、 7
2、 1
3、 990
4、 99960
5、 3367
6、 1665
7、144=1×144=2×72=3×48=4×36=6×24=8×18=9×16=12×12，所以长方形的长与宽分别是：144厘米、1厘米；72厘米、2厘米；48厘米、3厘米；36厘米、4厘米；24厘米、6厘米；18厘米、8厘米；16厘米、9厘米.共7种.
8、（1）
（2）x=5，y=6，z=4.
（3）能被5整除的数的个位数字是0或5，所以满足条件的是465、645、45、65这四个数.
9、 66=2×3×11； 70=2×5×7；
102=2×3×17； 105=3×5×7；
110=2×5×11； 255=3×5×17.
通过比较，可知这六个数的因数中有4个2、4个3、4个5、2个7、2个11和2个17，因此分厂的美足三个数的乘积应由2个2、2个3、2个5、1个7、1个11和1个17这些因数组成，所以66×70×255=102×110×105.
10、先求出1960、2800、3640这三个整数克的最大公因数
所以1960、2800、3640的最大公因数是4×7×10=280. 即每个品种可分为280小袋.特级：1960÷280=7，每袋重7克；一级：2800÷280=10，每袋重10克；二级：2640÷280=13，每袋重13克.280÷280=1（元）.280×3=840（袋）
答：每小袋价格都是1元.一共装成840小袋.。
