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4.2指数函数（精讲）一．指数函数的概念1.定义：一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R.2.具有三个特征：(1)底数a 为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x ；(3)a x 的系数是1.二．指数函数的图象和性质a ＞10＜a ＜1图象性质定义域R 值域(0，＋∞)过定点过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝11.由指数函数y＝a x的图象与直线x＝1相交于点(1，a)可知在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．2.由指数函数y＝a x的图象与直线x＝－11y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1.四．单调性的应用3.解指数型不等式(1)形如a f(x)>a g(x)的不等式，可借助y＝a x的单调性求解；(2)形如a f(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝a x的单调性求解；(3)形如a x>b x的不等式，可借助两函数y＝a x，y＝b x的图象求解.4.与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y＝a f(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有：(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域.(2)当a>1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有相反的单调性.一．函数图象1.抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.2.巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).3.利用函数的性质：奇偶性与单调性.4.在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”.二.y ＝a f (x )型函数的定义域、值域的求法(1)形如y ＝a f (x )的函数的定义域就是f (x )的定义域.(2)形如y ＝a f (x )的函数的值域，先求出u ＝f (x )的值域，再结合y ＝a u 的单调性求出y ＝a f (x )的值域.若a 的取值范围不确定，则需对a 进行分类讨论.2.y ＝f (a x )型函数的定义域、值域的求法三．比较指数幂大小的常用方法1.底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断2.底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断或者按幂函数性质判断3.底数不同，指数不同：通过中间量来比较考点一指数函数的概念【例1-1】（2023秋·高一课时练习）下列函数：①23x y =⨯；②13x y +=；③πx y =；④x y x =．其中为指数函数的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】指数函数解析式为(0xy a a =>且)1a ≠，对于①②④，23x y =⨯、13x y +=和x y x =不符合指数函数解析式特征，①②④错误；对于③，πx y =符合指数函数解析式特征，③正确.故选：B.【例1-2】（2023秋·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）若函数()222xy m m m =--⋅是指数函数，则m等于（）A ．1-或3B ．1-C ．3D ．13【答案】C【解析】因为函数()222xy m m m =--⋅是指数函数，所以2221031m m m m m ⎧--=⎪>⇒=⎨⎪≠⎩.故选：C【一隅三反】1．（2023·全国·高一课堂例题）下列函数为指数函数的是（）A ．4x y =-B ．()4xy =-C ．πxy =D ．24xy =【答案】C【解析】根据指数函数的定义()0,1xy a a a =>≠知，可得函数4x y =-不是指数函数；函数()4xy =-不是指数函数；函数πx y =是指数函数；函数24x y =不是指数函数.故选：C.2．（2023秋·高一课时练习）（多选）下列函数是指数函数的是（）A ．25x y =B ．4x y =-C ．3y x =D ．()63xy a =-（12a >且23a ≠）【答案】AD【解析】对于A 选项，2525x x y ==为指数函数；对于B 选项，4x y =-不是指数函数；对于C 选项，3y x =不是指数函数；对于D 选项，当12a >且23a ≠时，630a ->且631a -≠，则()63xy a =-（12a >且23a ≠）为指数函数.故选：AD.3．（2023·全国·高一假期作业）（多选）下列函数中，是指数函数的是（）A ．()3x y =-B ．()121,12x y m m m ⎛⎫=->≠ ⎪⎝⎭C ．()0.19xy =D ．23xy =⋅【答案】BC【解析】由指数函数形式为x y a =且0,1a a >≠，显然A 、D 不符合，C 符合；对于B ，210m ->且211m -≠，故符合.故选：BC考点二指数函数的解析式与函数值【例2】（2023春·新疆）指数函数()(0xf x a a =>且)0a ≠图像经过点()3,27，则()2f =（）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【解析】由题意327a =，得3a =，故()2239f ==，故选：C 【一隅三反】1．（2023·全国·高一专题练习）函数()(0xf x a a =>，且1)a ≠的图象经过点()3,27P ，则()2f =（）A ．19B C ．13D ．9【答案】D【解析】由题意可知，327a =，0a >，且1a ≠，得3a =，所以()3x f x =，()2239f ==.故选：D2．（2023秋·高一课时练习）若指数函数()y f x =的图象经过点12,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，则32f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【答案】18/0.125【解析】设指数函数()(0xf x a a =>且)1a ≠，()f x 过点12,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，2116a -∴=，解得：4a =，()4x f x ∴=，3231428f -⎛⎫∴-=== ⎪⎝⎭.故答案为：18.3．（2023春·贵州黔东南·高一校考期末）已知指数函数()f x 的图像经过点12,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，则12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【答案】12/0.5【解析】设()x f x a =（0a >，且1a ≠），由于其图像经过点12,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2116a -=，解得4a =或4a =-（舍去），因此()4xf x =，故1211422f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭.故答案为：12.考点三定义域与值域【例3-1】（2023秋·高一课前预习）求下列函数的定义域：（1）y =；（2）y =【答案】（1）[0,)+∞；（2）()(],33,2-∞--- .【解析】（1）由题意可得210x -≥，即022x ≥，又指数函数()2x f x =单调递增，得0x ≥.所以函数y =[)0,+∞；（2）由题意，得31903120x x +⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-≠⎩，得230113322x x -+⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪≠⎩，又指数函数()13xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，2x ∴≤-且3x ≠-.所以函数y =()(],33,2-∞-⋃--.【例3-2】（2023秋·江西）求下列函数的值域；(1)12x y +=；(2)y =(3)y =【答案】(1)(0,)+∞(2)[0,1)(3)[1,)+∞【解析】（1）12x y +=的定义域为R ，值域为(0,)+∞；（2）由120x -≥知0x ≤，故y =(]0-∞,；由0121x ≤-<知01≤<，故y [0,1)；（3）y =[0,)+∞0≥知1≥，故y =[1,)+∞.【例3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数,1()12,1x xx f x x a x ⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞【答案】D【解析】当1x <时，1()111f x x =+<-，当1x ≥时，1()222x f x a a a =-≥-=-，因为函数,1()12,1x xx f x x a x ⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩的值域为R ，所以21a -≤，得1a ≥，所以实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：D.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数y =）A ．[2,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(,1]-∞-D ．(,2]-∞-【答案】C【解析】由题意得2112703x -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭所以211273x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即2131133x --⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又指数函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的单调减函数，所以213x -≤-，解得1x ≤-.故选：C.2．（2022秋·高一课时练习）函数()f x =+的定义域为.【答案】[]1,2-【解析】由题意可得1020x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得：12x -≤≤，所以函数的定义域为[]1,2-.故答案为：[]1,2-.3．（2023秋·高一课时练习）函数42x y =+的值域是．【答案】(2,)+∞【解析】由函数4x y =值域为(0,)+∞，则函数42x y =+的值域为(2,)+∞.故答案为：(2,)+∞4．（2023秋·高一单元测试）函数()[]2,1,1xf x x x =+∈-的值域为．【答案】1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为函数()f x 在[]1,1-上是增函数，所以()()1min 11212f x f -=-=-=-，()()1max 1213f x f ==+=，故函数值域为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故答案为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.5．（2023·上海）已知()2,01,0x x f x x ⎧>=⎨≤⎩，则()f x 的值域是；【答案】[1,)+∞【解析】当0x >时,根据指数函数的图象与性质知()21x f x =>，当0x ≤时,()1f x =.综上:()y f x =的值域为[1,)+∞.故答案为：[1,)+∞.6．（2023黑龙江）已知函数()()22223,121,1x x a x a x f x x +-⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩的值域为R ，则a 的取值范围是【答案】1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】当1x ≥时，222()21xx f x +-=-，而函数222t x x =+-在[1,)+∞上单调递增，又2ty =是增函数，因此函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，()(1)1f x f ≥=，即函数()f x 在[1,)+∞上的值域为[1,)+∞，当1x <时，函数()f x 的值域为A ，而函数()f x 的值域为R ，因此(,1)A -∞⊆，而当1x <时，()(2)3f x a x a =-+，必有20231a a a ->⎧⎨-+≥⎩，解得122a -≤<，所以a 的取值范围是1[,2)2-.考点四指数函数的图像【例4-1】（2022春·北京）已知对不同的a 值，函数1()2(0,1)x f x a a a -=+>≠的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是.【答案】(1,3)【解析】由指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象恒过(0,1)点而要得到函数12(0,1)x y a a a -=+>≠的图象，可将指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位.则(0,1)点平移后得到(1,3)点.则P 点的坐标是(1,3)故答案为：(1,3)【例4-2】（2023秋·高一单元测试）函数()x b f x a -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A ．1,0a b ><B ．1,0a b >>C ．01,0a b <<>D ．01,0a b <<<【答案】D【解析】由图象可知，函数()f x 为减函数，从而有01a <<；法一：由()x b f x a -=图象，函数与y 轴的交点纵坐标(0,1)y ∈，令0x =，得b y a -=，由01b a -<<，即00b a a -<<，解得0b <.法二：函数()f x 图象可看作是由(01)x y a a =<<向左平移得到的，则0b ->，即0b <.故选：D.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数1xy a a=-（0a >，且1a ≠）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】A ，B 选项中，1a >，于是1011a<-<，所以图象与y 轴的交点的纵坐标应在()0,1之间，显然A ，B 的图象均不正确；C ，D 选项中，01a <<，于是110a-<，图象与y 轴的交点的纵坐标应在小于0，所以D 项符合.故选：D2．（2023·西藏林芝）()2e xf x x=的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题知，根据e 0x >y=，20x >，0x ≠，则()2e 0xf x x=>，排除B ，D ，当0x =时，()2e xf x x=没有意义，排除A.故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）对于函数()(0x f x a a =>且1a ≠），()2g x ax x =-，在同一直角坐标系下的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】AD【解析】当a ＞1时，f （x ）＝ax 是指数函数，单调递增，且图象过点（0，1），而g （x ）＝ax 2﹣x ＝a （x 12a-）214-a ，对称轴x 12a =1，故A 正确，B 错误；当0＜a ＜1时，f （x ）＝ax 是指数函数，单调递减，且图象过点（0，1），而g （x ）＝ax 2﹣x ＝a （x 12a-）214-a ，对称轴x 1122a =＞，故D 正确，C 错误.故选：AD ．4．（2023秋·宁夏石嘴山）函数212(01)x y a a a -=->≠且，无论a 取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为.【答案】1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】0011,,2121,2a x y a =∴==-=-=- 则定点坐标为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为:1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.5．（2023·全国·高一课堂例题）利用函数()2xy f x ==的图象，作出下列各函数的图象：(1)()1f x -；(2)()f x ；(3)()1f x -；(4)()f x -；(5)()1f x -．【答案】作图见解析【解析】（1）将()f x 图象向右平移一个单位即得，如下图，（2）将()f x 右侧图象以y 轴为对称轴作出左侧图象，去掉原图象左侧部分即得，如下图，（3）将()f x 图象向下平移一个单位即得，如下图，（4）以x 轴为对称轴，画出与()f x 对称的图象即得，如下图，（5）将（3）所得图象在x 轴下方部分，翻折到上方即得，如下图，考点五指数函数型的单调性及应用【例5-1】（2023秋·高一课时练习）函数()f x =的单调递增区间为（）A ．(],2-∞B ．[]1,2C ．[]2,3D ．[)2,+∞【答案】B【解析】令2430x x -+-≥，解得13x ≤≤，所以函数()f x =[]1,3，因为243t x x =-+-开口向下，对称轴为()4221x =-=⨯-，可知243t x x =-+-在[]1,2上单调递增，在(]2,3上单调递减，且u =所以u =[]1,2上单调递增，在(]2,3上单调递减，又因为2u y =在定义域内单调递增，所以()f x =在[]1,2上单调递增，在(]2,3上单调递减，即函数()f x 的单调递增区间为[]1,2.故选：B.【例5-2】（2023春·山东菏泽）设函数()()2x x a f x -=在区间()1,0-单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】A【解析】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()1,0-上单调递增，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()1,0-上单调递增，因此12a ≤-，解得2a ≤-，所以a 的取值范围是(],2-∞-.故选：A【例5-3】（1）（2023·全国·高一专题练习）已知0.143a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.134b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，c ）.A ．b c a>>B ．b a c>>C ．a b c>>D ．c b a >>（2）（2022秋·浙江宁波·高一校联考期中）下列大小关系正确的是（）A ．0.20.20.50.50.20.2>>B ．0.50.20.20.20.50.2>>C ．0.50.20.20.20.20.5>>D ．0.20.20.50.20.50.2>>【答案】（1）B （2）A 【解析】（1）0.10440133-⎛⎫⎛⎫<<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即01a <<；0.133144-⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1b >；0=<，即0c <.所以有01c a b <<<<.故选：B.（2）由幂函数0.2y x =在R 上单调递增，则0.20.20.50.2>，又指数函数0.2x y =在R 上单调递减，则0.20.50.20.2>.则0.20.20.50.50.20.2>>故选：A.【例5-4】（2023·广东）已知函数()21,233,2x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则不等式()()342f x f x -<+的解集为．【答案】(),3-∞【解析】构建函数()21xg x =-，2x ≥，可得函数()g x 单调递增，()33h x x =-，2x ≤，则函数()h x 单调递增，且()()223g h ==，因此函数()f x 在R 上是增函数．()()342f x f x -<+ ，342x x ∴-<+，解得3x <，于是不等式()()342f x f x -<+的解集为(),3-∞．故答案为：(),3-∞.【一隅三反】1．（2023秋·广东湛江）已知函数()2313xx f x -+=，则()f x 的增区间为（）A ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】函数()2313xx f x -+=定义域为R ，令231,3u u x x y =-+=，又3u y =在R 上单调递增，231u x x =-+的增区间为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，所以()f x 的增区间为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：A.2．（2023春·宁夏石嘴山）设函数()2212x mxf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,2上单调递增，则m 的取值范围为（）A ．(],2-∞-B ．[]2,1--C ．[]1,2D ．[)2,+∞【答案】D【解析】令22u x mx =-，则二次函数22u x mx =-的图象开口向上，对称轴为直线x m =，因为外层函数12u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，函数()2212x mxf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,2上为增函数，所以，内层函数22u x mx =-在()1,2上为减函数，故2m ≥.故选：D.3．（2022秋·青海海东·高一校考阶段练习）已知0.533,0.5,a b c ===）A ．b a c <<B ．a b c<<C ．b c a<<D ．c b a<<【答案】A【解析】1,01,1,a b c b ><<>∴ 最小，又0.50.53,5a c ===，0.5y x = 在(0,)+∞上单调递增，所以0.50.535<，即a c <，综上，b a c <<，故选：A ．4．（2022秋·江西南昌·高一统考期中）已知2π,2a b c ===，则,,a b c的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a<<【答案】B【解析】2382,2a b =====3π<<，所以3π222<<，因此b a c <<.故选：B.5（2023·河北）已知函数()e e x xf x -=-，则不等式()()110f x f -+>的解集是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,0-D ．()0,2【答案】A【解析】因为()()e e x xx f x f --==--，所以()f x 在R 上是奇函数.因为e x y =在R 上是增函数，又e x y -=在R 上是减函数，所以()f x 在R 上是增函数.所以()()()()()110111f x f f x f f -+>⇒->-=-，所以11,2x x ->-<，所以不等式()()110f x f -+>的解集是(),2-∞.故选：考点六指数函数性质的综合运用【例6-1】（2023春·河北石家庄·高一校考期末）已知函数()131x mf x =++为奇函数．(1)求实数m 的值；(2)求不等式()21102f x x --+<的解集．【答案】(1)2-(2){}01x x <<【解析】（1）（1）因为()f x 为奇函数，定义域为R ，因为()00f =，即102m+=，所以2m =-，经检验，符合题意．（2）因为()12111312f -=+=+，所以()()2110f x x f --+<，所以()()211f x x f --<-，因为()f x 为奇函数，()()11f f -=-，所以()()211f x x f --<-，由（1）知：因为3x y =在R 上递增，所以()2131x f x =-+在R 上是增函数，所以211x x --<-，解得01x <<，所以不等式的解集是{}1|0x x <<.【例6-2】（2023秋·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考期末）已知函数()22x xf x a -=+奇函数．(1)求a 的值；(2)判断()f x 在(),-∞+∞上的单调性并用定义证明；(3)设()()22222x xF x mf x -=+-，求()F x 在[]0,1上的最小值．【答案】(1)1-(2)()f x 在R 上单调递增，证明见解析(3)答案见解析【解析】（1）解：()f x 是定义域为R 的奇函数，()010,f a ∴=+=1a ∴=-；经检验符合题意；（2）()f x 在R 上单调递增．证明如下：1212,R,x x x x ∀∈<，则()()()1212121212111222212222x x x x x x x x f x f x ⎛⎫-=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为12x x <，所以12022x x <<，所以12220x x -<，1211022x x +>，可得12())0(f x f x -<．即当12x x <时，有12()()f x f x <所以()f x 在R 上单调递增．（3）()()22222x xF x mf x -=+-，()2222222x x x x m --=+--，()()2222222x xx x m --=---+，令22x x t -=-，又[]01x ∈，，则302t ⎡⎤∈⎢⎣⎦，，所以22222()2y t mt t m m =-+=-+-，302t ⎡⎤∈⎢⎣⎦，，对称轴为t m =，则当0m ≤时，min 2y =；当302m <<，2min 2y m =-；当32m ≥时，min 1734y m =-．【一隅三反】1．（2023秋·安徽）已知函数()32,32x xx xa f x a ⋅-=∈+R ．(1)若()f x 为奇函数，求a 的值；(2)在（1）的条件下，求()f x 的值域．【答案】(1)1a =(2)()1,1-【解析】（1）因为()f x 为奇函数，所以()()0f x f x +-=，x ∈R即()()1323232322303232323232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xa a a a a -----⋅+⋅-⋅-⋅-⋅-+=+==+++++，所以1a =.（2）()3232132321xx xxxx f x ⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝+⎭--==,令32xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()11221111t t f x t t t -+-=+==-++，因为3(0,)2x t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭=，所以()211,11t -∈-+，所以()f x 的值域()1,1-．2．（2023秋·河北衡水）已知函数()x x f x a k a -=-⋅（0a >，且1a ≠）是奇函数，且3(1)2f =．(1)求a ，k 的值；(2)若对于[1,2]x ∀∈，不等式(2)()0f x mf x +≥成立，求m 的取值范围．【答案】(1)2a =，1k =；(2)52m ≥-【解析】（1）因为函数是奇函数，所以()()f x f x -=-，即x x x x a k a a k a ---⋅=-+⋅，得1k =，所以()x x f x a a -=-，()1312f a a -=-=，得2a =或12a =-（舍），综上，2a =，1k =；（2）由（1）知，()22x xf x -=-，则()[]2222220,1,2x x x xm x ---+-≥∈恒成立，()()()2222220xx x x x x m ---+-+-≥，[]220,1,2x x x -->∈，所以220x x m -++≥，对[]1,2x ∀∈恒成立，即()min 220x xm -++≥恒成立，设12222x x xx y -=+=+，函数由外层函数1y t t=+和内层函数2x t =复合而成，当[]1,2x ∈，[]2,4t ∈，2x t =单调递增，当[]2,4t ∈，1y t t=+单调递增，所以根据复合函数的单调性可知，函数[]22,1,2x x y x -=+∈单调递增，最小值为115222-+=，即502m +≥，则52m ≥-.3．（2023秋·江苏南通）已知二次函数()2f x x bx c =++，且不等式()2f x x <的解集为(1,3).(1)求()f x 解析式；(2)若不等式()2210x xkf -+≤在[1,2]x ∈上有解，求实数k 的取值范围.【答案】(1)()223x x x f =-+(2)-4⎛∞ ⎝⎦,【解析】（1）由题意知22x bx c x ++<的解集为()1,3，故方程()220x b x c --+=的两个根是1和3，故243b c -=⎧⎨=⎩，即23b c =-⎧⎨=⎩，故()223x x x f =-+.（2）由题意()2210x x kf -+≤在[1,2]x ∈上有解，即()2222321x x xk -⋅+≤-在[1,2]x ∈上有解，∵()2222232120xxx-⋅+=-+>，∴2212223x x x k -≤-⋅+在[1,2]x ∈上的最大值，设[211,2,]x x t ∈=-，则[]1,3t ∈，则max 2()2tk t ≤+又2122t t t t=≤++2t t =即[]1,3t =时，等号成立，∴4k ≤，即实数k 的取值范围为,4⎛-∞ ⎝⎦.。
高一数学指数函数00ppt课件•引言•指数函数的基本概念•指数函数的性质与应用•指数函数与对数函数的关系目录•指数函数的拓展知识•指数函数的解题技巧与方法•课程总结与展望01引言指数函数的概念与性质指数函数的概念指数函数是数学中的一种基本初等函数，其形式为$y=a^x$（$a>0$且$a≠1$），其中$x$为自变量，$y$为因变量。
指数函数的性质指数函数具有多种性质，如正值性、单调性、过定点等。
其中，当$a>1$时，函数单调递增；当$0<a<1$时，函数单调递减。
指数函数的重要性指数函数在现实生活中的应用指数函数在现实生活中具有广泛的应用，如复利计算、人口增长模型、放射性物质衰变等。
指数函数在数学中的地位指数函数是数学中的重要函数之一，是微积分、实变函数等高级数学课程的基础。
03为后续课程打下基础本课程的学习将为后续课程如微积分、实变函数等打下坚实的基础。
01掌握指数函数的概念和性质通过本课程的学习，学生应能够熟练掌握指数函数的概念和性质，能够运用指数函数解决相关问题。
02培养数学思维能力本课程旨在培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养和解决问题的能力。
本课程的学习目标02指数函数的基本概念指数函数的定义指数函数的一般形式y=a^x（a>0，a≠1），其中x是自变量，y是因变量，a是底数。
指数函数的定义域指数函数y=a^x的定义域是全体实数，即x可以取任何实数。
指数函数的值域当a>1时，指数函数y=a^x的值域是(0,+∞)；当0<a<1时，指数函数y=a^x的值域是(0,+∞)。
指数函数的图像与性质指数函数的图像指数函数y=a^x的图像是一个过定点(0,1)的曲线，当a>1时，图像在x轴的上方，且随着x的增大，y值也无限增大；当0<a<1时，图像在x轴的上方，但随着x的增大，y值无限趋近于0。
指数函数的性质指数函数在其定义域内是连续的，且对于所有的实数x和y，都有a^(x+y)=a^x* a^y，这是指数函数的一个重要性质。
高中数学必修一指数函数对数函数知识点高中数学必修一中，指数函数和对数函数是重要的知识点。
指数函数是一种以指数为自变量的函数，形式为y = a^x，其中a为底数，x为指数。
而对数函数是指数函数的逆运算，形式为y = loga(x)，其中a为底数，x为真数。
以下是关于指数函数和对数函数的具体知识点。
一、指数函数的图像和性质1.指数函数的基本形式：-y=a^x，其中a>0且a≠12.指数函数的基本性质：-当0<a<1时，指数函数呈现递减的图像；-当a>1时，指数函数呈现递增的图像；-当a=1时，指数函数为常数函数y=1二、对数函数的图像和性质1.对数函数的基本形式：- y = loga(x)，其中a > 0且a≠12.对数函数的基本性质：- 对数函数与指数函数互为反函数，即loga(a^x) = x，a^loga(x) = x；-对数函数的图像关于直线y=x对称；-对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
三、指数函数和对数函数的运算性质1.指数函数的运算性质：-a^x*a^y=a^(x+y)；- (a^x)^y = a^(xy)；- (ab)^x = a^x * b^x；-a^0=1，其中a≠0。
2.对数函数的运算性质：- loga(xy) = loga(x) + loga(y)；- loga(x^y) = y * loga(x)；- loga(x/y) = loga(x) - loga(y)；- loga(1) = 0，其中a≠0。
四、指数函数和对数函数的应用1.指数函数在生活中的应用：-经济增长模型中的应用；-指数衰减与物质的半衰期计算；-大自然中的指数增长现象。
2.对数函数在生活中的应用：-pH值的计算；-放大器的功率增益计算；-数字音乐的音量计算。
综上所述，指数函数和对数函数是高中数学必修一中的重要知识点。
掌握了指数函数和对数函数的基本形式、性质以及运算规律，能够理解其图像特征和在实际问题中的应用。
专题32 指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R. 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： (1)底数a 为大于0且不等于1的常数． (2)自变量x 的位置在指数上，且x 的系数是1. (3)a x 的系数是1.2．指数函数的图象和性质a 的范围a ＞10＜a ＜1图象性质定义域 R 值域(0，＋∞)过定点 (0,1)，即当x ＝0时，y ＝1单调性 在R 上是增函数在R 上是减函数奇偶性 非奇非偶函数对称性函数y ＝a x 与y ＝a －x 的图象关于y 轴对称(1)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y 轴．当a >b >1时，①若x >0，则a x >b x >1；②若x <0，则1>b x >a x >0. 当1>a >b >0时，①若x >0，则1>a x >b x >0；②若x <0，则b x >a x >1. (2)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在x 轴上方．(3)当a >1时，x →－∞，y →0；当0<a <1时，x →＋∞，y →0.(其中“x →＋∞”的意义是“x 趋近于正无穷大”)题型一 指数函数的概念1．下列各函数中，是指数函数的是( )A ．y ＝(－3)xB ．y ＝－3xC ． y ＝3x －1 D ．y ＝⎝⎛⎭⎫13x [解析]由指数函数的定义知a >0且a ≠1，故选D. 2．下列函数一定是指数函数的是( )A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 3 C ．y ＝3·2xD ．y ＝3－x[解析]由指数函数的定义可知D 正确． 3．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝⎝⎛⎭⎫122x －1. A ．0个 B ．1个 C ．3个D ．4个[解析]由指数函数的定义可判定，只有②正确．[答案] B 4．下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3. 其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析]形如“y ＝a x (a >0，且a ≠1)”的函数为指数函数，只有③符合，选B. 5．下列函数中，是指数函数的个数是( )①y ＝(－8)x；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x ；④y ＝2·3x .A ．1B ．2C ．3D ．0[解析] (1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x ，而是x 的函数，所以不是指数函数； ③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D. 6．指出下列哪些是指数函数．(1)y ＝4x ；(2)y ＝x 4；(3)y ＝－4x ；(4)y ＝(－4)x ；(5)y ＝πx ；(6)y ＝4x 2；(7)y ＝x x ；(8)y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a ＞12，且a ≠1. [解析] (2)是四次函数；(3)是－1与4x 的乘积；(4)中底数－4＜0；(6)是二次函数；(7)中底数x 不是常数． 它们都不符合指数函数的定义，故不是指数函数．综上可知，(1)(5)(8)是指数函数． 7．已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________．[解析]由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)． 8．函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( )A ．a ＝1或a ＝3B ．a ＝1C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1[解析]由指数函数的概念可知，⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝1，a >0，a ≠1，得a ＝3.9．函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x (a >0，且a ≠1)是指数函数，则m ＝________. [解析]∵函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x 是指数函数，∴m 2－m ＋1＝1，解得m ＝0或1. 10．若函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( )A ．4B ．1或3C ．3D ．1[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≠1，a 2－4a ＋4＝1，解得a ＝3，故选C.11．若函数f (x )＝(a 2－2a ＋2)(a ＋1)x 是指数函数，则a ＝________. [解析]由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2＝1，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝1.12．指数函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值是________． [解析]由题意知4＝a 2，所以a ＝2，因此f (x )＝2x ，故f (－3)＝2－3＝18.13．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________．[解析]由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x＋3，所以f (－2)＝⎝⎛⎭⎫12－2＋3＝4＋3＝7. 14．已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－32＝39，则f (－2)＝________. [解析]设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝⎛⎭⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2， 所以f (－2)＝3－2＝19.15．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (－2)＝________，f (1)＝________. [解析]设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，∵f (2)＝9，∴a 2＝9，a ＝3，即f (x )＝3x . ∴f (－2)＝3－2＝19，f (1)＝3.16．若点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，则a 的值为( )A. 6 B ．1 C ．2 2D ．0[解析]选A 点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，∴27＝(3)a ， 即33＝3a 2，∴a2＝3，解得a ＝6，∴a ＝ 6.故选A.17．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax ，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a ＝________，若g (x )＝4－x－2， 且g (x )＝f (x )，则x ＝________.[解析]因为函数的图象过点(－1,2)，所以⎝⎛⎭⎫12－a＝2，所以a ＝1，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ， g (x )＝f (x )可变形为4－x －2－x －2＝0，解得2－x ＝2，所以x ＝－1. 18．已知f (x )＝2x ＋12x ，若f (a )＝5，则f (2a )＝________.[解析]因为f (x )＝2x ＋12x ，f (a )＝5，则f (a )＝2a ＋12a ＝5.所以f (2a )＝22a ＋122a ＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝⎝⎛⎭⎫2a ＋12a 2－2＝23. 19．若f (x )满足对任意的实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2020)f (2019)＝( )A ．1010B ．2020C ．2019D ．1009[解析]不妨设f (x )＝2x ，则f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2020)f (2019)＝2，所以原式＝1010×2＝2020.题型二 指数函数的图象及其应用1．y ＝⎝⎛⎭⎫34x的图象可能是( )[解析]0<34<1且过点(0,1)，故选C.2．函数y ＝3－x 的图象是( )A B C D[解析]∵y ＝3－x＝⎝⎛⎭⎫13x，∴B 选项正确．3．函数y ＝2－|x |的大致图象是( )[解析]y ＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥0.2x ，x <0，画出图象，可知选C. 4．函数y ＝a －|x |(0<a <1)的图象是( )A B C D[解析]y ＝a－|x |＝⎝⎛⎭⎫1a |x|，易知函数为偶函数，∵0<a <1，∴1a>1，故当x >0时，函数为增函数，当x <0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A. 5．函数y ＝－2－x 的图象一定过第________象限．[解析]y ＝－2－x ＝－⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 关于x 轴对称，一定过第三、四象限． 6．函数f (x )＝a x－b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0[解析]从曲线的变化趋势，可以得到函数f (x )为减函数，从而有0<a <1；从曲线位置看， 是由函数y ＝a x (0<a <1)的图象向左平移|－b |个单位长度得到，所以－b >0，即b <0. 7．已知0<m <n <1，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )[解析]由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交， 交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.8．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x ＋b 的图象一定在( )A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限[解析]A,∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．]9．若函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A ．0<a <1，且b >0B ．a >1，且b >0C ．0<a <1，且b <0D ．a >1，且b <0[解析]函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象是由函数y ＝a x 的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a ∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y ＝a x (0<a <1)的图象向下平移至少大于1个单位长度，即b －1<－1⇒b <0.故选C.10．若函数y ＝a x ＋m －1(a ＞0)的图象经过第一、第三和第四象限，则( )A ．a ＞1B ．a ＞1，且m ＜0C ．0＜a ＜1，且m ＞0D ．0＜a ＜1[解析]选B,y ＝a x (a ＞0)的图象在第一、二象限内，欲使y ＝a x ＋m －1的图象经过第一、三、四象限，必须将y ＝a x 向下移动．当0＜a ＜1时，图象向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a ＞1时，图象向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a ＞1时，图象向下移动不超过一个单位时，图象经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图象恰好经过原点和第一、三象限，欲使图象经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m －1＜－1，所以m ＜0，故选B. 11．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )[解析]当a >1时，函数f (x )＝a x 单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a >1，此时两函数的图象大致为选项A. 12．二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图象可能是( )[解析]二次函数y ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2－b 24a ，其图象的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 2a ，－b 24a ，由指数函数的图象知0<ba<1， 所以－12<－b 2a <0，再观察四个选项，只有A 中的抛物线的顶点的横坐标在－12和0之间．13．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()[解析]由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知0<a<1，b<－1，所以函数g(x)＝a x＋b是减函数，排除选项C、D；又因为函数图象过点(0,1＋b)(1＋b<0)，故选A.14．如图是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c[解析](1)解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c.解法二：根据图象可以先分两类：③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．15．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．[解析]作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.16．函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]因为指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝a x－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝a x－3＋3的图象过定点(3,4)．17．函数y＝2a x＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]令x＋3＝0得x＝－3，此时y＝2a0＋2＝2＋2＝4.即函数y＝2a x＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点(－3,4)．18．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝a x＋1－1的图象一定过点()A．(0,1) B．(0，－1)C ．(－1,0)D ．(1,0)[解析] 当x ＝－1时，显然f (x )＝0，因此图象必过点(－1,0)．19．已知函数y ＝2a x －1＋1(a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则m ＋n ＝( )A ．1B ．3C ．4D ．2[解析]选C,由题意知，当x ＝1时，y ＝3，故A (1,3)，m ＋n ＝4. 20．函数y ＝a 2x ＋1＋1(a >0，且a ≠1)的图象过定点________． [解析]令2x ＋1＝0得x ＝－12，y ＝2，所以函数图象恒过点⎝⎛⎭⎫－12，2. 21．若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则( )A ．－1≤m ＜0B ．0≤m ≤1C ．0＜m ≤1D ．m ≥0[解析]易知y ＝2－|x |－m ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m .若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则方程⎝⎛⎭⎫12|x |－m ＝0有解， 即m ＝⎝⎛⎭⎫12|x |有解．∵0＜⎝⎛⎭⎫12|x |≤1，∴0＜m ≤1. 22．已知f (x )＝2x 的图象，指出下列函数的图象是由y ＝f (x )的图象通过怎样的变化得到：(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝2x －1；(3)y ＝2x ＋1；(4)y ＝2－x ；(5)y ＝2|x |. [解析] (1)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向左平移1个单位得到．(2)y ＝2x－1的图象是由y ＝2x 的图象向右平移1个单位得到．(3)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向上平移1个单位得到．(4)∵y ＝2－x 与y ＝2x 的图象关于y 轴对称，∴作y ＝2x 的图象关于y 轴的对称图形便可得到y ＝2－x的图象．(5)∵y ＝2|x |为偶函数，故其图象关于y 轴对称，故先作出当x ≥0时，y ＝2x 的图象，再作关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝2|x |的图象．23．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图象如图②所示，求a ，b 的取值范围；(3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根，求m 的取值范围．[解析] (1)f (x )的图象过点(2,0)，(0，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，又因为a ＞0，且a ≠1，所以a ＝3，b ＝－3.(2)f (x )单调递减，所以0＜a ＜1，又f (0)＜0.即a 0＋b ＜0，所以b ＜－1. 故a 的取值范围为(0,1)，b 的取值范围为(－∞，－1)．(3)画出|f (x )|＝|(3)x －3|的图象如图所示，要使|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根， 则m ＝0或m ≥3.故m 的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．题型三 指数函数的定义域与值域1．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝1－3x ；(2)y ＝21x －4 ; (3)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x | ; (4)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3；(5)y ＝4x ＋2x ＋1＋2. [解析] (1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0， 故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]．因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1， 所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则x －4≠0，解得x ≠4. 所以函数y ＝21x －4的定义域为{x |x ≠4}．因为1x －4≠0，所以21x －4 ≠1，即函数y ＝21x －4 的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(3)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0.所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的定义域为{x |x ＝0}．因为x ＝0，所以⎝⎛⎭⎫23－|x | ＝⎝⎛⎭⎫230＝1，即函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的值域为{y |y ＝1}． (4)定义域为R.∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16. 又∵⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]． (5)因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义，所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R. 因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2， 即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 2．(1)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x -的定义域与值域；(2)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2，x ∈[0,2]的最大值和最小值及相应的x 的值． [解析] (1)由x －2≥0，得x ≥2，所以定义域为{x |x ≥2}．当x ≥2时，x －2≥0， 又因为0＜13＜1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x －2的值域为{y |0＜y ≤1}．(2)∵y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2，∴y ＝4·⎝⎛⎭⎫14x －4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2.令m ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则⎝⎛⎭⎫14x ＝m 2. 由0≤x ≤2，知14≤m ≤1.∴f (m )＝4m 2－4m ＋2＝4⎝⎛⎭⎫m －122＋1. ∴当m ＝12，即当x ＝1时，f (m )有最小值1；当m ＝1，即x ＝0时，f (m )有最大值2.故函数的最大值是2，此时x ＝0，函数的最小值为1，此时x ＝1. 3．函数y ＝2x －1的定义域是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0]C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析]由2x －1≥0，得2x ≥20，∴x ≥0.[答案] C 4．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域是________．[解析]由1－⎝⎛⎭⎫12x≥0得⎝⎛⎭⎫12x ≤1＝⎝⎛⎭⎫120，∴x ≥0，∴函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域为[0，＋∞)．5．若函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则a 的取值范围为( )A ．a >0B ．a <1C ．0<a <1D ．a ≠1[解析]由a x －1≥0，得a x ≥a 0.∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0<a <1.6．若函数f (x )＝a x －a 的定义域是[1，＋∞)，则a 的取值范围是( ) A ．[0,1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1)D ．(2，＋∞)[解析]∵a x －a ≥0，∴a x ≥a ，∴当a ＞1时，x ≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a ＞1. 7．y ＝2x ，x ∈[1，＋∞)的值域是( )A ．[1，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析]y ＝2x 在R 上是增函数，且21＝2，故选B. 8．函数y ＝16－4x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)[解析]要使函数有意义，须满足16－4x ≥0.又因为4x ＞0，所以0≤16－4x ＜16， 即函数y ＝16－4x 的值域为[0,4)．9．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ≥8)的值域是( )A ．R B.⎝⎛⎦⎤0，1256 C.⎝⎛⎦⎤－∞，1256 D.⎣⎡⎭⎫1256，＋∞[解析]因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在[8，＋∞)上单调递减，所以0<⎝⎛⎭⎫12x≤⎝⎛⎭⎫128＝1256. 10．函数y ＝1－2x ，x ∈[0,1]的值域是( )A ．[0,1]B ．[－1,0] C.⎣⎡⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎦⎤－12，0 [解析]∵0≤x ≤1，∴1≤2x ≤2，∴－1≤1－2x ≤0，选B.11．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________．[解析]∵y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上为减函数，∴m ＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3，n ＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9，故m ＋n ＝12. 12．函数y ＝⎝⎛⎭⎫1222x x －＋的值域是________． [解析]设t ＝－x 2＋2x ＝－(x 2－2x )＝－(x －1)2＋1≤1，∴t ≤1.∵⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫121＝12，∴函数值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 13．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1的值域是________．[解析]∵x 2－1≥－1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2，又y >0，∴函数值域为(0,2]．14．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，－2－x ，x >0，则函数f (x )的值域是________． [解析]由x <0，得0<2x <1；由x >0，∴－x <0,0<2－x <1，∴－1<－2－x <0，∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．15．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．[解析](1)∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，12，∴a 2－1＝12，则a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1，x ≥0.由x ≥0，得x －1≥－1，于是0<⎝⎛⎭⎫12x －1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2， 所以函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0,2]．16．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a <b ，b ，a ≥b ，则函数f (x )＝3x ⊙3－x 的值域是________． [解析]当x >0时，3x >3－x, f (x )＝3－x ，f (x )∈(0,1)；当x ＝0时，f (x )＝3x ＝3－x ＝1； 当x <0时，3x <3－x ，f (x )＝3x ，f (x )∈(0,1)．综上， f (x )的值域是(0,1]．17．函数f (x )＝3x 3x ＋1的值域是________．[解析]数y ＝f (x )＝3x 3x ＋1，即有3x ＝－y y －1，由于3x ＞0，则－y y －1＞0，解得0＜y ＜1，值域为(0,1)． 18．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[解析]当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 0－1＝2，a 2－1＝0无解． 当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝0，a 2－1＝2，解得a ＝ 3. 综上，a 的值为 3.19．已知f (x )＝9x －2×3x ＋4，x ∈[－1,2]．(1)设t ＝3x ，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值；(2)求f (x )的最大值与最小值．[解析](1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x 在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9， 故t 的最大值为9，t 的最小值为13. (2)由f (x )＝9x －2×3x ＋4＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1，且13≤t ≤9， 故当t ＝1时，函数f (x )有最小值为3，当t ＝9时，函数f (x )有最大值为67.。
课件•指数函数基本概念与性质•指数函数运算规则与技巧•指数函数在生活中的应用举例•指数函数与对数函数关系探讨目录•指数方程和不等式求解技巧•总结回顾与拓展延伸01指数函数基本概念与性质指数函数定义及图像特点指数函数定义形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数称为指数函数。
指数函数图像特点当a>1时，图像上升；当0<a<1时，图像下降。
图像均经过点(0,1)，且y轴为渐近线。
指数函数性质分析指数函数的值域为(0,+∞)。
当a>1时，指数函数在R上单调递增；当0<a<1时，指数函数在R上单调递减。
指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
指数函数没有周期性。
值域单调性奇偶性周期性常见指数函数类型及其特点自然指数函数底数为e（约等于2.71828）的指数函数，记为y=e^x。
其图像上升速度最快，常用于描述自然增长或衰减现象。
幂指数函数形如y=x^n（n为实数）的函数，当n>0时图像上升，当n<0时图像下降。
特别地，当n=1时，幂指数函数退化为线性函数y=x。
对数指数函数底数为a（a>0且a≠1）的对数函数和指数函数的复合函数，记为y=log_a(a^x)=x。
其图像为一条直线，斜率为1，表示输入与输出之间呈线性关系。
复合指数函数由多个基本指数函数通过四则运算组合而成的复杂函数。
其性质取决于各基本函数的性质及组合方式。
02指数函数运算规则与技巧$a^m times a^n =a^{m+n}$，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
乘法法则除法法则幂的乘方法则$a^m div a^n =a^{m-n}$，同底数幂相除，底数不变，指数相减。
$(a^m)^n =a^{m times n}$，幂的乘方，底数不变，指数相乘。
030201同底数指数运算法则$a^m times b^m =(a times b)^m$，不同底数幂相乘，指数不变，底数相乘。
乘法法则$a^m div b^m =(a div b)^m$，不同底数幂相除，指数不变，底数相除。
