圆心角、弦、弧之间的关系耿延平

九年级下册数学——圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系讲义【1】圆心角定义在纸上任意画一个圆，任意画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这样的角就是圆心角.如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样，顶点在圆心的角叫做圆心角．【2】圆心角、弧、弦之间的关系定理在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 【定理拓展】○1在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弦也分别相等 ○2在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弧也分别相等 综上所述，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．【经典例题】【例1】下列说法中，正确的是( B )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等 【例2】如图2，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( C )图2A.3∶2B.5∶2C.5∶2D.5∶4 【解析】作OE ⊥CD 于E ，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1.在Rt △ODE 中，OD=2211+=2.在Rt △OEB 中，OB=22OE BE +=14+=5.∴OB ∶OD=5∶2.【例3】半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，若两弦的弦心距分别为OE 、OF ，则OE ∶OF等于( D )A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0 【解析】∵AB 为直径，∴OE=0. ∴OE ∶OF=0.【例4】一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________. 【解析】41×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°. 【答案】90°【例5】弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.【解析】OD ⊥AB ，OD=DB=AD.设OD=x ，则AD=DB=x.在Rt △ODB 中，∵OD=DB ，OD ⊥AB, ∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°， OB=22222=+++x x DB OD x. ∴AB ∶BC=1∶2=2∶2.∴弦与直径的比为2∶2，弦所对的圆心角为90°. 【答案】2∶2 90°【例6】如图6，已知以点O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C 、D.图6(1)求证：AC=DB ；(2)如果AB=6 cm ，CD=4 cm ，求圆环的面积.【分析】求圆环的面积不用求出OA 、OC ，应用等量代换的方法.事实上，OA 、OC 的长也求不出来.（1）证明：作OE ⊥AB 于E ，∴EA=EB ，EC=ED.∴EA －EC=EB －ED ，即AC=BD. （2）解：连结OA 、OC.∵AB=6 cm ，CD=4 cm ，∴AE=21AB=3 cm.CE=21CD=2 cm. ∴S 环=π·OA 2－π·OC 2=π（OA 2－OC 2）=π［（AE 2＋OE 2）－（CE 2＋OE 2）］=π（AE 2－CE 2）=π（32－22）=5π（ cm 2）.【例7】如图7所示，AB 是⊙O 的弦(非直径)，C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.图7【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得出.证法一：如图(1)，分别连结OA 、OB.∵OA=OB ，∴∠A=∠B. 又∵AC=BD ，∴△AOC ≌△B OD.∴OC=OD.(1) (2) 证法二：如图(2)，过点O 作OE ⊥AB 于E ， ∴AE=BE.∵AC=BD ，∴CE=DE.∴OC=OD.【例8】如图8，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6 cm ，EB=2 cm ，∠CEA=30°，求CD 的长.图8【分析】如何利用∠CEA=30°是解题的关键，若作弦心距OF ，构造直角三角形，问题就容易解决.【解】过O 作OF ⊥CD 于F ，连结CO. ∵AE=6 cm ，EB=2 cm ，∴AB=8 cm.∴OA=21AB=4（cm ），OE=AE －AO=2（cm ）. 在Rt △OEF 中， ∵∠CEA=30°，∴OF=21OE=1（cm ）. 在Rt △CFO 中，OF=1 cm ，OC=OA=4(cm)，∴CF=22OF OC =15(cm). 又∵OF ⊥CD ，∴CD=2CF=215（ cm）.【例10】如图10所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？为什么？图10【分析】欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC与弧BE所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC以及弧BE相等.【解】弧A C=弧BE.原因如下：法一：连结AC，∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴AC＝BD.又∵BE＝BD，∴AC＝BE.∴弧AC=弧BE.法二：∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴弧AC=弧BD.∵BE＝BD，∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.【例11】如图11所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.试证:弧AE=弧BF.图11【分析】欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE＝∠BOF.【证明】∴∠OCD＝∠ODC.∵AO＝OB，∴∠A＝∠B.∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，即∠AOC＝∠BOD，即∠AOE＝∠BOF.∴弧AE=弧BF.【例12】如图12，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？图12【分析】应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等.【解】在⊙O中，∵∠1=∠2=∠3，又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径，∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴弧DF=弧AC=弧BE.∴AC=EB=DF.【例15】如图15，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O 的半径.图15【分析】圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.【解】过O作OC⊥AB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.在Rt△OC A和△OCP中，OC2=OA2－AC2，OC2=OP2－CP2，∴OA2－AC2=OP2－CP2.∵AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC ，∴CP=AB －PA －BC=1，AC=5. ∴OA 2－52=52－1.∴OA=7， 即⊙O 的半径为7 cm.【例16】⊙O 的直径为50 cm ，弦AB ∥CD ，且AB=40 cm ，CD=48 cm ，求弦AB 和CD 之间的距离.【分析】（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况.(1)【解】（1）当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图(1),作OG ⊥AB 于G ，交CD 于E ，连结OB 、OD.∵AB ∥CD ，OG ⊥AB ，∴OE ⊥CD.∴EG 即为AB 、CD 之间的距离. ∵OE ⊥CD ，OG ⊥AB ，∴BG=21AB=21×40=20（cm ）， DE=21CD=21×48=24（cm ）.在Rt △DEO 中，OE=22DE OD -=222425-=7（cm ）. 在Rt △BGO 中，OG=22BG OB -=222025-=15（cm ）. ∴EG=OG －OE=15－7=8（cm ）.(2)（2）当AB 、CD 在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出OG=15 cm ，OE=7 c m ，∴GE=OG ＋OE=15＋7=22（cm ）.综上所述，弦AB 和CD 间的距离为22 cm 或7 cm.1. 过点O 作OE CD ⊥于E ∴=CE ED∴=∴≅∴=AD DB AOE BOE AO OB ∆∆2. 175mm3.略4. 85. 26. 427. 3.68. 1209. B10. D11. A 12. D13. 内部、外部14. 13cm cm 或15. BC=4cm。

圆心角、弦、弧之间的关系回顾1.圆是 对称图形，它的对称中心是．2.____________________________________叫做圆心角． 3、垂径定理： 圆心 弧 弦 弦心距之间的关系［知识要点归纳］1.一个角度，都能够与原来的图形重合。

2. 3. 对的弦的弦心距相等。

4. 距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。

（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角距也不相切。

（2若⊙中，O 以用圆心角定理推论证明。

5. 1°的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。

一般地，N °的圆心角对着N °的弧，N °的弧对着N °的圆心角，也就是⋂”之类的错误。

因为角与弧是两个不弧、弦心距关系定理；另外，证明两弦相等也常作弦心距。

（2）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对OBA OBACDEF的圆心角。

（3）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法： （I ）连过弧中点的半径；（II ）连等弧对的弦；（III ）作等弧所对的圆心角。

【学海导航】1.如图，将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ’OB ’的位置，你能发现哪些等量关系？相等的弦：；相等的弧：理由：结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也． 表达式：同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，•所对的弦也． 表达式：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的也相等． 表达式：注：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也。

5、在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等例1、如图，AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠AOC=∠BOC ∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？例题2、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，且AE=BF ，AC 与BD 相等吗？为什么？如图,在⊙O 中, = ,∠1=30°,则∠2=__________ 一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为________。

圆心角弧弦弦心距之间的关系在我们探索圆的奇妙世界时，圆心角、弧、弦、弦心距这几个概念就像圆这个大舞台上的主角，它们之间存在着紧密而有趣的关系。

首先，让我们来认识一下这几位“主角”。

圆心角，就是顶点在圆心的角。

想象一下，从圆心出发的两条射线，它们所夹的角就是圆心角。

弧呢，是圆上任意两点间的部分，就像是圆这个大蛋糕上切下来的一小段。

弦则是连接圆上任意两点的线段，是圆上两点之间的“直线通道”。

弦心距呢，是从圆心到弦的距离，简单说就是圆心到弦的垂线段的长度。

接下来，我们看看它们之间的具体关系。

当在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧一定相等，所对的弦也相等，弦心距自然也是相等的。

这就好像是一把神奇的钥匙，只要圆心角这个“开关”相同，其他几个元素就会随之呈现出相同的状态。

反之，如果两个弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等，弦心距也相等。

弧就像是一个传递信号的使者，它的相等能够带动其他元素的一致。

同样的道理，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等，弦心距也相等。

弦在这里扮演了重要的角色，它的平等能够引发一系列的连锁反应。

要是两条弦心距相等，那么对应的圆心角相等，所对的弧相等，弦也相等。

弦心距的相等仿佛是一个启动按钮，引发了整个系统的平衡与一致。

为了更好地理解这些关系，我们可以通过一些实际的例子来感受。

比如，在一个标准的圆形钟表盘上，假设时针从 12 点转到 3 点，形成的圆心角是 90 度。

那么对应的弧长，也就是 12 点到 3 点之间的圆弧长度，是整个圆周长的四分之一。

这时候对应的弦，也就是 12 点和 3点之间的线段长度，以及弦心距，也就是圆心到这段弦的垂直距离，都是确定且唯一的。

再比如，我们制作圆形的扇子。

如果要保证扇子打开的角度美观且一致，那么对应的扇面弧长、扇骨的长度以及扇骨到圆心的距离也都应该是相等的。

在实际的数学问题中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系常常被用来进行计算和证明。

弧弦圆心角之间的关系
圆心角、弧、弦之间的关系如下：
1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。

连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord），在同一个圆内最长的弦是直径。

顶点在圆心上的角叫做圆心角。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc），以“⌒”表示。

相关计算公式：（R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，L是扇形对应的弧长）
扇形弧长L=圆心角（弧度制）×R= nπR/180（θ为圆心角）（R 为扇形半径）
扇形面积S=nπ R²/360=LR/2（L为扇形的弧长）
圆锥底面半径 r=nR/360（r为底面半径）（n为圆心角）。

圆心 弧 弦 弦心距之间的关系
［知识要点归纳］
1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。

2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

5. 1°的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。

一般地，n °的圆心角对着n °的弧，n °的弧对着n °的圆心角，也就是说，圆心角的
∴AB ＝CD 弦AB 、DC 若PO 平分∠APC 弦AB 、CD 交于P 点（ PO 平分∠APC
=⎩
OP OP ∴≅∆∆P O M P O N AAS ()
∴=PM PN AM AB CN CD AB CD =
==121
2
，， ∴=AM CN
（）把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。

222CD CD AB ⋂⋂⋂
解法一：
过点作于，则，O OF AB E AF FB AB AE EB AB ⊥⋂=⋂=⋂==121
2
AB CD AE CD AB =∴==21
2
，
AF FB AF FB ⋂=⋂
∴=，（等弧对等弦） 在中，，∆AFB AF FB AB AF AB +>∴>2
∴≅
COF DOE ∆∆
OE OF
∴=。

圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系是几何学中常见的概念。

在此文档中，我们将推导这些概念之间的关系，并解释它们在圆的几何中的重要性。

首先，让我们定义这些概念：•圆心角：圆心角指的是以圆心为顶点的角。

•弦：弦是连接圆上两点的线段。

•弧：弧是圆上两点之间的曲线部分。

•圆周角：圆周角是以圆上两条弧为两边的角。

接下来，我们将探讨这些概念之间的关系。

1.弧和圆心角的关系：当我们考虑一个圆上的弧时，圆心角是与该弧相对应的角度，两者是一一对应关系。

换句话说，一个弧唯一对应一个圆心角，一个圆心角也唯一对应一个弧。

例如，如果给定一个半径为r的圆，圆心角为θ度，那么对应的弧长可以通过以下公式计算：弧长= (θ/360) × 2πr。

2.弦、弧和圆心角的关系：在圆上，如果一个弦和圆心角相等，那么它所对应的弧的长度也是相等的。

这表明弦、弧和圆心角之间存在着等量关系。

换句话说，如果两个弦所对应的圆心角相等，那么它们所对应的弧的长度也是相等的。

这个关系可以通过圆心角的定义进行证明。

由于圆心角是以圆心为顶点的角，所以它们的两条边与圆上的两条弦相等，因此对应的弧长也相等。

3.圆周角和圆心角的关系：圆周角是以圆上两条弧为两边的角。

当一个圆周角的两个角点分别在圆上的两条弧的端点时，这两条弧所对应的圆心角恰好等于圆周角的大小。

这个关系可以通过对圆心角和圆周角的定义进行证明。

圆周角的两个角点分别位于圆上的两条弧的端点，因此对应的圆周角的大小就等于这两个圆心角之和。

通过上述推导，我们可以看出圆心角、弦、弧和圆周角之间的关系密切相关。

它们在圆的几何中起到重要的作用，帮助我们研究和解决各种与圆相关的问题。

这些概念的理解不仅对于数学学习具有重要意义，而且在实际应用中也有广泛的应用，例如建筑、工程和物理学等领域。

总结起来，圆心角、弦、弧和圆周角之间的关系可以通过定义和几何推导来解释。

这些概念在圆的几何中相互关联，为我们理解和研究圆提供了重要的工具和观点。

圆心角弧弦弦心距之间的关系在我们探索圆的奥秘时，圆心角、弧、弦和弦心距这几个概念及其之间的关系是非常重要的。

它们就像是圆这个神秘世界的密码，掌握了它们之间的关系，就能更加深入地理解圆的性质和特点。

首先，让我们来认识一下这几个概念。

圆心角，简单来说，就是顶点在圆心的角。

想象一下，从圆心出发的两条射线所夹的角，那就是圆心角。

弧呢，是圆上任意两点之间的部分。

比如，圆上 A 点和 B 点之间的曲线部分就是一段弧。

弦则是连接圆上任意两点的线段。

还是以 A 点和 B 点为例，连接A、B 两点的线段就是弦。

弦心距，指的是圆心到弦的距离。

那么，它们之间到底有着怎样的关系呢？在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么所对的弧一定相等，所对的弦也一定相等。

反之，如果弧相等，那么所对的圆心角相等，所对的弦也相等。

同样，如果弦相等，那么所对的圆心角相等，所对的弧也相等。

为了更好地理解这一关系，我们可以通过一些实际的例子来感受一下。

假设我们有一个圆，圆心为 O，有两个圆心角∠AOB 和∠COD，且∠AOB ＝∠COD。

那么，根据上述关系，弧 AB 和弧 CD 是相等的，弦 AB 和弦 CD 也是相等的。

再比如，如果我们已知弧 AB 和弧 CD 相等，那么我们就可以得出∠AOB ＝∠COD，弦 AB ＝弦 CD。

又或者，当我们知道弦 AB 和弦 CD 相等时，同样可以推断出∠AOB ＝∠COD，弧 AB ＝弧 CD。

这种关系的证明，其实可以通过圆的性质和三角形的全等知识来实现。

以圆心角相等推出弧和弦相等为例。

我们可以连接圆心 O 与弧的两个端点 A、B 和圆心 O 与弧的另外两个端点 C、D，得到两个三角形△AOB 和△COD。

因为圆心角相等，OA ＝ OC，OB ＝ OD（都是圆的半径），根据三角形全等的判定定理（SAS），可以证明△AOB ≌△COD。

全等三角形的对应边相等，所以弦 AB ＝弦 CD。

又因为弧的长度取决于圆心角的大小，圆心角相等，所以弧 AB ＝弧 CD。

圆心角弧弦弦心距之间的关系在圆的世界里，圆心角、弧、弦、弦心距这几个概念就像是一个紧密相连的大家庭，它们之间存在着神奇而又美妙的关系。

首先，让我们来认识一下这几个“家庭成员”。

圆心角，就是顶点在圆心的角。

弧呢，是圆上任意两点间的部分。

弦则是连接圆上任意两点的线段。

弦心距，是从圆心到弦的距离。

当圆心角发生变化时，弧、弦、弦心距也会随之改变。

它们之间存在着一些恒定不变的规律。

先来说说圆心角和弧的关系。

在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也是相等的。

这就好比两个大小相同的扇子，扇角相等，展开的弧度也就一样。

反过来，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角也是相等的。

接下来是圆心角和弦的关系。

同样在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也是相等的。

想象一下，圆心角就像一只无形的手，用力均匀地拉扯着弦，当这个力（圆心角）相等时，弦的长度也就相等了。

反之，相等的弦所对的圆心角也是相等的。

再看看圆心角和弦心距的关系。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对应的弦心距也是相等的。

这就好像圆心发出的力量（圆心角）相同，到弦的垂直距离（弦心距）也就相同。

反过来，弦心距相等时，对应的圆心角也相等。

那弧和弦又有着怎样的联系呢？在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦是相等的。

比如一个圆的一段弧确定了，那么连接这段弧两端的弦的长度也就确定了。

反之，相等的弦所对的弧也是相等的。

弧和弦心距之间也有着密切的关系。

在同圆或等圆中，相等的弧所对应的弦心距相等。

同样，弦心距相等时，对应的弧也相等。

这些关系在解决圆的相关问题时非常有用。

比如，当我们知道了一个圆心角的度数，就可以通过这些关系求出对应的弧长、弦长和弦心距。

举个例子，假设有一个圆，圆心角为 60 度，半径为 5 厘米。

我们可以先根据圆心角的度数求出它所对的弧长占整个圆周长的比例，因为圆的圆心角总共是 360 度，所以 60 度圆心角所对的弧长就是圆周长的六分之一。

圆的周长可以通过公式2πr 计算（r 是半径），即2×π×5＝10π 厘米，那么 60 度圆心角所对的弧长就是10π÷6 ＝5π/3 厘米。