二 元 一 次 不 定 方 程 的 求 解
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探究二元一次不定方程(Inquires into the dual indefinite equation)冯晓梁(XiaoLiang Feng)(江西科技师范学院数计学院数一班 330031)【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。
我们讨论二元一次方程的整数解。
The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.【关键字】:二元一次不定方程初等数论整数解(Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution)二元一次方程的概念:含有两个未知数,并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。
一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件;①等号两边的代数式是整式;②具有两个未知数;③未知项的次数是1。
如:2x-3y=7是二元一次方程,而方程4xy-3=0中含有两个未知数,且两个未知数的次数都是1,但是未知项4xy的次数是2,所以,它是二元二次方程,而不是二元一次方程。
定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
[1]二元一次方程的解和解二元一次方程:能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解,但若对未知数的取值附加某些限制,方程的解可能只有有限个。
通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数,如x-2y=3变形为x=3+2y,然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值,这样得到的x、y的每对对应值,都是x-2y=3的一个解。
专题:一元二次方程的5种解法方法1 形如x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解1.用直接开平方法解下列方程:(1)9x2=25; (2)x2-√=0; (3)(2t-1)2=9;(4)(x-3)2-9=0. (5)2(x-1)2-18=0.用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤:(1)看:看是否符合x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式;(2)化:对于不符合x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式;(3)求:应用平方根的意义,将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.方法2 当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,用配方法求解 2.用配方法解下列方程:(1)x 2-10x+9=0; (2)x 2+2x=2; (3)2x 2-4x+1=0.3. 用配方法解下列方程:(1)3x 2+6x -5=0; (2)12x 2-6x -7=0; (3)2x 2+7x -4=0.用配方法解一元二次方程的“五步法”(1)移项:使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数项. (2)化1:当方程的二次项系数不为1时,在方程的两边同除以二次项系数,把二次项系数化为1.(3)配方:在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方,把原方程化成(x +n)2=p 的形式.(4)开方:若p ≥0,则两边直接开平方得到一元一次方程;若p <0,则原方程无解.(5)求解:解所得到的一元一次方程,求出原方程的解.方法3 易化成一般形式(二次项系数不为1)时,用公式法求解4.用公式法解方程:(1)x2+3x+1=0; (2)2x2-5x-7=0;(3)(x+1)(x-1)+2(x+3)=8; (4)y2-2√2y+2=0;(5)(x+1)(2x-6)=1; (6)x2+5x+18=3(x+4).用公式法解一元二次方程的四个步骤(1)化:若方程不是一般形式,先把一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).(2)定:确定a,b,c的值.(3)算:计算b2-4ac的值.(4)求:若b2-4ac≥0,则利用求根公式求出方程的根;若b2-4ac <0,则原方程没有实数根.方法4 能化成形如(x+a)(x+b)=0时,用因式分解法求解5.用因式分解法解下列方程:(1)x2-9=0; (2)x2+2x=0;(3)x2-53x=0; (4)5x2+20x+20=0;(5)(2+x)2-9=0; (6)3x(x-2)=2(x-2).(7)(3x+2)2-4x2=0; (8)4(x-3)2-25(x-2)2=0;用因式分解法解一元二次方程的“四步法”(“右化零,左分解,两因式,各求解”)6.有三个方程:①(2x-1)2=5;②x2-x-1=0;③x(x-√3)=√3-x.解这三个方程时适合的解法依次是( )A.因式分解法、公式法、因式分解法B.直接开平方法、配方法、公式法C.直接开平方法、公式法、因式分解法D.公式法、配方法、公式法7.用适当的方法解下列方程:(1)(x-1)2=3; (2)x2+2x-2=0;(3)(x-5)2=2(x-5)-1; (4)x(3x-2)=3x-2.方法5 用换元法解方程8.【阅读材料】解方程:x4-3x2+2=0.解:设x2=m,则原方程变为m2-3m+2=0,解得m1=1,m2=2.当m=1时,x2=1,解得x=±1.当m=2时,x2=2,解得x=± 2.所以原方程的解为x1=1,x2=-1,x3=2,x4=- 2.以上方法就叫做换元法,通过换元达到了降次的目的,体现了转化的思想.【问题解决】利用上述方法解方程(x2-2x)2-5x2+10x+6=0.参考答案:1.解:(1)方程两边同时除以9得,x 2=259,根据平方根的意义得,x=±53.(2)移项得,x 2=√256=16, 根据平方根的意义得,x=±4. (3)根据平方根的意义得,2t-1=±3, 移项得,2t=4或2t=-2, 系数化为1得,t=2或t=-1. (4)移项得,(x-3)2=9,根据平方根的意义得,x-3=±3, 移项得,x=0或x=6. (5)∵2(x -1)2-18=0,∴(x -1)2=9,∴x -1=±3,∴x 1=4,x 2=-2. 2.解:(1)移项,得x 2-10x=-9.配方,得x 2-10x+25=-9+25,(x-5)2=16.开方,得x-5=4,或x-5=-4.∴x 1=9,x 2=1.(2)配方,得x 2+2x+1=2+1,(x+1)2=3.∴x+1=±√3.∴x 1=√3-1,x 2=-√3-1.(3)将方程两边同时除以2,得x 2-2x+12=0,即x 2-2x=-12.配方,得x 2-2x+12=-12+12, (x-1)2=12.∴x=1±√22.即x 1=1+√22,x 2=1-√22.3.(1)原方程变形为3x 2+6x =5,∴x 2+2x =53,∴x 2+2x +1=83,∴(x +1)2=83,∴x +1=±263,∴x 1=-1+263,x 2=-1-263. (2)原方程变形为12x 2-6x =7,∴x 2-12x =14,∴x 2-12x +36=50,∴(x -6)2=50,∴x -6=±52, ∴x 1=6+52,x 2=6-5 2.(3)(x +74)2=8116,∴x 1=12,x 2=-4.4.解:(1)∵a=1,b=3,c=1,∴Δ=b 2-4ac=9-4×1×1=5>0,∴x=-3±√52.∴x 1=-3+√52,x 2=-3-√52.(2)∵a=2,b=-5,c=-7,∴b 2-4ac=81,∴x=5±√814,∴x 1=-1,x 2=72. (3)原方程可化为x 2+2x-3=0. ∵a=1,b=2,c=-3,∴b 2-4ac=16.∴x=-2±√162,∴x 1=1,x 2=-3.(4)∵这里a=1,b=-2√2,c=2,∴b 2-4ac=(-2√2)2-4×1×2=0,∴y=2√2±02,∴y 1=y 2=√.(5)整理得2x 2-4x -7=0,∵a =2,b =-4,c =-7, ∴Δ=b 2-4ac =(-4)2-4×2×(-7)=72,∴x =4±722×2=2±322,∴x 1=2+322,x 2=2-322.(6)整理得x 2+2x +6=0,∵a =1,b =2,c =6,∴Δ=b 2-4ac =22-4×1×6=-20<0,∴原方程无实数根. 5.(1)解:(x +3)(x -3)=0,∴x 1=-3,x 2=3. (2)解:x(x +2)=0, ∴x 1=0,x 2=-2. (3)解:x(x -53)=0, ∴x 1=0,x 2=5 3. (4)解:(x +2)2=0, ∴x 1=x 2=-2.(5)解:(x +5)(x -1)=0, ∴x 1=-5,x 2=1.(6)解:原方程变形为3x(x -2)-2(x -2)=0, 即(3x -2)(x -2)=0, ∴x 1=23,x 2=2.(7)解:(3x +2+2x)(3x +2-2x)=0, 解得x 1=-25,x 2=-2.(8)解:原方程可化为[2(x -3)]2-[5(x -2)]2=0, 即(2x -6)2-(5x -10)2=0.∴(2x -6+5x -10)(2x -6-5x +10)=0, 即(7x -16)(-3x +4)=0. ∴x 1=167,x 2=43.6.C7.解:(1)∵x-1=±√3,∴x 1=√3+1,x 2=-√3+1.(2)∵x2+2x+1=3,∴(x+1)2=3,∴x1=√3-1,x2=-√3-1.(3)∵(x-5)2-2(x-5)+1=0,∴[(x-5)-1]2=0,∴x1=x2=6.(4)∵x(3x-2)-(3x-2)=0,∴(3x-2)(x-1)=0,.∴x-1=0或3x-2=0,∴x1=1,x2=238.解:(x2-2x)2-5x2+10x+6=0,整理,得(x2-2x)2-5(x2-2x)+6=0.设x2-2x=m,则原方程变为m2-5m+6=0,解得m1=3,m2=2.当m=3时,x2-2x=3,解得x=3或x=-1;当m=2时,x2-2x=2,解得x=1± 3.所以原方程的解为x1=3,x2=-1,x3=1+3,x4=1- 3.。
二元一次不定方程的解法.doc一、二元一次不定方程的概念二元一次不定方程指的是形如ax + by = c 的方程,其中a、b、c为已知数,x、y为未知数。
如果a、b不同时为零,那么该方程就是一个二元一次不定方程。
二元一次不定方程具有如下特点:1.方程有两个未知数,需要求出两个未知数的值才能确定方程的解。
2.方程的一次项系数a,b不能同时为0。
3.方程的解可能有无数个,也可能没有解。
二、二元一次不定方程的求解方法1.消元法消元法是一种常见的求解二元一次不定方程的方法。
这种方法的基本思想是通过消去一个未知数,将方程转化为一个一元一次方程,从而求解出这个未知数的值,最后再代入原方程中求出另一个未知数的值。
举例说明:a)求解2x + 3y = 7的解。
解答:将x消去,得到y = (7 - 2x)/3。
因为x和y都是整数,所以7 - 2x要是3的倍数,才有整数解。
整理得x = (7 - 3y)/2,要是7 - 3y是2的倍数才有整数解。
所以当y取-1、0、1、2、3、4、 5、 6时,可以求得相应的整数解。
b)求解3x + 4y = 5的解。
解答:同样地,将x消去,得到y = (5 - 3x)/4。
因为x和y都是整数,所以5 - 3x要是4的倍数,才有整数解。
但是由于5- 3x的最大值只有4,所以该方程无整数解。
2.代入法代入法是一种常见的求解二元一次不定方程的方法。
这种方法的基本思想是将其中一个未知数用另一个未知数表示出来,将其代入原方程中,从而得到只包含一个未知数的一元一次方程,再求解出这个未知数的值,最后再代回原方程中求出另一个未知数的值。
举例说明:求解x + y = 5, 2x - 3y = 10的解。
解答:可以将x + y = 5中的x用2x - 3y = 10 代替,得到(2x -3y) + y = 5,即2x - 2y = 5。
将该方程除以2,得到x - y = 2。
把该式代入x + y = 5中,可得到2y = 3,即y = 3/2。
不定方程组的通解一、引言在数学中,方程是研究数量关系的基本工具之一。
方程可以分为线性方程和非线性方程两大类。
而不定方程组则是非线性方程组的一个重要分支。
不定方程组是指含有未知数的多个方程的集合,其解满足所有这些方程。
本文将介绍不定方程组的通解及其求解方法。
首先会对不定方程组进行定义和分类,并介绍一些常见的不定方程组问题。
然后会详细介绍如何求解一般形式的不定方程组,并给出具体示例。
最后会总结本文所介绍的内容,并展望不定方程组在数学中的应用。
二、定义和分类2.1 定义不定方程组是指含有未知数的多个方程的集合,其解满足所有这些方程。
2.2 分类根据未知数和系数之间的关系,不定方程组可以分为以下几类:2.2.1 线性不定方程组线性不定方程组是指所有未知数都只有一次幂,并且系数都是常数的情况。
例如:3x + 4y = 75x - 2y = 12.2.2 二次不定方程组二次不定方程组是指至少有一个未知数的平方项,并且系数可以是常数或者其他未知数的情况。
例如:x^2 + y^2 = 25x^2 - y = 72.2.3 指数不定方程组指数不定方程组是指至少有一个未知数的指数项,并且系数可以是常数或者其他未知数的情况。
例如:3^x + 4^y = 135^x - 2^y = 9三、求解方法3.1 线性不定方程组的通解求解方法线性不定方程组的通解求解方法主要有以下几种:3.1.1 列主元素消去法列主元素消去法是线性代数中常用的一种求解线性方程组的方法。
通过选取系数矩阵中每一列中绝对值最大的元素作为主元,然后进行消去操作,最终得到行简化阶梯形矩阵。
根据行简化阶梯形矩阵可以直接得到线性方程组的通解。
3.1.2 克拉默法则克拉默法则是一种利用行列式求解线性方程组的方法。
通过构造增广矩阵,并计算系数矩阵和常数向量的行列式,可以得到线性方程组的解。
3.1.3 矩阵求逆法矩阵求逆法是一种利用矩阵的逆求解线性方程组的方法。
通过将系数矩阵和常数向量构造成增广矩阵,然后求出系数矩阵的逆矩阵,最后将逆矩阵与常数向量相乘,可以得到线性方程组的解。
第26讲二元一次不定方程——练习题一、第26讲二元=次不定方程(练习题部分)1.判断下列二元一次方程有无整数解,并说明理由.(1)2x+6y=5;(2)4x+6y=8;(3)3x+5=6y+11;(4).2.求下列二元一次方程的解.(1)2x+6y=7;(2)-3x-3=4y+6.3.求下列二元一次方程的整数解.(1)5x+10y=20;(2)3x-4y=7;(3)4x+7y=8;(4)13x+30y=4.4.求下列方程的正整数解.(1)11x+15y=20:(2)2x+5y=21;(3)5x-2y=3:(4)5x+8y=32.5.试将100分成两个正整数之和,其中一个为11的倍数,另一个为17的倍数.6.小明在甲公司打工.几个月后同时又在乙公司打工.甲公司每月付给他薪金470元,乙公司每月付给他薪金350元.年终小明从这两家公司共获得薪金7620元.问他在甲、乙两公司分别打工几个月?答案解析部分一、第26讲二元=次不定方程(练习题部分)1.【答案】(1)解:∵2和6的最大公约数为2,25,∴原方程无整数解.(2)解:∵2和6的最大公约数为2,而2|8,∴原方程有整数解.(3)解:∵3x+5=6y+11;∴3x-6y=6;∵3和6的最大公约数为3,而3|6,∴原方程有整数解.(4)解:变形为:3x+2y=11,∵3和2的最大公约数为1,而1|11,∴原方程有整数解.【解析】【分析】对于整系数方程ax+by=c,a与b的最大公约数为d,由定理1可知:若d|c,则原方程有整数解;若d c,则原方程没有整数解.2.【答案】(1)解:∵2x+6y=7,∴x=,∴原方程的解为:,(k为任意数).(2)解:∵-3x-3=4y+6得3x+4y=-9,∴x=-=-3-,∴原方程的解为:,(k为任意数).【解析】【分析】将其中的一个未知数看作常数,解出另一个未知数,看作常数的未知数取为任意数,从而可得原方程的解.3.【答案】(1)解:由5x+10y=20得x+2y=4,∴x=4-2y,∴x=0,y=2是原方程的一组解,∴原方程的整数解为:,(k为任意整数).(2)解:∵3x-4y=7,∴x==2+y+,∵x为整数,∴3|1+y,∴y=2,x=5,∴x=5,y=2是原方程的一组解,∴原方程的整数解为:,(k为任意整数).(3)解:∵4x+7y=8,∴x==2-,∵x为整数,∴4|7y,∴y=4,x=-5,∴x=-5,y=4是原方程的一组解,∴原方程的整数解为:,(k为任意整数).(4)解:∵13x+30y=4,∴x==1-2y-,∵x为整数,∴13|9+4y,∴y=1,x=-2,∴x=-2,y=1是原方程的一组解,∴原方程的整数解为:,(k为任意整数).【解析】【分析】由定理1整系数方程ax+by=c有整数解的充分且必要条件是a与b的最大公约数d 能整除c,我们知道,若ax+by=c有解,则a与b的最大公约数d|c.这时,我们可以在原方程的两边同时约去d,得x+y=.令=a1,=b1,=c1得到一个同解的二元一次方程a1x+b1y=c1.这时a1与b1的最大公约数为1.因此,只要讨论d=1的情况即可.我们有如下的定理:定理2若a与b的最大公约数为1(即a与b互质),x0、y0为二元一次整系数不定方程ax+by=c的一组整数解(也称为特解),则ax+by=c的所有整数解(也称通解)为(k为任意整数).因此,当d=1时,ax+by=c有解,并且解这个二元一次方程的关键在于找它的一组特解x0、y0.4.【答案】(1)解:∵11x+15y=20,∴x==2-y-,∵x是整数,∴11|2+4y,∴y=5,x=-5,∴x=-5,y=5是原方程的一组解,∴原方程的整数解为:,(k为任意整数),又∵x>0,y>0,∴,解得:<k<,∴不存在整数k,∴原方程无正整数解.(2)解:∵2x+5y=21,∴x==10-3y+,∵x是整数,∴2|1+y,∴y=1,x=8,∴x=8,y=1是原方程的一组解,∴原方程的整数解为:,(k为任意整数),又∵x>0,y>0,∴,解得:-<k<,∴k=-1,或k=0,∴原方程正整数解为:或.(3)解:解:∵5x-2y=3,∴x=,∵x是整数,∴5|3+2y,∴y=1,x=1,∴x=1,y=1是原方程的一组解,∴原方程的整数解为:,(k为任意整数),又∵x>0,y>0,∴,解得:k<,∴原方程正整数解为:(k=0,1,2,3……).(4)解:∵5x+8y=32,∴x==6-2y+(1+y),∵x是整数,∴1+y是5的倍数,∴y=4,x=0,∴x=0,y=4是原方程的一组解,∴原方程的整数解为:,(k为任意整数),又∵x>0,y>0,∴,解得:0<k<,∴不存在整数k,∴原方程无正整数解.【解析】【分析】求二元一次不定方程的正整数解时,可先求出它的通解。
不定方程所谓不定方程,是指未知数的个数多于方程个数,且未知数受到某些(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组。
不定方程也称为丢番图方程,是数论的重要分支学科,也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富,与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现,每年世界各地的数学竞赛吉,不定方程都占有一席之地;另外它也是培养学生思维能力的好材料,数学竞赛中的不定方程问题,不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解,而且更需要讲究思想、方法与技巧,创造性的解决问题。
在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。
基础知识1.不定方程问题的常见类型:(1)求不定方程的解;(2)判定不定方程是否有解;(3)判定不定方程的解的个数(有限个还是无限个)。
2.解不定方程问题常用的解法:(1)代数恒等变形:如因式分解、配方、换元等;(2)不等式估算法:利用不等式等方法,确定出方程中某些变量的范围,进而求解;(3)同余法:对等式两边取特殊的模(如奇偶分析),缩小变量的范围或性质,得出不定方程的整数解或判定其无解;(4)构造法:构造出符合要求的特解,或构造一个求解的递推式,证明方程有无穷多解;(5)无穷递推法。
以下给出几个关于特殊方程的求解定理:(一)二元一次不定方程(组)定义1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
定理1.方程有解的充要是;定理2.若,且为的一个解,则方程的一切解都可以表示成为任意整数)。
定理3.元一次不定方程,()有解的充要条件是.方法与技巧:1.解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。
若有解,可先求一个特解,从而写出通解。
当不定方程系数不大时,有时可以通过观察法求得其解,即引入变量,逐渐减小系数,直到容易得其特解为止;2.解元一次不定方程时,可先顺次求出,……,.若,则方程无解;若|,则方程有解,作方程组:求出最后一个方程的一切解,然后把的每一个值代入倒数第二个方程,求出它的一切解,这样下去即可得方程的一切解。
二元一次不定方程的解法一元二次不定方程的解法:1、求解一元二次不定方程的一般步骤:(1)首先把不定方程化为标准形式:ax²+bx+c=0;(2)用判别式D=b²-4ac来判断根的情况:(a)当D=0时,说明有两个相同的实根;(b)当D > 0时,说明有两个不相同的实根;(c)当D < 0时,说明无实根,有两个虚根。
(3)再由D=b²-4ac求出具体的实根或实虚根。
2、一元二次不定方程的几种特殊情况:(1)a=0时,不定方程就退化成一次不定方程,并直接求解。
(2)当b=0时,不定方程的根绝对值为|c/a|;(3)当c=0时,不定方程有两个解,分别为0和-b/a;(4)当a=1时,不定方程可化简为一般形式:x²+bx+c=0;(5)当a=-1时,不定方程可化简为一般形式:-x²+bx+c=0。
3、一元二次不定方程常用的简便求根方法:(1)用一般形式求根:化为ax2+bx+c=0,用一般解法求根,即x1/x2 = ±√D/2a。
(2)用整式分解或反常分解求根:①整式分解:把ax2+bx+c=0写成全局整式Ax+B,再把它整式分解:Ax+B=(x+x1)(x+x2),即求解出x1、x2;②反常分解:把ax2+bx+c=0化为反常分解:ax2+bx=(b/a)x+c/a或x2+(a/c)x=(b/c),根据条件,可求出x1、x2。
4、求解一元二次不定方程的注意事项:(1)一元二次不定方程必须使用一般形式ax2+bx+c=0,避免出现错误;(2)求解不定方程时,应先求出方程的判别式,而不是直接用整式分解或反常分解求根;(3)当计算机求解一元二次不定方程时,一定要调整精度,以免结果出现偏差;(4)一元二次不定方程的根的计算可以采用科学计算器进行,确保结果的准确性。
一元二次方程的解法(直接开平方法、配方法3种题型)1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.2.运用开平方法解形如x 2=p 或(x+n) 2=p (p≥0)的方程.3.理解配方的基本过程,会运用配方法解一元二次方程.4.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程,体会转化的数学思想.知识点1:直接开平方法形如x 2=p 或(nx +m )2=p (p ≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.如果方程化成x 2=p 的形式,那么可得x =±;如果方程能化成(nx +m )2=p (p ≥0)的形式,那么nx +m =±. 注意:①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数.②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程.知识点2:配方法(1)将一元二次方程配成(x +m )2=n 的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)用配方法解一元二次方程的步骤:①把原方程化为ax 2+bx +c =0(a ≠0)的形式;②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.要点诠释:(1)配方法解一元二次方程的口诀:一除二移三配四开方;(2)配方法关键的一步是“配方”,即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.(3)配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±. 知识点3:配方法的应用1.用于比较大小:在比较大小中的应用,通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方,使此差大于零(或小于零)而比较出大小.2.用于求待定字母的值:配方法在求值中的应用,将原等式右边变为0,左边配成完全平方式后,再运用非负数的性质求出待定字母的取值.3.用于求最值:“配方法”在求最大(小)值时的应用,将原式化成一个完全平方式后可求出最值.4.用于证明:“配方法”在代数证明中有着广泛的应用,我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用.要点诠释:“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位,是恒等变形的重要手段,是研究相等关系,讨论不等关系的常题型1:用直接开平方法解一元二次方程例1.(2022秋•江都区校级期末)方程x 2=4的解是( )A .x 1=x 2=2B .x 1=x 2=﹣2C .x 1=2,x 2=﹣2D .x 1=4,x 2=﹣4【分析】根据直接开平方解方程即可.【解答】解:直接开平方得:x =±2,∴方程的解为:x1=2,x2=﹣2,故选:C .【点评】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程,特别注意:一个正数的平方根有两个,它们互为相反数.例2.(2022秋•江都区期中)解方程:(1)4x 2=49; (2)(2x ﹣1)2﹣25=0.【分析】(1)首先将方程整理为x 2=,再利用平方根的意义直接开方求解即可;(2)首先将方程整理为(2x ﹣1)2=25的形式,再利用平方根的意义直接开方求解即可.【解答】解:(1)4x 2=49,x 2=, ∴,∴x 1=,x 2=﹣;(2)(2x ﹣1)2﹣25=0,(2x ﹣1)2=25,∴2x ﹣1=±5,∴x 1=3,x 2=﹣2.【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法.用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:x 2=a (a ≥0);ax 2=b (a ,b 同号且a ≠0);(x +a )2=b (b ≥0);a (x +b )2=c (a ,c 同号且a ≠0).法则:要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”. 例3.解关于x 的方程:251250x −=.【答案】15x =,25x =−.【解析】整理方程,即得225x =,直接开平方法解方程,得:x = 即方程两根为15x =,25x =−.【总结】直接开平方法解形如()20x a a =≥方程两根即为x =例4.解关于x 的方程:290x =. 【答案】153x =,253x =−.【解析】整理方程,即得2259x ==,直接开平方法解方程,得:x =, 即方程两根为153x =,253x =−.【总结】直接开平方法解形如()20x a a =≥方程两根即为x =例5.解关于x )225x −=【答案】14x =,21x =.【解析】整理方程,即得()2259x −==,直接开平方法解方程,得:253x −==±, 得253x −=或253x −=−,即方程两根为14x =,21x =.【总结】直接开平方法解形如()()20ax b h h +=≥的方程,将()ax b +当作一个整体,可得ax b +=或ax b +=例6.解关于x 的方程:()()222332x x +=+.【答案】11x =,21x =−.【解析】直接开平方法解方程,即得()2332x x +=±+,得2332x x +=+或()2332x x +=−+, 即得方程两根为11x =,21x =−.【总结】直接开平方法解形如()()221122a x b a x b +=+的方程,将两边表示底数的式子当作一个整体,可得1122a x b a x b +=+或()1122a x b a x b +=−+.例7.解关于x 的方程: ()()22425931x x −=−. 【答案】1135x =,2713x =−. 【解析】整理方程,即为()()22225331x x −=−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,直接开平方法解方程,即得()()225331x x +=±−,得()()225331x x +=−或()()225331x x +=−−,解得方程两根 分为1135x =,2713x =−. 【总结】直接开平方法解形如()()221122a x b a x b +=+的方程,将两边表示底数的式子当作一个整体,可得1122a x b a x b +=+或()1122a x b a x b +=−+.例8.解关于x 的方程:()2222x a a ab b −=++.【答案】12x a b =+,2x b =−.【解析】整理方程,即为()()22x a a b −=+,直接开平方法解方程,即得()x a a b −=±+, 得:x a a b −=+或()x a a b −=−+,解得方程两根分为12x a b =+,2x b =−.【总结】直接开平方法解形如()22ax b c +=的方程,将两边表示底数的式子当作一个整体,可得ax b c +=±. 题型2:用配方法解一元二次方程例9.(2022秋•秦淮区期末)解方程:x 2﹣6x +4=0(用配方法)【分析】配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.【解答】解:由原方程移项,得x 2﹣6x =﹣4,等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方,得x 2﹣6x +9=﹣4+9,即(x ﹣3)2=5,∴x =±+3, ∴x 1=+3,x 2=﹣+3.【点评】此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.例10.用配方法解方程:22330x x −−=.【答案与解析】解:∵22330x x −−=, ∴233022x x −−= ∴23993216162x x −+=+, ∴2333416x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭∴12x x ==. 【总结升华】原方程的二次项系数不为1,必须先化成1,才能配方.配方时,方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方,配成()()20x m n n +=≥的形式,然后用直接开平方法求解即可.例11.用配方法解方程:220130y −−=.【答案】145y =,245y =.【解析】由220130y −−=,得2122025y −+=,即2(2025y −=,所以45y −=±, 所以原方程的解为:145y =,245y =−. 【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根.例12.用配方法解方程:225200x x −−+=.【答案】154x =−+,254x =−. 【解析】由225200x x −−+=,得225200x x +−=,即251002x x +−=,配方,得:2525251021616x x ++=+,即25185()416x +=,解得:54x =−±所以原方程的解为:154x =−+,254x =−. 【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根,注意先将二次项系数化为1,然后再配方. 例13.用配方法解方程:210.30.2030x x −+=. 【答案】1213x x ==. 【解析】由210.30.2030x x −+=,得213203x x −+=,即221039x x −+=, 所以21()03x −=,所以原方程的解为:1213x x ==.【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根,注意先将二次项系数化为1,然后再配方. 题型3:配方法的应用例14.(2023春•梁溪区校级期中)在求解代数式2a 2﹣12a +22的最值(最大值或最小值)时,老师给出以下解法:解:原式=2(a 2﹣6a )+22=2(a 2﹣6a +9)﹣18+22=2(a ﹣3)2+4,∵无论a 取何值,2(a ﹣3)2≥0,∴代数式2(a ﹣3)2+4≥4,即当a =3时,代数式2a 2﹣12a +22有最小值为4.仿照上述思路,则代数式﹣3a 2+6a ﹣8的最值为( )A .最大值﹣5B .最小值﹣8C .最大值﹣11D .最小值﹣5【分析】根据题意把代数式﹣3a 2+6a ﹣8配成﹣3(a ﹣1)2﹣5的形式,再利用偶次方的非负性即可得出最值.【解答】解:由题意可得:原式=﹣3(a2﹣2a)﹣8=﹣3(a2﹣2a+1)+3﹣8=﹣3(a﹣1)2﹣5,∵无论a取何值,3(a﹣1)2≥0,即﹣3(a﹣1)2≤0,∴代数式﹣3(a﹣1)2﹣5≤﹣5,即当a=1时,代数式﹣3a2+6a﹣8有最大值﹣5,故选:A.【点评】本题主要是考查了配方法的应用以及偶次方的非负性,解题关键是把代数式配成﹣3(a﹣1)2﹣5的形式.例15.(2023春•吴江区期中)我们可以将一些形如ax2+bx+c(a≠0)的多项式变形为a(x+m)2+n的形式,例如x2+4x﹣5=x2+4x+22﹣22﹣5=(x+2)2﹣9,我们把这样的变形叫做多项式ax2+bx+c(a≠0)的配方法.已知关于a,b的代数式满足a2+b2+2a﹣4b+5=0,请你利用配方法求a+b的值.【分析】已知等式变形后,利用完全平方公式化简,再利用非负数的性质求出即可.【解答】解:已知等式变形得:(a2+2a+1)+(b2﹣4b+4)=0,即(a+1)2+(b﹣2)2=0,∵(a+1)2≥0,(b﹣2)2≥0,∴a+1=0,b﹣2=0,解得:a=﹣1,b=2,则a+b=﹣1+2=1.【点评】此题考查了配方法的应用,以及非负数的性质,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.例16.(2023春•吴中区期中)阅读材料:若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0,求m、n的值.解:∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0,∴(m2﹣2mn+n2)+(n2﹣8n+16)=0∴(m﹣n)2+(n﹣4)2=0,∴m﹣n=0,n﹣4=0,∴n=4,m=4.根据你的观察,探究下面的问题:(1)已知x2+4xy+5y2+6y+9=0,求x﹣y的值.(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数,且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6=0,求边c的值.【分析】(1)根据x2+4xy+5y2+6y+9=0,应用因式分解的方法,判断出(x+2y)2+(y+3)2=0,求出x、y的值,代入x﹣y计算即可;(2)根据a2﹣4a+2b2﹣4b+6=0,应用因式分解的方法,判断出(a﹣2)2+2(b﹣41)2=0,求出a、b 的值,然后根据三角形的三条边的关系,求出c的值即可.【解答】解:(1)∵x 2+4xy +5y 2+6y +9=0,∴(x 2+4xy +4y 2)+(y 2+6y +9)=0,∴(x +2y )2+(y +3)2=0,∴x +2y =0,y +3=0,∴x =6,y =﹣3,∴x ﹣y =6﹣(﹣3)=9.(2)∵a 2﹣4a +2b 2﹣4b +6=0,∴(a 2﹣4a +4)+(2b 2﹣4b +2)=0,∴(a ﹣2)2+2(b ﹣1)2=0,∴a ﹣2=0,b ﹣1=0,∴a =2,b =1,∵2﹣1<c <2+1,∴1<c <3,∵c 为正整数,∴c =2.【点评】本题考查配方法的应用,以及三角形三条边的关系,解答本题的关键是明确配方法、会用配方法解答问题.例17.已知△ABC 的一边长为4,另外两边长是关于x 的方程22320x kx k −+=的两根,当k 为何值时,△ABC 是等腰三角形?【答案】2k =.【解析】由22320x kx k −+=,得(2)()0x k x k −−=,所以x k =或者2x k =.当2k =时,2x =和4x =,满足三角形三边关系,当4k =时,4x =和8x =,不满足三角形三边关系. 所以2k =时,△ABC 是等腰三角形【总结】先配方然后用分类讨论的方法解决问题.一、单选题【答案】D【分析】根据直接开方法求解即可.【详解】解:290x -=, 29x =直接开方得:13x =,23x =−,故选:D .【点睛】题目主要考查利用直接开方法解一元二次方程,熟练掌握此方法是解题关键.2.(2022秋·江苏盐城·九年级统考期中)一元二次方程2680x x −−=,经过配方可变形为( ) A .2(3)17x −=B .2(3)1x −=C .2(3)17x +=D .2(6)44x −=【答案】A【详解】解:方程移项得:268x x −=, 配方得:26989x x −+=+,即2(3)17x −=.故选:A .【点睛】此题考查了解一元二次方程——配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.3.(2022秋·江苏镇江·九年级统考期中)已知实数a b ,满足21a b +=,则代数式22241a b a +−−的最小值等于( )A .1B .4−C .8−D .无法确定【答案】C【分析】由已知得21b a =−,代入代数式即得22241a b a +−−变形为()22141a a a +−−−,再配方,即可求解.【详解】解:∵21a b +=,∴21b a =−,代入代数式即得22241a b a +−−,得()22141a a a +−−−,261a a =−+, ()238a =−−,∵()230a −≥,∴()2388a −−≥−, ∴22241ab a +−−的最小值等于8−,故选:C【点睛】本题考查配方法的应用,通过变形将代数式化成()238a −−是解题的关键. 4.(2023·江苏苏州·一模)已知关于x 的一元二次方程()20m x h k −−=(m ,h ,k 均为常数且0m ≠)的解是12x =,25x =,则关于x 的一元二次方程()21m x h k −+=的解是( )A .12x =−,25x =−B .14x =−,21x =−C .11x =,24x =D .13x =−,26x =− 【答案】C【分析】把()21m x h k −+=看作关于(1)x +的一元二次方程,则12x +=或15x +=,然后解两个一次方程即可.【详解】解:方程2()0(m x h k m −−=、h ,k 均为常数且0)m ≠的解是12x =,25x =, ∴对于关于(1)x +的一元二次方程()21m x h k −+=的解,即12x +=或15x +=,即11x =,24x =,∴关于x 的一元二次方程2(3)m x h k −+=的解是11x =,24x =.故选:C .【点睛】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法:形如2x p =或2()(0)nx m p p +=≥的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.【答案】A【分析】勾股定理可得:()2222OP x x =++ ,再利用配方法求解2OP 的最小值,再求解OP 的最小值,从而可得答案.【详解】由勾股定理可得: ()()222222244212OP x x x x x =++=++=++当1x =−时, 2OP 有最小值2∴OP 的最小值为 1>所以A 不符合题意,B ,C ,D 都有可能,符合题意故选A【点睛】本题考查的是配方法的应用,利用平方根解方程,掌握“配方法的应用”是解本题的关键.【答案】D【分析】将方程常数项移到等号右边,两边加上一次项系数一半的平方,再利用完全平方公式变形即可得到结果【详解】解:方程整理得:285x x −=−,配方得:281611x x −+=,即2411x −=(). 故选:D .【点睛】此题考查了用配方法解一元二次方程,解题关键是熟练掌握完全平方公式.二、填空题7.(2022秋·江苏扬州·九年级统考期末)一元二次方程2430x x −+=配方为()22x k −=,则k 的值是______.【答案】1【分析】将原方程2430x x −+=变形成与()22x k −=相同的形式,即可求解.【详解】解:2430x x −+=243101x x −++=+2441x x −+=()221x −=∴1k =故答案为:1.【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法,掌握配方法的解题步骤是解本题的关键. 8.(2022秋·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中)用配方法解方程21070x x +−=,方程可变形为()2x m n +=,则m =_________,n =__________.【答案】 5 34【分析】利用配方法解答,即可求解.【详解】解:21070x x +−=,∴2107x x +=,∴2102534x x ++=,即()2534x +=,∴5m =,34n =.故答案为:5,34【点睛】本题主要考查了解一元二次方程——配方法,熟练掌握利用配方法解一元二次方程的方法是解题的关键. 9.(2022秋·江苏扬州·九年级统考期中)新定义,若关于x 的一元二次方程:2()0m x a b −+=与2()0n x a b −+=,称为“同类方程”.如22(1)30x −+=与26(1)30x −+=是“同类方程”.现有关于x 的一元二次方程:22(1)10x −+=与2(6)(8)60a x b x +−++=是“同类方程”.那么代数式22022ax bx ++能取的最大值是_________.【答案】2023【分析】根据“同类方程”的定义,可得出a ,b 的值,从而解得代数式的最大值.【详解】∵22(1)10x −+=与2(6)(8)60a x b x +−++=是“同类方程”,∴22(6)(8)6(6)(1)1a x b x a x +−++=+−+,∴22(6)(8)6(6)(6)72a x b x a x a x a +−++=++−++, ∴()82667b a a ⎧+=+⎨=+⎩,解得:12a b =−⎧⎨=⎩,∴22022ax bx ++222022x x =−++()212023x =−−+∴当1x =时,22022ax bx ++取得最大值为2023.故答案为:2023.【点睛】此题主要考查了配方法的应用,解二元一次方程组,理解“同类方程”的定义是解答本题的关键. 10.(2022秋·江苏苏州·九年级校考期中)已知实数x 、y 、z 满足224422018x x y y xy z −++−+=,则实数z 的最大值为 __.【答案】2022【分析】仔细观察等式左侧,先将多项式进行分组,再利用配方法化简其形式,最后根据平方的非负性确定z 的最大值.【详解】解:224422018x x y y xy z −++−+=,222442018x xy y x y z ∴−+−++=,2()4()2018x y x y z ∴−−−+=,2()4()442018x y x y z −−−+−+=,2(2)42018x y z −−+−=,2(2)0x y −−…,∴当2(2)0x y −−=时,4z −的值最大,42018z ∴−=,2022z ∴=,∴实数z 的最大值为2022,故答案为:2022.【点睛】本题考查了配方法与平方的非负性,能够识别多种情况下的配方条件,正确的配方是解题关键.三、解答题 11.(2023·江苏常州·统考一模)解方程:(1)2(1)40x +-=;(2)2260x x −−=.【答案】(1)121,3x x ==(2)1211x x ==【分析】(1)直接开方法解方程即可.(2)配方法即解方程即可.【详解】(1)2(1)40x +-= 2(1)4x +=12x +=±121,3x x ∴==(2)2260x x −−=22161x x −+=+()217x −=1x −=1211x x ∴==【点睛】此题考查一元二次方程的解法,有直接开方法,配方法,因式分解法,公式法等,解题关键是根据方程的特点挑选合适的解法.12.(2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末)解方程:210110x x +-=.【答案】11x =,211x =−【分析】利用配方法解方程即可.【详解】解:210110x x +-=21011x x +=,210251125x x ++=+,()2536x +=,56x +=±,11x =,211x =−【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程,熟悉相关性质是解题的关键. 13.(2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末)解方程:(1)()21250x −−=;(2)2410x x −−=.【答案】(1)16x =,24x =−(2)12x =12x =【分析】(1)利用直接开平方法解此方程,即可求解;(2)利用配方法解此方程,即可求解. 【详解】(1)解:由原方程得:()2125x −= 得15x −=±,解得16x =,24x =−,所以,原方程的解为16x =,24x =−;(2)解:由原方程得:241x x −=,得24414x x −+=+,()225x −=,得2x −=12x =12x =所以,原方程的解为12x =12x =【点睛】本题考查了一元二次方程的解法,熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键.,AOB 、COD 的面积分别为【答案】(1)①0x ≠;②一、三;③当0x <时,x x +的最大值为2−;(2)最小值为11;(3)25【分析】(1)①根据分母不为0即可求解;②根据当0x >时,0y >;当0x <时,0y <即可判断;③模仿求解过程,利用配方法即可求解;(2)将2316x x y x ++=的分子分别除以分母,展开,将含x 的项用题中所给公式求得最小值,再加上常数即可;(3)设BOC S x =△,已知4AOB S =△,9COD S =△,则由等高三角形可知:::BOC COD AOB AOD S S S S =△△△△,用含x 的式子表示出AOD S ,四边形ABCD 的面积用含x 的代数式表示出来,再按照题中所给公式求得最小值,加上常数即可.【详解】解:(1)①函数1y x x =+的自变量x 的取值范围为:0x ≠;②容易发现,当0x >时,0y >;当0x <时,0y <.由此可见,图像在第一、三象限;③当0x >时,112x x x x +≥=; 当0x <时,11()x x x x +=−−−12x x −−≥=1()2x x ∴−−−≤−∴当0x >时,1x x +的最小值为2;当0x <时,1x x +的最大值为2−.故答案为:①0x ≠;②一、三;③当0x <时,1x x +的最大值为2−;(2)由2316163x x y x x x ++==++, 0x >,∴163311y x x =++≥=, 当16x x =时,最小值为11.(3)设BOC S x =△,已知4AOB S =△,9COD S =△则由等高三角形可知:::BOC AOB AOD S S S S =△△△△ :94:AOD x S ∴=36:AOD S x ∴=∴四边形ABCD 面积36491325x x =+++≥+=当且仅当6x =时取等号,即四边形ABCD 面积的最小值为25.【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用,同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质,本题难度中等略大,属于中档题.一、单选题 1.(2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习)把方程2430x x +−=化为2x m n =+()的形式后,m 的值是( ) A .2B .﹣2C .﹣1D .1【答案】B 【分析】将常数项移到方程的右边,两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案.【详解】解:∵2430x x +−=,∴243x x −=-,则24434x x ++−=-,即221x −()=, ∴2m =﹣,n =1,故B 正确. 故选:B .【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握一元二次方程配方法,是解题的关键. 【分析】利用配方法将29x mx −+进行配方,即可得出答案.. 【详解】解:原式22924m m x ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭, 当x-2m =0,即x=2m 时,原式取得最小值9-24m =8,整理得:24m =, 解得:m=±2,则m 的值可能为2,故选:B .【点睛】本题考查了配方法的运用,掌握配方法是解题的关键.3.(2022秋·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习)若226A x xy +=﹣,2411B y x +=﹣﹣,则A 、B 的大小关系为( )A .A >BB .A <BC .A ≥BD .A =B 【答案】A【分析】利用做差法求出A B −=()()22131x y −+−+,然后利用偶数次幂的非负性即可得出()()2213110x y −+−+≥>,即可得出0A B −>,从而得出正确选项. 【详解】解:()2226411A B x x y y x −+−−+−=﹣ 2222264112611x x y y x x x y y =+−+−+=−+−+()()()()222221691131x x y y x y =−++−++=−+−+∵()210x −≥,()230y −≥,∴()()2213110x y −+−+≥>, ∴0A B −>,即A B >,故选:A .【点睛】本题考查了配方法的应用,考查了通过做差法判断式子的大小,熟练掌握配方法是本题的关键所在.二、填空题【答案】2k ≤【分析】根据配方法可进行求解.【详解】解:∵A =x2﹣x+(32k −)=x2﹣x 1144+−+(32k −)=(x 12−)214−+(32k −), 若x 取任何实数,A 的值都不是负数,∴14−+(32k −)≥0,解得:112k ≤; 故答案为:112k ≤. 【点睛】本题主要考查配方法的应用,熟练掌握配方法是解题的关键.5.(2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习)方程()219x +=的根是_____.【答案】1224x x ==−,【分析】两边开方,然后解关于x 的一元一次方程.【详解】解:由原方程,得13x +=±.解得122,4x x ==−.故答案是:122,4x x ==−.【点睛】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法.用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:2(0)x a a =≥;2(ax b a =,b 同号且0)a ≠;2()(0)x a b b +=≥;2()(a x b c a +=,c 同号且0)a ≠.法则:要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.6.(2022·江苏·九年级专题练习)已知代数式A =3x 2﹣x +1,B =4x 2+3x +7,则A ____B (填>,<或=).【答案】<【分析】先求A-B 的差,再将差用配方法变形为A ﹣B =﹣(x+2)2﹣2,然后利用非负数性质求解.【详解】解:A ﹣B =3x2﹣x+1﹣(4x2+3x+7)=﹣x2﹣4x ﹣6=﹣(x+2)2﹣2,∵﹣(x+2)2≤0,∴﹣(x+2)2﹣2<0,∴A ﹣B<0,∴A<B ,故答案为:<.【点睛】本题考查了配方法的综合应用,配方法的关键是:先将一元二次方程的二次项系数化为1,然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方.7.(2022秋·江苏·九年级阶段练习)若实数x ,y 满足条件2x 2﹣6x +y 2=0,则x 2+y 2+2x 的最大值是____.【答案】15【分析】先将2x2﹣6x+y2=0,变形为y2=﹣2x2+6x ,代入所求代数式并化简为x2+y2+2x =﹣(x ﹣4)2+16,利用非负数性质可得x2+y2+2x≤16,再因为y2=﹣2x2+6x≥0,求得0≤x≤3,即可求解.【详解】解:∵2x2﹣6x+y2=0,∴y2=﹣2x2+6x ,∴x2+y2+2x =x2﹣2x2+6x+2x =﹣x2+8x =﹣(x2﹣8x+16)+16=﹣(x ﹣4)2+16,∵(x ﹣4)2≥0,∴x2+y2+2x≤16,∵y2=﹣2x2+6x≥0,解得0≤x≤3,当x =3时,x2+y2+2x 取得最大值为15,故答案为:15.【点睛】本题考查了配方法,熟练掌握配方法以及完全平方式的非负性是解决本题的关键. 8.(2022秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习)如果一元二次方程的两根相差1,那么该方程成为“差1方程”.例如20x x +=是“差1方程”.若关于x 的方程210ax bx ++=(a ,b 是常数,0a >)是“差1方程”设210t a b =−,t 的最大值为__________.【答案】9【分析】根据新定义得方程的大根与小根的差为1,列出a 与b 的关系式,再由210t a b =−,得t 与a 的关系,从而得出最后结果.【详解】解:由题可得:224140b a b a ∆=−⨯=−≥∴解方程得x =,关于x 的方程210(ax bx a ++=、b 是常数,0)a >是“差1方程”,∴1=,224b a a ∴=+,210t a b =−,226(3)9t a a a ∴=−=−−+,()30a −≥,3a ∴=时,t 的最大值为9.故答案为:9【点睛】本题考查了一元二次方程,解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义.9.(2022秋·江苏南京·九年级统考阶段练习)已知实数a 、b ,满足1b a −=,则代数式2267a b a +−+的最小值等于______.【答案】5【分析】由题意得1b a =+,代入代数式2267a b a +−+可得2(2)5a −+,故此题的最小值是5. 【详解】1b a −=,1b a ∴=+,2267a b a ∴+−+22(1)67a a a =++−+22267a a a =++−+2445a a =−++2(2)5a =−+,∴代数式2267a b a +−+的最小值等于5,故答案为:5.【点睛】此题考查了代数式的变形及配方法的应用,关键是掌握完全平方公式并正确变形、计算.三、解答题(2)求代数式226410a b a b −−−+−的最大值.【答案】(1)﹣3(2)当a =﹣3,b =2时,代数式226410a b a b −−−+−的最大值是3【分析】(1)通过配方可求出完全平方形式,根据平方式的非负性可得结果;(2)把226410a b a b −−−+−配方成完全平方的形式可得结果.(1)解:2x ﹣4x+1=2(44)3x x −+−=2(2)3x −−, ∵2(2)0x −≥,∴2241(2)33x x x −+=−−≥−,∴当x =2时,这个代数式2x ﹣4x+1的最小值为﹣3.故答案为:﹣3;(2)226410a b a b −−−+− =﹣2a ﹣6a ﹣9﹣2b +4b ﹣4+3=﹣2(3)a +﹣2(2)b −+3, ∵2(3)a +≥0,2(2)b −≥0, ∴﹣2(3)a +0≤,﹣2(2)b −0≤, ∴226410a b a b −−−+−=﹣2(3)a +﹣2(2)b −+33≤, ∴当a =﹣3,b =2时,代数式226410a b a b −−−+−的最大值是3.【点睛】本题考查了配方法的应用,用到的知识点是完全平方公式,非负数的性质,解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行解答. 11.(2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习)王老师提出问题:求代数式245x x ++的最小值.要求同学们运用所学知识进行解答.同学们经过探索、交流和讨论,最后总结出如下解答方法;2(2)x +≥【答案】(1)3(2)7(3)有最大值,最大值为8(4)2【分析】(1)根据偶次方的非负性可求得;(2)根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得;(3)根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得;(4)根据27110x x y −+−=,用x 表示出y ,写出x y +,先根据题意用配方法和偶次方的非负性可求.【详解】(1)解:2(1)3x −+的最小值为3.故答案为:3;(2)21032x x ++222105532x x =++−+2(5)7x =++,2(5)0x +≥,2(5)77x ∴++≥,∴当2(5)0x +=时,2(5)7x ++的值最小,最小值为7,21032x x ∴++的最小值为7;(3)22211125(69)8(3)8333x x x x x −++=−−++=−−+,21(3)03x −−≤,21(3)883x ∴−−+≤,∴代数式21253x x −++有最大值,最大值为8;(4)27110x x y −+−=,2711y x x ∴=−+,22222271161163311(3)2x y x x x x x x x x ∴+=−++=−+=−+−+=−+,2(3)0x −≥,2(3)22x ∴−+≥,当2(3)0x −=时,2(3)2x −+的值最小,最小值为2,x y ∴+的最小值为2.【点睛】本题考查了配方法的应用和偶次方为非负数,解题的关键是能够将代数式配成完全平方式的形式.【问题解决】利用配方法解决下列问题:(1)当x =___________时,代数式221x x −−有最小值,最小值为 ___________.(2)当x 取何值时,代数式22812x x ++有最小值?最小值是多少?【拓展提高】(3)当x ,y 何值时,代数式2254625x xy y x −+++取得最小值,最小值为多少?(4)如图所示的第一个长方形边长分别是25a +、32a +,面积为1S ;如图所示的第二个长方形边长分别是5a 、5a +,面积为2S ,试比较1S 与2S 的大小,并说明理由.【答案】(1)1,2− ;(2)2x =−时,4;(3)3x =−,y =−6,16;(4)12S S >,见解析.【分析】(1)仿照文中所给的配方法的思路解答即可;(2)先提取公因数2,再利用文中所给的配方法的思路解答即可;(3)将2254625x xy y x −+++配方成()()222316x y x −+++,即可解答; (4)求出()22212610=691=31S S a a a a a −=−+−++−+,利用()230a −≥,得到1210>S S −≥,即12S S >. 【详解】(1)解: ()22221=2111=12x x x x x −−−+−−−− 因为()210x −≥,所以2221x x −−≥−,因此,当=1x 时,代数式221x x −−有最小值,最小值是2−.故答案为:1;2−(2)解:()()()22222812=246=24442=22x x x x x x x +++++++++, 因为()220x +≥,所以212428x x ++≥,因此,当=2x −时,代数式22812x x ++有最小值,最小值是4.(3)解:()()222222254625=446916=2316x xy y x x xy y x x y x x −+++−++++−++++因为()220x y −≥,()230x +≥,所以225462516x xy y x −+++≥,因此,当2=x y ,3x =−时,即3x =−,y =−6时,代数式2254625x xy y x −+++有最小值,最小值是16.(4)解:()()21253261910S a a a a =++=++,()2255525S a a a a =+=+, ∴()22212610=691=31S S a a a a a −=−+−++−+, ∵()230a −≥,∴1210>S S −≥,即12S S >.【点睛】本题考查配方法,解题的关键是理解题意,掌握配方法的原则.【答案】(1)见解析(2)()6y x −=(3)当3x =−,y =−6时,2254625x xy y x −+++取得最小值,最小值为16【分析】(1)根据配方的定义,分别选取二次项、一次项、常数项中的两项,进行配方即可得出三种形式;(2)首先根据配方法把2246130x y x y ++−+=变形为()()22230x y ++−=,再根据偶次方的非负性,得出20x +=,30y −=,解出x 、y 的值,然后将x 、y 的值代入代数式()y x −,计算即可得出结果;(3)首先根据配方法把代数式2254625x xy y x −+++变形为()()222316x y x −+++,再根据偶次方的非负性,得出()()22231616x y x −+++≥,进而得出当20x y −=,30x +=时,2254625x xy y x −+++取得最小值,再进行计算即可得出结果.【详解】(1)解:第一种形式:选取二次项和一次项配方,249x x −+24449x x =−+−+()225x =−+;第二种形式:选取二次项和常数项配方,249x x −+26964x x x x =++−−()2310x x=+−;或249x x −+ 26964x x x x =−++−()232x x =−+;第三种形式:选取一次项和常数项配方,249x x −+222444999x x x x =−+−+2225339x x ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭;(2)解:2246130x y x y ++−+=,配方,得:22446949130x x y y +++−+−−+=, 即()()22230x y ++−=, ∵()220x +≥,()230y −≥,∴20x +=,30y −=,解得:2x =−,3y =,∴()()()326y x −=−⨯−=;(3)解:2254625x xy y x −+++222446916x xy y x x =−+++++()()222316x y x =−+++,∵()()22230x y x −++≥,∴()()22231616x y x −+++≥, 当20x y −=,30x +=时,2254625x xy y x −+++取得最小值,即当3x =−,y =−6时,2254625x xy y x −+++取得最小值,最小值为16. 【点睛】本题考查了配方法的应用,根据配方法的步骤和完全平方公式进行配方是解本题的关键.。
基本介绍编辑本段不定方程是数论的一个分支,它有着悠久的历史与丰富的内容。
所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组,其未知数的个数通常多于方程的个数。
古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程,所以不定方程又称丢番图方程,是数论的重要分支学科,也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富,与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
1969年,莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。
2发展历史编辑本段不定方程是数论中最古老的分支之一。
古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程,因此常称不定方程为丢番图方程。
Diophantus,古代希腊人,被誉为代数学的鼻祖,流传下来关于他的生平事迹并不多。
今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」,内容主要是探讨其整数解或有理数解。
他有三本著作,其中最有名的是《算术》,当中包含了189个问题及其答案,而许多都是不定方程组(变量的个数大于方程的个数)或不定方程式(两个变数以上)。
丢番图只考虑正有理数解,而不定方程通常有无穷多解的。
研究不定方程要解决三个问题:①判断何时有解。
②有解时决定解的个数。
③求出所有的解。
中国是研究不定方程最早的国家,公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题,公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。
秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。
百鸡问题说:“鸡翁一,直钱五,鸡母一,直钱三,鸡雏三,直钱一。
百钱买百鸡,问鸡翁、母、雏各几何”。
设x,y,z分别表鸡翁、母、雏的个数,则此问题即为不定方程组的非负整数解x,y,z,这是一个三元不定方程组问题。
3常见类型编辑本段⑴求不定方程的解;⑵判定不定方程是否有解;⑶判定不定方程的解的个数(有限个还是无限个)。
4方程相关编辑本段二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。
其中 a,b,c 是整数,ab ≠ 0。
几种常见的不定方程的求解摘要:本文重点介绍二元一次不定方程、勾股数以及一些特殊的非一次型不定方程的常见解法。
关键词:二元一次不定方程;辗转相除法;整数分离法;勾股数;特殊的非一次型不定方程不定方程,即未知数个数多于方程个数且其解受一定限制(如解为整数,正整数等)的方程或方程组。
不定方程又叫丢番图方程,它是数论中的一个古老分支,其内容极其丰富。
我国对不定方程的研究已延续了数千年。
“百钱买百鸡”、“物不知其数”等堪称中外驰名,一直流传至今。
学习不定方程,不仅可以拓宽数学知识面,而且可以培养思维能力,提高数学解题的技能。
中国古代数学家张丘建曾解答了下面的问题:“鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一,百钱买百鸡,问鸡翁母雏各几何?”设x,y,z分别代表鸡翁、鸡母、鸡雏的数目,就得x+y+z=1005x+3y+■z=100:消去z,得7x+4y=100。
我们要解决这个问题,就要求出上述方程的非负整数解,这个方程仅仅是二元一次不定方程的一个具体例子。
本文主要介绍一些基本类型的不定方程有整数解的条件及其解法。
1.二元一次不定方程及其求解。
最简单的不定方程就是二元一次不定方程,下面我们考虑它有整数解的条件。
定理[1]二元一次不定方程ax+by=c…①有整数解的充分必要条件是d|c,d=(a,b),(其中a,b,c是整数,且a,b都不是0)。
证必要性,如果方程①有整数解x=x0,y=y0则ax0+by0=c。
有d|ad|b,所以d|(ax0+by0)即d|c。
充分性,因为d|c所以c=dq由于存在两个整数x0,y0使ax0+by0=d。
在上式两边同时乘以q,得ax0q+by0q=dq。
即ax0q+by0q=c 因此方程①有整数解x=x0q,y=y0q。
对于二元一次不定方程,我们介绍求x0,y0的三种常用方法:(1)观察法。
例1 求不定方程3x+4y=23的非负整数解。
解:通过观察x=1,y=5是一个特解。
一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2,最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠,a 为二次项系数,b 为一次项系数,c 为常数项.(1)要判断一个方程是否是一元二次方程,必须符合以下四个标准:一元二次方程是整式方程,即方程的两边都是关于未知数的整式.一元二次方程是一元方程,即方程中只含有一个未知数.一元二次方程是二次方程,也就是方程中未知数的最高次数是2.一元二次方程最高次数的项系数不为0.(2)任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠. 要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠.当0a ≠时,方程是一元二次方程;当00a b =≠且时,方程是一元一次方程. (3)关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数.ax 2 为二次项,其系数为a ;bx 为一次项,其系数为b ;c 为常数项.一元二次方程的解法(1)直接开平方法:适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠, 的一元二次方程. (2)配方法:解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程,运用配方法解一元二次方程的一般步骤是:① 二次项系数化为1.② 常数项右移.③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方).④ 化成 (x +m )2 = n 的形式.⑤ 若0n ≥,直接开平方得出方程的解。
(3)公式法:设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠,其根的判别式为:2124b ac x x ∆=-,, 是方程的两根,则:1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-; 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根.运用公式法解一元二次方程的一般步骤是:① 把方程化为一般形式.② 确定 a 、b 、c 的值.③ 计算24b ac -的值.④ 若 240b ac -≥,则代入公式求方程的根.⑤ 若240b ac -<,则方程无实数根.(4)因式分解法:适用于方程一边是零,另一边是一个易于分解的多项式.因式分解法的一般步骤:① 将方程化为一元二次方程的一般形式;② 把方程的左边分解为两个一次因式的积;③ 令每一个因式分别为零,得到两个一元一次方程;④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解. 一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法,公式法,配方法,因式分解法.在具体解题时,应当根据题目的特点选择适当的解法.(1)直接开平方法:用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程,能利用平方根的意义得到方程的解.(2)配方法:配方法是解一元二次方程的基本方法,而公式是由配方法演绎得到的.把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数,0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ,这种转化方法就是配方,之后再用直接开平方法就可得到方程的解.(3)公式法:适用于任何形式的一元二次方程,但必须先将方程化为一般形式,并计算 24b ac -的值.(4)因式分解法:适用于右边为 0(或可化为 0),而左边易分解为两个一次因式积的方程,缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便,它是一种最常用的方法.【例 1】(1) 若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程,求 a 、b 的值.(2) 若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根,则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2(3) 已知 43x =,则2421x x x ++的值是 .(4) 当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时,(.n x = ( n 为自然数)【例 2】(1) 用直接开平方法解方程:2269(5) 2x x x -+=-. (2) 用配方法解方程:22310x x ++=.(3) 用分解因式法解方程:2()2136x x -=-. (4) 用公式法解方程:161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】(1) 解关于 x 的方程: 21 213()()0m x m x m -+-+-=. (2) 解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=. 【例 4】(1)如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和 有公共根,则该公共根为 .(2)若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根,求a 的值例 5】(1) 解方程:22132(10)|2|x x ---+=.(2) 解方程:221|4|x x +-=.练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解,转化的方法有因式分解法(因式定理)、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根(或遗根).3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形(如方程两边平方), 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】(1) 解方程:43225122560x x x x --++=.(2)解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=.(3)解方程 321010x x ++++=【例 7】(1)解方程:(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ;(2)解方程: x x x x x x +-=------2221120102910451069. (3)解方程:222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+.【例 8】(1)解方程:()()222323322x x x x x =+-++--. (2)解方程:22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭. (3)方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是 .【例 9】(12=.(2)解方程 266 0x x --+=.【例 10】(1)已知 2x =,求.(2)无理方程 221518x x -=-的解是 。
二元一次不定方程的求解
有这么一道数论题:一个数的20倍减去1能被153整除,这样的自然数最小的是_______.
[分析]解答数论题的关键是把文字表达式转化为数字表达式,
x-,又假设我们可以设这样的数字为x,根据题意则有153(201) x a
-=(a为整数),即201531
201153
=+,显然在这个方程中,
x a
未知数的个数多于方程的个数,这样的方程我们成为二元一次不定方程,那这个题具体我们应该怎么去解答呢?通过观察,不难发现,20x的末尾数字一定是0,所以a最小为3,此时23
x=,从而符合条件的最小的自然数为23.
在这个题目讲解完后,我们可以拓展一道训练题:
一个数的20倍加7能被59整除,这样的自然数最小的是多少?
【归纳并拓展】同学们,大家可以看到,上面题目中涉及到的知识点一是数论中整除的知识,另一个更重要的知识点是二元一次不定方程的求解。
下面我们一起来学习二元一次方程的求解方法。
一般说来,二元一次不定方程有如下几种分析方法:
①倍数分析法;
②尾数分析法;
③奇偶分析法;
④从大数入手;
首先我们看第①种分析方法:倍数分析法
Eg1: 求二元一次不定方程3215a b +=的正整数解。
【分析】我们先观察下,在所给的方程中3a 和15都是3的倍数,所以2b 必是3的倍数,故b 最小为3.
当b=3时,a=3;
当6b =时,a=1.
符合条件的解就只有:3,3;1, 6.a b a b ====
接着我们再来学习第②种分析方法:尾数分析法
还是以一道例题来说明:
Eg2:求二元一次不定方程3523a b +=的正整数解。
【分析】我们先来审题,5b 的尾数只有两种情况:0和5.
I.)当5b 的尾数为0时,3a 的尾数一定得为3,所以a 可以为1,11….. 但是又要满足b 是正整数的条件,所以a=1,此时b=4;
II) 当5b 的尾数为5时,3a 的尾数一定得为8,所以a 可以为6,16…. 要满足整数解的条件,a 只能为6,此时b=1.
尾数分析法关键是从方程的各项的尾数入手。
下面是第③种分析方法:奇偶分析法
我们还是一道例题为例:
Eg3:求二元一次不定方程2311m n +=的正整数解。
【分析】通过观察方程,不难发现:方程的左边是23m n +,右边
是11(奇数),根据奇偶性分析(偶数+奇数=奇数),我们就能确定n 为奇数,于是n 可以为1,3,5,7…….
当1
m m n =时,=4;n=3时,=1.只有这两组才是符合原方程的解。
奇偶分析法关键是奇偶性分析(奇数+奇数=偶数,奇数+偶数=奇数,偶数+偶数=偶数),可要记牢了哦。
最后一种分析方法是:从大数入手。
这里仍然一道例题为例:
Eg4:求二元一次不定方程3523x y +=的整数解。
【分析】我们通过观察发现,35x y 与和为23,其中523y 与比较接近,我们开始尝试,进而求出此不定方程的解。
y 最大为4,此时1x =,接着往下试,
y 为3,2时,x 的值不符合题目条件,
y 为1时, 6.x =
所以符合条件的只有两组解:1,4;6, 1.x y x y ==== 以上我们一起学习了二元一次不定方程的四种分析方法,很多时候一道二元一次不定方程不止一种解法来解,可以用多种方法来解决,这里由于篇幅原因,就不一一累述。
【课后巩固】:1.求二元一次不定方程3x+11y=45的正整数解.
2.小张带了5角钱去买橡皮和铅笔,橡皮每块3分,铅笔每支1角1分,问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔?。