二元一次不定方程 PPT

二元一次不定方程
定义10 形如c by ax =+的方程叫做二元一次方程.一般地，方程的个数少于未知元的个数的方程叫做不定方程.不定方程的系数通常限取整数，而且一般只研究它的整数解，有时只须求出它的正整数解.
定理11 二元一次不定方程),,(Z c b a c by ax ∈=+有整数解的充要条件.|),(c b a
定理12 设方程)1),(,,,(=∈=+b a Z c b a c by ax 且有一整数解:,,00y y x x ==则它的一切整数解可表示为).(00为任意整数t at
y y bt x x ⎩⎨⎧-=+= 1.观察法
当方程中的系数比较简单时，可由观察直接得到一组整数解，然后据此写出通解.
2.逐步取整法
通过逐步缩小未知数系数的绝对值来求出方程的整数解.。

y

8
23

63t
2、求方程12x+8y=100的所有整数解．
解：原方程可化为3x+2y=25 ①
①的一组解为
x 7

y

2
所以①的所有整数解为
x 7 8t

y

2
12t
3、求方程407x-2816y=33的一个整数解， 并写出它的通解.
解：将方程化简为 37x-256y=3 即37x+256（-y）=3 ∵256=6×37+34 37=1×34+3 34=11×3+1 ∴1=34-11×3 =（256-6×37）-11×[37-（256-6×37）] =256-6×37-11×37+11×256-66×37 =37×（-6-11-66）+256×（1+11）
y=6-11t
应用二
例一、求二元一次不定方程13x+37y=4 解析： 的一个特解.
因为（13，37）=1，且1︱4， 所以 不定方程有解.
由 13=37×0+13 37=13×2+11 13=11×1+2 11=2×5+1
因此 q2=2，q3=1，q4=5. 再由递推关系式依次计算得：
k2=-2×1+0= -2 k3=-1×（-2）+1 =3 k4=-5 ×(3)+(-2)=-17 x0=-68， y0=24，
解析： 因为（11，61）=1，且1︱3， 所以 不定方程有解. 由 11=61×0+11 61=11×5+6 11=6×1+5 6=5×1+1
因此 q2=5，q3=1，q4=1.再由递推关系式依次计算 得： k2=-5×1+0= -5

其步骤为：①画线；②定域；③求“交”；④表示．
五：作业：
课本 P93 习题3.3 [AΒιβλιοθήκη ] 第 1、2题。3.3.1
二元一次不等式（组）
与平面区域
学习目标：
1. 会根据二元一次不等式(组)确定它所表示的平面区域。
2. 通过画二元一次不等式（组）表示平面区域的过程，理解数 形结合思想的应用。
一.创设情境
复习：怎样表示现实生活中存在的一些不等关系？ 一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业投资和个 人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业 贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪，那么，信贷部应该如 何分配资金呢？ 解:设信贷部用于企业投资的资金为x元，用于个人贷款为y元. 则：分配资金应该满足的条件为
标系中表示直线Ax + By + C = 0某一侧所有点组成的平面区域。
（虚线表示区域不包括边界直线）
y
O
Ax + By + C = 0
x
不等式Ax + By + C≥0()表示的平面区域包括边界， 把边界化成实线
3．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入
解：（1）先画直线x + 4y – 4 = 0（画成虚线） (2) 取原点（0，0），代入x + 4y - 4，得 0 + 4×0 – 4 = -4 < 0 所以，原点（0，0），在x + 4y – 4 < 0表示的平面 区域内， 不等式x + 4y – 4 < 0表示的区域如图所示。 y 1 O
4 x x+4y-4=0

设(a, b) d , a a1d , b b1d , 如果( x0 , y0 )是方程ax by c的一组解, 则它 x x0 b1t 所有整数解都可写成 , 其中t为任意整数. y y0 a1t
定理3
证明 : (1)显然, x x0 b1t , y y0 a1t是不定方程的解. (2)设x x, y y是不定方程的任一组整数解, 则 ax by c, 又ax0 by0 c, ax by ax0 by0 , 即a( x - x0 ) -b( y - y0 ), a1d ( x - x0 ) -b1d ( y - y0 ). a1 ( x - x0 ) -b1 ( y - y0 ). (a, b) d , a a1d , b b1d , (a1 , b1 ) 1, a1 | y - y0 . 设y - y0 a1t , 即, y y0 a1t. 从而x x0 b1t. 故x, y可表示为定理中的形式. 综合(1), (2)定理得证.
注意
下面先研究方程7 x 4 y 100的整数解.
7 x 4 y 100, 4 y 100 7 x, 100 7 x x y 25 2 x , 4 4 x 令 t , 则x 4t , 从而y 25 7t. 4 x 4t , (t是任意整数) y 25 7t
另解:逐步回代
1=33-4×8=33-(37-33)
×8
=33×9-37×8
=(107-37×2பைடு நூலகம் ×9-37×8
=107×9-37×26
即37×(-26)+107×9=1,以下过程略.
另解 : 即解方程37 x -107 y 25. 先将绝对值较小的系数对应的变数x解出, 得 33 y 25 x 2y , 37 33 y 25 因x, y是整数, 故 也为整数, 37 33 y 25 设 x1 , x1是整数, 37 即33 y 25 37 x1. (1) 再将(1)中绝对值较小的系数对应的变数y解出, 4 x1 25 得y x1 . 33

(2)先画出直线x－y＋5＝0(画成实线)， 如图，取原点O(0,0)代入x－y＋5，
∵0－0＋5＝5＞0， ∴原点在x－y＋5＞0表示的平面区域 内，即x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及 其右下方的点的集合．同理可得，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上 及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的 集合．如图所示的阴影部分就表示原不等式组的平面区域．
(－2，－2)，点C的坐标为(8，－2)，所以△ABC的面积是
1 2
×[8
－(－2)]×43－－2＝530.
[答案] A
用二元一次不等式组表示实际问题
[典例] 某厂使用两种零件 A，B 装配两种产品 P，Q，该厂 的生产能力是月产 P 产品最多有 2 500 件，月产 Q 产品最多有 1 200 件；而且组装一件 P 产品要 4 个零件 A,2 个零件 B，组装一 件 Q 产品要 6 个零件 A,8 个零件 B，该厂在某个月能用的 A 零件 最多 14 000 个，B 零件最多 12 000 个．用数学关系式和图形表示 上述要求．
二元一次不等式(组)表示平面区域的面积
[典例]
不等式组xy≤＋x2，y≤4， y≥－2
表示的平面区域的面积为
50 A. 3
100 C. 3
25 B. 3
10 D. 3
()
y≤x， [解析] 作出不等式组 x＋2y≤4，
y≥－2
表示的平面区域，如
图阴影部分所示．可以求得点A的坐标为 43，43 ，点B的坐标为
[解] 设分别生产P，Q产品x件，y件，依题意则有
4x＋6y≤14 000， 2x＋8y≤12 000， 0≤x≤2 500，x∈N， 0≤y≤1 200，y∈N.

设蟋蟀为x只，蜘蛛为y只，依题意，得
6x 8y 46
二、新课
（一）有关概念
1.不定方程的定义 不定方程是指未知数个数多于方程的个数，且
其解受到某种条件限制（例如要求整数解，非负整
数解等）的方程或方程组。
2.二元一次不定方程的定义
形如：ax by c
a,b, c都是整数
a, b都不为零
3.二元一次不定方程的整数解
（二）不定方程ax by c在什么条件下有整数解？
1.先考察下面几个方程有没有整数解：
（1）2x y 10
x 5, y 0
（2）4x 2 y 20 2x y 10 x 5, y 0
（3）4x 2 y 25 （2 2x y） 25 没有整数解
2.再进一步考察这些方程x，y的系数a, b与方程 的解是否存在相互间的关系
d c.
（2）充分性
（a，b) d 存在两个整数x0，y0，使得ax0 by0 d
ax0q by0q dq
d c 可令c dq
不定方程ax
by
c
ax
by
dq
不定方程ax by c有整数解x x0q, y y0q
3.定理2.1 不定方程ax by c有整数解的必要 且充分条件是d c,这里（a，b) d.
四、小结
（一）有关概念 1.不定方程的定义 不定方程是指未知数个数多于方程的个数，且
其解受到某种条件限制（例如要求整数解，非负整
数解等）的方程或方程组。
2.二元一次不定方程的定义
形如：ax by c
a,b, c都是整数
a, b都不为零
（二）定理2.1 不定方程ax by c有整数解的 必要且充分条件是d c,这里（a，b) d.