(新)高中数学第二章概率2_3独立性课后导练苏教版选修2-3

课下能力提升(十三)事件的独立性一、填空题1．坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1和A2是________事件．2．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是________．3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________．4．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一个被录取的概率为________．5．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关，那么，连过前两关的概率是________．二、解答题6．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：(1)甲、乙两地都降雨的概率；(2)甲、乙两地都不降雨的概率；(3)其中至少一个地方降雨的概率．7．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？(2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率．8．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．答案1．解析：由题意知，A 1是否发生，对A 2发生的概率没有影响，所以A 1和A 2是相互独立事件．答案：相互独立2．解析：设“任取一书是文科书”的事件为A ，“任取一书是精装书”的事件为B ，则A ，B 是相互独立的事件，所求概率为P (AB )．据题意可知P (A )＝40100＝25，P (B )＝70100＝710， 故P (AB )＝P (A )P (B )＝25×710＝725. 答案：7253．解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34. 答案：344．解析：P ＝0.6×0.3＋0.4×0.7＋0.6×0.7＝0.88.答案：0.885．解析：设过第一关为事件A ，当抛掷一次出现的点数为2，3，4，5，6点中之一时，通过第一关，所以P (A )＝56.设过第二关为事件B ，记两次骰子出现的点数为(x ，y )，共有36种情况，第二关不能过有如下6种情况(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)．P (B )＝1－P (B )＝1－636＝56. 所以连过前两关的概率为：P (A )P (B )＝2536. 答案：25366．解：(1)甲、乙两地都降雨的概率为P 1＝0.2×0.3＝0.06.(2)甲、乙两地都不降雨的概率为P 2＝(1－0.2)×(1－0.3)＝0.8×0.7＝0.56.(3)至少一个地方降雨的概率为P 3＝1－P 2＝1－0.56＝0.44.7．解：记“机器甲需要照顾”为事件A ，“机器乙需要照顾”为事件B ，“机器丙需要照顾”为事件C .由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A ，B ，C 是相互独立事件．(1)由已知得P (AB )＝P (A )P (B )＝0.05，P (AC )＝P (A )P (C )＝0.1，P (BC )＝P (B )P (C )＝0.125.解得P (A )＝0.2，P (B )＝0.25，P (C )＝0.5.所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5.(2)记A 的对立事件为A －，B 的对立事件为B －，C 的对立事件为C －，“这个小时内至少有一台机器需要照顾”为事件D ，则P (A －)＝0.8，P (B －)＝0.75，P (C －)＝0.5，于是P (D )＝1－P (A －B －C －)＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝0.7.所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.8．解：(1)设事件A 表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B 表示“一个月内被投诉的次数为1”，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.5＝0.9.(2)设事件A i 表示“第i 个月被投诉的次数为0”，事件B i 表示“第i 个月被投诉的次数为1”，事件C i 表示“第i 个月被投诉的次数为2”，事件D 表示“两个月内共被投诉2次”．∴P (A i )＝0.4，P (B i )＝0.5，P (C i )＝0.1(i ＝1，2)．∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P (A 1C 2＋A 2C 1)，一、二月份均被投诉1次的概率为P (B 1B 2)，∴P (D )＝P (A 1C 2＋A 2C 1)＋P (B 1B 2)＝P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (B 1B 2)．由事件的独立性得P (D )＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.。

2020年苏教版选修2-3课后练习（2）一、解答题（本大题共11小题，共132.0分）1.某校“数学俱乐部”有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人．(1)若从中选出1人担任总干事，则有多少种不同的选法？(2)若从每一个年级各选1名担任年级组长，则有多少种不同的选法？2.如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有2条路，从丙地到丁地有4条路．问：从甲地到丁地共有多少种不同的走法？3.如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有多少条不同的线路(每条线路仅含1条通路)？4.(1)连续抛掷1颗骰子2次，用树形图画出掷出的点数的所有可能情况；(2)第一次抛壹元币，第二次抛伍角币，第三次抛壹角币，试用树形图画出3次抛掷后3枚硬币向上的一面是正面或是反面的所有可能情况．5. 已知一个两位数中的每个数字都从1，2，3，4中任意选取．(1)如果两位数中的数字不允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？(2)如果两位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？6. 用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构成多少个不同的分数？可构成多少个不同的真分数？7. (1)乘积(a +b +c +d)(m +n)(x +y +z)展开后共有多少项？(2)∑a i n i=1⋅∑b j m j=1展开后共有多少项？8.(1)如图(1)，从A处沿街道走到B处，使路程最短的不同走法有多少种？(2)如图(2)，从A处沿街道走到B处，使路程最短的不同走法有多少种？9.以正方形的4个顶点中某一顶点为起点、另一个顶点为终点作向量，可以作出多少个不相等的向量？10.(1)如果A={0,1，2，3，4，5}，那么在平面直角坐标系内．集合{(x,y)|x，y∈A}中有多少个不同的点？(2)如果k∈{1,3，5，7}，b∈{2,4，6，8}，那么方程y=kx+b所表示的不同的直线共有多少条？11.集合{1,2，3，4}有多少个子集？-------- 答案与解析 --------1.答案：解：(1)因为共有10+8+7=25人，所以总干事的选法共有C251=25种．(2)由题意，三个年级各选一个年级组长的方法数共有C101C81C71=560种．解析：(1)从所有学生中任选一个即可；(2)按分步计数原理，每个年级各选一名组长，最后乘起来．本题主要是考查了利用计数原理和组合数公式解决实际问题，要注意分好类，把握好分类标准．2.答案：解：从甲到丁分为两类，第一类，从甲过乙到丁分两步，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路，由乘法原理甲到丁有6种走法；第二类，从甲过丙到丁分两步，甲地到丙地有2条路，从丙地到丁地有4条路，由乘法原理甲到丁有8种走法，再有加法原理得甲到丁共有6+8=14种走法，故从甲地到丁地共有14不同的走法．解析：从甲到丁首先分为两类，每一类又各分两步，由乘法原理算出后，再有加法原理相加即可．本题考查分类计数原理的简单运用，属于基础题．3.答案：解：共有3+1+2×3=10种．解析：根据路线图可以找出所有路线．本题考查独立事件，属于基础题．4.答案：解：(1)所有的点数如下：，(2)所有可能情况如下：正{ 正{正反反{正反，反{正{正反反{正反．解析：(1)分6种情况，利用树状图表示即可；(2)分2种情况，利用树状图表示即可；本题主要考查了概率中的列举法，古典概型中两种主要解题方法有列举法和列树状图，在画图时注意不重复、不遗漏，是基础题．5.答案：解：(1)因为两位数中的数字不允许重复使用，所以一个两位数相当从1，2，3，4中任意选取两个数的排列，则两位数的个数等于A 42=12故能得到12不同的两位数．(2)因为两位数中的数字允许重复使用，所以确定两位数分两步，每步都有4种方法，有乘法原理得共有4×4=16，故能得到16不同的两位数．解析：(1)因为数不允许重复使用，所以可用排列数公式求．(2)因为数允许重复使用，所以没法用排列数公式求，只能用乘法原理计算两位数的个数． 本题考查分类计数原理与排列问题的区别于联系，思路清晰，属于基础题．6.答案：解：根据题意，从1，5，9，13中的任意一个数作分子，有4种选法；从4，8，12，16中任意一个数作分母，有4种选法，则可以组成4×4=16个分数，根据真分数的定义，当分子为为1时，分母有4种选择，当分子为为5时，分母有3种选择，当分子为为9时，分母有2种选择，当分子为为13时，分母有1种选择，根据分类计数原理得真分数有，4+3+2+1=10种，解析：根据题意，对于分数的数目，分析分子、分母的选法数目，由分步计数原理计算可得答案，对于真分数数目，对分子分情况讨论，求出每种情况下真分数的数目，由加法原理计算可得答案． 本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．7.答案：解：(1)乘积(a +b +c +d)(m +n)(x +y +z)展开后的每一项是在(a +b +c +d)、(m +n)、(x +y +z)这3个式子中任取一项后相乘，而(a +b +c +d)中有4种取法，(m +n)中有2种取法，(x +y +z)中有3种取法，由乘法原理可得共有4×2×3=24种取法，所以乘积(a +b +c +d)(m +n)(x +y +z)展开后共有24项；(2)乘积∑a i n i=1⋅∑b j m j=1展开后的每一项是在∑a i n i=1、∑b j m j=1这2个式子中任取一项后相乘，而∑a i n i=1中有n 种取法，∑b j m j=1中有m 种取法，由乘法原理可得共有n ×m =mn 种取法，即乘积∑a i n i=1⋅∑b j m j=1展开后共有mn 项．解析：根据分析得所给乘积式的结果，需要在每一个括号中选一个进行乘法运算，分析每个括号中的取法数目，相乘得到结果．本题主要考查了乘法计数原理在求多项式乘法因式个数中的应用问题，是分步计数原理，是基础题． 8.答案：解：(1)从A 处沿街道走到B 处，路程最短的不同走法是要走3个东西步，1个南北步，则一种走法相当从4步中选出一个走南北的组合，即走法数C 41=4故从A 处沿街道走到B 处，使路程最短的不同走法有4种．(2)从A 处沿街道走到B 处，路程最短的不同走法是要走2个东西步，2个南北步，则一种走法相当从4步中选出两个走南北的组合，即走法数C 42=6故从A 处沿街道走到B 处，使路程最短的不同走法有6种．解析：(1)把从A 处过4个街道走到B 处问题转化成，从4个街道中选出一个街道为南北走的组合，则走法数等于组合数C 41．(2)同(1)分析一样．把走街道问题转化成组合问题，是一类问题，属于中低档题．9.答案：解：如图所示，从A 出发的向量有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 从B 出发且与从A 出发的向量不相等的向量有BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 从C 出发且与从A ，B 出发的向量不相等的向量有CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和CA⃗⃗⃗⃗⃗ ， 从D 出发且与从A ，B ，C 出发的向量不相等的向量有DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； 所以可作出的不相等的向量有8个．解析：根据题意画出图形，结合图形利用列举法计数，对照图形依次写出不同的向量．本题考查了计数原理的运用问题，用列举法一一列举计数，是基础题．10.答案：解：(1)根据题意，分2步进行计算：第一步确定x 有6种方法，第二部确定y 有6种方法， 则由乘法原理有6×6=36个．故集合{(x,y)|x ，y ∈A}中有36个不同的点．(2)：确定直线条数分2步进行求：第一步确定k有4种方法，第二部确定b有4种方法，则有乘法原理有4×4=16个．故方程y=kx+b所表示的不同的直线共有16条．解析：(1)确定元素(x,y)用乘法原理分两步定x，y各有6种情况，计算即可．(2)确定直线个数，用乘法原理分两步定K，b各有4种情况，计算即可．本题考查分类计数原理的运用．属于基础题．11.答案：解：根据若集合的元素为n个，则集合的子集个数为2n，所以集合{1,2，3，4}的子集个数为：24=16．解析：根据若集合的元素为n个，则集合的子集个数为2n，即可算出结果．本题主要考查了集合的子集个数，利用公式2n是关键，属于基础题．。

2.3 .1条件概率学习目标了解条件概率的概念了解条件概率的乘法公式学习过程一、课前准备预习教材找出疑惑之处，并准备解决下面问题:在一次抛掷两粒质地均匀骰子试验中，问两粒骰子正面向上数字之和是7的概率二、新课导学【学习探究】一抛掷一枚质地均匀的硬币两次.（1）两次都是正面向上的概率是多少？（2）在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？（3）在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是多少？新知1 条件概率一般地，若有两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下考虑事件A发生的概率，则称此概率为B已发生的条件下A的条件概率.记为(|)P A B.试试用条件概率的相关知识表示一下学习探究一中的问题思考若事件A与B互斥，则(|)P A B等于多少？新知2 事件AB表示事件A和事件B同时发生【学习探究】二通过具体事例来发现(|)P AB P B三者的关系，证明不作要求。

P A B，(),()新知 3 条件概率公式 乘法公式一般地，若()0P B >,则事件B 已发生的条件下A 发生的条件概率是()(|)()P AB P A B P B = 乘法公式 ()()()P AB P A B P B =【数学运用】例1 教材 例1例2 教材 例2例3 教材 例3小结 （1）条件概率的“条件”可以理解为“前提”的意思（2）本章中条件概率仍可用古典概型知识求解学习评价当堂练习1.练习1,22．已知P(B|A)=103,P(A)=51,则P(AB)=_______________． 3．由“0”、“1” 组成的三位数码组中，若用A 表示“第二位数字为0”的事件，用B 表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)=_______________．4．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率为152，既刮风又下雨的概率为101，则在下雨天里，刮风的概率为_______________．课后拓展1．设某种动物有出生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4.现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是________．2．某个班级共有学生40人，其中有团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员4人．如果要在班内任选一人当学生代表（1）求这个代表恰好在第一小组内的概率（2）求这个代表恰好是团员代表的概率（3）求这个代表恰好是第一小组内团员的概率（4）现在要在班内任选一个团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率3．一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率？（每个小孩是男孩和女孩的概率相等）本课时小结。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2.3.2 事件的独立性课时目标 理解两个事件相互独立的概念；能进行一些与事件独立有关的概率的计算．1．事件A 、B 独立：一般地，若事件A ，B 满足______________，则称事件A 、B 独立． 2．事件A 、B 独立的充要条件是____________．3．若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则P (A 1A 2…A n )＝________________.一、填空题1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是________．2．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是________(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)．3．甲、乙两人独立答题，甲能解出的概率为p ，乙不能解出的概率为q ，则两人同时解出此题的概率为______．4．一袋中装有3个红球和2个白球，另一袋中装有2个红球和1个白球，从每袋中任取一球，则至少取到一个白球的概率是________．5．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是______．6．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．7．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p (0＜p ＜1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为________．8．在一条马路上的甲、乙、丙三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是______．二、解答题9．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别是100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率； (2)求这名同学至少得300分的概率．10．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响．求：(1)至少有1人面试合格的概率； (2)没有人签约的概率．能力提升11．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．12. 如图，在一段线路中安装5个自动控制开关，在某段时间内各个开关是否能够闭合相互之间没有影响，在某段时间内各个开关能够闭合的概率如下表：开关A 1 A 2 A 3B 1 B 2 闭合的概率0.6 0.5 0.80.70.9求在这段时间内下列事件发生的概率： (1)由于B 1，B 2不闭合而线路不通； (2)由于A 1，A 2，A 3不闭合而线路不通； (3)线路正常工作．1．求相互独立事件同时发生的概率的程序是：(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求其积．2．一个事件的正面包含基本事件个数较多，而它的对立事件包含基本事件个数较少时，则用公式P (A )＝1－P (A )计算．2．3.2 事件的独立性答案知识梳理1．P (A |B )＝P (A ) 2．P (AB )＝P (A )P (B ) 3．P (A 1)P (A 2)…P (A n ) 作业设计 1．0.56解析 设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，由题意知A 、B 相互独立， ∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.7＝0.56. 2.253．p (1－q ) 4.35解析 由题易知，全都是红球的概率为C 13C 15×C 12C 13＝25，故至少取到一个白球的概率是1－25＝35. 5.712解析 ∵P (A )＝12，P (B )＝16，∴P (A )＝12，P (B )＝56.又A 、B 为相互独立的事件，∴P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝12×56＝512.∴A 、B 中至少有一件发生的概率为1－P (A ·B )＝1－512＝712.6.13 23解析 设事件A ：“甲解决这道难题”，事件B ：“乙解决这道难题”， ∴A ，B 相互独立．∴两人都未能解决的概率为P (A B )＝(1－12)×(1－13)＝13.问题得到解决的概率为P (A B )＋P (A B )＋P (AB )＝1－P (A B )＝1－13＝23.7．1－(1－p )n解析 至少有一位同学通过测试的对立事件为无人通过测试，其概率为(1－p )n .应用对立事件的概率求解知，至少有一位同学能通过测试的概率为1－(1－p )n .8.35192解析 记某辆汽车在这条马路上行驶，在甲处不用停车为事件A ，在乙处不用停车为事件B ，在丙处不用停车为事件C ，则由已知得P (A )＝2560＝512，P (B )＝3560＝712，P (C )＝4560＝34，所以所求概率为P (ABC )＝P (A )P (B )·P (C )＝512×712×34＝35192.9．解 记P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.6.(1)事件“这名同学得300分”可表示为A B C ＋A BC ，所以P (A B C ＋A BC )＝P (A B C )＋P (A BC )＝P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝0.8×(1－0.7)×0.6＋(1－0.8)×0.7×0.6＝0.228.(2)“这名同学至少得300分”可理解为这名同学得300分或400分，所以该事件可表示为A B C ＋A BC ＋ABC ，所以P (A B C ＋A BC ＋ABC )＝P (A B C ＋A BC )＋P (ABC )＝0.228＋P (A )P (B )P (C )＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.10．解 用A 、B 、C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A 、B 、C 相互独立，且P (A )＝P (B )＝P (C )＝12.(1)至少有1人面试合格的概率是1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－⎝⎛⎭⎫123＝78. (2)没有人签约的概率为P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )·P (C )＝⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫123＝38. 11.370解析 加工出来的零件的正品率为(1－170)×(1－169)×(1－168)＝6770，所以次品率为1－6770＝370. 12．解 (1)记“开关B 1闭合”为事件B 1，“开关B 2闭合”为事件B 2，所以所求概率为 1－P (B 1B 2)＝1－P (B 1)·P (B 2)＝1－0.7×0.9＝0.37.(2)设“开关A i 闭合”为事件A i (i ＝1,2,3)，所求概率为 P (A1A2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝(1－0.6)×(1－0.5)×(1－0.8)＝0.04.(3)所求概率为P (B 1B 2)[1－P (A 1A2A 3)]＝0.63×(1－0.04)＝0.604 8.。

协方差的属性两个不同参数之间的方差就是协方差若两个随机变量X和Y相互独立，则E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述数学期望不为零，则X和Y必不是相互独立的，亦即它们之间存在着一定的关系。

定义E[(X-E(X))(Y-E(Y))]称为随机变量X和Y的协方差，记作Cov(X，Y)，即Cov(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。

协方差与方差之间有如下关系：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y)协方差与期望值有如下关系：Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。

协方差的性质：（1）Cov(X，Y)=Cov(Y，X)；（2）Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)，（a，b是常数）；（3）Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)。

由协方差定义，可以看出Cov(X，X)=D(X)，Cov(Y，Y)=D(Y)。

协方差作为描述X和Y相关程度的量，在同一物理量纲之下有一定的作用，但同样的两个量采用不同的量纲使它们的协方差在数值上表现出很大的差异。

为此引入如下概念：定义称为随机变量X和Y的相关系数。

定义若ρXY=0，则称X与Y不相关。

即ρXY=0的充分必要条件是Cov(X，Y)=0，亦即不相关和协方差为零是等价的。

定理设ρ是随机变量X和Y的相关系数，则有XY（1）∣ρ∣≤1；XY（2）∣ρ∣=1充分必要条件为P{Y=aX+b}=1，（a，b为常数，a≠0）XY定义设X和Y是随机变量，若E(X^k)，k=1，2，...存在，则称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩。

若E{[X-E(X)]k}，k=1，2，...存在，则称它为X的k阶中心矩。

若E{(X^k）（Y^p)}，k、l=1，2，...存在，则称它为X和Y的k+p阶混合原点矩。

若E{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l }，k、l=1，2，...存在，则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。

2.3 独立性2.3.1 条件概率5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.掷两枚均匀的骰子，求在已知它们点数不同的条件下，至少有一枚是6点的概率是（）A.21B.31C.41D.61答案:B解析：设“至少有一枚是6点”为事件A，“两枚骰子上点数不同”为事件B，则n(A)=6×5=30,n(AB)=10.则P（A|B）=313010)()(==BnABn.2.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为（）A.191B.3817C.194D.172答案:D解析：令A表示“抽到2张都是假钞”，则B事件为“2张中至少有一张是假钞”，所求为P（A|B）.而P（AB）=22025CC，P（B）=2201151515CCCC++,∴P（A|B）=172)()(=BPABP.3.某批产品中甲厂生产的产品占60%，已知甲厂的产品的次品率为10%，从这批产品中随意地抽取一件，则该产品是甲厂生产的次品的概率为（）A.60%B.6%C.10%D.40%答案:B4.如果B和C是两个互斥事件，则P（B∪C|A）=________________.答案:P（B|A）+P（C|A）10分钟训练（强化类训练，可用于课中）阅读下面材料，解答1、2两个小题.甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%.1.乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是（）A.32B.54C.51D.254答案:A解析：设A=“甲地为雨天”，B=“乙地为雨天”，则根据题意有P （A ）=0.20，P(B)=0.18,P(AB)=0.12，所以乙地为雨天时甲地也为雨天的概率为P （A|B ）=18.012.0)()(=B P AB P ≈0.67. 2.甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是（ ）A.0.12B.0.38C.0.60D.0.24%答案:C解析：设A=“甲地为雨天”，B=“乙地为雨天”，则根据题意有P （A ）=0.20,P(B)=0.18,P(AB)=0.12，甲地为雨天时乙地也为雨天的概率为P （B|A ）=20.012.0)()(=A P AB P =0.60. 3.P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.2,则P(A|B)=______ _____,P(B|A)=_______________. 答案:23 25 P(A|B)=3.02.0)()(=B P AB P =32,P(B|A)=52)()(=A P AB P . 4.设A 、B 互斥，且P （A ）＞0,则P （B|A)=___________.若A 、B 相互独立，P （A ）＞0，则P （B|A ）=______________.答案:0 P(B) A 、B 相互独立，相互不影响，∴P （B|A ）=P （B ）.5.一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的,已知这个家庭有一个是女孩,问这时另一个是男孩的概率是多少？解：一个家庭的两个小孩子只有4种可能:{两个都是男孩},{第一个是男孩,第二个是女孩},{第一个是女孩,第二个是男孩},{两个都是女孩}.由题目假定可知这4个基本事件发生是等可能的.根据题意,设基本事件空间为Ω,A=“其中一个是女孩”,B=“其中一个是男孩”，则Ω={（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，A={（男,女）,(女,男),(女,女)},B={(男,男),(男,女),(女,男)},AB={(男,女),(女,男)},问题是求在事件A 发生的情况下,事件B 发生的概率,即求P(B ｜A).由上面分析可知P(A)=43,P(AB)=42. 由公式②可得P(B ｜A)=4342=32, 因此所求条件概率为32. 30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）阅读下面材料，解答1、2两个小题.某个班级共有学生40人，其中有团员15人，全班共分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员4人.如果要在班内任选一人当学生代表.1.这个代表恰好在第一小组内的概率为（ ）A.41B.51C.101D.21 答案:A解析：设A={在班内任选一个学生；该学生属于第一小组}.B={在班内任选一个学生，该学生是团员}.由古典概率知P （A ）=4010=41，选A. 2.现在要在班内任选一个团员代表，求这个代表恰好在第一小组内的概率是（ ） A.152 B.154 C.51 D.31 答案:B 解析：由古典概率知P （A|B ）=154，选B. 3.某家庭电话，打进电话响第一声被接的概率是0.1，响第二声被接的概率是0.2，响第三声被接的概率是0.3,响第4声被接的概率是0.3,则电话在响5声之前被接的概率是____________________.答案:0.9解析：记“电话响第i 次时被接”为事件A i (i=1,2,3,4),“电话响5声之前被接”为事件A ，由于A 1、A 2、A 3、A 4互斥，所以P （A ）=P （A 1+A 2+A 3+A 4）=P （A 1）+P （A 2）+P （A 3）+P （A 4）=0.1+0.2+0.3+0.3=0.9.4.同时抛掷两个均匀的正方体玩具（各个面上分别标有1，2，3，4，5，6），则向上的一面数之积为偶数的概率为_______________.答案:43 解析：向上的一面数之积为奇数，当且仅当两个正方体向上的一面数都为奇数，其可能出现的结果数为13C ·13C ，因此向上的一面数之积为奇数的概率为661313⨯C C =41，向上的一面数之积为偶数的概率为1-P=1-41=43. 5.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意拨号，假设拨过了的电话号码不再重复，试求下列事件的概率.（1）第3次才接通电话；（2）如果他记得号码的最后一位是奇数，拨号不超过3次而接通电话.解:设第i 次接通电话为事件A i (i=1,2,3)，A 表示不超过3次接通电话.（1）第3次才接通电话可表示为21A A A 3，于是P （A ）=1018198109=⨯⨯. (2)用B 表示最后一位按奇数的事件，则P （A|B ）=P （A 1|B ）+P （A 1A 2|B ）+P （21A A A 3|B ） =51+533451344514=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯. 6.一个箱子中装有2n 个白球和2n-1个黑球，一次摸n 个球，（1）求摸到的都是白球的概率；（2）在已知它们颜色相同的情况下，求该颜色是白色的概率.解:(1)P=n n n n C C 122-. (2)记“摸出n 个白球”为事件A ，“摸出n 个黑球”为事件B.n(A)=n n C 2,n(B)=n n C 12-,n(A ∪B)=22n C +nn C 12-.P(A|A ∪B)= n n n n n n C C C B A n A n 1222)()(-+=⋃. 7.有三个孩子的家庭中，已知一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设生男、生女是等可能的）.解:设三个孩子中有一女孩是事件A ，三个孩子中至少有一男孩为事件B.由古典概率，知P（A ）=1-P （A ）=1-81=87，P （AB ）=828-=86，故P （B|A ）=767886)()(=⨯=A P AB P . 8.若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求（1）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的概率；（2）取出的两件中至少有一件是废品的概率.解:（1）设“两件中有一件不是废品”为事件A ，“两件中恰有一件是废品”为事件B ，则P （A ）=2112Mm M m m M C C C C --+,P(B)=211M m M m C C C -, 所以P （B|A ）=12)()()()(-+==m M m A P B P A P AB P . (2)设“取出的两件中至少有一件废品”为事件C ，则P （C ）=1-)1()12(22---=-M M m M m C C Mm M . 9.袋中有a 只黑球，6只白球，甲、乙两人依次从袋中取出一球（取后不放回），试分别求出两人各自取得白球的概率(b≥2).解:“设甲取出一球为白球”为事件A.甲取出一球后，“乙取出一球为白球”为事件B ，则P （A ）=ba b +，又AB 与事件AB 互斥. ∴P （B ）=P （AB ）+P （AB ）=221122bb a b a b A A A A A +++ =ba b b a b a ab b b +=-+++-)1)(()1(.。

独立性--事件的独立性教学目标知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。

过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。

情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。

教学重难点独立事件同时发生的概率。

有关独立事件发生的概率计算。

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。

教学过程：学生探究过程：复习引入：条件概率与概率的计算抛掷一枚质地均匀的硬币两次。

问：在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？构建数学1.独立事件一般地，若事件A，B满足P（A︱B）=P（A），则称事件A，B独立。

2.计算公式P（AB）=P（A）P（B）。

推广：若事件A1，A2，A3，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P（A1A2…An）=P（A1）P（A2）…P（An）.数学应用例1、求证：若事件A与B相互独立，则事件A与B也相互独立.例2、如图，用X，Y，Z三类不同的元件连接成系统N，当元件X，Y，Z都正常工作时，系统N正常工作，已知元件X，Y，Z正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90，求系统N正常工作的概率P.例3、加工某一零件共须两道工序，若第一、二道工序的不合格品率分别为3％和5％，假定各道工序是互不影响的，问：加工出来的零件是不合格品的概率是多少？教学反思：1. 理解两个事件相互独立的概念。

2. 能进行一些与事件独立有关的概率的计算。

3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用。