2017-2018学年高中数学 选修2-3文档：第2章 2-4 二项分布 含答案 精品

第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.1 离散型随机变量的均值A 级 基础巩固一、选择题1．一批种子的发芽率为80%，现播下100粒该种种子，则发芽的种子数X 的均值为( )A ．60B ．70C ．80D ．90解析：易知发芽的种子数X ～B (100，0.8)， 所以E (X )＝100×0.8＝80. 答案：C2．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则E (ξ)的值为( )A.118B.19C.209D.920解析：根据概率和为1，可得x ＝118，所以E (ξ)＝0×2x ＋1×3x ＋2×7x ＋3×2x ＋4×3x ＋5×x ＝40x ＝209. 答案：C3．同时抛掷5枚质地均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X ，则X 的均值是( )A ．20B ．25C ．30D ．40解析：抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为C 2525＝516.所以X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫80，516.故E (X )＝80×516＝25. 答案：B4．若随机变量ξ～B (n ，0.6)，且E (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值为( ) A ．2×0.44 B ．2×0.45 C ．3×0.44D ．3×0.64解析：因为ξ～B (n ，0.6)，所以E (ξ)＝n ×0.6，故有0.6n ＝3，解得n ＝5.P (ξ＝1)＝C 15×0.6×0.44＝3×0.44.答案：C5．口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的期望为( )A.13B.23 C ．2 D.83解析：X ＝2，3所以P (X ＝2)＝1C 23＝13，P (X ＝3)＝C 12C 23＝23.所以E (X )＝2×13＋3×23＝83.答案：D 二、填空题6．已知X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫100，12，则E (2X ＋3)＝________． 解析：E (X )＝100×12＝50，E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝103.答案：1037．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的期望E ． 解析：答案：0.48．对某个数学题，甲解出的概率为23，乙解出的概率为34，两人独立解题．记X 为解出该题的人数，则E (X )＝________．解析：P (X ＝0)＝13×14＝112，P (X ＝1)＝23×14＋13×34＝512，P (X ＝2)＝23×34＝612，E (X )＝1×5＋2×612＝1712.答案：1712三、解答题9．某运动员投篮投中的概率为0.6.求： (1)一次投篮时投中次数X 的均值； (2)重复5次投篮时投中次数Y 的均值． 解：(1)X 的分布列为则E (X )＝0×0.4＋1即一次投篮时投中次数X 的均值为0.6. (2)Y 服从二项分布，即Y ～B (5，0.6)． 故E (Y )＝5×0.6＝3，即重复5次投篮时投中次数Y 的均值为3.10．在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望．解：从10件产品中任取3件，共有C310种结果．从10件产品任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C k3C3－k7，其中k＝0，1，2，3.所以P(X＝k)＝C k3C3－k7C310，k＝0，1，2，3.所以随机变量X的分布列是：所以E(X)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910. B级能力提升1．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是()A．2 000元B．2 200元C．2 400元D．2 600元解析：出海的期望效益E(ξ)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)．答案：B2．设离散型随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，P(ξ＝k)＝ak ＋b(k＝1，2，3，4)，且E(ξ)＝3，则a＋b＝________．解析：因为P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝10a＋4b＝1，且E(ξ)＝30a＋10b＝3，所以a＝110，b＝0，所以a＋b＝110.答案：1 103．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“？”代替)，其表如下：(1)求P(2)求E(X)；(3)若η＝2X－E(X)，求E(η)．解：(1)由分布列的性质可知0．20＋0.10＋0.？5＋0.10＋0.1？＋0.20＝1.故0.？5＋0.1？＝0.40.由于小数点后只有两位有效数字，故0.1？中“？”处应填5，0.？5中的“？”处数字为2.即P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15.(2)E(X)＝1×0.20＋2×0.10＋3×0.25＋4×0.1＋5×0.15＋6×0.20＝3.50.(3)法一由E(η)＝2E(X)－E(X)＝E(X)得，E(η)＝E(X)＝3.50.法二由于η＝2X－E(X)，所以η的分布列如下：所以 4.5×0.10＋6.5×0.15＋8.5×0.20＝3.50.。

选修2-3 第二章 2.3 2.3.2一、选择题1．若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为导学号 03960519( ) A ．3·2－2B ．2－4C ．3·2－10D ．2－8[答案] C[解析] E (X )＝np ＝6，D (X )＝np (1－p )＝3， ∴p ＝12，n ＝12，则P (X ＝1)＝C 112·12·(12)11＝3·2－10. 2．设随机变量X 的概率分布列为P (X ＝k )＝p k ·(1－p )1－k (k ＝0,1)，则E (X )、D (X )的值分别是导学号 03960520( )A ．0和1B ．p 和p 2C ．p 和1－pD ．p 和(1－p )p[答案] D[解析] 由X 的分布列知，P (X ＝0)＝1－p ，P (X ＝1)＝p ，故E (X )＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，易知X 服从两点分布，∴D (X )＝p (1－p )．3．已知随机变量ξ和η，其中η＝10ξ＋2，且E (η)＝20，若ξ的分布列如下表，则m 的值为导学号 03960521( )A ．4760B ．3760C ．2760D ．18[答案] A[解析] ∵E (η)＝E (10ξ＋2)＝10E (ξ)＋2＝20， ∴E (ξ)＝1.8即：1×14＋2m ＋3n ＋4×112＝1.8，∴2m ＋3n ＝7360①又m ＋n ＝1－14－112＝23②由①②得，m ＝4760.4．甲、乙两台自动机床各生产同种标准产品1000件，ξ表示甲车床生产1000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别如表一、表二所示．据此判定导学号 03960522( )表一A ．甲比乙质量好 C ．甲与乙质量相同 D ．无法判定[答案] B[解析] 由分布列可求甲的次品数期望为E (ξ)＝0.7，乙的次品数期望为E (η)＝0.7，进而得D (ξ)＝(0－0.7)2×0.7＋(1－0.7)2×0＋(2－0.7)2×0.2＋(3－0.7)2×0.1＝1.21，D (η)＝(0－0.7)2×0.6＋(1－0.7)2×0.2＋(2－0.7)2×0.1＋(3－0.7)2×0.1＝1.01，故乙的质量要比甲好．5．随机变量X ～B (100,0.2)，那么D (4X ＋3)的值为导学号 03960523( ) A ．64 B ．256 C ．259 D ．320[答案] B[解析] 由X ～B (100,0.2)知随机变量X 服从二项分布，且n ＝100，p ＝0.2，由公式得D (X )＝np (1－p )＝100×0.2×0.8＝16，因此D (4X ＋3)＝42D (X )＝16×16＝256，故选B ．6．已知X 的分布列如下表：且a 、b 、c 成等比数列，E (X )＝19，则a ＝导学号 03960524( )A ．16B ．13C ．12D ．23[答案] C[解析] 由分布列的性质得a ＋b ＋c ＝1318①∵E (X )＝19，∴－a ＋c ＋59＝19，∴a －c ＝49，②又a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ，③ 将②代入①、③得，⎩⎨⎧2a ＋b ＝76， ④b 2＝a (a －49). ⑤由④得b ＝76－2a ，代入⑤得，a ＝12或a ＝4954，当a ＝4954时，a ＋518＝6454>0，不合题意舍去，∴a ＝12.二、填空题7．(2016·海口高二检测)已知随机变量X ～B (4，p )，若E (X )＝2，则D (X )＝________.导学号 03960525[答案] 1[解析] 随机变量X 服从二项分布X ～B (4，p )，E (X )＝2， ∴4p ＝2，∴p ＝12，∴D (X )＝4p (1－p )＝1，故答案为1.8．随机变量ξ的取值为0、1、2，若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.导学号 03960526[答案] 25[解析] 设ξ＝1的概率为p .则E (ξ)＝0×15＋1×p ＋2(1－p －15)＝1，∴p ＝35.故D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.9．(2016·枣庄市高二检测)抛掷一枚均匀硬币n (3≤n ≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B (n ，12)，若P (ξ＝1)＝332，则方差D (ξ)＝________.导学号 03960527[答案] 32[解析] ∵3≤n ≤8，ξ服从二项分布B (n ，12)，且P (ξ＝1)＝332，∴C 1n ·(12)n －1·(1－12)＝332， 即n ·(12)n ＝664，解得n ＝6，∴方差D (ξ)＝np (1－p )＝6×12×(1－12)＝32.三、解答题10．下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.导学号 03960528(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) [解析] 设A i 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i ＝1,2，…，13)， 根据题意，P (A i )＝113，且A i ∩A j ＝∅(i ≠j )．(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A 5∪A 8， 所以P (B )＝P (A 5∪A 8)＝P (A 5)＋P (A 8)＝213.(2)由题意可知，X 的所有可能取值为0、1、2，且 P (X ＝1)＝P (A 3∪A 6∪A 7∪A 11) ＝P (A 3)＋P (A 6)＋P (A 7)＋P (A 11)＝413，P (X ＝2)＝P (A 1∪A 2∪A 12∪A 13) ＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 12)＋P (A 13)＝413，P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝513.所以X 的分布列为：故X 的期望E (X )＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．一、选择题1．(2016·泰安高二检测)设ξ是离散型随机变量，P (ξ＝x 1)＝23，P (ξ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (ξ)＝43，D (ξ)＝29，则x 1＋x 2的值为导学号 03960529( )A ．53B ．73C ．3D ．113[答案] C[解析] 由E (ξ)＝43，D (ξ)＝29得，⎩⎨⎧23x 1＋13x 2＝43，(x 1－43)2·23＋(x 2－43)2·13＝29，解之得，⎩⎨⎧x 1＝53，x 2＝23，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2. ∵x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2.∴x 1＋x 2＝3.2．随机变量X 的分布列如下：若E (X )＝158，则D (X )等于导学号 03960530( )A ．732B ．932C ．3364D ．5564[答案] D[解析] 由题意知， ⎩⎪⎨⎪⎧1×0.5＋2x ＋3y ＝158，0.5＋x ＋y ＝1，∴⎩⎨⎧x ＝18，y ＝38.∴D (X )＝(1－158)2×12＋(2－158)2×18＋(3－158)2×38＝5564.二、填空题3．已知随机变量ξ的概率分布列如下：导学号 03960531已知E (ξ)＝6.3，随机变量η[答案] 1.68[解析] 由分布列的性质知b ＝1－0.5－0.1＝0.4，∵E (ξ)＝4×0.5＋0.1×a ＋9×0.4＝0.1a ＋5.6＝6.3，∴a ＝7， ∵η～B (a ，b )，即η～B (7,0.4)， ∴D (η)＝7×0.4×(1－0.4)＝1.68.4．已知总体的各个体的值由小到大依次为2、3、3、7、a 、b 、12、13.7、18.3、20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是________.导学号 03960532[答案] 10.5、10.5[解析] 由题意得a ＋b2＝10.5，∴a ＋b ＝21，x ＝2＋3＋3＋7＋21＋13.7＋18.3＋20＋1210＝10，∴s 2＝110[(10－2)2＋(10－3)2＋(10－3)2＋(10－7)2＋(10－a )2＋(10－b )2＋(10－12)2＋(10－13.7)2＋(10－18.3)2＋(10－20)2]＝110[82＋72＋72＋32＋(10－a )2＋(10－b )2＋4＋3.72＋8.32＋102] ＝110[(10－a )2＋(10－21＋a )2＋…] ＝110[2(a －10.5)2＋…]当a ＝10.5时，方差s 最小，b ＝10.5. 三、解答题5．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.导学号 03960533(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．[解析] (1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”， 则有A －＝“张同学所取的3道题都是甲类题”． 因为P (A －)＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (A －)＝56.(2)X 所有的可能取值为0、1、2、3. P (X ＝0)＝C 02·(35)0·(25)2·15＝4125； P (X ＝1)＝C 12·(35)1·(25)1·15＋C 02(35)0·(25)2·45＝28125； P (X ＝2)＝C 22·(35)2·(25)0·15＋C 12(35)1·(25)1·45＝57125； P (X ＝3)＝C 22·(35)2·(25)0·45＝36125. 所以X 的分布列为：所以E (X )＝0×4125＋1×28125＋2×57125＋3×36125＝2.6．(2016·山师附中高二检测)现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下．(如：落在区间[10,15)内的频率/组距为0.0125)规定分数在[10,20)、[20,30)、[30,40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表.导学号 03960534(1)求a 的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；(2)若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X 的分布列； (3)若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y 的期望． [解析] (1)由频率分布直方图知：(0.0625＋0.0500＋0.0375＋a ＋2×0.0125)×5＝1，∴a ＝0.0250.其中为一级运动员的概率为(0.0125＋0.0375)×5＝0.25， ∴选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25×16＝4人． (2)由已知可得X 的可能取值分别为0、1、2、3， P (X ＝0)＝C 312C 316＝1128，P (X ＝1)＝C 212·C 14C 316＝3370，P (X ＝2)＝C 112·C 24C 316＝970，P (X ＝3)＝C 34C 316＝1140，∴X 的分布列为(3)由已知得Y ～B (3，14)，∴E (Y )＝np ＝3×14＝34，∴含有一级运动员人数Y 的期望为34.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知随机变量ξ满足P (ξ＝1)＝0.3，P (ξ＝2)＝0.7，则E (ξ)和D (ξ)的值分别为( )A ．0.6和0.7B ．1.7和0.09C ．0.3和0.7D ．1.7和0.21【解析】 E (ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D (ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21.【答案】 D2．设二项分布B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( )A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.1【解析】 由题意得，np ＝2.4，np (1－p )＝1.44， ∴1－p ＝0.6，∴p ＝0.4，n ＝6. 【答案】 B3．设ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k(k ＝0,1,2,3,4,5)，则D (3ξ)＝( )A ．10B ．30C ．15D ．5【解析】 由ξ的分布列知ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，所以D (ξ)＝5×13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝109，所以D (3ξ)＝9D (ξ)＝10.【答案】 A4．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D (ξ)＝( )A.158B.154C.52D ．5【解析】 两枚硬币同时出现反面的概率为12×12＝14，故ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，14， 因此D (ξ)＝10×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝158. 【答案】 A5．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．表中射击比较稳定的运动员是( )A.甲 C ．一样D ．无法比较【解析】 E (ξ)＝9.2，E (η)＝9.2，所以E (η)＝E (ξ)，D (ξ)＝0.76，D (η)＝0.56<D (ξ)，所以乙稳定．【答案】 B 二、填空题6．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________. 【解析】 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.【答案】 257．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．【解析】 在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D (ξ)＝p (1－p )，所以p (1－p )＝0.25，解得p ＝0.5.【答案】 0.58．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________．【解析】 设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X ，所得的分数(成绩)为Y ，则Y ＝4X .由题知X ～B (25,0.6)，所以E (X )＝25×0.6＝15，D (X )＝25×0.6×0.4＝6， E (Y )＝E (4X )＝4E (X )＝60，D (Y )＝D (4X )＝42× D (X )＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96. 【答案】 60,96 三、解答题9．已知随机变量X 的分布列为若E (X )＝23. (1)求D (X )的值；(2)若Y ＝3X －2，求D (Y )的值.【导学号：29472074】【解】 由12＋13＋p ＝1，得p ＝16. 又E (X )＝0×12＋1×13＋16x ＝23， 所以x ＝2.(1)D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232×16＝1527＝59. (2)因为Y ＝3X －2，所以D (Y )＝D (3X －2)＝9D (X )＝5.10．每人在一轮投篮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直试投到4次为止．已知一选手的投篮命中率为0.7，求一轮练习中该选手的实际投篮次数ξ的分布列，并求出ξ的期望E(ξ)与方差D(ξ)(保留3位有效数字)．【解】ξ的取值为1,2,3,4.若ξ＝1，表示第一次即投中，故P(ξ＝1)＝0.7；若ξ＝2，表示第一次未投中，第二次投中，故P(ξ＝2)＝(1－0.7)×0.7＝0.21；若ξ＝3，表示第一、二次未投中，第三次投中，故P(ξ＝3)＝(1－0.7)2×0.7＝0.063；若ξ＝4，表示前三次未投中，故P(ξ＝4)＝(1－0.7)3＝0.027.因此，随机变量ξ的分布列为：E(ξ)＝1×0.7＋2D(ξ)＝(1－1.417)2×0.7＋(2－1.417)2×0.21＋(3－1.417)2×0.063＋(4－1.417)2×0.027＝0.513.[能力提升]1．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B(10,0.6)，则E(η)和D(η)的值分别是()A．6和2.4 B．2和2.4C．2和5.6 D．6和5.6【解析】由已知E(ξ)＝10×0.6＝6，D(ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.因为ξ＋η＝8，所以η＝8－ξ.所以E(η)＝－E(ξ)＋8＝2，D(η)＝(－1)2D(ξ)＝2.4.【答案】 B2．随机变量ξ的分布列如下表，且E(ξ)＝1.1，则D(ξ)＝()A.0.36C．0.49 D．0.68【解析】先由随机变量分布列的性质求得p＝1 2.由E (ξ)＝0×15＋1×12＋310x ＝1.1，得x ＝2.所以D (ξ)＝(0－1.1)2×15＋(1－1.1)2×12＋(2－1.1)2×310＝0.49. 【答案】 C3．抛掷一枚均匀硬币n (3≤n ≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，若P (ξ＝1)＝332，则方差D (ξ)＝________.【解析】 因为3≤n ≤8，ξ服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，且P (ξ＝1)＝332，所以C 1n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝332，即n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝664，解得n ＝6，所以方差D (ξ)＝np (1－p )＝6×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝32. 【答案】 324．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图2-3-1所示．图2-3-1将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．【解】 (1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个．”因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝C03(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216，则X的分布列为因为X～B方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.。

2.2超几何分布1．了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．(重点)2．会利用超几何分布的概念判断一个实际问题是否属于超几何分布，从而利用相关公式解题．(难点)[基础·初探]教材整理超几何分布的概率及表示阅读教材P53～P55，完成下列问题．一般地，若一个随机变量X的分布列为P(X＝r)＝C r M C n－rN－MC n N，其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min(n，M)，则称X服从超几何分布，记为X～H(n，M，N)，并将P(X＝r)＝C r M C n－rN－MC n N记为H(r；n，M，N)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)超几何分布的总体中只有两类物品．()(2)在产品检验中，超几何分布描述的是有放回抽样．()(3)若X～H(n，M，N)，则n≤M.()(4)超几何分布X～H(n，M，N)中n是随机一次取出的样本容量，M是总体中不合格产品的总数，N是总体中的个体总数．()【答案】(1)√(2)×(3)×(4)√2．在含有5件次品的10件产品中，任取4件，则取到的次品数X的分布列为P(X＝r)＝________.【解析】P(X＝r)＝C r5C4－r5C410，r＝0,1,2,3,4.【答案】C r5C4－r5C410，r＝0,1,2,3,43．从有3个黑球，5个白球的盒中取出2个球，其中恰有一个是白球的概率是________. 【导学号：29440038】【解析】由题意，这是一道超几何分布题，其中N＝8，M＝5，n＝2.所以P(X＝1)＝C15C13C28＝1528.【答案】1528[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布；(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布；(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布；(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布；(5)现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布．【精彩点拨】总体是否由两类个体构成→随机变量是否为样本中一类个体的个数→是否为不放回抽样【自主解答】(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本，某类样本被抽取的件数，是超几何分布．(5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题．1．判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：(1)总体是否可分为两类明确的对象；(2)是否为不放回抽样；(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．2．超几何分布中，r，n，M，N均为有限数，且r≤min(n，M)．[再练一题]1．下列随机变量中，服从超几何分布的有________．(填序号)①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X；②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数；③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X.【解析】根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布．②中随机变量X服从超几何分布．而③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．【答案】①②现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为1 7.(1)求7名学生中甲班的学生数；(2)设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率．【精彩点拨】(1)利用古典概型求解．(2)借助超几何分布的概率公式求解．【自主解答】(1)设甲班的学生人数为M，则C2M C27＝1 7.即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去)．∴7名学生中甲班的学生共有3人．(2)由题意可知，ξ～H(2,3,7)，∴P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝C13C14C27＋C23C04C27＝47＋17＝5 7.求解此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布.如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布模型求解，否则借助相应概率公式求解.[再练一题]2．高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：准备了10张相同的卡片，其中只在5张卡片上印有“奖”字．游戏者从10张卡片中任意抽取5张，如果抽到2张或2张以上印有“奖”字的卡片，就可获得一件精美的小礼品；如果抽到的5张卡片上都印有“奖”字，除精美小礼品外，还可获赠一套丛书．一名同学准备试一试，那么他能获得精美小礼品的概率是多少？能获赠一套丛书的概率又是多少？【解】设X表示抽取5张卡片中印有“奖”字的卡片数，则X服从参数为N＝10，M＝5，n＝5的超几何分布．X的可能取值为0,1,2,3,4,5，则X的分布列为P(X＝r)＝C r5C5－r5C510(r＝0,1,2,3,4,5)．若要获得精美小礼品，只需X≥2，故获得精美小礼品的概率为P(X≥2)＝1－P(X<2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－C05C55C510－C15C45C510＝113126.若要获赠一套丛书，必须X＝5，故获赠一套丛书的概率为P(X＝5)＝C55C05 C510＝1252.[探究共研型]探究1产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？【提示】这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从两点分布的随机变量．探究2只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？【提示】不一定．如随机变量X的分布列由下表给出X探究3在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X是否服从超几何分布？超几何分布适合解决什么样的概率问题？【提示】随机变量X服从超几何分布，超几何分布适合解决从一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)、B(N—M个)，任取n个，其中恰有X 个A的概率分布问题．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y 元，求Y 的分布列．【精彩点拨】 (1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X ～(0,1)．(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X (X ＝1,2)服从超几何分布．【自主解答】 (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况．P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X 的分布列为(2)1张中奖或2张都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23.②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115.因此随机变量Y 的分布列为1．两点分布的几个特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．(2)由对立事件的概率求法可知，已知P (X ＝0)(或P (X ＝1))，便可求出P (X ＝1)(或P (X ＝0))．2．解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．[再练一题]3．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．【解】设所得金额为X，X的可能取值为3,7,11.P(X＝3)＝C38C310＝715，P(X＝7)＝C28C12C310＝715，P(X＝11)＝C18·C22C310＝115.故X的分布列为1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是________．【解析】设随机变量X为抽到白球的个数，X服从超几何分布，由公式，得P(X＝1)＝C14C25C39＝4×1084＝1021.【答案】10 212．有10位同学，其中男生6位，女生4位，从中任选3人参加数学竞赛．用X表示女生人数，则概率P(X≤2)＝________. 【导学号：29440039】【解析】 P (X ≤2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝0)＝C 14C 26C 310＋C 24C 16C 310＋C 36C 310＝2930.【答案】 29303．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋中装有6个白球，6个红球，今从两袋内任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则P (X ＝1)＝________.【解析】 P (X ＝1)＝C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112＝12.【答案】 124．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好学生”的人数，则当X 取________时，对应的概率为C 35C 37C 612.【解析】 由题意可知，X 服从超几何分布，由概率值中的C 35可以看出“从5名三好生中选取了3名”．【答案】 35．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率． 【解】 (1)ξ可能取的值为0,1,2，服从超几何分布，P (ξ＝k )＝C k 2·C 3－k4C 36，k ＝0,1,2.所以，ξ的分布列为(2)由(1)P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝45.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

§2超几何分布[对应学生用书P23]已知在8件产品中有3件次品，现从这8件产品中任取2件，用X 表示取得的次品数． 问题1：X 可能取哪些值？ 提示：0,1,2.问题2：“X ＝1”表示的试验结果是什么？P (X ＝1)的值呢？ 提示：任取2件产品中恰有1件次品．P (X ＝1)＝C 13C 15C 28.问题3：如何求P (X ＝k )？(k ＝0,1,2)提示：P (X ＝k )＝C k 3C 2－k 5C 28.超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件是次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC nN(其中k 为非负整数)． 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．(1)超几何分布，实质上就是有总数为N 件的两类物品，其中一类有M (M ≤N )件，从所有物品中任取n 件，这n 件中所含这类物品的件数X 是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率为P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N①(k ≤l ，l 是n 和M 中较小的一个)．(2)在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式①求出X 取不同值时的概率P ，从而写出X 的分布列．[对应学生用书P23][例1] 个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．[思路点拨] 若以30个球为一批产品，则球的总数30可与产品总数N 对应，红球数10可与产品中总的不合格产品数对应，一次从中摸出5个球，即n ＝5，这5个球中红球的个数X 是一个离散型随机变量，X 服从超几何分布．[精解详析] 若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X 表示取到的红球数，则X 服从超几何分布．由公式得P (X ＝4)＝C 410C 5－420C 530＝70023751≈0.0295， 所以获一等奖的概率约为2.95%.[一点通] 解决此类问题的关键是先判断所给问题是否属于超几何分布问题，若是，则可直接利用公式求解，要注意M ，N ，n ，k 的取值．1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是( ) A.2845 B.1645 C.1145D.1745解析：由题意10件产品中有2件次品，故所求概率为P ＝C 12C 18C 210＝1645.答案：B2．设10件产品中，有3件次品，现从中抽取5件，用X 表示抽得次品的件数，则X 服从参数为________(即定义中的N ，M ，n )的超几何分布．答案：10,3,53．从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试．试求出选3名同学中，至少有一名女同学的概率．解：设选出的女同学人数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3，且X 服从参数为N ＝10，M ＝4，n ＝3的超几何分布，于是选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为：P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 14C 26C 310＋C 24C 16C 310＋C 34C 06C 310＝56或P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 04C 36C 310＝56.[例2] (10分)变量X 表示所选3人中女生的人数，求X 的分布列及P (X <2)．[思路点拨] 可以将8人看作8件“产品”，3名女生看作3件“次品”，任选3人中女生的人数可看作是任取3件“产品”中所含的“次品”数．[精解详析] 由题意分析可知，随机变量X 服从超几何分布．其中N ＝8，M ＝3，n ＝3，(2分)所以P (X ＝0)＝C 35C 03C 38＝528，P (X ＝1)＝C 25C 13C 38＝1528，P (X ＝2)＝C 15C 23C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 05C 33C 38＝156. (8分)从而随机变量X 的分布列为X ＝k 0 1 2 3 P (X ＝k )52815281556156所以P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝528＋1528＝57.(10分)[一点通] 解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否服从超几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布概率公式来解．当然，本例也可通过古典概型解决．4．(重庆高考改编)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列．(注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数．)解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p ＝C 34＋C 33C 39＝584. (2)X 的所有可能值为1,2,3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384， P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112，故X 的分布列为5．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求其员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求X 的分布列；(2)用Y 表示新录用员工的月工资，求Y 的分布列． 解：(1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝k )＝C k 4C 4－k 4C 48(k ＝0,1,2,3,4)． 则X 的分布列为X ＝k 0 1 2 3 4 P (X ＝k )170167036701670170(2)令Y 表示新录用员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2 100,2 800,3 500. 则P (Y ＝3 500)＝P (X ＝4)＝170， P (Y ＝2 800)＝P (X ＝3)＝835，P (Y ＝2 100)＝P (X ≤2)＝5370，则Y 的分布列为1．超几何分布描述的是不放回抽样问题，从形式上看超几何分布的模型，其产品有较明显的两部分组成．2．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出随机变量X 取k 时的概率P (X ＝k )，从而列出随机变量X 的分布列．[对应课时跟踪训练(十)]1．一个小组有6人，任选2名代表，求其中甲当选的概率是( ) A.12 B.13 C.14D.15解析：设X 表示2名代表中有甲的个数，X 的可能取值为0,1， 由题意知X 服从超几何分布，其中参数为N ＝6，M ＝1，n ＝2，则P (X ＝1)＝C 11C 15C 26＝13.答案：B2．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于( )A.27 B.38 C.37D.928解析：黑球的个数X 服从超几何分布，则至少摸到2个黑球的概率P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 23C 15C 38＋C 33C 05C 38＝27.答案：A3．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好生”的人数，则C 35C 37C 612是表示的概率是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ＝3)C ．P (X ≤2)D ．P (X ≤3)解析：6人中“三好生”的人数X 服从超几何分布，其中参数为N ＝12，M ＝5，n ＝6，所以P (X ＝3)＝C 35C 37C 612.答案：B4．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A 的概率为( )A.C 34C 248C 552B.C 348C 24C 552C ．1－C 148C 44C 552D.C 34C 248＋C 44C 148C 552解析：设X 为抽出的5张扑克牌中含A 的张数．则P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34C 248C 552＋C 44C 148C 552.答案：D5．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为________．解析：至少有1名女生当选包括1男1女，2女两种情况，概率为C 13C 17＋C 23C 210＝815. 答案：8156．知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，小张抽4题，则小张抽到选择题至少2道的概率为________．解析：由题意知小张抽到选择题数X 服从超几何分布(N ＝10，M ＝6，n ＝4)， 小张抽到选择题至少2道的概率为：P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 26C 24C 410＋C 36C 14C 410＋C 46C 04C 410＝3742.答案：37427．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，求X 的分布列．解：由题意知，旧球个数X 的所有可能取值为3,4,5,6.则P (X ＝3)＝C 33C 312＝1220，P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220，P (X ＝5)＝C 29C 13C 312＝108220＝2755，P (X ＝6)＝C 39C 312＝84220＝2155.所以X 的分布列为8．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列． (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张． ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的分布列．解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况． P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X 的分布列为(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23. ②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115.因此随机变量Y 的分布列为Y ＝k 0 10 20 50 60 P (Y ＝k )1325115215115。

1.5.2二项式系数的性质及应用1．掌握二项式定理展开式中系数的规律，明确二项式系数与各项系数的区别．(重点)2．借助“杨辉三角”数表，掌握二项式系数的对称性、增减性与最大值．(难点)[基础·初探]教材整理1杨辉三角的特点阅读教材P33，完成下列问题．1．每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，…….2．图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和(如图1-5-1)．3．图中每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大．4．第1行为1＝20，第2行的两数之和为2，第3行的三数之和为22……第7行的各数之和为26(如图1-5-1)．图1-5-11．如图1-5-2是一个类似杨辉三角的图形，则第n 行的首尾两个数均为________．13 35 6 57 11 11 79 18 22 18 9图1-5-2【解析】 由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以a n ＝2n －1.【答案】 2n －12．如图1-5-3，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14与第15个数之比为2∶3.11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1……图1-5-3【解析】 设第n 行从左到右第14与第15个数之比为2∶3，则3C 13n ＝2C 14n ，即3n ！13！(n －13)！＝2n ！14！(n －14)！， 解得n ＝34.【答案】 34教材整理2 二项式系数的性质阅读教材P 33～P 34，完成下列问题．(a ＋b )n 展开式的二项式系数C 0n ，C 1n ，…，C n n 有如下性质：(1)C m n ＝C n －m n ；(2)C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1；(3)当r <n －12时，C r n <C r ＋1n ；当r >n －12时，C r ＋1n <C r n ； (4)C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n .1．已知(a ＋b )n 展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 等于________．【解析】 因为只有第5项的二项式系数最大，所以n 2＋1＝5，所以n ＝8.【答案】 82．已知(ax ＋1)n 的展开式中，二项式系数和为32，则n 等于________.【导学号：29440027】【解析】 二项式系数之和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ＝32，所以n ＝5.【答案】 53．(2016·山东高考)若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________.【解析】 根据二项展开式的通项公式求解．T r ＋1＝C r 5·(ax 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5·a 5－r x 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2. 【答案】 －2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为S n，求S19的值．图1-5-4【精彩点拨】由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.【自主解答】S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C312＝(2＋10)×92＋220＝274.“杨辉三角”问题解决的一般方法观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．如表所示：[再练一题]1．(2016·镇江高二检测)如图1-5-5所示，满足如下条件：①第n 行首尾两数均为n ；②表中的递推关系类似“杨辉三角”．则第10行的第2个数是________，第n 行的第2个数是________．图1-5-5【解析】 由图表可知第10行的第2个数为：(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n 行的第2个数为：[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋1＝n (n －1)2＋1＝n 2－n ＋22. 【答案】 46 n 2－n ＋22设(1012 2 017)．(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 017的值；(2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017的值；(3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 017|的值．【精彩点拨】 先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．【自主解答】 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝(－1)2 017＝－1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 017＝32 017.②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＝－1－32 017，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017＝－1－32 0172. (3)∵T r ＋1＝C r 2 017(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2 017·(2x )r ，∴a2k＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N*)．－1∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 017|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 017＝32 017.1．解决二项式系数和问题思维流程．2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．[再练一题]2．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6.【解】(1)令x＝0，则a0＝－1；令x＝1，得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①所以a1＋a2＋…＋a7＝129.(2)令x＝－1，得－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256.(3)由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝128＋(－4)7，∴a0＋a2＋a4＋a6＝－8 128.9能被64整除．【精彩点拨】当n＝1时，32×1＋2－8×1－9＝64能被64整除；当n≥2时，将32n ＋2－8n －9化为(8＋1)n ＋1－8n －9，按二项式定理展开，并提出因式64，若另一个因式为正整数，则能被64整除．【自主解答】 因为n ＝1时，32n ＋2－8n －9＝64能被64整除；当n ≥2时，32n ＋2－8n －9＝9n ＋1－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋C 2n ＋1·8n －1＋…＋C n n ＋1·8＋1－8n －9＝82(8n －1＋C 1n ＋1·8n －2＋C 2n ＋1·8n －3＋…＋C n －1n ＋1)，而(8n －1＋C 1n ＋1·8n －2＋C 2n ＋1·8n －3＋…＋C n －1n ＋1)∈N *，所以32n ＋2－8n －9能被64整除．1．利用二项式证明多项式的整除问题．关键是将被除式变形为二项式的形式，使其展开后每一项均含有除式的因式．若f (x )，g (x )，h (x )，r (x )均为多项式，则：(1)f (x )＝g (x )·h (x )⇔f (x )被g (x )整除．(2)f (x )＝g (x )·h (x )＋r (x )⇔r (x )为g (x )除f (x )后得的余式．2．求余数问题的处理方法．(1)解决这类问题，必须构造一个与题目有关的二项式．(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和(或差)的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项即可．(3)要注意余数的范围，a ＝c ·r ＋b ，这式子中b 为余数，b ∈[0，r )，r 是除数，利用二项式定理展开式变形后，若剩余部分是负数，要注意转换为正数．[再练一题]3．若n 为正奇数，则7n ＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是________. 【导学号：29440028】【解析】 原式＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝9n －C 1n 9n －1＋C 2n ·9n －2－…＋C n －1n ·9(－1)n －1＋(－1)n －1.n 为奇数，(－1)n －1＝－2＝－9＋7，则余数为7.【答案】 7[探究共研型]探究1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？【提示】对称性，因为C m n＝C n－mn，也可以从f(r)＝C r n的图象中得到．探究2计算C k nC k－1n，并说明你得到的结论．【提示】C k nC k－1n＝n－k＋1k.当k<n＋12时，C k nC k－1n>1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k>n＋12时，二项式系数逐渐减小．探究3二项式系数何时取得最大值？【提示】当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项C n－12n，Cn＋12n相等，且同时取得最大值．已知f(x)＝(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．【精彩点拨】求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．【自主解答】令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r ·x 23(5＋2r )． 假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎨⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4.∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 45x 23(3x 2)4＝405x 263.1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．[再练一题]4．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．【解】 由⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5，得T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－r ·C r 5·x 20－5r2， 令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0，所以r ＝4，常数项T 5＝C 45×165＝16. 又(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于2n ， 由此得到2n ＝16，n ＝4.所以(a 2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T 3＝C 24a 4＝54，所以a ＝±3.[构建·体系]1．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________． 【解析】 由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(不合题意，舍去)， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋128的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ， 令r ＋1＝4，得r ＝3，则第四项为T 4＝C 38x 5⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝7x 5. 【答案】 7x 5 2．若⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x n 的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________. 【导学号：29440029】【解析】 令x ＝1,2n ＝64⇒n ＝6.由T r ＋1＝C r 6·36－r ·x 6－r 2·(－1)r ·x －r 2＝(－1)r C r 636－r x 3－r ，令3－r ＝0⇒r ＝3. 所以常数项为－C 3633＝－20×27＝－540.【答案】 －5403．若(x ＋3y )n 的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________．【解析】 (7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n 中x ＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5.【答案】 54．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________.【解析】 (a －x )5展开式的通项为T k ＋1＝(－1)k C k 5a5－k x k ，令k ＝2，得a 2＝(－1)2C 25a 3＝80，解得a ＝2，即(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.【答案】 15．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 28的展开式中， (1)求系数的绝对值最大的项；(2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项；(4)求系数最小的项．【解】 T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r ＝(－1)r C r 82r x 4－5r 2. (1)设第r ＋1项系数的绝对值最大．则⎩⎨⎧ C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧18－r ≥2r ＋1，2r ≥19－r . 解得5≤r ≤6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．(2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．所以T 5＝C 48·24·x 4－202＝1 120x －6.(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正．则系数最大的项为T 7＝C 68·26·x －11＝1 792x －11. (4)系数最小的项为T 6＝(－1)5C 58·25x －172＝－1 792x －172.我还有这些不足：(1)(2) 我的课下提升方案：(1)(2)。

1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质1．了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力．(重点)2．理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．(难点)3．理解和初步掌握赋值法及其应用．(重点)[基础·初探]教材整理1 “杨辉三角”阅读教材P 32～P 35第三自然段，完成下列问题．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n ＋1＝C r －1n ＋C r n .1．如图1-3-1是一个类似杨辉三角的图形，则第n 行的首尾两个数均为________．13 35 6 57 11 11 79 18 22 18 9……图1-3-1【解析】 由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以a n ＝2n －1.【答案】 2n －12．如图1-3-2，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14与第15个数之比为2∶3.11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1……图1-3-2【解析】 设第n 行从左到右第14与第15个数之比为2∶3，则3C 13n ＝2C 14n ，即3n ！13！(n －13)！＝2n ！14！(n －14)！， 解得n ＝34.【答案】 34教材整理2 二项式系数的性质阅读教材P 33第四自然段～P 35，完成下列问题．1．二项式系数的性质(1)对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －r n .(2)增减性与最大值：当k ＜n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数C n 2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项各式系数C n －12n与C n ＋12n 相等，且同时取得最大值．2．各二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ；(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.1．在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝() A．8B．9C．10 D．11【解析】由题意(1＋x)n展开式中，x5的系数就是第6项的二项式系数，因为只有它是二项式系数中最大的，所以n＝10.【答案】 C2．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于________.【导学号：29472034】【解析】二项式系数之和为C0n＋C1n＋…＋C n n＝2n＝32，所以n＝5.【答案】 53．(2x－1)6展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________．【解析】在二项式中，令x＝1，得各项系数和为1；各项的二项式系数之和为26＝64.【答案】164[小组合作型]与“杨辉三角”有关的问题如图1-3-3，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为S n，求S19的值．图1-3-3【精彩点拨】由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.【自主解答】S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C312＝(2＋10)×92＋220＝274.“杨辉三角”问题解决的一般方法观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．如表所示：[再练一题]1．在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第________行中从左至右第14与第15个数的比为2∶3.【解析】 由题可设第n 行的第14个与第15个数的比为2∶3，即二项展开式的第14项和第15项的系数比为C 13n ∶C 14n ＝2∶3，即n ！13！(n －13)！∶n ！14！(n －14)！＝2∶3，即14n －13＝23，解得n ＝34. 【答案】 34求展开式的系数和设(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 017·x 2 017(x ∈R )．(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 017的值；(2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017的值；(3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 017|的值．【精彩点拨】 先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．【自主解答】 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝(－1)2 017＝－1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 017＝32 017.②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＝－1－32 017，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017＝－1－32 0172. (3)∵T r ＋1＝C r 2 017(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2 017·(2x )r ， ∴a 2k －1＜0(k ∈N *)，a 2k ＞0(k ∈N )．∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 017|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 017＝32 017.1．解决二项式系数和问题思维流程．2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．[再练一题]2．已知(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2.【解】(1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.(2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，①令x＝－1得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.[探究共研型]二项式系数性质的应用探究1根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？【提示】对称性，因为C m n＝C n－mn，也可以从f(r)＝C r n的图象中得到．探究2计算C k nC k－1n，并说明你得到的结论．【提示】C k nC k－1n＝n－k＋1k.当k<n＋12时，C k nC k－1n>1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k>n＋12时，二项式系数逐渐减小．探究3二项式系数何时取得最大值？【提示】当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值．已知f(x)＝(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.【导学号：29472035】【精彩点拨】求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．【自主解答】令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.则有⎩⎨⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4.1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．[再练一题]3．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是()【导学号：29472036】A．n，n＋1B．n－1，nC．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3【解析】该展开式共2n＋2项，中间两项为第n＋1项与第n＋2项，所以第n＋1项与第n＋2项为二项式系数最大的项．【答案】 C2．在(x＋y)n展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是() A．第6项B．第5项C．第5、6项D．第6、7项【解析】因为C3n＝C7n，所以n＝10，系数最大的项即为二项式系数最大的项．【答案】 A3．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．【解析】 (7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n 中x ＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5.【答案】 54．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________.【解析】 (a －x )5展开式的通项为T k ＋1＝(－1)k C k 5a5－k x k ，令k ＝2，得a 2＝(－1)2C 25a 3＝80，解得a ＝2，即(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.【答案】 15．(1＋2x )n 的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．【解】 T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26，解得n ＝8.所以(1＋2x )n 的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4.设第k ＋1项系数最大，则有⎩⎨⎧C k 82k ≥C k －182k －1，C k 82k ≥C k ＋182k ＋1， 解得5≤k ≤6.又因为k ∈{0,1,2，…，8}．所以k ＝5或k ＝6.所以系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6.。