二元一次不定方程的通解

目录摘要 (1)1.不定方程 (2)1.1不定方程的概念及分类 (2)1.2不定方程的解法 (2)1.2.1 二元一次不定方程 (2)1.2.2 n元一次不定方程（n≥3） (4)1.2.3 不定方程组 (7)2.数学竞赛中的不定方程 (7)2.1二元一次不定方程的应用 (7)2.2不定方程组的应用 (10)3.结论 (12)参考文献 (13)致谢 (13)二元一次不定方程的解法及应用【摘要】不定方程的整数解的判别与求解方法是初等数论的一个重要内容，在相关学科和实际生活有着广泛的应用。

本文首先归纳了枚举法、整数分离法、奇偶分析法等几种常用的二元一次不定方程的解法，其次以二元一次不定方程为基础，进一步讨论求多元一次不定方程整数解的方法，最后对几例中学数学竞赛题求解可以看到合理选用二元一次不定方程的解法使得相关问题简单化。

【关键词】不定方程解法应用【ABSTRACT】Indefinite number theory in the equation is important elemment, on the solution of indeterminate equation ,as well as seeking inteder solution of Diophantine Equations Mathematical Olympiad title a lot of application. This is the first description of enumeration, integer separation, such as odd-even analysis of several commonly used in an indeterminate equation of the dual solution, followed by a binary variable equation, and thus the introduction of multi-time indeterminate equation and its solution, the final Applied Mathematical Olympiad through with a few questions we can see a reasonable selection of the dual solution of indeterminate equations can make integer solutions for solving indeterminate equations related to the questions simple.【KEY-WORDS】Binary Diophantine equation ; solution ; applicaton不定方程(组)及整数解是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富。

文档标题：破解二元一次方程，原来这么简单！正文：嘿嘿，大家好！今天我来给大家讲讲怎么破解二元一次方程。

别看它名字挺高大上，其实方法超级简单，保证你一看就会！首先，咱们得知道什么是二元一次方程。

比如，有两个未知数x和y，然后它们被一些数字和加减乘除搞在一起，就像这样：ax + by = c。

这里的a、b、c都是已知数，咱们要做的就是找出x和y的值。

接下来，我就给大家介绍一种超级好用的方法——消元法。

咱们一步一步来，保证你能搞定！第一步：找搭档。

咱们得把两个方程式放在一起，比如这两个：方程①：2x + 3y = 7方程②：4x - y = 5第二步：让其中一个未知数消失。

咱们可以想办法让x 或y在其中一个方程里变成0。

比如，咱们可以让方程②里的y变成0。

怎么做呢？咱们把方程②两边同时乘以3，得到：3 * (4x - y) = 3 * 512x - 3y = 15现在，咱们把方程①和这个新方程放在一起：方程①：2x + 3y = 7新方程：12x - 3y = 15第三步：合并同类项。

咱们把方程①和新方程相加，这样y就消失啦！(2x + 3y) + (12x - 3y) = 7 + 1514x = 22第四步：求解一个未知数。

现在只剩下x了，咱们可以轻松求出它的值：14x = 22x = 22 / 14x = 1.14（保留两位小数）第五步：代入求解另一个未知数。

现在咱们已经知道x 的值了，接下来就可以代入方程①或方程②求解y。

咱们用方程①来试试：2x + 3y = 72 * 1.14 + 3y = 72.28 + 3y = 73y = 7 - 2.283y = 4.72y = 4.72 / 3y = 1.57（保留两位小数）哈哈，搞定！现在咱们已经求出了x和y的值，分别是1.14和1.57。

是不是觉得二元一次方程也不过如此呢？总结一下，破解二元一次方程的步骤就是：找搭档、消元、合并同类项、求解一个未知数、代入求解另一个未知数。

二元一次不定方程的解法二元一次不定方程的解法【摘要】本文主要通过三个实例详尽而具体的说明了二元一次不定方程的解法．【关键词】不定方程; 通解; 解法不定方程是数论中一个古老的分支，至今仍是一个很活跃的数学领域． 中小学数学竞赛也常常因为某些不定方程的解法巧妙而引入不定方程问题． 下面，就通过具体实例，来示范说明一下不定方程的解法．定义形如(,,,0)ax by c a b c z ab +=∈≠ 的方程称为二元一次不定方程，求原方程的整数解的问题叫做解二元一次不定方程．定理 1 原方程有整数解的充分必要条件是(,)|a b c ．推论若(,)1a b =，则原方程一定有整数解． 定理2 若(,)1a b =，且(,)x y ︒︒为原方程的一个整数解( 特解) ，则原方程的全部整数解( 通解) 都可表成x x bt ︒=- ，,()y y at t z ︒=+∈ 或x x bt ︒=+ ，,()y y at t z ︒=-∈ ． 由上述定理可知，求不定原方程整数解的步骤是:① x ︒．②判定原方程是否有解: 当|d c时，原方程无整数解;当|d c时，原方程有整数解．在有整数解时，方程同解变形，边除以d，使原方程转化为a b 的情形．(,)1③求特解，写通解．( 注: 通解形式不唯一)可见，求特解是解二元一次不定方程的关键．首先，对方程的未知数系数较小，或系数与常数项有和、差、约数、倍数关系时观察法是最简单易行的便捷方法．很适用, 但它毕竟也有弊端, 有些方程不容易观察, 所以我们还需寻求新的方法。

2. 分离整数法此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剰下部分仍为整数，令其为一个新的整数变量，据此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解．例： 解不定方程3710725x y += ．解∵ (37,107)1,1|25= ，∴ 原方程有整数解． 先用x ，y 的系数中较小的37 去除方程的两边，并解出x ，得25107x y =- 除以37 ．再把上式右边y 的系数和常数项的整数部分分离出来，写成137(124)x y y =-+-+除以37 ．由于x ，y 都是整数，13y -也是整数，则124y-+除以37也一定是整数，则可令3y ︒= ( 由于此时－ 12 + 4 × 3除37 ∈Z) ，则有8x︒=- ． 补充说明假设通过原式中未看出特解，可令124y -+ 除37,43712,(1237)t z y t y t =∈-==+除4)39t =+ 则t 除4z ∈ ，有0t︒= ，从而有3y ︒= ，可推得8x ︒=-．这样得原不定方程的特解为8x ︒=-，3y ︒= ． ∴ 原不定方程的通解为8107,337x t y t=--=+ { ，( t ∈Z) ．3. 逐渐减小系数法 此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为± 1 的不定方程为止，直接解出这样的不定方程( 或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去) 得到原方程的通解．例： 解不定方程3710725x y += ．解∵(37,107)1,1|25= ，∴ 原方程有整数解． 由37107≤ ，用y 来表示x ，得25107x y =- 37 = 1 － 3y + － 12 + 4y 除37 ．则令124y -+37k z =∈，即43712y k -=由437≤ ，用k 来表示y ，得1237y k =+ 439k k =++ 除4 ．则令4k t z =∈ ，得4k t =将上述结果一一代回，得原方程的通解为 8107,337x t y t=--=+ { ，( t ∈Z) ． 4. 辗转相除法此法主要借助辗转相除式逆推求特解． 例： 解不定方程3710725x y +=解∵ 10737233,=⨯+3710725x y += ∴ 原方程有整数解．用辗转相除法求特解:373314,=⨯+ 3348 1.=⨯+从最后一个式子向上逆推得到37(26)10791⨯-+⨯= ，∴ 37(2625)107(925)25⨯-⨯+⨯⨯=则特解为2625650x ︒=-⨯=- ，925225y︒=⨯= 通解为6501078107(6)x t t =--=--+ ， 22537337(6),()y t t t z =+=++∈ ，或改写为8107,337x t y t =--=+ { ，( t ∈Z) ．5. 欧拉算法受辗转相除法的启示，此题可简化为采用欧拉算法的方法求解． 其实质仍是找出( a ，b) 表为a ，b 的倍数和时的倍数，从而求出特解．例5 解不定方程3710725x y +=解∵(37,107)1,1|25= ，∴ 原方程有整数解．（见抄）∴ 37(26)10791⨯-+⨯= ，37(2625)107(925)25⨯-⨯+⨯⨯= 则特解为2625650x ︒=-⨯=- ，925225y ︒=⨯=通解为6501078107(6)x t t =--=--+ ，22537337(6),()=+=++∈y t t t z或改写为8107,337=--=+{ ，( t∈Z) ．x t y t6. 同余替换法此法主要是取未知量系数绝对值较小者作为模，对另一系数和常数项取同余式，将其值替换为较小的同余值，构成一个新的不定方程，据此类推，直到某不定方程的一个变量系数为±1 为止，然后一一代回，直接求出原不定方程的通解．例：解不定方程3710725+=x y解∵(37,107)1,1|25=，∴原方程有整数解．（见抄）则原方程转化为40-=，k t即4=，将其代入( 1) ，有337k t=+y t再将上式代入原方程，有8107=--，x t综上得原方程的通解为8107,337=--=+{ ，x t y t( t∈Z) ．最后，对于未知数系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数系数的倍数的和或差的不定方程，可以采用分解常数项的方法去求解方程．例:：解不定方程35143+=．x y解35143x y-+-=+=+，3(1)5(28)0x y+=，351403x y∵ (3,5)1= ，15,283x t y t ∴-=--= ，∴ 原方程的通解为15x t =- ，283,()y t t z =+∈ ． 定理: 考虑二元一次方程ax by c += ( 1) 其中a 、b 、c 是整数, 且0,(,)1,|,ab a b b c ≠=则方程( 1) 的一切整数解可以表示成,x bt y k at ==-其中t=0、±1, ±2, ⋯, k= c 除b证明:( Ⅰ) 令,,x bt y k at k c ==-=除b, 那么()ax by k at bk c +-== 即( 2) 是( Ⅰ) 的解.( Ⅱ) 设'',x y 是方程( 1) 的任一整数解, 则''ax by c +=则|b c ，可设c bk = , 则 ''(x c by =- 除a ）'(bk by =-除a ）'()b k y =- 除a ）由于',x y 是方程( 1) 的整数解, 故'x 必为整数, 从而 '()b k y -除a 也必为整数。

解二元一次不等式组二元一次不等式组是指由两个二元一次不等式组成的方程组。

解决这类方程组需要找到满足所有不等式条件的变量取值范围。

本文将介绍解二元一次不等式组的方法和步骤。

一、二元一次不等式组的定义二元一次不等式组由两个形如ax + by ≥ c的不等式组成。

其中，a、b、c为常数，x、y为变量。

为了更好地理解，我们可以将其表示为一维坐标系中的两个直线所围成的区域。

二、解二元一次不等式组的方法解决二元一次不等式组的方法与解一元一次不等式类似。

我们可以通过图像法、代入法或消元法等方式来得到解。

1. 图像法首先，我们可以将每个不等式转化为直线，并将其表示在一维坐标系中。

然后，找出两个直线的交点，并观察交点所在的区域。

该区域即为满足所有不等式的解集。

2. 代入法代入法是指将一个不等式的解代入另一个不等式中，得到一个一元一次不等式。

然后，通过求解一元一次不等式，得到变量的取值范围。

最后，将求得的范围代入原始不等式组，检验是否满足所有条件。

3. 消元法消元法是指通过一系列运算，将二元一次不等式组化简为只含有一个变量的不等式。

然后，根据一元一次不等式的解的性质，得到每个变量的取值范围。

最后，将范围代入原始不等式组，检验是否满足。

三、解二元一次不等式组的步骤解二元一次不等式组的步骤如下：1. 将二元一次不等式组的每个不等式转化为标准形式，即ax + by ≥ c。

2. 根据需要选择合适的方法，如图像法、代入法或消元法。

3. 如果采用图像法，将每个不等式表示为直线，并在一维坐标系中画出。

找出交点所在的区域，即为解集。

4. 如果采用代入法，将一个不等式的解代入另一个不等式中，得到一元一次不等式。

求解一元一次不等式，得到变量的取值范围。

将范围代入原始不等式组，检验是否满足。

5. 如果采用消元法，通过一系列运算将二元一次不等式组化简为只含有一个变量的不等式。

根据一元一次不等式的解的性质，得到每个变量的取值范围。

将范围代入原始不等式组，检验是否满足。

关于⼆元⼀次不定⽅程的整数解相关结论的推导整数解的通解公式推导⼆元⼀次不定⽅程的⼀般形式为：ax + by = c ①这⾥，a、b和c都是正整数，且满⾜(a,b) = 1由(a,b) = 1知，存在⼀对整数u和v，满⾜ au + bv = 1。

取m = cu，n = cv，则m, n这⼀对整数是⽅程①的⼀组特解，即有am + bn = c ②由①②，有a(x-m) = -b(y-n)(x-m)/b = -(y-n)/a := tx = m + bt, y = n - at ③由(a,b) = 1知，b | x-m，a | y-n，即⽅程①的任意⼀组整数解都有唯⼀对应的整数t，于是③便是①的所有整数解的通解公式，t可为任意整数。

易知这些整数解在平⾯直⾓坐标系中处在同⼀条直线（斜率为 -a/b）上。

实际上，通解公式③只要求a、b、c为整数且满⾜(a,b)=1即可。

⾮负整数解的相关结论推导考虑①的⾮负整数解，则③⾥的 t 需要满⾜：m + bt ≥ 0 和 n - at ≥ 0，即t ≥ -m/b = -[m/b] - {m/b} ④t ≤ n/a = [n/a] + {n/a} ⑤由于t为整数，⑤等价于 t ≤ [n/a]；④等价于 -t ≤ m/b = [m/b] + {m/b}，即等价于 -t ≤ [m/b]，即 t ≥ -[m/b]于是有-[m/b] ≤ t ≤ [n/a] ⑥只要[n/a] ≥ -[m/b]，⽅程①就⼀定存在⾮负整数解。

事实上，①的⾮负整数的解数为M := [n/a] + [m/b] + 1 ⑦例如就8x + 15y = 2⽽⾔，x = 4, y = -2是其⼀组特解，代⼊⑦，有M = [-2/8] + [4/15] + 1 = -1 + 0 + 1 = 0即8x + 15y = 2没有⾮负整数解。

⑦给出的⽅程①的⾮负整数解数M的判别式需要借助⼀组特解，以下试图只⽤常数a、b和c来表⽰M：M = n/a - {n/a} + m/b - {m/b} + 1= c/(ab) + 1 - {n/a} - {m/b}= [c/(ab)] + 1 + {c/(ab)} - {n/a} - {m/b}由 Δ:= {r+s} - {r} - {s} = [r] + [s] - [r+s]，可知Δ = 0或-1，于是M = [c/(ab)] 或 [c/(ab)] + 1 ⑧⑧这个表⽰式⾥没有特解，⽽只有a、b和c；和⑦同样，⑧也是对①的⾮负整数解数的⼀个刻画，但⑦是确定刻画，⑧是不确定刻画。

二元一次不定方程的整数解的通解公式
二元一次不定方程的通解公式为Ax+By=C，其中A、B、C为已知整数，且A和B不全为0。

这个方程有整数解当且仅当C是A和B的最大公约数的倍数。

此时，方程的所有整数解可以表示为x=x0+(B/g)t，
y=y0-(A/g)t，其中g是A和B的最大公约数，x0和y0是该方程的任
意一组特解，t为任意整数。

拓展：如果将二元一次不定方程转化为一个欧几里得算法中的最
大公约数问题，我们可以使用扩展欧几里得算法来求解。

通过该算法，我们不仅可以求出A和B的最大公约数g，还可以求出一组使得
Ax+By=g成立的整数解x0和y0。

然后，我们就可以使用上述通解公式
来求解方程的所有整数解。

二元一次不等式解法步骤举例
《二元一次不等式解法步骤举例》
二元一次不等式是数学中的重要概念，掌握其解法步骤可以帮助我们更好地解决数学问题。

下面以一个例子来说明二元一次不等式的解法步骤。

例如：解不等式2x+3y>6。

首先，将不等式化为标准形式，即2x+3y-6>0。

其次，将不等式绘制成一个平面图，用线段表示不等式的解集，并将不等式的左边和右边分别标记为正负区域。

然后，从图中找出解集，即x轴上的点和y轴上的点，将它们连接起来，就可以得到不等
式的解集，即2x+3y>6的解集为x>0,y>2。

最后，根据解集的斜率和截距，可以将解集表示为一组数学式子，即x>0,y>2。

以上就是二元一次不等式解法步骤的举例，解决二元一次不等式的关键是要掌握解法步骤，以及准确把握不等式的解集。