圆心角定理、圆周角定理及其推论层次性题组

初中数学试卷桑水出品3.4圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角定理及其推论101基础题知识点1圆周角的概念1．(柳州中考)下列四个图中，∠x是圆周角的是( )2．图中的圆周角有( )A．10个B．11个C．12个D．13个知识点2 圆周角定理3．(温州中考)如图，已知A ，B ，C 在⊙O 上，ACB ︵为优弧，下列选项中与∠AOB 相等的是( ) A ．2∠C B ．4∠B C ．4∠A D ．∠B ＋∠C4．(珠海中考)如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CAB ＝20°，则∠AOD 等于( ) A ．160° B ．150° C ．140° D ．120°5．如图，已知CD 是⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若∠D 的度数是50°，则∠C 的度数是( )A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°6．(娄底中考)如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B 两点，P是优弧AB上任意一点(与A、B不重合)，则∠APB＝____________度．知识点3圆周角定理的推论17．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC.若∠BAD＝60°，则∠BCD的度数为( ) A．40°B．50°C．60°D．70°8．如图，CD⊥AB于E，若∠B＝60°，则∠A＝____________.9．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB 平分∠ADC.02中档题10．(临沂中考)如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC的度数为( )A．25°B．50°C．60°D．80°11．(重庆中考)如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC＋∠AOC＝90°，则∠AOC的大小是( )A．30°B．45°C．60°D．70°12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有( )A．2对B．4对C．6对D．8对13．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．点A 、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB 的大小为()A ．15°B ．28°C ．29°D ．34°14．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝BD ︵，若∠BOD ＝50°，则∠A 的度数为____________．15．(龙岩中考)如图，A 、B 、C 是半径为6的⊙O 上三个点，若∠BAC ＝45°，则弦BC ＝____________.16．如图所示，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，且D 是AB ︵的中点，CD 交OB 于E ，∠AOB ＝100°，∠OBC ＝55°，你能计算出∠OEC 的度数吗？17．如图，在⊙O中，AB＝AC，∠CBD＝30°，∠BCD＝20°，试求∠BAC的度数．03综合题18．(台州中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；(2)求证：∠1＝∠2.—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————桑水 参考答案1．C 2.C 3.A 4.C 5.A 6.30 7.C 8.30°9．证明：∵AB ＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵.∴∠BDC ＝∠ADB.∴DB 平分∠ADC.10．B 11.C 12.B 13.B 14.25° 15.6 216．能，连接OD.∵D 是AB ︵的中点，∴∠BOD ＝50°.∴∠BCD ＝12∠BOD ＝25°.∴∠OEC ＝25°＋55°＝80°.17．连接OB ，OC ，OD.∵∠BOD ＝2∠BCD ，∠COD ＝2∠CBD ，∠CBD ＝30°，∠BCD ＝20°， ∴∠COD ＝60°，∠BOD ＝40°.∴∠BOC ＝100°，∠BAC ＝12∠BOC ＝50°.18．(1)∵BC ＝DC ，∴BC ︵＝DC ︵.∴∠BAC ＝∠CAD ＝∠CBD.∵∠CBD ＝39°，∴∠BAC ＝∠CAD ＝39°.∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝78°.(2)证明：∵EC ＝BC ，∴∠CBE ＝∠CEB.∵∠CBE ＝∠1＋∠CBD ，∠CEB ＝∠2＋∠BAC ， ∴∠1＋∠CBD ＝∠2＋∠BAC.又∵∠BAC ＝∠CBD ，∴∠1＝∠2.。

Ｂ图2OBDCA图3圆中的角度计算专项训练圆心角定理推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

圆周角定理推论：1.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等：相等的圆周角所对的弧也相等。

2.半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

例1. 如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=20°，则∠AOB的度数是（）变式：如图，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠OAC=20°，则∠AOB的度数是（）例2. 如图，若圆心角∠ABC=100°，则圆周角∠ADC=（）变式：如图，若圆心角∠ABC=n°，则圆周角∠ADC=（）小结：做题方法，数学定理练习：11. 如图2，在⊙O中，弦AD平行于弦BC，若80AOC=∠，则∠ABC 度, DAB∠= 度．2. 如图3，AB和CD都是⊙O的直径，50AOC=∠，则C∠的度数是3. 如图4，点A，B，C在⊙O上，80AOC=∠，则ABC∠的度数是5. 如图，已知AB是⊙O的直径，⌒ = ⌒ = ⌒ = ∠BOE=400，那么∠AOE =度例3．如图，已知AB是⊙O的直径, C,D 是⊙O上的两点，∠D=1300，则∠BAC= 度例2CD DE EBC图480_C_A_B_E_O_D例2”例1 例1”图7Ｅ 图96. 如图，AB为O ⊙的直径，C D ，是O⊙上两点，若50ABC =∠，则D ∠的度数为________．7. 如图，AB 是O ⊙的直径，点C 在O 上，连结OC ，BC ，若30OCB ∠=，则AO C ∠的度数为________．8. 如图所示，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，∠ACB 的角平分线CD 交⊙O 于D ，则∠ABD ＝_____________度。

完整版)圆心角圆周角练习题知识点三：弧、弦、圆心角与圆周角1.定义圆心角为顶点在圆心的角。

2.在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系：两个圆心角相等，圆心角所对的弧相等（无论是优弧还是劣弧），圆心角所对的弦相等。

3.一个角是圆周角必须满足两个条件：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆有除顶点外的交点。

4.同一条弧所对的圆周角有两个。

5.圆周角定理：圆周角等于圆心角的一半。

6.圆周角定理的推论：（1）同弦或等弦所对的圆周角相等；（2）半圆或直径所对的圆周角相等；（3）90°的圆周角所对的弦是直径。

需要注意的是，“同弦或等弦”改为“同弧或等弧”结论就不一定成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类，它们是相等或互补关系。

7.圆内接四边形定义为所有顶点都在圆上的多边形，圆心即为这个圆内接四边形的交点。

圆内接四边形的对角线相互垂直，且交点为对角线的中点。

夯实基础1.如果两个圆心角相等，则它们所对的弧相等，选项B正确。

2.不正确的语句为③，因为圆不一定是轴对称图形，只有圆上的任何一条直径所在直线才是它的对称轴。

3.错误的说法是D，相等圆心角所对的弦不一定相等。

4.根据圆心角的性质，∠A=2∠B，所以∠A=140°。

5.∠BAC与∠BCD互补，∠BCD与∠CBD相等，所以与∠BAC相等的角有2个，即∠CBD和∠ABD。

6.因为∠CAB为30°，所以∠ABC为60°，由正弦定理可得BC=5√3.7.根据圆周角定理，∠ACB=40°。

8.设∠A=3x，∠B=4x，∠C=6x，则∠D=360°-3x-4x-6x=120°。

9.∠DCE=∠A。

1、如图，AB是⊙O的直径，C，D是BE上的三等分点，∠AOE=60°，求证∠COE=80°。

证明：由三等分点的性质可知，BC=CD=DE，又∠AOE=60°，所以∠AOC=120°。

圆周角定理及其推论
观察：
•在圆A上点C、G固定，观察点B运动的同时弧CB圆周角大小与它的圆心角大小的关系。

结论：同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一
半。

观察：
•保持圆A的大小不变固定C点F点，点G在圆上任意移动，观察圆周角CGF的大小的变化？
结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。

观察：
•在圆A中，点T沿圆运动，观察直径RS所对圆周角的大小。

结论：半圆或直径所对的圆周角是直角。

观察：
•任意改变圆内接四边形的形状，观察对角的和。

结论:圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都它的内对
角。

总结:
定理：同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。

推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等。

推理2：半圆或直径所对的圆周角是直角。

推理3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都它的内对角。

1 / 4 4 圆周角和圆心角的关系 第1课时 圆周角定理及其推论1 关键问答 ①圆周角和圆心角的顶点位置有何区别？同一段弧所对的圆心角和圆周角又有什么关系？ ②一条弧所对的圆周角有多少个？这些圆周角的大小有怎样的关系？ 1．①如图3－4－1 ,A ,B ,C是⊙O上的三点 ,且∠ABC＝70° ,那么∠AOC的度数是( ) 图3－4－1 A．35° B．140° C．70° D．70°或140°

2．②如图3－4－2 ,点A ,B ,C ,D都在⊙O上 ,AC ,BD相交于点E ,那么∠ABD与以下哪个角相等( ) 图3－4－2 A．∠ACD B．∠ADB C．∠AED D．∠ACB

3．2019·哈尔滨如图3－4－3 ,⊙O中 ,弦AB ,CD相交于点P ,∠A＝42° ,∠APD＝77° ,那么∠B的度数是( ) 图3－4－3 A．43° B．35° C．34° D．44°

命题点 1 利用圆周角定理进行计算或证明 [热度：96%] 4.③如图3－4－4 ,在⊙O中 ,O为圆心 ,点A ,B ,C在圆上 ,假设OA＝AB ,那么∠ACB的度数为( ) 图3－4－4 A．15° B．30° C．45° D．60°

方法点拨 ③解决圆中与圆周角有关的问题 ,常找出同弧所对的圆心角 ,通过圆心角和圆周角的关系找到解题的途径． 5．④如图3－4－5 ,∠AOB＝100° ,点C在⊙O上 ,且点C不与点A ,B重合 ,那么∠ACB的度数为( ) 图3－4－5 A．50° B．80°或50° C．130° D．50°或130°

易错警示 ④点C的位置固定吗？有几种不同的情况？ 6．2019·菏泽如图3－4－6 ,在⊙O中 ,OC⊥AB ,∠ADC＝32° ,那么∠OBA的度数是( ) 图3－4－6 A．64° B．58° C．32° D．26°

7.如图3－4－7 ,⊙O的半径为6 ,点A ,B ,C在⊙O上 ,且∠ACB＝45° ,那么弦AB的长是________． 图3－4－7 命题点 2 利用圆周角定理的推论1进行计算或证明 [热度：96%]