二元一次不定方程

探究二元一次不定方程（Inquires into the dual indefinite equation）冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。

我们讨论二元一次方程的整数解。

The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。

一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式；②具有两个未知数；③未知项的次数是1。

如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。

定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。

[1]二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。

通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。

目录摘要 (1)1.不定方程 (2)1.1不定方程的概念及分类 (2)1.2不定方程的解法 (2)1.2.1 二元一次不定方程 (2)1.2.2 n元一次不定方程（n≥3） (4)1.2.3 不定方程组 (7)2.数学竞赛中的不定方程 (7)2.1二元一次不定方程的应用 (7)2.2不定方程组的应用 (10)3.结论 (12)参考文献 (13)致谢 (13)二元一次不定方程的解法及应用【摘要】不定方程的整数解的判别与求解方法是初等数论的一个重要内容，在相关学科和实际生活有着广泛的应用。

本文首先归纳了枚举法、整数分离法、奇偶分析法等几种常用的二元一次不定方程的解法，其次以二元一次不定方程为基础，进一步讨论求多元一次不定方程整数解的方法，最后对几例中学数学竞赛题求解可以看到合理选用二元一次不定方程的解法使得相关问题简单化。

【关键词】不定方程解法应用【ABSTRACT】Indefinite number theory in the equation is important elemment, on the solution of indeterminate equation ,as well as seeking inteder solution of Diophantine Equations Mathematical Olympiad title a lot of application. This is the first description of enumeration, integer separation, such as odd-even analysis of several commonly used in an indeterminate equation of the dual solution, followed by a binary variable equation, and thus the introduction of multi-time indeterminate equation and its solution, the final Applied Mathematical Olympiad through with a few questions we can see a reasonable selection of the dual solution of indeterminate equations can make integer solutions for solving indeterminate equations related to the questions simple.【KEY-WORDS】Binary Diophantine equation ; solution ; applicaton不定方程(组)及整数解是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富。

（完整版）⼆元⼀次不定⽅程的通解
⼆元⼀次不定⽅程的通解
七年级下册学习了⼆元⼀次⽅程组，有⼀类题是求⼆元⼀次⽅程的整数解的问题，这在数学上有⼀专门名称叫做“不定⽅程”。

如下题：
⼆元⼀次⽅程x+2y=6的正整数解的个数是（）
A.4个
B. 3个
C. 2个
D.1个
初中阶段这个问题，都是⽤的“枚举法”。

但是为了防⽌遗漏，我们现在要系统解决这个问题，就需要研究⼆元不定⽅程的通解。

当我们通过观察找出了该⽅程的⼀对特解x=x0
y=y0后，就可
以写出该⽅程的所有解了。

∵ ax+by=c……①
ax0+by0=c……②
①-②∴a（x-x0）+b（y-y0）=0
即a（x-x0）=b(y0-y)
设a、b互质，那么，x-x0必含因⼦b，y0-y必含因⼦a。

∴x-x0=kb，y0-y=ka（k∈Z）
∴不定⽅程的通解为x=x0+bk
y=y0-ak （k∈Z）
以上题为例，观察得到⽅程x+2y=6的⼀对特解为x=2 y=2，
则该⽅程的通解为
x=2+2k
y=2-k（k∈Z）。

由于是求正整数解，
故
2+2k＞0
2-k＞0（k∈Z）得 -1＜k＜2（k∈Z）, ∴k=0,1
∴对应的解有两个：k=0时，x=2
y=2；k=1时，
x=4
y=1.
∴选择C。

这就系统解决了不定⽅程的相关问题。

避免了解的遗漏问题。

当然这不属于教学内容，可作为课外知识给学有兴趣、学有余⼒的学⽣研究。

用辗转相除法解二元一次不定方程的技巧辗转相除法是一种解决二元一次不定方程的有力工具。

该方法利用了两个数的公因数和最大公因数的性质，从而得出方程的解。

具体步骤如下：
1. 将方程中的两个未知数分别表示为a和b，将方程变形为
ax+by=c。

2. 用欧几里得算法求出a和b的最大公因数g，即g=gcd(a,b)。

3. 如果c不能被g整除，那么方程无解；否则，将c除以g得到c'=c/g。

4. 对于方程ax+by=c'，用扩展欧几里得算法求出一组特解
(x0,y0)。

5. 原方程的通解可以表示为x=x0+k(b/g)，y=y0-k(a/g)，其中k为任意整数。

这种方法的优点在于其简单明了，可以迅速得出解，但需要注意的是，如果a和b不互质，那么方程可能会有无数个解。

因此，在使用此方法时需要注意条件的限制。

- 1 -。

第十六讲 一次不定方程一、知识要点1、不定方程：未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）称为不定方程（或方程组）。

2、二元一次不定方程的一般形式：ax+by=c 。

3、二元一次不定方程ax+by=c 有整数解的判定：定理1：若二元一次不定方程ax+by=c 中，a 和b 的最大公约数不能整除c ，则方程没有整数解。

例如，方程2x+4y=5没有整数解。

（想一想为什么？）定理2：如果正整数a,b 互质，则方程ax+by=1有整数解，同时方程ax+by=c 有整数解。

例如，3x+5y=7，3与5互质，x=-1,y=2是这个方程的一组整数解。

定理3：如果a,b 互质，且方程ax+by=c 有一组整数解x 0,y 0，则此方程式的所有整数解可表示为⎩⎨⎧-=+=）t at y y bt x x 为整数(00 或 ⎩⎨⎧+=-=）t at y y bt x x 为整数(00 例如，3x+5y=7的所有整数解可表示为⎩⎨⎧+=--=）t t y t x 为整数(3251 4、一次不定方程的整数解的求法：观察法；辗转相除法。

二、例题示范例1、判断下列不定方程（组）哪些有整数解，哪些没有整数解。

(1) 4x+6y=7 (2) 4x+8y=10(3) ⎩⎨⎧=-=+12536z y y x (4) ⎩⎨⎧=-=+121036z y y x例2、求方程3x+5y=1的整数解。

（1）观察法； （2）辗转相除法。

练习：求4x+5y=7的整数解。

例3、求方程37x+107y=25的整数解。

例4、求方程7x+4y=100的所有正整数解。

例5、如果三个既约真分数32,4a ,5b 的分子都加上b ，这时得到的三个分数的和为6，求这三个既约真分数的积。

例7、百鸡问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？提示：列不定方程组，化为不定方程解之。

例8、设七位数42762xy 为99的倍数，则x,y 的值是 。