人教版高中数学必修五学案 第2课时 等比数列的性质

2.4.2等比数列的基本性质及其应用从容说课这节课师生将进一步探究等比数列的知识，以教材练习中提供的问题作为基本材料，认识等比数列的一些基本性质及内在的联系，理解并掌握一些常见结论，进一步能用来解决一些实际问题.通过一些问题的探究与解决，渗透重要的数学思想方法.如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想以及一般到特殊的思想方法等教学中以师生合作探究为主要形式，充分调动学生的学习积极性教学重点1.探究等比数列更多的性质2.解决生活实际中的等比数列的问题教学难点渗透重要的数学思想教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能1.了解等比数列更多的性质2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题二、过程与方法1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程3.当好学生学习的合作者的角色三、情感态度与价值观1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值教学过程导入新课师 教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下生 由学习小组汇报探究结果 师 对各组的汇报给予评价师 出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答： 第3题解答：(1)将数列{a n }的前k 项去掉，剩余的数列为a k+1，a k+2,….令b i =a k+i则数列a k+1,a k+2,…,可视为b 1,b 2，因为q a a b bik i k i i ==++++11 (i≥1),所以，{b n }是等比数列，即a k+1，a k+2,…是等比数列 (2){a n }中每隔10项取出一项组成的数列是a 1,a 11,a 21，…,则109101101121111......q a a a a a a k k =====-+所以数列a 1,a 11,a 21,…是以a 1为首项，q 10为公比的等比数列猜想：在数列{a n }中每隔m(m 是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a 1为首项、q m 为公比的等比数列◇本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法第4题解答：(1)设{a n }的公比是q ，则 a 52=(a 1q 4)2=a 12q 8而a 3·a 7=a 1q 2·a 1q 6=a 12q 8所以a 52=a 3·a 7同理,a 52=a 1·a 9(2)用上面的方法不难证明a n 2=a n -1·a n +1(n ＞1).由此得出，a n 是a n -1和a n +1的等比中项，同理可证a n 2=a n -k ·a n +k (n ＞k ＞0).a n 是a n -k 和a n +k 的等比中项(n ＞k ＞师 和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作进一步的探究推进新课［合作探究］ 师 出示投影胶片1例题1 (教材P 61B 组第3题)就任一等差数列{a n }，计算a 7+a 10，a 8+a 9和a 10+a 40，a 20+a 30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？师 注意题目中“就任一等差数列{a n }”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？ 生 用等差数列1，2，3，师 很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？ 生 在等差数列{a n }中，若k+s=p+q(k,s,p,q ∈N *)，则a k +a s =a p +a q师 题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？ 生 思考、讨论、交流师 出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系［教师精讲］师 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{a n }的图象，可以看出qs a a p k a a q s p k ==,根据等式的性质，有1=++=++qp sk a a a a q p s k所以a k +a s =a p +a q师 在等比数列中会有怎样的类似结论？生 猜想对于等比数列{a n }，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t ∈N *)，则 a k ·a s =a p ·a t师 让学生给出上述猜想的证明证明：设等比数列{a n }公比为q ，则有a k ·a s =a 1q k-1·a 1q s-1=a 12·q k+s-2a p ·a t =a 1q p-1·a 1q t-1=a 12·q p+t-2因为所以有a k ·a s =a p ·a t师 指出：经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质即等比数列{a n }中，若k+s=p+t(k,s,p,t ∈N *)，则有a k ·a s =a p ·a t师 下面有两个结论：(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积； (2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？生 思考、列式、合作交流，得到：结论(1)就是上述性质中1+n =(1+t)+(n -t)时的情形； 结论(2)就是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形师 引导学生思考，得出上述联系，并给予肯定的评价师 上述性质有着广泛的应用师 出示投影胶片2：例题2例题（1）在等比数列{a n }中，已知a 1=5,a 9a 10=100,求a 18（2）在等比数列{b n }中，b 4=3,求该数列前七项之积； （3）在等比数列{a n }中，a 2=-2,a 5=54,求a 8.例题2 三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程解答：(1)在等比数列{a n }中，已知a 1=5，a 9a 10=100，求a 18解：∵a 1a 18=a 9a 10，∴a 18=51001109a a a(2)在等比数列{b n }中，b 4=3，求该数列前七项之积解：b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7=(b 1b 7)(b 2b 6)(b 3b 5)b 4∵b 42=b 1b 7=b 2b 6=b 3b 5，∴前七项之积(32)3×3=37(3)在等比数列{a n }中，a 2=-2，a 5=54，求a 8解：.∵a 5是a 2与a 8的等比中项，∴542=a 8×(-∴a 8=-另解：a 8=a 5q 3=a 5·2545425-⨯=a a =-［合作探究］师 判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法例题3：已知{a n }{b n }是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出什么结论？证明你的结论师 请同学们自己完成上面的表师 根据这个表格，我们可以得到什么样的结论？如何证明？生 得到：如果{a n }、{b n }是两个项数相同的等比数列，那么{a n ·b n }也是等比数列证明如下：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1p n -1b 1q n -1与a 1p n b 1q n ，因为pqq b p a q b p a b a b a n n nn n n n n ==∙--++11111111它是一个与n 无关的常数，所以{a n ·b n }是一个以pq 为公比的等比数列［教师精讲］除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路： 证法二：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项、第n -1项与第n ＋1项(n ＞1,n ∈N *)分别为a 1p n -1b 1q n -1、a 1p n -2b 1q n -2与a 1p n b 1q n ，因为 (a n b n )2=(a 1p n -1b 1q n -1)2=(a 1b 1)2(pq) 2(n -1)(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)=(a 1p n -2b 1q n -2)(a 1p n b 1q n )=(a 1b 1)2(pq)2(n -1)即有(a n b n )2=(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)(n ＞1,n ∈N *所以{a n ·b n }是一个等比数列师 根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察：证法三：设数列{a n}的公比是p，{b n}公比是q，那么数列{a n·b n}的通项公式为a n b n=a1p n-1b1q n-1=(a1b1)(pq) n-1设c n=a n b n,则c n=(a1b1)(pq) n-1所以{a n·b n}是一个等比数列课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列的性质的探究2.证明等比数列的常用方法布置作业课本第60页习题2.4 A组第3题、B组第1题板书设计。

2.4等比数列（2）一、选择题 1.2＋1与2－1，两数的等比中项是( )A ．1B ．－1C ．±1 D.12解析：设等比中项为b ，则b 2＝(2＋1)·(2－1)＝1，所以b ＝±1.答案：C2．一个各项都为正数的等比数列，且任何项都等于它后面两项的和，则公比是( ) A.52 B ．－52C.1－52D.－1＋52解析：设其中三项为a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)，公比为q ，则有a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＝a n q ＋a n q 2，所以q 2＋q －1＝0.所以q ＝－1±52. 因为各项都为正数，所以q ＝－1＋52. 答案：D3．已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1，2…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1的值为( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：由a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)得a 2n ＝22n ，a n ＞0，则a n ＝2n ，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2，选C.答案：C4．在1与100之间插入n 个正数，使这n ＋2个数成等比数列，则插入的n 个数的积为( )A ．10nB ．n 10C ．100nD ．n 100解析：设这n ＋2个数为a 1，a 2，…，a n ＋1，a n ＋2，则a 2·a 3·…·a n ＋1＝(a 1a n ＋2)n 2＝(100)n2＝10n .答案：A5．等比数列{a n }中，a n ∈R *，a 4·a 5＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 8的值为( )A ．10B ．20C ．36D ．128解析：log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 8＝log 2(a 1·a 2·a 3·…·a 8)＝log 2(a 4a 5)4＝4log 232＝20.故选B.答案：B二、填空题6．等比数列{a n }中，a 1＜0，{a n }是递增数列，则满足条件的q 的取值范围是______________．解析：由a n ＋1＞a n ⇒a 1q n ＞a 1q n －1， 因为a 1＜0，所以q n ＜q n －1⇒q n ⎝⎛⎭⎫1－1q ＜0对任意正整数n 都成立． 所以q ＞0且1－1q＜0解得：0＜q ＜1. 答案：0＜q ＜17．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝______________． 解析：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，所以a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)(n ≥1)，即 (a n ＋3)是以a 1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，a n ＋3＝4·2n －1＝2n ＋1， 所以该数列的通项a n ＝2n ＋1－3. 答案：2n ＋1－3 8．设各项为正数的等比数列{a n }中，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝________．解析：因为a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，所以a 301·q 1＋2＋3＋…＋29＝a 301·q 29×302＝230，所以a 1＝2－272，所以a 1·q 292＝2，所以a 3·a 6·a 9·…·a 30＝a 103·(q 3)9×102＝(2－272×22)10×(23)45＝220.答案：2209．已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数．解：法一：设该数列的公比为q ，项数为2n ，则S 偶＝qS 奇⇒a 1（1－q 2n ）1－q＝85＋170， 所以22n －1＝255.所以2n ＝8.故这个数列的公比为2，项数为8.法二：设该数列的公比为q ，项数为2n ，则S 奇＝a 1[1－（q 2）n ]1－q 2＝85， S 偶＝a 1q [1－（q 2）n ]1－q 2＝170. 所以n ＝4，q ＝2.10．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c . 解：(1)由题意，(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2， 整理得2a 1d ＝d 2，又a 1＝1，d ＞0，所以d ＝2，a n ＝2n －1.(2)b n ＝1n （a n ＋3）＝12n （n ＋1）＞0， 所以数列{S n }是递增数列，S 1＝b 1＝14为S n 的最小值， 故14＞t 36，t ＜9. 又t 为整数，所以适合条件的t 的最大值为8.。

高中一年级（下）数学必修5 第二章：数列——2.4：等比数列一：知识点讲解（一）：等比数列的概念➢ 等比数列的定义还可以用符号表述：在数列{}n a 中，若q a a nn =+1（q 为常数，且q ≠0）对任意*N n ∈都成立，则数列{}n a 是等比数列。

➢ 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于 ，那么这个数叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q ≠0）。

➢ 常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列。

当常数列是各项都为0的数列时，它就不是等比数列；当常数列各项不为0时，它是等比数列。

例1：判断下列数列是否为等比数列。

1) 1、3、23、33、……、13-n 、……；2) ﹣1、1、2、4、8、……； 3) 1a 、2a 、3a 、……、n a 、……。

（二）：等比中项➢ 由等比中项的定义可知，若G 是a 、b 的等比中项，则Gba G =，所以ab G =2。

➢ 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a 、G 、b 成 ，那么G 叫做a与b 的等比中项，这三个满足关系式 。

➢ 因为等比数列中任一项均不为0，所以由ab G =2知，0>ab ，即同号的两个数（不为0）才有等比中项，且等比中项是互为相反数的两个值。

如12+和12-的等比中项为±1。

例2：已知在等比数列{}n a 中，168321=++a a a ，4252=-a a ，求5a 、7a 的等比中项。

（三）：等比数列的递推公式和通项公式➢ 已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q （q ≠0）。

➢ 递推公式：()21≥=-n q a a n n。

➢ 通项公式：=n a 。

➢ 等比数列的通项公式：11-=n n q a a （其中1a 是首项，q 是公比）。

✧ 在已知首项1a 和公比q 的前提下，利用通项公式11-=n n q a a 可求出等比数列的任一项。

✧ 在等比数列中，已知1a 、n 、q 、n a 中的三个量就可以求出第四个量。

2.4 等比数列第二课时等比数列的性质（学案）【学习目标】1. 掌握等比数列的等比中项及简单性质.2. 会用等比数列的性质解决实际问题，以及一些综合性较强的问题.3．激情投入，积极参与，每位同学都要有所收获.【重点、难点】重点：等比数列的简单性质.难点：用等比数列的性质解决实际问题，以及一些综合性较强的问题.【学法指导】通过自主学习和小组探究的方式利用等差数列的性质类比出等比数列的性质，并且会利用性质解决后面相应的习题，在学习的过程中体会类比的数学思想.【学习过程】一、课前自主学习1.旧知复习等差数列等比数列定义符合语言通项公式1通项公式22.课前预习及类比探究学习等差数列等比数列定义中项符号表示=+m+pnq=+npm2二、新知识探究1等比中项思考：类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？【典例讲解】例1．三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数.探究：除了这种方法，你还能用其他的方法来解决此题吗？2等比数列的性质①等比数列的性质：若m+n=p+k ，则思考：在等比数列中，若m+n=p+k ，则k p n m a a a a ,,,之间有什么关系呢？②等比数列的性质：若p n m 2=+，则思考：在等比数列中，若p m m 2=+,则p n m a a a ,,之间有什么关系呢？【典例讲解】例2. 已知{n a }是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n , 求53a a +．巩固练习1.在等比数列}{n a 中，已知5127=⋅a a ，则=⋅⋅⋅111098a a a a （ ） A.10. B.25. C.50 D.52.在等比数列{}n a 中，已知7125a a = ，求891011a a a a【课后思考】1.已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，则{}n n b a ⋅是等比数列吗？2.｛a n ｝是等比数列，C 是不为0的常数，数列{}n ca 是等比数列吗？3.已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 是等比数列吗？【课时小结】1、对等比中项的的正确理解，合理运用在解题时非常重要.2、若),*,,,(N q p n m q p n m ∈+=+则________________， 若k nm =+2)*,,(N k n m ∈，则____________，是使用最频繁的，最重要的两个性质.3、等比数列性质的学习可以通过类比等差数列来进行. 【课后反思】我的收获与疑惑。

等比数列教学案篇一：等比数列第一课时教案等比数列的定义教案内容：等比数列教学目标:1.理解和掌握等比数列的定义；2.理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；3.运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。

授课类型：课时安排：1教学重点：等比数列定义、通项公式的探求及运用。

教学难点：等比数列通项公式的探求。

教具准备：多媒体课件教学过程：（一）复习导入1．等差数列的定义2．等差数列的通项公式及其推导方法3.公差的确定方法.4.问题：给出一张书写纸，你能将它对折10次吗？为什么？（二）探索新知1．引入：观察下面几个数列，看其有何共同特点？（１）－2，1，4，7，10，13，16，19，（２）8，16，32，64，128，256，（３）1，1，1，1，1，1，1，（４）1，2，4，8，16，263请学生说出数列上述数列的特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如细胞分裂问题.假设每经过一个单位时间每个细胞都分裂为两个细胞，再假设开始有一个细胞，经过一个单位时间它分裂为两个细胞，经过两个单位时间就有了四个细胞，，一直进行下去，记录下每个单位时间的细胞个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这就是我们将要研究的另一类数列——等比数列.2．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一．．．．项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列．．的公比；公比通常用字母q表示(q0)，3.递推公式：an1∶anq(q0)对定义再引导学生讨论并强调以下问题（1）等比数列的首项不为0；（2）等比数列的每一项都不为0；（3）公比不为0.（4）非零常数列既是等比数列也是等差数列；问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？3．等比数列的通项公式：【傻儿子的故事】古时候,有一个人不识字,他不希望儿子也像他这样,他就请了个教书先生来教他儿子认字，他儿子见老师第一天写“一”就是一划，第二天“二”就是二划，第三天“三”就是三划,他就跑去跟他父亲说:“爸爸,我会写字了,请你叫老师走吧!”这人听了很高兴,就给老师结算了工钱叫他走了。

2.4等比数列(2)教学目标：1、 能够应用等比数列的定义及通项公式，理解等比中项概念；2、 类比等差数列的性质推到等比数列的性质；3、 提升学生对数学知识的正迁移能力，增强学生的数学素养.教学重点：1.等比中项的理解与应用2.等比数列性质探究与应用.教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式及性质解决相关问题.教学过程：一、复习回顾等比数列定义，等比数列通项公式.（板书）二、讲授新课第一环节：类比等差中项，探究等比中项 .问题1：(1)若在2，8中插入一个数A ，使2，A ，8成等差数列，则A = .变式1.若在2，8中插入一个数G ，使2，G ，8成等比数列，则G = .变式2.若在-2， 4中插入一个数M ，能否使-2，M ，4成等比数列呢？归纳小结：1.等差中项：若a ，A ，b 成等差数列⇔A ＝a ＋b 2，A 为等差中项. 2.等比中项：（板书）如果在a 、b 中插入一个数G ，使a 、G 、b 成等比数列，则G 是a 、b 的等比中项。

ab G ab G Gb a G ±=⇒=⇒=2（注意两解且同号两项才有等比中项） 练习：完成教材课后练习P预设：学生在推导过程中，部分同学会忽略对等比中项的存在性的讨论，在等比中项存在时漏掉符号为负的那一项.（有利于培养学生的严谨性和批判性）问题2()()()(){}()213n 51937519283746n b b b b n n {a }.1 a a a2 a =3a =a =3 a a =a a =a a =a a 4{b }a a a a 5{a }{lg }. A.1ka ⋅⋅⋅⋅已知无穷数列 是等比数列，那么下列说法中正确个数的有（ ）是 和 的等比中项；若 ，6，则 12；；若是等差数列，则 是 和 的等比中项,并且 也是等比数列；若数列 的每项都是正数，则数列 为等差数列 B.2 C.3 D.4师问：同学们观察第（3）你发现什么规律了吗？类比等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则,m n p q a a a a ，，之间又有怎样的关系呢？并说理.分析：由通项公式可得：a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，a p ＝a 1q p －1，a q ＝a 1·q q －1不难发现：a m ·a n ＝a 12q m +n －2，a p ·a q ＝a 12q p +q －2归纳小结：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q （板书）师问：同学们观察第（4）你发现什么规律了吗？学生发现：在等比数列中，若项数成等差数列，则对应的项仍然成等比数列. 归纳小结：234,,,m m m m km a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ，，成等比数列问题3n 115{}(1) 2 , 3 ,(2) 6 , 2 ,n n a a q a q a a q a ====已知数列 是首相 ,公比 为的等比数列，若 求 ；若 求 ；同学们思考：在等比数列中，已知1a q 首相,公比我们可以得到通项公式n a ，如果给出m a q ,公比，又如何表示通项公式n a ？归纳小结：通项公式的变形：11=n n m n m a a q a q --=⋅⋅（板书）师问：类比等差数列()11n a a n d =+-，可以看成是以n 为自变量n a 为因变量的一次函数，它的几何意义是该一次函数图像上的点，那么对于等比数列，已知1a q 首相,公比，变量n a 与变量n 是否存在函数关系？若存在属于哪个类型函数？归纳小结：（板书）当数列}a {n 为指数型函数当{}01n q q a >≠数列为指数且时，型函数;当q=1时，数列}a {n 为常数列；当q<0时，数列}a {n 为摆动数列.思考题1 {}{}44n n a b a b 等差数列与等比数列的首项和第8项为正且相等，试比较与的大小.归纳小结：构建两个函数，为借助函数图像解题奠定了基础，体现了函数思想在数列中的运用。

最新⼈教版⾼中数学必修5第⼆章《等⽐数列》⽰范教案§3 等⽐数列3.1 等⽐数列整体设计教学分析等⽐数列与等差数列在内容上是完全平⾏的,包括定义、性质、通项公式等,两个数的等差(等⽐)中项、两种数列在函数⾓度下的解释等,因此在教学时要充分利⽤类⽐的⽅法,以便于弄清它们之间的联系与区别.等⽐数列是另⼀个简单常见的数列,研究内容和⽅法可与等差数列类⽐,这是本节的中⼼思想⽅法.本节⾸先归纳出等⽐数列的定义,导出通项公式,进⽽研究图像,⼜给出等⽐中项的概念,最后是通项公式的应⽤.等⽐数列概念的引⼊,可按教材给出⼏个具体的例⼦,由学⽣概括这些数列的相同特征,从⽽得到等⽐数列的定义.也可将⼏个等差数列和⼏个等⽐数列混在⼀起给出,由学⽣将这些数列进⾏分类,由此对⽐地概括等⽐数列的定义.根据定义让学⽣分析等⽐数列的公⽐不为0,以及每⼀项均不为0的特性,加深对概念的理解.启发学⽣⽤函数观点认识通项公式,由通项公式的结构特征,联想到指数函数进⽽画出数列的图像.由于有了等差数列的研究经验,等⽐数列的研究完全可以放⼿让学⽣⾃⼰解决,充分利⽤类⽐思想,教师只需把握课堂的节奏,真正作为⼀节课的组织者、引导者出现,充分发挥学⽣的主体作⽤.⼤量的数学思想⽅法渗透是本章的特⾊,如类⽐思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、⽅程思想、⼀般到特殊的思想等,在教学中要充分体现这些重要的数学思想⽅法,所有能⼒的体现最终归结为数学思想⽅法的体现.三维⽬标1.通过实例,理解等⽐数列的概念；探索并掌握等⽐数列的通项公式、性质,能在具体的问题情境中,发现数列的等⽐关系,提⾼数学建模能⼒；体会等⽐数列与指数函数的关系.2.通过现实⽣活中⼤量存在的数列模型,让学⽣充分感受到数列是反映现实⽣活的模型,体会数学是丰富多彩的⽽不是枯燥⽆味的,达到提⾼学⽣学习兴趣的⽬的.3.通过对等⽐数列概念的归纳,进⼀步培养学⽣严密的思维习惯,以及实事求是的精神,严谨的科学态度.体会探究过程中的主体作⽤及探究问题的⽅法,经历解决问题的全过程.重点难点教学重点：掌握等⽐数列的定义；理解等⽐数列的通项公式及推导.教学难点：灵活应⽤等⽐数列的定义及通项公式解决相关问题,在具体问题中抽象出等⽐数列模型及掌握重要的数学思想⽅法.课时安排2课时教学过程第1课时导⼊新课思路1.(情境导⼊)将⼀张厚度为0.044 mm的⽩纸⼀次⼜⼀次地对折,如果对折1 000次(假设是可能的)纸的厚度将是4.4×10296 m,相当于约5.0×10292个珠穆朗玛峰的⾼度和,这可能吗？但是⼀位数学家曾经说过：你如果能将⼀张报纸对折38次,我就能顺着它在今天晚上爬上⽉球.将⼀张报纸对折会有那么⼤的厚度吗？这就是我们今天要解决的问题,让学⽣带着这⼤⼤的疑问来展开新课.思路2.(练习导⼊)先给出四个数列：1,2,4,8,16,…1,-1,1,-1,1,…-4,2,-1,…1,1,1,1,1,…由学⽣⾃⼰去探究在这四个数列中,每个数列相邻两项之间有什么关系？这四个数列有什么共同点？由此引导学⽣⾃⼰去观察、研究,从中发现规律,突出了以学⽣为主体的思想,训练和培养了学⽣的归纳思维能⼒.让学⽣观察这些数列与上节课学习的等差数列有什么不同？由此引⼊新课.推进新课新知探究提出问题①回忆等差数列的概念及等差数列的通项公式的推导⽅法.②阅读教科书上的①,② 2个背景实例,领会2个实例所传达的思想,写出由2个实例所得到的数列.③观察数列①,②,它们有什么共同的特征?你能再举出2个与其特征相同的数列吗? ④类⽐等差数列的定义,怎样⽤恰当的语⾔给出等⽐数列的定义?⑤你能举出既是等差数列⼜是等⽐数列的例⼦吗?⑥类⽐等差数列通项公式的推导过程,你能推导出等⽐数列的通项公式吗?⑦类⽐等差数列通项公式与⼀次函数的关系,你能说明等⽐数列的通项公式与指数函数的关系吗?活动:教师引导学⽣回忆等差数列概念的学习过程,指导学⽣阅读并分析教科书中给出的2个实例.实例①是与我们⽣活有关的拉⾯问题.拉⾯馆的师傅将⼀根很粗的⾯条,拉伸、捏合,再拉伸、再捏合,这样前8次捏合成的⾯条根数构成⼀个数列:1,2,4,8,16,32,64,128.①实例②是星⽕化⼯⼚今年产值为a 万元,计划在以后5年中每年⽐上年产值增长10%.这样6年的产值构成⼀个数列:a,a(1+10%),a(1+10%)2,a(1+10%)3,a(1+10%)4,a(1+10%)5.②再如,我们常见的某种细胞分裂的模型:图1每次分裂后细胞的个数构成⼀个数列就是:1,2,4,8,….③“⼀尺之棰,⽇取其半,万世不竭”,如果把“⼀尺之棰”看成单位“1”,得到的数列是1,21,41,81,….④教师引导学⽣探究数列①②③④的共同特点:对于数列①,从第2项起,每⼀项与前⼀项的⽐都等于2;对于数列②,从第2项起,每⼀项与前⼀项的⽐都等于1+10%;对于数列③,从第2项起,每⼀项与前⼀项的⽐都等于2;对于数列④,从第2项起,每⼀项与前⼀项的⽐都等于21.也就是说,这些数列有⼀个共同的特点:从第2项起,每⼀项与前⼀项的⽐都等于同⼀常数,这⾥仍是后项⽐前项,⽽不是前项⽐后项,具有这样特点的数列我们称之为等⽐数列.让学⽣类⽐等差数列给出等⽐数列的定义:⼀般地,如果⼀个数列,从第2项起,每⼀项与它的前⼀项的⽐都等于同⼀个常数,那么这个数列叫作等⽐数列.这个常数叫作等⽐数列的公⽐,公⽐通常⽤字母q 表⽰,显然q≠0,上⾯的四个数列都是等⽐数列,公⽐依次是2,1.1,2,21. 教师引导学⽣进⼀步探究,既是等差数列,⼜是等⽐数列的数列存在吗?学⽣思考后很快会举出1,1,1,…,是等⽐数列也是等差数列,其公⽐为1,公差为0.教师可再提出:常数列都是等⽐数列吗?让学⽣充分讨论后可得出0,0,0,…是常数列,但不是等⽐数列.⾄此,学⽣已经清晰了等⽐数列的概念,⽐如,从等⽐数列定义知,等⽐数列中的任意⼀项不为零,公⽐可以为正,可以为负,但不能为0.接下来,教师引导学⽣类⽐等差数列的通项公式的推导⽅法来归纳猜想等⽐数列的通项公式.课件演⽰:不完全归纳法得到等差数列通项公式的过程:a 2=a 1+d,a 3=a 2+d=(a 1+d)+d=a 1+2d,a 4=a 3+d=(a 1+2d)+d=a 1+3d,……归纳得到a n =a 1+(n-1)d.类⽐这个过程,可得等⽐数列通项公式的归纳过程如下:a 2=a 1q,a 3=a 2q=(a 1q)q=a 1q 2,a 4=a 3q=(a 1q 2)q=a 1q 3,……归纳得到a n =a 1q n-1(a 1≠0,q≠0).这样做可以帮助学⽣体会归纳推理对于发现新的数学结论的作⽤.这个结论的正确性可⽤后⾯的数学归纳法进⾏严格证明,现在我们先承认它.下⾯我们再类⽐等差数列,探究推导等⽐数列通项公式的其他⽅法:∵{a n }是等⽐数列, ∴.,,3,21,1124q a a q a a q a a q a a n n n n n n ==-=--=-- 把以上n-1个等式两边分别乘到⼀起,即叠乘,则可得到11-=n n q a a , 于是得到a n =a 1q n-1.容易知道本节开始的实例①的通项公式是a n =2n-1(如图2).图2对于通项公式,教师引导学⽣明确这样⼏点:(1)不要把a n 错误地写成a n =a 1q n (a 1≠0,q≠0).(2)对公⽐q,要和等差数列的公差⼀样,强调“从第2项起,每⼀项与它的前⼀项的⽐”,不要把相邻两项的⽐的次序颠倒,且公⽐q 可以为正,可以为负,但不能为0.(3)在等⽐数列a,aq,aq 2,aq 3,…中,当a=0时,⼀切项都等于0；当q=0时,第2项以后的项都等于0,这不符合等⽐数列的定义.因此等⽐数列的⾸项和公⽐都不能为0.(4)类⽐等差数列中d>0,d<0时的情况,若q>0,则各项符号同号,若q<0,则各项符号异号;若q=1,则等⽐数列为⾮零常数列;若q=-1,则如2,-2,2,-2,…这样的数列;若|q|<1,则数列各项的绝对值递减.应⽤⽰例思路1例1由下⾯等⽐数列的通项公式,求⾸项与公⽐.(1)a n =2n ;(2)a n =41·10n . 活动:本例的⽬的是让学⽣熟悉等⽐数列的概念及通项公式,可由学⽣⼝答或互相提问. 解：(1)a n =2·2n-1, ∴a 1=2,q=2.(2)∵a n =41·10·10n-1, ∴a 1=41×10=25,q=10. 点评:可通过通项公式直接求⾸项,再求公⽐.如(1)中,a 1=21=2,a 2=22=4,∴q=2.变式训练设a 1,a 2,a 3,a 4成等⽐数列,其公⽐为2,则432122a a a a ++的值为( ) A.41 B.21 C.81 D.1解析:由题意知,a 2=a 1q=2a 1,a 3=a 1q 2=4a 1,a 4=a 1q 3=8a 1, ∴4188222211114321a a a a a a a a +=++. 答案：A例2 以下数列中,哪些是等⽐数列? (1)1,-21,41,-81,161; (2)1,1,1, (1)(3)1,2,4,8,12,16,20;(4)a,a 2,a 3,…,a n .活动:教师引导学⽣利⽤等⽐数列的定义来判断.解：(1)是等⽐数列,公⽐q=-21; (2)是公⽐为1的等⽐数列;(3)因为48≠812,所以该数列不是等⽐数列; (4)当a≠0时,这个数列是公⽐为a 的等⽐数列;当a=0时,它不是等⽐数列.点评:本例第(4)⼩题的分类讨论要引起学⽣的注意.变式训练已知数列{lga n }是等差数列,求证:{a n }是等⽐数列.证明:∵{lga n }是等差数列,设公差为d,则lga n+1-lga n =d,即d nn a a 101=+(常数). ∴{a n }是等⽐数列.例3 ⼀个等⽐数列的⾸项是2,第2项与第3项的和是12.求它的第8项的值.活动:本例是⼀道基础题⽬,⽬的在于熟悉等⽐数列通项公式的基本量运算.可让学⽣⾃主探究、体会⽅程思想的运⽤.解:设等⽐数列的⾸项为a 1,公⽐为q,则由已知,得=+=)2(,12)1(,22111q a q a a将①式代⼊②式,得q 2+q-6=0.解得q=-3或q=2.当q=-3时,a 8=a 1q 7=2×(-3)7=-4 374,当q=2时,a 8=2q 7=2×27=256.故数列的第8项是-4 374或256.点评:⽅程思想是本章的重要数学思想,基本量运算是本章的重要题型.例1 数成等差数列,它们的和等于15,如果它们分别加上1,3,9,就成为等⽐数列,求此三个数. 活动:教师引导学⽣分析题意,因为所求三个数成等差数列,它们的和已知,故可设这三个数为a-d,a,a+d,再根据已知条件寻找关于a 、d 的两个⽅程,通过解⽅程组即可获解.解：设所求三个数为a-d,a,a+d,则由题设得+++-=+=+++-),9)(1()3(,152d a d a a d a a d a解此⽅程组,得a=5,d=2.∴所求三个数为3,5,7.点评:此类问题要注意设未知数的技巧.若设所求三个数为a,b,c,则列出三个⽅程求解,运算过程将过于繁杂.因此在计算过程中,应尽可能地少设未知数.例2 在等⽐数列中,已知⾸项为89,末项为31,公⽐为32,则项数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6解析:设等⽐数列为{a n }.⼜∵a 1=89,q=32,a n =31, ∴q n-1=1a a n ,即(32)n-1=278. ∴n-1=3,n=4,即项数为4.答案:B例3 已知数列{a n }满⾜a 1=1,a n+1=2a n +1.(1)求证:数列{a n +1}是等⽐数列;(2)求a n 的表达式.活动:教师引导学⽣观察,数列{a n }不是等差数列,也不是等⽐数列,要求a n 的表达式,通过转化{a n +1}是等⽐数列来求解.解：(1)∵a n+1=2a n +1,∴a n+1+1=2(a n +1).∵a 1=1,故a 1+1≠0,则有2111=+++n n a a .∴{a n +1}是等⽐数列. (2)由(1)知{a n +1}是以a 1+1=2为⾸项,以2为公⽐的等⽐数列,∴a n +1=2·2n-1,即a n =2n -1.点评:教师引导学⽣进⾏解后反思.如本题(1),不能忽视对a n +1≠0的说明,因为在等⽐数列{a n }中,a n ≠0,且公⽐q≠0,否则解题会出现漏洞.知能训练课本本节练习1,习题1—3 1—3.课堂⼩结1.让学⽣归纳总结本节学习内容：等⽐数列的概念和等⽐数列的通项公式的推导及简单的应⽤,等⽐数列的证明⽅法．可让学⽣对⽐⼩结等差数列与等⽐数列的知识,对⽐各⾃性质的异同,让学⽣⽤列表的形式给出．2.教师点出,通过本节内容的学习,在掌握知识的同时,我们还学到了探究新问题的⽅法,提⾼了我们解决问题的能⼒,进⼀步明确了学习必须经历探究问题全过程的意义,必须领悟凝练数学思想⽅法.作业课本习题1—3 A 组 5、6.。