二元一次不定方程及其解

探究二元一次不定方程（Inquires into the dual indefinite equation）冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。

我们讨论二元一次方程的整数解。

The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。

一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式；②具有两个未知数；③未知项的次数是1。

如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。

定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。

[1]二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。

通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。

目录摘要 (1)1.不定方程 (2)1.1不定方程的概念及分类 (2)1.2不定方程的解法 (2)1.2.1 二元一次不定方程 (2)1.2.2 n元一次不定方程（n≥3） (4)1.2.3 不定方程组 (7)2.数学竞赛中的不定方程 (7)2.1二元一次不定方程的应用 (7)2.2不定方程组的应用 (10)3.结论 (12)参考文献 (13)致谢 (13)二元一次不定方程的解法及应用【摘要】不定方程的整数解的判别与求解方法是初等数论的一个重要内容，在相关学科和实际生活有着广泛的应用。

本文首先归纳了枚举法、整数分离法、奇偶分析法等几种常用的二元一次不定方程的解法，其次以二元一次不定方程为基础，进一步讨论求多元一次不定方程整数解的方法，最后对几例中学数学竞赛题求解可以看到合理选用二元一次不定方程的解法使得相关问题简单化。

【关键词】不定方程解法应用【ABSTRACT】Indefinite number theory in the equation is important elemment, on the solution of indeterminate equation ,as well as seeking inteder solution of Diophantine Equations Mathematical Olympiad title a lot of application. This is the first description of enumeration, integer separation, such as odd-even analysis of several commonly used in an indeterminate equation of the dual solution, followed by a binary variable equation, and thus the introduction of multi-time indeterminate equation and its solution, the final Applied Mathematical Olympiad through with a few questions we can see a reasonable selection of the dual solution of indeterminate equations can make integer solutions for solving indeterminate equations related to the questions simple.【KEY-WORDS】Binary Diophantine equation ; solution ; applicaton不定方程(组)及整数解是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富。

二元一次不定方程的解法及其应用
解二元一次不定方程的一种常用方法是通过消元法或代入法。

具体步骤如下：
1. 将二元一次不定方程表示为两个未知数的方程形式，例如：ax + by = c，其中a、b和c都是已知的常数。

2. 通过消元法，选择合适的操作将方程化简为只含有一个未知数的方程。

可以选择将一个未知数的系数调整为0，或者通过加减两个方程将某一未知数的系数相消。

3. 消去一个未知数后，得到只含有一个未知数的方程。

根据需要，可以解这个一元一次方程，求得一个未知数的值。

4. 将求得的未知数的值代入原方程中，解得另一个未知数的值。

通过这种方法，可以求得二元一次不定方程的解。

二元一次不定方程的应用十分广泛。

在实际生活中，二元一次不定方程可以用来描述各种关系。

例如，在经济学中，二元一次不定方程可以表示两种商品的价格与需求量之间的关系。

在物理学中，二元一次不定方程可以表示两个物理量之间的线性关系。

在工程学中，二元一次不定方程可以用来描述两个变量之间的功能关系。

通过求解二元一次不定方程，可以得到这些关系的数学表达式，并且可以根据已知条件来求解未知数的值，从而得到实际问题的解答。

二元一次不定方程的解法.doc一、二元一次不定方程的概念二元一次不定方程指的是形如ax + by = c 的方程，其中a、b、c为已知数，x、y为未知数。

如果a、b不同时为零，那么该方程就是一个二元一次不定方程。

二元一次不定方程具有如下特点：1.方程有两个未知数，需要求出两个未知数的值才能确定方程的解。

2.方程的一次项系数a,b不能同时为0。

3.方程的解可能有无数个，也可能没有解。

二、二元一次不定方程的求解方法1.消元法消元法是一种常见的求解二元一次不定方程的方法。

这种方法的基本思想是通过消去一个未知数，将方程转化为一个一元一次方程，从而求解出这个未知数的值，最后再代入原方程中求出另一个未知数的值。

举例说明：a）求解2x + 3y = 7的解。

解答：将x消去，得到y = (7 - 2x)/3。

因为x和y都是整数，所以7 - 2x要是3的倍数，才有整数解。

整理得x = (7 - 3y)/2，要是7 - 3y是2的倍数才有整数解。

所以当y取-1、0、1、2、3、4、 5、 6时，可以求得相应的整数解。

b）求解3x + 4y = 5的解。

解答：同样地，将x消去，得到y = (5 - 3x)/4。

因为x和y都是整数，所以5 - 3x要是4的倍数，才有整数解。

但是由于5- 3x的最大值只有4，所以该方程无整数解。

2.代入法代入法是一种常见的求解二元一次不定方程的方法。

这种方法的基本思想是将其中一个未知数用另一个未知数表示出来，将其代入原方程中，从而得到只包含一个未知数的一元一次方程，再求解出这个未知数的值，最后再代回原方程中求出另一个未知数的值。

举例说明：求解x + y = 5, 2x - 3y = 10的解。

解答：可以将x + y = 5中的x用2x - 3y = 10 代替，得到(2x -3y) + y = 5，即2x - 2y = 5。

将该方程除以2，得到x - y = 2。

把该式代入x + y = 5中，可得到2y = 3，即y = 3/2。

二元一次不等式组有解、无解、整数解求
参问题
引言
二元一次不等式组是指由两个二元一次不等式构成的方程组。

求解二元一次不等式组的问题在数学中是十分常见的。

本文将探讨如何确定二元一次不等式组的有解、无解以及整数解的情况。

二元一次不等式组的有解条件
对于二元一次不等式组ax + by ≥ c 和dx + ey ≥ f，其有解的条件是：
1. ab ≠ 0；
2. ad - bc ≠ 0；
3. ae - bd ≠ 0。

二元一次不等式组的无解条件
二元一次不等式组无解的条件是：
1. ab ≠ 0；
2. ad - bc = 0；
3. ae - bd ≠ 0。

二元一次不等式组的整数解条件
对于二元一次不等式组ax + by ≥ c 和dx + ey ≥ f，其整数解的条件是：
1. ab ≠ 0；
2. ad - bc ≠ 0；
3. ae - bd = 0。

在满足以上条件的情况下，可以通过以下步骤求解二元一次不等式组的整数解：
1. 求出两个方程的最大公约数，设为g；
2. 如果c 和 f 都是g 的倍数，则该不等式组有整数解；
3. 如果c 和 f 不是g 的倍数，则该不等式组无整数解。

总结
本文讨论了二元一次不等式组的有解、无解和整数解的条件。

在实际应用中，可以根据这些条件判断二元一次不等式组的解的情况，并通过求解最大公约数判断是否存在整数解。

这对于解决相关问题具有重要的指导意义。

如何解二元一次不定方程意思就是说求方程a x+by=c 中x,y 的整数解。

对于这个问题，数论中有专门的解法，一般是采用辗转相除法来做，就是类似于求最大公因子的相除过程。

因为可能直接用辗转相除法大家可能不好理解，我先用普通的解方程的方法来做，然后再跟大家介绍数论中的做法。

为了简化问题，我们先求7x +4y =1的一切整数解。

解：我们对等式进行变形，得到y =1−7x 4=−x +1−3x 4式①因为y 是整数，所以1−3x 4也必须是整数，再另y′=1−3x 4，变形得到4y ′+3x =1，再次变形表达成x =1−4y′3=−y′+1−y′3式②因为x 是整数，所以1−y′3也必须是整数，然而1−y′3是整数的条件就是1−y ′是3的倍数，所以y ′=3m +1 式③ 这样1−y′3是整数才能满足。

从式③反推回式②，得到 x =−1−4m再反推回式①得到 y =2+7m至此，我们就得到了不定方程7x +4y =1的全部整数解x =−1−4m ，y =2+7m 式中m 可以取任意的整数。

对结果表示怀疑？那么我们试几个m 值：当m =0时，x =−1，y =2；7x +4y =7×(−1)+4×2=1 当m =1时，x =−5，y =9；7x +4y =7×(−6)+4×9=1如果还想试的话，自己去试吧，如果找到不对的情况请立刻去买彩票！ O(∩_∩)O~我们来分析一下这种计算方法，看看这么巧妙是如何实现的：式①之中，我们通过变形把系数大的项移动到等式右边，然后把左边的系数除过去，得到y =1−7x 4式中x y 都为整数，所以我们又变形得到y =−x +1−3x 4，为何要这样呢？这就是关键所在！因为这样做就逐步的把系数减小了，前面的式子分子系数为7，而后面的变成了3！而根据1−3x 4是一个整数，所以我们又可以列出新的不定方程，这个方程就要比我们最早的方程更简单，这样一直演算下去，最后分子系数肯定会变成1，比如x =−ay′+a−y′c，这时因为a−y′c是整数，假设等于m ，得到a−y′c=m ，变形得到y′=a −cm ，这就是最愉快的时候的，我们再一路反推回去，就可以得到原始的x y 的通解表达式了。

用辗转相除法解二元一次不定方程的技巧辗转相除法是一种解决二元一次不定方程的有力工具。

该方法利用了两个数的公因数和最大公因数的性质，从而得出方程的解。

具体步骤如下：
1. 将方程中的两个未知数分别表示为a和b，将方程变形为
ax+by=c。

2. 用欧几里得算法求出a和b的最大公因数g，即g=gcd(a,b)。

3. 如果c不能被g整除，那么方程无解；否则，将c除以g得到c'=c/g。

4. 对于方程ax+by=c'，用扩展欧几里得算法求出一组特解
(x0,y0)。

5. 原方程的通解可以表示为x=x0+k(b/g)，y=y0-k(a/g)，其中k为任意整数。

这种方法的优点在于其简单明了，可以迅速得出解，但需要注意的是，如果a和b不互质，那么方程可能会有无数个解。

因此，在使用此方法时需要注意条件的限制。

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解二元一次不等式组二元一次不等式组是指由两个二元一次不等式组成的方程组。

解决这类方程组需要找到满足所有不等式条件的变量取值范围。

本文将介绍解二元一次不等式组的方法和步骤。

一、二元一次不等式组的定义二元一次不等式组由两个形如ax + by ≥ c的不等式组成。

其中，a、b、c为常数，x、y为变量。

为了更好地理解，我们可以将其表示为一维坐标系中的两个直线所围成的区域。

二、解二元一次不等式组的方法解决二元一次不等式组的方法与解一元一次不等式类似。

我们可以通过图像法、代入法或消元法等方式来得到解。

1. 图像法首先，我们可以将每个不等式转化为直线，并将其表示在一维坐标系中。

然后，找出两个直线的交点，并观察交点所在的区域。

该区域即为满足所有不等式的解集。

2. 代入法代入法是指将一个不等式的解代入另一个不等式中，得到一个一元一次不等式。

然后，通过求解一元一次不等式，得到变量的取值范围。

最后，将求得的范围代入原始不等式组，检验是否满足所有条件。

3. 消元法消元法是指通过一系列运算，将二元一次不等式组化简为只含有一个变量的不等式。

然后，根据一元一次不等式的解的性质，得到每个变量的取值范围。

最后，将范围代入原始不等式组，检验是否满足。

三、解二元一次不等式组的步骤解二元一次不等式组的步骤如下：1. 将二元一次不等式组的每个不等式转化为标准形式，即ax + by ≥ c。

2. 根据需要选择合适的方法，如图像法、代入法或消元法。

3. 如果采用图像法，将每个不等式表示为直线，并在一维坐标系中画出。

找出交点所在的区域，即为解集。

4. 如果采用代入法，将一个不等式的解代入另一个不等式中，得到一元一次不等式。

求解一元一次不等式，得到变量的取值范围。

将范围代入原始不等式组，检验是否满足。

5. 如果采用消元法，通过一系列运算将二元一次不等式组化简为只含有一个变量的不等式。

根据一元一次不等式的解的性质，得到每个变量的取值范围。

将范围代入原始不等式组，检验是否满足。

第十七讲二元一次不定方程的解法我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程x-2y=3，方程组J K+ y + z = 100i+ 2;=180等，它们的解是不确定的•像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组.不定方程（组）是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富•我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理.近年来，不定方程的研究又有新的进展•学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能.我们先看一个例子.例小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？解设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程3x+11y=50.这是一个二元一次不定方程•从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组.但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解.因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1, 2，3，4支，即y的取值只能是0，1, 2, 3, 4这五个.若y = 则盟=斗，不是整数,不合题意；若y = 贝Ik二13,符合题意；若汗厶贝肛二孚，不是整数*不合题意；若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意；若y=4，则x=2，符合题意.所以，这个方程有两组正整数解，即也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔.像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了.但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明.例求不定方程x-y=2的正整数解.解我们知道：3-1=2, 4-2=2, 5-3=2，,，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是ii + 2,其中n可以取一切自然数.因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的.上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦•那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理.定理如果a, b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①有一组整数解X。

二元一次不等式的解题方法与技巧解二元一次不等式的方法与技巧一共有以下几种：1.图像法：将二元一次不等式转化为一个二元一次方程的图像进行分析。

对于不等式ax + by < c，首先绘制ax + by = c的图像，然后根据不等式的符号（大于、小于、大于等于或小于等于）确定合理的解集区域。

例如，当不等式为ax + by > c时，解集在直线ax + by = c的上方。

2.区间法：将二元一次不等式分解为x和y的分别的不等式，并分别求解。

例如，对于不等式ax + by < c，可将其分解为两个不等式：ax < c - by和by < c - ax。

然后求解这两个不等式，得到x的解集和y的解集，并取两个解集的交集即为原不等式的解集。

3.消元法：将二元一次不等式转化为只含一个变量的一元一次不等式进行求解。

首先将二元一次不等式转化为标准形式ax + by < c，然后根据系数a和b的符号进行分类讨论。

如果a和b都大于0或都小于0，可以先消去y，然后根据x的符号确定x的取值范围，并将结果带入原不等式进行验证。

如果a和b异号，则可以先消去x，然后根据y的符号确定y的取值范围，并将结果带入原不等式进行验证。

4.替换法：将二元一次不等式中的一个变量替换为另一个变量，将其转化为一个只含一个变量的一元一次不等式。

例如，对于不等式ax + by < c，可以将y替换为k - x（其中k为一常数），得到ax + b(k - x) < c。

然后化简并合并同类项，得到(x - k)(a - b) < c。

然后根据x的取值范围和合理性，确定不等式(x - k)(a - b) < c的解集。

5.倒数法：对于不等式ax + by < c，如果a和b的乘积等于0，则可以根据a和b的符号分别分析x和y的取值范围。

例如，如果a = 0，b ≠ 0，则不等式变为by < c，解为y < c/b；如果b = 0，a ≠ 0，则不等式变为ax < c，解为x < c/a。