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电学 1-4 环路定理、电势、电势差

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静电场的环路定理 电势

静电场的环路定理 电势
(8-22)
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即

物理学精品课件之电势、电势差

物理学精品课件之电势、电势差
结论：电场力作功与路径无关，只与试探电荷 的起、终点的电势及试探电荷所带电量 有关。
3. 电势叠加原理
在点电荷系q1.q2.q3
a点的电场：
qn 的电场中q，n
E E1 E2 En q0
q3
a点的电势：
q2
Ua a E dl
q1
E1 dl E2 dl En dl
的功。－－－物理意义
讨论: 标量，有正、负；单位：J·C-1 ; V； 与电势零点的选择有关。
一般情况选 U 0
2. 电势差 U ab
设：U a
E dl
a
U b b E dl
则a、b两点的电势之差
b
U ab U aU b
E dl
a
试探电荷从a b 电场力作功：
Aab Wa Wb q0 (Ua Ub )
二. 电势能
静电场是保守场，静电场力是保守力。
重力场
静电场
重力势能mgh 类比 电势能W
重力做功=重力势能 的变化，即
电场力做功=电势 能的变化，即
AG mgh mgh1 mgh2
Aab Wa Wb
b vv
Wa Wb a q0E dl
b vv
Aab a q0E dl
q
q0 f
－－－电场力做功的特点
2. 静电场的环路定理
a
q0沿acbda闭合
路径运动一周，
q
电场力做功：
A l f dl
r
r dr
f
dl
c E
l q0 E dl q0
E dl 0
l
E dl 0
l E dl 0
静电场 是保守场
Ao q0 (U Uo ) 1.0109 (81010) 80(J )

第 2 章 电势

第 2 章 电势

四、电势梯度 例题
五、电势能
1.定义
静电场是保守场，可引进静电势能的概念。检验
电荷 q0 在静电场中从 a 点移到 b 点电场力作正
功，电势能减少。
定义电势能增量Δ W
W Wb Wa dA
L rb ra
E P mgh
q0 E dl
b a
x2 r 2
r
O
R
x
P

dS
4 0 x 2 r 2
S
dS 2rdr R 2 rdr ( x 2 R2 x) 0 4 0 x 2 r 2 2 0
三、电势叠加原理 讨论
(1) x R时 R2 1 1 R2 2 ( x R ) x(1 2 ) 2 x(1 ) 2 x 2 x R2 x 2x R2 R2 Q (x x) 2 0 2x 40 x 40 x
rb
ra
E dl
q0 (b a )
五、电势能 定义电势能
W q0
即：一个电荷在电场中某点的电势能等于它的电 量与电场中该点电势的乘积。 一般取 r→∞ 时为势能零点，则空间任一点的电 势能为
W q0
r
E dl
五、电势能
2.注意
（1）电势能是属于系统的，为场源电荷和电荷
第 2 章
电势
一、静电场环路定理 二、电势差和电势 三、电势叠加原理 四、电势梯度 五、电势能 六、静电场的能量
一、静电场环路定理
1.静电场力所作的功
与引力场相类似，静电场也是保守场，静电力
是保守力，即静电力作功与具体路径无关。 点电荷电场： dA q0 E dl q0 cos1 dl q E b E e 2 r 40 r q0 Edr

电磁学讲课电势

电磁学讲课电势

4 0 r r
r– r r+
–
–q
O
+
l +q
x
对于离电偶极子比较远的点，r >> l，有
rr r2, r r l cos
则
V
q l co s 40r 2
p cos 40r 2
p r co s 4 0 r 3
pr
4 0 r 3
例5 利用书中例 7-11 结果计算均匀带电圆盘 (R, )
轴线上任一点电势。
得
V
px
40 (x2
y2 )3/2
x x2 y2
–
–q
p O
+
+q
x
所以
Ex
V x
p(2x2 y2)
40 (x2 y2 )5/ 2
Ey
V y
3 pxy
40 (x2 y2 )5/ 2
E Exi Ey j
静电场与万有引力场的比较
静电力
F
Qq
40r 2
er
电场强度
F
Q
E q 40r2 er
（对比地图上等高线、等温线、等压线等）
特点 (1) 等势面 电场线 证明：取很近的两点 a和 b，
Vab Va Vb E l El cos
Δ l
b
a
E
若在同一等势面 Va = Vb，则 cos = 0 即 = /2，得证。
(2) 等势面越密的地方，电场线越密，场强越大。
证明：作等势面时，按规定任意两
b
dA
q0q
a
40
rb dr r ra 2
q0q
40
1 ra

高中物理竞赛初级讲义 电学电势及电势能

高中物理竞赛初级讲义 电学电势及电势能
电势叠加原理：任意带电体电场中某点的电势，等于带电体上各部分电荷单独存在时，在该点产生电势的代数和。
半径为R、电荷为q的均匀带电球壳内外，距球心r处的电势：
【例1】试求电偶极子周围的电势分布．
【例2】试求均匀带电圆环轴线上电势和电场分布。设圆环半径为R，电荷线密度为η。
【例3】半径为R的半球形薄壳，其表面均匀分布面电荷密度为σ的电荷，求该球开口处圆面上任一点的电势．
【例7】如图所示，AB=2l，OCD是以B为中心，l为半径的半圆。A点有正点电荷q，B点有负点电荷-q。
（1）把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力对它作了多少功？
（2） 把单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远，电场力对它作了多少功？
（3）电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R，CD为通过半球顶点C和球心O的轴线，如图所示．P、Q为CD轴线上相对O点对称的两点，已知P点的电势为φP，试求Q点的电势φQ．
【例6】有人设想了一种静电场：电场的方向都垂直于纸面并指向纸里，电场强度的大小自左向右逐渐增大，如图所示．这种分布的静电场是否可能存在？试述理由．
电势差：电场中两点电势的差值叫电势差。
匀强电场中，沿场强方向两点间的电势差：
2.等势面
等势面：静电场中电势相同的点组成的面叫等势面。
判断电势高低的方法：
等量异种点电荷和等量同种点电荷连线上与中垂线上场强及电势的变化规律
3.电势的计算
（1）由定义 ，B点为电势零点，一般为无穷远处
（2）点电荷的电势： ，其中r是场点到电荷q的距离。
电磁学第3讲电势及电势能
一、电势能
1.静电场的环路定理
静电场力是保守力，静电场是保守场。
静电场的环路定理：静电场中场强沿场力对电荷所做功等于电荷电势能的改变量：

简述静电场的环路定理

简述静电场的环路定理

简述静电场的环路定理静电场的环路定理是电磁学中的基本定理之一，它描述了静电场中电场强度的分布以及其与电荷分布之间的关系。

本文将对静电场的环路定理进行简述，重点介绍定理的含义和应用。

静电场的环路定理，又称为库仑定律或环路定理，是由法国物理学家库仑在18世纪末提出的。

定理的核心思想是在闭合路径上，电场强度沿着路径的积分等于路径内电荷的代数和与真空介电常数的乘积。

简单来说，静电场的环路定理可以用以下公式表示：∮E·dl = q/ε₀其中，∮E·dl表示电场强度沿闭合路径的环路积分，q表示路径内的总电荷，ε₀表示真空介电常数。

根据静电场的环路定理，可以推导出一些重要的结论和应用。

首先，对于闭合路径上没有电荷的情况，环路积分必然等于零。

这意味着在没有电荷存在的区域，电场强度沿着任意闭合路径的环路积分都等于零。

这个结论可以用来验证电场的无旋性，即电场强度的旋度为零。

对于闭合路径上存在电荷的情况，环路积分不等于零。

根据路径内电荷的正负情况以及电场强度的方向，可以确定环路积分的正负。

如果路径内的总电荷为正，则环路积分为正，表示电场强度沿路径的方向与路径的方向一致；如果路径内的总电荷为负，则环路积分为负，表示电场强度沿路径的方向与路径的方向相反。

静电场的环路定理可以应用于计算电场强度、电势差等物理量。

例如，在计算电场强度时，可以通过选择合适的闭合路径，利用环路定理求解电场强度的大小和方向。

在计算电势差时，可以利用环路定理将电场强度的环路积分转化为电势差的差值，从而简化计算过程。

静电场的环路定理还可以应用于电场的分布和电势的计算。

通过选择合适的闭合路径，可以根据路径内的电荷分布和已知的电场强度，求解路径上任意点的电场强度和电势。

同时，环路定理也为电场强度的计算提供了一种简便的方法，避免了直接积分计算的繁琐过程。

静电场的环路定理是电磁学中的重要定理之一，它描述了静电场中电场强度与电荷分布之间的关系。

电磁学公式

电磁学公式

电磁学公式
电磁学公式主要包括以下几个方面：
1. 库伦定律（Coulomb's Law）：
F = k * (q1 * q2) / r^2
其中，F为两个电荷之间的静电力，q1和q2为两个电荷的电荷量，r为两个电荷之间的距离，k为库伦常数。

2. 电场强度（Electric Field Strength）：
E =
F / q
其中，E为电场强度，F为电荷所受的力，q为电荷量。

3. 电势差（Electric Potential Difference）：
V = W / q
其中，V为电势差，W为电势能，q为电荷量。

4. 安培环路定理（Ampere's Law）：
∮B·dl = μ0 * I
其中，B为磁场强度，dl为路径微元长度，μ0为真空中
的磁导率，I为通过闭合路径的电流。

5. 法拉第电磁感应定律（Faraday's Law）：
ε = - dΦ / dt
其中，ε为感应电动势，Φ为磁通量，t为时间。

6. 电感（Inductance）：
L = N * Φ / I
其中，L为电感，N为线圈匝数，Φ为磁通量，I为电流。

这只是电磁学公式的一部分，电磁学公式还包括磁场强度、电磁波传播等方面的公式。

实际应用中，还会结合物理常
数和其他公式一起使用。

4 静电场的环路定理

4 静电场的环路定理
B
高压发生器
静电力做正功， 电势能减少； 静电力做正功， ∆A > 0, WA > WB , 电势能减少； 静电力做负功， 电势能增加。 静电力做负功， ∆A < 0, WA < WB , 电势能增加。
电势能和重力势能一样，是一个相对量， 电势能和重力势能一样，是一个相对量，先要规定电 势能为0的参考点 如果参考点p0确定 的参考点。 确定， 势能为 的参考点。如果参考点 确定，则
R2 q1 R1 o Ⅰ Ⅱ
V=
1
r ≤ R1 R1 ≤ r ≤ R2
Ⅲ
r ≥ R2
无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R， 例6 无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为 ，单 试求其电势分布。 位长度上的带电量为 + λ ，试求其电势分布。 解：电场分布也应有柱对称性 (1) r <R (2) r >R (2) r >R
∞ r r r r r r = ∫ E1 ⋅ dl + ∫ E2 ⋅ dl + ....... + ∫ En ⋅ dl P P
P ∞ P ∞ ∞
= u1 + u2 + ...... + un = ∑ ui = ∑
i =1
n
P
4πε 0 ri
qi
各点电荷单独存在时在该点电势的代数和 各点电荷单独存在时在该点电势的代数和, 代数和 注意(电势是一个标量) 电势是一个标量 注意 电势是一个标量
无旋场
2. 电势（Electric potential） ）
2.1 电势能
由环路定理知，静电场是保守场。 由环路定理知，静电场是保守场。 保守场必有相应的势能， 保守场必有相应的势能，对静电场 则为电势能。 则为电势能。 静电力的功，等于静电势能的减少。 静电力的功，等于静电势能的减少。

第二节 电势、电势差6

第二节 电势、电势差6

（2）如果一带电体上的电荷是连续分布
4. 等势面
dq U = ∫ dU = 4πε0 ∫ r
1
在静电场中,各点的电势都有确定的值， 在静电场中,各点的电势都有确定的值，由电势相等的 点组成的曲面,叫做等势面。 点组成的曲面,叫做等势面。
等势面与电场线的关系 ------ 电场线与等势面处处正交，等 电场线与等势面处处正交， 势面越密的区域，从而了解各处电场线越密，场强也越大。 势面越密的区域，从而了解各处电场线越密，场强也越大。
----- 电场中某点电势，在数值上等于单位正电荷在该点所具 电场中某点电势， 有的电势能， 有的电势能，或等于把单位正电荷从该点沿任意路径移至无 穷远处电场力所做的功。叫做该点的电势。 穷远处电场力所做的功。叫做该点的电势。
∞
[例题6-7] 计算点电荷的电场中任一点的电势。
解：电势 U a = ∫ E • dl = ∫ E • dl = ∫
在电场中某点的电场强度等于该点电势梯 度矢量的负值。 度矢量的负值。
例题6 例题6-8 真空中有一均匀带电圆环，半径为R，带电量为q 真空中有一均匀带电圆环，半径为R 带电量为q （设q>0），求圆环轴线上一点a的电势，点a到圆环中心O点 q>0），求圆环轴线上一点 的电势， 到圆环中心O ），求圆环轴线上一点a 的距离为x 的距离为x。
解：
λdl dU = = 4πε0r 4πε0r
dq
λ ⇒U = ∫ dU = ∫ dl 4πε0r 0
= q 4πε0r = q 4πε0 x + R
2 2
2πR
[例题6-9] 若已知距圆环O点为x处的P点的电势，试用 例题6 若已知距圆环O点为x处的P 场强与电势的微分关系求P 场强与电势的微分关系求P点的场强。

环路定理电场强度的线积分静电场的环流为零电势环路定理

环路定理电场强度的线积分静电场的环流为零电势环路定理

环路定理电场强度的线积分电势静电场的环流为零环路定理其实是我们熟悉的静电场是保守力场的另一种数学描述形式. 有了高斯定理和环路定理, 静电场就有了一个完整的描述.例题 17-4-1 圆环均匀带电,半径为R,电量为q,求轴线上的电势.xRr = R2 + z2zzyϕ=14πε 0ηdl∫L r=4πε 01 R2+z2∫Ldq=q4πε0 R2 + z2例题 17-4-2 求半径为R总电量为q的均匀带电球在球内外的电势分布.∞解:由例题17-3-1,可知电场强度分布为E=⎧ qr⎪⎪⎪⎨4πεq0rR3 ⎪⎩ 4πε0r3, ,r<R r>R取参考点为无穷远,电势为ϕ(r) = ∫r∞ E ⋅ dlPrR路径选为沿径向(图中橙色线), 场点在球外时,电势为ϕ(r)=∫r∞qdr4πε0r 2=q4πε0r场点在球内时，电势为ϕ(r)=∫rRqrdr4πε 0 R 3+∫R∞4πqεd0rr 2=q (3 −8πε 0 Rr2 R2)六.电场线 规定电场线上每一点的切线方向与该点的E的方向一致.-qq-q2q三个点电荷位于等边三角形的顶点上, 电荷大小都为 q .从中心附近的电场的方向可以简单的看出, 位于中心的点电荷处于不 稳定平衡. 定性上看黑色虚线所示球面上的通量为零.电场线的三条性质：(1)电场线始于正电荷或无穷远,终于负电荷或无穷远,在无 电荷处不中断.q-qS1S2S3规定过任一面元的Ｅ通量与通过该面元的电场线数目成正比，则 电场线的疏密程度能反映电场强度大小．(2)电场线不相交, 否则试探点电荷受力有两个可能的方向.(3)电场线不闭合.七.等势面 空间中电势相等的点的集合构成了等势面.点电荷的等势面 等势面与电场强度处处正交. 作业: 17-13, 17-14, 17-15《费曼物理学讲义》 R. P. Feynman第二卷是关于电磁学的.。

所有分类 环路定理 电势能 电势

所有分类 环路定理 电势能 电势
所有分类 环路定理 电势能 电势
Wq0a b Ed clo s
dcl o s dr
Wq0ab Edr
点电荷的场
q
Wq0ab 410rq2dr
q0q 1 1
40 ra rb
b
rb
dl r
ra
q0 a
dr F
E
W q0q 1 1
40 ra rb
电场力的功只与始末位置有关，而与路径无关，电场力为保守力，静电场为保守场。
电场力是保守力，可引入势能的概念。
引力是保守力，作功为
W 引[Gm1 rm b2(Gm1 rm a2)]
取无穷远为零势能点，则引力势能为：
电场力作功
Ep
G m1m2 r
W q0q 1
40 ra
r1b (4q0q0rb
q0q )
40ra
1.电势能Ep
定义： 单位：焦耳，J
EP
q0q
40r
为点电荷电势能（选无穷远为零势能点）
r
r
r
0R E2dr d l/d /r/E / 高斯面
R410 rq2dr
q
4 0 R
•II区：球壳外电势
II
rR
选无穷远为电势 0 点，
U2 r E2dl
I
qo RE
r
r
r
rE2dr d l/d /r/E / 高斯面
1
r 40
rq2dr
q
4 0 r
II
I
qoR
II
I
qoR
qE
4 0 R 2
qV 4 0 R
oR
r oR
r
例3 如图，两个同心的均匀带电球壳，半径分别

5、电势

5、电势

b rb q ra
r+dr
r
v dl
q a
0
r r r r dA = F ⋅ dl = q0 E ⋅ dl = q0 Edl cos θ = q0 Edr
第一章 静电场的基本规律 5
q0从a移动到 的过程中电场力做的总功为： 移动到b的过程中电场力做的总功为 移动到 的过程中电场力做的总功为：
A = ∫ dA = ∫ q0 Edr
r r r r
q 4πε 0 r
2
dr =
q
q 4πε 0 r
dr = q 4πε 0 R
16
2.当r<R 时 当
V =∫
∞ r r r r
r r ∞ r ∞ R ∞ r E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dr = ∫ Edr = ∫ 0dr + ∫
R
4πε 0 r
2
第一章 静电场的基本规律
例2：求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。 求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。
b
= A1 + A2 + L + An
第一章 静电场的基本规律 7
qn qn q0 q1 q1 q2 q2 A= − + − + L + − 4πε 0 ra1 rb1 ra 2 rb 2 ran rbn
λ 由高斯定理知场强为： 解：由高斯定理知场强为： E = 2πε0r
方向垂直于带电直线。 方向垂直于带电直线。
若仍然选取无穷远为电势零点， 若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将 为无限大而失去意义。 为无限大而失去意义。 点为电势零点， 因此可以选取某一距带电直导线为r0的p0点为电势零点， 点的电势为： 则距带电直线为r 的p点的电势为： P v v P′ v v P v v 0 0 r P VP = E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl P P P′ P0 P v v P 0 0 P′ = 0 + ∫ E ⋅ dl = ∫ Edl

环路定理 电势能差 电势差

环路定理 电势能差 电势差

q
dl r
r dr F
E

电场力的功只与始末位置有关，而与路径无关。 2.任意带电体系的场 对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带 电体，可看成是由无数电荷元组成。
由场强叠加原理可得到电场强度的线积分（移动单 位电荷的功）为：
3

b
aபைடு நூலகம்
b E dl ( E1 E2 En ) dl a b b b E1 dl E2 dl En dl Aab
a
电场力是保守力
5
二、电势能和电势
电场力是保守力，可引入势能的概念。 1.电势能差
b
q0 a
E
设在静电场中，将检验电荷 q0 从 a 点沿任意路径移动 到 b 点，电场力作功为Aab。 定义: 电荷 q0 在静电场中a 、b两点间的电势能差定义为， q0从 a 点沿任意路径移动到 b 点的过程中， Wa - Wb等于电场力所作 的作功Aab 电势能差（势能增量的负值）等于保守力所作的功。
•对无限带电体不宜选无穷远为电势零点。此时只有 电势的相对值（即电势差）有意义。
4.电势能与电势的区别：W 可正可负，取决于 q 和 q0 ； U只取决于场源电荷 q 。
10
另一方面： 当已知电势分布时，可由电势差求出点电荷在电 场中移动的过程中电场力所做的功：
Aab q0
b
a
E dl q0 (U a U b )
a
式中：Wa、Wb是电荷q0分别在a点和b点时,q0与电场所组成的系统 的静电势能。
b
2.电势能
电势能也是一个相对的量，若选择一个零势能 点作为参考。 若令 W 0, 即选定b点为电势能零点。 b 则，电荷q0在此系统的电场中a点的电势能为：

第七章 环路定理

第七章 环路定理

c
dl
W =
=
q0 Edr
a
rb ra
b
q
r
C

E
ra
a

qq0 1 1 q qo dr = ( - ) 2 4πε0 ra rb 4πε0 r
2
下午12时44分
推广
Wab
b
q (E
0 a
b
1
+ E2 + +En ) dl
b
q0 E1 dl q0 E2 dl
q
1 4 0 ( R 2 x 2 )1 / 2 q

x
40 R 2 x 2
y
R
o
x
p

x
z
下午12时44分 18
讨论
★若x = 0， 由U p
q 4 0 R 2 x 2
q
R
o
x
得：U p
q 4 0 R
而E 0
电势分布
p

x
场强分布
例题2均匀带电球面内外的电势分布。带电量为Q，球面半径为R。 解∶由高斯定理得：
下午12时44分 9
（2）电势差：
p a
U ab U a U b
p
p
U ab E d l E d l a
b
b E dl E dl
p
U ab U a U b
物理意义：

b
a
E dl
将单位正电荷从a 点移到b 点静电场力作的功。 电势是相对的，与零点的选择有关。 电势差是绝对的，与零点的选择无关。
u 所以 Ex x

初中电学公式大全

初中电学公式大全

初中电学公式大全电学是物理学的一个重要分支，研究电荷、电场、电流、电压等与电有关的现象和规律。

在初中电学的学习中，我们会遇到许多与电有关的公式，这些公式可以帮助我们计算电路中的各种参数。

下面是初中电学常用的一些公式大全。

1.电量公式：Q=n×e其中，Q代表电量，n代表电荷数目，e代表元电荷的大小（e=1.6×10^-19C）。

2.电流公式：I=Q/t其中，I代表电流，Q代表通过某一点的电量，t代表通过该点的时间。

3.电阻公式：R=ρ×L/A其中，R代表电阻，ρ代表电阻率，L代表导体长度，A代表导体的横截面积。

4.电压公式：V=I×R其中，V代表电压，I代表电流，R代表电阻。

5.电功公式：W=V×Q其中，W代表电功，V代表电压，Q代表电量。

6.欧姆定律：U=I×R其中，U代表电压，I代表电流，R代表电阻。

7.等效电阻公式（串联）：R=R1+R2+R3+...在串联电路中，总电阻等于各电阻之和。

8.等效电阻公式（并联）：1/R=1/R1+1/R2+1/R3+...在并联电路中，总电阻的倒数等于各电阻倒数之和。

9.功率公式：P=V×I其中，P代表功率，V代表电压，I代表电流。

10.电能公式：E=P×t其中，E代表电能，P代表功率，t代表时间。

11.等效电容公式（串联）：1/C=1/C1+1/C2+1/C3+...在串联电路中，总电容的倒数等于各电容倒数之和。

12.等效电容公式（并联）：C=C1+C2+C3+...在并联电路中，总电容等于各电容之和。

13.高斯定理：Φ=E×S=(Q/ε₀)×S其中，Φ代表电通量，E代表电场强度，S代表电场强度的面积，Q代表电场强度穿过的面积。

14.库伦定律：F=(k×Q1×Q2)/r^2其中，F代表电力，k代表库仑常量（k≈9×10^9N·m²/C²），Q1和Q2代表两个电荷的大小，r代表两个电荷之间的距离。

静电场的环路定理和电势

静电场的环路定理和电势

若令 E p(b) 0
(0)
(0)
Ep(a)
(a)
F dl
q0
E dl
(a)
3 电势
定义：把一个单位正电荷从静电场中 P1点移到 P2 点，电场力作的功等于 P1点到P2点电势的减量。
P1
P2
两点之间的电势差， 并不仅由这两点处的电场决定， 它取决于电场的分布。
设 P2为电势为零的参考点，2 =0
对无限大电荷分布， 选有限远 的适当点为电势零点。
实际上：常选大地或机壳的公共线 为电势零点。
例1：求点电荷 q 的电势分布。
【解】 利用电势定义（积分法）
取无限远为电势零点,
()
E dl ( p)
r
q
4 π 0r 2
dr
q
4 π0r
0
q
r
P
∞
r dl
q> 0 r
q< 0
--------点电荷的电势公式
取某一距离直线为 r0 的 P0点的电势为零。
任一点 P 的电势
P0
rP
Edl P
P P0
P’
P0
Edl Edl
P
P
r0
r0
0
dr
r 2 π0r
rP
P’
r0
> 0
0 r0
r0
dr
r 2 π0r
P0
r > r0 的点，电势为负,
r = r0 的点，电势为零,
由场强叠加原理
可以证明：
任意点电荷系或连续带电体的静电场也是保守力场。
常用下式表示静电场 的保守性：
……称为静电场的环路定理

电势叠加原理

电势叠加原理

a
a
路径上各点的总场强
例：点电荷 q 场中的电势分布
o
rr
P
r E
解：
r E
=
r qr
4πε 0 r 3
q
U
∝1 r
令
U
U
=
∞=
∞r ∫E⋅
0
r dl
沿径向积分
rr
=
∞
∫
qr
⋅
dr
P
r 4πε r3
0
∞
=∫
qdr
=
q
r 4πε r2 4πε r
0
0
o
r
电势叠加原理
例1.
解：
简例
2. 连续分布电荷的电场中的电势
=
q
4πε0(R2 +
x )2
1 2
例3.
带电薄圆盘
解：
例4.
带电薄球壳
例5.求均匀带电球壳腔内任意点电势
已知： R1, R2 , ρ
求：U P
R2
ρ
r o R1
解：将带电球壳视为许多均匀带
P
dr
电球面的集合，
取半径 r ，厚 dr 的球壳为电荷元：dq = ρ ⋅ 4πr2 ⋅dr
令 U ∞ = 0 ，dq 在腔内产生的电势：
dU = dq = ρ ⋅ 4πr 2dr = ρrdr
4πε 0 r
4πε 0 r
ε0
∫ ∫ 由叠加原理：U =
dU
=
R2 ρ rdr ε R1 0
=
ρ 2ε 0
( R2 2
−
R12 )
即：腔内各点等势
解：
等势面 等势面

静电场的环路定理数学表达式

静电场的环路定理数学表达式

环路定理，又称电路定理，是古典电学中和静电学中一种基本定理。

它指出，通过任何一个回路的电势差，等于那个回路上所有电压源之和，减去所有电阻电压降的结果。

环路定理的数学表达式为：
U = Σ
E − ΣV
其中，U表示回路中任意一点间的电势差，ΣE是表示电路中电源的电势和，而ΣV则表示电路中所有电阻电压降之和。

环路定理可以让我们更有效地了解和分析电路，因此被广泛应用于电子学中。

环路定理描述了电路中特定电势点处的电势，即该点处的总电势就是所有电势源的总和减去所有电阻的电压降的总和。

环路定理的数学表达式可以用来求解任意多个任意形状的电路中任意一点间的电势。

例如，在一个由十个恒定电阻组成的电路中，若电阻1至电阻8间的电势上升了4V，电阻2至电阻8间的电势降低了2V，则用环路定理可获得该环路的总电势U不变，270V不变。

环路定理的应用也广泛，几乎可以用来分析任何类型的电路，甚至包括以太网电路系统、静电绝缘体电场等。

总之，环路定理是一种基本的古典电学定理，它的数学表达式 U =
Σ
E − ΣV 能够帮助我们求解任意形状电路中任意一点间的电势差，其应用范围也极为广泛。

因此，环路定理以及它的数学表达式，对于我们正确理解和分析电路非常重要。

(化学)§14 电势及其梯度

(化学)§14 电势及其梯度


dl
a
单位正电荷在该点 所具有的电势能
单位正电荷从该点沿任意 路径移至电势能零点处的 过程中电场力所做的功
电势也是相对的，其值与电势的零 点选择有关。
第五章 静电场
13
物理学
第三版
电势零点的选取：
1-4 电势及其梯度
有限带电体以无穷远为电势零点，实际
问题中常选择地球电势为零.
VA
5
物理学
第三版
1-4 电势及其梯度
第五章 静电场
6
物理学
第三版
1-4 电势及其梯度
静电场的环路定理


q0 E dl q0 E dl
ABC
ADC
B
C
q0( E dl E dl ) 0
ABC
CDA
DE
ห้องสมุดไป่ตู้
A
l E dl 0
结论：沿闭合路径一周， 静电场力是保守力
W qq0 rB dr
4πε0 r rA 2 qq0 ( 1 1 )
4πε0 rA rB
1-4 电势及其梯度
B

rB
dr
dl

E
r
结论: W仅与q0的始末
er
q0
位置有关，与路径无关. q rA A
第五章 静电场
2
物理学
第三版
点电荷系
1-4 电势及其梯度
第五章 静电场
3
物理学
WAB
q0
AB E dl (VB VA )
q0 B
令 VB 0
零点
VA A E dl
VA
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§1.4 环路定理 电势 (四学时)
§1.4.1 静电场的环路定理 §1.4.2 静电势能 §1.4.3 电势和电势差 §1.4.4 电势的计算 §1.4.5 等势面 §1.4.6 电势梯度
从功和能的角度研究静电场的性质
§1.4.1 静电场的环路定理
一、什么是保守力 ？
力所做的功只与物体的始末位置有关，而与所经历的
qE cos
a
b dl qlEcos
pE cos
W pE
当 p 和 E 同向时，W 取最小值 -pE，电偶极子达到稳
定平衡，即外电场的作用总是使电偶极子转向外场方向
§1.4.4 电势的计算
一、点电荷电场中的电势
选无限远为电势零点，点q电荷电量为 q，其场强为
E 40r 2 er
离点电荷为 r 的 P 点的电势为 积分路径沿径向
只与路径的起点和终点的位置有关，而与路径无关。
静电力是保守力，静电力场是保守力场。
式中
Aab
b E dr
称为场强沿任意路径
L 的线积分
q0
a
三、静电场环路定理
考察：试验电荷在电场中运动经过闭合路径回到原来
位置时，电场力做功 ？
A
F
L
b
dr
q0
E dr
L a
L1
b
q0 q0
例 4 两无限长同轴圆柱面，半径分别为 R1 和 R2。圆
柱面均匀带电，线电荷密度分别为 1 和 2 。
求：1)电势分布；2)两圆柱面之间电压。
解：1) 由高斯定理可得场强分布
E
0
1
2 0r
(r R1 ) (R1 r R2 )
方向 垂直 于圆
R1 2 1 R2
P0
r
1 2 2 0r
(r R2 )
当 r R2 时，选类似积分路径
R2
E
dr
R2 1 2dr
r
r 2 0r
1 2 ln R2 0 20 r
2) 两圆柱面之间电压
U R1 R2
R2
E
dr
R2
1
dr
R1
R1 2 0r
1 ln R2 2 0 R1
R1 2 1 R2
P0
r
P’ P
0 R1 R2
r
例 5 一无限大均匀带电平面，电荷面密度为 。若
1. 定义：从点 a 到点 b 移动单位正电荷时静电场力
所作的功，或电场中单位正电荷在 a, b 两点的电
势能之差称为 a, b 两点的电势差。
b
电势差（电压）
Uab a b
E dr
a
2. 电场中任意两点 a, b 的电势差等于把单位正电荷 从 a 点沿任意路径移动到 b 点静电场力所做的功， 即等于场强沿任意路径从 a 点到 b 点的线积分。
以该平面为电势零点，求平面周围空气电势分布
解：
E
2 0
20
x0 x0
O
x
在 x 0 区域
0 dx x
x 20
2 0
在 x 0 区域
0
dx
x
x 20
2 0
例 6 半径为 R 的无限长圆柱形带电体，电荷体密度为 Ar(r ≤ R)，r 为距轴线距离，A 为常数。选距轴线距 离为 L(L > R)处为电势零点。计算圆柱体内外各点的 电势。
通常：理论计算有限带电体电势时选无限远为参考点； 实际应用或研究电路问题时取大地、仪器外壳 等为电势零点。
3. 电势和电势能的关系
点电荷 q0 在电场中的电势能为
电势能零点
电势能 Wa q0 a
E dr
W q0
Байду номын сангаас
电势零点即电势能零点
4. 电势单位 SI 单位：伏[特] (V)
注意 电势是描述电场能量性质的 物理量，与试验电荷无关
路径无关，这类力称为保守力。
例如：万有引力、弹性力、静电力等
b
二、静电场保守性的证明
1. 点电荷产生的电场
q
电场力所做 的功
dA F dr F dr cos dr cos r'r dr
a
dA
Fdr
q0 Edr
qq0
4 r
2
dr
0
dr
c
q0
θ
c’dr F
dA
Fdr
q0 Edr
qq0
4 r 2
E dr
q
r
4 0r
(r R)
若 P 点在球面内(r < R)，由于球面内外场强的表达
式不同，所以电势的定义式中的积分要分成两段
E dr
r R
E
dr
E dr
r
R
q
O R
r
P
0
q
R 4 0r
2
dr
q
(r R)
4 0 R
OR
r
均匀带电球面内各点电势相等并等于球面上电势
例 8 一均匀带电直线，长为 L，线电荷密度为 ，求
直线延长线上到其一端距离为 d 的一点 P 的电势。
解：在直线上取电荷元 dl ，它到 P 点 距离为 l ，在 P 点产生的电势为
d dq dl 4 0l 4 0l
d dL dl
40 d l
L dl
d P
l
ln d L 4 0 d
3. 把电荷 q0 从 a 沿任意路径移动到 b 静电场力所做
的功为
Aab q0 (a b )
电势
1. 定义：电场中任一点电势等于把单位正电荷自该点 沿任意路径移动到电势零点静电场力所做的功，或
等于场强从该点沿任意路径到电势零点的线积分
a
电势零点 E dr
a
2. 电势零点的选择 原则：任意，视研究问题的方便而定；
E dr
r
r
q
4 0r
2
er
dr
r
q
4 0
dr r2
q
4 0r
点电荷 的电势
q 4 0r
q 为正， 为正，r 越小， 越大；
q 为负， 为负，r 越小， 越小
二、任意带电体电场中的电势
1. 场强积分法（由定义）
步骤：(1) 计算场强； (2) 选择合适的路径 L； (3) 分段积分(计算)。
力所做的功。
b
b
W
Aab
a F dr q0
E dr
a
q0 在电场中 a, b 两点的电势能之差等于把 q0 从 a 点移至 b 点过程中电场力所做的功。
3. 单位：SI 单位：焦[耳] (J) 其他常用单位：电子伏特 (eV)
b
电势能差 Wa Wb Aab q0 a E dr
例 9 均匀带电球层，内半径为 R1，外半径为 R2，体电荷密度为 。求图中 a 点和 b 点电势
解：取薄球壳，半径为 r，厚为 dr，可视为均匀带电球面， 其带电量为
dq 4r 2dr
对 a 点，此带电球面产生的电势为
R2
a
O R1
r
ra br
rb dr
d dq 4r 2dr rdr 4 0r 4 0r 0
(2) 根据点电荷电势公式由 dq 求出 d
(3) 根据电势叠加原理由 d 求出 d
例 7 点电荷 q1、q2、q3、q4 均为 4.0109C 放在一正方 形的四个顶点上，各顶点与正方形中心 O 的距离均为
5.0cm. (1) 计算 O 点的电势; (2) 将试验电荷 q0 1.0109C 从无限远处移到 O 点，电场力做的功为多少？(3) 电势
柱面
P
因电荷分布不局限于有限 空间范围，如果仍选无限远为
电势零点，则由积分
(
P
E
)
dr
，可知电势为无限大而失
去意义。把电势零点选在有限远处，可得到空间各点的
电势值。例如我们选 r = R2 处的 P0 点作为电势零点
当
r
P0RE1
时，选如图所示积分路径
dr
P' E dr
P0
E
解：内部场强，取半径为 r < R，
R
高为 l 的同轴圆柱面为高斯面
2rlE q 0
r l
q
r
Ar2rldr
0
2Alr 3
3
E 1 Ar 2 (r R)
3 0
外部场强，取半径为 r > R，长 为 l 的同轴圆柱面为高斯面
R r
2rlE q 0
l
q R Ar2rldr 2AlR3
结果违反环路定理 E d r 0，故而假设不成立。 L
所以，均匀电场具有平行而等间距的电场线。
§1.4.2 静电势能
1. 因为静电场的保守性，或静电场力作功与路径无关， 故任一电荷在静电场中都具有势能，称为电势能
2. 静电力作功和电势能增量的关系：
q0 在静电场中移动时，它的电势能的减少等于电场
a
电势零点 E dr
a
例 3 求均匀带电球面的电势分布。设球面半径为 R， 带电量为 q
解：场强已由高斯定律 求得
E
0
q
4 0r
2
er
(r R) (r R)
选无限远为电势零点。由于在球面外直到无穷远处场
强的分布都和电荷集中在球心处的点电荷的场强分布
一样，因此球面外任一点的电势与点电荷的结果相同
dr
0
Aab
b
dA
qq0
a
4 0
b1 a r2
dr
q
qq0 ( 1 1 )