精心整理一次不定方程的解我们现在就这个问题，先给出一个定理定理如是互质的正整数是整数，且方,①cby?ax?有一组整数解则此方程的一切整数解可以表示为yx,00其中…3,??1,?2,t?0,证因为是方程①的整数解，当然满足y,x00②c?ax?by00因此．cby?at)?ax?ba(x?bt)?(y?0000这表明，也是方程①的解．at?y??x?xbty00设是方程①的任一整数解，则有??y,x③??caxby???②得④③??)y(?)x(ax??by?00精心整理．精心整理t是整数．将，其中代入④，即得由于，所以，即???atyy?y?at??y ya?y1)?,(ab000．因此可以表示成，的形式，所以，???y?y?atx?x?x?x?btyy?x??x?btatbty,x00000表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解. 例1求的整数解．715y?11x?将方程变形得1解是这个方程的的倍数．由观察是整数，所应是因211组整数解，所以方程的解先考，通过观察易得解11114所以(7711，，从而可取21?x??28,y00可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是 t一样的．将解中的参数做适当代换，就可化为同一形式．求方程的非负整数解．2例9022y??6x得因为，所以方程两边同除以解2?(6,22)2①45?3x?11y由观察知，是方程1??yx?4,11②1?11y?x3的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为精心整理．精心整理因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有180?11t?0?③??45?3t?0?由于是整数，由③得，所以只有两种可能．16?t?15,tt16t?15?当；当．所以原方程的非负整数解是3??4,yy?0?t16,xt?15,x?15,x?415x???，??y?3y?0??求方的所有正整数解211?分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解解用方211?的最小系除方程①的各项，并移项211y②?30?2y?x?77y?53．化简得到是整数，故因为也是整数，于是?u yx,3?7u5y?7③3??7u5y3?2u（整数），由此得令?v5④35v?2u?u??1u??1??是方程④的一组解．将代入③得，再将由观察知代入②得2?2y?y??v?1v?1??x?25x?25?19t??t为整数，所以它的一切解为．于是方程①有一组解025x???y?2y?2?7t??0由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得只能取．因此得原方程的正整数解为0,1t精心整理．精心整理x?25x?6??，??y?2y?9??当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．求方程的整数解．4例25??107y37x解为表示，我们把上述辗转相除过程回代，1031由此可是方的一组整数解．于2610322652?x22600是方的一组整数解23107所以原方程的一切整数解某国硬币分分两种，问用这两种硬币支分货款，有多少种不例14的方法解设需枚分，枚分恰好支付分，于是x y57142①1425?y?7x所以由于，所以，并且由上式知．因为，所以，从而1xx?1)5?52(12)?(5,20x?x7?142，所以①的非负整数解为1,6,11,16?x x?1x?6x?11x?16????，，，????y?27y?20y?13y?6????所以，共有4种不同的支付方式．说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．精心整理．精心整理求方程的整数解．6例1000?y?5z9x?24解设，即，于是．于是原方程可化为t8y?3t?3x?9x?24y1000??5z3t3x?8y?t?①?3t?5z?1000?用前面的方法可以求得①的解为x?3t?8?（是整数）②u?y??t?3u②的解为200是整数）100，得消去1600都是整数200100年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾1500 大约提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．只个钱买小鸡每个钱三只．用母鸡每只三个钱，今有公鸡每只五个钱，7 例100100鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？只，由题意列方程组解设公鸡、母鸡、小鸡各买z,x,y①②化简得③300?z?15x?9y②得③?200y?14x?8得，解即1?100x7?4y?4x7?y的一个特解为于是1004x7?y?精心整理．精心整理由定理知的所有整数解为100?x?4y7由题意知，，所以100?y,z0?x,4?25?t?28??7解得?24?28??t14?77?4∴28t?25?7只公鸡只母鸡8811精心整理．。
探究二元一次不定方程（Inquires into the dual indefinite equation）冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。
我们讨论二元一次方程的整数解。
The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。
一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式；②具有两个未知数；③未知项的次数是1。
如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。
定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
[1]二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。
通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。
二元 一次不定方程知识要点和基本方法1．当一个方程中未知数的个数多于一个时，称这个方程为不定方程——只讨论有二个未知数的一次不定方程2．一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个整系数的不定方程的整数解或正整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解 例1． 解方程83=-y x解：由原方程，易得y x 38+= 因此，对y 的任意一个值，都有一个x 与之对应，此时x 与y 的值必定满足原方程，故这样的x 与y 是原方程的一组解，即原方程的解可表为⎩⎨⎧=+=k y kx 38 其中k 为任意数 整数解问题：例2． 求方程863=+y x 的整数解解：因为)2(363y x y x +⨯=+， 所以，不论x 与y 取何整数，总有,633y x +但3不能整除8，因此，不论x 与y 取何整数，y x 63+都不可能等于8，即原方程无整数解定理1：整系数方程c by ax =+有整数解的充分而且必要条件是a 与b 的最大公约数d 能整除c例3． 求方程34104=+y x 的整数解解：因为4与10的最大公约数为2，而34是2的倍数，由定理得，原方程有整数解。
两边约去2后，得,1752=+y x 故5217xy -=，因此，要使y 取得整数，1x 27-=15，3=y ，即我们找到方程的一组解,3,100==y x 设原方程的所有解的表达式为：⎩⎨⎧+=+=n y mx 31代入原方程，得05217)3(5)1(2=+⇒=+++n m n m （n m ,为整数）2与5互质，所以k k n k m (2,5-==为整数）由此得到原方程的所有解为⎩⎨⎧-=+=ky kx 2351（k 为任意整数）定理2。
若a 与b 的最大公约数为1（即a 与b 互质），00,y x 为二元一次整系数不定方程c by ax =+的一组整数解（也称为特解），则c by ax =+的所有解（也称通解）为 ⎩⎨⎧-=+=aky y bkx x 00其中k 为任意整数 但不定方程11051999=+y x 很难直接找到一组整数解 例4． 求方程1253=+y x 的整数解。
不定方程的解法研究摘 要：本文研究了一次不定方程，并从二元到n 元给出了一次不定方程有解的充要条件和几种不定方程的基本求解方法。
其中首先给出了不定方程的定义和通解公式，然后举例应用辗转相除法、整数分离法、Euler 函数法、解同余式法、矩阵解法、整消法变换解决了不定方程的求解问题。
由本文看出，解不定方程的关键就是求出不定方程的特解。
关键词：不定方程 ;通解 ;Euler 函数 ；初等整数矩阵 ;解法1引言及有关基础知识不定方程是变数个数多于方程个数，且取整数值的方程.不定方程是数论中最古老的一个分支，我国古代数学家在这方面的研究内容极为丰富，在数学史上占有重要地位。
1969年“不定方程之王”L.Jmordell 系统的总结了当时的成果，写成了著名的《丢番图方程》（Diphantine Equations,Adcmic Press ）。
1950 年，著名的数学家柯召和孙琦在我国出版了第一部专门研究不定方程的专著《谈谈不定方程》（上海教育出版社）。
在这两部专著的基础上，曹珍富于1987年完成了全面总结与系统研究不定方程的成果和方法的手稿《丢番图方程引论》，并于1989年由哈尔滨工业大学出版社出版.最近十余年，不定方程不仅自身的发展异常活跃，而且全面应用于其他各个领域，例如，计算机科学、组合数学、密码学、代数编码、信号的数字处理、计算方法等领域有着广泛的运用，所以数论又成为现在数学界的热门课题.[1]本文主要研究了一次不定方程和不定方程的几种解法.并利用辗转相除法、整数分离法、Euler 函数法、解同余式法、矩阵解法解决了不定方程的求解问题.不定方程的整数解问题是数论的一个重要课题，在现实生活中，该问题有很强的实用意义。
不定方程的概念、有解条件及通解公式［2］定义1：设整数2≥n ，c ，1a ,n a a ,2是整数,且n a a a ,,21都不等于零，n x x x ,,21是整数变数，方程c x a x a x a n n =+++ 2211（1)n 元一次不定方程，n a a a ,,21称为它的系数。
