新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质课时作业(含解析)新人教A版必修

第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质【素养目标】1．了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系．(数学抽象) 2．了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系．(数学建模) 3．掌握不等式的性质及应用．(逻辑推理)4．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算) 5．能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题．(逻辑推理) 【学法解读】在相等关系与不等关系的学习中，学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异．第1课时 不等关系与比较大小必备知识·探新知基础知识知识点1 不等式与不等关系 不等式的定义所含的两个要点．(1)不等符号<，>，______，______或≠. (2)所表示的关系是____________.思考1：不等式“a b ≤”的含义是什么？只有当“a b <”与“a b =”同时成立时，该不等式才成立，是吗？提示：不等式a b ≤应读作“a 小于或者等于b ”，其含义是指“a b <或者a b =”，等价于“a 不大于b ”，即若a b <或a b =之中有一个正确，则a b ≤正确． 知识点2 比较两实数a ，b 大小的依据00a b a b a b ->⎧⎪-<⎨⎪-=⎩如果依据如果如果比较两实数a ，b 的大小⎩⎪⎨⎪⎧依据⎩⎪⎨⎪⎧如果a －b>0，那么________如果a －b<0，那么________如果a －b ＝0，那么________结论：确定任意两个实数a ，b 的大小关系，只 需确定它们的差a －b 与0的大小关系思考2：(1)在比较两实数a ，b 大小的依据中，a ，b 两数是任意实数吗？ (2)若“0b a ->”，则a ，b 的大小关系是怎样的？ 提示：(1)是 (2)b a > 基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)不等式2x ≥的含义是指x 不小于2.( ) (2)若20x ＝，则0x ≥.( ) (3)若10x -≤，则1x <.( )(4)两个实数a ，b 之间，有且只有a b >，a b =，a b <三种关系中的一种．( ) [解析] (1)不等式2x ≥表示2x >或2x ＝，即x 不小于2. (2)若20x =，则0x =，所以0x ≥成立． (3)若10x -≤，则1x <或者1x =，即1x ≤.(4)任意两数之间，有且只有a b >，a b =，a b <三种关系中的一种，没有其他大小关系． 2．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T 满足关系( )A ．40T <B ．40T >C ．40T ≤D ．40T ≥3．已知1x <，则22x +与3x 的大小关系为_____________.关键能力·攻重难题型探究题型一 用不等式(组)表示不等关系例1 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x 元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？ [分析] 由“这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件”确定售价变化时相应每天的利润，由“每天的利润不低于300元”确定不等关系，即可列出不等式． [解析] 若提价后商品的售价为x 元，则销售量减少10101x -⨯件，因此，每天的利润为810010()[)]0(1x x ---元，则“每天的利润不低于300元”可以用不等式表示为810010()[(10300)]x x ---≥⋅.[归纳提升] 将不等关系表示成不等式的思路 (1)读懂题意，找准不等式所联系的量． (2)用适当的不等号连接．例2 某矿山车队有4辆载重为10t 的甲型卡车和7辆载重为6t 的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[分析] 首先用变量x ，y 分别表示甲型卡车和乙型卡车的车辆数，然后分析已知量和未知量间的不等关系：(1)卡车数量与驾驶员人数的关系；(2)车队每天运矿石的数量；(3)甲型卡车的数量；(4)乙型卡车的数量．再将不等关系用含未知数的不等式表示出来，要注意变量的取值范围．[解析] 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则9106683600407,x y x y x y x y N +≤⎧⎪⨯+⨯≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩即954300407,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩ [归纳提升] 用不等式组表示不等关系的方法首先要先弄清题意，分清是常量与常量、变量与变量、函数与函数还是一组变量之间的不等关系；然后类比等式的建立过程找到不等词，选准不等号，将量与量之间用不等号连接；最后注意不等式与不等关系的对应，不重不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围． 【对点练习】❶ 用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m ，要求菜园的面积不小于2110m ，靠墙的一边长为xm ，试用不等式表示其中的不等关系． [解析] 由于矩形菜园靠墙的一边长为xm ，而墙长为18m ，所以018x <≤，这时菜园的另一条边长为30(15)()22x xm -=-． 因此菜园面积(15)2x S x =⋅-，依题意有110S ≥， 即(15)1102x x -≥，故该题中的不等关系可用不等式组表示为018(15)1102x xx <≤⎧≥⎪⎨-⎪⎩ 题型二 比较实数的大小 例3 已知a ，b[解析] 方法一(作差法)：-=+==2=. ∵a ，b0>，20≥，20≥≥方法二(作商法)===11==≥.0>0>≥方法三(平方后作差)：∵222a b b a =+2∴222()()a b a bab +--=.∵0a >，0b >，∴2()()0a b a b ab+-≥.>0>≥[归纳提升] 比较大小的方法1．作差法的依据：0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<. 步骤：作差—变形—判断差的符号—得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式． 2．作商法的依据：()0b ><时，1()a a b b >⇔><；1a a b b =⇔=；1()aa b b<⇔<>. 步骤：作商——变形——判断商与1的大小——得出结论． 注意：作商法的适用范围较小，且限制条件较多，用的较少．3．介值比较法：(1)介值比较法的理论根据：若a b >，b c >，则a c >，其中b 是a 与c 的中介值．(2)介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值． 【对点练习】❷ 当1x ≤时，比较33x 与231x x -+的大小． [解析] 3232()()()331331x x x x x x --+--=+231()()1x x x +=--231()()1x x =+-．因为1x ≤，所以10x ≤－， 而2310x +>.所以2()(10)31x x +-≤， 所以32331x x x ≤-+.第2课时 不等式性质 必备知识·探新知基础知识知识点1 不等式的性质性质1 a b >⇔ ________；(对称性) 性质2 a b >，b c >⇒ ________；(传递性) 性质3 a b >⇒ ______________；(同加保序性) 推论：a b c >⇒＋___________；(移项法则)性质4 a b >，0c >⇒ __________，(乘正保序性)a b >，0c ac bc <⇒<；(乘负反序性)性质5 a b >，c d >⇒ ______________；(同向相加保序性) 性质6 0a b >>，0c d >>⇒ __________；(正数同向相乘保序性) 性质7 0a b >>⇒ __________()2n N n ∈≥，．(非负乘方保序性) 思考：(1)性质3的推论实际就是解不等式中的什么法则？(2)性质4就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？(3)使用性质6,7时，要注意什么条件？ 提示：(1)移项法则．(2)不对．要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向． (3)各个数均为正数． 基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)若a b >，则22ac bc >.( )(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( ) (3)设a ，b R ∈ ，且a b >，则33a b >.( ) (4)若a c b d >＋＋，则a b >，c d >.( )[解析] (1)由不等式的性质，22ac bc a b >⇒>；反之，0c =时，a b >22ac bc >.(2)相乘需要看是否0a b c d >>⎧⎨>>⎩，而相加与正、负和零均无关系．(3)符合不等式的可乘方性．(4)取4a =，5c =，6b =，2d =，满足a c b d >＋＋，但不满足a b >，故此说法错误． 2．设b a <，d c <，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a c b d ->- B ．ac bd > C ．a c b d >＋＋ D ．a d b c >＋＋3．已知0a <，10b -<<，那么下列不等式成立的是( ) A ．2a ab ab >> B ．2ab ab a >> C ．2ab a ab >> D ．2ab ab a >> [解析] 由10b -<<，可得21b b <<， 又0a <，∴2ab ab a >>，故选D ． 4．用不等号“>”或“<”填空：(1)如果a b >，c d <，那么a c -______b d -； (2)如果0a b >>，0c d <<，那么ac ______bd ； (3)如果0a b >>，那么21a ______21b ； (4)如果0a bc >>>，那么c a ______cb. [解析] (1)∵c d ->-，∴c d ->-，∵a b >，∴a c b d ->-.(2)∵0c d <<，∴0c d ->->.∵0a b >>，∴ac bd ->-，∴ac bd <. (3)∵0a b >>，∴0ab >，10ab >，∴110a b ab ab>>， ∴110b a >>，∴2211()()b a >，即2211a b<. (4)∵0a b >>，所以10ab >，10ab >.于是11a b ab ab ⋅>⋅，即11b a>，即11a b <.∵0c >，∴c ca b<. 关键能力·攻重难题型探究例1 若0a b <<，则下列结论正确的是( ) A ．22a b < B ．2ab b < C ．11a b> D ．22ac bc >[分析] 通过赋值可以排除A ，D ，根据不等式的性质可判断B ，C 正误．[解析] 若0a b <<，对于A 选项，当2a =-，1b =-时，不成立；对于B 选项，等价于a b >，故不成立；对于C 选项，110b a<<，故选项正确；对于D 选项，当0c =时，不正确．[归纳提升] 判断关于不等式的命题真假的两种方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断． 【对点练习】❶ 设a ，b 是非零实数，若a b <，则下列不等式成立的是( ) A ．22a b < B ．22ab a b < C ．2211ab a b < D ．b aa b< [解析] 当0a <，0b >时，22a b <不一定成立，故A 错．因为22()ab a b ab b a =--，0b a ->，ab 符号不确定，故B 错.2222110a b ab a b a b --=<，所以2211ab a b<，故C 正确．D 中b a 与ab的大小不能确定． 题型二 利用不等式的性质证明不等式 例2设a b c >>，求证：111>0a b b c c a++---. [分析] 不等式证明，就是利用不等式性质或已知条件，推出不等式成立． [证明] 因为a b c >>，所以c b ->-. 所以0a c a b ->->，所以11>>0a b a c--. 所以110a b c a+>--.又0b c ->， 所以10b c >-.所以1110a b b c c a++>---.[归纳提升] 利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．【对点练习】❷ 若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：22>()()e ea cb d --. [证明] 因为0cd <<，所以0c d ->->. 又因为0a b >>，所以0a c b d ->->. 所以22()()0a c b d ->->.所以22110()()a c b d <>--.又因为0e <，所以22>()()e ea cb d --.题型三 利用不等式的性质求范围 例3 已知14x -<<,23y <<. (1)求x y -的取值范围． (2)求32x y ＋的取值范围．[解析] (1)因为14x -<<,23y <<， 所以32y -<-<-， 所以42x y -<-<.(2)由14x -<<,23y <<，得3312x -<<,426y <<， 所以13218x y <<＋.[归纳提升] 利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．【对点练习】❸ 已知1025m <<，3015n -<<-，求m n -与mn的取值范围． [解析] 因为3015n -<<-，所以1530n <-<，所以10152530m n <-<＋＋，即2555m n <-<.因为3015n -<<-，所以1111530n -<-<，所以1113015n <-<，又111<<3015n ，所以10253015m n <-<，即1533m n <-<. 所以5133m n -<<-. 误区警示错用同向不等式性质例4 已知1260a <<,1536b <<，ab的取值范围是_____________. [错解] ∵1260a <<,1536b <<，∴1260<<1536a b ， ∴45<<53a b .故填45<<53a b . [错因分析] 把不等式的同向不等式(正项)相乘的性质用到了除法，从而导致错误． [正解] ∵1536b <<，∴1113615b <<，又1260a <<，∴12603615a b <<，∴ 143a b <<，故填143ab<<. [方法点拨] 若题目中指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围． 学科素养不等关系的实际应用不等关系是数学中最基本的部分关系之一，在实际问题中有广泛应用，也是高考考查的重点内容．例5 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：2m )分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/2m )分别为a ，b ，c ，且a b c <<.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++[分析] 本题考查实际问题中不等关系的建立及利用不等式的性质比较大小．[解析] 方法一：因为x y z <<，a b c <<，所以0()()()()()ax by cz az by cx a x z c z x x z a c ++-++--=--=>＋， 故ax by cz az by cx ++>++；同理，0()()()()()ay bz cx ay bx cz b z x c x z x z c b ++-++--=--=<＋， 故ay bz cx ay bx cz ++<++.又0()()()()()az by cx ay bz cx a z y b y z a b z y ++-++--=--+<=，故az by cx ay bz cx ++<++.综上可得，最低的总费用为az by cx ++.方法二：采用特殊值法进行求解验证即可，若1x =，2y =，3z =，1a =，2b =，3c =，则14ax by cz ++＝，10az by cx ++＝，11ay bz cx ++＝，13ay bx cz ++＝.由此可知最低的总费用是az by cx ++.[归纳提升] 对于不等关系判断问题的求解，一般需要通过作差进行推理论证，对运算能力要求较高，但对于具有明确不等关系的式子进行判断时，特殊值法是一种非常值得推广的简便方法．。

2．1 等式性质与不等式性质1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系． 2．掌握不等式的有关性质．3．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式证明．1．两个实数大小的比较如果a －b 是正数，那么a >b ；如果a －b 等于零，那么a ＝b ；如果a －b 是负数，那么a <b .反过来也对．这个基本事实可以表示为：a >b ⇔a －b >0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a <b ⇔a －b <0.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．等式的基本性质性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ； 性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ； 性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ； 性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ； 性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc. 3．不等式的性质(1)如果a >b ，那么b <a ；如果b <a ，那么a >b .即a >b ⇔b <a . (2)如果a >b ，b >c ，那么a >c .即a >b ，b >c ⇒a >c . (3)如果a >b ，那么a ＋c >b ＋c .(4)如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc . (5)如果a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d . (6)如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . (7)如果a >b >0，那么a n>b n(n ∈N ，n ≥2)．温馨提示：(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．(2)要注意每条性质是否具有可逆性．1．若a >b ，且ab >0，则1a 与1b的大小关系如何？[答案] 因为ab >0，所以a 与b 同号． 而1a －1b ＝b －a ab，又a >b ，所以b －a <0.所以1a －1b <0，即1a <1b2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a ＝b 是a c ＝bc成立的充要条件．( ) (2)若a >b ，则ac >bc 一定成立．( ) (3)若a ＋c >b ＋d ，则a >b ，c >d .( )(4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×题型一用不等式(组)表示不等关系【典例1】 商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件．若把提价后的商品售价设为x 元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？[思路导引] 根据“利润＝销售量×单件利润”，把利润用x 表示出来，“不低于”即“大于或等于”，可列出不等式．[解] 若提价后商品的售价为x 元，则销售量减少x －101×10件，因此，每天的利润为(x －8)[100－10(x －10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x －8)[100－10(x －10)]≥300.在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．[针对训练]1．如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a ，b (a ≠b )的不等式表示为________．[答案] 12(a 2＋b 2)>ab2．你有过乘坐火车的经历吗？火车站售票处有规定：儿童身高不足1.2 m 的免票，身高1.2～1.5 m 的儿童火车票为半价，身高超过1.5 m 的儿童买全价票．你能用不等式表示这些规定吗？[解] 设身高为h m ， 文字表述 身高不 足1.2 m身高在1.2 ～1.5 m 间 身高超 过1.5 m符号表示 h <1.21.2≤h ≤1.5 h >1.5票价免费半价票全价票【典例2】 比较下列各组中两个代数式的大小： (1)x 2＋3与3x ；(2)已知a ，b 均为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．[思路导引] 我们知道，a －b >0⇔a >b ，a －b <0⇔a <b .因此，若要比较两式的大小，只需作差与0作比较即可．[解] (1)(x 2＋3)－3x ＝x 2－3x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋34≥34>0， ∴x 2＋3>3x .(2)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝a 2(a －b )－b 2(a －b ) ＝(a －b )(a 2－b 2) ＝(a －b )2(a ＋b )． ∵a >0，b >0且a ≠b ， ∴(a －b )2>0，a ＋b >0.∴(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0， 即a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法(1)作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论．[针对训练]3．已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y ，比较m 和n 的大小．[解] ∵m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y ＝(x ＋y )2－4xy xy (x ＋y )＝(x －y )2xy (x ＋y ).又x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0. ∴m －n ≥0，即m ≥n (当x ＝y 时，等号成立)．4．设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小． [解] ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2， 当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号.题型三利用不等式的性质判断或证明不等式 【典例3】 (1)对于实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①若a >b ，则ac 2>bc 2； ②若a <b <0，则a 2>ab >b 2； ③若a >b ，则a 2>b 2； ④若a <b <0，则a b >b a.其中正确命题的序号是________．(2)已知a >b ，e >f ，c >0.求证：f －ac <e －bc .[思路导引] (1)直接利用不等式的基本性质判断；(2)首先由性质4得到－bc >－ac ，再由性质5证明．[解析] (1)对于①∵c 2≥0， ∴只有c ≠0时才成立，①不正确； 对于②，a <b <0⇒a 2>ab ；a <b <0⇒ab >b 2， ∴②正确；对于③，若0>a >b ，则a 2<b 2，如－1>－2， 但(－1)2<(－2)2，∴③不正确； 对于④，∵a <b <0，∴－a >－b >0， ∴(－a )2>(－b )2，即a 2>b 2.又∵ab >0，∴1ab >0，∴a 2·1ab >b 2·1ab ，∴a b >b a，④正确．(2)证明：∵a >b ，c >0，∴ac >bc ， ∴－ac <－bc .∵f <e ， ∴f －ac <e －bc .[答案] (1)②④ (2)见解析(1)利用不等式判断正误的2种方法①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．(2)利用不等式的性质证明不等式的注意事项①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．[针对训练]5．若bc －ad ≥0，bd >0.求证：a ＋b b ≤c ＋dd.[证明] ∵bc －ad ≥0，∴ad ≤bc ，bd >0， ∴a b ≤c d ，∴a b ＋1≤c d ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋dd. 6．若a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e(a －c )2>e(b －d )2.[证明] ∵c <d <0，∴－c >－d >0， 又a >b >0，∴a －c >b －d >0， 则(a －c )2>(b －d )2>0，即1(a －c )2<1(b －d )2. 又e <0，∴e(a －c )2>e(b －d )2.题型四利用不等式的性质求取值范围【典例4】 已知1<a <4,2<b <8.试求2a ＋3b 与a －b 的取值范围．[思路导引] 欲求a －b 的范围，应先求－b 的范围，再利用不等式的性质求解． [解] ∵1<a <4,2<b <8，∴2<2a <8,6<3b <24 ∴8<2a ＋3b <32.∵2<b <8，∴－8<－b <－2. 又∵1<a <4，∴1＋(－8)<a ＋(－b )<4＋(－2)， 即－7<a －b <2.故8<2a ＋3b <32，－7<a －b <2.[变式] (1)在本例条件下，求a b的取值范围．(2)若本例改为：已知1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，求3a －2b 的范围． [解] (1)∵2<b <8，∴18<1b <12，又1<a <4，∴18<a b<2. (2)设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ， 则a ＝x ＋y2，b ＝x －y2，∵1≤x ≤5，－1≤y ≤3，∴3a －2b ＝12x ＋52y .又12≤12x ≤52，－52≤52y ≤152， ∴－2≤12x ＋52y ≤10.即－2≤3a －2b ≤10.同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．[针对训练]7．已知－12≤α<β≤12，求α＋β2、α－β3的取值范围．[解] ∵－12≤α<β≤12，∴－14≤α2<14，－14<β2≤14.两式相加得－12<α＋β2<12.∵－16≤α3<16，－16≤－β3<16，两式相加得－13≤α－β3<13.又∵α<β，∴α－β3<0，∴－13≤α－β3<0.课堂归纳小结1．作差法比较大小的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)． 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．2．在利用不等式的性质进行证明、判断或者推理过程中，要注意性质成立的条件，不能出现同向不等式相减、相除的情况，要特别注意同向不等式相乘的条件为同为正.1．下列说法正确的为( )A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2[解析] ∵1x ＝1y，且x ≠0，y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＝y .[答案] A2．设a ，b 为非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2bC ．1ab 2<1a 2bD ．b a <a b[解析] 用a ＝－1，b ＝1，试之，易排除A ，D.再取a ＝1，b ＝2，易排除B. [答案] C3．下列命题中正确的个数是( ) ①若a >b ，b ≠0，则a b>1； ②若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >d ； ③若a >b ，且ac >bd ，则c >d . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[解析] ①若a ＝2，b ＝－1，则不符合；②取a ＝10，b ＝2，c ＝1，d ＝3，虽然满足a >b 且a ＋c >b ＋d ，但不满足c >d ，故错；③当a ＝－2，b ＝－3，取c ＝－1，d ＝2，则不成立．[答案] A4．若x ≠2或y ≠－1，M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ，N ＝－5，则M 与N 的大小关系为________． [解析] ∵x ≠2或y ≠－1，∴M －N ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5＝(x －2)2＋(y ＋1)2>0，∴M >N . [答案] M >N5．若－1≤a ≤3,1≤b ≤2，则a －b 的范围为________． [解析] ∵－1≤a ≤3，－2≤－b ≤－1， ∴－3≤a －b ≤2. [答案] －3≤a －b ≤2课后作业(十)复习巩固一、选择题1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x 个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )A ．30x －60≥400B ．30x ＋60≥400C ．30x －60≤400D ．30x ＋40≤400[解析] x 月后他至少有400元，可表示成30x ＋60≥400. [答案] B2．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式一定成立的是( ) A ．ad >bc B ．ac >bd C ．a ＋c >b ＋dD ．a －c >b －d[解析] 由a >b ，c >d 得a ＋c >b ＋d ，故选C. [答案] C3．设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ≥bD ．a ≤b[解析] a －b ＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x ) ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0， ∴a ≥b . [答案] C4．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，c <d ，则a c >bdD ．若a 2>b 2，则－a <－b[解析] 选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d 时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B.[答案] B5．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<1[解析] 由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1， ∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0. [答案] A 二、填空题6．武广铁路上，高速列车跑出了350 km/h 的高速度，但这个速度的2倍再加上100 km/h ，还超不过波音飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，设高速列车速度为v 1，波音飞机速度为v 2，普通客车速度为v 3.则三种交通工具速度的不等关系分别为________________．[答案] 2v 1＋100≤v 2，v 1>3v 37．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．[解析] ∵x1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0，∴x1＋x 2≤12. [答案]x1＋x 2≤128．已知不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a ；⑤b <a 且ab >0；⑥a <b 且ab <0.其中能使1a <1b成立的是________．[解析] 因为1a <1b ⇔b －aab<0⇔b －a 与ab 异号，然后再逐个进行验证，可知①②④⑤⑥都能使1a <1b.[答案] ①②④⑤⑥ 三、解答题9．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .[证明] ∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝(a －b )2(a ＋b )ab .∵(a －b )2≥0恒成立，且a >0，b >0，∴a ＋b >0，ab >0. ∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0.∴b 2a ＋a2b≥a ＋b .10．已知12<a <60,15<b <36，求a －b ，ab的取值范围． [解] ∵15<b <36，∴－36<－b <－15， ∴12－36<a －b <60－15.∴－24<a －b <45. 又136<1b <115，∴1236<a b <6015.∴13<a b<4. 综合运用11．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( )A ．ac >bcB ．1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3[解析] A 选项中，若c ≤0则不成立；B 选项中，若a 为正数b 为负数则不成立；C 选项中，若a ，b 均为负数则不成立，故选D.[答案] D12．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )A ．ab >acB ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 2[解析] 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0，又∵a >0，b >c ，∴ab >ac .[答案] A13．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是________．①a 2b <ab 2；②1ab 2<1a 2b ；③b a <a b .[解析] 当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，∴a 2b >ab 2，1a 2b >1ab 2，①错，②对；当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝a b＝－1，故③错．[答案] ②14．若x >1，－1<y <0，则x ，y ，－y ，－xy 由小到大的顺序是________________(用“<”连接)．[解析] ∵x >1，－1<y <0，∴0<－y <x .∵－y －(－xy )＝y (x －1)<0，∴－y <－xy ，∵x －(－xy )＝x (1＋y )>0，∴－xy <x ，∴y <－y <－xy <x .[答案] y <－y <－xy <x15．已知：－4≤a －c ≤－1，－1≤4a －c ≤5，求：9a －c 的范围． [解] 令⎩⎪⎨⎪⎧ a －c ＝x 4a －c ＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝13(y －x )c ＝13(y －4x ).∴9a －c ＝83y －53x∵－4≤x ≤－1，∴53≤－53x ≤203① ∵－1≤y ≤5，∴－83≤83y ≤403② ①和②相加，得－1≤83y －53x ≤20 ∴－1≤9a －c ≤20.。

2.1 等式性质与不等式性质最新课程标准：梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．知识点一实数大小比较1．文字叙述如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反之也成立．2．符号表示a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.状元随笔比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a －b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a －b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．知识点二不等式的性质}a>b c>0⇒ac>bc}a>b c<0⇒ac<bca>b c>d⇒a＋c>b＋da>b c>d>0⇒ac>bd状元随笔 (1)性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a ＋b>c ⇒a>c －b.性质3是可逆性的，即a>b ⇔a ＋c>b ＋c.(2)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．(3)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．[教材解难]教材P 40思考等式有下面的基本性质： 性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ； 性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ； 性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ； 性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ； 性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc.[基础自测]1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T 满足关系( )A ．T <40B ．T >40C ．T ≤40 D．T ≥40解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思． 答案：C2．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关解析：因为M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，所以M >N .答案：A3．已知x <a <0，则一定成立的不等式是( ) A ．x 2<a 2<0 B ．x 2>ax >a 2C ．x 2<ax <0 D ．x 2>a 2>ax解析：因为x<a<0，不等号两边同时乘a，则ax>a2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.答案：B4．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．解析：因为－1≤b≤2，所以－2≤－b≤1，又1≤a≤5，所以－1≤a－b≤6.答案：－1≤a－b≤6题型一比较大小[教材P38例1]例1 比较(x＋2)(x＋3)和(x＋1)(x＋4)的大小．【解析】因为(x＋2)(x＋3)－(x＋1)(x＋4)＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4)＝2>0，所以(x＋2)(x＋3)>(x＋1)(x＋4)．状元随笔通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.教材反思用作差法比较两个实数大小的四步曲跟踪训练1 若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是( ) A．f(x)<g(x)B．f(x)＝g(x)C．f(x)>g(x)D．随x值变化而变化解析：f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以f(x)>g(x)．故选C.作差→变形→判断差的符号→结合差的符号判定大小题型二 不等式的性质[经典例题] 分析条件→利用不等式性质逐一判断例2 对于实数a 、b 、c ，有下列说法： ①若a >b ，则ac <bc ； ②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a <b <0，则a 2>ab >b 2； ④若c >a >b >0，则ac －a >bc －b；⑤若a >b ，1a >1b，则a >0，b <0.其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】 对于①，令c ＝0，则有ac ＝bc .①错． 对于②，由ac 2>bc 2，知c ≠0， ∴c 2>0⇒a >b .②对． 对于③，由a <b <0， 两边同乘以a 得a 2>ab ， 两边同乘以b 得ab >b 2， ∴a 2>ab >b 2.③对． 对于④，⎭⎪⎬⎪⎫c >a >b >0⇒c －a >0，c －b >0a >b ⇒－a <－b ⇒c －a <c －b ⇒0<c －a <c －b⇒⎭⎪⎬⎪⎫1c －a >1c －b >0a >b >0⇒a c －a >b c －b .④对．对于⑤，⎭⎪⎬⎪⎫a >b ⇒a －b >01a >1b ⇒b －a ab >0⇒⎭⎪⎬⎪⎫ab <0a >b⇒a >0，b <0.⑤对．答案：C 方法归纳(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． (2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．跟踪训练2 (1)已知a <b ，那么下列式子中，错误的是( ) A.4a <4b B ．－4a <－4b C ．a ＋4<b ＋4 D ．a －4<b －4(2)对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，c ≠0，则ac >bc B ．若a >b ，则ac 2>bc 2C ．若ac 2>bc 2，则a >b D ．若a >b ，则1a <1b解析：(1)根据不等式的性质，a <b,4>0⇒4a <4b ，A 项正确；a <b ，－4<0⇒－4a >－4b ，B 项错误；a <b ⇒a ＋4<b ＋4，C 项正确；a <b ⇒a －4<b －4，D 项正确．利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．(2)对于选项A ，当c <0时，不正确；对于选项B ，当c ＝0时，不正确；对于选项C ，∵ac 2>bc 2，∴c ≠0，∴c 2>0，∴一定有a >b .故选项C 正确；对于选项D ，当a >0，b <0时，不正确．答案：(1)B (2)C题型三 利用不等式性质求范围[经典例题]例3 已知－2<a ≤3,1≤b <2，试求下列代数式的取值范围： (1)|a |；(2)a ＋b ；(3)a －b ；(4)2a －3b . 【解析】 (1)|a |∈[0,3]；(2)－1<a ＋b <5；(3)依题意得－2<a ≤3，－2<－b ≤－1，相加得－4<a －b ≤2； (4)由－2<a ≤3得－4<2a ≤6 ①， 由1≤b <2得－6<－3b ≤－3 ②， 由①②得，－10<2a －3b ≤3.状元随笔 运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向.方法归纳利用不等式性质求范围的一般思路(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； (2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； (3)结合不等式的传递性进行求解．跟踪训练3 已知实数x ，y 满足：1<x <2<y <3， (1)求xy 的取值范围； (2)求x －2y 的取值范围．解析：(1)∵1<x <2<y <3，∴1<x <2,2<y <3，则2<xy <6，则xy 的取值范围是(2,6)． (2)由(1)知1<x <2,2<y <3，从而－6<－2y <－4，则－5<x －2y <－2，即x －2y 的取值范围是(－5，－2)．状元随笔 (1)根据不等式的性质6可直接求解；(2)求出－2y 的取值范围后，利用不等式的性质5即可求x －2y 的取值范围.课时作业 7一、选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >B D ．A >B解析：因为A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2≥0，所以A ≥B .答案：B2．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，c <d ，则a c >bdD ．若a 2>b 2，则－a <－b解析：选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d 时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立．答案：B3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0 D ．－1<α－β<1 解析：∵－1<β<1，∴－1<－β<1. 又－1<α<1，∴－2<α＋(－β)<2，又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0.故选A. 答案：A4．有四个不等式：①|a |>|b |；②a <b ；③a ＋b <ab ；④a 3>b 3.若1a <1b<0，则不正确的不等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由1a <1b<0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①不正确；a >b ，②不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.答案：C 二、填空题5．已知a ，b 均为实数，则(a ＋3)(a －5)________(a ＋2)(a －4)(填“>”“<”或“＝”)．解析：因为(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0，所以(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)．答案：<6．如果a >b ，那么c －2a 与c －2b 中较大的是________． 解析：c －2a －(c －2b )＝2b －2a ＝2(b －a )<0. 答案：c －2b 7．给定下列命题：①a >b ⇒a 2>b 2；②a 2>b 2⇒a >b ；③a >b ⇒b a<1；④a >b ，c >d ⇒ac >bd ；⑤a >b ，c >d ⇒a －c >b－d .其中错误的命题是________(填写相应序号)．解析：由性质7可知，只有当a >b >0时，a 2>b 2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a >0且a >b 时，b a<1才成立，故③错误；由性质6可知，只有当a >b >0，c >d >0时，ac >bd 才成立，故④错误；对于⑤，由c >d 得－d >－c ，从而a －d >b －c ，故⑤错误．答案：①②③④⑤三、解答题8．已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解析：x 3－1－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，因为x <1，所以x －1<0，又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0， 所以x 3－1<2x 2－2x .9．若bc －ad ≥0，bd >0.求证：a ＋b b ≤c ＋dd. 证明：因为bc －ad ≥0，所以ad ≤bc ， 因为bd >0，所以a b ≤cd， 所以a b ＋1≤c d ＋1，所以a ＋b b ≤c ＋dd. [尖子生题库]10．设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． 解析：方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ， 于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4. ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 故f (－2)的取值范围是[5,10]．方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －bf (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故f(－2)的取值范围是[5,10].。

2019 年最新版高中数学教材目录必修（第一册）（共计72 课时）第一章集合与常用逻辑用语（10 课时）第二章一元二次函数、方程和不等式（8 课时）第三章函数概念与性质（12 课时）第四章指数函数与对数函数（16 课时）第五章三角函数（23 课时）必修（第二册）（共计69 课时）第六章平面向量及其应用（18 课时）第七章复数（8 课时）第八章立体几何初步（19 课时）第九章统计（13 课时）第十章概率（9 课时）选择性必修（第一册）（共计43 课时）第一章空间向量与立体几何（15 课时）第二章直线和圆的方程（16 课时）第三章圆锥曲线的方程（12 课时）选择性必修（第二册）（共计30 课时）第四章数列（14 课时）第五章一元函数的导数及其应用（16 课时）选择性必修（第三册）（共计35 课时）第六章计数原理（11 课时）第七章随机变量及其分布（10 课时）第八章成对数据的统计分析（9 课时）详细章节内容高中数学新教材目录高中第一册第一章集合与常用逻辑用语 (4)1.1 集合的概念 (5)1.2 集合间的基本关系 (10)1.3 集合的基本运算 (13)阅读与思考集合中元素的个数 (18)1.4 充分条件与必要条件 (20)1.5 全称量词与存在量词 (27)阅读与思考几何命题与充分条件、必要条件 (34)第二章一员二次函数、方程和不等式 (39)2.1 等式性质与不等式性质 (40)2.2 基本不等式 (47)2.3 二次函数与一元一次方程、不等式 (53)第三章函数的概念与性质 (62)3.1 函数的概及其表示 (63)阅读与思考函数概念的发展历程 (78)3.2 函数的基本性质 (79)信息技术应用用计算机绘制函数图像 (90)3.3 幂函数 (92)探索与发现探索函数y=x+1/x 的图象与性质 (95)3.4 函数的应用(一) (96)文献阅读与数学写作函数的形成与发展 (100)第四章指数函数与对数函数 (106)4.1 指数 (107)4.2 指数函数 (114)阅读与思考放射性物质的衰减 (118)信息技术应用探究指数函数的性质 (123)4.3 对数 (125)阅读与思考对数的发明 (131)4.4 对数函数 (133)探究与发现互为反函数的两个函数图象间的关系 (138)4.5 函数的应用(二) (145)阅读与思考中外历史上的方程求解 (150)文献阅读与数学写作对数概念的形成与发展 (160)数学建模建立函数模型解决实际问题 (165)第五章三角函数 (170)5.1 任意角和弧度制 (171)5.2 三角函数的概念 (180)阅读与思考三角学与天文学 (189)5.3 诱导公式 (191)5.4 三角函数的图象与性质 (199)探究与发现函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ) (206)探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质 (211)5.5 三角恒等变换 (218)信息技术应用利用信息技术制作三角函数表 (227)5.6 函数y=Asin(ωx+φ) (234)5.7 三角函数的应用 (245)阅读与思考振幅、周期、频率、相位 (253)高中第二册第六章平面向量及其应用 (4)6.1 平面向量的概念 (5)6.2 平面向量的运算 (10)6.3 平面向量基本定理及坐标表示 (28)6.4 平面向量的应用 (41)复习参考题 6 (62)数学探究用向量法研究三角形的性质 (66)第七章复数 (70)7.1 复数的概念 (71)7.2 复数的四则运算 (78)7.3 *复数的三角表示 (86)复习参考题7 (97)第八章立体几何初步 (99)8.1 基本立体图形 (100)8.2 立体图形的直观图 (110)8.3 简单几何体的表面积与体积 (117)8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 (127)8.5 空间直线、平面的平行 (136)8.6 空间直线、平面的垂直 (149)复习参考题8 (172)第九章统计 (175)9.1 随机抽样 (176)9.2 用样本估计总体 (195)阅读与思考大数据 (220)9.3 统计案例公司员工的肥胖情况调查分析 (221)复习参考题9 (225)第十章概率 (228)10.1 随机事件与概率 (229)10.2 事件的相互独立性 (249)10.3 频率与概率 (254)复习参考题10 (266)新旧教材的异同普通高中数学课程标准2017 年版在实验版的基础上作了修订，总体是继承，删减了一些内容，调整了内容的顺序，注重了数学知识内部的逻辑性，使得整体内容更趋合理。

第1课时 不等关系与不等式课标解读课标要求核心素养1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.(重点)2.初步学会用作差法比较两个实数的大小.(重点、难点) 1.通过运用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,培养数学抽象素养.2.在学习利用作差法比较两个实数大小的过程中提升数学运算素养,培养学生转化化归的数学思想.在日常生活中,购买火车票有一项规定:随同成人旅行,身高超过1.2 m(含1.2 m)而不超过1.5 m 的儿童,享受半价客票(简称儿童票),超过1.5 m 时应买全价票.每一名成人旅客可免费携带一名身高不足1.2 m 的儿童,超过一名时,超过的儿童应买儿童票.问题:在上述情境中,如果设儿童的身高为h m,如何用含h 的不等式来描述一名买儿童票的儿童的身高?答案 1.2≤h≤1.5.1.基本事实实数a,b 大小的比较:依据a>b ⇔①a-b>0;a=b ⇔②a-b=0; a<b ⇔③a-b<0结论要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的④差与⑤ 0的大小思考1:x2+1与2x两式都随x的变化而变化,其大小关系并不明显,你能想个办法比较x2+1与2x的大小吗?提示作差:x2+1-2x=(x-1)2≥0,所以x2+1≥2x.思考2:当x=3时,x≥3成立吗?提示当x=3时,x≥3成立.实际上,当x>3和x=3中有一个成立时,x≥3就成立.2.重要不等式一般地,∀a,b∈R,有a2+b2⑥≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.探究一用不等式(组)表示不等关系例1 某汽车公司因发展需要,需购进一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式组.解析设购买的A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆,那么{40x+90x≤1000, x≥5,x≥6,x,x∈N*.思维突破(1)将多个不等关系表示成不等式(组)的思路①读懂题意,把文字语言转化为数学符号语言,找准不等式所联系的量;②选取恰当的不等号连接.(2)常见的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于,高于,超过小于,低于,少于大于等于,至少,不低于小于等于,至多,不超过符号语言> < ≥≤1.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料需要主要原料磷酸盐4吨、硝酸盐18吨;生产1车皮乙种肥料需要主要原料磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.现有磷酸盐10吨、硝酸盐66吨,在此基础上进行生产.请用不等式或不等式组把题目中的不等关系表示出来.解析 设x,y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数,那么{4x +x ≤10,18x +15x ≤66,x ≥0,x ≥0.探究二 作差法比较大小例2 x≤1,比较3x 3与3x 2-x+1的大小.解析 3x 3-(3x 2-x+1) =(3x 3-3x 2)+(x-1)=3x 2(x-1)+(x-1)=(3x 2+1)(x-1). ∵x≤1,∴x -1≤0,3x 2+1≥1, ∴(3x 2+1)(x-1)≤0,∴3x 3≤3x 2-x+1. 思维突破作差法比较大小的基本步骤2.(1)(变条件)把例2中的“x≤1〞变为“x∈R〞,再比较3x 3与3x 2-x+1的大小;(2)(变条件)把例2中的两个代数式变为3x 2+1与2x 2+3x-1,其他条件不变,比较这两个代数式的大小. 解析 (1)3x 3-(3x 2-x+1) =(3x 3-3x 2)+(x-1)=(3x 2+1)(x-1). 易知3x 2+1≥1,当x>1时,x-1>0,∴3x 3>3x 2-x+1; 当x=1时,x-1=0,∴3x 3=3x 2-x+1;当x<1时,x-1<0,∴3x3<3x2-x+1.(2)3x2+1-(2x2+3x-1)=x2-3x+2=(x-2)(x-1),∵x≤1,∴x-2<0,x-1≤0,∴(x-2)(x-1)≥0,∴3x2+1≥2x2+3x-1.探究三不等关系的实际应用例3 为打造“书香校园〞,某学校计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个.组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.设组建中型图书角x个,用不等式组将题目中的不等关系表示出来,并求出那些符合题意的组建方案.解析因为组建中型图书角x个,所以组建小型图书角(30-x)个,那么{0<x<30,80x+30(30-x)≤1900,50x+60(30-x)≤1620,x∈N*,解得18≤x≤20,x∈N*,所以x的取值是18,19,20.当x=18时,30-x=12;当x=19时,30-x=11;当x=20时,30-x=10.故有三种组建方案:方案一,组建中型图书角18个,小型图书角12个;方案二,组建中型图书角19个,小型图书角11个;方案三,组建中型图书角20个,小型图书角10个.易错点拨(1)根据实际问题列不等式(组)的关键是通过分析找出问题中的不等关系,并确定不等号,然后写出不等号两边的代数式.(2)根据实际问题列出不等式(组),应从符合实际意义出发,而不能拘于某一种形式.3.某公司有20名技术人员,计划开发A、B两类电子器件共50件,每类每件所需人员和预计产值如下:产品种类每件需要人员数每件产值(万元/件)A类127.5B类136现制订计划欲使总产值最高,那么应开发A类电子器件件,最高产值为万元.答案20;330解析设应开发A类电子器件x(0≤x≤50,x∈N*)件,总产值为y万元,那么开发B类电子器件(50-x)件,由x2+50-x3≤20,解得x≤20.由题意,得总产值y=7.5x+6×(50-x)=300+1.5x≤330,当且仅当x=20时,y取得最大值,且最大值为330. 所以应开发A类电子器件20件,最高产值为330万元.1.以下能表示“a不比b小〞的不等关系的是( )A.a-b>0B.a-b<0C.a-b≥0D.a-b≤0答案 C “a不比b小〞意味着“a与b的差大于等于0〞,应选C.2.在开山工程爆破时,导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米,人跑开的速度是每秒4米,为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区,导火索的长度x(厘米)应该满足的不等式为( )A.4×2x≥100B.4×2x≤100C.4×2x>100D.4×2x<100答案 C 当导火索的长度为x厘米时,燃烧的时间为2x秒,人跑开的距离为4×2x米,为了保证安全,有4×2x>100.3.假设实数a>b,那么a2-ab ba-b2.(填“>〞或“<〞)答案>解析因为(a2-ab)-(ba-b2)=(a-b)2,又a>b,所以(a-b)2>0,即a2-ab>ba-b2.4.设x∈R,比较x1+x2与12的大小.解析x1+x2-12=2x-1-x22(1+x2)=-(x-1)22(1+x2)≤0,∴x1+x2≤12.逻辑推理——作差法证明不等式a>0,求证:a+1x≥2.素养探究:用作差法证明不等式的关键是对差式进行变形,其方法有配方、通分、分解因式等.解答此题可利用配方法把差式化为完全平方式以确定其符号,过程中表达逻辑推理核心素养.证明a+1x -2=(√x)2+(1√x)2-2=(√x-1√x)2≥0,∴a+1x≥2.a,b均为正实数,证明:a3+b3≥a2b+ab2.证明a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). 当a=b时,a-b=0,那么a3+b3=a2b+ab2;当a≠b时,(a-b)2>0,∵a,b均为正实数,∴a+b>0,那么a3+b3>a2b+ab2.综上所述,a3+b3≥a2b+ab2.1.以下说法正确的是( )A.某人的月收入x元不高于2 000元可表示为“x<2 000〞B.小明的身高为x,小华的身高为y,那么小明比小华矮可表示为“x>y〞C.变量x不小于a可表示为“x≥a〞D.变量y不超过a可表示为“y≥a〞答案 C 对于A 选项,x 应满足x≤2 000,故A 错误;对于B 选项,x,y 应满足x<y,故B 错误;对于C 选项,x 与a 的关系可表示为“x≥a〞,故C 正确;对于D 选项,y 与a 的关系可表示为“y≤a〞,故D 错误. 2.某校对高一美术生划定录取分数线,要求专业成绩x 不低于95分,文化课总分y 高于380分,体育成绩z 超过45分,用不等式组表示为( )A.{x ≥95x ≥380x >45B.{x ≥95x >380x ≥45C.{x >95x >380x >45D.{x ≥95x >380x >45答案 D3.设M=x 2,N=-x-1,那么M 与N 的大小关系是( ) A.M>N B.M=N C.M<N D.与x 有关答案 A ∵M -N=x 2+x+1=(x +12)2+34>0, ∴M>N.4.假设A=a 2+3ab,B=4ab-b 2,那么A 、B 的大小关系是( ) A.A≤B B.A≥B C.A<B 或A>B D.A>B答案 B ∵A -B=a 2+3ab-(4ab-b 2) =(x -x 2)2+34b 2≥0,∴A≥B.5.不等式a 2+4≥4a 中,等号成立的条件为 . 答案 a=2解析 令a 2+4=4a,那么a 2-4a+4=0,即(a-2)2=0,∴a=2.6.某商品的包装上标有质量(500±1)克,假设用x 表示商品的质量,那么可用含绝对值的不等式表示该商品的质量为 . 答案 |x-500|≤1解析 ∵某商品的包装上标有质量(500±1)克,假设用x 表示商品的质量,那么-1≤x -500≤1,∴|x -500|≤1.7.a,b 为实数,那么(a+3)(a-5) (a+2)(a-4).(填“>〞“<〞或“=〞)答案 <解析 因为(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=a 2-2a-15-(a 2-2a-8)=-7<0,所以(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4). 8.甲、乙、丙三种食物的维生素A,B 含量及成本如下表:甲 乙 丙 维生素A(单位/kg) 600 700 400 维生素B(单位/kg) 800 400 500 成本(元/kg)1194假设用甲、乙、丙三种食物各x kg 、y kg 、z kg 配成100 kg 的混合食物,并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用x,y 表示混合食物成本c 元,并写出x,y 所满足的不等关系.解析 依题意得c=11x+9y+4z,又x+y+z=100,∴c=400+7x+5y. 由{600x +700x +400x ≥56000,800x +400x +500x ≥63000及z=100-x-y, 得{2x +3x ≥160,3x -x ≥130,∴x,y 所满足的不等关系为{2x +3x ≥160,3x -x ≥130,x ≥0,x ≥0.9.(多选)以下不等式正确的是( ) A.x 2+3>2x(x∈R) B.a 3+b 3≥a 2b+ab 2C.a 2+b 2≥2(a -b-1)D.a 2+b 2≥2ab答案 ACD 对于A 选项,x 2+3-2x=(x-1)2+2>0,∴x 2+3>2x;对于B 选项,a 3+b 3-a 2b-ab 2=a 2(a-b)+b 2(b-a)=(a-b)(a 2-b 2)=(a-b)(a-b)(a+b)=(a+b)(a-b)2,(a-b)2≥0,但a+b 的符号不能确定,∴B 不一定正确;对于C 选项,a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a 2+b 2≥2(a -b-1); 对于D 选项,a 2+b 2-2ab=(a-b)2≥0, ∴a 2+b 2≥2ab.10.a,b,c 为不全相等的实数,P=a 2+b 2+c 2+3,Q=2(a+b+c),那么P 与Q 的大小关系是( )A.P>QB.P≥QC.P<QD.P≤Q答案 A ∵P -Q=a 2+b 2+c 2+3-2(a+b+c)=a 2-2a+1+b 2-2b+1+c 2-2c+1=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2≥0, 且a,b,c 为不全相等的实数,∴等号取不到,∴P>Q,应选A.11.一个棱长为2的正方体的上底面有一点A,下底面有一点B,那么A 、B 两点间的距离d 满足的不等式为 .答案 2≤d≤2√3解析 最短距离是棱长2,最长距离是正方体的体对角线长2√3.故2≤d≤2√3. 12.当m>1时,m 3与m 2-m+1的大小关系为 . 答案 m 3>m 2-m+1解析 m 3-(m 2-m+1)=m 3-m 2+m-1=m 2(m-1)+(m-1)=(m-1)(m 2+1),∵m>1,∴(m -1)(m 2+1)>0,∴m 3>m 2-m+1. 13.a,b,c 满足b+c=3a 2-4a+6,b-c=a 2-4a+4,比较a,b,c 的大小. 解析 ∵b -c=a 2-4a+4=(a-2)2≥0,∴b≥c. 由题意得方程组{x -x =x 2-4a +4,x +x =3x 2-4a +6,解得{x =2x 2-4a +5,x =x 2+1.∴c -a=a 2-a+1=(x -12)2+34>0,∴c>a,∴b≥c>a.14.有学生假设干人,住假设干间宿舍,如果每间住4人,那么还余19人,如果每间住6人,那么只有一间不满但不空,求宿舍间数和学生人数.解析 设宿舍有x 间,那么学生有(4x+19)人,依题意得, {4x +19<6x ,4x +19>6(x -1),解得192<x<252.∵x∈N *,∴x=10,11或12,此时学生人数分别为59,63,67.故宿舍间数和学生人数分别为10和59或11和63或12和67.。