高考数学复习圆的方程

第3讲圆的方程最新考纲考向预测1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.命题趋势以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题．题型主要以选择题、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.核心素养直观想象、数学运算1．圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准式(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心为(a，b)半径为r一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标：⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系．(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.常用结论1．圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y常见误区1．对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F>0这一条件．2．解答与圆有关的最值问题要注意数形结合，充分运用圆的性质．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．()(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B ＝0，D2＋E2－4AF>0.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析：选D.因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.3．(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是()A．圆M的圆心为(4，－3)B．圆M被x轴截得的弦长为8C．圆M的半径为25D．圆M被y轴截得的弦长为6解析：选ABD.圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则(x－4)2＋(y＋3)2＝25.圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5.显然选项C不正确．ABD均正确．4．(易错题)若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是解析：将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋(y －1)2＝m 24－2.由其表示圆可得m 24－2>0，解得m <－22或m >2 2. 答案：(－∞，－22)∪(22，＋∞)5．若圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1，1)和B (1，3)，则圆C 的方程为________．解析：设圆心坐标为C (a ，0)， 因为点A (－1，1)和B (1，3)在圆C 上， 所以|CA |＝|CB |，即（a ＋1）2＋1＝（a －1）2＋9， 解得a ＝2，所以圆心为C (2，0)，半径|CA |＝（2＋1）2＋1＝10， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 答案：(x －2)2＋y 2＝10求圆的方程[题组练透]1．(2021·长沙模拟)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.43解析：选B.圆心在直线BC 的垂直平分线，即x ＝1上，设圆心D (1，b )，由|DA |＝|DB |得|b |＝1＋（b －3）2，解得b ＝233，所以圆心到原点的距离为d＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213. 2．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切，则圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－2x －3＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：选A.因为圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切，所以圆的圆心坐标为(2，0)．所以圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.故选A.3．已知圆心在x 轴上，半径为5的圆位于y 轴右侧，且截直线x ＋2y ＝0所得弦的长为2，则圆的方程为________．解析：根据题意，设圆的圆心坐标为(a ，0)(a >0)，则圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝5(a >0)，则圆心到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|a ＋2×0|12＋22＝55a .又该圆截直线x ＋2y ＝0所得弦的长为2，所以可得12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫55a 2＝5，解得a ＝2 5.故圆的方程为(x －25)2＋y 2＝5.答案：(x －25)2＋y 2＝5求圆的方程的两种方法(1)直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出圆的方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．与圆有关的最值问题角度一借助几何性质求最值已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求y－3x＋2的最大值和最小值；(3)求y－x的最大值和最小值．【解】(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2 2.又|QC|＝（2＋2）2＋（7－3）2＝42，所以|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝2 2.(2)可知y－3x＋2表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.因为直线MQ与圆C有交点，所以|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤22，可得2－3≤k≤2＋3，所以y－3x＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，所以|2－7＋b|12＋（－1）2＝22，所以b＝9或b＝1.所以y－x的最大值为9，最小值为1.与圆有关的最值问题的求解策略处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：常见类型解题思路μ＝y－bx－a型转化为动直线斜率的最值问题t＝ax＋by型转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解m＝(x－a)2＋(y－b)2型转化为动点与定点的距离的平方的最值问题设点P (x ，y )是圆(x －3)2＋y 2＝4上的动点，定点A (0，2)，B (0，－2)，则|P A →＋PB→|的最大值为________． 【解析】 由题意，知P A →＝(－x ，2－y )，PB →＝(－x ，－2－y )，所以P A →＋PB →＝(－2x ，－2y )，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程(x －3)2＋y 2＝4，故y 2＝－(x －3)2＋4，所以|P A →＋PB →|＝4x 2＋4y 2＝26x －5.由圆的方程(x －3)2＋y 2＝4，易知1≤x ≤5，所以当x ＝5时，|P A →＋PB →|的值最大，最大值为26×5－5＝10.【答案】 10建立函数关系式求最值根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值．1．已知点P (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0上一点，C 为圆心，则PC →·PO →(O为坐标原点)的取值范围是( )A ．[－3，1]B ．[－1，1]C ．[－1，3]D ．[1，3]解析：选C.将圆C 的方程x 2＋y 2－4x ＋3＝0化为(x －2)2＋y 2＝1，所以圆心C 的坐标为(2，0)．所以PC →＝(2－x ，－y )．而PO →＝(－x ，－y )，所以PC →·PO →＝x 2＋y 2－2x .因为x 2＋y 2－4x ＋3＝0，所以x 2＋y 2＝4x －3，所以PC →·PO →＝4x －3－2x ＝2x －3.因为(x －2)2＋y 2＝1，所以(x －2)2≤1，所以－1≤x －2≤1，即1≤x ≤3.因此－1≤2x －3≤3，从而PC →·PO →(O 为坐标原点)的取值范围为[－1，3]．故选C.2．(多选)若P 是圆C ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝1上任一点，则点P 到直线y ＝kx －1距离的值可以为( )A ．4B ．6C ．32＋1D ．8解析：选ABC.由题意，知圆C ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝1的圆心坐标为(－3，3)，半径为1，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)．由图可知，圆心C 到直线y ＝kx －1距离的最大值为（－3－0）2＋（3＋1）2＝5，则点P 到直线y ＝kx －1距离的最大值为5＋1＝6，最小值为5－1＝4，因此A ，B ，C 正确，只有D 不正确．故选ABC.3．设点P 是函数y ＝－4－（x －1）2图象上的任意一点，点Q 坐标为(2a ，a －3)(a ∈R )，则|PQ |的最小值为________．解析：函数y ＝－4－（x －1）2的图象表示圆(x －1)2＋y 2＝4的下半圆(包括与x 轴的交点)．令点Q 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝2a ，y ＝a －3，得y ＝x2－3，即x －2y －6＝0，作出图象如图所示．由于圆心(1，0)到直线x －2y －6＝0的距离d ＝|1－2×0－6|12＋（－2）2＝5>2，所以直线x －2y －6＝0与圆(x －1)2＋y 2＝4相离，因此|PQ |的最小值是5－2.答案：5－2与圆有关的轨迹问题已知A (2，0)为圆x 2＋y 2＝4上一定点，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程． 【解】 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2，2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )， 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.与圆有关的轨迹问题的四种求法1．(2020·高考全国卷Ⅲ)在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点．若AC →·BC →＝1，则点C 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线解析：选A.以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设A (－a ，0)，B (a ，0)，C (x ，y )，因为AC →·BC →＝1，所以(x ＋a )(x －a )＋y ·y ＝1，所以x 2＋y 2＝a 2＋1，所以点C 的轨迹为圆，故选A.2．已知A (－1，0)，B (1，0)，C 为平面内的一动点，且满足|AC |＝2|BC |，则点C 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＋6x ＋1＝0B ．x 2＋y 2－6x ＋1＝0C ．x 2＋y 2－103x ＋1＝0D ．x 2＋y 2＋103x ＋1＝0解析：选B.由题意可设点C 的坐标为(x ，y )，因为满足|AC |＝2|BC |，由两点间的距离公式可得（x ＋1）2＋（y －0）2＝2×（x －1）2＋（y －0）2，即x 2＋2x ＋1＋y 2＝2(x 2－2x ＋1＋y 2)，所以x 2＋y 2－6x ＋1＝0即为点C 的轨迹方程．故选B.[A 级 基础练]1．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－15<a <1 B ．－1<a <15 C ．－1<a <1D ．0<a <1解析：选A.由(2a )2＋(a －2)2<5，得－15<a <1.故选A. 2．方程|x |－1＝1－（y －1）2所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆D ．两个半圆解析：选D.由题意得⎩⎨⎧（|x |－1）2＋（y －1）2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎨⎧（x －1）2＋（y －1）2＝1，x ≥1或⎩⎨⎧（x ＋1）2＋（y －1）2＝1，x ≤－1.故原方程表示两个半圆．3．(多选)设圆A ：x 2＋y 2－2x －3＝0，则下列说法正确的是( ) A ．圆A 的半径为2B ．圆A 截y 轴所得的弦长为2 3C ．圆A 上的点到直线3x －4y ＋12＝0的最小距离为1D ．圆A 与圆B ：x 2＋y 2－8x －8y ＋23＝0相离解析：选ABC.把圆A 的方程x 2＋y 2－2x －3＝0化成标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，所以圆A 的圆心坐标为(1，0)，半径为2，A 正确；圆A 截y 轴所得的弦长|CD |＝2×4－1＝23，B 正确；圆心(1，0)到直线3x －4y ＋12＝0的距离为3，故圆A 上的点到直线3x －4y ＋12＝0的最小距离为3－2＝1，C 正确；圆B ：x 2＋y 2－8x －8y ＋23＝0的圆心为(4，4)，半径为3，根据（4－1）2＋42＝5可知，圆A 与圆B 相外切，D 错误，故选ABC.4．(2020·高考全国卷Ⅱ)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A.55B.255C.355D.455解析：选B.因为圆与两坐标轴都相切，点(2，1)在该圆上，所以可设该圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2(a >0)，所以(2－a )2＋(1－a )2＝a 2，即a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5，所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，所以圆心到直线2x －y －3＝0的距离为|2×1－1－3|22＋（－1）2＝255或|2×5－5－3|22＋（－1）2＝255，故选B. 5．(2020·全国统一考试模拟卷)已知点A 为曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的动点，B 为圆(x －2)2＋y 2＝1上的动点，则|AB |的最小值是( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2解析：选A.根据题意，|AB |的最小值为曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的点到圆心(2，0)的距离的最小值减去圆的半径1.由于曲线y ＝x ＋4x (x >0)上最低点的坐标为(2，4)，结合图象可知，所求的最小值为（2－2）2＋42－1＝3.6．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．解析：已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆． 答案：(－2，－4) 57．过两点A (1，4)，B (3，2)且圆心在直线y ＝0上的圆的标准方程为________． 解析：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.因为圆心在直线y ＝0上，所以b ＝0，所以圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2.又因为该圆过A (1，4)，B (3，2)两点，所以⎩⎨⎧（1－a ）2＋16＝r 2，（3－a ）2＋4＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝－1，r 2＝20.所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20. 答案：(x ＋1)2＋y 2＝208．(2020·山西太原期中)已知长为2a (a >0)的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹方程为________．解析：如图，不论直线怎么移动，线段AB 的中点P 与原点O 的连线始终为Rt △OAB 斜边上的中线，即|OP |＝a ，即x 2＋y 2＝a 2.故所求的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.答案：x 2＋y 2＝a 29．已知圆经过点A (2，－3)和B (－2，－5)．(1)若圆的面积最小，求圆的方程；(2)若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程．解：(1)要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径，圆心C (0，－4)，半径r ＝12AB ＝5，所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋4)2＝5.(2)因为k AB ＝12，AB 的中点坐标为(0，－4)，所以AB 的中垂线方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2.所以圆心为(－1，－2)．根据两点间的距离公式，得半径r ＝10，因此所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1，2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又因为直径|CD |＝410，所以|P A |＝210，所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝6，或⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－2. 所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.[B 级 综合练]11．(多选)(2020·山东青岛检测)已知圆C 过点M (1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是( )A ．满足条件的圆C 的圆心在一条直线上B ．满足条件的圆C 有且只有一个C ．点(2，－1)在满足条件的圆C 上D ．满足条件的圆C 有且只有两个，它们的圆心距为4 2解析：选ACD.因为圆C 和两个坐标轴都相切，且过点M (1，－2)，所以设圆心坐标为(a ，－a )(a >0)，故圆心在y ＝－x 的图象上，A 正确；圆C 的方程为(x －a )2＋(y ＋a )2＝a 2，把点M 的坐标代入可得a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C 有且只有两个，故B 错误；圆C 的方程分别为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，(x －5)2＋(y ＋5)2＝25，将点(2，－1)代入可知满足(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，故C 正确；它们的圆心距为（5－1）2＋（－5＋1）2＝42，D 正确．12．已知平面区域⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________． 解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0，0)，P (4，0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．因为△OPQ 为直角三角形，所以圆心为斜边PQ 的中点(2，1)，半径r ＝|PQ |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝513．已知点A (－3，0)，B (3，0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |.(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，则（x ＋3）2＋y 2＝2（x －3）2＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C 是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题意知直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当|QM |最小时，|CQ |最小，此时CQ ⊥l 1，|CQ |＝|5＋3|2＝42，则|QM |的最小值为32－16＝4.14．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线P A ，PB ，切点分别为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．解：(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0，4)，|PC |＝2，设P (a ，2a )，则a 2＋（2a －4）2＝2，解得a ＝2或a ＝65，所以点P 的坐标为(2，4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫65，125. (2)设P (b ，2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0，即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝165.所以该圆必经过定点(0，4)和⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165. [C 级 创新练]15．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为λ(λ>0，λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O ：x 2＋y 2＝1上的动点M 和定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B (1，1)，则2|MA |＋|MB |的最小值为( ) A. 6 B.7 C.10 D.11解析：选C.当点M 在x 轴上时，点M 的坐标为(－1，0)或(1，0)．若点M 的坐标为(－1，0)，则2|MA |＋|MB |＝2×12＋（1＋1）2＋12＝1＋5；若点M 的坐标为(1，0)，则2|MA |＋|MB |＝2×32＋（1－1）2＋12＝4.当点M 不在x 轴上时，取点K (－2，0)，连接OM ，MK ，因为|OM |＝1，|OA |＝12，|OK |＝2，所以|OM ||OA |＝|OK ||OM |＝2.因为∠MOK ＝∠AOM ，所以△MOK ∽△AOM ，则|MK ||MA |＝|OM ||OA |＝2，所以|MK |＝2|MA |，则2|MA |＋|MB |＝|MB |＋|MK |. 易知|MB |＋|MK |≥|BK |，可知|MB |＋|MK |的最小值为|BK |.因为B (1，1)，K (－2，0)，所以(2|MA |＋|MB |)min ＝|BK |＝（－2－1）2＋（0－1）2＝10.综上，易知2|MA |＋|MB |的最小值为10.故选C.16．(2021·东北师范大学附中摸底)如图，将边长为1的正方形ABCD 沿x 轴正方向滚动，先以点A 为旋转中心顺时针旋转，当点B 落在x 轴时，又以点B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续下去．设顶点C 滚动时的曲线为y ＝f (x )，则f (5)＝________；当2＜x ≤3时，f (x )＝________．解析：由题意，知正方形ABCD 的对角线长为 2.如图，当x ＝0时，点C 的坐标为(0，1)，即f (0)＝1；当x ＝1时，点C 的坐标为(1，2)，即f (1)＝2；当x ＝2时，点C 的坐标为(2，1)，即f (2)＝1；当x ＝3时，点C 的坐标为(3，0)，即f (3)＝0；当x ＝4时，点C 的坐标为(4，1)，即f (4)＝1；当x ＝5时，点C 的坐标为(5，2)，即f (5)＝ 2.当2＜x ≤3时，顶点C 的轨迹是以点(2，0)为圆心，1为半径的四分之一圆，所以顶点C 的方程为(x －2)2＋y 2＝1(2＜x ≤3)，所以y ＝－x 2＋4x －3，所以当2＜x ≤3时，f (x )＝－x 2＋4x －3.答案：2－x2＋4x－3第3讲圆的方程最新考纲考向预测1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.命题趋势以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题．题型主要以选择题、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.核心素养直观想象、数学运算1．圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准式(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心为(a，b)半径为r一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标：⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系．(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.常用结论1．圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y常见误区1．对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F>0这一条件．2．解答与圆有关的最值问题要注意数形结合，充分运用圆的性质．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．()(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B ＝0，D2＋E2－4AF>0.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析：选D.因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.3．(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是()A．圆M的圆心为(4，－3)B．圆M被x轴截得的弦长为8C．圆M的半径为25D．圆M被y轴截得的弦长为6解析：选ABD.圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则(x－4)2＋(y＋3)2＝25.圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5.显然选项C不正确．ABD均正确．4．(易错题)若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是解析：将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋(y －1)2＝m 24－2.由其表示圆可得m 24－2>0，解得m <－22或m >2 2.答案：(－∞，－22)∪(22，＋∞)5．若圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1，1)和B (1，3)，则圆C 的方程为________．解析：设圆心坐标为C (a ，0)，因为点A (－1，1)和B (1，3)在圆C 上，所以|CA |＝|CB |，即（a ＋1）2＋1＝（a －1）2＋9，解得a ＝2，所以圆心为C (2，0)，半径|CA |＝（2＋1）2＋1＝10，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.答案：(x －2)2＋y 2＝10求圆的方程[题组练透]1．(2021·长沙模拟)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.43解析：选B.圆心在直线BC 的垂直平分线，即x ＝1上，设圆心D (1，b )，由|DA |＝|DB |得|b |＝1＋（b －3）2，解得b ＝233，所以圆心到原点的距离为d＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213. 2．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切，则圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－2x －3＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：选A.因为圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切，所以圆的圆心坐标为(2，0)．所以圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.故选A.3．已知圆心在x 轴上，半径为5的圆位于y 轴右侧，且截直线x ＋2y ＝0所得弦的长为2，则圆的方程为________．解析：根据题意，设圆的圆心坐标为(a ，0)(a >0)，则圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝5(a >0)，则圆心到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|a ＋2×0|12＋22＝55a .又该圆截直线x ＋2y ＝0所得弦的长为2，所以可得12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫55a 2＝5，解得a ＝2 5.故圆的方程为(x －25)2＋y 2＝5.答案：(x －25)2＋y 2＝5求圆的方程的两种方法(1)直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出圆的方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．与圆有关的最值问题角度一借助几何性质求最值已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求y－3x＋2的最大值和最小值；(3)求y－x的最大值和最小值．【解】(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2 2.又|QC|＝（2＋2）2＋（7－3）2＝42，所以|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝2 2.(2)可知y－3x＋2表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.因为直线MQ与圆C有交点，所以|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤22，可得2－3≤k≤2＋3，所以y－3x＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，所以|2－7＋b|12＋（－1）2＝22，所以b＝9或b＝1.所以y－x的最大值为9，最小值为1.与圆有关的最值问题的求解策略处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：常见类型解题思路μ＝y－bx－a型转化为动直线斜率的最值问题t＝ax＋by型转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解m＝(x－a)2＋(y－b)2型转化为动点与定点的距离的平方的最值问题设点P (x ，y )是圆(x －3)2＋y 2＝4上的动点，定点A (0，2)，B (0，－2)，则|P A →＋PB→|的最大值为________． 【解析】 由题意，知P A →＝(－x ，2－y )，PB →＝(－x ，－2－y )，所以P A →＋PB→＝(－2x ，－2y )，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程(x －3)2＋y 2＝4，故y 2＝－(x －3)2＋4，所以|P A →＋PB→|＝4x 2＋4y 2＝26x －5.由圆的方程(x －3)2＋y 2＝4，易知1≤x ≤5，所以当x ＝5时，|P A →＋PB→|的值最大，最大值为26×5－5＝10.【答案】 10建立函数关系式求最值根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值．1．已知点P (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0上一点，C 为圆心，则PC →·PO→(O 为坐标原点)的取值范围是( )A ．[－3，1]B ．[－1，1]C ．[－1，3]D ．[1，3]解析：选C.将圆C 的方程x 2＋y 2－4x ＋3＝0化为(x －2)2＋y 2＝1，所以圆心C 的坐标为(2，0)．所以PC →＝(2－x ，－y )．而PO →＝(－x ，－y )，所以PC →·PO→＝x 2＋y 2－2x .因为x 2＋y 2－4x ＋3＝0，所以x 2＋y 2＝4x －3，所以PC →·PO→＝4x －3－2x ＝2x －3.因为(x －2)2＋y 2＝1，所以(x －2)2≤1，所以－1≤x －2≤1，即1≤x ≤3.因此－1≤2x －3≤3，从而PC →·PO →(O 为坐标原点)的取值范围为[－1，3]．故选C.2．(多选)若P 是圆C ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝1上任一点，则点P 到直线y ＝kx －1距离的值可以为( )A ．4B ．6C ．32＋1D ．8解析：选ABC.由题意，知圆C ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝1的圆心坐标为(－3，3)，半径为1，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)．由图可知，圆心C 到直线y ＝kx －1距离的最大值为（－3－0）2＋（3＋1）2＝5，则点P 到直线y ＝kx －1距离的最大值为5＋1＝6，最小值为5－1＝4，因此A ，B ，C 正确，只有D 不正确．故选ABC.3．设点P 是函数y ＝－4－（x －1）2图象上的任意一点，点Q 坐标为(2a ，a －3)(a ∈R )，则|PQ |的最小值为________．解析：函数y ＝－4－（x －1）2的图象表示圆(x －1)2＋y 2＝4的下半圆(包括与x 轴的交点)．令点Q 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝2a ，y ＝a －3，得y ＝x 2－3，即x －2y －6＝0，作出图象如图所示．由于圆心(1，0)到直线x －2y －6＝0的距离d ＝|1－2×0－6|12＋（－2）2＝5>2，所以直线x －2y －6＝0与圆(x －1)2＋y 2＝4相离，因此|PQ |的最小值是5－2.答案：5－2与圆有关的轨迹问题已知A (2，0)为圆x 2＋y 2＝4上一定点，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．【解】 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2，2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.与圆有关的轨迹问题的四种求法1．(2020·高考全国卷Ⅲ)在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点．若AC →·BC→＝1，则点C 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线解析：选A.以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设A (－a ，0)，B (a ，0)，C (x ，y )，因为AC →·BC→＝1，所以(x ＋a )(x －a )＋y ·y ＝1，所以x 2＋y 2＝a 2＋1，所以点C 的轨迹为圆，故选A.2．已知A (－1，0)，B (1，0)，C 为平面内的一动点，且满足|AC |＝2|BC |，则点C 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＋6x ＋1＝0B ．x 2＋y 2－6x ＋1＝0C ．x 2＋y 2－103x ＋1＝0D ．x 2＋y 2＋103x ＋1＝0解析：选B.由题意可设点C 的坐标为(x ，y )，因为满足|AC |＝2|BC |，由两点间的距离公式可得（x ＋1）2＋（y －0）2＝2×（x －1）2＋（y －0）2，即x 2＋2x ＋1＋y 2＝2(x 2－2x ＋1＋y 2)，所以x 2＋y 2－6x ＋1＝0即为点C 的轨迹方程．故选B.[A 级 基础练]1．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．－15<a <1B ．－1<a <15C ．－1<a <1D ．0<a <1解析：选A.由(2a )2＋(a －2)2<5，得－15<a <1.故选A.2．方程|x |－1＝1－（y －1）2所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆解析：选D.由题意得⎩⎨⎧（|x |－1）2＋（y －1）2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎨⎧（x －1）2＋（y －1）2＝1，x ≥1或⎩⎨⎧（x ＋1）2＋（y －1）2＝1，x ≤－1. 故原方程表示两个半圆．3．(多选)设圆A ：x 2＋y 2－2x －3＝0，则下列说法正确的是( )A ．圆A 的半径为2B ．圆A 截y 轴所得的弦长为2 3C ．圆A 上的点到直线3x －4y ＋12＝0的最小距离为1D ．圆A 与圆B ：x 2＋y 2－8x －8y ＋23＝0相离解析：选ABC.把圆A 的方程x 2＋y 2－2x －3＝0化成标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，所以圆A 的圆心坐标为(1，0)，半径为2，A 正确；圆A 截y 轴所得的弦长|CD |＝2×4－1＝23，B 正确；圆心(1，0)到直线3x －4y ＋12＝0的距离为3，故圆A 上的点到直线3x －4y ＋12＝0的最小距离为3－2＝1，C 正确；圆B ：x 2＋y 2－8x －8y ＋23＝0的圆心为(4，4)，半径为3，根据（4－1）2＋42＝5可知，圆A 与圆B 相外切，D 错误，故选ABC.4．(2020·高考全国卷Ⅱ)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55 B.255 C.355 D.455解析：选B.因为圆与两坐标轴都相切，点(2，1)在该圆上，所以可设该圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2(a >0)，所以(2－a )2＋(1－a )2＝a 2，即a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5，所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，所以圆心到直线2x －y －3＝0的距离为|2×1－1－3|22＋（－1）2＝255或|2×5－5－3|22＋（－1）2＝255，故选B. 5．(2020·全国统一考试模拟卷)已知点A 为曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的动点，B为圆(x －2)2＋y 2＝1上的动点，则|AB |的最小值是( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2解析：选A.根据题意，|AB |的最小值为曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的点到圆心(2，0)的距离的最小值减去圆的半径1.由于曲线y ＝x ＋4x (x >0)上最低点的坐标为(2，4)，结合图象可知，所求的最小值为（2－2）2＋42－1＝3.6．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．解析：已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．答案：(－2，－4) 57．过两点A (1，4)，B (3，2)且圆心在直线y ＝0上的圆的标准方程为________． 解析：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.因为圆心在直线y ＝0上，所以b ＝0，所以圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2.又因为该圆过A (1，4)，B (3，2)两点，所以⎩⎨⎧（1－a ）2＋16＝r 2，（3－a ）2＋4＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝－1，r 2＝20.所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20. 答案：(x ＋1)2＋y 2＝208．(2020·山西太原期中)已知长为2a (a >0)的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹方程为________．解析：如图，不论直线怎么移动，线段AB 的中点P 与原点O 的连线始终为Rt △OAB 斜边上的中线，即|OP |＝a ，即x 2＋y 2＝a 2.故所求的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.答案：x 2＋y 2＝a 29．已知圆经过点A (2，－3)和B (－2，－5)．(1)若圆的面积最小，求圆的方程；(2)若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程．解：(1)要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径，圆心C (0，－4)，半径r ＝12AB ＝5，所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋4)2＝5.(2)因为k AB ＝12，AB 的中点坐标为(0，－4)，所以AB 的中垂线方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2.所以圆心为(－1，－2)．根据两点间的距离公式，得半径r ＝10，因此所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1，2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又因为直径|CD |＝410，所以|P A |＝210，所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝6，或⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－2. 所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.[B 级 综合练]11．(多选)(2020·山东青岛检测)已知圆C 过点M (1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是( )A ．满足条件的圆C 的圆心在一条直线上B ．满足条件的圆C 有且只有一个C ．点(2，－1)在满足条件的圆C 上D ．满足条件的圆C 有且只有两个，它们的圆心距为4 2解析：选ACD.因为圆C 和两个坐标轴都相切，且过点M (1，－2)，所以设圆心坐标为(a ，－a )(a >0)，故圆心在y ＝－x 的图象上，A 正确；圆C 的方程为(x －a )2＋(y ＋a )2＝a 2，把点M 的坐标代入可得a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C 有且只有两个，故B 错误；圆C 的方程分别为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，(x －5)2＋(y ＋5)2＝25，将点(2，－1)代入可知满足(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，故C 正确；它们的圆心距为（5－1）2＋（－5＋1）2＝42，D 正确．12．已知平面区域⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________． 解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0，0)，P (4，0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．因为△OPQ 为直角三角形，所以圆心为斜边PQ 的中点(2，1)，半径r ＝|PQ |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝513．已知点A (－3，0)，B (3，0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |.(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，则（x ＋3）2＋y 2＝2（x －3）2＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C 是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题意知直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当|QM |最小时，|CQ |最小，此时CQ ⊥l 1，|CQ |＝|5＋3|2＝42，则|QM |的最小值为32－16＝4.14．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线P A ，PB ，切点分别为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．解：(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0，4)，|PC |＝2，设P (a ，2a )，则a 2＋（2a －4）2＝2，解得a ＝2或a ＝65，所以点P 的坐标为(2，4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫65，125. (2)设P (b ，2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0，即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝165.所以该圆必经过定点(0，4)和⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165. [C 级 创新练]15．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为λ(λ>0，λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已。