三角恒等变换专题复习
一．要点精讲
1．两角和与差的三角函数
βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； β
αβαβαsin sin cos cos )cos( =±；
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
。
2．二倍角公式
αααcos sin 22sin =；
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；
22tan tan 21tan ααα
=
-。
3．半角公式
2
cos 12
sin
αα
-±
=
2
cos 12
cos
αα
+±
=
α
αα
cos 1cos 12
tan
+-±
=
（α
α
ααα
sin cos 1cos 1sin 2
tan
-=
+=
）
4.（1）降幂公式
ααα2sin 21cos sin =
；2
2cos 1sin 2α
α-=；2
2cos 1cos
2
α
α+=
。
（αα2cos 1sin
22
-= αα2cos 1cos 22+=）
（2）辅助角公式
()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，
sin cos ϕϕ=
=
其中
5．三角函数式的化简、求值、证明
（1）三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
（2）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（3）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
二．典例解析
题型1：巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，
2()()αβαβα=+--，22
αβ
αβ++=⋅
，
(
)()
2
2
2αβ
β
ααβ+=-
--
等），
例1：（1）已知2tan()5αβ+=
，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____（答：3
22）； （2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，2
23
sin()αβ-=，求cos()αβ+的值
（答：490729
）；
（3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3
cos()5
αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______
（
答：43
(1)55
y x x =<<）
题型2：三角函数名互化(切化弦)
例2（1）求值sin 50(13tan10)+（答：1）； （2）已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值（答：1
8
）
题型3：公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。
例3：（1）已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan
1A B A B =++，则cos()A B + ＝____
_
（答：2
-
）； (2)设ABC ∆
中，tan A tan B Atan B ++=，4
sin Acos A =，则此三角形是____三角形（答：等边）
题型4：三角函数次数的降升(降幂公式：2
1cos 2cos 2αα+=
，2
1cos 2sin 2
αα-=与升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin
-=)。
例4：(1)若3
2
(,)αππ∈
为_____（答：
sin 2α）； （2）函数2
5f (x )sin x cos x x =-x R )∈的单调递增区间为___________
（答：51212
[k ,k ](k Z )ππ
ππ-+∈）
题型5：式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。 例5：（1）求证：
2
1tan 1sin 212sin 1tan 2
2
ααα
α
++=--；
（2）化简：
4221
2cos 2cos 22tan()sin ()44
x x x x ππ-+
-+（答：1cos 22x ）
