大学物理静电场环路定理 电势能及电势

WAB = −( EPB − EPA ) = EPA − EPB = q0 ∫
AB
q0
B
A
K K E ⋅ dl
K E
电荷在电场中一点的电势能与该电荷的电荷量、电荷所 在位置和电势能零点的选择都有关系。电势能的参考零点选 择是任意的。若选择 EPB=0 ，则A点的电势能为：
E PA = q0 ∫
B
A
K K E ⋅ dl
黄山学院教学课件
大学物理学电子教案
电势及其计算
7.4-1、2 静电场的环路定理 电势能 7.4-3 电势
复 习 7.2 电场强度通量 高斯定理
• • • • 电场线 电场强度通量 高斯定理 高斯定理应用举例
7.3 密立根测定电子电荷的实验
7.4 静电场的环路定理 电势能 电势
一、静电场力作功 一、静电场力作功
R
O
σ
x
P
K E (P)
x
均匀带电圆盘在轴线上 x 位置处的场强为 K ⎛ ⎞ K x σ E (P) = 1− ⋅i ⎜ ⎟ 2 2 2ε 0 ⎝ R +x ⎠ 无穷远处电势为零，取正向x轴为积分路径，对 x 作积分 得到 P 点的电势： ∞ σ ⎛ ⎞K K σ x 2 2 1 V (P) = ∫ i dx R x − ⋅ = + −x ⎜ ⎟ 2 2 x 2ε 2 ε 0 ⎝ 0 R +x ⎠
要注意参考点的选择，只有电荷分布在有限的空间时，才 能选无穷远点的电势为零； 积分路径上的电场强度的函数形式要求已知或可求。 步骤： 利用电势的叠加原理 (1) 把带电体→分为无限多dq dq V = (2) 由dq → dV Q 4πε r 0 (3) 由dV → V = ∫ d V 要求电荷的分布区域是已知的； 当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷远点作为电势的 零点；而当激发电场的电荷分布延伸到无穷远时，只能根据具 体问题的性质，在场中人为选择某点为电势的零点。

静电场力的功
02
电场力的定义
电场力是电荷在电场中受到的 力，其大小和方向由电场强度
和电荷的乘积决定。
电场力的大小为 F=qE，其 中 F 是电场力，q 是电荷量，
E 是电场强度。
电场力的方向与电场强度的方 向相同，即由正电荷指向负电
荷。
电场力做功的计算
电场力做功可以通过积分计算，即 W=∫F·dr，其中 W 是电场力做的功， F 是电场力，dr 是位移矢量。
在匀强电场中，电场力做功可以通过 W=qEd计算，其中 W 是电场力做 的功，q 是电荷量，E 是电场强度，d 是位移。
在非匀强电场中，需要计算电场力在路径上的积分来计算电场力做的功。
电场力做功的特点
01
电场力做功与路径无关，只与初末位置的电势差有关。
02
电场力做功是标量，没有方向。
03
电场力做功的过程是能量转化的过程，可以转化为其他形式 的能量。
电势能
03
电势能的定义
电势能是指电荷在电场中由于位置差 异而具有的能量。
电势能是电荷与电场共同具有的能量， 其大小由电场强度和电荷量共同决定。
电势能是相对的，与零电势点的选择 有关。
电势能的变化规律
1
电场力做功与路径无关，只与初末位置有关。
2
电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电 势能增加。
3
静电力做功与电荷的运动路径无关，只与初末位 置有关。
电势能与电场力的关系
01
电场力做功等于电势能的减少量。
02
电势能的变化量等于电场力做的功。
03 电势能与电场力做功的关系是能量守恒定律在静 电场中的具体表现。
THANKS.
静电场的环路定理、静 电场力的功、电势能

Va E dl a E dl
讨论
a
a
1)电势零点的选择(参考点)
任意 视分析问题方便而定
参考点不同电势不同
10
通常：
理论计算有限带电体电势时选无限远为参考点
实际应用中或研究电路问题时取大地、仪器外 壳等
2)电势的量纲
SI制：单位 V (伏特)
量纲
V
W q
L2 MT
3I
1
3)电势是一个长程物理量
b b
a
f dl q E dl Wa Wb
a
a
b E dl
Wa
Wb
a
q
q 与试验电荷无关
根据静电场 Wa Wb 的环路定理 q q
E dl Va Vb
a
称 a b两点电势差
若选b点的势能为参考零点 则
a点的电势：
势能零点
势能零点
VA VB
11
rB rA
E
dr
Q 4πε0
rB dr rA r 2
()
4πε0 rA rB
（2）r R
VA VB
rB rA
E
dr
0
o A B A dr B
R
drrA r
r
rB
20
（3）r R 令 rB V 0
Q 1 1
VA VB
（4）r R
()
4πε0
rA R
q
x2 R2
x
R，VP
q 4πε0 x
V
dl
q
q
4πε0 R
4πε0 x2 R2
R
r
xo x
Px
o
x

(
2 0
x2 R2 x)
根据电场与电势的微分关系：
V
x
Ex
x
[1
2 0
] x2 R2
教学基本要求
第六章热力学基础
一 掌握描述静电场的两个 物理量——电场强度 和电势的概念，理解电场强度E 是矢量点函数，而
③电势高低的判断：沿电力线电势降低。
正电荷产生的电场各点的电势为正，∞处最小为0。
负电荷产生的电场各点的电势为负，∞处最大为0。
④电势是标量，单位为伏特。
2、电势差（电压）
第六章热力学基础
电场中两点的电势差：
Vab Va Vb
E
a
dl
E
b
dl
b
E
a
dl
Aab q0
定义：
Vab Va Vb
dalb与nd0夹 n, a角c为 dl
考虑电势沿 dl方向的变化率（
方向导数）
dV dV dn dV cos dV
dl dn dl dn
dn
电势梯度：
dV dn
n0
方向等于电势升高第最六快章的热方力向学。基础
2 场强与电势梯度的关系：
令q0从a b, dAab F dl q0E dl q0Edn dAab q0 (Va Vb ) q0dV E dV (1) dn
Vp
dq
4 0r
①由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算。
dq
V p
4 0r
qi
i 4 0ri
连续带电体 点电荷系
前提条件为有 限大带电体且 选无限远处为 电势零点.
②根据已知的场强分布，按定义计算。 Vp
Edl

B r R
r
37.
讨论： 讨论：
q
4πε0R 结论 V = q 4πε0r
(r < R)
V
Q 4πε0 R
(r ≥ R) (记住 记住) 记住
Q 4πε 0 r
o a. r < R 等势体 ； r >> R“点电荷” 点电荷”
电势分布？(设V∞= 0 ) 电势分布？ 设 Ⅰ法 叠加法
利用上述结论 V = ∑Vi
v E
v v q0 ( ∫ E ⋅ dl +
ABC
v v v v ∫ E⋅ dl ) = q0 ∫ E⋅ dl =0
L CDA
即
v v v 的环流为零） ∫ E⋅ dl = 0 （ E 的环流为零）
l
说明：静电力 保守力， 说明：静电力——保守力，静电场 保守力 静电场——保守场 保守场
29 .
三. 电势能
q dl 任取点电荷 dq = o 2πR dq dV = 4πε0r 积分中： 与 积分中：r与d q 选取无关 常量
b. 线积分法 利用P.159例1结论 例 结论 利用 积分路径 P
x轴 轴
R
P
x
x
无穷远
35.
讨论 结论
V=
q 4πε0 x + R
2 2
记住） （记住）
q 4 πε0 R
V
q 4πε0 x2 + R2
a. E 的分布函数已知, 用线 积分法较方便
R
rA
r r
rB
b. 选径向为积分路径 v v v v 则 dl = dr er ⋅ dr = dr oA B R r c. 对球面内一点B : 分段积分 dr A v R ∞ v ∞ VB = ∫ E ⋅ dl = ∫ E1 ⋅ dr + ∫ E2 ⋅ dr

a
a 20

V Edl Edr pp
p
R
z
1q
y

4 0 r
xz

2 ) 定义法:

1
Vp

4 0r
dq
q

qx
x 40(R2x2)3/2dx

q 4
0
1 (R2 x2)1/2
x
o q

4 0 R2 x2
特例:
★若x = 0，
得：Vp

q
40R
W A B q 0 A B E d l E p A E p B ( E p B E p A )
试探电荷q o 在电场中某一点的静电势能在数值上等于 把试探电荷q o 由该点移到零势能点静电力所作的功。 若选 B 点为电势能零点，则
B
E P A q 0A E d l q 0A B E d l
E内 0
p
R
q
z
x
z

4 0 R2 x2
V 0
场强分布
电势分布
q
例题2均匀带电球面内外的电势分布。带电量为Q，球面半径为R
。
解∶由高斯定理得：
p
E外

1 4 0
Q r2
1 V
40
dV
r
1）对球内的一点P，其电势为:
r
r dWFdlq0Edl
Q
p

VEdr drrC

q0Q
1 (1)
20 20
4 0 r ra
2、电势、电势差 ：
V dV （1）、定义：
电势的物理意义：

电子伏特是近代物理学中能量单位
19
19
J
一个电子伏特的能量
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V ( P)

P

E dl E dr P Edr P
q q dr 2 r 4 πε r 4πε 0 r 0
电场指向电势降落方向
沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功， 正电荷的电势能减少，故电势减小。
9.4 静电场的环路定理和电势
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.4 静电场的环路定理和电势
电势差
9.5.2 电场强度与电势梯度 E
U AB VA VB V
U AB E l El cos
9.4 静电场的环路定理和电势
电势是相对的，电势差是绝对的
电势差 U V V PQ P Q
单位：1V＝1J/C
P
Q
E dl
二、电势零点 1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无 穷远处。 VP E dl 设Q点在无限远，VQ=0
P
2、 电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点， 合理选择电势零点可使问题简化。
y
P( x, y)
p cos V 4 π 0 r 2
在图示的Oxy坐标系中
q
r
O
r

r
q
r x y
2 2
2
l
x
cos
x x2 y 2
px V 2 2 3/ 2 4 π 0 ( x y )
9.4 静电场的环路定理和电势

r r r r－ r l cos
r

r
r+
q l
q+
3. 连续分布电荷电场中的电势 利用电势叠加原理：
dV
dq
dq VP 4 π 0 r
r
P
使用此公式的前提条件为有限大带电体且选无限远 处为电势零点；积分是对整个带电体的积分。 E 利用电势定义式： dl “ 0 ” P
qr E1 3 4 π 0 R
r
q E2 2 4 π 0 r
V1 E1dr E 2 dr
r R
R

q R

R
r
qr q dr dr 3 2 R 4 π r 4 π 0 R 0
2
q q q (3 R r ) 2 2 (R r ) 3 8 π 0 R 4 π 0 R 8 π 0 R
与路径无关
a
dr
任意带电体系产生的电场
任意带电体系都可以看成电荷系 q1、q2、…，移动q0， 静电力所作功为: b b q E •b dr W F dr 0
ab
q0 a• q0 ( E1 E 2 E n ) dr a( L) n b q 0 E i d r ＝ qi q0 ( 1 1 ) a( L) i 1 rbi i 4 0 rai
注意：
• 电势能的零点可以任意选取，但是在习惯上， 当场源电荷为有限带电体时，通常把电势能的零 点选取在无穷远处。 这时，空间a点的电势能：
E pa


a
q0 E dl
• 电势能为电场和位于电场中的电荷这个系统所 共有。

8-7 电势
一 电势
1 电势VA
定义：电场中A点的电势
VA
E pA q0
EpA q0 AB E dl EpB
A
B
E
VA AB E dl VB (VB为参考电势，值任选。)
令 VB=0，则有： VA AB E dl
VA

B
A
E
dl
(B点为电势参考点)
电势是标量，它的单位是伏特简称伏，符号为V。 电场中A点的电势在数值上等于把单位正电荷从 点A移到无穷远时，静电场力所作的功。 电势零点的选取可视问题性质而定。
与该路径的形状无关。
说明：静电场力是保守力，静电场是保守场。
二 静电场的环路定理
q0沿闭合路径l移动一周，电场力作功为：
W

l
q E dl 0

q 0
l
E dl
A
又由静电场力作功特点知：W=0
E
则：
q 0
l
E dl
0
q 0 0
l E dl 0 此即静电场的环路定理
式中 l E dl 称为电场强度矢量环流。
o
x
环心和无穷远处的电势
x0，V0

q
4 0
R
x
R，VP

q
4
0
x
均匀带电薄圆盘轴线上的电势
dq 2 rdr
dVP

1
4 0
2 rdr
x2 r2
r
Ro
VP

1
4 0
R
0
2 rdr
x2 r2

2 0
(
x R

R2
3
)2
=……
例3：求无限长均匀带电直线的电场中的电势 分布。
解：选取B点为电势零点，B点距带电直导 线为 rB 。
B B
U E dl
dr
p
p 2 0r
2 0 ln r 2 0 ln r0 2 0 ln r C
rp
Q rB B
☆当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能 再选在无穷远处。
a
b
a
a、b两点的电势差等于将单位正电荷从a点移
到b时，电场力所做的功。
电势和电势能的区别：
电势是电场的属性，与试验电荷无关； 电势能是属于电荷和电场系统所共有。
注意:
1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。 对于有限带电体而言,电势零点的选择在无限 远点;对于仪器而言电势零点选择在底板上.
2、两点间的电势差与电势零点选择无关。
六、电势的计算
1、点电荷电场中的电势
q • r0
•P
距q为r（P点）的场强为
q
E 4 0r 2 r0
r
由电势定义得：uP
P
E • dl
q
r
4
0r
2
dr
q
4 0r
讨论：
➢大小
q 0 u 0 r u r u最小 q 0 u 0 r u r u最大
就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功
五、电势、电势差
定义电势
ua
Wa q0
E dl
a
Wa q0 E dl
a
单位正电荷在该点 所具有的电势能
单位正电荷从该点到无穷远 点(电势零)电场力所作的功
定义电势差 ua ub
电场中任意两点 的 电势之差（电压）

Ua
Ub
Epa Epb q0
Aab q0
b E dl
a
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电
场力所作的功。
电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势 的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称为伏特（V） ，即1V＝1J/C。
7
注意几点：
1.电势是标量，只有正负之分。U a
E pa q0
设在静电场中，将检验电荷 q0 从 a 点沿任意路 径移动到 b 点，电场力作功为Aab。
因为保守力所作的功等于势能增量的负值。
电荷 q0 在静电场中从 a 点沿任意路径移动到 b 点时， 电场力所作的作功Aab与这两点电势能Ea、Eb的关系为:
Aab
E p
b
(E
pb
E pa
b
Aab
F dl
（2）连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元，
将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电
荷元的电势，迭加归结于积分。
U
dU
dq
4 0r
注意电荷元的选取！
11
例1：均匀带电圆环，半径为 R，带电为 q，求 圆环轴线上一点的电势 U。
解：将圆环分割成无限多个电荷元：
dU dq
4 0r
环上各点到轴线等距。
一、静电场的保守性——环路定理
1.电场力的功
1.点电荷的场
点电荷q0所受电场力为：F q0E 点电荷的场中移动点电荷q0从 r
到 r dr,电场做的功：
dA F dl q0E dl
q
q0Edl dr dl c
dA q0
cos
os , E
q
4 0r 2

r E 3dr
r
q1 q2
40r 2
dr
1 q1 q2
40 r
q2 q1 III II I o R1
R2
高斯面
5 如图所示,一锥顶角为q 的圆台，上下底
面半径分别为R1和R2，在它的侧面上均匀
带电，电荷面密度为σ，求顶点O的电
势．(以无穷远处为电势零点)
解： 以顶点O作坐标原点，
O
R1
只有当 E 0, V 0,V 不变。
n
(4) E 值相等的曲面上，V值不一定相等
答：对。如上题(3)中，任取一曲面，在该曲面上 E
值相等，V是不一定相等的。但如电荷均匀分布的球
面，在与它同心的球面上E 值相等，且V值也相等。
(5)V值相等的曲面上，E值不一定相等。
答：对。V值相等的曲面是等势面，在等势面上各点 场强不一定是相等的，这还要看某点邻近的电势分布 而定。
qP
•
a
•
O
• a
x
Ex
1
4 0
q x2
2 0
VP
a
E dl
P
a
a Exdx 2
a1
(
a 2
40
q x2
)dx 2 0
1 q a
40 a 40
2、一无限大带负电荷的平面，若设平面所在 处为电势零点，取X轴垂直带电平面，原点 在带电平面处，则其周围空间各点电势U随 距离平面的位置坐标X变化的关系曲线为[ A]
圆锥轴线为x轴向下为正．在
R2
任意位置x处取高度为dx的小
圆环，其面积为
d
S
2r
dx
cos
tg
2

0
qr
3
(r R ) (r R )
4 0 r
E
令 U 0 ，沿径向积分

1 r
2

U外

P
E 外 d r q 1 r

o
4
r
qr dr
0
r
3
R
r
4 0 r
U外

q 4 0 r
E dr

R
1 r
R


a
E dl
零势点
Ecosdl
a
注意： • 选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值 一般,场源电荷有限分布:选 U 0 场源电荷无限分布:不选 U 0 许多实际问题中选 U 地 球 0
[例一] 点电荷 q 场中的电势分布
r E
o
P
解： E
L L
静电场中任意闭合路径
静电场环路定理

E dl 0
L
路径上各点的总场强
静电场强沿任意闭合路径的线积分为零.反映了 静电场是保守力场.
凡保守力都有与其相关的势能，静电场是有势场.
三. 电势能 W
由 A保 E P W
b
A静 电 力 q 0
a
E dl (W b W a ) W a W b
dq 4 0 r
dU
4 r d r
2
4 0 r

rd r 0
R2

由叠加原理：
r
R2
R1
o P
U

dU

ABC CDA
l E dl 0
结论：沿闭合路径一 周，电场力作功为零. 静电场是保守场
第14章 真空中的静电场
3
大学 物理
三 电势能
14-4 静电场的环路定理 电势 B
静电场是保守场，静电场
WpB
力是保守力. 静电场力所 做的功就等于电荷电势能
A WpA
E
增量的负值.
AAB (WpB WpA ) WpA WpB
电子伏特eV 1eV 1.6021019 J
第14章 真空中的静电场
6
大学
14-4 静电场的环路定理 电势
物理
点电荷的电势
E
4
q
π 0 r
2
er
令U 0
dl
dr
E
U r Er dl
qr
qdr
r 4 π0r 2
U q
4 π0r
q 0, U 0 q 0, U 0
第14章 真空中的静电场
7
大学 物理
五
14-4 静电场的环路定理 电势
电势的叠加原理
点电荷系
E Ei
i
U A A E dl
n
A Ei dl i 1
n
Vi
i 1
U A
n i 1
qi 4 π ε0ri
q1
r1
q2 q3
r2
r3
•
A
E3 E2
E1
第14章 真空中的静电场
8
大学
14-4 静电场的环路定理 电势
1
大学
14-4 静电场的环路定理 电势
物理
A q0q rB dr q0q ( 1 1 )

V
dV
1dq
Q440r0
r
Q
dq
Q
4 0 R2 x 2
(解毕 )
第23页/共43页
x a
x V (x) dr R o Qr
4 0R
o
x
课堂练习 求均匀带电园盘( R, σ )轴线上电势分布。
提示： 建立坐标系，取元，如图所示。
选∞处为电势零点，则：
dV 2dqrdr 4 0 r 2 x 2
q
r
r
r
4
q
0 r 2
dr
aq r
r 10V
E
8V 6V
V (r )
q
4 0r
( 球对称分布 )
等势面分布
第14页/共43页
课堂练习 求半径为R均匀带电 Q 的球面电势分布。
解 选∞处为电势零点，则：
V (r) r E dr
0
E(r) Q
4 0r 2
(r R) (r R)
r
4
即：电势 V 的叠加为标量叠加，而 叠加，后者运算较繁。
的叠加却为矢量
E
第13页/共43页
E
☻由于静电场的保守特性，
b
V与a积分路a 径E无 dr
关，可选取一合理的路径进行积分。
例 求点电荷 q 的电势分布。
解 选∞处为电势零点，则：
V (r)
E dr
E dr cos 0
(r (r)
R)
E
dr
R
E
dr
E dr
r
r
R
V (r) 0
Q
R 4 0r2
dr
cos
0
Q

E a E b
b
a
u 3
u 2 u 1
2.电势梯度 电势梯度 单位正电荷从 a到 b电场力的功 到 电场力的功
u+d +u
E•d = Ec sθ l =u−(u+d ) l o d u Ec sθ l =− u o d d
在 l E d 方向上的分量 电场强度沿某 一方向的分量 一般
u
E l
n
a
b
l 由电势定义得 u =∫ E•d =∫ P
r
∞
4 ε0r π
d = r
q 4 ε0r π
讨论 大小
q>0 u>0 r ↑ u↓ r → u 小 ∞ 最 q<0 u<0 r ↑ u↑ r → u 大 ∞ 最
为球心的同一球面上的点电势相等 对称性 以q为球心的同一球面上的点电势相等
点电荷系的电势 由电势叠加原理， 的电势为 由电势叠加原理，P的电势为
单位正电荷在该点 所具有的电势能
∞
W = ∫q E•d l a 0
a
∞
单位正电荷从该点到无穷远 电势零)电场力所作的功 点(电势零 电场力所作的功 电势零
定义电势差 a b 定义电势差 u −u 电场中任意两点 的 电势之差（电压） 电势之差（电压）
u =u −u =∫ E•d −∫ E•d =∫ E•d l l l ab a b
d q −q A =u −u =0−( ) + oc o c 4 03R 4 0R a πε πε b c q +q 0 −q = 6 0R πε R R R
② 将单位负电荷由 ∞ O电场力所作的功
A O =u −u =0 o ∞ ∞
功、电势差、电势能之间的关系 电势差、

LF
dl
0
A
D
可以证明在静电场中有
E dl 0 L
C
B
E dl E dl E dl E dl E dl 0
L
ACB
BDA
ACB
ADB
在静电场中，场强沿任意闭合路径的环路积分
等于零。称为静电场的环路定理。
二、电势能 电势
静电场是保守场，可引入仅与位置有关 Q
的电势能概念。用WP和WQ分别表示试探
三、电势的计算 (electric potential ) 1. 点电荷产生的电场中的电势分布
可用场强分布和电势的定义直接积分。
p
E r
E
q
4π 0r 2
er
Vp
E dl
p
p
q
4π 0
r
2
dr
q
Vp
q
4π 0rp
正点电荷周围的场电势为正 离电荷越远，电势越低。
负点电荷周围的场电势为负
V内
Vq内
Vq内
q
4 0
(1 R1
1 R2
)
V外 Vq外 Vq外 0
这样二球面电势差为：
V内
V外
q
4 0
1 (
R1
1 R2
rQ
q0
电荷q0在电场中P点和Q点的电势能。电场 q 力对试探电荷q0所作的功可以表示为
rP
P
APQ q0 E dl WQ WP q0UQP
3
PQ
实际中为了确定q0在电场中一点的电势能，必须 选择一个电势能为零的参考点。
由于电势能的减小与试探电荷之比，完全由电
场在P、Q两点的状况所决定。可把(WP/q0)-(WQ/q0)