正切函数的图像与性质

《正切函数的图像与性质》 讲义

一、正切函数的定义

在直角三角形中，一个锐角的正切值等于这个角的对边与邻边的比值。用数学语言表示，如果一个角为\（＼alpha\），其对边为\（a\），邻边为\（b\），那么\（＼tan\alpha ＝ ＼frac{a}｛b}＼）。

在平面直角坐标系中，对于任意角\（＼alpha\），如果\（＼alpha\）的终边上有一点\（（x,y)＼），那么\（＼tan\alpha ＝ ＼frac{y}｛x}＼）（＼（x\neq 0\））。

二、正切函数的定义域

正切函数\（y ＝ ＼tan x\）的定义域为\（＼｛x|x ＼neq k\pi ＋ ＼frac{＼pi}｛2}， k ＼in Z\｝＼）。这是因为当\（x ＝ k\pi ＋ ＼frac{＼pi}｛2}＼）时，角\（x\）的终边在\（y\）轴上，此时邻边\（x ＝ 0\），正切值\（＼tan x\）不存在。

三、正切函数的周期

正切函数是一个周期函数，其最小正周期为\（＼pi\）。

这是因为\（＼tan(x ＋ ＼pi) ＝ ＼tan x\），对于任意\（x\），只要\（x ＋ ＼pi\）不在定义域的奇点处，这个等式都成立。

四、正切函数的奇偶性 正切函数\（y ＝ ＼tan x\）是一个奇函数。

因为\（＼tan(x) ＝ ＼tan x\），满足奇函数的定义，即\（f(x) ＝ f(x)＼）。

五、正切函数的单调性

正切函数在每个区间\（（k\pi ＼frac{＼pi}｛2}， k\pi ＋ ＼frac{＼pi}｛2}）＼），＼（k ＼in Z\）上都是单调递增的。

需要注意的是，不能说正切函数在整个定义域上是单调递增的，因为它的定义域是不连续的。

六、正切函数的图像

正切函数的图像是由一系列的分支组成的。

1、 渐近线

正切函数的图像有无数条渐近线，其方程为\（x ＝ k\pi ＋ ＼frac{＼pi}｛2}＼），＼（k ＼in Z\）。

第四讲 正弦、余弦和正切函数的图像与性质

知识提要

1． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，

－1)，(2π，0)．

余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．

2． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图象

定义域 R R {x|x∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z}

值域 [－1,1] [－1,1] R

单调性 [-π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上递增；

[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)上递减 [-π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增；

[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减 (-π2＋kπ，π2＋kπ)

(k∈Z)上递增

最值 x＝π2＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；

x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；

x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (π2＋kπ，0) (k∈Z) (kπ2，0)(k∈Z)

对称轴方程 x＝π2＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z)

周期 2π 2π π

※ 学习评价

1、判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期． ( √ )

(2)y＝cos x在第一、二象限上是减函数． ( × )

(3)y＝tan x在整个定义域上是增函数． ( × ) (4)y＝ksin x＋1(x∈R)，则ymax＝k＋1. ( × )

2、函数f(x)＝sinx－π4的图象的一条对称轴是 ( )

《正切函数的图像与性质》 知识清单

一、正切函数的定义

在直角坐标系中，如果角α的终边与单位圆交于点 P(x,y)，那么比值 y/x 叫做角α的正切值，记作 tanα=y/x。角α的取值范围是α≠kπ ＋

π/2 ，k∈Z 。

二、正切函数的定义域

正切函数 y ＝ tan x 的定义域为{x ｜ x ≠ kπ ＋ π/2 ，k∈Z} 。这是因为当 x ＝ kπ ＋ π/2 时，角α的终边在 y 轴上，此时正切值不存在。

三、正切函数的图像

1、 周期性

正切函数是周期函数，其最小正周期为π。

2、 对称性

正切函数的图像关于点(kπ/2, 0) （k∈Z）对称，并且是中心对称图形。

3、 渐近线

正切函数的图像有无数条渐近线，分别是 x ＝ kπ ＋ π/2 （k∈Z）。

4、 单调性 正切函数在每个区间 （ π/2 ＋ kπ ，π/2 ＋ kπ ） （k∈Z）内都是单调递增的。

四、正切函数的性质

1、 值域

正切函数的值域是 R ，即正切函数可以取到任意实数。

2、 奇偶性

正切函数是奇函数，即 tan(α) ＝ tanα 。

3、 零点

正切函数的零点是 kπ （k∈Z）。

五、正切函数的诱导公式

1、 tan(π ＋ α) ＝ tanα

2、 tan(α) ＝ tanα

3、 tan(π α) ＝ tanα

4、 tan(2π ＋ α) ＝ tanα

六、正切函数与其他三角函数的关系

1、 正切函数与正弦函数、余弦函数的关系

tanα ＝ sinα ／ cosα （cosα ≠ 0 ）

2、 正切函数与余切函数的关系 tanα · cotα ＝ 1 （cotα ≠ 0 ）

七、正切函数的应用

1、 求解三角形

在已知三角形的某些边和角的情况下，可以使用正切函数来求解其他的边和角。

2、 物理学中的应用

在涉及到周期性运动、波动等问题时，正切函数可能会被用到。

3、 工程学中的应用

例如在机械振动、电路分析等方面。

正切函数图像与性质

正切函数图像具有以下特征：

1. 正切函数的图像是一条对称的曲线，其右半部分的负切值的图像与左半部分的正切值的图像是对称的；

2. 正切函数在每个有限点上都是单调递增或单调递减的；

3. 在正切函数的图像上存在许多切线，这些切线都是斜率为1或-1的直线；

4. 正切函数的图像在有限点处的斜率始终为正无穷或负无穷；

5. 当x=0时，正切函数的y值为0。

正切函数在数学中是一种常用的函数，其定义域是R上的所有实数，其值域是实数平面上的所有实数。正切函数可以表示为：y = tan(x)，也可以表示为：τ（x）= arcsin(x/r)，其中r> 0。

正切函数的图像具有以上介绍的特征，它的图像是渐近于直线的弧形，其曲线上的有限点处的斜率始终是正无穷或者负无穷，该函数的导数为一个定值，即1。正切函数的应用极其广泛，可以应用于求反三角函数的值，解决方程，以及求解变化率等问题。

正切函数的作图过程也比较简单，首先可以根据加减性，可以将其分割为正切函数和负切函数两部分，因此可以根据函数的值进行作图。另外，由于正切函数具有特殊的性质，因此可以利用已知的部分信息来求出未知的参数。例如，由于正切函数中每隔π/2就会发生一次拐点，因此我们可以利用已知的拐点位置，与坐标轴的垂直平分线来求出函数图像的形状。

正切函数的应用也是多种多样的，可以用于对三角形的求解以及求出变化率等问题。而且，正切函数的应用也不仅局限于几何数学中的绘图，它的应用也是广泛的，例如在自动控制、机械工程、统计学等学科中，都可以看到它的身影。因此，学习和了解正切函数是非常必要的。