2020版高考数学二轮复习专题限时集训2恒等变换与解三角形理

专题过关检测（十一）三角恒等变换与解三角形A 级1. 3cos 15 °－4sin215°cos 15 °＝()A.122B.2C ． 1D.2分析：选 D3cos 15 °－ 4sin 215°cos 15 °＝ 3cos 15 °－ 2sin 15 °× 2sin 15 °cos 15 °＝ 3cos 15 °－ 2sin 15 °sin 30 °＝ 3cos 15 °－ sin 15 °＝ 2cos(15 °＋ 30°) ＝2.ππ2．已知 cos 2 ＋ α ＝ 2cos( π－ α) ，则 tan 4＋ α ＝ ( )A ．－ 3B ． 3C ．－1D. 1 33π分析：选 A ∵cos 2 ＋ α ＝ 2cos( π－ α) ，∴－ sinα＝－ 2cos α，∴ tan α＝ 2，π 1＋tan α∴tan4 ＋α ＝1－ tanα＝－ 3，应选 A.cos 2 α23．若π＝－ 4 ，则 cos α＋ sinα 的值为 ()sin α－421A ．－ 2B ．－ 412 C.4 `D. 2分析：选 Ccos 2 αcos 2α－sin 2α由于π＝2 ααsin α－2 sin － cos42＝－ 2(sinα＋ cos α) ＝－ 4 ，1所以 cos α ＋ sinα＝ 4.4． (2020 届高三·湘东六校联考 ) 在△ ABC 中， A ， B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，此中2＝ ac ，且 sin＝ 2sin，则其最小内角的余弦值为 ()b C B22 A ．－ 4 B. 45 23 C. 8D. 4分析：选 C 由 sin＝ 2sinB 及正弦定理，得c ＝2.又 2＝ ac ，所以＝ 2 a ，Cbbb所以c ＝ 2a ，所以A 为△ABC 的最小内角．由余弦定理，可得cos ＝ b 2＋ c 2－ a 2＝A2bc2a 2＋ 2a 2 －a 2 5 22· 2·2＝ 8 ，应选 C.a a5．(2019 ·福州质检 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c . 已知 a ＝ 3b ， Aπ－B ＝ 2 ，则角 C ＝ ()ππA.B.12 6ππ C. 4D. 3分析：选 Bππ＋π＝ cos由于△ ABC 中， A － B ＝ 2 ，所以 A ＝ B ＋ 2 ，所以 sin A ＝ sin B 2 B ，由于 a ＝ 3b ，所以由正弦定理得 sin A ＝ 3sin B ，所以 cos B ＝ 3sin B ，所以 tan B3ππ ππ π＝ 3 ，由于 B ∈ (0 ，π ) ，所以 B ＝ 6 ，所以 C ＝π－＋2 －6＝ 6，应选 B.66．若向量 ＝ tan 67.5°， 1 ，向量 ＝ (1 ，sin 22.5 °) ，则 a · b ＝()acos 157.5 ° bA ． 2B ．－ 2 C.2D ．－ 2sin 22.5 °分析：选 A 由题得 a · b ＝tan 67.5 °＋ cos 157.5 °＝tan 67.5 sin 22.5 °°＋－cos 22.5 ° ＝tan 67.5 °－ tan 22.5 °＝tan 67.51°－tan 67.5 °tan 2°－ 167.5＝tan 67.5 °tan 267.5 °－ 11 ＝2× 2tan 67.5 ° ＝2× －tan 135 °＝ 2.7．(2019 ·江西七校第一次联考) △ ABC 的内角 A ，B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 b＝a cos＋ 3 s in C ， a ＝ 2， c ＝ 2 6 ，则角 C ＝ ( )C 3 33ππ A. 4B. 3πD.πC.46分析：选 D 由 b ＝ a cos C ＋3B ＝sin A · cosC ＋ 3C .由于3 sin C ，得 sin3 sin3sin B ＝sin[ π－ ( A ＋ C )] ＝sin( A ＋ C ) ，所以 sin A cos C ＋ cos A sin C ＝ sin A cos C ＋ 3 sin3 πA sin C (sin C ≠0) ， cos A ＝ 3 sin A ，所以 tan A ＝ 3. 由于 0<A <π，所以 A ＝ 3 . 由正弦a c 2 2π π定理sin A ＝sin C ，得 sin C ＝ 2 .由于 0<C < 3 ，所以 C ＝4.应选 D.8．已知△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，若 c ＋ b ＝2a ，则△ ABCsin B sin C是()A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形cbC ＝ 2a ，所以由正弦定理可得，sinCsin B分析：选 C 由于sin B ＋sinsinB ＋sinC ＝ 2sin≥2 sin C sin B· ＝ 2，A sinB sin Csin C sin B所以 sin A ＝ 1，当 sin B ＝ sinC 时，“＝”建立，π所以 A ＝ 2 ， b ＝ c ，所以△ ABC 是等腰直角三角形．π5 π 3 109．若 α， β∈ 0， 2 ， sin α＝ 5 ， cos 2 － β ＝10 ，则 β－α ＝ ()ππ A. 6 B. 4 π π C. 3D. 12分析：选 B 由 sin α＝5，及 α∈ π，得 cos α＝2 5，5 0， 52πβ3 10－ β＝ sin ＝ 10，由 cos 2π10及 β∈ 0， 2 ，得 cos β＝ 10 ，3 10 2 510 5 2所以 sin( β －α) ＝ sinβcos α －cos βsin α ＝ 10 × 5 －10×5＝2.－ π ， π π又由于 β－ α∈ 2 2 ，所以 β－ α＝ 4 .10．在△ ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ， b ， c, 2bc sin A ＝ b 2＋ c 2－ a 2，△ ABC 的外接圆半径为2，则 a 的值为 ()A ． 1B ． 2 C. 2D ．2 2222分析：选 B 由 2bc sin A ＝ b 2＋ c 2－ a 2 及余弦定理，可得 sinA ＝b＋c－a＝ cos A ，故2bcπ2tan A ＝1，由于 0<A <π，所以 A ＝ 4 ， sin A ＝ 2 ，又△ ABC 的外接圆半径 R 为 2，所以 a2＝ 2R sin A ＝2× 2× 2 ＝ 2.11. 为了竖一块广告牌，要制造一个三角形支架，如图，要求∠ACB ＝60°， BC 的长度大于 1 米，且 AC 比 AB 长 0.5 米，为了牢固广告牌，要求 AC 越短越好， 则 AC 最短为 ()A. 1＋3 米 B ．2 米2C ．(1＋3) 米D ．(2 ＋ 3) 米分析：选D 设 的长度为 x 米， 的长度为y 米，则的长度为 (－ 0.5) 米，在△BCACABy中，由余弦定理2＝22· cos ∠，得 ( － 0.5) 2 ＝2 ＋2 － 21 ABC AB ＋－ 2y x xy× ，化AC BCAC BCACBy22121x － 43简得 y ( x －1) ＝ x －4. 由于 x >1，所以 x － 1>0，所以 y ＝ x － 1 ＝( x － 1) ＋4 x －1 ＋2≥ 3＋ 2，3 3当且仅当 x － 1＝ 4 x －1 时取等号，即 x ＝1＋ 2 时， y 获得最小值 2＋ 3，所以 AC 最短为(2 ＋ 3) 米．12．在△ ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别是 a ，b ， c ，且 a ， b ， c 成等差数列，则角B 的取值范围是 ()A. π πB. 0， π，233C.π π D.π6， 23 ，π分析：选 B 由于 a ， b ，c 成等差数列，所以 2b ＝ a ＋ c ，在△ ABC 中，由余弦定理得：2＋ 2－ 232a＋ c≥ ac ，所以 cos3cos B ＝acb ＝· a ＋c－1，由基本不等式 2 B ≥ ×4－ 1＝2ac8ac81π2，所以 B 的取值范围是0，3.π33π13．(2019 ·安徽五校联考 ) 若 α 是锐角，且 cos α＋ 6 ＝5 ，则 cos α＋ 2 ＝________.π π π 2ππ 3α ＋ π 4分析： 由于 0<α< ，所以 <α＋< ，又 cos α ＋ ＝ ，所以 sin＝ ，266 3 6 56 53ππππππ π 则 cos α＋2＝ sin α＝ sin α＋ 6 － 6 ＝ sin α＋ 6 cos 6 － cos α＋6 sin64 33 14 3－ 3＝ ×－ × ＝10.52 5 2答案： 4 3－31014．(2019 ·郑州模拟 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ，c ，且 sin C ＋π12sin C cos B ＝ sin A ， C ∈ 0， 2 ， a ＝ 6， cos B ＝ 3，则 b ＝ ________.153 61分析：由正弦定理可得 c ＋ 2c × 3＝a ，即 a ＝3c ，又 a ＝ 6，所以 c ＝ 5 . 由 cos B ＝ 3 54 2a 2＋ c 2－b 2 6＋ 25－ b 254 12 144 12 ＝ 2ac ＝ 3 6 ，得 b ＝ 6＋25－ 5 ＝ 25 ，所以 b ＝ 5 .2×6×5答案： 12515．在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且△ ABC 的外接圆半径为 1，若 abc ＝ 6，则△ ABC 的面积为 ________．分析：由题意及正弦定理得csinC ＝ 2R ＝ 2( R 为△ ABC 外接圆的半径) ，即c ＝ 2R sinC ＝2sinC .联合 abc ＝ 6 可得 abc ＝ ab ·2sin C ＝ 2ab sin C ＝ 6，所以 ab sin C ＝3，所以△ ABC 的面积 S ＝2ab sin C ＝ 2.△ABC133答案： 216．(2019 ·湖南五市十校联考 ) 已知a， ， 分别为△ 的内角，， 的对边， (3bb c ABC A B C －a )cos C ＝ c cos A ， c 是 a ，b 的等比中项，且△ ABC 的面积为 3 2，则 a ＋ b ＝ ________.分析：由 (3 b － a )cos C ＝ c cos A ，得 3sin B cos C － sin A cos C ＝ sin C cos A ，即 3sincos＝ sincos ＋ cos sin ＝ sin( ＋ ) ＝ sin ，又 sin ≠0，所以 cos＝1，得BCACACA CBBC 32212sin C ＝ 3 .由 S △ ABC ＝2ab sin C ＝ 3 2，得 ab ＝ 9. 又 c 是 a ， b 的等比中项，所以 c ＝ ab . 由余弦定理 c 2＝ a 2＋ b 2－ 2ab cos C ，得 a 2＋ b 2＝ 15，则 ( a ＋b ) 2＝ a 2＋ b 2＋ 2ab ＝ 15＋ 18＝ 33，即 a ＋ b ＝ 33.答案： 33B 级1．已知△ABC 的内角， ，的对边分别是a ，b ， csin 2A ＋ sin 2B － sin 2C，且＝ABCcsin sinABA ，若 a ＋ b ＝ 4，则 c 的取值范围为 ()a cos B ＋b cosA ． (0,4)B ． [2,4)C ． [1,4)D ． (2,4]分析：选 B 在△中，由三角函数的定义知cos＋ cos＝ ，联合正弦定理和ABCaB bA ca 2 ＋b 2－c 2ab2＋ 2－2＝，所以由余弦定理，得 cosa 2＋b 2－c 21 已知，得＝，即a b c＝＝ ，ccabC2ab2222 2－3ab ≥(a ＋ b ) 2a ＋b 2a ＋b 2则 C ＝60°，所以 c＝ a＋ b － ab ＝ ( a ＋ b )－3×2＝＝ 4，所以4c ≥2. 又 c <a ＋ b ＝ 4，所以 c 的取值范围是 [2,4) ，应选 B.2．已知台风中心位于城市A 东偏北 α( α 为锐角 ) 的 150千米处，以 v 千米 / 时沿正西3方向迅速挪动， 2.5 小时后抵达距城市 A 西偏北 β( β 为锐角 ) 的 200 千米处，若 cos α＝ 4cos β，则 v ＝ ()A ． 60B ． 80C ． 100D ． 125分析：选 C如图，台风中心为 B,2.5 小时后抵达点 C ，则在△ ABC中， AB sin α＝ AC sin43β，即 sin α＝ 3sin β，又 cosα＝ 4cos β，∴ s in 2α ＋ cos 2α＝16sin 2β＋ 9cos 2β＝ 1＝ sin 2 β＋ cos 2β，∴ sin β91633443＝ 4cos β，∴ sin β ＝ 5，cosβ＝ 5，∴ sin α ＝5，cos α＝ 5，∴ cos( α＋ β) ＝ cos αcos－ sinsin3 4 4 3＋＝π 2＝2＋222＋β α β＝×－×＝0，∴α β ，∴AB ，∴ (2.5v ) ＝15055 5 52BCAC2002，解得 v ＝ 100，应选 C.3．(2019 ·成都二诊 ) 某小区拟将如图的向来角三角形 ABC 地区进行改建：在三边上各 选一点连成等边三角形DEF ，在其内建筑文化景观．已知AB ＝ 20 m ， AC ＝ 10 m ，则△ DEF区2)域面积 ( 单位： m) 的最小值为 (A ． 25 3 B. 75 3 14100 3 D.75 3 C. 77π分析：选 D依据题意，知在直角三角形 ABC 中，∠ B ＝ 6 ，设∠ DEC ＝ θ， DE ＝ a ，则π 2π 5π － πCE ＝ a cos θ ，∠ FEB ＝π－ ＋θ ＝ 3 － θ，所以∠ EFB ＝π－6 θ ＝ 6 ＋ θ，在3△BFE中，EB a sin π＋ θ ＝π，6 sin 6π ＋ θa sin所以 ＝ 6＝2 sin π ＋ θ ，EB π a 6sin6所以＝ ＋ ＝ cosθ＋ 2 sin π＋ θ ＝ 10 3，BC CEEBaa6所 以a ＝10 3＝10 3＝10 3 10 3πθ＋3sin θ7sin≥7cos θ＋ 2sin2cosθ＋ φ6 ＋ θ此中 tan2 3φ＝ 3 ，所以正三角形的面积1 2sinπ 32≥3103 30075 3＝＝4× 3 2＝×7 ＝.DEFS 2a3 a4 7 4 74．(2019 ·桂林期末 ) 已知△ ABC 的角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，且 a 2＋ b 2＝ c 223 2＋ 3ab . 若△ ABC 外接圆的半径为2 ，则△ ABC 面积的最大值为 ________．2＋2ab ，∴ a 2＋b 2－ c 2＝ 2ab ，∴ cos2 2 22ab1，∴ sin分析：∵ a 2＋ b 2＝ c C ＝ a ＋ b －c ＝ 3 ＝ C3322ab3ab＝22 . 又△ 外接圆的半径为3 2 ，∴由正弦定理可得 c ＝2 ( 为△外接圆的半 3 ABC 2 sin C R R ABC3 2 2 222222 4径) ，即 c ＝2× 2 × 3＝4. 由 c ＝ 16 ＝ a ＋ b － 3ab ≥2ab － 3ab ＝3ab ，得 ab ≤12，当且仅当 ＝ 时等号建立，∴△ ABC＝ 1 sin ≤ 1 ×12× 2 2 ＝ 4 2.a bS2abC 23答案： 4 25．(2019 ·长春质检 ) 在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ， b ，c ，若其面积 S ＝22 3b sin A ，角 A 的均分线 AD 交 BC 于点 D ，AD ＝3， a ＝ 3，则 b ＝________.12c分析：由面积公式 S ＝ 2bc sin A ＝ b sin A ，可得 c ＝2b ，即 b ＝ 2. 由 a ＝ 3，并联合角均分线定理可得， BD ＝ 2 3 3cos B ＝ 4b 2＋ 3－ b 2 3 ，CD ＝ 3 ，在△ ABC 中，由余弦定理得，在2×2× 3b2 4 4 2 44 △ABD 中， cosB ＝ 4b ＋3－ 3 22 4b ＋ 3－ 32 3 ，即 4b ＋ 3－ b ＝2 ，化简得 b 2＝ 1，解得 b ＝ 1.2×2b × 3 32×2b × 32×2b ×3答案： 1。

专题08 三角恒等变换——2020高考数学（理）二轮复习微专题聚焦【考情分析】三角恒等变换主要考查两角和、差及倍角公式的正用、逆用、变形用，仍然是2020年高考考查的热点，小题题型为选择、填空题，分值为5分；大题仍有可能以三角形中的三角函数为背景，结合平面向量、正弦、余弦定理，考查三角公式的恒等变形，和运算求解能力；也有可能考查三角函数的图像与性质，结合实际问题考查三角函数的基本公式、图象与性质、正、余弦定理， 解三角形的实际应用题要高度关注，分值为12分。

考点一 给值求值、给值求角、给角求值 【必备知识】1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑴()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑴()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑴()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑴()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．2、二倍角的正弦、余弦和正切公式⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑴2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． (3)万能公式：ααααααααα2222tan 1tan 22tan ,2tan12tan 1cos ,2tan 12tan2sin -=+-=+=(4)半角公式：αααααααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan ,2cos 12sin ,2cos 12cos -=+=+-±=-±=+±=(5) 辅助角公式:)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a ，其中2222cos ,sin ba a ba b +=+=ϕϕ。

第二讲 三角恒等变换与解三角形[高考导航]1．利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点．2．利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状的判定以及有关范围的计算，常与三角恒等变换综合考查．考点一 三角恒等变换与求值1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝2sin αcos α.(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan2α＝2tan α1－tan 2α.3．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .1．(2019·贵阳监测)sin 415°－cos 415°＝( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32[解析] sin 415°－cos 415°＝(sin 215°－cos 215°)(sin 215°＋cos 215°)＝sin 215°－cos 215°＝－cos30°＝－32.故选D.[答案] D2．(2019·山西省名校联考)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋cos α＝( )A ．－223B ．±223 C ．－1 D ．±1 [解析]由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－1，故选C. [答案] C3．(2019·河南郑州3月联考)若1＋tan α1－tan α＝2018，则1cos2α＋tan2α＝( )A ．2017B ．2018C ．2019D ．1004[解析] 1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝1＋sin2αcos2α＝(sin α＋cos α)2cos2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝sin α＋cos αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2018，故选B. [答案] B4．(2019·河南濮阳一模)设0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－35，则sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝( )A.110B.220 C ．－110 D ．－220[解析] 因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°.又因为sin(75°＋2α)＝－35<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos(75°＋2α)＝－45.所以sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝sin(15°＋α)·cos(15°＋α)＝12sin(30°＋2α)＝12sin[(75°＋2α)－45°]＝12[sin(75°＋2α)·cos45°－cos(75°＋2α)·sin45°]＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＋45×22＝220，故选B.[答案] B5．(2019·豫北名校联考)计算： cos10°－3cos (－100°)1－sin10°＝________.(用数字作答)[解析] cos10°－3cos (－100°)1－sin10°＝cos10°＋3cos80°1－cos80°＝cos10°＋3sin10°2·sin40°＝2sin (10°＋30°)2·sin40°＝ 2.[答案]26．(2019·长春三校联考)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，若0<β<α<π2，则β＝________.[解析] 由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437，由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314. 由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴β＝π3.[答案]π3(1)三角恒等变换的三原则①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式，如2题．②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．(2)解决条件求值应关注的三点①分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．②正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．③求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小，如6题．考点二解三角形1．正弦定理a sin A＝bsin B＝csin C＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C.sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c 2R.a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .3．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .角度1：利用正弦、余弦定理判断三角形的形状【例1】 (2019·豫北名校4月联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 [解题指导] 解法一：对原式进行化简→正弦定理把边化成角→判断三角形的形状 解法二：对原式进行化简→利用正、余弦定理把角化成边→判断三角形的形状[解析] 解法一：已知等式可化为a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A . 由正弦定理，上式可化为 sin 2A cos A sin B ＝sin 2B cos B sin A ，∴sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0，∵A ，B 均为△ABC 的内角，∴sin A ≠0，sin B ≠0， ∴sin2A －sin2B ＝0，即sin2A ＝sin2B . 由A ，B ∈(0，π)得0<2A <2π， 0<2B <2π，得2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D. 解法二：(同解法一)可得2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A . 由正、余弦定理，可得a 2·b 2＋c 2－a 22bc ·b ＝b 2·a 2＋c 2－b 22ac ·a . ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， 即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0. ∴a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．故选D. [答案] D角度2：利用正弦、余弦定理进行边角计算【例2】 (2019·武汉二模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1.(1)求B 的大小；(2)若a ＋c ＝332，b ＝3，求△ABC 的面积．[解] (1)由2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1， 得2(sin A sin C －cos A cos C )＝1， 即cos(A ＋C )＝－12， ∴cos B ＝－cos(A ＋C )＝12， 又0<B <π，∴B ＝π3.(2)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， ∴(a ＋c )2－2ac －b 22ac ＝12，又a ＋c ＝332，b ＝3， ∴274－2ac －3＝ac ，即ac ＝54， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×54×32＝5316.[探究追问1] 若本例第(2)问条件变为“若b ＝3，S △ABC ＝332”，试求a ＋c 的值．[解] 由已知S △ABC ＝12ac sin B ＝332， ∴12ac ×32＝332，则ac ＝6.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－3ac，所以(a＋c)2＝b2＋3ac＝21，所以a＋c＝21.[探究追问2]在本例条件下，若b＝3，求△ABC面积的最大值．[解]由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac，则3＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，所以ac≤3(当且仅当a＝c＝3时取等号)．所以S△ABC＝12ac sin B≤12×3×sinπ3＝334.故△ABC面积的最大值为334.利用正、余弦定理解三角形应注意的3点(1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理．(2)涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形．(3)涉及正、余弦定理与三角形面积综合问题，求三角形面积时用S＝12ab sin C形式的面积公式．1．(2019·山西太原五中12月月考)在△ABC 中，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，则△ABC 为( )A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形[解析] 由2a cos B ＝c ，得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ，即a 2＝b 2，所以a ＝b .因为sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，所以2sin A sin B (2－cos C )－2＋1－2sin 2C2＝0，即2sin A sin B (2－cos C )－2＋cos C ＝0， 所以(2－cos C )·(2sin A sin B －1)＝0， 因为cos C ≠2，所以sin A sin B ＝12.因为a ＝b ，所以sin 2A ＝12，所以A ＝B ＝π4，所以C ＝π2. 所以△ABC 是等腰直角三角形，故选D. [答案] D2．(2019·河北重点中学第三次联考)如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝4，b ＝2,2c cos C ＝b ，D ，E 分别为线段BC 上的点，且BD ＝CD ，∠BAE ＝∠CAE .(1)求线段AD 的长； (2)求△ADE 的面积．[解] (1)因为c ＝4，b ＝2,2c cos C ＝b ，所以cos C ＝b 2c ＝14. 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋4－164a ＝14， 所以a ＝4，即BC ＝4. 在△ACD 中，CD ＝2，AC ＝2，所以AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos ∠ACD ＝6，所以AD ＝ 6. (2)因为AE 是∠BAC 的平分线， 所以S △ABE S △ACE ＝12AB ·AE ·sin ∠BAE 12AC ·AE ·sin ∠CAE＝AB AC ＝2，又S △ABES △ACE＝BE EC ，所以BEEC ＝2， 所以CE ＝13BC ＝43，DE ＝2－43＝23. 又因为cos C ＝14，所以sin C ＝1－cos 2C ＝154.所以S △ADE ＝12×DE ×AC ×sin C ＝156.考点三 正、余弦定理的实际应用1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．1．(2019·保定摸底)已知在河岸A处看到河对岸两个帐篷C，D 分别在北偏东45°和北偏东30°方向，若向东走30米到达B处后再次观察帐篷C，D，此时C，D分别在北偏西15°和北偏西60°方向，则帐篷C，D之间的距离为()A ．1015米B ．106米C ．515米D ．56米[解析] 由题意可得∠DAB ＝60°，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，∠DBA ＝30°，在△ABD 中，∠DAB ＝60°，∠DBA ＝30°，AB ＝30，所以∠ADB ＝90°，sin ∠DAB ＝sin60°＝BDBA ，解得BD ＝15 3.在△ABC 中，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，所以∠ACB ＝60°，AB sin60°＝BCsin45°，解得BC ＝10 6.在△BCD 中，∠CBD ＝∠CBA －∠DBA ＝45°，则由余弦定理得cos ∠CBD ＝cos45°＝BC 2＋BD 2－CD 22BC ·BD ，即22＝(106)2＋(153)2－CD22×106×153，得CD ＝515.故选C.[答案] C2．(2019·太原五中月考)为了竖一块广告牌，要制造一个三角形支架，如图，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为( )A ．(1＋32)米 B ．2米 C ．(1＋3)米D ．(2＋3)米[解析] 设BC 的长度为x 米，AC 的长度为y 米，则AB 的长度为(y －0.5)米，在△ABC 中，由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，得(y －0.5)2＝y 2＋x 2－2xy ×12，化简得y (x －1)＝x 2－14.因为x >1，所以x －1>0，因此y ＝x 2－14x －1＝(x －1)＋34(x －1)＋2≥3＋2，当且仅当x －1＝34(x －1)时取等号，即x ＝1＋32时，y 取得最小值2＋3，因此AC 最短为(2＋3)米．[答案] D3．(2019·广东省五校协作体高三一诊)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.[解析] 由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°可得∠BDA ＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC ＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB ＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin30°＝DB sin15°，即DB ＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)＝252(3－1)，又25sin45°＝252(3－1)sin (90°＋θ)，即25sin45°＝252(3－1)cos θ，得到cos θ＝3－1. [答案]3－14．(2019·福州综合质量检测)如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为________m/s.(精确到0.1)参考数据：2≈1.414，5≈2.236.[解析] 因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°.设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v m ， 在Rt △ADB 中，AB ＝AD cos ∠BAD ＝ADcos60°＝200 m.在Rt △ADC 中，AC ＝AD cos ∠CAD＝100cos45°＝100 2 m.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ， 所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos135°，解得v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.[答案] 22.6解三角形实际问题的4步骤1．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sin α＝ ( )A.15 B.55 C.33D.255[解析] 由二倍角公式可知4sin αcos α＝2cos 2α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α≠0， ∴2sin α＝cos α，∴tan α＝12，∴sin α＝55.故选B. [答案] B2．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( ) A.π2 B.π3 C.π4D.π6[解析] 根据余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，因为S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24，所以S △ABC ＝2ab cos C 4，又S △ABC ＝12ab sin C ，所以tan C ＝1，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π4.故选C.[答案] C3．(2019·浙江卷)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________.[解析] 在△BDC 中，BC ＝3，sin ∠BCD ＝45，∠BDC ＝45°，由正弦定理得BD sin ∠BCD ＝BC sin ∠BDC，则BD ＝3×4522＝1225，在△ABD 中，sin ∠BAD ＝35，cos ∠BAD ＝45，∠ADB ＝135°，∴cos ∠ABD ＝cos[180°－(135°＋∠BAD )]＝cos(45°－∠BAD )＝cos45°cos ∠BAD ＋sin45°sin ∠BAD ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋35＝7210.[答案] 1225 72104．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． [解] (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A . 因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sin B . 由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A＋C 2＝cos B2，故cos B 2＝2sin B 2cos B 2. 因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12， 因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°，故12<a <2， 从而38<S △ABC <32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，32.1.高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．2．若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9或第13～15题位置上．3．若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等．热点课题1 解三角形中的范围问题(2019·河南豫北联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos C ＝(2b －3c )cos A .(1)求角A 的大小；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－B －2sin 2C2的取值范围．[解] (1)由正弦定理将原等式化为3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ，从而可得，3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ， 即3sin B ＝2sin B cos A .又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0， 于是cos A ＝32.又A 为三角形的内角，因此A ＝π6.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－B －2sin 2C 2 ＝sin B ＋cos C －1＝sin B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B －1＝sin B ＋cos 5π6cos B ＋sin 5π6sin B －1 ＝32sin B －32cos B －1 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6－1，由A ＝π6可知，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π6，所以B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3，从而sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1， 因此，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6－1∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－3＋22，3－1，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－B －2sin 2C 2的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－3＋22，3－1. 专题强化训练(十二)一、选择题1．(2019·贵阳监测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( )A.79B.13 C ．－13 D ．－79[解析] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝79， ∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－79.[答案] D2．(2019·湖北武汉模拟)在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝π3，则A 等于( )A.π6B.π4C.3π4D.π4或3π4[解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，所以sin A ＝a sin Bb ＝2×sin π33＝22，所以A ＝π4或3π4.又a <b ，所以A <B ，所以A ＝π4.[答案] B3．(2019·沧州4月联考)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝( ) A.43 B ．－43 C ．－34 D.34[解析] 解法一：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22×(sin θ＋cos θ)＝35，∴sin θ＋cos θ＝325，① ∴2sin θcos θ＝－725.∵θ是第四象限角，∴sin θ<0，cos θ>0， ∴sin θ－cos θ＝－1－2sin θcos θ＝－425，②由①②得sin θ＝－210，cos θ＝7210，∴tan θ＝－17， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－43. 解法二：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝π2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝35，又2k π－π2<θ<2k π，k ∈Z ， ∴2k π－π4<θ＋π4<2k π＋π4，k ∈Z ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝43，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝－43.[答案] B4．(2019·山西太原模拟)在△ABC 中，c －a 2c ＝sin 2B 2(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形[解析] 由cos B ＝1－2sin 2B 2得sin 2B 2＝1－cos B 2，∴c －a 2c ＝1－cos B 2，即cos B ＝a c .解法一：由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＝ac ，即a 2＋c 2－b 2＝2a 2，∴a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为直角三角形，又无法判断两直角边是否相等，故选A. 解法二：由正弦定理得cos B ＝sin Asin C ，又sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，∴cos B sin C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即sin B cos C ＝0，又sin B ≠0，∴cos C ＝0，又角C 为三角形的内角，∴C ＝π2，∴△ABC 为直角三角形，又无法判断两直角边是否相等，故选A.[答案] A5．(2019·湛江一模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，S △ABC ＝23，且c cos B ＋b cos C －2a cos A ＝0，则a ＝( )A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．25[解析] 解法一：由正弦定理知，c cos B ＋b cos C －2a cos A ＝0可化为sin C cos B ＋sin B cos C －2sin A cos A ＝0，即sin(B ＋C )－2sin A cos A ＝0，因为sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A >0，所以cos A ＝12.又0<A <π，所以A ＝π3.由b ＝2，S △ABC ＝12bc sin A ＝23，得c ＝4.由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝22＋42－2×2×4×12＝12，所以a ＝2 3.解法二：由三角形中的射影定理可知c cos B ＋b cos C ＝a ，所以c cos B ＋b cos C －2a cos A ＝0可化为a －2a cos A ＝0，因为a ≠0，所以cos A ＝12.又0<A <π，所以A ＝π3.由b ＝2，S △ABC ＝12bc sin A ＝23，得c ＝4.由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝22＋42－2×2×4×12＝12，所以a ＝2 3.[答案] C6．(2019·南京调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b ，若△ABC 的面积S ＝3c ，则ab 的最小值为( )A ．28B ．36C ．48D ．56[解析] 在△ABC 中，2c cos B ＝2a ＋b ，由正弦定理，得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B .又A ＝π－(B ＋C )，所以sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，所以2sin C cos B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin B ，得2sin B cos C ＋sin B ＝0，因为sin B ≠0，所以cos C ＝－12，又0<C <π，所以C ＝2π3.由S ＝3c ＝12ab sin C ＝12ab ×32，得c ＝ab 4.由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2＋ab ≥2ab ＋ab ＝3ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫ab 42≥3ab ，得ab ≥48，所以ab 的最小值为48，故选C.[答案] C 二、填空题7．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________．[解析] 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及已知得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c ×12，∴c ＝23(c ＝－23舍去)．∴a ＝2c ＝43，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×32＝6 3.[答案] 638．(2019·成都一诊)计算：4cos50°－tan40°＝________. [解析] 4cos50°－tan40°＝4sin40°－sin40°cos40° ＝4cos40°sin40°－sin40°cos40° ＝2sin80°－sin40°cos40° ＝2sin (120°－40°)－sin40°cos40° ＝3cos40°＋sin40°－sin40°cos40° ＝3cos40°cos40°＝ 3. [答案]39．(2019·安徽合肥一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为________．[解析] 已知b cos A ＋a cos B ＝2，由正弦定理可得2R sin B cos A ＋2R sin A cos B ＝2(R 为△ABC 的外接圆半径)．利用两角和的正弦公式得2R sin(A ＋B )＝2，则2R sin C ＝2，因为cos C ＝223，所以sin C ＝13，所以R ＝3.故△ABC 的外接圆面积为9π.[答案] 9π 三、解答题10．(2019·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12. (1)求b ，c 的值； (2)求sin(B －C )的值．[解] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝32＋c 2－2×3×c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12.因为b ＝c ＋2，所以(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3×c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12.解得c ＝5.所以b ＝7. (2)由cos B ＝－12得sin B ＝32. 由正弦定理得sin C ＝c b sin B ＝5314.在△ABC 中，∠B 是钝角，所以∠C 为锐角． 所以cos C ＝1－sin 2C ＝1114.所以sin(B －C )＝sin B cos C －cos B sin C ＝437.11．(2018·烟台模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝π2，B ＝2π3，AB ＝6.在AB 边上取点E ，使得BE ＝1，连接EC ，ED .若∠CED ＝2π3，EC ＝7.(1)求sin ∠BCE 的值； (2)求CD 的长．[解] (1)在△BEC 中，由正弦定理，知BE sin ∠BCE＝CE sin B .∵B ＝2π3，BE ＝1，CE ＝7，∴sin ∠BCE ＝BE ·sin B CE ＝327＝2114.(2)∵∠CED ＝B ＝2π3，∴∠DEA ＝∠BCE ， ∴cos ∠DEA ＝1－sin 2∠DEA ＝1－sin 2∠BCE ＝1－328＝5714.∵A ＝π2，∴△AED 为直角三角形，又AE ＝5， ∴ED ＝AE cos ∠DEA ＝55714＝27.在△CED 中，CD 2＝CE 2＋DE 2－2CE ·DE ·cos ∠CED ＝7＋28－2×7×27×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝49.∴CD ＝7.12．(2019·常州一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A .(1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．[解] (1)证明：由题意知2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin Bcos A cos B ，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B .因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C . 从而sin A ＋sin B ＝2sin C . 由正弦定理得a ＋b ＝2c . (2)由(1)知c ＝a ＋b2， 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 222ab＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12， 当且仅当a ＝b 时，等号成立． 故cos C 的最小值为12.。

第 2 讲 三角恒等变换与解三角形利用三角恒等变换化简、求值[ 核心提炼 ]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin( α±β)＝sin α cos β± cos αsin β；(2)cos(α±β)＝ cos αcos β?sin αsin β；tan α± tan β(3)tan(α±β)＝1?tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2 α＝ 2sin α cos α；(2)cos 2α＝cos 2α－ sin 2α＝2cos 2 α－ 1＝ 1－2sin 2α；2tan α(3)tan 2α＝ 1－tan 2α .[ 典型例题 ]π ＋ sin θ＝ 4 3，则 sinθ＋7π的值是 ()(1) 已知 cos θ－ 6564B ． 4 3C ．－ 4D ．－ 4 3A ． 5555(2)若 sin 2 α＝ 5，sin( β－α)＝10，且 α∈ π，π，β∈ π，3π，则 α＋ β的值是 ()5104 2A. 7πB.9π445π 7π 5π9πC. 4 或 4D. 4 或 4π43【分析 】 (1)因为 cos θ－ 6＋sin θ＝ 5，3θ3θ 4 5 3所以 2 cos ＋ 2sin ＝ ， 即 3 1θ 3 θ ＝ 4 3，2cos＋ 2 sin5即 3sin θ＋ 6π＝45 3 ，所以 sinπ ＝ 4，＋5θ 67ππ 4所以sinθ＋ 6＝－sinθ＋ 6 ＝－ 5.应选 C.(2)因为α∈π，所以 2α∈π，又 sin 2α＝5，故 2α∈π，α∈π π，4 ，π2， 2π 5 2，π 4 ， 2所以 cos 2α＝－3ππ 5π10，所以 cos(α2 5.又β∈π，2，故β－α∈2，，于是 cos(β－α)＝－35 4 10＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－2 5×－3 10－5×10＝5 10 5 102 5π7π2，且α＋β∈4， 2π，故α＋β＝4.【答案】(1)C (2)A三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋ 2cos2α＝ (sin2α＋ cos2α)＋ cos2α，α＝( α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦．[对点训练 ]1．(2019 杭·州市高三模拟 )函数 f(x)＝ 3sin x x x(x∈ R)的最大值等于 () 2cos ＋ 4cos22 29A ． 5 B．25C．2 D． 2分析：选 B.因为 f(x)＝ 3sin xx 2x 2cos 2＋ 4cos 23 5 3 4＝2sin x＋ 2cos x＋ 2＝2 5sin x＋5cos x ＋2 5＝2sin(x＋φ)＋ 2，此中 sin φ＝45， cos φ＝35，9所以函数f(x) 的最大值为2.2． (2019 ·江五校联考浙α＋ tan2α＝ 1， sin β＝ 3sin(2 α＋β)，则 tan(α＋β)＝)已知 3tan 2 2()4 4A. 3 B．－32C ．－ 3D ．－ 3分析： 选 B.因为 sin β＝ 3sin(2α＋ β)，所以 sin[( α＋ β)－ α]＝3sin[( α＋ β)＋ α]，所以 sin( α＋ β)cos α－ cos(α＋ β)sin α＝ 3sin(α＋β) ·cos α＋ 3cos(α＋ β)sin α，所以 2sin(α＋ β)cos α＝－ 4cos(α＋ β)sin α，sin （ α＋ β） 4sin α所以 tan(α＋ β)＝ ＝－ ＝－ 2tan α，cos （α＋β） 2cos αα α α α又因为 3tan 2＋ tan 2 2＝ 1，所以 3tan 2 ＝ 1－ tan 2 2 ，α2tan 224 . 所以 tan α＝＝ ，所以 tan(α＋ β)＝－ 2tan α＝－3α 31－ tan 221，则 sin 2x ＝3．(2019 ·宁波诺丁汉大学附中高三期中检测)若 sin( π＋ x)＋cos(π＋ x)＝ 21＋ tan x ＝________．________，πsin xcos x － 4分析： sin( π＋x)＋ cos(π＋x)＝－ sin x － cos x ＝12，1即 sin x ＋ cos x ＝－ 2，两边平方得： sin 2x ＋ 2sin xcos x ＋ cos 2x ＝14，13 即 1＋ sin 2x ＝4，则 sin 2x ＝－ 4，sin x 1＋ tan x ＝1＋ cos x 由 π 2sin xcos x －42 sin x （ cos x ＋ sin x ）22 22 2 8 2＝sin xcos x ＝sin 2x＝ 3＝－ 3.－ 438 2 答案：－4 －3利用正、余弦定理解三角形[ 核心提炼 ]1．正弦定理及其变形在△ ABC中， a ＝ b ＝ c ＝ 2R(R 为△ ABC sin Asin B sin C的外接圆半径)．变形： a ＝ 2Rsin A ，sinA ＝ 2R a， a ∶b ∶ c ＝ sin A ∶ sin B ∶ sin C 等．2．余弦定理及其变形在△ ABC 中， a 2＝b 2＋ c 2－2bccos A ；b 2＋c 2－ a 2变形： b 2＋ c 2－ a 2＝ 2bccos A ， cos A ＝.3．三角形面积公式1 1 1△ABC＝ 2absin C ＝ 2bcsin A ＝ 2acsin B.S[ 典型例题 ](1)(2018 高·考浙江卷 )在△ ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c.若 a ＝ 7，b ＝ 2，A ＝ 60°，则 sin B ＝ ________，c ＝ ________．(2)在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为①证明： A ＝ 2B ；a ，b ， c.已知b ＋c ＝ 2acos B.②若cos B ＝23，求cos C的值．2× 3221【解】 (1)因为 a ＝ 7，b ＝ 2， A ＝ 60°，所以由正弦定理得 sin B ＝bsin A7a ＝ ＝ 7 .由余弦定理 a 2＝ b 2＋ c 2－ 2bccos A 可得 c 2－2c － 3＝ 0，所以 c ＝3.故填： 21 3.7(2)① 证明： 由正弦定理得 sin B ＋sin C＝2sin Acos B ，故 2sin Acos B ＝ sin B ＋ sin(A ＋ B)＝ sin B ＋sin Acos B ＋ cos Asin B ，于是 sin B ＝sin(A －B)．又 A ， B ∈ (0，π)，故 0＜ A － B ＜π，所以 B ＝π－(A － B) 或 B ＝ A － B ，所以 A ＝π( 舍去 )或 A ＝ 2B ，所以 A ＝ 2B.②由 cos B ＝23得 sin B ＝ 35，1cos 2B＝ 2cos2B－ 1＝－9，1 4 5故 cos A＝－9， sin A＝9 ，22cos C＝－ cos(A＋B)＝－ cos Acos B＋ sin Asin B＝27.正、余弦定理的合用条件(1)“已知两角和一边” 或“已知两边和此中一边的对角”应利用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角” 或“ 已知三角形的三边”应利用余弦定理．[ 对点训练 ]1．(2019 ·高考浙江卷 )在△ ABC 中，∠ ABC＝90°，AB＝ 4，BC＝ 3，点 D 在线段 AC 上．若∠BDC＝ 45°，则 BD ＝ ________， cos∠ ABD ＝ ________．分析：在 Rt△ABC 中，易得 AC＝ 5，sin C＝AB 4 BC AC＝5.在△ BCD 中，由正弦定理得BD ＝sin∠BDC×sin∠BCD＝3×4＝12 2，sin∠DBC＝ sin[π－(∠ BCD ＋∠ BDC )]＝ sin(∠ BCD ＋∠ BDC )＝ sin 2 5524 2 3×2 7 2 π∠BCD cos∠BDC＋ cos∠BCD sin∠BDC ＝×2 ＋2＝10.又∠ABD ＋∠ DBC＝2，所以 cos5 57 2∠ABD ＝ sin∠DBC ＝10.答案：12 2 7 25 102．(2019 义·乌高三月考 )在△ ABC 中，内角 A，B，C 对应的三边长分别为a， b，c，且满a足 c bcos A－2＝ b2－ a2 .(1)求角 B 的大小；1129(2)若 BD 为 AC 边上的中线， cos A＝7， BD ＝2，求△ ABC 的面积．a解： (1) 因为 c bcos A－2＝ b2－ a2，即 2bccos A－ ac＝ 2(b2－ a2)，所以 b2＋ c2－ a2－ ac＝ 2(b2－ a2)，1 π所以 a 2＋ c 2－ b 2＝ ac ， cos B ＝ 2， B ＝ 3 . (2)法一： 在三角形 ABD 中，由余弦定理得 2b 2 b129＝ c 2＋2－ 2c ·2 2cos A ，所以129＝ c 2＋b 2－1bc ，①447在三角形 ABC 中，由已知得 sin A ＝473，所以 sin C ＝ sin(A ＋ B) ＝sin Acos B ＋ cos Asin B ＝ 5 3，145由正弦定理得 c ＝ 7b.②b ＝ 7，由① ，②解得c ＝ 5.1所以 S △ABC ＝ 2bcsin A ＝ 10 3.法二： 延伸 BD 到 E ，DE ＝ BD ，连结 AE ，在 △ ABE 中，2π∠BAE ＝ 3 ，BE 2＝ AB 2＋ AE 2－2 ·AB ·AE ·cos ∠BAE ，因为 AE ＝ BC ，129＝ c 2＋ a 2＋ a ·c ，①4 3由已知得， sin ∠BAC ＝ 7 ，5 3所以 sin C ＝ sin(A ＋ B) ＝ 14 ，c sin ∠ACB5 a ＝＝ .②sin ∠BAC8由①② 解得 c ＝ 5， a ＝ 8，1S △ABC ＝ 2c ·a ·sin ∠ABC ＝ 103.解三角形中的最值 (范围 )问题[ 典型例题 ](1)在△ ABC 中，角 A，B， C 所对的边分别为a， b， c.已知 2ccos B＝ 2a－ b.①求角 C 的大小；→ 1 →②若 CA－2CB ＝ 2，求△ ABC 面积的最大值．(2)(2019 杭·州市高考数学二模)在△ ABC 中，内角 A，B， C 所对的边分别为a， b， c，若msin A＝sin B＋ sin C(m∈ R )．①当 m＝ 3 时，求 cos A 的最小值；π②当 A＝时，求m的取值范围．3【解】(1)①因为 2ccos B＝ 2a－ b，所以 2sin Ccos B＝ 2sin A－ sin B＝ 2sin(B＋C)－ sin B，化简得 sin B＝ 2sin Bcos C，1因为 sin B≠0，所以 cos C＝2.π因为 0＜ C＜π，所以 C＝3.→ 1 →→②取 BC 的中点 D ，则CA－2CB ＝ |DA|＝ 2.在△ ADC 中， AD 2＝ AC2＋CD 2－ 2AC·CDcos C，即有 4＝ b2＋a 2 ab≥ 2a2b2 ab ab 2 － 2 4－2 ＝ 2 ，所以 ab≤ 8，当且仅当a＝ 4， b＝ 2 时取等号．1 3所以 S△ABC＝2absin C＝4 ab≤ 2 3，所以△ ABC 面积的最大值为 2 3.(2)①因为在△ ABC 中 msin A＝sin B＋ sin C，当 m＝ 3 时， 3sin A＝sin B＋ sin C，由正弦定理可得 3a＝b＋ c，再由余弦定理可得1b 2＋c 2－ a 2 b 2＋ c 2－ 9（b ＋ c ） 2cos A ＝ 2bc ＝ 2bc82 8 2 9（b 2＋c 2）－ 9bc 9·2bc －9bc7 ＝ 2bc≥＝ 9，2bc当且仅当 b ＝c 时取等号，7故 cos A 的最小值为 9.π3②当 A ＝ 3时，可得 2 m ＝ sin B ＋sin C ，故 m ＝ 232 33 sin B ＋ 3sin C 2 32 32π＝ 3 sin B ＋ 3 sin 3 －B2 32 3 31＝ 3 sin B ＋ 3 2 cos B ＋ 2sin B2 33＝ 3 sin B ＋cos B ＋ 3 sin Bπ＝ 3sin B ＋cos B ＝ 2sin B ＋ 6 ，2π 因为B ∈0，3，ππ 5所以 B ＋ 6∈6 ， 6π，π1所以 sin B ＋ 6 ∈ 2， 1 ，π所以 2sin B ＋ 6 ∈ (1， 2]，所以 m 的取值范围为 (1， 2]．(1)求最值的一般思路由余弦定理中含两边和的平方(如 a 2 ＋ b 2－ 2abcos C ＝ c 2) 且 a 2＋ b 2≥ 2ab ，所以在解三角形1中，若波及已知条件中含边长之间的关系，且与面积相关的最值问题，一般利用S ＝ 2absin C型面积公式及基本不等式求解，有时也用到三角函数的有界性．(2)求三角形中范围问题的常有种类①求三角形某边的取值范围．②求三角形一个内角的取值范围，或许一个内角的正弦、余弦的取值范围．③求与已知相关的参数的范围或最值．[ 对点训练 ]→ →→ → 1．在△ ABC 中， AC ·AB ＝ |AC －AB|＝ 3，则△ ABC 面积的最大值为 ()A. 213 21B. 4C. 21 D ．3 21 2分析： 选 B.设角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ， b ，c ，→ → → →因为 AC ·AB ＝ |AC － AB |＝ 3，所以 bccos A ＝a ＝ 3.b 2＋c 2－ a 2 93cos A又 cos A ＝2bc ≥ 1－ 2bc ＝ 1－2 ，2所以 cos A ≥5，21所以 0<sin A ≤ 5 ，1 3 3 21 3 21，所以 △ ABC 的面积 S ＝bcsin A ＝ tan A ≤ ×2 ＝42223 21 故△ ABC 面积的最大值为4.2．(2019 浙·江 “ 七彩阳光 ”结盟联考 )已知 a ，b ，c 分别为△ ABC 的内角 A ，B ，C 所对的1 c的最大值为 ( )边，其面积知足 S △ ABC ＝ a 2，则4bA.2－ 1B. 2C. 2＋ 1D. 2＋ 2分析： 选 C.依据题意，有 S △1 2 1ABC ＝4a ＝ 2bcsin A ，c应用余弦定理， 可得 b 2＋ c 2－ 2bccos A ＝ 2bcsin A ，令 t ＝ b ，于是 t 2＋ 1－ 2tcos A ＝ 2tsin A ．于是 2tsin A ＋ 2tcos A ＝ t 2＋ 1，π 1 1≤ 2 2，解得 t 的最大值为2＋ 1.所以 22sinA ＋ 4 ＝ t ＋ t ，进而 t ＋ t 3．(2019 浙·江绍兴一中模拟 )在△ ABC 中， a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且知足 b 2＋ c 2－ a 2＝ bc.(1)求角 A 的值；(2)若 a ＝ 3，记△ ABC 的周长为 y ，试求 y 的取值范围．解： (1) 因为 b 2＋ c 2－ a 2＝ bc ，b 2＋c 2－ a 2 1所以由余弦定理得cos A ＝2bc＝ 2，因为 A ∈ (0，π)，π所以 A ＝ 3.π(2)由 a ＝ 3，A ＝ 3 及正弦定理，b ca3得 sin B ＝ sin C ＝ sin A＝ 3 ＝ 2，2得 b ＝ 2sin B ， c ＝2sin 2π2π3 －B，此中 B ∈ 0，3 ，所以周长 y ＝ 3＋2sin B ＋ 2sin 2π3＝ 2 3sin B ＋ π3，3 － B ＝ 3sin B ＋ 3cos B ＋6 ＋2ππ π 5π因为B ∈0，3，得 B ＋ 6∈ 6 ，6 ，进而周长 y ∈ (2 3， 3 3]．专题加强训练π － α＝ cos π)1．已知 sin 6＋ α，则 cos 2α＝ (6A ． 1B ．－ 11C ． 2D ． 0分析： 选 D.因为 sin ππ1α3α3α 1 α6 － α＝cos6 ＋α，所以2cos－ 2 sin＝ 2 cos － 2sin，即1 － 3α1 3 cosαα sin α222 sin ＝－－2 ，所以 tan ＝＝－ 1，所以cos 2α＝ cosα－ sin α＝22cosαcos 2α－ sin 2α 1－ tan 2α2 2 ＝ 2＝ 0.αααsin ＋ costan ＋ 12．(2018 高·考全国卷 Ⅰ )已知函数 f( x)＝ 2cos 2x － sin 2x ＋ 2，则 () A ． f( x)的最小正周期为π，最大值为 3B ． f( x)的最小正周期为π，最大值为4C ． f( x)的最小正周期为 2π，最大值为 3D ． f( x)的最小正周期为 2π，最大值为 4分析：选 B. 易知 f(x)＝ 2cos 2x － sin 2x ＋ 2＝ 3cos 2x ＋ 1＝32(2cos2x － 1)＋32＋ 1＝ 32cos 2x ＋ 52，则f(x)的最小正周期为π，当 x ＝k π(k ∈ Z) 时， f(x)获得最大值，最大值为 4.3．(2019 台·州市高考一模 )在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 a ＝1，2b － 3c ＝ 2acos C ， sin C ＝ 3，则△ ABC 的面积为 ()23 3 A. 2B. 4333C.2或 4D. 3或2分析： 选 C.因为 2b － 3c ＝ 2acos C ，所以由正弦定理可得2sin B － 3 sin C ＝ 2sin Acos C ，所以 2sin(A ＋ C)－ 3sin C ＝ 2sin Acos C ，所以 2cos Asin C ＝ 3sin C ，3所以 cos A ＝ 2 ，所以 A ＝30°，3因为 sin C ＝ 2 ，所以 C ＝ 60°或120°.A ＝30°，C ＝ 60°，B ＝ 90°，a ＝ 1，所以 △ ABC 的面积为 1×1×2×3＝ 3，A ＝ 30°，C 222 ＝ 120°，B ＝ 30°，a ＝ 1，所以 △ ABC 的面积为 1× 1×1×33，应选 C.22 ＝44．在△ ABC 中，三个内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 S △ ABC ＝ 2 3，a ＋ b ＝6，acos B ＋bcos A＝ 2cos C ，则 c ＝ ()cA ．2 7B ． 2 3C ． 4D ． 3 3分析： 选 B. 因为 acos B ＋ bcos A sin Acos B ＋ sin Bcos A sin （A ＋ B ）c ＝ sin C＝ ＝ 1，所以 2cos Csin （A ＋ B ）π△ABC＝ 2 122＋ ＝1，所以 C ＝ 3.又 S3，则 2absin C ＝ 2 3，所以 ab ＝ 8.因为 a ＋ b ＝6，所以 c ＝a b 2－ 2abcos C ＝ (a ＋ b)2－ 2ab －ab ＝ (a ＋ b)2－ 3ab ＝62－ 3× 8＝ 12，所以 c ＝ 2 3.5．公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金切割均为 0.618，这一数值也能够表示为m ＝2sin 18°，若 m 2＋ n ＝ 4，则m n＝2cos 227°－ 1()A ． 8B ． 4C ． 2D ． 1分析： 选 C.因为 m ＝ 2sin 18°，若 m 2＋ n ＝ 4，则 n ＝ 4－ m 2＝ 4－ 4sin 218°＝4(1－ sin 218°)＝ 4cos 218°，m n2sin18° 4cos 218° 4sin 18 °cos 18° 2sin 36°所以＝cos 54° ＝＝＝ 2.2cos 227°－1sin 36° sin 36°6．(2019 杭·州市高三期末检测 )设点 P 在△ ABC 的 BC 边所在的直线上从左到右运动，设 △ ABP 与△ ACP 的外接圆面积之比为 λ，当点 P 不与 B ， C 重合时 ()A ． λ先变小再变大B ．当 M 为线段 BC 中点时， λ最大 C ． λ先变大再变小D ． λ是一个定值分析： 选 D.设 △ABP 与 △ ACP 的外接圆半径分别为 r 1，r 2， 则 2r 1 ＝ ABAC， 2r 2＝ ，sin ∠APB sin ∠APC 因为 ∠ APB ＋ ∠APC ＝ 180°，所以 sin ∠APB ＝ sin ∠APC ，所以 r1＝ AB ， r 2 AC2 AB 2r 12.应选 D. 所以λ＝2＝ACr 27．(2019 福·州市综合质量检测tan（α＋β＋γ），若 sin 2(α＋γ)＝ 3sin 2β，则 m )已知m＝tan（α－β＋γ）＝ ()1 3A. 2B.43C.2D.2分析：选 D.设 A＝α＋β＋γ， B＝α－β＋γ，则 2( α＋γ)＝ A＋ B， 2β＝ A－ B，因为 sin 2(α＋γ)＝ 3sin 2β，所以 sin(A＋ B)＝ 3sin(A－ B) ，即 sin Acos B＋ cos Asin B＝ 3(sin Acos B－cos Asin B)，即 2cos Asin B＝ sin Acos B，所以 tan A＝ 2tan B，tan A所以 m＝tan B＝ 2，应选 D.8．(2019 咸·阳二模 )已知△ ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且a2＋b22 2 sin A sin B＝ 2c2， sin A(1 －cos C)＝ sin Bsin C， b＝→→，过点 M 的直线与6， AB 边上的点 M 知足 AM＝ 2MB射线 CA， CB 分别交于 P， Q 两点，则 MP 2＋ MQ2的最小值是 ( ) A．36 B． 37C． 38 D． 39分析：选 A. 由正弦定理，知a2＋b2＝2c2，即 2＝ 2sin2C，所以2sin2sin A Bπsin C＝1， C＝2，所以 sin A(1－cos C)＝ sin Bsin C，即 sin A＝ sin B，所π以 A＝ B＝4 .以 C 为坐标原点成立如下图的平面直角坐标系，则M(2，4)，设∠MPC ＝θ，θ∈0，π 2 2 16 4 2 2 θ) 16 ＋ 4＝，则 MP ＋MQ ＝2＋2＝ (sin θ＋cos 2 2θ2 sin θcos θsin θcos20＋ 4tan2θ＋16≥ 36，当且仅当 tan θ＝2时等号成立，即MP2＋ MQ 2的最小值为 36.tan2θ9．已知 2cos 2x ＋ sin 2x ＝ Asin( ωx＋ φ)＋ b(A ＞ 0)，则 A ＝ ________， b ＝ ________．分析： 因为 2cos 2 x ＋ sin 2x ＝ 1＋ cos 2x ＋sin 2xπ＝ 2sin(2x ＋ 4 )＋ 1，所以 A ＝ 2， b ＝ 1.答案：21ππ 10．若 α∈ 0， ， cos－α ＝2 2cos 2α ，则 sin 2α ＝________．24分析： 由已知得22 (cos αα α α α α＋ sin )＝2 2(cos － sin ) ·(cos ＋ sin )，所以 cos α＋sin α＝ 0 或 cos α－ sinα＝ 41，由 cos α＋ sin α＝ 0 得 tan α＝－ 1，π因为 α∈ 0， 2，所以 cos α＋sin α＝ 0 不知足条件；由 cos α－ sin α＝1，两边平方得 1－ sin 2α＝ 1 ，416所以 sin 2α＝1615.答案：151611．(2019 金·丽衢十二校联考二模 )在△ ABC 中，内角 A 、 B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，acos B ＝bcos A ， 4S ＝ 2a 2－ c 2，此中 S 是△ ABC 的面积，则 C 的大小为 ________．分析： △ ABC 中， acos B ＝ bcos A ，所以 sin Acos B ＝ sin Bcos A ，所以 sin Acos B － cos Asin B ＝ sin(A － B)＝0，所以 A ＝B ，所以 a ＝ b ；1又△ ABC 的面积为 S ＝2absin C ，且 4S ＝ 2a 2－ c 2，所以 2absin C ＝2a 2－ c 2＝ a 2＋ b 2－ c 2，所以 sin C ＝ a 2＋ b 2－ c 2＝ cos C ，2abπ所以 C＝4.π答案：412． (2019 ·兴市一中高三期末检测绍 )△ ABC 中， D 为线段 BC 的中点， AB＝ 2AC＝ 2，tan∠CAD＝ sin ∠BAC，则 BC＝ ________．sin ∠CAD sin ∠CAD 分析：由正弦定理可知＝ 2，又 tan∠CAD ＝sin∠BAC，则＝ sin(∠ CAD ＋sin∠BAD cos∠CAD∠ BAD )，利用三角恒等变形可化为1BC＝cos∠BAC ＝2，据余弦定理AC2＋ AB 2－ 2 ·AC·AB·cos∠BAC＝1＋ 4－ 2＝ 3.答案： 313． (2019 ·州第一次调研惠) 已知 a， b，c 是△ ABC 中角 A， B， C 的对边， a＝ 4， b∈(4，6)， sin 2A＝ sin C，则 c 的取值范围为 ________．分析：由4 c 4 c 22sin A＝sin C，得sin A＝sin 2A，所以 c＝8cos A，因为 16＝ b ＋ c － 2bccos A，所以 16－ b2＝ 64cos2A－ 16bcos2A，又 b≠ 4，所以 cos2A＝16－ b2 （ 4－ b）（ 4＋ b） 4＋ b ＝＝16，64－ 16b 16（4－ b）4＋ b所以 c2＝ 64cos2A＝ 64×16 ＝ 16＋4b.因为 b∈ (4， 6)，所以 32<c2<40，所以 4 2< c<2 10.答案：(4 2， 2 10)14．(2019 绍·兴市一中期末检测)设△ ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c 且 acos 1C－2c＝ b.(1)求角 A 的大小；(2)若 a＝ 3，求△ ABC 的周长 l 的取值范围．1 1解： (1) 由 acos C－ c＝ b 得： sin Acos C－ sin C＝ sin B，2 2又 sin B＝ sin(A＋ C)＝ sin Acos C＋ cos Asin C，1所以2sin C＝－ cos Asin C，因为 sin C≠0，1所以 cos A＝－2，又 0＜ A ＜π，2π所以 A ＝ 3.asin B(2)由正弦定理得： b ＝ sin A ＝ 2 3sin B ，c ＝ 2 3sin C ， l ＝ a ＋ b ＋ c ＝ 3＋ 2 3(sin B ＋ sin C)＝ 3＋ 2 3[sin B ＋sin(A ＋B)]13＝ 3＋ 2 3 2sin B ＋ 2 cos Bπ＝ 3＋ 2 3sin B ＋ 3 ，因为 A ＝ 2π π3 ，所以 B ∈ 0，， 3π π 2π所以 B ＋ 3∈ 3 ，3 ，所以 sin B ＋ π3， 1 ，∈ 23则△ ABC 的周长 l 的取值范围为 (6， 3＋2 3 ] ．15． (2019 湖·州模拟 )在△ ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 (sin A ＋ sinB ＋ sin C)(sin B ＋ sinC － sin A) ＝3sin Bsin C.(1)求角 A 的值；(2)求 3sin B － cos C 的最大值．解： (1) 因为 (sin A ＋ sin B ＋ sin C)(sin B ＋ sin C －sin A)＝ 3sin Bsin C ，由正弦定理，得 (a ＋ b ＋ c)(b ＋ c － a)＝ 3bc ，b 2＋c 2－a 21 π所以 b 2＋ c 2－ a 2＝ bc ，所以 cos A ＝2bc＝2，因为 A ∈ (0，π)，所以 A ＝ 3. π2π(2)由 A ＝ 3，得 B ＋C ＝ 3 ，2π所以 3sin B － cos C ＝ 3sin B －cos－ B3＝ 3sin B－1 3 π－2cos B＋2 sin B ＝ sin B＋6 .2πππ 5π因为 0＜B＜3，所以6＜B＋6＜6，π ππ当 B＋6＝2，即 B＝3时，3sin B－cos C 的最大值为 1.16．(2019 宁·波镇海中学模拟)在△ ABC 中， a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边， b＝ 2sin2sin BB，且知足 tan A＋tan C＝cos A .(1)求角 C 和边 c 的大小；(2)求△ ABC 面积的最大值．解： (1)tan A＋ tan C＝2sin Bsin A sin C cos A可得cos A＋cos C＝sin Acos C＋ cos Asin C sin（ A＋ C）sin B2sin Bcos Acos C ＝cos Acos C＝cos Acos C＝cos A ，1所以 cos C＝2，因为 0＜ C＜π，π所以 C＝3，因为 b＝2sin B，c b由正弦定理可得sin C＝sin B＝ 2，6所以 c＝2 .(2)由余弦定理可得c2＝a2＋ b2－ 2abcos C，3所以2＝ a2＋ b2－ ab≥ 2ab－ ab＝ ab，当且仅当 a＝ b 时取等号．所以△ABC1 3 3×3 3 3 S ＝2absin C＝4 ab≤4 2＝8 ，故△ ABC 面积的最大值为38 3 .π2π17．(2019 成·都市第二次诊疗性检测)如图，在平面四边形ABCD 中，已知 A＝2，B＝ 3 ，2πAB＝ 6.在 AB 边上取点E，使得 BE＝ 1，连结 EC， ED .若∠ CED ＝3， EC＝7.(1)求 sin ∠ BCE 的值；(2)求 CD 的长．解： (1) 在△ BEC 中，由正弦定理，知BE CEsin ∠BCE ＝sin B.2π因为 B ＝ 3 ， BE ＝ 1， CE ＝ 7，BE ·sin B3221所以 sin ∠BCE ＝ CE＝ 7 ＝ 14 .2π(2)因为 ∠CED ＝ ∠B ＝ 3 ，所以 ∠ DEA ＝∠ BCE ，1－ sin 2∠DEA ＝ 1－ sin 2∠BCE ＝ 35 7所以 cos ∠DEA ＝ 1－28＝ 14.π因为 A ＝ 2，所以 △ AED 为直角三角形，又 AE ＝ 5，AE5所以 ED ＝＝＝2 7.14在△ CED 中， CD 2＝ CE 2＋DE 2－ 2CE ·DE ·1cos ∠CED ＝ 7＋ 28－ 2×7× 27× －2 ＝ 49.所以 CD ＝ 7.。

高考对于三角函数及解三角形的考查一、高考真题考点一 三角恒等变换1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A ．15B ．55C ．33D ．255解析：选B ．由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2 sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2 α，解得sin α＝55，故选B ． 2．(2018·高考全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A ．89B ．79C ．－79D ．－89解析：选B ．cos 2α＝1－2sin 2α ＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79.3．(2016·高考全国卷Ⅱ)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A ．725B ．15C ．－15D ．－725解析：选D ．因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D ．考点二 三角形中的边角计算问题1．(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2B ．30C ．29D ．2 5解析：选A ．因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.故选A ．2．(2016·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．解析：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin B sin A ＝6365×53＝2113.答案：21133．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C ．(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C ．解：(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22.由于0°＜C ＜120°，所以sin(C ＋60°)＝22， 故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝6＋24. 考点三 与三角形面积有关的问题1．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6解析：选C ．根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4. 2．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________．解析：法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3.法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC的面积S ＝12×23×6＝6 3.答案：6 33．(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C 2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解：(1)由题设及正弦定理得 sin A sinA ＋C2＝sin B sin A . 因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sin B ．由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin(120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32. 二、考情分析1．高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现，．2．若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9题或第13～15题位置上．3．若以解答题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等．4.说明一点：如果三角函数考大题，则不考数列大题，有数列大题，则三角函数考两个小题。

第2讲 三角恒等变换与解三角形[考情考向·高考导航]1．三角恒等变换是高考必考内容，可以单独命题，也可以与三角函数图象和性质综合，有时与解三角形综合．难度一般不大，单独命题多以选择题、填空题的形式出现，有时与其他知识综合，以解答题的形式出现．2．解三角形主要考查正、余弦定理、面积的综合问题，有时也涉及三角恒等变换，难度中等．单独考查以选择题、填空题为主，综合考查以解答题为主．[真题体验]1．(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A.15 B.55C.33D.255解析：B [∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，由2sin 2α＝cos 2α＋1得：4sin αcos α＝2cos 2α，∴2sin α＝cos α，∴2sin α＝1－sin 2 α，∴5sin 2 α＝1，∴sin 2α＝15，∴sin α＝55.] 2．(2019·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：A [∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ， ∴a 2－b 2＝4c 2， ∵cos A ＝－14，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝－14，即－3c 22bc ＝－14，∴b c ＝4×32＝6.] 3．(2019·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a,3c sinB ＝4a sinC .(1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sinC ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a ，由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14.(2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154，从而sin 2B ＝2sin B cos B ＝－158，cos 2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin 2B cos π6＋cos 2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716. [主干整合]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba.4．正弦定理及其变形在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .5．余弦定理及其变形在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.6．三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .热点一 三角恒等变换与求值[例1] (1)(2019·江苏卷)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋4的值是________．[解析] 方法1：由tan αtan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan αtan α＋11－tan α＝tan α1－tan αtan α＋1＝－23， 解得tan α＝2或－13.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(sin 2α＋cos 2α) ＝22(2sin αcos α＋2cos 2α－1) ＝2(sin αcos α＋cos 2α)－22＝2·sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α－22 ＝2·tan α＋1tan 2α＋1－22， 将tan α＝2和－13分别代入得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝210.方法2：∵tan αtan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝＝－23，∴sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.① 又sin π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＝22，②由①②，解得sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－25，cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210.[答案]210(2)(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.(ⅰ)求sin(α＋π)的值；(ⅱ)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．[解析] (ⅰ)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45得sin α＝－45，所以sin(α＋π)＝－sinα＝45.(ⅱ)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.[答案] (ⅰ)45 (ⅱ)－5665或1665(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．(1)(2019·维坊三模)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( )A.5π12 B.π3 C.π4D.π6解析：C [因为α，β均为锐角，所以－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. 所以β＝π4.](2)(2020·广西三市联考)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．解析：因为α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45＞0， 所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250. 答案：17250热点二 正、余弦定理的应用用正、余弦定理求解边、角、面积[例2－1] (2019·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sinB sinC .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .[解析] (1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ， 故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即62＋32cos C＋12sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－22.因为0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝22，故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝6＋2 4.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．用正、余弦定理解决实际问题[例2－2](2019·重庆二诊)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.[解析] 由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°， ∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°. 又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°.解得BC ＝3002m.在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)． [答案] 100 6解三角形实际问题三步骤(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解．(1)(2019·威海三模)如图，在△ABC 中，点D 在AC 上，AB ⊥BD ，BC ＝33，BD ＝5，sin ∠ABC ＝235，则CD 的长为( ) A.14 B ．4 C ．2 5D ．5解析：B [利用余弦定理求解．因为sin ∠ABC ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫∠DBC ＋π2＝cos ∠DBC ＝235，在△DBC 中，由余弦定理可得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos ∠DBC ＝25＋27－2×5×33×235＝16，所以CD ＝4，故选B.](2)如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45°，与观测站A 距离202海里的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北θ(0°＜θ＜45°)的C 处，且cos θ＝45.已知A ，C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为________海里/小时．解析：因为cos θ＝45，0°＜θ＜45°，所以sin θ＝35，cos(45°－θ)＝22×45＋22×35＝7210， 在△ABC 中，BC 2＝800＋100－2×202×10×7210＝340， 所以BC ＝285，该货船的船速为485海里/小时． 答案：485热点三 与解三角形的交汇创新[例3] (2020·烟台模拟)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sinB ＝74，cos A sin A ＋cos C sin C ＝477. (1)求证：0＜B ≤π3；(2)若BA →·BC →＝32，求|BC →＋BA →|.[审题指导] (1)三角恒等变换，利用重要不等式转化关于cos B 的不等式． (2)由数量积求ac ，再由模长公式结合余弦定理求模． [解析] (1)证明：因为cos A sin A ＋cos Csin C＝cos A sin C ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin A ＋C sin A sin C ＝sin B sin A sin C ＝477＝1sin B，所以sin A sin C ＝sin 2B ，由正弦定理可得b 2＝ac ， 因此b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ≥2ac －2ac cos B ， 所以cos B ≥12，又0＜B ＜π，所以0＜B ≤π3.(2)由(1)知0＜B ≤π3，又sin B ＝74，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－716＝34. 所以32＝BA →·BC →＝ca cos B ＝34ac ，解得ac ＝2，因此b 2＝2.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 所以a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ＝2＋2×2×34＝5.从而|BC →＋BA →|2＝a 2＋c 2＋2BC →·BA →＝5＋2×32＝8，故|BC →＋BA →|＝2 2.以向量的运算为载体考查三角函数、三角变换、解三角形及不等式．这类综合问题的解法思路是：通过向量的运算把向量问题转化为三角函数问题或解三角形问题，再利用三角变换或正(余)弦定理综合解决．(2020·山师附中模拟)已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫3sin x 4，cos 2x4，设函数f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的单调增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，求f (B )的取值范围．解析：(1)f (x )＝m ·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，1·⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，cos 2x 4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，令2k π－π2≤x 2＋π6≤2k π＋π2，则4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3，k ∈Z ，所以函数f (x )单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－4π3，4k π＋2π3，k ∈Z .(2)由b 2＝ac 可知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12(当且仅当a ＝c 时取等号)，所以0＜B ≤π3，π6＜B 2＋π6≤π3，1＜f (B )≤3＋12，综上f (B )的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，3＋12.限时50分钟 满分76分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2020·河北省六校联考)已知α∈(0，π)，且tan α＝2，则cos 2α＋cos α＝( ) A.25－35 B.5－35C.5＋35D.25＋35解析：B [∵α∈(0，π)，tan α＝2，∴α在第一象限，cos α＝15，cos 2α＋cosα＝2cos 2α－1＋cos α＝2×⎝⎛⎭⎪⎫152－1＋15＝－35＋15＝5－35，选B.] 2．(2020·日照模拟)已知sin 2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A.13 B.16 C.23D.89解析：C [∵sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝13，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝23.] 3．(组合型选择题)下列式子的运算结果为3的是( ) ①tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°； ②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)； ③1＋tan 15°1－tan 15°； ④tanπ61－tan2π6.A ．①②④B ．③④C ．①②③D ．②③④解析：C [对于①，tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝3－3tan 25°tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝3；对于②，2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)＝2(sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°)＝2sin 60°＝3；对于③，1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－t an 45°tan 15°＝tan 60°＝3；对于④，tan π61－tan 2π6＝12×2tanπ61－tan2π6＝12×tan π3＝32.综上，式子的运算结果为3的是①②③.故选C.]4．(2019·沈阳质检)已知△ABC 的内角分别为A ，B ，C ，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边的高为( )A.32 B.332C.3＋62D.3＋394解析：B [由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得7＝AB 2＋4－4AB cos 60°，即AB 2－2AB －3＝0，得AB ＝3，则BC 边上的高为AB sin 60°＝332，故选B.] 5．(2020·广西南宁、玉林、贵港等市摸底)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝3，C ＝π3，sin B ＝2sin A ，则△ABC 的周长是( )A ．3 3B ．2＋ 3C ．3＋ 3D ．4＋ 3解析：C [在△ABC 中，sin B ＝2sin A ，∴由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得c 2＝a2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋4a 2－2a 2＝3a 2，又c ＝3，∴a ＝1，b ＝2.∴△ABC 的周长是a ＋b ＋c ＝1＋2＋3＝3＋ 3.故选C.]6.(2019·保定二模)已知在河岸A 处看到河对岸两个帐篷C ，D 分别在北偏东45°和北偏东30°方向，若向东走30米到达B 处后再次观察帐篷C ，D ，此时C ，D 分别在北偏西15°和北偏西60°方向，则帐篷C ，D 之间的距离为( )A ．1015米B ．106米C ．515米D ．56米解析：C [由题意可得∠DAB ＝60°，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，∠DBA ＝30°，在△ABD 中，∠DAB ＝60°，∠DBA ＝30°，AB ＝30，所以∠ADB ＝90°，sin ∠DAB ＝sin 60°＝BD BA，解得BD ＝15 3.在△ABC 中，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，所以∠ACB ＝60°，ABsin 60°＝BCsin 45°，解得BC ＝10 6.在△BCD 中，∠CBD ＝∠CBA －∠DBA ＝45°，则由余弦定理得cos∠CBD ＝cos 45°＝BC 2＋BD 2－CD 22BC ·BD ，即22＝1062＋1532－CD23×106×153，得CD ＝515.故选C.]二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)7．(2020·陕西省质量检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ba ＋c＝1－sin C sin A ＋sin B，且b ＝5，AC →·AB →＝5，则△ABC 的面积是________．解析：在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ba ＋c ＝1－sin Csin A ＋sin B， 所以ba ＋c＝1－ca ＋b ，化简可得：b 2＝a 2＋bc －c 2，可得cos A ＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3. 又b ＝5，AC →·AB →＝5，∴bc cos A ＝5，∴bc ＝10.S ＝12·bc sin A ＝12×10×32＝532. 答案：5328．(2019·浙江卷)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________.解析：解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征．在ΔABD 中，有：AB sin ∠ADB ＝BD sin ∠BAC ，而AB ＝4，∠ADB ＝3π4，AC ＝AB 2＋BC 2＝5，sin∠BAC ＝BC AC ＝35，cos ∠BAC ＝AB AC ＝45，所以BD ＝1225.cos ∠ABD ＝cos(∠BDC －∠BAC )＝cos π4cos ∠BAC ＋sin π4sin ∠BAC ＝7210.答案：1225，7210三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)9．(2019·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B 2b ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2的值．解：(1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，得23＝3c 2＋c 2－222×3c ×c，即c 2＝13.所以c ＝33.(2)因为sin A a ＝cos B2b，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb，所以cos B ＝2sin B .从而cos 2 B ＝(2sin B )2，即cos 2 B ＝4(1－cos 2 B )，故cos 2B ＝45.因为sin B ＞0，所以cos B ＝2sin B ＞0，从而cos B ＝255.因此sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝cos B ＝255.10．(2020·辽宁三市调研)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →.(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A . 因为A ∈(0，π)，所以sin A ＞0， 所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝6，即b ＝6， 根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2)，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤32＋12， 即△ABC 面积的最大值为32＋32.11.(2020·广东六校联考)某学校的平面示意图为如图五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE 为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km. (1)求道路BE 的长度．(2)求生活区△ABE 面积的最大值． 解析：(1)如图，连接BD ，在△BCD 中，由余弦定理得：BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝27100，所以BD ＝3310，因为BC ＝CD ，所以∠CDB ＝∠CBD ＝π－23π2＝π6，又∠CDE ＝2π3，所以∠BDE＝π2.在Rt △BDE 中，BE ＝BD 2＋DE 2＝335.(2)设∠ABE ＝α，因为∠BAE ＝π3，所以∠AEB ＝2π3－α.在△ABE 中，由正弦定理，得ABsin ∠AEB＝AE sin ∠ABE ＝BEsin ∠BAE＝335sinπ3＝65， 所以AB ＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α，AE ＝65sin α. 所以S △ABE ＝12|AB ||AE |sin π3＝9325⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－αsin α ＝9325⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＋14≤9325⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＝273100， 因为0＜α＜2π3，所以当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值为273100，即生活区△ABE 面积的最大值为273100.高考解答题·审题与规范(二) 三角函数与解三角形类考题[解析] (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A ．1分①因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B ．2分②由A ＋B ＋C ＝180°，可得sinA ＋C2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.3分③ 因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.5分④(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a .6分⑤ 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin 120°－C sin C ＝32tan C ＋12.8分⑥由于△ABC 为锐角三角形，故0°＜A ＜90°，0°＜C ＜90°.由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°＜C ＜90°，10分⑦ 故12＜a ＜2，11分⑧ 从而38＜S △ABC ＜32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，32.12分⑨。