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【数学】广东省阳东广雅中学2014-2015学年高二下学期期中考试(理)

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广东省阳东广雅中学2014-2015学年高二下学期期中考试（理）一、选择题：本大题共8小题, 每小题5分, 满分40分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．复数11i+在复平面上对应的点的坐标是 A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)--D ． (1,1)-2．下列命题中，假命题是 A ．,lg 0x x ∈∃=R B ．,tan 1x x ∃∈=R C ．3,0x x ∈∀>RD ．,20x x ∈∀>R3．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有A ．12种B ．24种C ．48种D ．120种4. 定积分10d (1)x x +⎰的值为A ．32 B ．1 C ． 12D ．2 5．若a n P -=≤1)(ξ，b m P -=≥1)(ξ，其中n m <，则)(n m P ≤≤ξ=A ．)1)(1(b a --B ．)1(1b a --C ．)(1b a +-D ．)1(1a b --6．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为12y x =，则该双曲线的离心率的值为ABC ．2D ．27．观察32()'3x x =，54()'5x x =，(sin )'cos x x =，由归纳推理可得：若()f x 是定义在R 上的奇函数，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=A ．()f xB ．()f x -C ．()g x -D ．()g x8．一平行六面体1111B ABC A C D D -中，顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们两两夹角均为60︒，那么对角线1AC 的长为ABC ．2D第二部分 非选择题（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．焦点为(2,0)F 的抛物线的标准方程是 ． 10．在5(1)x +的展开式中，2x 的系数为 ．11．从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有____________12．设复数,31,221i z i z -=-=则复数21z i +的虚部等于 .13．在平面上，若两个正三角形的边长之比为1:2，则它们的面积比为1:4；类似地：在空间，若两个正四面体的棱长比为1:2，则它们的体积比为 ．14．已知函数()y f x =及其导函数()y f x '=的图象如图所示，则曲线()y f x =在点(2,0)P 处的切线方程是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分） 已知函数21()54ln 2f x x x x =-+． （1）求'()y f x =；（2）求函数()f x 的单调区间． 16．（本小题满分12分）某中学校本课程共开设了,,,A B C D 共4门选修课,每个学生必须且只能选修1门选修课,现有该校的甲、乙、丙3名学生.(Ⅰ) 求这3名学生选修课所有选法的总数；(Ⅱ) 求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率； (Ⅲ) 求A 选修课被这3名学生选择的人数X 的分布列17． （本小题满分14分） 观察下列三个三角恒等式（1）tan 20tan 4020tan 40︒︒⋅︒=+（2）tan 22tan3822tan38︒︒⋅︒=+（3）tan67tan(7tan())7︒︒︒⋅-︒-=+的特点，由此归纳出一个一般的等式，使得上述三式为它的一个特例，并证明你的结论． （说明：本题依据你得到的等式的深刻性分层评分．）18．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是矩形，M 、N 分别是CD 、SC 的中点，SA ⊥底面ABCD ，1SA AD ==，AB =（1）求证：MN ⊥平面ABN ； （2）求二面角A BN C --的余弦值．19．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点1)2，且椭圆E ． （1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在以(0,)A b 为直角顶点且内接于椭圆E 的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分） 己知函数1()(1)ln(1)f x x x =++．(1) 求函数()f x 的定义域； (2) 求函数()f x 的增区间；(3) 是否存在实数m ，使不等式112(1)m x x +>+在10x -<<时恒成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．答案一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分． 1．【解析】选D ．111ii +=-． 2．【解析】选C ．因为310(1)=-<-，所以C 不确． 3．【解析】选B ．44A 24=． 4．【解析】选A ．210113(1()2d )|2x x x x ++==⎰． 5．【解析】选C ．．6．【解析】选C ．由已知得12b a =，所以，214b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故22254a b a +=，即2254c a =所以2e =． 7．【解析】选D ．由给出的例子可以归纳推理得出“奇函数的导数是偶函数”，所以()()g x g x -=．8．【解析】选A ．2211()AC AB AD AA =++22212AB AD AA AB AD =+++⋅1122AB AA AA AD +⋅+⋅1112(cos60cos60cos60)6︒+︒+=+︒++=，所以1||6AC = 第二部分非选择题（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．【解析】填28y x =．因为22p=，所以28p =，开口向右，所以标准方程为28y x =． 10．【解析】填10．因为25223211C 0T T x x +===，所以2x 的系数为10．11．【解析】240 12．【解析】填1．13．【解析】填1:8．体积比为相似比的立方．14．【解析】填20x y --=．因为切线的斜率为1k =，所以切线方程为()12y x =⨯-，即20x y --=．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分） 【解析】（1）因为4'()5f x x x=+-． （2分） （2）要使()f x 有意义，则x 的取值范围是(0,)+∞． ............................................................. （4分） 由'()0f x >得450x x+->． ....................................................................................................... （5分） 因为0x >，所以2540x x -+>，即1x <，或4x >． ........................................................ （7分） 由'()0f x <得450x x+-< ........................................................................................................... （8分） 因为0x >，所以2540x x -+<，即14x <<． .................................................................. （10分）所以()f x 的单调增区间为(0,1),(4,)+∞；单调减区间为(1,4)． ....................................... （12分） 16．（本小题满分12分）.【解析】(Ⅰ)每个学生有四个不同选择,根据分步计数原理,选法总数44464N =⨯⨯= ………2分(Ⅱ) 设“恰有2门选修课没有被这3名学生选择”为事件E ,则()22243239416C C A P E ==,即恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率为916.…………………6分 (Ⅲ) X 的所有可能取值为0,1,2,3,且()333270464P X ===, ()12333271464C P X ⋅===, ()233392464C P X ⋅===,()33313464C P X === ………………………………………………10所以X 的分布列为17．（本小题满分14分）【解析】以下给出两个层次解答供参考．……………………12分等式一：若60αβ+=︒，且,()2k k παβπ≠+∈Z ，则tan a t t an n αβαβ+（4分） 证明如下：因为60αβ+=︒，所以)t tan 60an(αβ+=︒............................................................................ （6分）即tan tan tan 1tan αβαβ+=-⋅................................................................................................................... （8分）所以tan tan ta ta )n n αβαβ+=-⋅ ................................................................................. （10分）即tan ta an tan n αβαβ+⋅移项得tan a t t an n αβαβ+=............................................................................. （12分） 等式二：若,,()2k k παβαβπ+≠+∈Z ，则tan tan()t tan tan t n an )a (αβαβαβαβ+++=+ ................................................................ （6分）证明如下： 因为tan ta tan n()1ta t n n a αβαβαβ++=-⋅ ............................................................................................. （10分）所以tan tan(+)(1tan tan tan )αβαβαβ+=-⋅ .................................................................... （12分） 即tan tan(+)tan t (+)ta n an n a t αβαβαβαβ+=-⋅移项得tan tan(+)tan tan tan(+tan )αβαβαβαβ++= ................................................... （14分） 18．（本小题满分14分）【解析一】（1）以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AD 为z 轴的空间直角坐标系，如图所示．则依题意可知相关各点的坐标分别是：000A （，，），0B ，）， C ，010D （，，），001S （，，）如下图所示．（2分）所以,M N 点的坐标分别为11(,1,0),(,)2222M N …………………………………………（3分） 所以11(0,,)22MN =-，(2,0,0)AB =，211(,)22AN =.............................................. （4分） 因为11(0,,)022MN AB ⋅=-⋅=，所以MN AB ⊥．............................................. （6分） 又因为111111(0,,)(,)02222244MN AN ⋅=-⋅=-+=，所以MN AN ⊥ ......................（7分） 所以MN ⊥平面ABN ． .................................................................................................................. （8分） （2）设平面NBC 的法向量(,,)n a b c =，则,n BC n SC ⊥⊥， .......................................... （9分）(0,1,0),(2,1,1)BC SC ==-所以0n BC n SC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.b b c =⎧⎪+-=....................................................................................................................... （10分）所以0b c =⎧⎪⎨=⎪⎩令1a =，则(1,0,2).n = 显然，11(0,,)22MN =-就是平面ABN 的法向量． .............................................................. （11分）所以1cos,|11|||0()n MNn MNn MN⨯⋅<>===⋅+⨯-.................................. （12分）由图形知，二面角A BN C--是钝角二面角........................................................................... （13分）所以二面角A BN C--的余弦值为............................................................................ （14分）【解析二】（1）取SD的中点G，连接,AG GN，则//GN CD，又//CD BA，所以四点,,,A B N G共面.因为1SA AD==，且SA AD⊥............... （2分）所以AG SD⊥.又因为,AD A SAB B A⊥⊥，所以AB⊥平面SAD. ................................... （4分）所以AB SD⊥所以SD⊥平面ABNG. ............................... （6分）易证//MN SD所以MN⊥平面ABN．.............................. （8分）（2）连接AC，则2SC=所以112AN SC==. ......................................................................................................................... （9分）同（1）可证明BC⊥平面SAB.所以112BN SC==，且平面SBC⊥平面SAB.明显222AB NA NC+=，所以NA NB⊥. ............................................................................... （10分）过A作AH SB⊥，垂足为H，则AH⊥平面SBC.连接HN ，则AH NB ⊥ ............................................................................................................... （11分） 因为NA NB ⊥， 所以NB ⊥平面ANH ，ANH ∠为二面角A BN C --平面角的补角. ......................................................................... （12分）在Rt SAB 中，1122SE HA SA AB ⋅=⋅，所以AH =在Rt AHN 中，HN ==.所以os c ANH ∠=. .................................................................................................................. （13分）所以二面角A BN C --的余弦值为 ............................................................................ （14分） 19．（本小题满分14分）【解析】（1）由c e a ==得2234c a =， （1分） 又222221,4c a b b a =-=． ............................................................................................................. （2分） 故椭圆方程为2224x y a +=，椭圆经过点1)2，则222142a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． .....................................................................................................................（3分） 所以224,1a b == ............................................................................................................................ （4分）所以椭圆的标准方程为2214x y +=． ............................................................................................ （5分） （2）假设存在这样的等腰直角三角形BAC . 明显直线AB 的斜率存在，因为A 点的坐标为(0,1)A ，设直线AB 的方程为:1(0)AB y kx k =+>，则直线AC 的方程为1:1AC y x k=-+． ............................................... （6分） 将AC 的方程代入椭圆22440x y +-=得22(14)80k x kx ++=所以0x =，或2814k x k =-+ 所以B 点的纵坐标为228114k y k=-++ .......................................................................................... （7分）所以28||14k AB k ==+． ........................ （8分）同理2288||441k AC k k ==++ ........................................................................... （9分） 因为ABC 是等腰直角三角形，所以||||AB AC =，即2288144k k k =++ ............................................................................................ （10分） 即221144k k k =++ 所以32414k k k +=+，即324410k k k -+-= ..................................................................... （11分） 所以3(1)4(1)0k k -+-=即2(1)(31)0k k k --+=所以1k =，或2310k k -+= ...................................................................................................... （12分） 所以1k =，或23k =±． ....................................................................................................... （13分） 所以这样的直角三角形有三个． .................................................................................................. （14分）20.解（本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）:（1）根据函数解析式得10,11x x +>⎧⎨+≠⎩解得1x >-且0x ≠．∴函数()f x 的定义域是{},1.x x R x ∈>-≠且x 0…………3分（2）1(),(1)ln(1)f x x x =++ 22ln(1)1()(1)ln (1)x f x x x ++'∴=-++……………………5分 由()0f x '>得ln(1)10.x ++<11 1.x e -∴-<<-∴函数()f x 的增区间为1(1,1)e ---． …………………………8分（3）110,e x --<<11 1.e x -∴<+<1ln(1)0.x ∴-<+<ln(1)10x ∴++>∴当110e x --<<时,22ln(1)1()0.(1)ln (1)x f x x x ++'=-<++ ∴在区间()1,0-上,当11x e -=-时, ()f x 取得最大值． []1()(1)f x f e e -∴=-=-最大．……………………………10分112(1)m x x +>+在10x -<<时恒成立．1ln 2ln(1)1m x x ∴>++在10x -<<时恒成立． ln 2(1)ln(1)m x x ∴>++在10x -<<时恒成立．ln2 (1)ln(1) x x++在10x-<<时的最大值等于ln2e-．ln2. m e ∴>-∴当ln2m e>-时，不等式112(1)mx x+>+在10x-<<时恒成立．………14分。

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广东省阳江市阳东广雅中学学高二数学月月考试题理-课件

广东省阳江市阳东广雅中学学高二数学月月考试题理-课件

阳东广雅中学2015～2016学年第二学期高二年级5月月考试题理科数学考试时量：120分钟 满分：150分本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

第一部分 选择题一、选择题(本题共12小题，每题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数(3i)(2i)=-- z ，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2. 用反证法证明命题“自然数a,b,c,中恰有一个偶数”时，需假设（ ） A. a,b,c 都是奇数 B. a,b,c 都是偶数 C. a,b,c 都是奇数或至少有两个偶数 D. a,b,c 至少有两个偶数 3．曲线324y x x =-+在点(1,4)处的切线的倾斜角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°4. 函数33y x x =-的单调递减区间是( )．A ．)1,(--∞B ．)1,1(-C ．)1(∞+，D ．)1,(--∞和)1(∞+， 5．已知6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有（ ）A.240种B.360种C.480种D.720种6. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那 么不同的选派方案种数为（ ） A. 24 B. 14 C. 8 D. 6 7．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．B ． C. 2 D ． 48. 函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是（ ） A. 1，-1B. 1，-17C. 3，-17D. 3，19．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有（ ） A ． 12种B ． 20种C ．24种D ． 48种10．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在R 上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 11.已知函数()x f 为定义在()+∞∞-,上的可导函数，且())(x f x f '<对于R x ∈恒成立，且e 自然对数的底数,则（ ）A. )1(f >)0(f e ⋅、)2013(f <)0(2013f e B.)1(f <)0(f e ⋅、)2013(f >)0(2013f e C. )1(f >)0(f e ⋅、)2013(f >)0(2013f e D.)1(f <)0(f e ⋅、)2013(f <)0(2013f e 12．设函数()(sin cos )xf x e x x =-(02015)x π≤≤，则函数()f x 的各极大值之和为（ ）A ．220152(1)1e e e πππ--B ．22015(1)1e e e πππ--C ．2015211e e ππ--D ．20162(1)1e e eπππ-- 第二部分 非选择题二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13、在平面上，若两个正三角形的边长之比为1:2，则它们的面积之比为1:4；类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长之比为1:2，则它们的体积之比为 ；14.若幂函数()f x 的图象经过点11(,)42A ，则曲线()y f x =在A 点处的切线方程是 15.已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如右，则()y f x =有 个极大值点.16.函数()f x 的导函数为()f x '，若对于定义域内任意1x ，2x 12()x x ≠，有121212()()()2f x f x x xf x x -+'=-恒成立，则称()f x 为恒均变函数．给出下列函数：①()=23f x x +；②2()23f x x x =-+；③1()=f x x；④()=xf x e ；⑤()=ln f x x ．其中为恒均变函数的序号是 ．（写出所有．．满足条件的函数的序号） 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70分）17.(本小题满分10分) 求曲线)0(2>=x x y 在点)4,2(A 的切线与该曲线以及x 轴所围成的图形的面积.18.(本小题满分12分)已知复数2(1i)3(1i)2iz ++-=+（i 是虚数单位）．(Ⅰ)求复数z 的模|z|； (Ⅱ)若21i()z az b a b ++=+∈R ，，求,a b 的值．19.（本小题满分12分）设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)． (Ⅰ)求a 、b 的值； (Ⅱ)求函数f (x )的极值（列出表格）.20.（本小题满分12分）已知111111234212n S n n =-+-++-- ，*1111()1232n T n N n n n n =++++∈+++ （Ⅰ）求12,S S 及12,T T ；（Ⅱ）猜想n S 与n T 的大小关系，并用数学归纳法证明.21.(本小题满分12分) 已知函数21()ln 2f x x x =+． （1）求函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值； （2）求证：在区间(1)+∞，上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方．22.(本小题满分12分) 已知函数xax x f -=ln )(,x ax x f x g ln 6)()(-+=，其中R a ∈． （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若)(x g 在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围； （Ⅲ）设函数4)(2+-=mx x x h ，当2=a 时，若)1,0(1∈∃x ，]2,1[2∈∀x ，总有)()(21x h x g ≥成立，求实数m 的取值范围．参考答案第一部分选择题一、选择题(本题共12小题，每题5分，共60分。

广东省阳东广雅中学2014-2015学年高二下学期期中考试化学(理)试卷.pdf

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二、双选题（本题包括5小题，每题4分，共20分。每小题有2个选项正确；少选且正确得2分，未选、错选不得分。
）
题号1112131415答案ADBDCDACCD第二部分 非选择题（50分）
三、填空题（本题包括3小题，共50分。）
16.（）①CH2===CH2＋H2OCH3CH2OH，加成反应；
涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上
；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。
A．苯中的甲苯(溴水)
B．苯中的苯酚(溴水)
C．甲烷中的乙烯(KMnO4酸性溶液)
D．溴苯中的溴(NaOH溶液)．
A．Br－ + Ag+=AgBr↓
B．CaCO3 + 2H+=Ca2+ + H2O + CO2↑
C．实验室用液溴和苯在催化剂作用下制溴苯：+ Br2 + HBr
D．硝酸银溶液中滴加过量氨水：Ag+ + NH3·H2O==AgOH↓+ NH4+
②2CH3CH2OH＋O22CH3CHO＋2H2O氧化反应；
④C2H5OH＋HBrCH3CH2Br＋H2O反应；
⑥CH3CH2Br＋NaOHCH2===CH2↑＋NaBr＋H2O消去反应
⑨+CO2+H2O+NaHCO3，取代反应；+3Br2↓+3HBr，取代反应；
．
（1）7H6O ，4 ；
A．CH3CH2CH2Br B．CH3CH2CHBr
【数学】广东省阳江市阳东县广雅中学2016-2017学年高二(下)3月诊断试卷(文)(解析版)

【数学】广东省阳江市阳东县广雅中学2016-2017学年高二(下)3月诊断试卷(文)(解析版)

广东省阳江市阳东县广雅中学2016-2017学年高二（下）3月诊断试卷（文）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目人要求的）1．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b32．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣14n+65，则下列叙述正确的是（）A．20不是这个数列中的项B．只有第5项是20C．只有第9项是20 D．这个数列第5项、第9项都是20 3．（5分）若f（x）=3x2﹣x+1，g（x）=2x2+x﹣1，则f（x）与g（x）的大小关系是（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）=g（x）C．f（x）＜g（x）D．随x的值的变化而变化4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4﹣a2=4，S3=9，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=n B．a n=n+2C．a n=2n﹣1 D．a n=2n+15．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．16．（5分）设a＞0，b＞0，若1是2a与2b的等差中项，则+的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．7．（5分）数列{a n}中，a n+1=a n+2（n∈N*），则点A1（1，a1），A2（2，a2），…，A n（n，a n）分布在（）A．直线上，且直线的斜率为﹣2 B．抛物线上，且抛物线的开口向下C．直线上，且直线的斜率为2 D．抛物线上，且抛物线的开口向上8．（5分）不等式＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣2，或x＞3} B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}9．（5分）已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜210．（5分）已知函数f（x）=2x，等差数列{a n}的公差为2．若f（a2+a4+a6+a8+a10）=4，则log2[f（a1）•f（a2）•f（a3）•…•f（a10）]=（）A．8 B．4 C．﹣6 D．11．（5分）已知函数f（x）=ax2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣3或x＞1}，则函数y=f（﹣x）的图象可以为（）A．B．C．D．12．（5分）直线x+my+1=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是（）A．[，] B．[﹣，﹣]C．[，3] D．[﹣3，﹣]二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=1，S2=a3，则S n=．14．（5分）如果a＞b，那么下列不等式：①a3＞b3；②＜；③3a＞3b；④lg a＞lg b．其中恒成立的是．15．（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为．16．（5分）若不等式x2﹣2ax+a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式a＜1的解集为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）解关于x的不等式4≤x2﹣3x﹣6≤2x+8．18．（12分）已知数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣5n+4（1）数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，a n有最小值？并求出最小值．19．（12分）已知x＞0，y＞0，且=1，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值．20．（12分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，a3=7，S4=24．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设p、q是正整数，且p≠q，证明：．21．（12分）已知函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．（1）若对于x∈R，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）设的大小，并证明你的结论．参考答案一、选择题1．D【解析】A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．2．D【解析】由a n=n2﹣14n+65=20，即n2﹣14n+45=0，因式分解为（n﹣5）（n﹣9）=0，解得n=5，9．∴这个数列第5项、第9项都是20．故选：D．3．A【解析】由题意可得：f（x）=3x2﹣x+1，g（x）=2x2+x﹣1所以f（x）﹣g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1≥1，所以f（x）＞g（x）．故选A．4．C【解析】设数列的公差为d，依题意可得解得d=2，a1=1∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1,故选C5．A【解析】由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．6．B【解析】由题意：1是2a与2b的等差中项，则2a+2b=2，即a+b=1．那么（+）×1=（+）（a+b）=2+．∵a＞0，b＞0，∴≥2=2，（当且仅当a=b=时取等号）故得+的最小值为4．故选B．7．C【解析】∵=a n﹣a n﹣1=2（n≥2），∴A1，A2，A3，，A n在斜率为2的直线上．故选C8．C【解析】⇔⇔（x﹣3）（x+2）（x﹣1）＞0利用数轴穿根法解得﹣2＜x＜1或x＞3，故选：C．9．D【解析】≥2=8若恒成立，则使8＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2,故选D10．C【解析】由f（x）=2x，得，∴5a6=2，，∴f（a1）•f（a2）•f（a3）•…•f（a10）==，∴log2[f（a1）•f（a2）•f（a3）•…•f（a10）]=．故选：C．11．B【解析】函数f（x）=ax2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣3或x＞1}，所以a＜0．并且﹣3，1是函数的零点，函数y=f（﹣x）的图象与函数f（x）的图象关于y 轴对称，所以函数y=f（﹣x）的图象是B．故选：B．12．D【解析】即直线x+my+1=0过定点D（﹣1，0）作出不等式组对应的平面区域如图：当m=0时，直线为x=﹣1，此时直线和平面区域没有公共点，故m≠0，x+my+1=0的斜截式方程为y=x，斜率k=，要使直线和平面区域有公共点，则直线x+my+1=0的斜率k＞0，即k=＞0，即m＜0，满足k CD≤k＜k AB，此时AB的斜率k AB=2，由解得，即C（2，1），CD的斜率k CD==，由，解得，即A（2，4），AD的斜率k AD==，即≤k≤，则≤≤，解得﹣3≤m≤﹣，故选：D．二、填空题13．n2+n【解析】设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，S2=a3，∴2×1+d=1+2d，解得d=1．则S n=n+=．故答案为：n2+n．14．①③【解析】若a＞b，则：①a3＞b3恒成立；②＜在a，b异号时不成立；③3a＞3b恒成立；④lg a＞lg b在a，b存在非正数时不成立，故答案为：①③15．4【解析】由不等式组给定的区域D如图所示：z=•=x+y，即y=﹣x+z首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（，2），故z的最大值为4．故答案为：4．16．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【解析】∵不等式x2﹣2ax+a＞0对一切实数x∈R恒成立，∴（﹣2a）2﹣4a＜0，解得0＜a＜1．由a＜1，得t2+2t﹣3＞0，即t＜﹣3或t＞1．∴不等式a＜1的解集为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．三、解答题17．解：不等式4≤x2﹣3x﹣6≤2x+8可化为，即；解得，即5≤x≤7或x=﹣2；所以原不等式的解集为{x|5≤x≤7或x=﹣2}．18．解：（1）由n2﹣5n+4＜0，得1＜n＜4，故数列中有两项为负数；（2）a n=n2﹣5n+4=﹣，因此当n=2或3时，a n有最小值，最小值为﹣2．19．解：（1）∵x＞0，y＞0，=1，∴xy=2x+8y≥2即xy≥8，∴≥8，平方可得xy≥64，当且仅当2x=8y即x=16，y=4时，“=”成立，∴xy的最小值为64；（2）∵x＞0，y＞0，且+=1．∴x+y=（x+y）•（+）=10++≥10+2=18，当且仅当=，即x=2y=12时“=”成立．∴x+y的最小值为18.20．解：（1）设首项和公差分别为a1，d,由得,所以，则a n=2n+1；（2）2S p+q﹣（S2p+S2q）=2（p+q）2+4（p+q）﹣4p2﹣4p﹣4q2﹣4q=﹣2（p﹣q）2≤0,因为p≠q，所以．21．解：（1）当m=0时，f（x）=﹣1＜0恒成立，当m≠0时，若f（x）＜0恒成立，则,解得﹣4＜m＜0综上所述m的取值范围为（﹣4，0].（2）要x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，即m（x﹣）2+m﹣6＜0，x∈[1，3]恒成立．令g（x）=m（x﹣）2+m﹣6，x∈[1，3].当m＞0时，g（x）是增函数，所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0，解得m＜．所以0＜m＜当m=0时，﹣6＜0恒成立．当m＜0时，g（x）是减函数．所以g（x）max=g（1）=m﹣6＜0，解得m＜6．所以m＜0．综上所述，m＜.22．解：当t＞0时，由基本不等式可得，当且仅当t=1时取“=”号∴．t≠1时，当0＜a＜1时，y=log a x是单调减函数，∴，即当a＞1时，y=log a x是单调增函数，∴＞，即＞.。

广东省阳江市阳东县广雅学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(

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广东省阳江市阳东县广雅学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞0} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|0＜x＜2}2．（5分）在△ABC中，若a2=b2+bc+c2，则A=（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．（5分）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则m的值为（）A．1B．﹣1 C．4D．﹣44．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2=2，a3=4，则S4=（）A．15 B．14 C．8D．75．（5分）若函数f（x）=，则f（f（4））=（）A．0B．1C．D．26．（5分）已知两条直线a，b与三个平面α，β，γ，下列条件中能推出α∥β的是（）A．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥βB．α⊥γ，且β⊥γC．a⊂α，b⊂α，a∥b D．a⊥α，且a⊥β7．（5分）设a＞0，b＞0，若是3a和3b的等比中项，则的最小值为（）A．6B．C．8D．98．（5分）已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列4个集合：①②M={（x，y）|y=e x﹣2}③M={（x，y）|y=cosx}④M={（x，y）|y=lnx}其中所有“好集合”的序号是（）A．①②④B．②③C．③④D．①③④二．填空题：共6小题每题5分，满分30分9．（5分）不等式的解集为．10．（5分）已知△ABC中，a=2，b=2，∠B=60°，则sinA=．11．（5分）已知数列{a n}为等差数列，且a2+a5+a8=6，则a5=．12．（5分）若x+2y=1，则2x+4y的最小值是；13．（5分）已知在△ABC中，，则此三角形为．14．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=三．解答题：本题共有6个小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（12分）在△ABC中，已知A=45°，cosB=．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．16．（12分）设函数f（x）=sin（2x+）．（1）求f（）；（2）若θ为锐角，且f（+）的值为，求cos（θ+）．17．（14分）设S n表示数列{a n}的前n项和．（1）若{a n}为等差数列，推导S n的计算公式；（2）已知{a n}是首项为1，公差为1的等差数列；若数列{b n}满足b1=1，b n+1=b n+2．求数列{b n}的前n项和．18．（14分）某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？19．（14分）如图，已知ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=2，AB=BC=1，PA⊥平面BCME．（1）若E是PA的中点，证明：BE∥平面PCD；（2）若PA=3，求三棱锥B﹣PCD的体积；（3）证明：PC⊥CD．20．（14分）已知函数f（x）=x2+x﹣6，g（x）=2x+1，α、β是方程f（x）=0的两个根（α＞β）．（1）求α、β的值；（2）数列{a n}满足：a1=1，a n+1=g（a n），求a n；（3）数列{a n}满足：记，（n=1，2，…），求证数列{b n}为等比数列，并求{b n}的前n项和S n．广东省阳江市阳东县广雅学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞0} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|0＜x＜2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即B={x|0＜x＜2}，∵A={x|x＞1}，∴A∩B={x|1＜x＜2}．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）在△ABC中，若a2=b2+bc+c2，则A=（）A．30°B．60°C．120°D．150°考点：余弦定理．分析：本题考查的知识点是余弦定理，观察到已知条件是“在△ABC中，求A角”，固这应该是一个解三角形问题，又注意到a2=b2+bc+c2给出的三角形三边的关系，利用余弦定理解题比较恰当．解答：解：∵a2=b2+bc+c2∴﹣bc=b2+c2﹣a2由余弦定理的推论得：==又∵A为三角形内角∴A=120°故选C点评：余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，b2=a2+c2﹣2accosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．余弦定理可以变形为：3．（5分）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则m的值为（）A．1B．﹣1 C．4D．﹣4考点：平行向量与共线向量．分析：由∥，根据1×m=2×（﹣2）可得答案．解答：解：∵∥∴1×m=2×（﹣2）∴m=﹣4故选D．点评：本题主要考查向量的共线定理，属基础题．4．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2=2，a3=4，则S4=（）A．15 B．14 C．8D．7考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q．利用等比数列的通项公式和前n项和公式即可得出．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q．∵a2=2，a3=4，∴，解得．∴S4==15．故选A．点评：本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．5．（5分）若函数f（x）=，则f（f（4））=（）A．0B．1C．D．2考点：对数的运算性质；函数的值．专题：计算题．分析：利用分段函数的求函数值的方法，由函数求出f（4）=2，再将x=2代入函数解析式求出即可．解答：解：∵函数∴f（4）==2，∴f（f（4））=f（2）=log22=1故答案为：B．点评：本题考查分段函数的函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6．（5分）已知两条直线a，b与三个平面α，β，γ，下列条件中能推出α∥β的是（）A．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥βB．α⊥γ，且β⊥γC．a⊂α，b⊂α，a∥b D．a⊥α，且a⊥β考点：平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：由两个平面平行的判定定理可得A不满足条件；通过举反例可得B不满足条件；对于选项C，根据平面α内有两条平行线，不能推出α∥β；根据直于同一条直线的两个平面平行，可得D满足条件，从而得出结论．解答：解：对于选项A，由于平面α内的两条直线a 和b不一定是两条相交直线，尽管有a∥β，b∥β，也不能推出α∥β．对于选项B，由于垂直于同一个平面的两个平面α和β可能平行、也可能相交，不能推出α∥β．对于选项C，根据平面α内有两条平行线，不能推出α∥β．对于选项D，由于两个平面α、β垂直于同一条直线，故有α∥β，故选D．点评：本题主要考查判断两个平面平行的方法，属于基础题．7．（5分）设a＞0，b＞0，若是3a和3b的等比中项，则的最小值为（）A．6B．C．8D．9考点：基本不等式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比中项的概念得到a+b=1，则可以看做是1乘以，把1用a+b替换后利用基本不等式可求的最小值．解答：解：由是3a和3b的等比中项，所以3a•3b=3，即3a+b=3，所以a+b=1．又a＞0，b＞0，则=．故选D．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是对“1”的替换，是基础题．8．（5分）已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列4个集合：①②M={（x，y）|y=e x﹣2}③M={（x，y）|y=cosx}④M={（x，y）|y=lnx}其中所有“好集合”的序号是（）A．①②④B．②③C．③④D．①③④考点：命题的真假判断与应用；元素与集合关系的判断．专题：阅读型；新定义．分析：对于①，利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．对于②，画出图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；对于③，画出函数图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；对于④，画出函数图象，取一个特殊点即能说明不满足好集合定义．解答：解：对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；对任意（x1，y1）∈M，在另一支上也不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足好集合的定义，不是好集合．对于②M={（x，y）|y=e x﹣2}，如图（2）在曲线上两点构成的直角始存在，例如取M（0，﹣1），N（ln2，0），满足好集合的定义，所以正确．对于③M={（x，y）|y=cosx}，如图（3）对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（，0），∠yox=90°，满足好集合的定义，旋转90°，都能在图象上找到满足题意的点，所以集合M是好集合；对于④M={（x，y）|y=lnx}，如图（4）取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是好集合．故选B．点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了元素与集合的关系，考查了数形结合的思想，解答的关键是对新定义的理解，是中档题．二．填空题：共6小题每题5分，满分30分9．（5分）不等式的解集为{x|x＞2或x≤﹣1}．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由不等式，转化为不等式组，即可求得不等式的解集．解答：解：由不等式可得，解得x＞2或x≤﹣1，∴不等式的解集为{x|x＞2或x≤﹣1}．故答案为：{x|x＞2或x≤﹣1}．点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．10．（5分）已知△ABC中，a=2，b=2，∠B=60°，则sinA=．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：根据正弦定理的式子，代入题中数据得，结合sin60°=即可算出sinA的值．解答：解：∵△ABC中，a=2，b=2，∠B=60°，∴根据正弦定理，得，即，结合sin60°=，可得sinA==，故答案为：．点评：本题给出三角形两条边和其中一边的对角，求另一边所对角的正弦值，着重考查了特殊三角函数的值和利用正弦定理解三角形的知识，属于基础题．11．（5分）已知数列{a n}为等差数列，且a2+a5+a8=6，则a5=2．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由于数列{a n}为等差数列，且a2+a5+a8=6，根据等差数列的性质可得3a5=6，由此解得a5 的值．解答：解：已知数列{a n}为等差数列，且a2+a5+a8=6，根据等差数列的性质可得3a5=6，解得a5=2，故答案为2．点评：本题主要考查等差数列的性质应用，属于中档题．12．（5分）若x+2y=1，则2x+4y的最小值是2；考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由题意知2x+4y=．由此可知2x+4y的最小值是．解答：解：由题意知2x+4y=．∴2x+4y的最小值是2．点评：本题考查不等式的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．13．（5分）已知在△ABC中，，则此三角形为等腰三角形．考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：结合已知，由正弦定理可得，结合两角差的正弦公式可求得B，C的关系，进而可判断三角形的形状解答：解：∵由正弦定理可得∴sinCcosB=sinBcosC∴sinCcosB﹣sinBcosC=0∴sin（C﹣B）=0∴C=B∴△ABC为等腰三角形故答案为：等腰三角形点评：本题主要考查了利用正弦定理及两角差的正弦公式求解判断三角形的形状，属于基础试题14．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=考点：数列递推式．专题：计算题；压轴题．分析：由，可得，因而可知数列{}是等差数列，求得数列{}的递推式，进而可求出数列{a n}的通项公式．解答：解：由，可得，可得数列{}为，公差为3的等差数列，求得数列{}递推式为，可求出数列{a n}的通项公式为，故答案为．点评：此题主要考查利用数列的特征转变成数列的递推公式形式的，间接的求出所需要的数列通项公式．三．解答题：本题共有6个小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（12分）在△ABC中，已知A=45°，cosB=．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由已知得=，sinC=sin（135°﹣B），由此能求出结果．（Ⅱ）由正弦定理得，解得AB=14，由此能求出三角形ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）∵cosB=，且B∈（0°，180°），∴=，sinC=sin（180°﹣A﹣B）=sin（135°﹣B）=sin135°cosB﹣cos135°sinB==．（Ⅱ）由正弦定理得，∴，解得AB=14，∴S=|AB|•|BC|sinB==42．点评：本题考查角的正弦值的求法，考查三角形的面积的求法，解题时要认真审题，注意三角形加法定理的合理运用．16．（12分）设函数f（x）=sin（2x+）．（1）求f（）；（2）若θ为锐角，且f（+）的值为，求cos（θ+）．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）将代入函数f（x）=sin（2x+），化简即可求值．（2）f（+）的值为，由诱导公式可求sinθ、cosθ的值，从而根据两角和与差的余弦函数公式可求cos（θ+）．解答：解：（1）f（）=sin（2×+）=sin=1．（2）f（+）=sin[2×（+）+]=sin（θ+）=cosθ=，因θ为锐角，故sinθ=．故cos（θ+）=cosθcos﹣sinθsin=（cosθ﹣sinθ）=﹣．点评：本题主要考察两角和与差的余弦函数公式，三角函数的化简求值，属于基础题．17．（14分）设S n表示数列{a n}的前n项和．（1）若{a n}为等差数列，推导S n的计算公式；（2）已知{a n}是首项为1，公差为1的等差数列；若数列{b n}满足b1=1，b n+1=b n+2．求数列{b n}的前n项和．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）若{a n}为等差数列，根据等差数列的求和公式即可推导S n的计算公式；（2）求出{a n}的图象公式，利用累加法即可得到结论．解答：解：（1）设{a n}的公差为d，则S n=a1+a2+…+a n=a1+（a1+d）+…+[a1+（n﹣1）d]…（2分）又S n=a n+（a n﹣d）+…+[a n﹣（n﹣1）d]，…（4分）∴2S n=n（a1+a n），…（6分）∴．…（7分）（2）由已知得a n=n．从而b n+1=b n+2n．即b n+1﹣b n=2n…（9分）b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…（b2﹣b1）+b1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1==2n﹣1．…（11分）数列{b n}的前n项和S n=b1+b2+…+b2+b1=2﹣1+22﹣1+…+2n﹣1==2n+1﹣2﹣n．点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的应用，考查学生的运算能力．18．（14分）某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？考点：简单线性规划的应用．专题：应用题．分析：先设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，利润总额为z千元，根据题意抽象出x，y满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数z═2x+3y，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可．解答：解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，利润总额为z千元，则目标函数为：z=2x+3y作出可行域：把直线l：2x+3y=0向右上方平移至l'的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取最大值，解方程得M的坐标为（2，3）．答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润．点评：本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，基本思路是抽象约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解．属中档题．19．（14分）如图，已知ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=2，AB=BC=1，PA⊥平面BCME．（1）若E是PA的中点，证明：BE∥平面PCD；（2）若PA=3，求三棱锥B﹣PCD的体积；（3）证明：PC⊥CD．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间向量及应用．分析：（1）（方法一）取AD的中点为F，连结BF，EF．利用中位线性质，确定平行线，再运用线面平行的判断定定理即可证明．（方法二）：取PD的中点为M，连结EM，CM．利用中位线，得出平行线，判断出；四边形BCME是平行四边形，即可证明．（2）所抓化为．（3）PA⊥CD．PA∩AC=A，CD⊥平面PAC，得出CD⊥平面PAC，得证CD⊥PC．解答：证明：法一：（1）取AD的中点为F，连结BF，EF．∵AD=2，BC=1，∴BC∥FD，且BC=FD，∴四边形BCDE是平行四边形，即BF∥CD．∵BF⊄平面PCD，∴BF∥平面PCD∵E，F分别是PA，AD的中点∴EF∥PD∵EF⊄平面PCD，∴EF∥平面PCD．∵EF∩BF=F，∴平面BEF∥平面PCD．∵BE⊂平面BEF，∴BE∥平面PCD．法二：取PD的中点为M，连结EM，CM．∵E为PA的中点，∴EM，BC，∴EM且EM=BC∴四边形BCME是平行四边形即BE∥CM，∵BE⊄平面PCD，CM⊂平面PCD∴BE∥平面PCD．（2）由已知得，所以．（3）证明：由已知易得AC=，CD=．∵AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°，即AC⊥CD．又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD∴PA⊥CD．∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．∵PC⊂平面PAC，∴CD⊥PC．点评：本题综合考查了空间几何体的性质，运用证明平行，垂直，求解体积问题，属于综合题，难度较大．20．（14分）已知函数f（x）=x2+x﹣6，g（x）=2x+1，α、β是方程f（x）=0的两个根（α＞β）．（1）求α、β的值；（2）数列{a n}满足：a1=1，a n+1=g（a n），求a n；（3）数列{a n}满足：记，（n=1，2，…），求证数列{b n}为等比数列，并求{b n}的前n项和S n．考点：数列与函数的综合；二次函数的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）先求出方程的根，再利用α、β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），即可得到结论；（2）证明{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即可求得a n；（3）确定数列相邻项的关系，可得等比数列，再利用等比数列的求和公式，即可得到结论．解答：（1）解：由x2+x﹣6=0，可得x=2或﹣3，∵α、β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），∴α=2，β=﹣3；（2）解：∵g（x）=2x+1，∴a n+1=g（a n）=2a n+1∴a n+1+1=2（a n+1）∵a1=1，∴{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列∴a n+1=2n，即a n=2n﹣1；（3）证明：=∴a n+1+3=+3=，a n+1﹣2=∴=ln=2ln=2b n﹣1∴{b n）是首项为ln=ln6，公比为2的等比数列∴{b n}的前n项和S n==（2n﹣1）ln6．点评：本题考查数列与函数的关系，考查等比数列的判定，考查等比数列的通项与求和，属于中档题．。

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