3环路定理、电势

1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。 、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。 对于有限带电体而言,电势零点的选择在无限 对于有限带电体而言 电势零点的选择在无限 远点;对于仪器而言电势零点选择在底板上 对于仪器而言电势零点选择在底板 远点 对于仪器而言电势零点选择在底板上. 2、两点间的电势差与电势零点选择无关。 、两点间的电势差与电势零点选择无关。
＋
＋ ＋
0
r<R
q
∞
＋
＋
VP = ∫ E dr =
r
4πε0 ∫r
1 dr 2 r
=
q 4πε0r
r < R: VP = ∫ E dr = ∫ E dr + ∫ E dr
r r R ∞ R ∞
= ∫ 0 dr +
r
R
q 4πε0
∫
∞
R
1 dr 2 r
＋ ＋ ＋
＋
＋ ＋
=
q 4πε0R
q 4πε 0 R q 4πε 0 r
若电荷连续分布
UP = ∫
V
dq 4 πε 0 r
dq = ρdV + +++ v dq+ +++ r v + +++ dE +++ ++ q P
注意： 注意：
1、r 是dq到场点的距离 、 到场点的距离 2、该公式利用了点电荷电势 U = q / 4 π ε r ，这一 0 结果已选无限远处为电势零点， 使用此公式的前 结果已选无限远处为电势零点，即：使用此公式的前 提条件为有限大带电体且选无限远处为电势零点 带电体且选无限远处为电势零点. 提条件为有限大带电体且选无限远处为电势零点.
8－3 静电场的环路定理 电势 －
一、保守力作功的特点： 保守力作功的特点： 1、只与始末位置有关，与中间路径无关。 、只与始末位置有关，与中间路径无关。 2、沿闭合路径，保守力作功为零。 、 闭合路径，保守力作功为零。 路径 例如：重力、弹性力都是保守力。 例如：重力、弹性力都是保守力。
二、电场力的功
所以
r r Wa = A ∞ = ∫ q0 E dl a
a
a
∞
在电场中某点的电势能， 试验电荷 q0 在电场中某点的电势能，在数值上 就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功 .
五、电势、电势差 电势、
r r Wa = ∫ E dl 定义电势 定义电势 ua = q0 a
单位正电荷在该点 所具有的电势能 定义电势差 定义电势差
∞
r r Wa = ∫ q0 E dl
a
∞
单位正电荷从该点到无穷远 电势零)电场力所作的功 点(电势零 电场力所作的功 电势零
电场中任意两点 的 电势之差（电压） 电势之差（电压） ∞ r r ∞r r b r r uab = ua ub = ∫ E dl ∫ E dl = ∫ E dl
a b
a
ua ub
a、b两点的电势差等于将单位正电荷从a点移 两点的电势差等于将单位正电荷 两点的电势差等于将单位正电荷从 点移 到b时，电场力所做的功。 时 电场力所做的功。
电势和电势能的区别： 电势和电势能的区别：
电势是电场的属性，与试验电荷无关； 电势是电场的属性，与试验电荷无关； 电势能是属于电荷和电场系统所共有。 电势能是属于电荷和电场系统所共有。 电荷和电场系统所共有 注意: 注意
为球心的同一球面上的点电势相等. 对称性: 对称性: 以 q 为球心的同一球面 场源为q ……q 场源为 1 、q2 …… n的点电荷系
r r 根据场强叠加原理场 r r E = E1 + E2 + ....... + En 中任一点的场强 场强： 中任一点的场强： ∞ r r r ∞ r r r 电势： 电势： u = ∫ E dl = ∫ (E1 + E2 +L+ En ) dl
rA rA
O
er rA r rB (a)
A
dr
B r
式代入上式,得 把(1)式代入上式 得 式代入上式
Q Ua Ub = 4πε0 dr Q 1 1 ∫rA r2 = 4πε0 ( rA rB )
rB
(2)
上式表明,均匀带电球壳外两点的电势差 与球上 上式表明 均匀带电球壳外两点的电势差,与球上 均匀带电球壳外两点的电势差 电荷全部集中于球心时, 两点的电势差是一样的. 电荷全部集中于球心时 两点的电势差是一样的
b
Wab = ∫ q0 ( E1 + E2 +L + En ) dl L
a
b b b
L = ∫ q0 E1 dl + ∫ q0 E2 dl +L + ∫ q0 En dl
a a a
q0qi 1 1 = W1 +W2 +L +Wn = ∑ L ( ) πε0 ria rib i =1 4
n
电场力作 功,仅与始 末位置有 关,与路径 无关。 无关。
q(r2 r1 ) uP = u1 + u2 = = 4πε0r1 4πε0r2 4πε0r1r2 q q
Y
P( x, y)
r2
θ
O
Qr >> l
r2 r1 ≈ l cosθ r1r2 ≈ r
q
2
q
r r1
+q
l cosθ ∴u = 4πε0 r 2
其中
X
l
u=
2
r 2 = x2 + y2
cosθ = x x +y
2
1 4πε 0
px ( x2 + y )
3 2 2
计算均匀带电球面电场中的电势分布。 例12 、(P.31)计算均匀带电球面电场中的电势分布。 计算均匀带电球面电场中的电势分布 解 本题可以是已知电场求电势的问题。 本题可以是已知电场求电势的问题。
q
E=
r > R:
∞
4πε 0 r
2
r>R
＋ ＋ ＋
∞ r r r r r r = ∫ E1 dl +∫ E2 dl + .......+ ∫ En dl P P P ∞
P
∞
P
= u1 + u2 + ...... + un = ∑ui
i =1
n
各点电荷单独存在时在该点电势的代数和 各点电荷单独存在时在该点电势的代数和. 代数和
(标量叠加 标量叠加) 标量叠加
dl
r
θ r E
a
dA = q0 Edr
a
∴A = ∫ q0 Edr
qq0 1 1 = ∫ qo dr = ( ) 2 4πε0r 4πε0 ra rb ra
rb
q
电场力作功,仅与始末位置有关,与路径无关。 电场力作功,仅与始末位置有关,与路径无关。
2. 点电荷系电场中电场力作的功 点电荷系电场中电场力作的功
六、电势的计算 电势的计算
1、点电荷电场中的电势
r 距q为r（P点）的场强为 E = 为 （ 点
∞ P
q
r r0
P
q 4πε 0r
r
r r 2 0
r
dr = q 4πε 0r
r r ∞ 由电势定义得： 由电势定义得：u = E dl = ∫ ∫ P
q 4πε 0r
2
讨论： 讨论：
大小
q > 0 u > 0 r ↑ u ↓ r →∞ u最小 q < 0 u < 0 r ↑ u ↑ r → ∞ u最大
静电场力做功与路径无关, 静电场是保守力场。 静电场力做功与路径无关 静电场是保守力场。
三、静电场的环流定理
q0沿闭合路径 a c b d a 一周电场力所作的功 r r r r r r c A = ∫ q0 E dl = ∫ q0 E dl + ∫ q0 E dl
acb bda
b
r r r r = ∫ q0 E dl ∫ q0 E dl = 0
r >R ,
E= q 4πε0r
2
qr E= 3 4πε0R q E= 2 4πε0r
求U
( r < R)
q
( r ≥ R)
∞
R
r<R , U =∫
=∫
r R
r
r r R ∞ E dl = ∫ Edr + ∫ Edr
r R
∞ qr q dr + ∫ dr 3 2 R4 4πε0R πε0r
2 2
(2) 球壳内两点间的电势差 球壳内两点间的电势差;
O A dr B R r
(b)
均匀带电球壳内部任意两点的电场强度为: 均匀带电球壳内部任意两点的电场强度为
rB
A
E=0
球壳内部任意两点的电势差为: 球壳内部任意两点的电势差为 Ua Ub = ∫ E dr = 0 r 这表明, 带电球壳内各点的电势均为一等势体. 这表明 带电球壳内各点的电势均为一等势体
保守力的功 = 相应势能的减少
静电力的功=静电势能增量的负值 静电力的功 静电势能增量的负值 b a点电势能 Wa 点电势能 试验电荷 q0处于 a b点电势能 Wb 点电势能 b r r 则a→b电场力的功 A = q0 ∫ E dl = Ep = Wa Wb → 电场力的功 ab
取 W∞ = 0
1. 点电荷电场中电场力作的功 的电场中移动 在点电荷q的电场中移动试验电 点电荷 的电场中移动试验电 电场力作的 荷q0, 电场力作的元功： r r r r q dA = F dl = q0 E dl = q0Edl cosθ 其中 dl cosθ = dr