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第五讲 几种特殊类型函数的积分

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特殊类型函数的积分法

特殊类型函数的积分法

特殊类型函数的积分法
特殊类型函数的积分法是数学中计算积分的一种常用方法。

由于它可以求出各种形状的函数的定积分，积分法用于求解各种类型函数的积分有着广泛的应用。

下面我们就来讨论特殊类型函数的积分法。

其中，多项式函数是最常用的特殊类型函数之一，以一元n次多项式函数为例，当n≥0时，函数的积分可以用分好多项式来表示：$\int{{{x}^{n}dx}}={\frac{{{x}^{n+1}}}{{n+1}}}+c$
而另一种特殊类型函数为指数函数，函数的积分可用如下形式表示：$\int{{e}^{kx}dx}={e}^{kx}/k+c$
又如，x的高次幂函数在求积分时，可使用以下形式进行：
$\int{{{x}^{n}dx}}={\frac{{{x}^{n+1}}}{{n+1}}}+c$
另外，对正弦函数和余项函数（cos（x），tg（x））的积分也同
样采用三角函数的基本定理：
$\int{{sinxdx=}-cosx+c}$
$\int{{cosxdx=}sinx+c}$
$\int{{tgxdx=}-ln\left|cosx\right|+c}$
以上就是特殊类型函数的积分，可以看出，对于不同形式的特殊类型函数，采用不同的积分法来求解。

特殊类型函数的积分属于一类规律性的积分，熟练掌握这些方法，可以快速准确地完成特殊类型函数的积分求解。

高等数学：第五章 第5节广义积分

高等数学：第五章 第5节广义积分

cosln
x
x
1
1
sinln
xdx
1
sin(ln x)dx
1 [cosln sin ln ] 1
2
2
1
1
sin(ln x)dx lim[
0
0
] 2
17
例6 dx
0 x(4 x)
1 dx
0 x (4 x) 1
dx x(4 x)
lim[arctan 0
x 2
]1
lim[arctan b
lim
0
b
a f (x)dx .
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
11
设函数 f ( x)在区间[a,b] 上除点外 c 连续，
lim
xc
f
(
x)
,如果两个广义积分ac
f
(
x)dx
和
b
c
f
( x)dx 都收敛，则定义
b
a
f
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx
lim arctanb b
2
2
.
5
例3
计算广义积分
2
1 x2
sin
1 x
dx.
解
2
1 x2
sin
1 x
dx
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b
2
sin
1 x
d
1 x
lim
b
cos
1 x
b 2
blimcos

4-1-4几类特殊函数的积分

4-1-4几类特殊函数的积分
六、几类特殊函数的积分
（一） 有理函数的积分
1 代数有理函数的积分 2 三角函数有理式的积分
（一）、有理函数的积分
1 代数有理函数的积分
R( x )
Pn ( x ) Qm ( x )
其中
Pn ( x) a0 xn a1 x n1 an1 x an Qm ( x) b0 xm b1 xm1 bm1 x bm
上页
下页
上页
下页
3
例8 解
计算积分 ( x - 1)100dx 令x-1 t , 则x t 1.
t 3 3 t 2 3t 1 ( t 1)3 dt dt t 100 t 100 1 3 3 1 ( 97 98 99 100 )dt t t t t
上页 下页
例2 求不定积分
x3 dx. x2 5 x 6 5 6
例3
解
x 2 5 x 6dx ( x 2 x 3 )dx
5 ln | x 2 | 6 ln | x 3 | C
x3
A B C 1 , 2 2 x ( x 1 ) x 1 x ( x 1 )
2 整理得 1 ( A 2 B ) x ( B 2C ) x C A,
1 1 1 dx dx dx x ( x 1) 2 x 1
ln | x | 1 ln | x 1 | C . x 1
A 2 B 0, 4 2 1 B 2C 0, A , B , C , 5 5 5 A C 1, 4 2 1 x 1 5 5 5. 2 (1 2 x )(1 x ) 1 2 x 1 x2

高数资料(特殊积分法)

高数资料(特殊积分法)

t =∫ ⋅ 2 sin t cos t ⋅ d t = −2 ∫ t ⋅ d cos t cos t
= −2t cos t + 2 ∫ cos t ⋅ d t = −2t cos t + 2 sin t + C = −2 1 − x arcsin x + 2 x + C
5 3 2 = ln( x + 2 x + 4) − ∫ 3 2
dx
2
x + 1 1+ 3 5 x +1 3 arctan +C = ln( x 2 + 2 x + 4) − 3 3 2
例2
8 x + 31 2x + 4 dx ⋅ dx = 4 ∫ 2 ⋅ d x+ 15 ∫ 2 ∫ ( x 2 + 4 x + 13)2 ( x + 4 x + 13) 2 ( x + 4 x + 13) 2
1 1 1 = ∫ + ⋅dt 3 3 − t 3 + t 1 3+ t = ln +C 3 3−t
x 1 3 + tan 2 = ln +C x 3 3 − tan 2
例 6 解一
1 ∫ sin 4 x dx .
x u = tan , 2
2u sin x = , 2 1+ u
2 2
1 3 = − cot x − cot x + C . 3 结论 比较以上三种解法, 比较以上三种解法 便知万能置换不一定是最佳 方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 方法 故三角有理式的计算中先考虑其它手段 不得已才用万能置换. 不得已才用万能置换

几类特殊函数的积分方法和技巧

几类特殊函数的积分方法和技巧

4.3 几类特殊函数的积分方法和技巧一、计算下列不定积分：1.⎰++-+x x x x x d 2232234； 解：利用带余除法，将被积函数由假分式化为整式与真分式之和，得原式⎰⎰++-'+++-=++++-=x x x x x x x x x x x x d 223)22(223)d 22142(22322⎰++-+++-=x x x x x x d )1(13)22ln(223223 C x x x x x ++-+++-=)1arctan(3)22ln(22323. 2.⎰+-dx x x x233；解：利用待定常数法将其分解为最简分式之和，设223)1(12)1)(2(23-+-++=-+=+-x Cx B x A x x x x x x ， 通分整理得)22()2()(2C B A x C B A x B A x +-+++-++=，比较等式两边同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=+,022,12,0C B A C B A B A解得31,92,92==-=C B A . 于是C x x x x dx x dx x dx dx x x x +--+-=-+-++-=+-⎰⎰⎰⎰)1(3121ln 92)1(311922922323. 3.⎰++dx x x 1146； 解：⎰⎰⎰⎰+--=++-+=++dx x x dx x dx x x x x dx x x 111111422422646⎰+--=dx xx x x 222311131C xx x x x x x x x d x dx x x x x +++-+-=-++-=-+--=⎰⎰2121ln 221312)1()1(312)1(1131323223.4.⎰++dx x x 1164； 解：原式⎰⎰⎰⎰+++=+-+++-=++=dx x x dx x dx x x x x x x dx x x 111)1)(1(11)(1622242224324 C x x dx x dx x ++=+++=⎰⎰33232arctan 31arctan 1)(13111. 5.⎰+210)1(x x dx；解：原式⎰⎰⎰+====+=+==22101010210109)1(d 101)1(d 101)1(d 10u u ux x x x x x x x u ⎰⎰+-+-=+-+=u u u u u u u u d ])1(1111[101d ])1(1)1(1[10122 C x x x C u u u ++⋅++=++⋅++=111011ln 101111011ln 101101010. 6.⎰+46d x x x；解：原式⎰⎰⎰++-=+-=+=x x x x x x x x x x x ]d 1111[]d )1(11[)1(d 22422424 C x x x+++-=arctan 1313. 7.⎰+dx x x cos sin 1；解：原式C x x x x d ++-+=++=⎰)4cot()4csc(ln 21)4sin()4(21ππππ.8.⎰+x x x xd cos sin sin解一：设⎰+=dx x x x T cos sin sin 1，⎰+=dx xx xT cos sin cos 2，则 121C x dx T T +==+⎰，212cos sin ln cos sin )cos (sin cos sin sin cos C x x x x x x d dx x x x x T T ++=++=+-=-⎰⎰，所以C x x x T ++-=cos sin ln 21211.解二：⎰⎰+-+-+=+dx xx xx x x x dx x x x cos sin sin sin cos cos sin cos sin sin ⎰⎰⎰+-+--++=dx xx x dx x x x x dx x x x x cos sin sin cos sin sin cos cos sin cos sin ，即1cos sin ln cos sin )cos (sin cos sin sin 2C x x x xx x x d dx dx x x x ++-=++-=+⎰⎰⎰， 所以，C x x x dx x x x ++-=+⎰cos sin ln 2121cos sin sin . 解三：⎰⎰+-+=+dx x x dx x x x )4sin()44sin(21cos sin sin πππ⎰⎰++-=+++-+=)4()]4cot(1[21)4()4sin()4cos()4sin(21ππππππx d x x d x x xC x x C x x ++-=++-+=])4sin(ln [21])4sin(ln 4[211πππ. 解四：令t x =tan . 解五：令t x=2tan. 9.⎰+x x dxsin )cos 2(；解一：令x u cos =，则 原式⎰⎰-+=+=)cos 1)(cos 2(cos sin )cos 2(sin 22x x xd x x xdx⎰⎰++--=+-=du u u u u u du )2112(31)2)(1(22⎰⎰--+++--=du u udu u u u 131)211111(312 C x x x C u u u u +++-=+--++-=322)cos 1()cos 2)(cos 1(ln 611ln 611)2)(1(ln 31. 解二：令2tanx u =，则得，原式C x x ++=2tan 32tan ln 313.10.⎰-dx e xe xx 1.解：令1-=x e u ，则)1ln(2u x +=，从而有⎰⎰⎰+=+⋅++=-du u du u uu u u dx e xe x x)1ln(212)1ln()1(12222 ⎰⎰+--+=+-+=du u u u du u u u u )111(4)1ln(214)1ln(222222C e e e x C u u u u x x x +-+---=++-+=1arctan 41412arctan 44)1ln(22.二、设⎩⎨⎧>≤<='1,10 ,1)(ln x x x x f ，且0)0(=f ，求)(x f .解：令x u ln =，则⎩⎨⎧>≤='0 ,0,1)(x e u u f u ，从而⎩⎨⎧>+≤+='=⎰0,0 ,)()(21x C e x C x dx x f x f x ，因为)(x f 可导，则)(x f 在0=x 处必连续，从而0)0(1)00()00(21==+=+==-f C f C f ，故1,021-==C C ，因此⎩⎨⎧>-≤=0,10,)(x e x x x f x.。

数学分析第五讲黎曼积分

数学分析第五讲黎曼积分

数学分析第五讲黎曼积分首先介绍黎曼积分的定义。

设 f(x) 是定义在闭区间 [a, b] 上的有界函数。

将 [a, b]等分成 n 个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b- a) / n。

在每个小区间 [xᵢ₋₁, xᵢ] 上取一点ξᵢ，其中 x₀ = a，xₙ = b。

定义黎曼和 Sₙ = Σf(ξᵢ)Δx，其中Σ 表示求和。

如果当 n 趋近于无穷大时，Sₙ 的极限存在，且与闭区间 [a, b] 上的任意一个选取的点无关，那么这个极限就是 f(x) 在 [a, b] 上的黎曼积分，记作∫[a, b] f(x) dx。

下面讨论黎曼积分的性质。

首先，黎曼积分具有线性性质。

即对于两个有界函数 f(x) 和 g(x)，以及任意的常数 a、b，有∫[a, b] (af(x) + bg(x)) dx = a∫[a, b] f(x) dx + b∫[a, b] g(x) dx。

其次，当f(x) 在 [a, b] 上连续时，它是可积的。

这意味着连续函数是黎曼可积的。

此外，如果 f(x) 在 [a, b] 上只有有限个间断点，则它也是可积的。

最后一个性质是介值性质，即如果 [a, b] 上的一个函数 f(x) 与另一个函数 h(x) 在除有限个点外完全相同，那么 f(x) 在 [a, b] 上的可积性与 h(x) 是相同的。

接下来是计算黎曼积分的方法。

黎曼积分的计算方法有很多种，其中一种常用的方法是分割求和法。

将[a,b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n，在每个小区间上取代表点ξᵢ，然后计算黎曼和Sₙ=Σf(ξᵢ)Δx，其中Σ表示求和。

当n趋近于无穷大时，Sₙ的极限就是f(x)在[a,b]上的黎曼积分。

此外，还可以使用变量代换法、分部积分法等方法来计算黎曼积分。

总结起来，黎曼积分是微积分中的核心概念之一、通过定义和性质可以了解黎曼积分的基本特点。

在计算方法上，可以使用分割求和法、变量代换法、分部积分法等方法来计算黎曼积分。

特殊函数的积分


A 2B 0,
B 2C 0, A C 1,

1
(1 2x)(1
A x2 )
1
4, B 5 4
5 2x

2,C 5
2x1 55 1 x2
1 5
.
,
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Higher mathematics
例4 求积分
1 x( x 1)2dx.
绵阳师范学院
（2）分母中若有因式 ( x2 px q)k ，其中 p2 4q 0 则分解后为
M1x N1 ( x2 px q)k

(
x
M2 2
x N2 px q)k
1


Mk x Nk x2 px q
其中Mi , N i 都是常数(i 1,2, , k).
x 3 ( A B)x (3A 2B),

A (3
B A

1, 2B)

3,

A B

5 ,
6

x2
x3 5x
6
5 x2

x
6
. 3
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Higher mathematics
绵阳师范学院
例2
1 x( x1)2

A x
绵阳师范学院
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这有理函数是真分式；
(2) n m, 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和.
例
x3 x2
x 1
1

x

几种特殊函数的积分


du
3
(u2 1) 1 u
1
du
3
u
1
u
1
1
du
3 u2 u ln1 u C
2
3 3 ( x 2)2 33 x 2 3ln1 3 x 2 C. 2
例10
求积分
1 x
1 x dx. x
解 令 t 1 x x 1 dx 2tdt .
x
t2 1
(t 2 1)2
5
55
1
4 2x1 5 5 5.
(1 2x)(1 x2 ) 1 2x 1 x2
例4
求积分
x(
1 x
1)2
dx.
解
1 x(x
1)2
dx
1 x
(x
1 1)2
x
1
1
dx
1 x
dx
(
x
1
1)2
dx
x
1
1
dx
ln x 1 ln( x 1) C. x 1
例5
求积分
1 (1 2x)(1
都是常数其中2分母中若有因式其中真分式化为部分分式之和的待定系数法cxbx的值代入并将求积分dx求积分dx说明将有理函数化为部分分式之和后只出现三类情况
第四节 几种特殊函数的积分
一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数的定义：
两个多项式的商表示的函数称为有理函数.
例2
1 x( x 1)2
A B x ( x 1)2
C, x 1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C 取 x 0 A1 取 x 1 B1 取 x 2 ,并将 A, B 的值代入(1), C 1

2几种特殊类型的函数积分-精选文档


待定系数法
P( x ) 有理真分式 化为部分分式之和的步骤： Q( x )
（ 1 ）对分母 Q ( x ) 在实数系作标准分解
2 2 k h 1 1 b ( x ) ( x ) ( x p x q ) ( x p x q ) 0 1 k 1 1 h h
p p x px q x q , 4 2
2
2
2
p 令 x t 2
（ 综 令 x0 C1 ; 合 , A1 ; 令 x1 , 法 ） B A 1. 0 A B , 比较二次项的系数， 得
1 1 1 1 . 2 2 x ( x 1) x x 1 (x 1 )
2 1 A ( x 1 ) Bx ( x 1 ) Cx .
B x D B x D h , h , h , 1 h , 1 1 h } 2 2 h x p x q ( x p x q ) h h h h
（其中各系数待定）；
例1
解 x 3 x3 分 母 因 式 分 2 ( x 2 )( x 3 ) x 5x 6
（ 比 较 系 数 法 ）
或
由 x 3 A ( x 3 ) B ( x 2 ),
（ 赋 值 法 ）
B6 ; 3 3 B ( 3 2), 令 x 3, 得
令 x 2, A 5 .
.
A B C 1 , 例2 2 2 x x 1 (x 1 ) x ( x 1 )
P(x) Q (x)
A A k , k , 1 k k x ( x ) k k
B x D B x D 1 , 1 , 1 , 1 1 , 1 1 1 2 2 1 x p x q ( x p x q ) 1 1 1 1
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第五讲 几种特殊类型函数的积分 一、回顾上节内容 分部积分法 二、本节教学内容 1.简单有理函数的积分； 2.简单三角函数有函数的积分； 3.简单无理函数的积分。 [教学目的与要求] 1.掌握简单有理函数的积分； 2.掌握简单三角函数有函数的积分； 3.掌握简单无理函数的积分。 [教学重点难点] 简单有理函数、三角函数与无理函数积分

§4.4 几种特殊类型函数的积分 一、有理函数的不定积分 1.化有理函数为简单函数 两个多项式的商所表示的函数)(xR称为有理函数，即

mmmmmnnnnnbxbxbxbxbaxaxaxaxaxQxPxR122110122110)(

)()(

 （1）

其中n和m是非负整数；naaaa,,,,210及mbbbb,,,,210都是实数，并且

0,000ba． 当（1）式的分子多项式的次数n小于其分母多项式的次数m，即mn时，称为有理真分式；当mn时，称为有理假分式． 对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一个真分式之和的形式．例如

12)1(112224xxxxxx．

多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题． 设有理函数（1）式中mn，如果多项式)(xQ在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积： )()()()()(220srxxqpxxbxaxbxQ．

其中srqpba,,,,,,,为实数；042qp，…，042sr；,,,,,

为正整数，那末根据代数理论可知，真分式)()(xQxP总可以分解成如下部分分式之和，即 )()()()()(1121bxBaxAaxAaxAxQxP



)()(21112qpxxNxMbxBbxB



)()(21121222srxxSxRqpxxNxMqpxxNxM



srxxSxRsrxxSxR21222)(． （2）

其中iiiiiiSRNMBA,,,,,,,都是待定常数，并且这样分解时，这些常数是唯一的． 可见在实数范围内，任何有理真分式都可以分解成下面四类简单分式之和：

（1）axA ，

（2）kaxA)( （k是正整数，2k），

（3）qpxxBAx2 （042qp）， （4）kqpxxBAx)(2 （k是正整数，04,22qpk）． 2. 有理函数的不定积分 求有理函数的不定积分归结为求四类简单分式的积分．下面讨论这四类简单分式的积分．

（1）CaxAaxdaxAdxaxAln)(1，

（2）CaxkAaxdaxAdxaxAkkk1)(11)()()(， （3）dxqpxxBAx2 （042qp）． 将分母配方得)4()2(222pqpxqpxx，作变量代换2pxu，则dudxpux,2；由于04,0422pqqp，记224apq，于是

duauBpuAdxpqpxBAxdxqpxxBAx

22222

)2(

)4()2(

duauApBduauAu2222

2

CauaApBauAarctan2)ln(222

CpqpxpqApBqpxxA22242arctan42)ln(2．

（4）dxqpxxBAxk)(2 (04,22qpk)． 作变量代换2pxu，并记224apq，于是 duauApBduauAudxqpxxBAxkkk)(2)()(22222．

其中第一个积分 CaukAaudauAduauAukkk122222222)(1)1(2)()(2)(

．

第二个积分可通过建立递推公式求得．记 kkauduI)(22

利用分部积分法有 12222222)(2)()(kkkkauduukauuau

duI duauaaukauukk12222222)()(2)(

122222)(kkk

kIakI

au

u．

整理得 kkkIkakauukaI22221212)(21． 于是可得递推公式 ]2232)()1(21[111222kkkIkkauukaI． （3）

利用（3）式，逐步递推，最后可归结为不定积分 CauaauduIarctan1221．

最后由2pxu全部换回原积分变量，即可求出不定积分dxqpxxBAxk)(2． 例1 求dxxxx22)32(1． 解 dxxxdxxxx2222]2)1[(21)32(1 2222)2(2)2(1ududuu

uxu

]2212121[212)2(21222uduuuu

Cuuu2arctan22

1)2(21

2

` Cxxxx21arctan221)32(222． 例2 求dxxx2)1(1． 解 因为2)1(1xx可分解为 1)1()1(122xCxBxAxx．

其中A，B，C为待定系数．可以用两种方法求出待定系数． 第一种方法：两端去掉分母后，得

)1()1(12xCxBxxA． （4）

即 AxCABxCA)2()(12 由于（4）式是恒等式，等式两端2x和x的系数及常数项必须分别相等，于是有





1020ACABCA

，

从而解得 1A，1B，1C． 第二种方法：在恒等式（4）中，代入特殊的x值，从而求出待定系数．如令0x，得1A；令1x，得1B；把A，B的值代入（4）式，并令2x，得C2211，即1C．于是

dxxxxdxxx)1

1)1(11()1(1

22

dxxdxxdxx1

1)1(11

2

Cxxx1ln11ln．

例3 求dxxxx22)1)(1(22．

解 因为1)1(1)1)(1(2222222xEDxxCBxxAxxx， 两端去分母得 )1)(1)(()1)(()1(22222xxEDxxCBxxAx

234)2()()(xBEDAxDExDA

)()(CEAxCBED． 两端比较系数得 



220200CEACBEDBEDADEDA

，

解方程组得1A，2B，0C，1D，1E，故 dxxxxxxdxxxx)11)1(211()1)(1(2222222

dxxxdxxxdxx11)1(

211

222

Cxxxxarctan)1ln(21111ln22

Cxxxxarctan1111ln22

．

例4 求dxxxx6532． 解 因为32)3)(2(36532xBxAxxxxxx， 两端去分母得 )2()3(3xBxAx．

令2x，得5A；令3x，得6B．于是 Cxxdxxxdxxxx2ln53ln6)2536(65

3

2

Cxx56)2()3(ln．

从理论上讲，多项式)(xQ总可以在实数范围内分解成一次因式和二次质因式的乘积，从而把有理函数)()(xQxP分解为多项式与四类简单分式之和，而简单分式都可以积出．所以，任何有理函数的原函数都是初等函数．但我们同时也应该注意到，在具体使用此方法时会遇到困难．首先，用待定系数法求待定系数时，计算比较繁琐；其次，当分母的次数比较高时，因式分解相当困难．因此，在解题时要灵活使用各种方法．

例5 求dxxxxxx12232．

解 dxxdxxdxxxxxdxxxxxx1111)1)(1()1()1(12222232