二 元 一 次 不 定 方 程 的 求 解

探究二元一次不定方程（Inquires into the dual indefinite equation）冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。

我们讨论二元一次方程的整数解。

The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。

一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式；②具有两个未知数；③未知项的次数是1。

如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。

定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。

[1]二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。

通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。

专题：一元二次方程的5种解法方法1 形如x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解1.用直接开平方法解下列方程:(1)9x2=25; (2)x2-√=0; (3)(2t-1)2=9;(4)(x-3)2-9=0. (5)2(x－1)2－18＝0.用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤：(1)看：看是否符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式；(2)化：对于不符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式；(3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解 2.用配方法解下列方程：(1)x 2-10x+9=0; (2)x 2+2x=2; (3)2x 2-4x+1=0.3. 用配方法解下列方程：(1)3x 2＋6x －5＝0; (2)12x 2－6x －7＝0； (3)2x 2＋7x －4＝0.用配方法解一元二次方程的“五步法”(1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项. (2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.(3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x ＋n)2＝p 的形式.(4)开方：若p ≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p ＜0，则原方程无解.(5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解.方法3 易化成一般形式（二次项系数不为1）时，用公式法求解4.用公式法解方程:(1)x2+3x+1=0; (2)2x2-5x-7=0;(3)(x+1)(x-1)+2(x+3)=8; (4)y2-2√2y+2=0；(5)(x＋1)(2x－6)＝1； (6)x2＋5x＋18＝3(x＋4)．用公式法解一元二次方程的四个步骤(1)化：若方程不是一般形式，先把一元二次方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0).(2)定：确定a，b，c的值.(3)算：计算b2－4ac的值.(4)求：若b2－4ac≥0，则利用求根公式求出方程的根；若b2－4ac ＜0，则原方程没有实数根.方法4 能化成形如（x+a）（x+b）=0时，用因式分解法求解5．用因式分解法解下列方程：(1)x2－9＝0； (2)x2＋2x＝0；(3)x2－53x＝0； (4)5x2＋20x＋20＝0；(5)(2＋x)2－9＝0； (6)3x(x－2)＝2(x－2)．(7)(3x＋2)2－4x2＝0； (8)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；用因式分解法解一元二次方程的“四步法”（“右化零，左分解，两因式，各求解”）6.有三个方程:①(2x-1)2=5;②x2-x-1=0;③x(x-√3)=√3-x.解这三个方程时适合的解法依次是( )A.因式分解法、公式法、因式分解法B.直接开平方法、配方法、公式法C.直接开平方法、公式法、因式分解法D.公式法、配方法、公式法7.用适当的方法解下列方程:(1)(x-1)2=3; (2)x2+2x-2=0;(3)(x-5)2=2(x-5)-1; (4)x(3x-2)=3x-2.方法5 用换元法解方程8.【阅读材料】解方程：x4－3x2＋2＝0.解：设x2＝m，则原方程变为m2－3m＋2＝0，解得m1＝1，m2＝2.当m＝1时，x2＝1，解得x＝±1.当m＝2时，x2＝2，解得x＝± 2.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－ 2.以上方法就叫做换元法，通过换元达到了降次的目的，体现了转化的思想．【问题解决】利用上述方法解方程(x2－2x)2－5x2＋10x＋6＝0.参考答案：1.解:(1)方程两边同时除以9得,x 2=259,根据平方根的意义得,x=±53.(2)移项得,x 2=√256=16, 根据平方根的意义得,x=±4. (3)根据平方根的意义得,2t-1=±3, 移项得,2t=4或2t=-2, 系数化为1得,t=2或t=-1. (4)移项得,(x-3)2=9,根据平方根的意义得,x-3=±3, 移项得,x=0或x=6. (5)∵2(x －1)2－18＝0，∴(x －1)2＝9，∴x －1＝±3，∴x 1＝4，x 2＝－2. 2.解:(1)移项,得x 2-10x=-9.配方,得x 2-10x+25=-9+25,(x-5)2=16.开方,得x-5=4,或x-5=-4.∴x 1=9,x 2=1.(2)配方,得x 2+2x+1=2+1,(x+1)2=3.∴x+1=±√3.∴x 1=√3-1,x 2=-√3-1.(3)将方程两边同时除以2,得x 2-2x+12=0,即x 2-2x=-12.配方,得x 2-2x+12=-12+12, (x-1)2=12.∴x=1±√22.即x 1=1+√22,x 2=1-√22.3.(1)原方程变形为3x 2＋6x ＝5，∴x 2＋2x ＝53，∴x 2＋2x ＋1＝83，∴(x ＋1)2＝83，∴x ＋1＝±263，∴x 1＝－1＋263，x 2＝－1－263. (2)原方程变形为12x 2－6x ＝7，∴x 2－12x ＝14，∴x 2－12x ＋36＝50，∴(x －6)2＝50，∴x －6＝±52， ∴x 1＝6＋52，x 2＝6－5 2.（3）(x ＋74)2＝8116，∴x 1＝12，x 2＝－4.4.解:(1)∵a=1,b=3,c=1,∴Δ=b 2-4ac=9-4×1×1=5>0,∴x=-3±√52.∴x 1=-3+√52,x 2=-3-√52.(2)∵a=2,b=-5,c=-7,∴b 2-4ac=81,∴x=5±√814,∴x 1=-1,x 2=72. (3)原方程可化为x 2+2x-3=0. ∵a=1,b=2,c=-3,∴b 2-4ac=16.∴x=-2±√162,∴x 1=1,x 2=-3.(4)∵这里a=1,b=-2√2,c=2,∴b 2-4ac=(-2√2)2-4×1×2=0,∴y=2√2±02,∴y 1=y 2=√.(5)整理得2x 2－4x －7＝0，∵a ＝2，b ＝－4，c ＝－7， ∴Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4×2×(－7)＝72，∴x ＝4±722×2＝2±322，∴x 1＝2＋322，x 2＝2－322.(6)整理得x 2＋2x ＋6＝0，∵a ＝1，b ＝2，c ＝6，∴Δ＝b 2－4ac ＝22－4×1×6＝－20＜0，∴原方程无实数根． 5.（1）解：(x ＋3)(x －3)＝0，∴x 1＝－3，x 2＝3. （2）解：x(x ＋2)＝0， ∴x 1＝0，x 2＝－2. （3）解：x(x －53)＝0， ∴x 1＝0，x 2＝5 3. （4）解：(x ＋2)2＝0， ∴x 1＝x 2＝－2.（5）解：(x ＋5)(x －1)＝0， ∴x 1＝－5，x 2＝1.（6）解：原方程变形为3x(x －2)－2(x －2)＝0， 即(3x －2)(x －2)＝0， ∴x 1＝23，x 2＝2.（7）解：(3x ＋2＋2x)(3x ＋2－2x)＝0， 解得x 1＝－25，x 2＝－2.（8）解：原方程可化为[2(x －3)]2－[5(x －2)]2＝0， 即(2x －6)2－(5x －10)2＝0.∴(2x －6＋5x －10)(2x －6－5x ＋10)＝0， 即(7x －16)(－3x ＋4)＝0. ∴x 1＝167，x 2＝43.6.C7.解:(1)∵x-1=±√3,∴x 1=√3+1,x 2=-√3+1.(2)∵x2+2x+1=3,∴(x+1)2=3,∴x1=√3-1,x2=-√3-1.(3)∵(x-5)2-2(x-5)+1=0,∴[(x-5)-1]2=0,∴x1=x2=6.(4)∵x(3x-2)-(3x-2)=0,∴(3x-2)(x-1)=0,.∴x-1=0或3x-2=0,∴x1=1,x2=238.解：(x2－2x)2－5x2＋10x＋6＝0，整理，得(x2－2x)2－5(x2－2x)＋6＝0.设x2－2x＝m，则原方程变为m2－5m＋6＝0，解得m1＝3，m2＝2.当m＝3时，x2－2x＝3，解得x＝3或x＝－1；当m＝2时，x2－2x＝2，解得x＝1± 3.所以原方程的解为x1＝3，x2＝－1，x3＝1＋3，x4＝1－ 3.。

二元一次不定方程的解法.doc一、二元一次不定方程的概念二元一次不定方程指的是形如ax + by = c 的方程，其中a、b、c为已知数，x、y为未知数。

如果a、b不同时为零，那么该方程就是一个二元一次不定方程。

二元一次不定方程具有如下特点：1.方程有两个未知数，需要求出两个未知数的值才能确定方程的解。

2.方程的一次项系数a,b不能同时为0。

3.方程的解可能有无数个，也可能没有解。

二、二元一次不定方程的求解方法1.消元法消元法是一种常见的求解二元一次不定方程的方法。

这种方法的基本思想是通过消去一个未知数，将方程转化为一个一元一次方程，从而求解出这个未知数的值，最后再代入原方程中求出另一个未知数的值。

举例说明：a）求解2x + 3y = 7的解。

解答：将x消去，得到y = (7 - 2x)/3。

因为x和y都是整数，所以7 - 2x要是3的倍数，才有整数解。

整理得x = (7 - 3y)/2，要是7 - 3y是2的倍数才有整数解。

所以当y取-1、0、1、2、3、4、 5、 6时，可以求得相应的整数解。

b）求解3x + 4y = 5的解。

解答：同样地，将x消去，得到y = (5 - 3x)/4。

因为x和y都是整数，所以5 - 3x要是4的倍数，才有整数解。

但是由于5- 3x的最大值只有4，所以该方程无整数解。

2.代入法代入法是一种常见的求解二元一次不定方程的方法。

这种方法的基本思想是将其中一个未知数用另一个未知数表示出来，将其代入原方程中，从而得到只包含一个未知数的一元一次方程，再求解出这个未知数的值，最后再代回原方程中求出另一个未知数的值。

举例说明：求解x + y = 5, 2x - 3y = 10的解。

解答：可以将x + y = 5中的x用2x - 3y = 10 代替，得到(2x -3y) + y = 5，即2x - 2y = 5。

将该方程除以2，得到x - y = 2。

把该式代入x + y = 5中，可得到2y = 3，即y = 3/2。

不定方程组的通解一、引言在数学中，方程是研究数量关系的基本工具之一。

方程可以分为线性方程和非线性方程两大类。

而不定方程组则是非线性方程组的一个重要分支。

不定方程组是指含有未知数的多个方程的集合，其解满足所有这些方程。

本文将介绍不定方程组的通解及其求解方法。

首先会对不定方程组进行定义和分类，并介绍一些常见的不定方程组问题。

然后会详细介绍如何求解一般形式的不定方程组，并给出具体示例。

最后会总结本文所介绍的内容，并展望不定方程组在数学中的应用。

二、定义和分类2.1 定义不定方程组是指含有未知数的多个方程的集合，其解满足所有这些方程。

2.2 分类根据未知数和系数之间的关系，不定方程组可以分为以下几类：2.2.1 线性不定方程组线性不定方程组是指所有未知数都只有一次幂，并且系数都是常数的情况。

例如：3x + 4y = 75x - 2y = 12.2.2 二次不定方程组二次不定方程组是指至少有一个未知数的平方项，并且系数可以是常数或者其他未知数的情况。

例如：x^2 + y^2 = 25x^2 - y = 72.2.3 指数不定方程组指数不定方程组是指至少有一个未知数的指数项，并且系数可以是常数或者其他未知数的情况。

例如：3^x + 4^y = 135^x - 2^y = 9三、求解方法3.1 线性不定方程组的通解求解方法线性不定方程组的通解求解方法主要有以下几种：3.1.1 列主元素消去法列主元素消去法是线性代数中常用的一种求解线性方程组的方法。

通过选取系数矩阵中每一列中绝对值最大的元素作为主元，然后进行消去操作，最终得到行简化阶梯形矩阵。

根据行简化阶梯形矩阵可以直接得到线性方程组的通解。

3.1.2 克拉默法则克拉默法则是一种利用行列式求解线性方程组的方法。

通过构造增广矩阵，并计算系数矩阵和常数向量的行列式，可以得到线性方程组的解。

3.1.3 矩阵求逆法矩阵求逆法是一种利用矩阵的逆求解线性方程组的方法。

通过将系数矩阵和常数向量构造成增广矩阵，然后求出系数矩阵的逆矩阵，最后将逆矩阵与常数向量相乘，可以得到线性方程组的解。

第26讲二元一次不定方程——练习题一、第26讲二元=次不定方程（练习题部分）1.判断下列二元一次方程有无整数解，并说明理由．（1）2x+6y=5；（2）4x+6y=8；（3）3x+5=6y+11；（4）．2.求下列二元一次方程的解．（1）2x+6y=7；（2）-3x-3=4y+6．3.求下列二元一次方程的整数解．（1）5x+10y=20；（2）3x-4y=7；（3）4x+7y=8；（4）13x+30y=4．4.求下列方程的正整数解．（1）11x+15y=20：（2）2x+5y=21；（3）5x-2y=3：（4）5x+8y=32．5.试将100分成两个正整数之和，其中一个为11的倍数，另一个为17的倍数．6.小明在甲公司打工．几个月后同时又在乙公司打工．甲公司每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元．年终小明从这两家公司共获得薪金7620元．问他在甲、乙两公司分别打工几个月?答案解析部分一、第26讲二元=次不定方程（练习题部分）1.【答案】（1）解：∵2和6的最大公约数为2，25，∴原方程无整数解.（2）解：∵2和6的最大公约数为2，而2|8，∴原方程有整数解.（3）解：∵3x+5=6y+11；∴3x-6y=6；∵3和6的最大公约数为3，而3|6，∴原方程有整数解.（4）解：变形为：3x+2y=11，∵3和2的最大公约数为1，而1|11，∴原方程有整数解.【解析】【分析】对于整系数方程ax+by=c，a与b的最大公约数为d，由定理1可知：若d|c，则原方程有整数解；若d c,则原方程没有整数解．2.【答案】（1）解：∵2x+6y=7，∴x=，∴原方程的解为：，（k为任意数）.（2）解：∵-3x-3=4y+6得3x+4y=-9，∴x=-=-3-，∴原方程的解为：，（k为任意数）.【解析】【分析】将其中的一个未知数看作常数，解出另一个未知数，看作常数的未知数取为任意数，从而可得原方程的解.3.【答案】（1）解：由5x+10y=20得x+2y=4，∴x=4-2y，∴x=0，y=2是原方程的一组解，∴原方程的整数解为：，（k为任意整数）.（2）解：∵3x-4y=7，∴x==2+y+，∵x为整数，∴3|1+y，∴y=2，x=5，∴x=5，y=2是原方程的一组解，∴原方程的整数解为：，（k为任意整数）.（3）解：∵4x+7y=8，∴x==2-，∵x为整数，∴4|7y，∴y=4，x=-5，∴x=-5，y=4是原方程的一组解，∴原方程的整数解为：，（k为任意整数）.（4）解：∵13x+30y=4，∴x==1-2y-，∵x为整数，∴13|9+4y，∴y=1，x=-2，∴x=-2，y=1是原方程的一组解，∴原方程的整数解为：，（k为任意整数）.【解析】【分析】由定理1整系数方程ax+by=c有整数解的充分且必要条件是a与b的最大公约数d 能整除c，我们知道，若ax+by=c有解，则a与b的最大公约数d|c．这时，我们可以在原方程的两边同时约去d，得x+y=．令=a1，=b1，=c1得到一个同解的二元一次方程a1x+b1y=c1．这时a1与b1的最大公约数为1．因此，只要讨论d=1的情况即可．我们有如下的定理：定理2若a与b的最大公约数为1(即a与b互质)，x0、y0为二元一次整系数不定方程ax+by=c的一组整数解(也称为特解)，则ax+by=c的所有整数解(也称通解)为(k为任意整数)．因此，当d=1时，ax+by=c有解，并且解这个二元一次方程的关键在于找它的一组特解x0、y0.4.【答案】（1）解：∵11x+15y=20，∴x==2-y-，∵x是整数，∴11|2+4y，∴y=5，x=-5，∴x=-5，y=5是原方程的一组解，∴原方程的整数解为：，（k为任意整数），又∵x＞0，y＞0，∴，解得：＜k＜，∴不存在整数k，∴原方程无正整数解.（2）解：∵2x+5y=21，∴x==10-3y+，∵x是整数，∴2|1+y，∴y=1，x=8，∴x=8，y=1是原方程的一组解，∴原方程的整数解为：，（k为任意整数），又∵x＞0，y＞0，∴，解得：-＜k＜，∴k=-1，或k=0，∴原方程正整数解为：或.（3）解：解：∵5x-2y=3，∴x=，∵x是整数，∴5|3+2y，∴y=1，x=1，∴x=1，y=1是原方程的一组解，∴原方程的整数解为：，（k为任意整数），又∵x＞0，y＞0，∴，解得：k＜，∴原方程正整数解为：（k=0，1，2，3……）.（4）解：∵5x+8y=32，∴x==6-2y+（1+y），∵x是整数，∴1+y是5的倍数，∴y=4，x=0，∴x=0，y=4是原方程的一组解，∴原方程的整数解为：，（k为任意整数），又∵x＞0，y＞0，∴，解得：0＜k＜，∴不存在整数k，∴原方程无正整数解.【解析】【分析】求二元一次不定方程的正整数解时，可先求出它的通解。

不定方程所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。

不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。

不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。

不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。

在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。

基础知识1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。

2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。

以下给出几个关于特殊方程的求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。

定理1.方程有解的充要是；定理2.若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成为任意整数)。

定理3.元一次不定方程，()有解的充要条件是.方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。

若有解，可先求一个特解，从而写出通解。

当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2．解元一次不定方程时，可先顺次求出，……，.若，则方程无解；若|，则方程有解，作方程组：求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。