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规律方法 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函 数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的 值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平 移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
2.1.2 指数函数及其性质
第1课时 指数函数的图象及性质
学习目标 1.了解指数函数的概念(易错点).2.会画出指数函数 图象(重点).3.掌握并能应用指数函数的性质(重、难点)．
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预习教材 P54－P56，完成下面问题： 知识点 1 指数函数的概念
一般地，函数 y＝ax _(_a_>_0_，__且__a_≠_1_)___叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R.
中，3x 的系数是 1，幂的指数是自变量 x，且只有 3x 一项，故
③是指数函数；④中，y＝x3 的底为自变量，指数为常数，故④
不是指数函数．⑤中，底数－2＜0，不是指数函数．
(2)设 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)，由 f－32＝a－32
3
＝5－2
，故 a＝5，
故 f(x)＝5x，所以 f(3)＝53＝125.
解析 y＝3－x－1，x∈[－2,2)上是减函数，∴3－2－1<y≤32
－1，即－89<y≤8. 答案 A
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3．已知函数f(x)＝2x，则f(1－x)的图象为( )
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解析 f(1－x)＝21－x＝12x－1 是减函数，故排除选项 C，D，又当 x＝0 时，120－1＝2，排除 A，故选 B． 答案 B
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【训练2】 (1)函数y＝2|x|的图象是( )
(2)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下 列结论正确的是( ) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0
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解析
2x，x≥0， (1)y＝2|x|＝12x，x<0，
A．( 2)x
B．2x
C．12x
D．
2x 2
解析 由题意，设 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)，则由 f(2)＝a2＝2，
得 a＝ 2，所以 f(x)＝( 2)x.
答案 A
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2．当 x∈[－2,2)时，y＝3－x－1 的值域是( )
A．－89，8 C．19，9
B．－89，8 D．19，9
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4．函数f(x)＝2·ax－1＋1的图象恒过定点________． 解析 令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2×1＋1＝3，所以f(x)的 图象恒过定点(1,3)． 答案 (1,3)
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5．函数 f(x)＝ ax－1(a>0，且 a≠1)的定义域是(－∞，0]，求 实数 a 的取值范围．
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【训练 3】 求函数 y＝5 2x1－4的定义域和值域．
解 由 2x－4>0，得 x>2，故函数的定义域为{x|x>2}，
因为
1 2x－4
>0
，所
以
y＝5
2x1－4 >1 ， 故 函 数 的 值 域 为
{y|y>1}．
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1．若函数 f(x)是指数函数，且 f(2)＝2，则 f(x)＝( )
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解析 (1)y＝2－x＝12x 是(－∞，＋∞)上的单减函数，故选 B． (2)令 x＋1＝0，则 x＝－1，f(－1)＝a0－2＝－1，则 f(x)的图象 恒过点(－1，－1)．
答案 (1)B (2)(－1，－1)
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题型一 指数函数的概念及应用
【例 1】 (1)给出下列函数： ①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，
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【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝－2x是指数函数．( ) (2)函数y＝2x＋1是指数函数．( ) (3)函数y＝(－3)x是指数函数．( ) 提示 (1)× 因为指数幂2x的系数为－1，所以函数y＝ －2x不是指数函数； (2)× 因为指数不是x，所以函数y＝2x＋1不是指数函数； (3)× 因为底数小于0，所以函数y＝(－3)x不是指数函数．
故选 B．
(2)从曲线的变化趋势，可以得到函数 f(x)为减函数，从而有
0<a<1；从曲线位置看，是由函数 y＝ax(0<a<1)的图象向左平移
|－b|个单位长度得到，所以－b>0，即 b<0.
答案 (1)B (2)D
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题型三 指数型函数的定义域、值域问题
【例 3】 (1)函数 f(x)＝ 1－2x＋ x1＋3的定义域为(
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知识点2 指数函数的图象及性质 a＞1
图 象
0＜a＜1
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课堂反馈_
值域： _(_0_，__＋__∞_)__
过点 _(_0_,_1_) __，即 x＝___0____时，y＝__1_____
性质
当 x＞0 时，y＞1；
当 x＞0 时，__0_＜__y_＜__1__；
当 x＜0 时，_0_＜__y_＜__1___ 当 x＜0 时，y＞1
在 R 上是__增__函__数____
在 R 上是__减__函__数____
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【预习评价】 (1)函数y＝2－x的图象是( )
(2) 函 数 f(x) ＝ ax ＋ 1 － 2(a>0 且 a≠1) 的 图 象 恒 过 定 点 ________．
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【训练1】 若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则( )
A．a＝1或－1
B．a＝1
C．a＝－1
D．a>0且a≠1
解析 答案
a2＝1， 由条件知2－a>0，
2－a≠1，
C
解得 a＝－1.
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题型二 指数函数图象的应用
【例 2】 (1)函数 f(x)＝2ax＋1－3(a>0，且 a≠1)的图象恒过的 定点是________． (2)已知函数 y＝3x 的图象，怎样变换得到 y＝13x＋1＋2 的图 象？并画出相应图象．
解 由题意，当x≤0时，ax≥1，所以0<a<1，故实数a的取 值范围是0<a<1.
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课堂小结
1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y ＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且 系数为1.
2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的性质分底数a>1,0<a<1两种情 况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．
)
A．(－3,0]
B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
(2)函数 f(x)＝13x－1，x∈[－1,2]的值域为________． (3)函数 y＝4x＋2x＋1＋1 的值域为________．
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解析 (1)由题意得自变量 x 应满足1x＋－32>x≥0，0， 解得－3<x≤0. (2)∵－1≤x≤2，∴19≤13x≤3，∴－89≤13x－1≤2，∴值域为 －89，2. (3)函数的定义域为 R，又 y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x ＋1)2，易知 2x>0，故 y>1，即函数的值域为(1，＋∞)．
3．由于指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所 以函数y＝af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．
4．求函数y＝af(x)(a>0且a≠1)的值域的关键是求f(x)的值域．
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答案 (1)B (2)125
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规律方法 判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1) 这一结构特征． (2) 明 特 征 ： 看 是 否 具 备 指 数 函 数 解 析 式 具 有 的 三 个 特 征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．
答案 (1)A (2)－89，2 (3)(1，＋∞)
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规律方法 指数型函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同． (2)值域：①换元，t＝f(x)． ②求t＝f(x)的定义域为x∈D. ③求t＝f(x)的值域为t∈M. ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
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(1)解析 因为y＝ax的图象过定点(0,1)，所以令x＋1＝0， 即x＝－1，则f(x)＝－1，故f(x)＝2ax＋1－3的图象过定点(－1， －1)． 答案 (－1，－1)
