2017届湖南省“五市十校”高三12月联合检测理科数学试卷及答案

【关键字】数学六校联盟高三年级联考试卷文科数学试题时量：120分钟分值：150分命题人：周流金（醴陵一中）张先祥（浏阳一中）彭小飞（株洲二中）第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数满足，则的共轭复数的虚部是（）A．1 B．C．D．2．已知集合，，则( )A． B. C. D.3．已知向量，若与平行，则实数的值是（）A．4 B．．D．4．设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．函数的零点的个数为（）A．0 B. ．2 D．36．已知等比数列为递加数列．若a1>0，且2(an＋an＋2) ＝5an＋1，则数列的公比q＝（）A．2或 B. ．D．-27．若,则,则的值为（）A．B．C．D．8．执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．B．C．D．9．欧拉是科学史上一位多产的、杰出的数学家！他1707年出生在瑞士的巴塞尔城，渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都令人惊叹不已。

特别是，他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，即使在他双目失明以后，也没有停止对数学的研究。

在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文。

如果你想在欧拉的生日、大学入学日、大学毕业典礼日、第一篇论文发表日、逝世日这5个特别的日子里（这五个日子均不相同），任选两天分别举行班级数学活动，纪念这位伟大的科学家，则欧拉的生日入选的概率为（）A．B．C．D．10．已知三棱锥外接球的表面积为，底面为正三角形，其正视图和侧视图如图所示，则此三棱锥的侧面积为（）A．B．C．D．11．已知函数，若，则a的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省五市十校教研教改共同体2020届高三12月联考数学（理）试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结朿后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知是虚数单位，则（）A. B. C. D.2.设集合，，则（）A. B.C. D.3.已知向量，满足，，，（）A. B. C. D.4.已知数列满足，，，则（）A. B. C. D.5.已知，分别是三棱锥的棱，的中点，，，，则异面直线与所成的角为（）A. B. C. D.6.—只蚂蚁在三边长分别为，，的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过的概率为（）A. B. C. D.7.在直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于点，，分别为，的中点，直线与轴交于点，若，则（）A. B. C. D.8.函数的部分图象大致为A. B. C. D.9.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.如图所示程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为（）A. B. C. D.10.已知正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（）A. B. C. D.11.已知，，是双曲线上的三个点，直线经过原点，经过右焦，若，且，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12.设是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题。

13.若实数，满足约朿条件，则的最大值为____________.14.的展开式中的系数为____________.15.函数的部分图像如图所示，则的值为_______________.16.将正整数分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为的最佳分解.当且是正整数的最佳分解时我们定义函数，例如.则的值为___________，数列的前项的和为____________.三、解答题。

湖南省五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结朿后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知是虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分子分母同乘分母的共轭复数，化简得到的代数形式【详解】，故选择B【点睛】复数除法的运算方法是分子分母同乘分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写出最简形式2.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解分式不等式，得集合A，再计算函数的定义域，得集合B，求集合A与集合B的交集可得答案【详解】因为，即，得，令，得，所以，选择D 【点睛】用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，常借助数轴来解决数集间的关系3.已知向量，满足，，，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因为，，所以，所以，由，解得【详解】因为，，所以，所以，则，所以，选择A【点睛】求解平面向量模的方法：1.写出有关向量的坐标，利用公式；2.利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，4.已知数列满足，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由数列满足得数列为等差数列，又由，及等差数列的性质可得，，所以得【详解】由数列满足得数列为等差数列，所以，即，同理,即，所以，选择B【点睛】等差数列，若，则，特别的，若，则，其中000005.已知，分别是三棱锥的棱，的中点，，，，则异面直线与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取AC中点D，连接ED，FD，则直线DE与直线DF所成的角即异面直线与所成的角，在中，由余弦定理计算,可得异面直线与所成的角【详解】取AC中点D，连接ED，FD，因为，分别是三棱锥的棱，的中点，所以，,则直线DE与直线DF所成的角即异面直线与所成的角，又因为，，，所以在中，,即，所以异面直线与所成的角为，选D【点睛】用平移法求异面直线所成的角的步骤：1.根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；2.证明作出的角是异面直线所成的角；3.解三角形，求出所作的角6.—只蚂蚁在三边长分别为，，的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】距离三角形的任意一个顶点的距离不超过的部分是以三角形三个角分别为圆心角，1为半径的的扇形区域，三个扇形面积之和与三角形面积之比即某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过的概率【详解】因为三角形三边长分别为，，，由勾股定理，该三角形为直角三角形，且面积为，距离三角形的任意一个顶点的距离不超过的部分是以三角形三个角分别为圆心角，1为半径的的扇形区域，因为三个圆心角之和为，所以三个扇形面积之和为，所以某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过的概率为，选择B【点睛】求解概率问题时要区分是古典概率类型还是几何概率类型，区分方法是看基本事件个数是有限还是无限个，古典概型问题的基本事件个数有限，几何概型的问题基本事件个数无限，几何概型问题又分为长度型，角度型，面积型，体积型，关键是弄清某事件对应的图形7.在直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于点，，分别为，的中点，直线与轴交于点，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，根据题意可得为等边三角形，继而可得与R的位置关系，得FR长度【详解】由抛物线，所以焦点,准线方程，因为，分别为，的中点，所以,所以四边形QMRF为平行四边形，FR=QM，又由垂直于点，所以PQ=PF，因为，所以为等边三角形，所以，所以，选择A【点睛】在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此8.函数的部分图象大致为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再根据与的性质，确定函数图象【详解】，定义域为，，所以函数是偶函数，排除A、C，又因为且接近时，，且，所以，选择B【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手：1.从函数定义域，值域判断；2.从函数的单调性，判断变化趋势；3.从函数的奇偶性判断函数的对称性；4.从函数的周期性判断；5.从函数的特征点，排除不合要求的图象9.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.如图所示程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将代入框图，根据循环结构，得到输出的的值【详解】由题，，，，，第一次循环，，；第二次循环，，；第三次循环，，；第四次循环，，；所以输出，选择C【点睛】对算法初步的考查主要是对程序框图含义的理解与运用，重点放在条件结构与循环结构，对于循环结构要搞清楚进入或退出循环的条件、循环的次数，是解题的关键10.已知正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由正实数，，满足，得，由基本不等式得当且仅当时，取最大值，此时，所以，最大值为1【详解】由正实数，，满足，得，当且仅当，即时，取最大值，又因为，所以此时，所以，故最大值为1【点睛】在利用基本不等式求最值时，要根据式子特征灵活变形，然后再利用基本不等式，要注意条件：一正二定三相等11.已知，，是双曲线上的三个点，直线经过原点，经过右焦，若，且，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】如图，因为，所以四边形为矩形，设，则，又，所以，，所以，得，所以，又因为，即，所以得离心率，选择A【点睛】双曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系，掌握常用变形技巧，有助于提高解题准确度12.设是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】因为当时，，构造函数，探索在上单调递性，又因为且为奇函数，得时，，当时，，解，得不等式解集【详解】因为当时，，构造函数，当时，，即在上单调递减，又因为，所以当，，，，当，，，，又因为为奇函数，所以当时，，由，得或，解得，选择C【点睛】构造函数解决不等式问题将不等式问题转化为函数问题，要求从被解的不等式或条件特点入手，发生联想，合理的构造函数模型，解决不等式问题二、填空题。

数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|2}B x x =≥，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{0,1}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2} 2.已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数1zi+的点是（ ）A ．MB ．NC ．PD ．Q3.如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）A ．14π-B ．4πC ．18π- D ．与a 的取值有关 4.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程 6.517.5t m =+$，则p 的值为（ ） A ．45 B ．50 C.55 D ．605.已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中点是原点O ，离心率等于52.以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164y x -= B ．2214x y -= C. 2214y x -= D ．2214x y -= 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1133 B ．35 C. 1043 D ．10747.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 为（ ） （参考数据：3 1.732≈,sin150.2588≈°,sin7.50.1305≈°）A ．12B ．24 C. 36 D ．48.如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点(0,1)A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长¼AM x =，直线AM 与x 轴交于点(,0)N t ，则函数()t f x =的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．9.三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且ABC ∆，BCD ∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是（ ） A ．26 B ．212 C. 24 D ．31210. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+.若ABC ∆的面积1312S =，则ab 的最小值为（ ） A ．12 B ．13 C. 16D ．3 11.已知直线y mx =与函数20.51,0,()12(),03xx x f x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3,4)B ．2,)+∞ C. 2,5) D ．3,2) 12.已知直线y a =分别与函数1x y e +=和1y x =-,A B 两点，则,A B 之间的最短距离是（ ）A ．3ln 22- B ． 5ln 22- C. 3ln 22+ D ．5ln 22+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若6(n x x x+的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于________.14.已知抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点为F ，O 是坐标原点，A 是抛物线上的一点，FA u u u r与x 轴正方向的夹角为60o，若OAF ∆的面积为3，则p 的值为__________.15.在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________.16.若不等式组20,5100,80x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1111(,1)n n a a S n N λλ+==+∈≠-，,且12323a a a +、、为等差数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和. 18.（本小题满分12分）某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士-12369”的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数API 进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量指数API （记为t ）的关系为：0,0100,4400,100300,1500,300,t P t t t ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(200,600]P ∈元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考：参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.（本小题满分12分）已知在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为正方形，延长AB 到D ，使得AB BD =，平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，1112AC AA =，114C AA π∠=.（1）若,E F 分别为11C B ，AC 的中点，求证：//EF 平面11ABB A ； （2）求平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值. 20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆22(2)(2)2Q x y -+=的圆心Q 在椭圆C 上，点2)P 到椭圆C 6.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ，且1l 交椭圆C 于,A B 两点，直线2l 交圆Q 于,C D 两点，且M 为CD 的中点，求MAB ∆面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数221()()(1)(22)2xf x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O .（1）求实数,a b 的值；（2）若2()()0f x x mx n +-≥•恒成立，求m n +的值.请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为123x ty t =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'1'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C 上任一点，求2232x xy y+的最小值，并求相应点M 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-4：不等式选讲已知实数0,0a b >>，函数()||||f x x a x b =--+的最大值为3. （1）求a b +的值；（2）设函数2()g x x ax b =---，若对于x a ∀≥均有()()g x f x <，求a 的取值范围.2016～2017学年度上学期高三年级五调考试理科数学答案一、选择题A D A D CC BD B BB D二、填空题13.5 14. 2 15.84 16.1a ≤-三、解答题（本大题共8题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17.解：（1）()*11n n a S n N λ+=+∈Q ， ()112n n a S n λ-∴=+≥，1n n n a a a λ+∴-=，即()()112,10n n a a n λλ+=+≥+≠，又1211,11a a S λλ==+=+，∴数列{}n a 为以1为首项，公比为1λ+的等比数列，…………2分()231a λ∴=+，()()241113λλ∴+=+++，整理得2210λλ-+=，得1λ=，…………4分()12,13132n n n a b n n -∴==+-=-.………………6分（2）()1322n n n a b n -=-⋅，()121114272322n n T n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅………………①()()12312124272352322n n n T n n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅……………②…………8分① —②得()12111323232322n n n T n --=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅…()()12121332212n n n -⋅-=+⋅--⋅-…………10分整理得：()3525n n T n =-⋅+………………12分18.（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失(]200,600P ∈元”为事件A 由2004400600t <-≤，得150250t <≤，频数为()3939,100P A ∴=…………4分 （Ⅱ）根据以上数据得到如表：…………8分2K 的观测值()22100638227 4.575 3.84185153070K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关.…………12分 19.（本题满分12分）解：（1）取11A C 的中点G ， 连接,FG EG ，在111A B C ∆中，EG 为中位线，11,GE A B GE ∴⊄W Q 平面1111,ABB A A B ⊂平面11ABB A ，GE ∴W 平面11ABB A ， 同理可得GE W 平面11ABB A ，…………2分 又GF GE G =I ，所以平面GEF W 平面11ABB A ， EF ⊂Q 平面GEF ，EF ∴W 平面11ABB A .…………4分 （2）连接1AC ，在11AAC V 中，11111,4C A A AC π∠=， 所以由余弦定理得2222111111111111112cos ,,AC AA AC AA AC AAC AA AA AC A AC =+-⨯∠=∴=∆是等腰直角三角形，11AC AA ⊥，又因为平面11AAC C ⊥平面11ABB A ，平面11AAC C I 平面1111,ABB A AA AC =∴⊥平面11ABB A ，AB ⊂Q 平面11ABB A ，1AC AB ∴⊥，…………7分又因为侧面11ABB A ，为正方形，1AA AB ∴⊥，分别以11,,AA AB AC 所在直线作为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，则()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,1,0,2,0A A B C C D -， ()()()()111112,1,1,1,2,1,1,0,1,0,1,0CB CD AC A B ∴=-=-=-，………………8分设平面111A B C 的一个法向量为()111,,m x y z =u r ，则11110,0m A C m A B •=•=u r u u u u r u r u u u u r ，即11100x z y -+=⎧⎨=⎩，令11x =，则221,3y z ==，故()1,1,3n =r为平面1CB D 的一个法向量，所以222222cos ,2113m n m n m n <>===⨯⨯++u r ru r r W u r r ，平面111A B C 与平面1CB D 22220.（本题满分12分）解：（Ⅰ）因为椭圆C 的右焦点(),0,6,2F c PF c ==，…………1分 (2Q 在椭圆C 上，22421a b ∴+=，…………2分 由224a b -=得228,4a b ==，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.…………4分（Ⅱ）由题意可得1l 的斜率不为零，当1l 垂直x 轴时，MAB ∆的面积为14242⨯⨯=，…………5分当1l 不垂直x 轴时，设直线1l的方程为：y kx =则直线2l的方程为：()()11221,,,y x A x y B x y k =-，由22184x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()221240k x ++-=，所以12122412x x x x k -+=+，…………7分则12AB x -=，………………8分又圆心(Q到2l的距离1d <21k >，…………9分又,MP AB QM CD ⊥⊥，所以M 点到AB 的距离等于Q 点到AB 的距离，设为2d，即2d =10分所以MAB ∆面积212s AB d ==11分 令()2213,t k =+∈+∞，则110,,3S t ⎫⎛⎫∈=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，综上，MAB ∆面积的取值范围为4⎤⎥⎝⎦.…………12分21.解：（1）()()()()221221222x f x ax bx a b ax b e x x x x ⎡⎤=++-++-++-+⎣⎦Q ()()2212322x ax a b x a e x x ⎡⎤=+++-+⎣⎦，…………1分 ()00f a ∴==，又()010,1f a b b =-+=∴=.………………4分（2）不等式()()()2101112x f x x e x x x ⎛⎫>⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭，整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩，…………6分令()()()()()211,1,12x x x g x e x x h x g x e x h x e ⎛⎫=-++==-+=- ⎪⎝⎭. 当0x >时，()10x h x e =->；当0x <时，()10x h x e =-<，()h x ∴在(),0-∞单调递减，在()0+∞，单调递增，()()00h x h ∴≥=， 即()0g x ≥，所以()g x 在R 上单调递增，而()00g =； 故2211100;10022x x e x x x e x x x ⎛⎫⎛⎫-++>⇔>-++<⇔< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴当0x <或1x >时，()0f x >；同理可得，当01x ≤≤时，()0f x ≤. ∴当()()20f x x mx n ⋅+-≥恒成立可得，当0x <或1x >时，20x mx n +-≥， 当01x ≤≤时，20x mx n +-≤，故0和1是方程20x mx n +-=的两根， 从而1,0,1m n m n =-=∴+=-.…………12分22.解:（1）由1x t =-，得1t x =-，代入2y =+，20y -=.由2p =，得2224,4p x y =∴+=.…………5分（2）,12x x C y y ⋅⋅⋅⎧=⎪∴⎨=⎪⎩Q 的直角坐标方程为2214x y +=. ∴设()2cos ,sin M θθ，则2cos ,sin x y θθ==.222224cos cos 2sin 2cos 233x y πθθθθθ⎛⎫∴+=-+=++ ⎪⎝⎭ ∴当cos 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩时，上式取最小值1.即当M ⎛ ⎝⎭或1,M ⎛- ⎝⎭时，222x y +的最小值为1.…………10分 23.解：（Ⅰ）()()()f x x a x b x a x b a b =--+≤--+=+，…………2分 所以()f x 的最大值为a b +，3a b ∴+=.………………4分（Ⅱ）当x a ≥时，()()3f x x a x b x a x b a b =--+=--+=-+=-，…………6分 对于x a ∀≥，使得()()g x f x <等价于x a ∀≥，()max 3g x <-成立，()g x Q 的对称轴为2a x a =-<， ()g x ∴在[),x a ∈+∞为减函数， ()g x ∴的最大值为()22223g a a ab a a =---=-+-，…………8分 2233a a ∴-+-<-，即220a a ->，解得0a <或12a >， 又因为0,0,3a b a b >>+=，所以132a <<.………………10分。

湖南省“五市十校”2014届高三第一次联合检测（12月）数学（理）试题时量 120分钟 满分 150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知命题2:,210p x R x ∀∈+>，则（ ）A ．200:,210p x R x ⌝∃∈+≤ B． C ．200:,210p x R x ⌝∃∈+<D ．2．函数()2x f x e x =+-的零点所在的区间是（）A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,3)3．由曲线1xy =，直线y x =，3y =所围成的平面图形的面积为（ ）A ．329B ．2ln 3-C ．4ln 3+D ．4ln 3-4．已知的三个内角所对边长分别为，向量，，若∥，则（ ）C D 5．若()sin f x a x b =+（,a b 为常数）的最大值是5，最小值是1-，则a的值为（ ）A ．23-B ．23或23-C ．32-D ．326．等比数列{}n a 各项为正，354,,a a a -成等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，则63SS =（ ）A ．7B ．5C ．89 D ．27别是角所对边的边长，若C D ．2 8．已知函数()f x 满足1()2()f x f x =，当[1,3]x ∈时，()ln f x x =，若在区间 A C D二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分）2:,210p x R x ⌝∀∈+<2:,210p x R x ⌝∀∈+≤C B A ,,ABC△C B A ,,c b a ,,),(b a c a m -+=→→m =∠C9_________． 10．若不等式|||2|1x a x+>-+对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是11在点(1,(1))f 处的切线方程为12．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别为边BC 、AC 的中点． F 为边AB 上的点，且3AB AF =，若A D x A F y A E =+，,x y R ∈，则x y +的值为 ．13．下列命题：在[]0π，上是减函数； ②点(1,1),(2,7)A B 在直线03=-y x 两侧；③数列{}n a 为递减的等差数列，051=+a a ，设数列{}n a 的前n项和为n S ，则当4=n 时，n S 取得最大值；， 切线方程是.0536=--yx 其中正确命题的序号是_______________（把所有正确命题的序号都写上）．14．点(,)M x y 是不等式组03x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域Ω内的一动点，使2z y x =-的值取得最小的点为00(,)A x y ，则O M O A ⋅ （O 为坐标原点）的取值范围是____________．15．已知两个正数,a b ，可按规则c ab a b =++扩充为一个新数c ，在,,a b c 三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若0p q >>，经过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1mnq p ++-（,m n 为正整数），则m n +的值为 ．三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知函数12sin 3cos 2)(2-+=x x x f ．（I ）求函数()f x 的单调增区间；（II ）将函数()f x 的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位，再将图象上所有的点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍，得到函数()g x 的图象．若直线43x π=是函数()g x 的图象的对称轴，求ϕ的值． 17．（本小题满分12分）已知,,A B C 是直线l 上的不同三点，O 是l 外一点，向量,,OA OB OC满足23(1)2O A x =+ OB(ln )x y OC +-，记()y f x =．（I ）求函数()y f x =的解析式； （II ）求函数()y f x =的单调区间．18．（本小题满分12分）已知向量(sin ,1)m x =- ，1,)2n x =- ，函数2()2f x m m n =+⋅- ．（I ）求()f x 的最大值，并求取最大值时x 的取值集合；（II ）已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，且,,a b c 成等比数列，角B 为锐角，且()1f B =，求11tan tan A C+的值． 19．（本小题满分13分）学校餐厅每天有500名学生就餐，每星期一有A ，B 两种套餐可选，每个学生任选一种，其中A 是本校的传统套餐，B 是从外校引人的套餐．调查资料表明，若在这星期一选A 套餐的学生，下星期一会有15的学生改选B 套餐；而选B 套餐的学生，下周星期一会有r（405r <<）的学生改选A 套餐，用n a ，n b 分别表示在第n 个星期选A 套餐的人数和选B 套餐的人数．（I ）用1n a -表示n a ； （II ）若310r =，且选A 套餐的学生人数保持不变，求1a ； （III ）根据调查，存在一个常数k ，使得数列{}n a k -为等比数列，且[250,300]k ∈，求r 的取值范围． 20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项为n aq 是常数且0,1q q >≠）． （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ） （III ，是否存在正整数m ，对n N *∀∈都成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分13分），若()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为1． （Ⅱ）设()ln ()g x x f x =-，若()1g x ≤-对定义域内的x 恒成立， ，证明：(1sin )(1sin )g g θθ-≤+．2013年下期五市十校高三联考试卷一、选择题： AADB BCBC 二、填空题 9、12 10、13a << 11、12y ex =- 12、25 13、②④ 14、[]0,6 15、21三、解答题16．解：（I ）cos 21()2212cos 22x f x x x x +=-=+ 1分12(sin 2cos 2)2sin(2)226x x x π=+=+ 2分令222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈， 3分得36k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 4分所以函数()f x 在每一个[,]()36k k k Z ππππ-+∈区间是增函数． 5分（II ）将函数()2s i n (2)6f x x π=+的图象向右平移ϕ个单位，得到函数1()2sin[2()]6f x x πϕ=-+2sin(22)6x πϕ=-+的图象． 6分将函数1()f x 图象上所有的点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍，得到函数1()2sin(2)26g x x πϕ=-+的图象． 8分因为直线43x π=是函数()g x 的图象的对称轴，所以142sin(2)2236ππϕ⨯-+=±，得52,62k k Z ππϕπ-+=+∈ 10分 得,26k k Z ππϕ=-+∈， 11分 取0k =，得6πϕ=． 12分17．解：（I ）∵23(1)(ln )2OA x OB x y OC =++-，且,,A B C 是直线l 上的不同三点，∴23(1)(ln )12x x y ++-=， ∴23ln 2y x x =+； 6分（II ）∵23()ln 2f x x x =+，∴2131()3x f x x x x+'=+=，∵23()ln 2f x x x =+的定义域为(0,)+∞，而231()x f x x+'=在(0,)+∞上恒正，∴()y f x =在(0,)+∞上为增函数，即()y f x =的单调增区间为(0,)+∞． 12分18．解：（I ）==﹣2===．故f （x ）max =1，此时，得． 所以取得最大值的x 的集合为{x|}．6分 （II ）由f （B ）=，又∵0＜B ＜，∴．∴，∴．由a ，b ，c 成等比数列，则b 2=ac ，∴sin 2B=sinAsinC ． ∴==． 12分19．解：（I ）由已知得111145500n n n n n a a rb a b ----⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，所以114(500)5n n n a a r a --=+-， 得14()5005n n a r a r -=-+． 4分（II ） 310r =，∴ 1111502n n n a a a --=+=∴ 11300n a a -==． 8分（III ） {}n a k -是等比数列，∴ 14()()5n n a k r a k --=--，得141()()55n n a r a r k -=-++， ∴ 1()5005r k r +=，得250051rk r =+， 11分[250,300k ∈，∴250025030051r ≤≤+， ∴13510r ≤≤． 13分 20．解：（I ）由题意，)1(1--=n n a q q S ，得111(1)1q S a a q ==--∴1a q = …1分当2n ≥时， 11(1)(1)1111n n n n n q q q q a a a a a q q q q --=---=-----， 1(1)n n n q a qa qa --=- ∴1n n aq a -= …3分∴数列{}n a 是首项1a q =，公比为q 的等比数列，∴1n n n a q q q -=⋅= ………4分（II ）由（Ⅰ）知当41=q 时，)411(31411)411(41n n n S -=--= ………5分 ∵1411<-n ，∴31)411(31<-n …………6分即31<n S ……7分（III ）∵()log q f x x =12log log log n q q q n b a a a ∴=+++ ＝12log ()q n a a a=12(1)log 122nq n n q n ++++=+++=…9分∵12112()(1)1n b n n n n ==-++ ……10分 ∴11ni i b =∑12111nb b b =+++= 111112[(1)()()]2231n n -+-++-+ ＝21n n + …12分 由113ni im b =≥∑得66(1)666111n n m n n n +-≤==-+++ -------(*) ∵(*)对n N *∀∈都成立 ∴66311m ≤-=+ ∵m 是正整数，∴m 的值为1,2,3． ∴使113ni im b =≥∑对n N *∀∈都成立的正整数m 存在，其值为：1，2，3． ……13分21．解：（Ⅰ依题意有-------------3分（ⅰ）()1g x ≤-恒成立，即max ()1g x ≤-．()1g x ≤-恒成立，则(1)11101g a a a +=--++≤⇒≥．,则(0,1)x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增， 当(1,)x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，则max()(1)121g x g a ==-≤-，符合题意，即()1g x ≤-恒成立．所以，实数a 的取值范围为1a ≥． --------------------7分 （ⅱ）由（ⅰ）知，()1g x ≤-恒成立，实数a 的取值范围为1a ≥． 令sin [0,1)t θ=∈，考虑函数下证明()0p t '≥，即证：又10a -≥，只需证 即证22242221(1)(1)30(3)0t t t t t t t +≥+-⇐-≤⇐-≤，显然成立． 即()p t 在[0,1)t ∈单调递增，min ()(0)0p t p ==， 则()0p t ≥，得(1)(1)g t g t +≥-成立，，(1sin )(1sin )g g θθ-≤+成立．-----------------------13分（。

三湘名校教育联盟●2017届高三第三次大联考理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}32|31,|4120x A x B x x x +=<=-->，则()R C A B = A. [)3,2-- B.(],3-∞- C. [)()3,26,--+∞ D.()()3,26,--+∞2.已知命题:p ABC ∆中，若A B >，则cos cos A B >，则下列命题为真命题的是A. p 的逆命题B. p 是否命题C. p 逆否命题D. p 的否定3.已知函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当02x <<时，()2log f x x =，则()722f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. 1B. 1-C. 0D. 24.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为1，输出n 的值为N,则在区间[]1,4-上随机选取一个数M,1M N ≥-的概率为 A. 15 B. 25 C. 35 D. 455.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到了复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数2i e 在复平面内位于A.第一象限B. 第二象限C. 第三四象限D.第四象限6.函数cos ln x y x=-的图象大致是 7.()9214x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数为 A. 36 B. -144 C. 60 D.-608.如图是一个四面体的三视图，三个正方形的边长均为2，则四面体外接球的体积为A.32π B. 43π43π D. 3π 9.体育课排球发球项目考试的规则是：每位同学最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为()0p p ≠，发球次数为X ，则X 的期望() 1.75E X >，则p 的取值范围是 A. 70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭10.一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数为A. 13B. 12C. 11D. 1011.如图，抛物线()220y px p =>和圆220x y px +-=，直线l 经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆于A,B,C,D 四点，2AB CD ⋅=则p 的值为 A. 222212.已知函数()()33f x ax a x =+-在[]1,1-的最大值为3，则实数a 的取值范围是 A. 3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. []3,3-D. []3,12- 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3040S =，则38a a ⋅的最大值为 .14.已知实数,x y 满足2220x y x y y +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则z ax y =+的最小值为1，则a = .15.以40km/h 向北偏东30航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向向正东飘去，3min 后气球上升到1km 处，从探测船上观察气球的仰角为30，则气球的水平漂移速度是为 km/h. 16.已知平面向量,a b 满足2a b ==，存在单位向量e ，使得()()0a e b e -⋅-=，则a b -的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知函数()()sin sin ,0.3f x x x πωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭（1）若()f x 在[]0,π上的值域为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求ω的取值范围； （2）若()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，且()003f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求ω的值. 18.（本题满分12分）为了研究一种昆虫的产卵数y 和温度x 是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布子啊某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①212y C x C =+与模型；②34C x C y e +=作为产卵数y 和温度x 的回归方程来建立两个变量之间的关系.（1）在答题卡上分别画出y 关于t 的散点图，z 关于x 的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据表中数据，分别建立两个模型下y 关于x 的回归方程；并子啊两个模型下分别估计温度为的产卵数.（1234,,,C C C C 与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：4.65 4.85 5.05104.58,127.74,156.02e e e ≈≈≈）（3）若模型①、②的相关指数计算分别为22120.82,0.96.R R ==，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.19.（本题满分12分）已知三棱台111ABC A B C -中，11114,222,1AB BC AC AC AA CC ======,平面11ABB A ⊥平面11ACC A（1）求证：1BB ⊥平面11ACC A ；（2）点D 为AB 上一点，二面角1D CC B --的大小为30，求BC 与平面1DCC 所成角的正弦值.20.（本题满分12分）一张半径为4的圆形纸片的圆心为12,F F 是圆内一个定点，且122F F =，P 是圆上一个动点，把纸片折叠使得2F 与P 重合，然后抹平纸片，折痕为CD,设CD 与半径1PF 的交点为Q,当P 在圆上运动时，则Q 点的轨迹为曲线为E,以12F F 所在的直线为x 轴，12F F 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图.（1）求曲线E 的方程；（2）曲线E 与x 轴的交点为12,A A （1A 在2A 的左侧），与x 轴不重合的动直线l 过点2F 且与E 交于M,N 两点（其中M 在x 轴上方），设直线12,A M A N 交于点T ，求证：动点T 恒在定直线l '上，并求出l '的方程.21.（本题满分12分）已知函数()()22ln .f x x x x a =--（1）若()f x 在定义域上为单调递减函数，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使得()0f x ≤恒成立，且()f x 有唯一零点，若存在，求出满足(),1,a n n n Z ∈+∈的n 的值，若不存在，请说明理由. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

2017届高三数学跨越一本线精品误区一：对向量数量积理解错误平面向量的数量积是向量知识中的重要内容, 向量的数量积公式为cos a b a b θ⋅=，在利用向量数量积数量积公式进行计算时,常出现的一个错误是向量夹角出错，，因此充分理解向量夹角的概念是解决数量积问题的关键,本文先从三个方面阐述向量夹角经常出错的地方，最后再对向量数量积中其他容易出错的地方进行曝光，以引起同学们注意．一、忽视向量的方向致使夹角位置找错向量的夹角是有方向的，两个非零向量的夹角指的是，将两个向量起点重合时所成的角．【例1】【2016届湖南省长沙市一中高三上学期月考】等边三角形ABC 的边长为1,c AB b CA a BC ===,,，那么a c c b b a ⋅+⋅+⋅等于( ） A ．3 B ．—3C ．23D ．23-【分析】利用数量积定义，各向量模长确定，故只需确定其夹角即可,由向量夹角定义得向量,a b 的夹角为120︒,向量,b c 的夹角为120︒，向量,c a 的夹角为120︒．【解析】因为向量,a b 的夹角为120︒,向量,b c 的夹角为120︒,向量,c a 的夹角为120︒，所以有311cos12011cos12011cos1202a b b c c a ⋅+⋅+⋅=⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒=-，故选D ．【点评】正三角形的内角是60︒，向量,a b 、,b c 、,c a 的夹角均为120︒，本题解题时容易把三角形的内角当成向量的夹角,导致错误,误选C ． 【小试牛刀】在△ABC 中，AB ＝5,BC ＝7，AC ＝8,则BC AB ⋅的值为（ ）A ．79B ．69C ．5D ．—5 【答案】C【解析】在△ABC中,由余弦定理可得2222223781cos 22377AB BC AC B AB BC +-+-===-⨯⨯,所以()1cos 5757AB BC AB BC B ⋅=⋅⨯-=⨯⨯=。

三湘名校教育联盟·2017届高三第三次大联考理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合3{|31}n A x +=<，2{|4120}B x x x =-->，则()R C A B =（ ）A ．[3,2)--B ．(,3]-∞-C ．[3,2)(6,)--+∞D ．(3,2)(6,)--+∞2.已知命题:p ABC ∆中，若A B >，则c o s c o sA B >，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p 的逆命题B ．p 的否命题C ．p 的逆否命题D ．p 的否定 3.已知函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当02x <<时，3()log f x x =，则7(2)()2f f +=（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．24.执行如图所示的程序框图，如输入x 的值为1，输出n 的值为N ，则在区间[1,4]-上随机选取一个数M ，1M N ≥-的概率为（ ）A ．15 B ．25 C.35 D ．455.欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，ixe 表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限 6.函数cos ln ||xy x -=的图象大致是（ ）A ．B ． C. D ． 7.若291(4)()x x x-+的展开式中3x 的系数为（ ） A ．36 B ．-144 C.60 D ．-608.如图是一个四面体的三视图，三个正方形的边长均为2，则四面体外接球的体积为（ ）A B ． D ．9.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为(0)p p ≠，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围是（ ） A ．7(0,)12 B ．7(,1)12 C. 1(0,)2 D ．1(,1)210.一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是（ ）A ．13B ．12 C.11 D ．1011.如图，抛物线22y px =(0)p >和圆220x y px +-=，直线l 经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆于A ，B ，C ，D 四点，||||2AB CD ⋅=，则p 的值为（ ）A．2B ．1D．12.已知函数3()(3)f x ax a x =+-在[1,1]-上的最大值为3，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3[,3]2-B ．3[,12]2- C.[3,3]- D ．[3,12]- 第Ⅱ卷：非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1040S =，则35a a ⋅的最大值为 ．14.已知实数x ，y 满足2220x y x y y +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则z ax y =+的最小值为1，则a = ．15.以40/km h 向北偏东30︒航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3min 后祈求上升到1km 处，从探测船上观察气球，仰角为30︒，求气球的水平飘移速度是 /km h ．16.已知平面向量a ，b 满足2a b ==，存在单位向量e ，使得()()0a e b e -⋅-=，则a b -的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数()sin sin()3f x x x πωω=-+(0)ω>.（1）若()f x 在[0,]π上的值域为[，求ω的取值范围； （2）若()f x 在[0,]3π上单调，且(0)()03f f π+=，求ω的值.18. 为了研究一种昆虫的产卵数y 和温度x 是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并作出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈线性相关关系，现分别用模型①：212y C x C =+与模型②：12C x C y e+=作为产卵数y 和温度x 的回归方程建立两个变量之间的关系.其中2i i t x =，1i i t t ==∑，ln ii zy =，1i i u z ==∑，附：对于一组数据1122(,),(,),,(,)n n u v u v u v ，其回归直线v u βα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，v u αβ=-.（1）在答题卡中分别画出y 关于t 的散点图、z 关于x 的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）.（2）根据表中数据，分别建立两个模型下建立y 关于x 的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30C ︒时的产卵数.（1234,,,C C C C 与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据： 4.65104.58e ≈， 4.85127.74e ≈， 5.05156.02e ≈）（3）若模型①、②的相关指数计算得分分别为210.82R =，220.96R =，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.19. 已知三棱台111ABC A B C -中，4AB BC ==,112AC AC ==，111AA CC ==，平面11AA B B ⊥平面11AAC C ，（1）求证：1BB ⊥平面11AAC C ；（2）点D 为AB 上一点，二面角1D CC B --的大小为30︒，求BC 与平面1DCC 所成角的正弦值.20. 一张半径为4的圆形纸片的圆心为1F ，2F 是圆内一个定点，且122F F =，P 是圆上一个动点，把纸片折叠使得2F 与P 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与半径1PF 的交点为Q ，当P 在圆上运动时，则Q 点的轨迹为曲线E ，以12F F 所在直线x 为轴，12F F 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图.（1）求曲线E 的方程；（2）曲线E 与x 轴的交点为1A ，2A （1A 在2A 左侧），与x 轴不重合的动直线l 过点2F 且与E 交于M 、N 两点（其中M 在x 轴上方），设直线1A M 、2A N 交于点T ，求证：动点T 恒在定直线'l 上，并求'l 的方程. 21. 已知函数2()2ln ()f x x x x a =--.（1）若()f x 在定义域上为单调递减函数，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使得()0f x ≤恒成立且()f x 有唯一零点，若存在，求出满足(,1)a n n ∈+，n Z ∈的n 的值；若不存在，请说明理由.请考生在22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，已知曲线12cos :sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:C cos()4πρθ-=3:C 2sin ρθ=. （1）求曲线1C 与2C 的交点M 的直角坐标；（2）设点A ，B 分别为曲线2C ，3C 上的动点，求||AB 的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||1|f x x a x =---. （1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）存在[0,2]x ∈时，使得不等式()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围.数学（理科）参考答案、提示及评分细则一、选择题：1-5CDABB 6-10DDBCB 11、12：DB二、填空题13.16 14.1 15.2016.1]-三、解答题17.解答：()sin sin sin 33f x x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）由[]0,x π∈⇒,333x x πππωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，()f x 在[]0,π上的值域为,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．，最大值为1，则4233x πππω≤-≤，得5563ω≤≤． 综上：ω的取值范围是55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）由题意()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，得0033ππωω-≤⇒<≤． 由()003f f π⎛⎫+=⎪⎝⎭，得()1sin 3ωπ-⎡⎤=⇒⎢⎥⎣⎦()1233k ωπππ-=+或()12233k ωπππ-=+，k Z ∈， 62k ω=+或63k ω=+，k Z ∈，又03ω<≤，所以2ω=或3ω=；当2ω=时，2,3333x x ππππω⎡⎤-=-∈-⎢⎥⎣⎦，()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，符合题意， 当3ω=时，23,3333x x ππππω⎡⎤-=-∈-⎢⎥⎣⎦，()sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不单调，不符合题意， 综上：2ω=．18.解答（1）画出y 关于t 的散点图，如图181-：z 关于x 的散点图，如图182-．根据散点图可判断模型②更适宜作为回归方程类型．（2）对于模型①：设2t x =，则21212y C x C C t C =+=+，其中711721()()0.43()ii i ii tt y y C tt ==--==-∑∑，21800.43692217.56C y C t =-=-⨯=-，所以20.43217.56y x =-，当30x =时，估计温度为210.4330217.56169.44y =⨯-=.对于模型②：34C x C y e+=⇒4ln 3x z y C C ==+，其中71371()()0.32()ii i ii zz x x C x x ==--==-∑∑，43 3.570.3226 4.75C z C x =-=-⨯=-．所以0.32 4.75x y e-=，当30x =时，估计温度为0.3230 4.754.852127.74y ee ⨯-===． （3）因为2212R R <，所以模型②的拟合效果更好．19.（1）延长1AA ，1BB ，1CC 交于点O ．112AC A C =及棱台性质得2OA OC ==，所以OA OC ⊥．因为平面11AA B B ⊥平面11AA B B平面111AAC C AA =．所以OC ⊥平面11AA B B ，OB ⊂平面11AA B B ，所以OC OB ⊥,又AOB AOC ∆≅∆，所以OA OB ⊥，OAOC O =，所以1BB ⊥平面11AAC C ．（2）由于4AC AB ==，由()1知OA OB ⊥，OB OC ⊥，所以12OB OB ==且30OBA ∠=︒，以O 为坐标原点，OA ，OB ，OC 为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：则()11,0,0A ，()2,0,0A，()10B，()B ，()10,0,2C ．设()22,,0AD AB OD λλ=⇒=-． 设平面ODC 的法向量为(,,)m x y z =,由()0220m OC z m OD x y λ⎧==⎪⎨=-+=⎪⎩••，可取()3,1,0m λλ=-．()11,0,0OA =是平面OBC 的个法向量，由二面角1D CC B --的大小为30︒得：1cos ,m OA <>=12λ=⇒=． 所以D 为AB 中点，31,,02m⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()02BC =-，， 设BC 与平面1DCC 所成角为θ，则3sin cos ,||m BC m BC m BCθ===•． 所以BC 与平面1DCC 所成角为正弦值为4．20.解（1）由题意CD 垂直平分2PF ，所以121112QE QF QF QP PF R F F +=+==> 所以Q 的轨迹为以1F ，2F 为焦点、长轴长为24a =的椭圆，焦距22c =，所以1c =，所以动点Q 的轨迹为曲线E 的方程是：22143x y +=．（2）()120A -，，()220A ，，设l 的方程是1x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，(),i i T x y ，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2234690m y my ++-=， 所以，122634m y y m -+=+，122934y y m -=+. 因为M 在x 轴上方，∴120y y >>，12234y y m -==+．直线1A M 、2A N 的方程分别是：()1122y y x x =++，()2222y y x x =--，联立得：12122121222222i y y x x x y y x x ++-=--+()()()()12212112222222y x y x y x y x -++=+--()()()()12212112212331y my y my y my y my -++==+--1212124263my y y y y y -++ =()()()()12121212124242my y y y y y y y y y ++--=+--2484m -=． ∴动点T 恒在定直线'l ：4x =上．21.解（1）由已知，函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()'2ln 1f x x x a =-++ 由()f x 在定义域上单调递减，则()'0f x ≤恒成立，()()()'2ln 1g x f x x x a ==-++，所以()()212'2x g x x x-=-=， 当()0,1x ∈时，()'0g x >，()g x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()'0g x <，()g x 单调递减．即()'f x 在()0,1内单调递增，[1,)+∞内单调递减，所以()()''10f x f a ≤≤⇒．（2）当()0,1x ∈时，ln 0x x <，∴()()22ln 0f x x x x a =--<恒成立， 当[1,)x ∈+∞时，由（1）知，()'f x 在[1,)+∞内单调递减，（i ）若0a ≤，由（1）知，()f x 在[1,)+∞内单调递减，则()()()2110f x f a ≤=--<，()f x 无零点，不符合题意; （ii ）若0a >，设()()20x p x e x x =->，()()()'2ln 22ln 20xp x e p x p =-⇒>=->， 所以()()11'210a a f e a e ++=+-<，又()'10f =，所以存在()101,a x e +∈，使得()0'0f x =，即001ln a x x =--，①且当故当()01,x x ∈时，有()0'0f x >，当()0,x x ∈+∞时，有()0'0f x <， 则()f x 在()01,x 内单调递增，()0,x +∞内单调递减，由于()0f x ≤恒成立，且()f x 有唯一零点，∴()()200002ln 0f x x x x a =--=．②结合①，②知()0020001ln 2ln 0a x x x x x a =--⎧⎪⎨--=⎪⎩，③ 联立得()()()222000000000002ln 2ln 1ln 2ln 1ln x x x a x x x x x x x x --=----=-+⎡⎤⎣⎦ 设()()22ln 1ln x x x x ϕ=-+，则()110ϕ=>，()()220e e ϕ=-<， 且当1x ≥时，()()1'2ln 110x x x ϕ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，所以()x ϕ在()1,e 上有唯一零点0x ． 即满足方程组③的0x 唯一，且()01,x e ∈．设()()1ln 1u x x x x =-->，()1'10u x x=-≥，所以()u x 在()1,+∞上单调递增， ()()()00121u a u x u e e =<=<=-<，即满足方程组③的()0,1a ∈，所以0n =.综上所述，存在0n =即()0,1a ∈，使得()0f x ≤恒成立且()f x 有唯一零点．22.解答（1）曲线1C ：2cos sin x a y a=⎧⎨=⎩，消去参数a ，得21y x +=，[]1,1x ∈-．① 曲线2C：cos 1042x y πρθ⎛⎫-=-⇒++= ⎪⎝⎭，② 联立①②，消去y 可得：2201x x x --=⇒=-或2x =（舍去）， 所以()1,0M -．（2）曲线3C ：()222sin 11x y ρθ=⇒+-=，是以()0,1为圆心，半径1r =的圆.设圆心为C ，点C ，B 到直线10x y ++=的距离分别为d ，'d ，则d =='1AB d d r ≥≥-=， 所以AB1-．23.解答（1）当1a =时，()1,2121132,12,1x x f x x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=---=-≤<⎨⎪>⎪⎪⎩，∴()f x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦单调递减，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， ∴12x =时，()f x 取得最小值12-． （2）()()()()()22021213110f x x a x x a x x a x a ≤⇔-≤-⇔-≤-⇔----≤①当2a =时，()[]010,2f x x ≤⇔=∈，符合题意：②当2a <时，113a a +-<，()0f x ≤的解集为11,3a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 所以[]10,21,3a a +⎡⎤-≠∅⎢⎥⎣⎦，从而12103a a -≤⎧⎪+⎨≥⎪⎩，得12a -≤<， ③当2a >时，113a a +->，()0f x ≤的解集为1,13a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 所以[]10,2,13a a +⎡⎤-≠∅⎢⎥⎣⎦，从而12310a a +⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩或，得25a <≤， 综上：符合题意要求的实数a 的取值范围是[]1,5-．。

湖南省五市十校教研教改共同体2024届高三12月大联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},230A B x x x =-=--=∣，则()U A B ⋃=ð（）A.{1,3}- B.{2,0,1}- C.{1,2,3}- D.{2,0,1,2,3}-2.设复数z 满足|2i |z -=z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（）A.22(2)x y -+=B.22(2)x y +-=C.22(2)3x y +-= D.22(2)3x y ++=3.已知非零向量a b，满足|||b a = ，且(3)a a b ⊥+ ，则a 与b 的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π64.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则A.,1a eb ==- B.,1a eb == C.1,1a eb -== D.1,1a eb -==-5.在平面直角坐标系中，角α与β的顶点均为坐标原点O ，始边均为x 轴的非负半轴．若角α的终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，将OP 绕原点O 按逆时针方向旋转π3后与角β的终边重合，则cos β=（）A.34310- B.310+ C.43310- D.410+6.推动小流域综合治理提质增效，推进生态清洁小流域建设是助力乡村振兴和建设美丽中国的重要途径之一．某乡村落实该举措后因地制宜，发展旅游业，预计2023年平均每户将增加4000元收入，以后每年度平均每户较上一年增长的收入是在前一年每户增长收入的基础上以10%的增速增长的，则该乡村每年度平均每户较上一年增加的收入开始超过12000元的年份大约是（）（参考数据：ln 3 1.10≈，ln10 2.30≈，ln11 2.40≈）A.2033年B.2034年C.2035年D.2036年7.已知等差数列{}n a 中，7π8a =-，设函数44()cos sin 2sin cos 2f x x x x x =-++，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为（）A.0B.12C.24D.268.设函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，且满足2()()1,(2)e 1f x f x f '>+=+，则不等式e ()e 1x xf x --≥+的解集是（）A .(,1]-∞ B.(,2]-∞ C.[1,2]- D.[2,)+∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数321()3f x x x x =-+，则（）A.()f x 为奇函数B.1x =不是函数()f x 的极值点C.()f x 在[1,)-+∞上单调递增D.()f x 存在两个零点10.已知0,0a b >>，直线12:(2)10,:20l x a y l bx y +-+=+-=，且12l l ⊥，则（）A.01ab <≤ B.2+≤ C.222a b +< D.23b a b+≥11.已知偶函数π()cos())0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则下列说法正确的是（）A.π()2cos 26g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B.不等式()1g x ≥的解集为ππ,π,Z 3k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦C.若方程2()3g x =在区间2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭的解为12,x x ，则()123sin 2x x +=D.π4y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象与直线1122y x =-的交点个数为312.已知圆锥SO 的侧面积为3π，母线SA l =，底面圆的半径为r ，点P 满足2AP PS =，则（）A.当1r =时，圆锥SO 的体积为3B.当32r =时，过顶点S 和两母线的截面三角形的最大面积为374C.当1r =时，从点A 绕圆锥一周到达点PD.当3l =的正四面体在圆锥SO 内可以任意转动三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若313a a -=，426a a -=，则5S =__________.14.已知圆C 的圆心与抛物线28y x =的焦点关于直线y x =对称，直线230x y --=与圆C 相交于A ，B两点，且||AB =，则圆C 的方程为_________．15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且R x ∀∈，都有()(2)f x f x =-，当10x -≤<时，2()log ()f x x =-，则函数()()2g x f x =+在区间(1,8)-内的所有零点之和为_________．16.在平面四边形ABCD 中，3,AB AD BC CD BC CD ====⊥，将ABD △沿BD 折起，使点A到达点A '，且A C '=，则四面体A BCD -'的外接球O 的体积为_________；若点E 在线段BD 上，且4BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得的截面圆中面积最小的圆的半径为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(,),(sin sin ,sin sin )m b a c n B C A B =-=-+，且m n ∥．（1）求A ；（2）若ABC 的外接圆半径为2，且1cos cos 6B C =-，求ABC 的面积．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，12PA AB PA AB AD ⊥===，，，E ，F 分别是BC ，PA 的中点．（1）求证：//EF 平面PCD ；（2）若平面PAB ⊥平面ABCD ，求直线PD 与平面DEF 所成角的余弦值．19.杭州第19届亚运会后，多所高校掀起了体育运动的热潮．为了深入了解学生在“艺术体操”活动中的参与情况，随机选取了10所高校进行研究，得到数据绘制成如下的折线图：（1）若“艺术体操”参与人数超过35人的学校可以作为“基地校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记可作为“基地校”的学校个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）现有一个“艺术体操”集训班，对“支撑、手倒立、手翻”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，某同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为25，每个动作及每轮测试互不影响．如果该同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到8次，那么理论上至少要进行多少轮测试？20.已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且()*1325N n n S S n n +=++∈．（1）证明：数列{}1n a +是等比数列；（2）令212()nn f x a x a x a x =+++ ，求函数()f x 在1x =处的导数(1)f '．21.已知动点(,)M x y 与定点(2,0)F 的距离和M 到定直线:6l x =的距离的比是常数33．（1）求动点M 的轨迹；（2）过点F 的直线l '与点M 的轨迹相交于A ，B 两点，与圆22:8O x y +=相交于P ，Q 两点，求2||||AB PQ ⋅的取值范围．22.已知函数21()ln ()2f x x x ax x a =--∈R （1）若函数()f x 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，求实数a 的最大值；湖南省五市十校教研教改共同体2024届高三12月大联考数学试题答案1.B 【分析】解一元二次方程得集合B ，然后利用并集运算和补集运算的概念求解即可.【详解】因为{}{}22301,3B xx x =--==-∣，又{1,2}A =-，所以{1,2,3}A B =- ，又{2,1,0,1,2,3}U =--，所以(){}2,0,1U A B ⋃=-ð.2.C 【分析】利用复数模的坐标表示即可得解.【详解】因为z 在复平面内对应的点为(,)x y ，所以i z x y =+，则()2i 2i z x y -=+-，又|2i |z -==，即22(2)3x y +-=.3.D 【分析】根据数量积的运算律及向量夹角的运算公式求解即可.【详解】因为(3)a a b ⊥+ ，所以2(3)3||0a a b a a b ⋅+=+⋅=，设a 与b的夹角为θ，则2cos 2||||a b a b θ⋅==- ，所以5π6θ=.4.D通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ．【详解】详解：ln 1,x y ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y xb =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．5.A【分析】根据三角函数的定义表示43sin ,cos 55αα==，利用和差角的余弦公式计算即可.【详解】由题意知π2π3k βα=++，根据三角函数的定义得43sin ,cos 55αα==，所以ππππ343cos cos 2πcos cos cos sin sin 333310k βαααα-⎛⎫⎛⎫=++=+==⎪ ⎝⎭⎝⎭，6.C设经过n 年之后，每年度平均每户收入增加y 元，且()4000110%12000ny =⋅+>，解不等式可得答案．【详解】设经过n 年之后，每年度平均每户收入增加y 元，由题得()4000110%12000ny =⋅+>，即1.13n >，则ln1.1ln 3n >，ln 3ln 311ln1.1ln11ln10n >=≈-，又*n ∈N ，则12n =．所以所求年份大约是2035年．7.D 【分析】分析可知函数的图象关于点π,28⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，利用等差中项的性质，结合正弦型函数的对称性质可求得结果.【详解】结合题意：()()()442222cos sin 2sin cos 2cos sin cos sin sin 22f x x x x x x x x x x =-++=+-++()22πcos sin sin 22cos 2sin 22224x x x x x x ⎛⎫=-++=++=++ ⎪⎝⎭，所以π()224f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由ππ(Z)x k k +=∈24，可得ππ(Z)28k x k =-∈，当0k =时，π8x =-，故函数()f x 的图象关于点π,28⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，由等差中项的性质可得1132126872a a a a a a a +=+==+= ，所以数列{}n y 的前13项和为()()()121364226f a f a f a +++=⨯+= ．8.B 【分析】结合题意，构造函数()1(),exf xg x -=利用已知条件判断出()g x 在R 上单调递减，结合2(2)e 1f =+，构造出()(2),g x g ≥从而求得解集.【详解】设()1(),()()1exf xg x f x f x -'=>+ ，即()()10f x f x '-+<，()()1()0,()exf x f xg x g x '-+'∴=<∴在R 上单调递减，又2(2)e 1f =+，∴不等式2()1(2)1e ()e 11e e x xx f x f f x ----≥+⇔≥=,即()(2),2,g x g x ≥∴≤∴原不等式的解集为(,2]-∞．9.BC 【分析】根据奇函数的定义判断A ，求导得函数的单调性判断BC ，根据零点存在性定理和单调性判断D.【详解】函数321()3f x x x x =-+的定义域为R ，又321()3f x x x x -=---，321()3f x x x x -=-+-，则()()f x f x -≠-，所以()f x 不是奇函数，故选项A 错误；因为22()21(1)0f x x x x '=-+=-≥，所以()f x 在R 上单调递增，所以函数()f x 不存在极值点，故选项B与C 正确；因为1(1)1103f =-+>，1(1)1103f -=--+<，又()f x 在R 上单调递增，且(0)0f =，所以()f x 仅有一个零点0，故选项D 错误.10.ABD 【分析】利用12l l ⊥，找到2a b +=，结合基本不等式及不等式的性质逐一判断即可.【详解】12,1(2)10,2l l b a a b ⊥∴⨯+-⨯=∴+= ，且0,0a b >>，所以2012a b ab +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时等号成立，故A 正确；22()4a b a b +=++≤+=，当且仅当a b =时等号成立，2，故B 正确；222222(2)2442(1)22a b a a a a a +=+-=-+=-+≥，故C 错误；2113b b a b b a a b a b a b ++=+=++≥+=，当且仅当b a a b =，即1a b ==时等号成立，故D 正确．11.BC 【分析】根据函数周期和奇偶性求出函数解析式，然后通过平移变化求出()y g x =，根据三角函数的性质与图像逐项判断即可.【详解】由已知π()cos())2cos ,()3f x x x x f x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=++⎪⎝⎭为偶函数，得ππ,Z 3k k ϕ+=∈，因为π||2ϕ<，所以π3ϕ=-，则()2cos f x x ω=，又最小正周期为π，所以2π2,()2cos 2πf x x ω===，将函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数ππ()2cos 22cos 263y g x x x ⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 错误；由()1g x ≥得π1ππcos 22π22π32333x k x k π⎛⎫+≥⇒-+≤+≤ ⎪⎝⎭，所以πππ,Z 3k x k k -+≤≤∈，B 正确；由2()3g x =得π1cos 233x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以12ππ1cos 2cos 2333x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又122π,0,3x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1π23x +，2ππ5π2,333x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由对称性知12ππ2233π2x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，所以()12122π,sin 32x x x x +=+=，C 正确；ππ2cos 22sin 242y f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3π4x =时，3ππ3π13π13π42sin 24422284y f -⎛⎫=+=-=>⋅-= ⎪⎝⎭，3π4=-x 时，3ππ3π13π13π42sin 24422284y f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--=-<⋅--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合图象知交点个数不为3个，D错误．12.AC 【分析】根据圆锥的几何性质逐项求解即可.【详解】由已知π3π,3rl rl ==，当1r =时，3l =，此时圆锥的高为h ==，此时圆锥的体积为2122ππ33V r h ==，A正确；当32r =时，设圆锥轴截面为SAB △，因为圆锥SO 的侧面积为3π，所以13π=2π22r l l ⨯⨯⇒=，即2,3SA SB AB ===，22210SA SB AB +-=-<，所以ASB ∠为钝角，故截面三角形的最大面积为211sin 9022222S l ==⨯⨯︒=，B 错误；当1r =时，3l =，侧面展开图的弧长为2π，沿SA 将侧面展开，得扇形1SA A ，所以圆心角为12π3A SP ∠=，又2AP PS =，所以1SP =，在1A SP 中，由余弦定理得1A P =，C 正确；将正四面体放到正方体内，则正四面体的外接球与正方体的外接球相同，，则正方体的棱长为1，则外接球半径为31322=，由题圆锥SO 的母线3SA l ==时，其侧面积为13π=2π12r l r ⨯⨯⇒=，则圆锥的高SO ==，设内切球半径为R ，球心为N ,球与母线SA 相切于T ，则NT SA ⊥,易知SAO SNT ，则3221SA AN R AONTR=⇒=，解得22R =<，不可以任意转动，D 错误．【点睛】关键点睛：本题D 选项解决的关键是充分理解正四面体在圆锥SO 内可以任意转动，从而求出正四面体的外接球与圆锥的内切球，由此得解.13.31【分析】先由313a a -=，426a a -=求出等比数列的首项和公比，即可得解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由314236a a a a -=⎧⎨-=⎩，即()21132111136a q a a q a q q a q a ⎧-=⎪⎨-=-=⎪⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩，所以()551123112S ⨯-==-.14.22(2)8x y +-=【分析】求出抛物线的焦点坐标，并求出圆心C 的坐标，再借助点到直线距离求出半径即得.【详解】抛物线28y x =的焦点为(2,0)，该点关于直线y x =的对称点C 的坐标为(0,2)，点C 到直线230x y --=的距离为d ==，圆C的半径为r ===所以圆C 的方程为22(2)8x y +-=.15.794【分析】根据函数的奇偶性和对称性，依据函数图象求解即可.【详解】因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，R,()(2)()x f x f x f x ∀∈=-=--，则R,()(2)()(2)(4)x f x f x f x f x f x ∀∈-=--⇒=-+=+，所以函数的周期为4，因为R,()(2)x f x f x ∀∈=-，所以()f x 关于1x =对称，因为周期为4，所以()f x 关于直线12,Z x k k =+∈对称，作出函数()y g x =在区间(1,8)-上的图象，由图知共有5个零点，其横坐标从小到大依次为12345,,,,x x x x x ，所以()23452111log 2,,3,7422x x x x x x ++-=-=-==，123451792044x x x x x ++++=-+=．故答案为：79416.①.273π2②.364【分析】①根据题意把四面体A BCD -'置于的正方体中，四面体的外接球转化为正方体外接球计算求得半径，进而求得外接球的体积；②在几何体外接球中所得的截面圆面积最小，只需截面圆半径最小，可知球心到截面的距离最大，在直角三角形中求解得出截面圆半径.【详解】①因为3,,AB AD BC CD BC CD A C '====⊥=，如图所示，将四面体A BCD -'置于棱长为3的正方体中，可知外接球即为此正方体的外接球，所以球的半径为13322R A C '==，所以球的体积为344πππ3382V R ==⨯⨯=；②过点E 作球O 的截面，若要所得的截面圆面积最小，只需截面圆半径最小，设球心到截面的距离为d ，截面半径为r ，则r =，所以只需球心到截面的距离d 最大即可，当且仅当OE 与截面垂直时，球心到截面的距离d 最大，即max d OE =，如图，H 是BD 的中点，连接OH ,由①可知OH BCD ⊥面,所以在Rt OHE △中，31,244OH HE BD ===，2229927488OE OH HE =+=+=，所以min 4r ===．故答案为：π2；4.17.（1）π3A =；（2）433.【分析】（1）结合题意表示出m n ∥，利用正弦定理将角化边，借助余弦定理化简即可;（2）结合第（1）问及余弦的和角公式，得到1sin sin 3B C =，利用正弦定理化简得163bc =，求出ABC的面积即可.【小问1详解】由已知m n ∥，即(sin sin )()(sin sin )0c B C b a A B ---+=，由正弦定理得()()()0c b c b a a b ---+=，即2220bc c a b -+-=，整理得222b c a bc +-=，即2221cos 22b c a A bc +-==，又(0,π)A ∈，故π3A =；【小问2详解】因为π3A =，所以2π3B C +=，则1cos()2B C +=-，即1cos cos sin sin 2B C B C -=-，又1cos cos 6B C =-，所以111sin sin 263B C =-=．因为ABC 的外接圆半径2R =，所以由正弦定理可得21sin sin 2243b c bc B C R R R =⋅==，所以163bc =，所以1116sin 22323ABC S bc A ==⨯⨯=．18.【分析】（1）方法一，取PD 的中点G ，证明四边形CEFG 为平行四边形即可推出结论；方法二，取AD 的中点M ，证明平面EFM ∥平面PCD 即可；（2）建系，利用向量法求线面角的正弦，再转化成余弦即可.【小问1详解】方法一：取PD 的中点G ，连接GF ，CG ，因为G ，F 分别为PD ，PA 的中点，所以//GF AD ，且12GF AD =，又因为四边形ABCD 为矩形，且E 为BC 的中点，所以//CE AD ，且12CE AD =，可得//GF CE ，且GF CE =，所以四边形CEFG 为平行四边形，则//EF CG ，且EF ⊄平面PCD ，CG ⊂平面PCD ，所以//EF 平面PCD ．方法二：取AD 的中点M ，连接FM ，ME ，则//,//EM CD FM PD ，因为EM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//EM 平面PCD ，同理//FM 平面PCD ，又EM FM M = ，,EM FM ⊂面FEM ，所以平面//EFM 平面PCD ，又EF ⊂平面EFM ，所以//EF 平面PCD ．【小问2详解】由已知平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，又PA AB PA ⊥⊂，平面PAB ，所以PA ⊥平面ABCD ，如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(0,0,1),(1,1,0),0,0,2A B C D P E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得1(1,1,0),0,2,,(0,2,1)2DE DF PD ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭．设平面DEF 的法向量(,,)n x y z = ，则01202n DE x y n DF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1x =，则1,4==y z ，可得(1,1,4)n =，设直线PD与平面DEF所成的角为θ，则sin|cos,|15||||n PDn PDn PDθ⋅=〈〉==⋅，215cos15θ∴==，即直线PD与平面DEF 所成角的余弦值为21515．19.【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列，并求得数学期望；（2）先求得一轮测试该同学“优秀”的概率，然后根据二项分布的知识列不等式，从而求得答案.【小问1详解】参加“艺术体操”人数在35人以上的学校共5所，ξ所有可能取值为0，1，2，3，则03125555331010C C C C101505(0)(1)C12012C12012P Pξξ========，21305555331010C C C C505101(2)(3)C12012C12012P Pξξ========，所以ξ的分布列为：ξ0123P112512512112所以15513()0123121212122Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】由已知该同学在一轮测试中为“优秀”的概率为23233323244C C555125p⎛⎫⎛⎫=⋅+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则该同学在n轮测试中获“优秀”次数X服从二项分布，即满足44~(,),125X B n p p=，由441258()822.712544E X np n n⨯==⨯≥⇒≥≈，所以理论上至少要进行23轮测试．20.【分析】（1）利用当2n≥时，将原式变形为1323n nS S n-=++，两式相减，最后根据等比数列定义给以证明；（2）通过导数得12(1)2n f a a na '=+++ ，根据分组求和法以及错位相减法化简(1)f '.【小问1详解】由已知()*1325Nn n S S n n +=++∈可得当2n ≥时，1323nn SS n -=++，两式相减得()1132n n n n S S S S +--=-+，即132n n a a +=+，从而()1131(2)n n a a n ++=+≥．当1n =时，2137S S =+，所以21137a a a +=+，又15a =，所以217a =，从而()21131a a +=+，所以()*1131,N n n a a n ++=+∈，又115,16a a =+=，1131n n a a ++∴=+，∴数列{}1n a +是以6为首项，3为公比的等比数列；【小问2详解】由（1）知：1163n n a -+=⨯，整理得231nn a =⨯-，因为212()nn f x a x a x a x =+++ ，所以112()2n n f x a a x na x -'=+++ ．则12(1)2n f a a na '=+++ ，记1223,(1)nn n n b na n n f b b b '==⨯-∴=+++ ，记12234323nn T n =⨯+⨯++⨯ ，则2313234323n n T n +=⨯+⨯++⨯ ，两式相减，得：123122323232323nn n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯ ()1161323(12)3313n n n n n ++-=-⨯=-⨯--，所以1(21)332n n n T +-⨯+=，又(1)122n n n ++++= ，所以1(21)33(1)(1)22n n n n f +-⨯++'=-．21.（1）是焦点在x轴上，长轴、短轴长分别是的椭圆；（2）12833⎡⎢⎣⎦.【分析】（1）结合题意，表示出||33MF d =，化简整理可得动点M 的轨迹;（2）利用直线l '与椭圆及圆的位置关系，分别计算弦长，表示出2||||AB PQ ⋅，利用换元法，求得取值范围,注意要对直线l '的斜率存在与否进行讨论.【小问1详解】设d 是点M 到直线:6l x =的距离，由题意知||33MF d =，3=，所以2223(2)(6)x y x ⎡⎤-+=-⎣⎦，即222324x y +=，所以221128x y +=，所以动点M 的轨迹是焦点在x轴上，长轴、短轴长分别是的椭圆；【小问2详解】①若直线l '的斜率不存在，直线l '的方程为2x =，则43432,,2,33A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，(2,2),(2,2)P Q -，所以22831283||,||16,||||33AB PQ AB PQ ==⋅=；②若直线l '的斜率存在，设直线l '的方程为()()1122(2),,,,y k x A x y B x y =-，联立方程组()221,1282,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得()2222231212240k x k x k +-+-=，则22121222121224,2323k k x x x x k k -+==++，所以)221||23k AB k +==+，因为圆心(0,0)O到直线l '的距离d=，结合圆的弦长公式可得：(()2222221624||4811k k PQ k k +⎛⎫==-= ⎪++⎝⎭，所以)())222222211622||||23123k k k AB PQ k k k+++⋅=⋅=+++，令232t k =+，则22,[2,)3t k t -=∈+∞，所以21283412834||||133t AB PQ t t +⎛⎫⎫⋅==+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，4[2,),113tt ∈+∞∴<+≤ ，所以2||||3AB PQ <⋅≤综上，2||||AB PQ ⋅的取值范围是12833⎡⎢⎣．22.【分析】（1）利用导数研究函数的单调性求参数.（2）利用导数研究函数的极值点求参数.【小问1详解】()1ln 1ln ,0f x x ax x ax x '=+--=->，因为函数()f x 在1,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为增函数，所以1()0,,ef x x ⎛⎫'≥∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立，即ln 1,,e x a x x ⎛⎫≤∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立，记ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x -'=，由()00e h x x '>⇒<<，由()0e h x x '<⇒>，所以()h x 在1,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在(e,)+∞上递减，又当x →+∞时，()0h x →，所以1e e a h ⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭，即实数a 的最大值为e -；【小问2详解】因为()1212,x x x x <是()f x 的两个极值点，所以12,x x 是方程()ln 0f x x ax '=-=的两个实数根，且121x e x <<<．由111122221212ln ln ,ln ln ln x x ax x x x a x ax x x x x ⎧⎪=-⎪⇒==⎨=--⎪⎪⎩．21e em m x x <两边取自然对数得121212ln ln 11ln ln m x m x m x m x ax amx -<-⇒+<+=+，即()()11122212121122ln ln11x x x m x x x m a x mx x mx x x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+<+=+=--，令12(0,1)x t x =∈，则()ln 11t m t m t ++<-在(0,1)t ∈恒成立．所以(1)(1)ln 0m t t t m+--<+在(0,1)t ∈恒成立．令(1)(1)()ln ((0,1))m t g t t t t m +-=-∈+，则()2222(1)1(1)()()()t t m m g t t t m t t m --+'=-=++．①当21m ≥，即m 1≥时，()0,()'>g t g t 在(0,1)上递增，所以()(1)0g t g <=恒成立，满足题意；②当01m <<时，()201,0,t m g t '<<()g t 在()20,m上递增，()21,0,m t g t '<<<()g t 在()2,1m 上递减，所以当()2,1x m ∈时，()(1)0g t g >=，所以()0g t <在(0,1)t ∈不能恒成立，不满足题意．综上，m 的取值范围是[1,)+∞．【点睛】利用函数导数的符号判断函数的单调性和极值，求含参不等式恒成立问题方法归纳：（1）()f x 与常数c 的恒成立问题()()()()()()()()min max ,f x c c f x c c f x c c f x c c >≥⇔>≥<≤⇔<≤（2）()f x 与常数()g x 的恒成立问题两个方法：①令()()()h x f x g x =-研究()h x >0或()h x <0。