课时作业(七) 二次函数与幂函数

课时作业(七)　二次函数与幂函数基础过关组一、单项选择题1．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1为偶函数，则m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．1或2D ．3解析　因为函数f (x )为幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2。

当m ＝1时，幂函数f (x )＝x 2为偶函数，满足条件；当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件。

故选A 。

答案　A2．已知幂函数f (x )的图象过点(2，14)，则函数g (x )＝f (x )＋x 24的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析　设幂函数f (x )＝x α。

因为f (x )的图象过点(2，14)，所以2α＝14，解得α＝－2。

所以函数f (x )＝x －2，其中x ≠0。

所以函数g (x )＝f (x )＋x 24＝1x 2＋x24≥21x 2·x 24＝1，当且仅当x ＝±2时，g (x )取得最小值1。

答案　A3．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．－2D ．1解析　函数f (x )＝x 2－2x ＋m 图象的对称轴为x ＝1<3，二次函数图象的开口向上，所以f (x )在[3，＋∞)上是增函数，因为函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f (3)＝1，即9－6＋m ＝1，解得m ＝－2。

故选C 。

答案　C4．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析　由A ，C ，D 知，f (0)＝c <0。

因为abc >0，所以ab <0，所以对称轴x ＝－b 2a>0，知A ，C错误，D 符合要求。

由B 知f (0)＝c >0，所以ab >0，所以x ＝－b 2a<0，B 错误。

二次函数与幂函数的关系二次函数和幂函数是数学中常见的两种函数，它们之间存在一定关系。

这篇文章将介绍二次函数和幂函数的定义、图像、特点以及它们之间的关系。

首先，我们来回顾一下二次函数和幂函数的定义。

二次函数是指函数的最高次项为二次的多项式函数。

它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是实数且a不等于0。

在这个函数中，x是自变量，f(x)是因变量。

幂函数是指函数的自变量和因变量之间的关系式为 y = x^a，其中a 是实数。

幂函数的图像通常是一个曲线，并且根据a的不同取值，可以得到不同的曲线形状。

接下来，我们来分析二次函数和幂函数的图像。

对于二次函数，它的图像通常是一个抛物线。

根据二次函数的系数a 的正负和大小，可以得到不同类型的抛物线。

当 a 大于0时，抛物线开口向上；当 a 小于0时，抛物线开口向下。

我们可以根据开口方向和顶点的位置来确定抛物线的图像。

例如，当 a 大于0且顶点位于y轴上方时，抛物线开口向上且顶点为最低点；当 a 小于0且顶点位于y轴下方时，抛物线开口向下且顶点为最高点。

而幂函数的图像则由指数 a 的大小来决定。

当 a 大于1时，函数的图像呈现出上升的斜线；当 a 等于1时，函数的图像是一条直线；当 0 小于 a 小于 1 时，函数的图像呈现出下降的斜线。

与二次函数不同的是，幂函数的图像没有顶点或拐点。

然而，二次函数和幂函数并不是完全独立的。

实际上，我们可以将二次函数视为一种特殊的幂函数。

具体来说，二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 可以写成 f(x) = a(x - h)^2 + k 的形式，其中 h 和 k 是实数，代表了二次函数图像的平移。

这种表达方式可以让我们更好地理解二次函数和幂函数之间的关系。

当平移的值 h 和 k 分别等于0时，即 h = 0 且 k = 0 时，二次函数变为f(x) = ax^2，这就是一个幂函数。

§2.6二次函数与幂函数考试要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线)定义域R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝1212x 是幂函数．( × )(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.( √ ) (3)二次函数y ＝a (x －1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)．( × ) (4)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数．( × ) 教材改编题1．已知幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫5，15，则f (8)的值等于( ) A.14 B ．4 C ．8 D.18 答案 D解析 设幂函数f (x )＝x α，因为幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫5，15，所以f (5)＝5α＝15， 解得α＝－1，所以f (x )＝x －1，则f (8)＝8－1＝18.2．已知函数f (x )＝－x 2－4x ＋5，则函数y ＝f (x )的单调递增区间为( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，2] C ．[－2，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 A解析 f (x )＝－x 2－4x ＋5＝－(x ＋2)2＋9，故函数f (x )的对称轴为x ＝－2， 又函数f (x )的图象开口向下，故函数的单调递增区间为(－∞，－2]． 3．函数f (x )＝－2x 2＋4x ，x ∈[－1,2]的值域为( )A ．[－6,2]B ．[－6,1]C ．[0,2]D ．[0,1]答案 A解析 函数f (x )＝－2x 2＋4x 的对称轴为x ＝1， 则f (x )在[－1,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )min ＝f (－1)＝－2－4＝－6， 即f (x )的值域为[－6,2].题型一 幂函数的图象与性质例1 (1)若幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则( )A ．－1<n <0<m <1B ．n <－1，0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1答案 B解析 由图象知，y ＝x m 在(0，＋∞)上单调递增， 所以m >0，又y ＝x m 的图象增长得越来越慢， 所以m <1，y ＝x n 在(0，＋∞)上单调递减， 所以n <0，又当x >1时，y ＝x n 的图象在y ＝x －1的下方， 所以n <－1.综上，n <－1，0<m <1.(2)(2023·德州模拟)幂函数f (x )＝(m 2＋m －5)225m m x ＋－在区间(0，＋∞)上单调递增，则f (3)等于( )A ．27B ．9 C.19 D.127答案 A解析 由题意，得m 2＋m －5＝1， 即m 2＋m －6＝0，解得m ＝2或m ＝－3， 当m ＝2时，可得函数f (x )＝x 3，此时函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，符合题意； 当m ＝－3时，可得f (x )＝x －2，此时函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意， 即幂函数f (x )＝x 3，则f (3)＝27.思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 跟踪训练1 (1)已知幂函数3py x ＝(p ∈Z )的图象关于y 轴对称，如图所示，则( )A ．p 为奇数，且p >0B ．p 为奇数，且p <0C ．p 为偶数，且p >0D ．p 为偶数，且p <0 答案 D解析 因为函数3p y x ＝的图象关于y 轴对称， 所以函数3p y x ＝为偶函数，即p 为偶数， 又函数3p y x ＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 且在(0，＋∞)上单调递减，所以p3<0，即p <0.(2)(多选)(2023·哈尔滨模拟)已知函数y ＝254m m x －＋(m ∈Z )为偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值可以为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 BC解析 因为函数在区间(0，＋∞)上单调递减， 所以m 2－5m ＋4<0，解得1<m <4， 因为m ∈Z ， 所以m ＝2或3，当m ＝2时，函数y ＝x －2为偶函数，符合题意； 当m ＝3时，函数y ＝x －2为偶函数，符合题意， 综上，m ＝2或m ＝3. 题型二 二次函数的解析式例2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．解 方法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎨⎧ 4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为 f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.方法二 (利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8， 所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1， 解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 方法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a (－2a －1)－(－a )24a ＝8.解得a ＝－4.故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 思维升华 求二次函数解析式的三个策略： (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式； (3)已知图象与x 轴的两交点的坐标，宜选用零点式．跟踪训练2 已知二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，且顶点到x 轴的距离等于2，则二次函数的解析式为________．答案 y ＝12x 2＋x －32或y ＝－12x 2－x ＋32解析 因为二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)， 所以可设二次函数为y ＝a (x ＋3)(x －1)(a ≠0)，展开得，y ＝ax 2＋2ax －3a ， 顶点的纵坐标为－12a 2－4a 24a ＝－4a ，由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离为2， 所以|－4a |＝2，即a ＝±12，所以二次函数的解析式为y ＝12x 2＋x －32或y ＝－12x 2－x ＋32.题型三 二次函数的图象与性质 命题点1 二次函数的图象例3 设abc >0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 因为abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，那么可知， 在A 中，a <0，b <0，c <0，不符合题意； B 中，a <0，b >0，c >0，不符合题意； C 中，a >0，b >0，c <0，不符合题意； D 中，a >0，b <0，c <0，符合题意． 命题点2 二次函数的单调性与最值例4 (2023·福州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋2a －1. (1)若f (x )在区间[1,2]上单调递减，求a 的取值范围；(2)若a >0，设函数f (x )在区间[1,2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式． 解 (1)当a >0时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1的图象开口向上，对称轴方程为x ＝12a，所以f (x )在区间[1,2]上单调递减需满足12a ≥2，a >0，解得0<a ≤14.当a <0时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1的图象开口向下，对称轴方程为x ＝12a <0，所以f (x )在区间[1,2]上单调递减需满足a <0， 综上，a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤0，14. (2)①当0<12a <1，即a >12时，f (x )在区间[1,2]上单调递增， 此时g (a )＝f (1)＝3a －2. ②当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤1，12a 上单调递减，在区间⎣⎡⎦⎤12a ，2上单调递增， 此时g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫12a ＝2a －14a －1. ③当12a >2，即0<a <14时，f (x )在区间[1,2]上单调递减， 此时g (a )＝f (2)＝6a －3，综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧6a －3，a ∈⎝⎛⎭⎫0，14，2a －14a －1，a ∈⎣⎡⎦⎤14，12，3a －2，a ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞.思维升华 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练3 (1)(多选)(2022·茂名模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A．2a＋b＝0B．4a＋2b＋c<0C．9a＋3b＋c<0D．abc<0答案ACD解析由二次函数图象开口向下知，a<0，对称轴为x＝－b＝1，即2a＋b＝0，故b>0.2a又因为f(0)＝c>0，所以abc<0.f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0.(2)(2022·镇江模拟)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2,2]，则b－a的取值范围是____．答案[2,4]解析解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，解得x＝0或x＝4，解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，解得x＝2，由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[－2,2]．若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0,2]或[a，b]＝[2,4]，此时b－a取得最小值2；若函数f(x)在区间[a，b]上不单调，且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0,4]，所以b－a的最大值为4.所以b－a的取值范围是[2,4]．课时精练1．已知p：f(x)是幂函数，q：f(x)的图象过点(0,0)，则p是q的() A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 D解析f(x)＝x－2是幂函数，但其图象不过点(0,0)，故充分性不成立；f(x)＝2x－1的图象过点(0,0)，但其不是幂函数，故必要性不成立．所以p是q的既不充分也不必要条件．2．(2023·保定检测)已知a＝432，b＝233，c＝1225，则()A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 答案 A解析由题意得b＝224333342=＝a，a＝432＝234<4<5＝1225＝c，所以b<a<c.3．(2023·厦门模拟)函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是()答案 C解析若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A，D；对于选项B ，由直线可知a >0，b >0，从而－b 2a<0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B.4．已知函数f (x )＝x 2－2(a －1)x ＋a ，若对于区间[－1,2]上的任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有f (x 1)≠f (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[0,3]C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 C解析 二次函数f (x )＝x 2－2(a －1)x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝a －1，∵对于任意x 1，x 2∈[－1,2]且x 1≠x 2，都有f (x 1)≠f (x 2)，即f (x )在区间[－1,2]上是单调函数，∴a －1≤－1或a －1≥2，∴a ≤0或a ≥3，即实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)．5．(多选)幂函数f (x )＝()22657m m m x －－＋在(0，＋∞)上单调递增，则以下说法正确的是()A ．m ＝3B ．函数f (x )在(－∞，0)上单调递增C ．函数f (x )是偶函数D ．函数f (x )的图象关于原点对称答案 ABD解析 因为幂函数f (x )＝()22657m m m x －－＋在(0，＋∞)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－5m ＋7＝1，m 2－6>0，解得m ＝3， 所以f (x )＝x 3，所以f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，故f (x )＝x 3为奇函数，函数图象关于原点对称，所以f (x )在(－∞，0)上单调递增．6．(多选)若二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a 等于( )A ．－13 B.13 C ．－5 D ．5答案 BC解析 显然a ≠0，有f (x )＝a (x ＋1)2－a ＋1，当a >0时，f (x )在[－2,3]上的最大值为f (3)＝15a ＋1，由15a ＋1＝6，解得a ＝13，符合题意； 当a <0时，f (x )在[－2,3]上的最大值为f (－1)＝1－a ，由1－a ＝6，解得a ＝－5，符合题意，所以a 的值为13或－5. 7．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，且图象被x 轴截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝x 2－4x ＋3解析 ∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立，∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3，设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，∴a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.8．(2022·人大附中质检)已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[1，＋∞)，则1a ＋4c的最小值为________．答案 3解析 因为二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[1，＋∞)，则a >0，所以f (x )min ＝4ac －44a ＝ac －1a＝1，即ac －1＝a ，可得a ＝1c －1>0，则c >1， 所以1a ＋4c ＝c ＋4c －1≥2c ·4c－1＝3， 当且仅当c ＝2时，等号成立，因此1a ＋4c的最小值为3. 9．已知幂函数f (x )＝(2m 2－m －2)242m x －(m ∈R )为偶函数．(1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－2(a －1)x ＋1在区间[0,4]上的最大值为9，求实数a 的值．解 (1)由幂函数可知2m 2－m －2＝1，解得m ＝－1或m ＝32， 当m ＝－1时，f (x )＝x 2，函数为偶函数，符合题意； 当m ＝32时，f (x )＝x 7，函数为奇函数，不符合题意， 故f (x )的解析式为f (x )＝x 2.(2)由(1)得，g (x )＝f (x )－2(a －1)x ＋1＝x 2－2(a －1)x ＋1.函数的对称轴为x ＝a －1，开口向上，f (0)＝1，f (4)＝17－8(a －1)，由题意得，在区间[0,4]上，f (x )max ＝f (4)＝17－8(a －1)＝9，解得a ＝2，经检验a ＝2符合题意， 所以实数a 的值为2.10．设二次函数f (x )满足：①当x ∈R 时，总有f (－1＋x )＝f (－1－x )；②函数f (x )的图象与x轴的两个交点为A ，B ，且|AB |＝4；③f (0)＝－34. (1)求f (x )的解析式；(2)若存在t ∈R ，只要x ∈[1，m ](m >1)，就有f (x ＋t )≤x －1成立，求满足条件的实数m 的最大值．解 (1)由题意知，函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，且方程f (x )＝0的两根为－3和1， 设f (x )＝a (x ＋3)(x －1)，又f (0)＝－34，则f (0)＝－3a ＝－34，解得a ＝14. 故f (x )＝14x 2＋12x －34. (2)只要x ∈[1，m ](m >1)，就有f (x ＋t )≤x －1，即x 2＋2(t －1)x ＋(t ＋1)2≤0，取x ＝1，t 2＋4t ≤0，－4≤t ≤0；取x ＝m ，[m ＋(t －1)]2≤－4t ，即1－t －2－t ≤m ≤1－t ＋2－t ， 由－4≤t ≤0得0≤－t ≤4,1－t ＋2－t ≤1＋4＋2×4＝9，故当t ＝－4时，m ≤9；当m ＝9时，存在t ＝－4，只要x ∈[1,9]，就有f (x －4)－(x －1)＝14(x －1)(x －9)≤0成立，满足题意． 故满足条件的实数m 的最大值为9.11.已知幂函数y ＝x a 与y ＝x b 的部分图象如图所示，直线x ＝m 2，x ＝m (0<m <1)与y ＝x a ，y ＝x b 的图象分别交于A ，B ，C ，D 四点，且|AB |＝|CD |，则m a ＋m b 等于( )A.12B ．1 C. 2D ．2答案 B解析 由题意，|AB |＝|(m 2)a －(m 2)b |，|CD |＝|m a －m b |，根据图象可知b >1>a >0，当0<m <1时，(m 2)a >(m 2)b ，m a >m b ，因为|AB |＝|CD |，所以m 2a －m 2b ＝(m a ＋m b )(m a －m b )＝m a －m b ，因为m a －m b >0，所以m a ＋m b ＝1.12．设关于x 的方程x 2－2mx ＋2－m ＝0(m ∈R )的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．答案 7 解析 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝2m ，αβ＝2－m ，且Δ＝4m 2－4(2－m )≥0，解得m ≤－2或m ≥1，α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m 2＋2m ＋1，令f (m )＝4m 2＋2m ＋1，而f (m )图象的对称轴为m ＝－14， 且m ≤－2或m ≥1，所以f (m )min ＝f (1)＝7.13．已知函数f (x )＝2ax 2－2 022x －2 023，对任意t ∈R ，在区间[t －1，t ＋1]上存在两个实数x 1，x 2，使|f (x 1)－f (x 2)|≥1成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－1,1]C ．(－∞，－1]∪{0}∪[1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪{0}∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 答案 D解析 存在两个实数x 1，x 2，使|f (x 1)－f (x 2)|≥1⇔f (x )max －f (x )min ≥1，当a ＝0时，f (x )＝－2 022x －2 023，f (t －1)－f (t ＋1)＝2×2 022>1，显然符合；当a ≠0时，f (x )＝2ax 2－2 022x －2 023与y ＝2ax 2的图象完全“全等”，即可以通过平移完全重合．因为t －1≤x ≤t ＋1且t ∈R ，即用一个区间宽度为2的任意区间去截取函数图象， 使得图象的最高点与最低点间的纵坐标之差大于等于1，因此取纵坐标之差最小的状态为f (x )＝2ax 2(－1≤x ≤1)，当a >0时，此时f (x )max －f (x )min ＝2a －0≥1，故a ≥12； 当a <0时，此时f (x )max －f (x )min ＝0－2a ≥1，故a ≤－12， 综上，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪{0}∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞.14．已知函数f(x)＝x2－4x＋1，设1≤x1<x2<x3<…<x n≤4，若|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(x n－1)－f(x n)|≤M，则M的最小值为()A．3 B．4 C．5 D．6答案 C解析函数f(x)＝x2－4x＋1在[1,2]上单调递减，在(2,4]上单调递增．由绝对值的几何意义，∴|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(x n－1)－f(x n)|表示将函数f(x)在(x1，x n)上分成n－1段，取每段两端点函数值差的绝对值总和．又根据f(x)的单调性知原式最大值为|f(1)－f(2)|＋|f(2)－f(4)|＝f(1)－f(2)＋f(4)－f(2)＝5，∴M≥5，则M的最小值为5.。

课时作业(七) [第7讲 二次函数][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标为(2,4)，且过点(3,0)，则f (x )＝____________(用一般式表示)．2．已知函数f (x )＝x 2＋2x ，x ∈{1,2，－3}，则f (x )的值域是________．3．若不等式ax 2＋5x ＋b ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13＜x ＜12，则a ＝________，b ＝________. 4．一元二次方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是________．能力提升5．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (4)＝f (1)，那么f (2)与f (3)的大小关系为________．6．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足a ，b ，c 及Δ＝b 2－4ac 均为正数，则f (x )的图象不经过第________象限．7．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，又f (x )在[0,2]上是增函数，且f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是________．8．已知a 、b 为常数，若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________.9．[2010·安徽卷] 设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是________．图K7－110．[2012·南通模拟] 设函数f (x )＝ax 2＋x .已知f (3)＜f (4)，且当n ≥8，n ∈N *时，f (n )＞f (n ＋1)恒成立，则实数a 的取值范围是________．11．[2010·苏北四市模拟] 已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[a ，b ]的值域为[－1,3]，则b －a 的取值范围是________．12．[2011·无锡一调] 已知函数f (x )＝x 2＋2x ，若存在实数t ，当x ∈[1，m ]时，f (x ＋t )≤3x 恒成立，则实数m 的最大值为________． 13．(8分)已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，其图象顶点为A ，图象与x 轴交点为B (－1,0)和C (5,0)点，已知△ABC 面积为18，试求二次函数f (x )的解析式．14．(8分)若关于x的方程3x2－5x＋a＝0的一个根在区间(－2,0)上，另一个根在区间(1,3)上，求实数a的取值范围．15．(12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋b(b<a<1)，f(1)＝0，且方程f(x)＋1＝0有实根．(1)求证：－3<b≤－1且a≥0；(2)若m是方程f(x)＋1＝0的一个实根，判断f(m－4)的正负，并说明理由．16．(12分)设a为实数，记函数f(x)＝a1－x2＋1＋x＋1－x的最大值为g(a)．(1)设t＝1＋x＋1－x，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；(2)求g(a)．课时作业(七)【基础热身】1．－4x 2＋16x －12 [解析] 依题意可设f (x )＝a (x －2)2＋4(a ≠0)，代入点(3,0)，可得0＝a (3－2)2＋4，从而a ＝－4，所以f (x )＝－4(x －2)2＋4＝－4x 2＋16x －12.2．{3,8} [解析] 将x ＝1,2，－3分别代入可得y ＝3,8，故值域为{3,8}．3．－6 －1 [解析] 由题意知13，12是方程ax 2＋5x ＋b ＝0的两实根，∴由根与系数的关系得⎩⎨⎧ 13＋12＝－5a ，13×12＝b a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝－1. 4．－2<a <0 [解析] 设f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)，由题意可知，f (－1)<0，f (1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2<0，a 2－a >0，解得－2<a <0. 【能力提升】5．f (2)＝f (3) [解析] 由所给条件知：该函数图象关于直线x ＝52对称，而2,3也是关于直线x ＝52对称的， 所以有f (2)＝f (3).6．四 [解析] 当a ，b ，c 及Δ＝b 2－4ac 均为正数时，f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的顶点一定在第三象限，对称轴与x 轴负半轴相交，且图象在y 轴上的截距大于0，∴图象不经过第四象限.7．[0,4] [解析] 由f (2＋x )＝f (2－x )知二次函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又f (x )在[0,2]上是增函数，所以二次项前的系数小于0，∴由f (a )≥f (0)得a 比0更接近对称轴，即|a －2|≤|0－2|，解得0≤a ≤4.8．2 [解析] 由题意知(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3＝x 2＋10x ＋24对任意实数x 恒成立，整理得，a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3＝x 2＋10x ＋24对任意实数x 恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－7， ∴5a －b ＝2. 9．④ [解析] 当a >0时，b 、c 同号，③④两图中c <0，故b <0，－b 2a>0，④满足．当a <0时，b 、c 异号，经分析①②均不符，故填④.10.⎝⎛⎭⎫－17，－117 [解析] 因为当n ≥8时，f (n )＞f (n ＋1)恒成立，所以a ＜0，此时f (n )＞f (n ＋1)恒成立等价于f (8)＞f (9)，即64a ＋8＞81a ＋9，解得a ＜－117. 因为f (3)＜f (4)，所以9a ＋3＜16a ＋4，解得a ＞－17.即a ∈⎝⎛⎭⎫－17，－117. 11．[2,4] [解析] f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1∈[－1,3]，对称轴为x ＝1，最小值为－1，所以当a ＝－1时，b ∈[1,3]或当b ＝3时，a ∈[－1,1]，所以b －a ∈[2,4]．12．8 [解析] f (x )＝(x ＋1)2－1，x ∈[1，m ]时，f (x ＋t )≤3x 恒成立，即(x ＋t ＋1)2－1≤3x ⇒|x ＋t ＋1|≤3x ＋1⇒－3x ＋1≤x ＋t ＋1≤3x ＋1对x ∈[1，m ]恒成立，所以－x －3x ＋1≤t ＋1≤3x ＋1－x 对x ∈[1，m ]恒成立．由于u (x )＝－x －3x ＋1在[1，m ]上单调递减，所以u (x )max ＝－1－3＋1＝－3.记v (x )＝3x ＋1－x ，则v ′(x )＝12·33x ＋1－1<0，v (x )在[1，m ]上单调减(也可以从二次函数角度研究)，所以v (x )min ＝3m ＋1－m .t 存在⇔3m ＋1－m ≥－3恒成立，即⎩⎨⎧3m ＋1≥m －3，m ≥1，可解得1≤m ≤8，因此m 的最大值为8.13．[解答] 由f (2＋x )＝f (2－x )可知二次函数图象的对称轴为x ＝2.又点B (－1,0)，C (5,0)为图象与x 轴交点，且|BC |＝6，记点A 坐标为(2，y 0)，则由S △ABC ＝18可得12|BC |·|y 0|＝18，∴|y 0|＝6， ∴y 0＝±6，由此知点A (2,6)或A (2，－6)， 故可设f (x )＝a (x －2)2＋6或f (x )＝a (x －2)2－6，将B 点坐标代入可求得a ＝－23或a ＝23. ∴f (x )＝23(x －2)2－6或f (x )＝－23(x －2)2＋6. 14．[解答] 设y ＝f (x )＝3x 2－5x ＋a ，画出其图象，从图象看出：⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)>0，f (0)<0，f (1)<0，f (3)>0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a >－22，a <0，a <2，a >－12，解得－12<a <0.所以实数a 的取值范围为{a |－12<a <0}．15．[解答] (1)证明：∵f (1)＝1＋2a ＋b ＝0，∴b ＝－2a －1.∵方程f (x )＋1＝x 2＋2ax ＋b ＋1＝0有实根，∴Δ＝4a 2－4(b ＋1)≥0，∴4a 2＋8a ≥0，∴a ≤－2或a ≥0.∵b ＝－2a －1<1，∴a >－1，∴a ≤－2应舍去．∴a ≥0.∵0≤a <1且a ＝－b ＋12，∴0≤－b ＋12<1， ∴－3<b ≤－1.(2)设方程f (x )＝0的另一根为x 2.∵1是方程x 2＋2ax ＋b ＝0的一根，∴1·x 2＝b ，∴方程x 2＋2ax ＋b ＝0的另一根为b ，∴f (b )＝0.∴当b <x <1时，f (x )<0；当x <b 或x >1时，f (x )>0.∵f (m )＋1＝0，∴f (m )＝－1<0，∴b <m <1.∴m －4<－3<b ，∴f (m －4)>0.16．[解答] (1)∵t ＝1＋x ＋1－x ，∴要使t 有意义，必须1＋x ≥0且1－x ≥0，即－1≤x ≤1.∵t 2＝2＋21－x 2∈[2,4]，且t ≥0，①∴t 的取值范围是[2，2]．由①得1－x 2＝12t 2－1， ∴m (t )＝a ⎝⎛⎭⎫12t 2－1＋t ＝12at 2＋t －a ，t ∈[2，2]． (2)由题意知g (a )即为函数m (t )＝12at 2＋t －a ，t ∈[2，2]的最大值， ∵直线t ＝－1a 是抛物线m (t )＝12at 2＋t －a 的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论： ①当a >0时，函数y ＝m (t )，t ∈[2，2]的图象是开口向上的抛物线的一段，由t ＝－1a<0知m (t )在t ∈[2，2]上单调递增， 故g (a )＝m (2)＝a ＋2；②当a ＝0时，m (t )＝t ，t ∈[2，2]，有g (a )＝2；③当a <0时，函数y ＝m (t )，t ∈[2，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，若t ＝－1a ∈(0，2]，即a ≤－22时，g (a )＝m (2)＝2， 若t ＝－1a ∈(2，2]，即a ∈⎝⎛⎦⎤－22，－12时，g (a )＝m ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－a －12a ， 若t ＝－1a∈(2，＋∞)，即a ∈⎝⎛⎭⎫－12，0时，g (a )＝m (2)＝a ＋2. 综上所述，有g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2⎝⎛⎭⎫a >－12，－a －12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22<a ≤－12，2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≤－22.。