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目录摘要 (1)1.不定方程 (2)1.1不定方程的概念及分类 (2)1.2不定方程的解法 (2)1.2.1 二元一次不定方程 (2)1.2.2 n元一次不定方程（n≥3） (4)1.2.3 不定方程组 (7)2.数学竞赛中的不定方程 (7)2.1二元一次不定方程的应用 (7)2.2不定方程组的应用 (10)3.结论 (12)参考文献 (13)致谢 (13)二元一次不定方程的解法及应用【摘要】不定方程的整数解的判别与求解方法是初等数论的一个重要内容，在相关学科和实际生活有着广泛的应用。
本文首先归纳了枚举法、整数分离法、奇偶分析法等几种常用的二元一次不定方程的解法，其次以二元一次不定方程为基础，进一步讨论求多元一次不定方程整数解的方法，最后对几例中学数学竞赛题求解可以看到合理选用二元一次不定方程的解法使得相关问题简单化。
【关键词】不定方程解法应用【ABSTRACT】Indefinite number theory in the equation is important elemment, on the solution of indeterminate equation ,as well as seeking inteder solution of Diophantine Equations Mathematical Olympiad title a lot of application. This is the first description of enumeration, integer separation, such as odd-even analysis of several commonly used in an indeterminate equation of the dual solution, followed by a binary variable equation, and thus the introduction of multi-time indeterminate equation and its solution, the final Applied Mathematical Olympiad through with a few questions we can see a reasonable selection of the dual solution of indeterminate equations can make integer solutions for solving indeterminate equations related to the questions simple.【KEY-WORDS】Binary Diophantine equation ; solution ; applicaton不定方程(组)及整数解是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富。
文档标题：破解二元一次方程，原来这么简单！正文：嘿嘿，大家好！今天我来给大家讲讲怎么破解二元一次方程。
别看它名字挺高大上，其实方法超级简单，保证你一看就会！首先，咱们得知道什么是二元一次方程。
比如，有两个未知数x和y，然后它们被一些数字和加减乘除搞在一起，就像这样：ax + by = c。
这里的a、b、c都是已知数，咱们要做的就是找出x和y的值。
接下来，我就给大家介绍一种超级好用的方法——消元法。
咱们一步一步来，保证你能搞定！第一步：找搭档。
咱们得把两个方程式放在一起，比如这两个：方程①：2x + 3y = 7方程②：4x - y = 5第二步：让其中一个未知数消失。
咱们可以想办法让x 或y在其中一个方程里变成0。
比如，咱们可以让方程②里的y变成0。
怎么做呢？咱们把方程②两边同时乘以3，得到：3 * (4x - y) = 3 * 512x - 3y = 15现在，咱们把方程①和这个新方程放在一起：方程①：2x + 3y = 7新方程：12x - 3y = 15第三步：合并同类项。
咱们把方程①和新方程相加，这样y就消失啦！(2x + 3y) + (12x - 3y) = 7 + 1514x = 22第四步：求解一个未知数。
现在只剩下x了，咱们可以轻松求出它的值：14x = 22x = 22 / 14x = 1.14（保留两位小数）第五步：代入求解另一个未知数。
现在咱们已经知道x 的值了，接下来就可以代入方程①或方程②求解y。
咱们用方程①来试试：2x + 3y = 72 * 1.14 + 3y = 72.28 + 3y = 73y = 7 - 2.283y = 4.72y = 4.72 / 3y = 1.57（保留两位小数）哈哈，搞定！现在咱们已经求出了x和y的值，分别是1.14和1.57。
是不是觉得二元一次方程也不过如此呢？总结一下，破解二元一次方程的步骤就是：找搭档、消元、合并同类项、求解一个未知数、代入求解另一个未知数。
二元一次不定方程的解法二元一次不定方程的解法【摘要】本文主要通过三个实例详尽而具体的说明了二元一次不定方程的解法．【关键词】不定方程; 通解; 解法不定方程是数论中一个古老的分支，至今仍是一个很活跃的数学领域． 中小学数学竞赛也常常因为某些不定方程的解法巧妙而引入不定方程问题． 下面，就通过具体实例，来示范说明一下不定方程的解法．定义形如(,,,0)ax by c a b c z ab +=∈≠ 的方程称为二元一次不定方程，求原方程的整数解的问题叫做解二元一次不定方程．定理 1 原方程有整数解的充分必要条件是(,)|a b c ．推论若(,)1a b =，则原方程一定有整数解． 定理2 若(,)1a b =，且(,)x y ︒︒为原方程的一个整数解( 特解) ，则原方程的全部整数解( 通解) 都可表成x x bt ︒=- ，,()y y at t z ︒=+∈ 或x x bt ︒=+ ，,()y y at t z ︒=-∈ ． 由上述定理可知，求不定原方程整数解的步骤是:① x ︒．②判定原方程是否有解: 当|d c时，原方程无整数解;当|d c时，原方程有整数解．在有整数解时，方程同解变形，边除以d，使原方程转化为a b 的情形．(,)1③求特解，写通解．( 注: 通解形式不唯一)可见，求特解是解二元一次不定方程的关键．首先，对方程的未知数系数较小，或系数与常数项有和、差、约数、倍数关系时观察法是最简单易行的便捷方法．很适用, 但它毕竟也有弊端, 有些方程不容易观察, 所以我们还需寻求新的方法。
2. 分离整数法此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剰下部分仍为整数，令其为一个新的整数变量，据此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解．例： 解不定方程3710725x y += ．解∵ (37,107)1,1|25= ，∴ 原方程有整数解． 先用x ，y 的系数中较小的37 去除方程的两边，并解出x ，得25107x y =- 除以37 ．再把上式右边y 的系数和常数项的整数部分分离出来，写成137(124)x y y =-+-+除以37 ．由于x ，y 都是整数，13y -也是整数，则124y-+除以37也一定是整数，则可令3y ︒= ( 由于此时－ 12 + 4 × 3除37 ∈Z) ，则有8x︒=- ． 补充说明假设通过原式中未看出特解，可令124y -+ 除37,43712,(1237)t z y t y t =∈-==+除4)39t =+ 则t 除4z ∈ ，有0t︒= ，从而有3y ︒= ，可推得8x ︒=-．这样得原不定方程的特解为8x ︒=-，3y ︒= ． ∴ 原不定方程的通解为8107,337x t y t=--=+ { ，( t ∈Z) ．3. 逐渐减小系数法 此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为± 1 的不定方程为止，直接解出这样的不定方程( 或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去) 得到原方程的通解．例： 解不定方程3710725x y += ．解∵(37,107)1,1|25= ，∴ 原方程有整数解． 由37107≤ ，用y 来表示x ，得25107x y =- 37 = 1 － 3y + － 12 + 4y 除37 ．则令124y -+37k z =∈，即43712y k -=由437≤ ，用k 来表示y ，得1237y k =+ 439k k =++ 除4 ．则令4k t z =∈ ，得4k t =将上述结果一一代回，得原方程的通解为 8107,337x t y t=--=+ { ，( t ∈Z) ． 4. 辗转相除法此法主要借助辗转相除式逆推求特解． 例： 解不定方程3710725x y +=解∵ 10737233,=⨯+3710725x y += ∴ 原方程有整数解．用辗转相除法求特解:373314,=⨯+ 3348 1.=⨯+从最后一个式子向上逆推得到37(26)10791⨯-+⨯= ，∴ 37(2625)107(925)25⨯-⨯+⨯⨯=则特解为2625650x ︒=-⨯=- ，925225y︒=⨯= 通解为6501078107(6)x t t =--=--+ ， 22537337(6),()y t t t z =+=++∈ ，或改写为8107,337x t y t =--=+ { ，( t ∈Z) ．5. 欧拉算法受辗转相除法的启示，此题可简化为采用欧拉算法的方法求解． 其实质仍是找出( a ，b) 表为a ，b 的倍数和时的倍数，从而求出特解．例5 解不定方程3710725x y +=解∵(37,107)1,1|25= ，∴ 原方程有整数解．（见抄）∴ 37(26)10791⨯-+⨯= ，37(2625)107(925)25⨯-⨯+⨯⨯= 则特解为2625650x ︒=-⨯=- ，925225y ︒=⨯=通解为6501078107(6)x t t =--=--+ ，22537337(6),()=+=++∈y t t t z或改写为8107,337=--=+{ ，( t∈Z) ．x t y t6. 同余替换法此法主要是取未知量系数绝对值较小者作为模，对另一系数和常数项取同余式，将其值替换为较小的同余值，构成一个新的不定方程，据此类推，直到某不定方程的一个变量系数为±1 为止，然后一一代回，直接求出原不定方程的通解．例：解不定方程3710725+=x y解∵(37,107)1,1|25=，∴原方程有整数解．（见抄）则原方程转化为40-=，k t即4=，将其代入( 1) ，有337k t=+y t再将上式代入原方程，有8107=--，x t综上得原方程的通解为8107,337=--=+{ ，x t y t( t∈Z) ．最后，对于未知数系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数系数的倍数的和或差的不定方程，可以采用分解常数项的方法去求解方程．例:：解不定方程35143+=．x y解35143x y-+-=+=+，3(1)5(28)0x y+=，351403x y∵ (3,5)1= ，15,283x t y t ∴-=--= ，∴ 原方程的通解为15x t =- ，283,()y t t z =+∈ ． 定理: 考虑二元一次方程ax by c += ( 1) 其中a 、b 、c 是整数, 且0,(,)1,|,ab a b b c ≠=则方程( 1) 的一切整数解可以表示成,x bt y k at ==-其中t=0、±1, ±2, ⋯, k= c 除b证明:( Ⅰ) 令,,x bt y k at k c ==-=除b, 那么()ax by k at bk c +-== 即( 2) 是( Ⅰ) 的解.( Ⅱ) 设'',x y 是方程( 1) 的任一整数解, 则''ax by c +=则|b c ，可设c bk = , 则 ''(x c by =- 除a ）'(bk by =-除a ）'()b k y =- 除a ）由于',x y 是方程( 1) 的整数解, 故'x 必为整数, 从而 '()b k y -除a 也必为整数。
解二元一次不等式组二元一次不等式组是指由两个二元一次不等式组成的方程组。
解决这类方程组需要找到满足所有不等式条件的变量取值范围。
本文将介绍解二元一次不等式组的方法和步骤。
一、二元一次不等式组的定义二元一次不等式组由两个形如ax + by ≥ c的不等式组成。
其中，a、b、c为常数，x、y为变量。
为了更好地理解，我们可以将其表示为一维坐标系中的两个直线所围成的区域。
二、解二元一次不等式组的方法解决二元一次不等式组的方法与解一元一次不等式类似。
我们可以通过图像法、代入法或消元法等方式来得到解。
1. 图像法首先，我们可以将每个不等式转化为直线，并将其表示在一维坐标系中。
然后，找出两个直线的交点，并观察交点所在的区域。
该区域即为满足所有不等式的解集。
2. 代入法代入法是指将一个不等式的解代入另一个不等式中，得到一个一元一次不等式。
然后，通过求解一元一次不等式，得到变量的取值范围。
最后，将求得的范围代入原始不等式组，检验是否满足所有条件。
3. 消元法消元法是指通过一系列运算，将二元一次不等式组化简为只含有一个变量的不等式。
然后，根据一元一次不等式的解的性质，得到每个变量的取值范围。
最后，将范围代入原始不等式组，检验是否满足。
三、解二元一次不等式组的步骤解二元一次不等式组的步骤如下：1. 将二元一次不等式组的每个不等式转化为标准形式，即ax + by ≥ c。
2. 根据需要选择合适的方法，如图像法、代入法或消元法。
3. 如果采用图像法，将每个不等式表示为直线，并在一维坐标系中画出。
找出交点所在的区域，即为解集。
4. 如果采用代入法，将一个不等式的解代入另一个不等式中，得到一元一次不等式。
求解一元一次不等式，得到变量的取值范围。
将范围代入原始不等式组，检验是否满足。
5. 如果采用消元法，通过一系列运算将二元一次不等式组化简为只含有一个变量的不等式。
根据一元一次不等式的解的性质，得到每个变量的取值范围。
将范围代入原始不等式组，检验是否满足。
关于⼆元⼀次不定⽅程的整数解相关结论的推导整数解的通解公式推导⼆元⼀次不定⽅程的⼀般形式为：ax + by = c ①这⾥，a、b和c都是正整数，且满⾜(a,b) = 1由(a,b) = 1知，存在⼀对整数u和v，满⾜ au + bv = 1。
取m = cu，n = cv，则m, n这⼀对整数是⽅程①的⼀组特解，即有am + bn = c ②由①②，有a(x-m) = -b(y-n)(x-m)/b = -(y-n)/a := tx = m + bt, y = n - at ③由(a,b) = 1知，b | x-m，a | y-n，即⽅程①的任意⼀组整数解都有唯⼀对应的整数t，于是③便是①的所有整数解的通解公式，t可为任意整数。
易知这些整数解在平⾯直⾓坐标系中处在同⼀条直线（斜率为 -a/b）上。
实际上，通解公式③只要求a、b、c为整数且满⾜(a,b)=1即可。
⾮负整数解的相关结论推导考虑①的⾮负整数解，则③⾥的 t 需要满⾜：m + bt ≥ 0 和 n - at ≥ 0，即t ≥ -m/b = -[m/b] - {m/b} ④t ≤ n/a = [n/a] + {n/a} ⑤由于t为整数，⑤等价于 t ≤ [n/a]；④等价于 -t ≤ m/b = [m/b] + {m/b}，即等价于 -t ≤ [m/b]，即 t ≥ -[m/b]于是有-[m/b] ≤ t ≤ [n/a] ⑥只要[n/a] ≥ -[m/b]，⽅程①就⼀定存在⾮负整数解。
事实上，①的⾮负整数的解数为M := [n/a] + [m/b] + 1 ⑦例如就8x + 15y = 2⽽⾔，x = 4, y = -2是其⼀组特解，代⼊⑦，有M = [-2/8] + [4/15] + 1 = -1 + 0 + 1 = 0即8x + 15y = 2没有⾮负整数解。
⑦给出的⽅程①的⾮负整数解数M的判别式需要借助⼀组特解，以下试图只⽤常数a、b和c来表⽰M：M = n/a - {n/a} + m/b - {m/b} + 1= c/(ab) + 1 - {n/a} - {m/b}= [c/(ab)] + 1 + {c/(ab)} - {n/a} - {m/b}由 Δ:= {r+s} - {r} - {s} = [r] + [s] - [r+s]，可知Δ = 0或-1，于是M = [c/(ab)] 或 [c/(ab)] + 1 ⑧⑧这个表⽰式⾥没有特解，⽽只有a、b和c；和⑦同样，⑧也是对①的⾮负整数解数的⼀个刻画，但⑦是确定刻画，⑧是不确定刻画。
二元一次不定方程的整数解的通解公式
二元一次不定方程的通解公式为Ax+By=C，其中A、B、C为已知整数，且A和B不全为0。
这个方程有整数解当且仅当C是A和B的最大公约数的倍数。
此时，方程的所有整数解可以表示为x=x0+(B/g)t，
y=y0-(A/g)t，其中g是A和B的最大公约数，x0和y0是该方程的任
意一组特解，t为任意整数。
拓展：如果将二元一次不定方程转化为一个欧几里得算法中的最
大公约数问题，我们可以使用扩展欧几里得算法来求解。
通过该算法，我们不仅可以求出A和B的最大公约数g，还可以求出一组使得
Ax+By=g成立的整数解x0和y0。
然后，我们就可以使用上述通解公式
来求解方程的所有整数解。
二元一次不等式解法步骤举例
《二元一次不等式解法步骤举例》
二元一次不等式是数学中的重要概念，掌握其解法步骤可以帮助我们更好地解决数学问题。
下面以一个例子来说明二元一次不等式的解法步骤。
例如：解不等式2x+3y>6。
首先，将不等式化为标准形式，即2x+3y-6>0。
其次，将不等式绘制成一个平面图，用线段表示不等式的解集，并将不等式的左边和右边分别标记为正负区域。
然后，从图中找出解集，即x轴上的点和y轴上的点，将它们连接起来，就可以得到不等
式的解集，即2x+3y>6的解集为x>0,y>2。
最后，根据解集的斜率和截距，可以将解集表示为一组数学式子，即x>0,y>2。
以上就是二元一次不等式解法步骤的举例，解决二元一次不等式的关键是要掌握解法步骤，以及准确把握不等式的解集。
如何解二元一次不定方程意思就是说求方程a x+by=c 中x,y 的整数解。
对于这个问题，数论中有专门的解法，一般是采用辗转相除法来做，就是类似于求最大公因子的相除过程。
因为可能直接用辗转相除法大家可能不好理解，我先用普通的解方程的方法来做，然后再跟大家介绍数论中的做法。
为了简化问题，我们先求7x +4y =1的一切整数解。
解：我们对等式进行变形，得到y =1−7x 4=−x +1−3x 4式①因为y 是整数，所以1−3x 4也必须是整数，再另y′=1−3x 4，变形得到4y ′+3x =1，再次变形表达成x =1−4y′3=−y′+1−y′3式②因为x 是整数，所以1−y′3也必须是整数，然而1−y′3是整数的条件就是1−y ′是3的倍数，所以y ′=3m +1 式③ 这样1−y′3是整数才能满足。
从式③反推回式②，得到 x =−1−4m再反推回式①得到 y =2+7m至此，我们就得到了不定方程7x +4y =1的全部整数解x =−1−4m ，y =2+7m 式中m 可以取任意的整数。
对结果表示怀疑？那么我们试几个m 值：当m =0时，x =−1，y =2；7x +4y =7×(−1)+4×2=1 当m =1时，x =−5，y =9；7x +4y =7×(−6)+4×9=1如果还想试的话，自己去试吧，如果找到不对的情况请立刻去买彩票！ O(∩_∩)O~我们来分析一下这种计算方法，看看这么巧妙是如何实现的：式①之中，我们通过变形把系数大的项移动到等式右边，然后把左边的系数除过去，得到y =1−7x 4式中x y 都为整数，所以我们又变形得到y =−x +1−3x 4，为何要这样呢？这就是关键所在！因为这样做就逐步的把系数减小了，前面的式子分子系数为7，而后面的变成了3！而根据1−3x 4是一个整数，所以我们又可以列出新的不定方程，这个方程就要比我们最早的方程更简单，这样一直演算下去，最后分子系数肯定会变成1，比如x =−ay′+a−y′c，这时因为a−y′c是整数，假设等于m ，得到a−y′c=m ，变形得到y′=a −cm ，这就是最愉快的时候的，我们再一路反推回去，就可以得到原始的x y 的通解表达式了。
2. 二元一次不定方程解法新论二元一次不定方程的一般形式是ax + by = c ，ab ≠0。
因不定方程有无穷多解，而实际问题中常要考虑它的整数解或正整数解。
本文中出现的a 、b 、c 、d 、……，x 、y 、z 、t 、……等字母都表示整数，Z 表示整数集合，（a ，b ）与[a ，b]分别表示a 和b 的最大公约数和最小公倍数。
定理一：二元一次不定方程ax + by = c 有整数解⇔（a ，b ）| c 。
其证明见中等师范学校《代数与初等函数》第二册p81—83。
其他谈及二元一次不定方程的书籍都有证明，这里从略。
利用定理一，可以判断所给的二元一次不定方程ax + by = c 是否有整数解。
在有解的情况下，我们不妨假定a 、b 、c 都是正整数，且（a ，b ）=1。
定理二：若正整数a 、b 、c 、d 满足：ab = cd 且（b ，c ）=1，那么一定有：()a ct t Z d bt=⎧∈⎨=⎩。
证明：∵（b ，c ）=1，故存在整数m 与n 使得：mb + nc = 1成立，从而：()()mba nca a mcd nca a c md na a mbd ncd d mbd nab d b md na d +=+=+=⎧⎧⎧⇒⇒⇒⎨⎨⎨+=+=+=⎩⎩⎩令md + na = t ，则()a ct t Z d bt=⎧∈⎨=⎩。
我们可以把二元一次不定方程恒等变形为ab = cd 的形式，再应用上述定理解之。
若a 、b 、c 是正整数，（a ，b ）=1，求二元一次不定方程ax + by = c 的所有整数解。
解：对ax + by = c ……（1），不妨设a ≥ b ，)I 当b = 1时，ax + y = c 为：ax = c -y ，因（a ，1）=1，由定理二有：()c y at t Z x t -=⎧∈⎨=⎩。
故ax + y = c 的所有整数解为()x t t Z y c at=⎧∈⎨=-⎩。
第十七讲二元一次不定方程的解法我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能．我们先看一个例子．例小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？解设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程3x+11y=50．这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组．但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个．若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意；若y=4，则x=2，符合题意．所以，这个方程有两组正整数解，即也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了．但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明．例求不定方程x-y=2的正整数解．解我们知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是其中n可以取一切自然数．因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的．上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦．那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理．定理如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①有一组整数解x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为其中t=0，±1，±2，±3，…．证因为x0，y0是方程①的整数解，当然满足ax0+by0=c，②因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c．这表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解．设x＇，y＇是方程①的任一整数解，则有ax＇+bx＇=c. ③③-②得a(x＇-x0)=b＇(y＇-y0)．④由于(a，b)=1，所以a｜y＇-y0，即y＇=y0+at，其中t是整数．将y＇=y0+at代入④，即得x＇=x0-bt．因此x＇， y＇可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at 表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．例1求11x+15y=7的整数解．解法1将方程变形得因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=-1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为解法2先考察11x+15y=1，通过观察易得11×(-4)+15×(3)=1，所以11×(-4×7)+15×(3×7)=7，可取x0=-28，y0=21．从而可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．例2求方程6x+22y=90的非负整数解．解因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得3x+11y=45．①由观察知，x1=4，y1=-1是方程3x+11y=1 ②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能．当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．所以原方程的非负整数解是例3求方程7x+19y=213的所有正整数解．分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．解用方程7x+19y=213 ①的最小系数7除方程①的各项，并移项得因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．Ｔ儆*5除此式的两边得2u+5v=3．④由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得t只能取0，1．因此得原方程的正整数解为当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．例4求方程37x+107y=25的整数解．解 107=2×37+33，37=1×33+4，33=8×4+1．为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4=37-9×(37-33)=9×33-8×37＝9×(107-2×37)8×37＝9×107-26×37=37×(-26)+107×9．由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是x0=25×(-26)=-650，y0=25×9=225是方程37x+107y=25的一组整数解．所以原方程的一切整数解为例5某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？解设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是7x+5y=142. ①所以由于7x≤142，所以x≤20，并且由上式知5｜2(x-1)．因为(5，2)=1，所以5｜x-1，从而x=1，6，11，16，①的非负整数解为所以，共有4种不同的支付方式．说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．例6求方程9x+24y-5z=1000的整数解．解设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000．于是原方程可化为用前面的方法可以求得①的解为②的解为消去t，得大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．例7今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组①化简得 15x+9y+z=300．③③-②得 14x+8y=200，即 7x+4y=100．解7x+4y=1得于是7x+4y=100的一个特解为由定理知7x+4y=100的所有整数解为由题意知，0＜x，y，z＜100，所以由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x，y，z还应满足x+y+z=100．t x y z26 4 18 7827 8 11 8128 12 4 84即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．练习十七1．求下列不定方程的整数解：(1) 72x+157y=1；(2)9x+21y=144；(3)103x-91y＝5．2．求下列不定方程的正整数解：(1)3x-5y=19； (2)12x+5y=125．3．求下列不定方程的整数解：(1)5x+8y+19z=50； (2)39x-24y+9z=78．4．求不定方程2x+5y+7z+3t=10的整数解．5．求不定方程组的正整数解.。
初中数学竞赛：二元一次不定方程的解法我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能．我们先看一个例子．例小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？解设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程3x+11y=50．这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组．但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个．若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意；若y=4，则x=2，符合题意．所以，这个方程有两组正整数解，即也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了．但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明．例求不定方程x-y=2的正整数解．解我们知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是其中n可以取一切自然数．因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的．上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦．那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理．定理如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①有一组整数解x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为其中t=0，±1，±2，±3，…．证因为x0，y0是方程①的整数解，当然满足ax0+by0=c，②因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c．这表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解．设x＇，y＇是方程①的任一整数解，则有ax＇+bx＇=c. ③③-②得a(x＇-x0)=b＇(y＇-y0)．④由于(a，b)=1，所以a｜y＇-y0，即y＇=y0+at，其中t是整数．将y＇=y0+at代入④，即得x＇=x0-bt．因此x＇， y＇可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at 表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．例1求11x+15y=7的整数解．解法1将方程变形得因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=-1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为解法2先考察11x+15y=1，通过观察易得11×(-4)+15×(3)=1，所以11×(-4×7)+15×(3×7)=7，可取x0=-28，y0=21．从而可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．例2求方程6x+22y=90的非负整数解．解因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得3x+11y=45．①由观察知，x1=4，y1=-1是方程3x+11y=1 ②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能．当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．所以原方程的非负整数解是例3求方程7x+19y=213的所有正整数解．分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．解用方程7x+19y=213 ①的最小系数7除方程①的各项，并移项得因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．Ｔ儆*5除此式的两边得2u+5v=3．④由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得t只能取0，1．因此得原方程的正整数解为当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．例4求方程37x+107y=25的整数解．解 107=2×37+33，37=1×33+4，33=8×4+1．为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4=37-9×(37-33)=9×33-8×37＝9×(107-2×37)8×37＝9×107-26×37=37×(-26)+107×9．由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是x0=25×(-26)=-650，y0=25×9=225是方程37x+107y=25的一组整数解．所以原方程的一切整数解为例5某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？解设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是7x+5y=142. ①所以由于7x≤142，所以x≤20，并且由上式知5｜2(x-1)．因为(5，2)=1，所以5｜x-1，从而x=1，6，11，16，①的非负整数解为所以，共有4种不同的支付方式．说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．例6求方程9x+24y-5z=1000的整数解．解设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000．于是原方程可化为用前面的方法可以求得①的解为②的解为消去t，得大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．例7今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组①化简得 15x+9y+z=300．③③-②得 14x+8y=200，即 7x+4y=100．解7x+4y=1得于是7x+4y=100的一个特解为由定理知7x+4y=100的所有整数解为由题意知，0＜x，y，z＜100，所以由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x，y，z还应满足x+y+z=100．t x y z26 4 18 7827 8 11 8128 12 4 84即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．【练习】1．求下列不定方程的整数解：(1) 72x+157y=1；(2)9x+21y=144；(3)103x-91y＝5．2．求下列不定方程的正整数解：(1)3x-5y=19； (2)12x+5y=125．3．求下列不定方程的整数解：(1)5x+8y+19z=50； (2)39x-24y+9z=78．4．求不定方程2x+5y+7z+3t=10的整数解．5．求不定方程组的正整数解.。
第三节二元一次不等式组的解法-学而思培优1. 引言本节我们将研究解决二元一次不等式组的方法。
二元一次不等式组是由两个二元一次不等式构成的方程组。
2. 解法解决二元一次不等式组的方法主要包括以下步骤：步骤一：将二元一次不等式组转化为标准形式首先，我们需要将二元一次不等式组中的不等式转化为标准形式。
标准形式是指不等式左侧为一个未知数的线性函数，右侧为一个常数。
步骤二：确定解集的范围根据二元一次不等式组的标准形式，我们可以通过判断不等式的符号关系来确定解集的范围。
例如，如果不等式关系是 ">="，则解集为大于等于某个值的范围。
步骤三：求解不等式组根据步骤二确定的解集范围，我们可以进一步求解二元一次不等式组。
求解的方法可以包括代入法、图象法或线性规划法等。
3. 示例下面我们通过一个示例来说明解决二元一次不等式组的方法：假设有以下二元一次不等式组：2x + 3y >= 64x - 5y <= 10首先，将不等式组转化为标准形式：2x + 3y - 6 >= 04x - 5y - 10 <= 0接着，我们根据不等式的符号关系，确定解集的范围：2x + 3y - 6 >= 0，解集为大于等于0的范围4x - 5y - 10 <= 0，解集为小于等于0的范围最后，根据确定的解集范围，可以使用代入法或图象法等方法求解该不等式组的解集。
4. 结论通过本文档的研究，我们了解了解决二元一次不等式组的方法。
通过将不等式组转化为标准形式，确定解集的范围，我们可以进一步求解不等式组。
在实际问题中，根据具体情况选择合适的方法求解二元一次不等式组，能帮助我们找到问题的解集。
请注意：以上内容仅为示例，具体的求解方法和步骤可能因题目要求而有所不同。
根据具体问题的要求和条件，需要结合实际情况进行求解。
二元一次不定方程的通解
七年级下册学习了二元一次方程组，有一类题是求二元一次方程的整数解的问题，这在数学上有一专门名称叫做“不定方程”。
如下题：
二元一次方程x+2y=6的正整数解的个数是（）
A.4个
B. 3个
C. 2个
D.1个
初中阶段这个问题，都是用的“枚举法”。
但是为了防止遗漏，我们现在要系统解决这个问题，就需要研究二元不定方程的通解。
当我们通过观察找出了该方程的一对特解x=x0
y=y0后，就可
以写出该方程的所有解了。
∵ ax+by=c……①
ax0+by0=c……②
①-② ∴a（x-x0）+b（y-y0）=0
即a（x-x0）=b(y0-y)
设a、b互质，那么，x-x0必含因子b，y0-y必含因子a。
∴x-x0=kb，y0-y=ka（k∈Z）
∴不定方程的通解为x=x0+bk
y=y0-ak （k∈Z）
以上题为例，观察得到方程x+2y=6的一对特解为x=2 y=2，
则该方程的通解为
x=2+2k
y=2-k（k∈Z）。
由于是求正整数解，
故
2+2k＞0
2-k＞0（k∈Z）得 -1＜k＜2（k∈Z）, ∴k=0,1
∴对应的解有两个：k=0时，x=2
y=2；k=1时，
x=4
y=1.
∴选择C。
这就系统解决了不定方程的相关问题。
避免了解的遗漏问题。
当然这不属于教学内容，可作为课外知识给学有兴趣、学有余力的学生研究。
