上海市徐汇区2013届高三数学一模试卷

专题七 三角函数2013年2月（黄浦区2013届高三一模 理科）7．已知1cos 21sin cos ααα-=，1tan()3βα-=-，则tan(2)βα-的值为 ． 7．1-；（奉贤区2013届高三一模）10、(理)函数⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=x x y 6cos 2sin ππ的最大值为_________．（嘉定区2013届高三一模 理科）3．函数1)cos (sin )(2++=x x x f 的最小正周期是___________．3．π（松江区2013届高三一模 理科）6．己知(1,2sin )a θ=，cos 1b θ=-（，），且b a ⊥，则tan θ= ▲ ．． 6．21（奉贤区2013届高三一模）2、函数2sin sin 2y x x =-的最小正周期为 ． 2．π（浦东新区2013届高三一模 理科）6．函数()2sin sin 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为π .（崇明县2013届高三一模）2、已知(0,)απ∈且tan()4πα+=，则α=. 2、512π （杨浦区2013届高三一模 理科）13 在ABC ∆中，若4π=∠A ，7)tan(=+B A ，23=AC ，则ABC ∆的面积为___________．13．221； （黄浦区2013届高三一模 理科）10．已知函数sin()(0)3y x πωω=+>的最小正周期为π，若将该函数的图像向左平移m (0)m >个单位后，所得图像关于 原点对称，则m 的最小值为 ．10．3π；（金山区2013届高三一模）3．函数)32sin(π+=x y 的最小正周期是_________．3．π（青浦区2013届高三一模）7．在ABC ∆中，2,3==AC AB ，10=BC ，则=⋅AC AB2． （虹口区2013届高三一模）5、已知ααcos 3sin =，则=+αα2sin 12cos ．5、21-； （长宁区2013届高三一模）16、若20AB BC AB ⋅+=，则ABC ∆必定是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形16、B（宝山区2013届期末）10.在ABC ∆中，若60,2,B AB AC =︒==∆则ABC 的面积是 ．32（崇明县2013届高三一模）11、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值等于. 11、12（长宁区2013届高三一模）9、已知ABC ∆3AC ABC π=∠=，则ABC ∆的周长等于._______ 9、33+（金山区2013届高三一模）20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数()sin(2)sin(2)233f x x x x m ππ=++--，x ∈R ，且f (x )的最大值为1．(1) 求m 的值，并求f (x )的单调递增区间；(2) 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c ，若()1f B =-a b c =+，试判断△ABC 的形状．20．解：(1)=)(x f m x x -+2cos 32sin 2sin(2)3x m π=+- ……………………3分因为max ()2,f x m =-所以1m =，…………………………………………………………4分 令–2π+2k π≤2x +3π≤2π+2k π得到：单调增区间为5[,]1212k k ππππ-+(k ∈Z)………6分 ( 无(k ∈Z)扣1分 )(2) 因为()1f B =-，则2sin(2)113B π+-=，所以6B π=………………8分b c =+sin sin A B C =+15sin()26A A π=+-化简得1sin()62A π-=，所以3A π=，…………………………………………………12分所以2C π=，故△ABC 为直角三角形．…………………………………………………14分（松江区2013届高三一模 理科）19．（本题满分12分）已知(2cos ,1)a x =，(cos 2)b x x =，其中x R ∈.设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最小正周期、最大值和最小值．19．解：由题意知2()2cos 2f x a b x x =⋅= ……………………… 3分cos 21222x x +=⋅cos 221x x =++2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ………………………………… 6分∴最小正周期 22T ππ== ……………………8分当2262x k πππ+=+，即(),Z 6x k k ππ=+∈时，max ()213f x =+=………………10分 当32262x k πππ+=+，即()2,Z 3x k k ππ=+∈时，()min 211f x =-+=-…………12分（宝山区2013届期末）20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数()sin()(f x A x A ωϕ=+＞0，ω＞0，||ϕ＜π)2的图像与y 轴的交点为（0，1），它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(,2)x 和0(2π,2).x +-（1）求()f x 的解析式及0x 的值；（2）若锐角θ满足1cos 3θ=，求(4)f θ 的值.解：（1）由题意可得2π2,2π,=4π,4π2T A T ω===即12ω=，………………………3分 1()2sin(),(0)2sin 1,2f x x f ϕϕ=+==由||ϕ＜π2,π.6ϕ∴=1π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭………………………………………………………………………5分001π()2sin()2,26f x x =+=所以001ππ2π2π+,4π+(),2623x k x k k +==∈Z又 0x 是最小的正数，02π;3x ∴=……………………………………………………7分（2）π1(0,),cos ,sin 23θθθ∈=∴=27cos 22cos 1,sin 22sin cos 9θθθθθ∴=-=-==………………………………10分π77(4)2sin(2)2cos 2699f θθθθ=+=+=-=-．…………………14分（崇明县2013届高三一模）19、（本题12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分） 已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--, x R ∈.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当[,]44x ππ∈-时，求函数()f x 的值域以及函数()f x 的单调区间．19、1(x)=sin2x+cos2x f （） (2x+)4π=T π∴（2）因为32x+444πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以sin (2x+)4π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以(x)f ⎡∈-⎣函数的增区间为48ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，减区间为84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （奉贤区2013届高三一模）20、 （理）设函数2())sin 4f x x x π=++。

专题三 空间几何汇编2013年3月（松江区2013届高三一模 文科）15．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是 A ．210x y +-= B ．210x y -+= C ．220x y +-= D ．210x y --= 15．D（嘉定区2013届高三一模 文科）16．以下说法错误的是……………………………（ ） A ．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是),0[πB ．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π C ．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是),0[πD ．空间两条直线所成角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π 16．C（浦东新区2013届高三一模 文科）10．若一个圆锥的轴截面是边长为4cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 8π 2cm .（黄浦区2013届高三一模 文科）15．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是 （ ）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形15．A（虹口区2013届高三一模）16、已知1l 、2l 、3l 是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）.A 如果21l l ⊥ ，32//l l ．则31l l ⊥． .B 如果21//l l ，32//l l ．则1l 、2l 、3l 共面． .C 如果21l l ⊥ ，32l l ⊥．则31l l ⊥． .D 如果1l 、2l 、3l 共点．则1l 、2l 、3l 共面． 16、A ；（青浦区2013届高三一模）6．若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 π2 ．（奉贤区2013届高三一模）13、（理）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点111()P x y ，与222()P x y ，的“非常距离”给出如下定义：若1212||||x x y y --≥，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x -， 若1212||||x x y y -<-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||y y -．已知C 是直线334y x =+上的一个动点，点D 的坐标是（0，1），则点C 与点D 的“非常距离”的最小值是_________．13． 理78（杨浦区2013届高三一模 文科）7. 若圆椎的母线cm 10=l ,母线与旋转轴的夹角030=α,则该圆椎的侧面积为2cm . 7. π50（普陀区2013届高三一模 文科）4. 【文科】正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线C B 1与D C 1所成的角的大小为 .4.【文科】60（嘉定区2013届高三一模 文科）8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R 的半圆，则这个圆锥的底面积是________． 8．42R π（浦东新区2013届高三一模 文科）12．如图所示，已知一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为23π+ .（金山区2013届高三一模）9．若直线l ：y=kx 经过点)32cos ,32(sin ππP ，则直线l 的倾斜角为α = ． 9．56π（青浦区2013届高三一模）13．正六边形111111F E D C B A 的边长为1，它的6条对角线又围成了一个正六边形222222F E D C B A ，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是439 ．俯视图左视图主视图A BCD 1A 1B 1C 1D （第4题图）杨浦区2013届高三一模 文科）5．若直线l :012=--x y ，则该直线l 的倾斜角是 . 5．2arctan ；（（青浦区2013届高三一模）5．已知：正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积=V 33 ．（虹口区2013届高三一模）10、在A B C ∆中，32=AB ，2=AC 且︒=∠30B ，则A B C ∆的面积等于 ． 10、32或3；（普陀区2013届高三一模 文科）13. 三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 的中点，则截面EFGH将三棱锥S ABC -分成两部分的体积之比为 . 13.1:1（松江区2013届高三一模 文科）13．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为11(,)P x y ,22(,)Q x y 两点之间的“折线距离”．则原点)0,0(O 与直线05=-+y x 上一点),(y x P 的“折线距离”的最小值是 ▲ ．13． （杨浦区2013届高三一模 文科）12．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中4AE =米，6CD =米. 为了合理利用这块钢板,将在五边 形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上. 则矩形BNPM 面积的最大值为____ 平方米 . 12． 48；（崇明县2013届高三一模）3、过点(1,1)P -，且与直线:10l x y -+=垂直的直线方程是 . 3、+=0x y（长宁区2013届高三一模）17、已知m ，n 是两条不同直线，βα,是两个不同平面，下列（第13题图） SB AC EHG FA MEPDCBNF命题中的假命题的是（ ）A.βαβα//,,则若⊥⊥m mB.αα⊥⊥n m n m 则若,,//C.n m n m //,,//则若=βααD.βαβα⊥⊂⊥则若,,m m17、C（闵行区2013届高三一模 文科）12． (文)已知△ABC 的面积为1，在△ABC 所在的平面内有两点P Q 、，满足0,PA PC QA QB QC BC +=++=，则△APQ 的面积为 ．12．文13； （宝山区2013届期末）12.已知半径为R 的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于3Rπ，且经过这三个点的小圆周长为4π，则R= ．（青浦区2013届高三一模）11．已知01c os s i n 2=-+θθa a 与01cos sin 2=-+θθb b (b a ≠)．直线MN 过点),(2a a M 与点),(2b b N ，则坐标原点到直线MN 的距离是 1 ．（长宁区2013届高三一模）11、（理）我们知道，在平面中，如果一个凸多边形有内切圆，那么凸多边形的面积S 、周长c 与内切圆半径r 之间的关系为cr S 21=。

一、单选题二、多选题1. 已知是椭圆的左､右焦点，点为抛物线准线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．2. 随机抽取年龄在，…年龄段的骑行共享单车的市民进行问卷调查，由此得到的样本的频数分布直方图如图所示，其中老年人、中年人、青少年人的比例，用分层抽样的方法抽取一组样本进行调查，若抽取中年人（中年人的年龄段定义）的人数为12，则年龄段应抽取的人数为（）A ．2B ．3C ．5D ．63. 如果命题p：R，，则为（ ）A．R，B．R，C．R，D．R，4.设集合，则（ ）A．B．C．D．5. 设集合，，则A．B．C．D．6. 已知正方体，则下列选项不正确的是（ ）A ．直线与所成的角为B．C ．平面D．7.各项都是正数的数列满足,且,则（ ）A ．1B ．2C ．4D ．88. “”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面为等腰直角三角形，，，分别是的中点，是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）上海市徐汇区2023届高三一模数学试题(1)上海市徐汇区2023届高三一模数学试题(1)三、填空题A．B ．直线与直线夹角的余弦值为C ．直线平面D．若是线段的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比为10. 已知函数（且）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（）A．B．C．D．11. 已知是双曲线的左､右焦点，且到的一条渐近线的距离为为坐标原点，点为右支上的一点，则（ ）A．B ．过点且斜率为1的直线与有两个不同的交点C．若斜率存在，则D．的最小值为12. 已知椭圆的左焦点为，为的上顶点，，是上两点．若，，构成以为公差的等差数列，则（ ）A ．的最大值是B．当时，C ．当，在轴的同侧时，的最大值为D ．当，在轴的异侧时（，与不重合），13. 已知样本：、、、、，该样本的平均数为7，样本的方差为4，且样本的数据，则样本数据中的最大值是__________.互不相同14.在平面直角坐标系中，点P 在直线上，过点P 作圆C ：的一条切线，切点为T .若，则的长四、解答题是______.15. 过双曲线C：的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为点A ，交y 轴于点B ，若，则C 的离心率是_________．16. 2020年，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展成效持续显现，工业和出口较快增长，投资和消费稳步恢复，就业和物价总体稳定，基本民生保障有力，国民经济持续稳定恢复.如图为2020年国家统计局发布的社会消费品零售总额增速y %(月度同比)与月份x折线图：(社会消费品零售总额统计范围是从事商品零售活动或提供餐饮服务的法人企业､产业活动单位和个体户.)（1）由折线图看出，4月至12月可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）根据4月至12月的数据，求y 关于x 的回归方程，(系数精确到0.01).参考数据：；参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法计算公式分别为：17. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，离心率为，P 为椭圆C 上一点（除左、右顶点），直线PF ₁，PF ₂与椭圆C 的另一个交点分别为A ，B ，且，，当m =1时，．(1)求椭圆C 标准方程；(2)试判断是否为定值，若是求出定值，若不是说明理由．18. 某鲜花店每天制作、两种鲜花共束，每束鲜花的成本为元，售价元，如果当天卖不完，剩下的鲜花作废品处理.该鲜花店发现这两种鲜花每天都有剩余，为此整理了过往100天这两种鲜花的日销量（单位：束），得到如下统计数据：种鲜花日销量48495051天数25352020两种鲜花日销量48495051天数40351510以这100天记录的各销量的频率作为各销量的概率，假设这两种鲜花的日销量相互独立.（1）记该店这两种鲜花每日的总销量为束，求的分布列.（2）鲜花店为了减少浪费，提升利润，决定调查每天制作鲜花的量束.以销售这两种鲜花的日总利润的期望值为决策依据，在每天所制鲜花能全部卖完与之中选其一，应选哪个？19. 设为数列的前项和，，已知，数列是公差为的等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和．20. 我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰福建舰下水试航，实现了中国航空母舰建造史上的巨大技术跨越，是新时代中国强军建设的重要成果．某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生国防意识，组织了一次国防知识竞赛活动，为了解本次竞赛活动的成绩，随机抽取了1000名学生并统计其成绩（单位：分，满分200分），按照，分成8组，制成如图所示的频率分布直方图．已知这1000名学生成绩的平均数为157分．(1)求的值，并求这1000名学生中成绩在的学生人数；(2)若按照分层抽样的方法从竞赛成绩在的学生中随机抽取6名，再从这6名学生中随机抽取3名参加讲座，求恰有1名学生的成绩在的概率．21. 如图，在四棱锥中，底面四边形的边长均为2，且，棱的中点为.(1)求证：平面；(2)若的面积是，求点到平面的距离.。

2012学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷 （文）（考试时间：120分钟，满分150分） 2013.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．方程组2132x y x y -=⎧⎨+=-⎩的增广矩阵是__________________.2. 已知幂函数()f x 的图像过点18,2⎛⎫⎪⎝⎭，则此幂函数的解析式是()f x =_____________. 3．（文）若4cos 5θ=，则=θ2cos ___________.4．若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线221610xy-=的右焦点重合，则实数p 的值是 .5．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如右图所示，则()f x = _________.6．（文）若(1,2)n =是直线l 的一个方向向量，则直线l 的倾斜角的大小为_________________.(结果用反三角函数值表示) 7．（文）不等式210xx+≥ 1 2 2的解为 .8．高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是 .(结果用最简分数表示)9．如图所示的程序框图，输出b 的结果是_________.10．（文）数列{}n a 的通项公式*1 , 1()1, 2(1)n n a n N n n n =⎧⎪=∈⎨≥⎪+⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=_____________.11.（文）边长为1的正方形A B C D 中，M 为B C 的中点，E 在线段A B 上运动，则EC EM⋅的取值范围是____________.12．（文）函数{}()m in 2f x x =-，其中{},m in ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是______________.13．（文）若平面向量i a 满足 1(1,2,3,4)i a i ==且10(1,2,3)i i a a i +⋅== ,则1234a a a a +++的最大值为 .14．已知线段010A A 的长度为10，点129,,,A A A 依次将线段010A A 十等分.在0A 处标0，往右数1点标1，再往右数2点标2，再往右数3点标3……(如图)，遇到最右端或最左端返回，按照0A →10A →0A →10A → 的方向顺序，不断标下去，（文）那么标到10这个数时，所在点上的最小数为_____________.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．下列排列数中，等于*(5)(6)(12)(13,)n n n n n N ---≥∈ 的是 （ ）(A)712n P - (B) 75n P - (C) 85n P - (D) 812n P -16．在A B C ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“090C ∠=”的 （ ）(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件17．若函数21()ax f x x-=在()0,+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是（ ）(A)0a ≥(B)0a > (C)0a ≤ (D) 0a <18．（文）对于直角坐标平面xOy 内的点(,)A x y （不是原点），A 的“对偶点”B 是指：满足1O A O B =且在射线O A 上的那个点. 则圆心在原点的圆的对偶图形 （ ）(A) 一定为圆 (B) 一定为椭圆 (C) 可能为圆，也可能为椭圆 (D) 既不是圆，也不是椭圆三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分)已知集合3{|0}4x A x x -=<-，实数a 使得集合{}|()(5)0B x x a x =-->满足A B ⊆， 求a 的取值范围.20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数)(x f =21log 1x x +-.(1)判断函数)(x f 的奇偶性，并证明； (2)求)(x f 的反函数)(1x f-，并求使得函数12()()log g x f x k -=-有零点的实数k 的取值范围.21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（文）某种型号汽车的四个轮胎半径相同，均为40R cm =，该车的底盘与轮胎中心在同一水平面上. 该车的涉水安全要求．．．．．．是：水面不能超过它的底盘高度. 如图所示：某处有一“坑形”地面，其中坑ABC 形成顶角为0120的等腰三角形，且60AB BC cm ==，如果地面上有()h cm (40h <)高的积水(此时坑内全是水，其它因素忽略不计).(1) 当轮胎与A B 、B C 同时接触时，求证：此轮胎露在水面外的高度(从轮胎最上部到水面的距离)为103d h =+-；(2) 假定该汽车能顺利通过这个坑(指汽车在过此坑时，符合涉水安全要求．．．．．．)，求h 的最大值.(精确到1cm).22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.（文）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,)2-在椭圆C 上，点T满足2O T O F =（其中O 为坐标原点）, 过点F 作一斜率为(0)k k >的直线交椭圆于P 、Q 两点(其中P 点在x 轴上方，Q 点在x 轴下方) .(1)求椭圆C 的方程；(2)若1k =，求PQT ∆的面积；(3)设点P '为点P 关于x 轴的对称点，判断P Q ' 与Q T的位置关系，并说明理由.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.（文）对于数列{}n x ，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为1a ,公差为d 的无穷等差数列{}n a 的子数列问题，为此，他取了其中第一项1a ，第三项3a 和第五项5a .(1) 若135,,a a a 成等比数列,求d 的值；(2) 在11a =, 3d =的无穷等差数列{}n a 中，是否存在无穷子数列{}n b ，使得数列{}n b 为等比数列？若存在，请给出数列{}n b 的通项公式并证明；若不存在，说明理由；(3) 他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数a ，公比为正整数q (1q >)的无穷等比数 列{}n c ,总可以找到一个子数列{}n d ,使得{}n d 构成等差数列”. 于是，他在数列{}n c 中任取三项,,()k m n c c c k m n <<，由k n c c +与2m c 的大小关系去判断该命题是否正确. 他将得到什么结论？参考答案一、填空题：（每题4分）1. 2111-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3　-2 2. 13x - 3.（文）725 4. 8 5. 2sin 4x π6.（文） arctan27.文）x ≥08.31359. 1 10.（文）3211. （文）13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 12.文）-2 13.（文） 14.（文）5二、选择题：（每题5分）15. C 16. B 17.A 18.文）A三、解答题19. 解：A=(3,4)………………………………………………………………………………..2分 a ≥5时，B=(,)(,5)a +∞⋃-∞，满足A ⊆B ；…………………………………..6分 a<5时，B=(5,)(,)a +∞⋃-∞，由A ⊆B ，得a ≥4，故4≤a<5，……………..10分 综上，得实数a 的取值范围为a ≥4. ……………………………………………..12分20. 解：(1)f(x)的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃+∞……………………………………………..2分 f(-x)=log 211x x -+--=log 211x x -+=-f(x)，所以，f(x)为奇函数. ………………………………………..6分 (2)由y=21log 1x x +-，得x=2121yy+-,所以，f -1(x)=2121xx+-,x ≠0. ……………………………………..9分因为函数12()()log g x fx k -=-有零点，所以，2log k 应在)(1x f-的值域内.所以，log 2k=2121xx +-=1+221x-(,1)(1,)∈-∞-⋃+∞, ………………….13分从而，k 1(2,)(0,)2∈+∞⋃. ……………………………………………..14分21．（文）解：(1) 当轮胎与AB 、BC 同时接触时，设轮胎与AB 边的切点为T ，轮胎中心为O ，则|OT|=40，由∠ABC=1200，知∠OBT=600， …………………………………..2分故|OB|= (4)分所以，从B+40， …………………………..6分此轮胎露在水面外的高度为240⨯060cos 60⋅8010h -，得证. (8)分(2)只要d ≥40， …………………………………………………………..12分即8010h -≥40，解得h ≤16cm.，所以h 的最大值为16cm. (14)分22．（文）解:(1)由222211112a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，得 ……………………………………………………………..2分a 2=2,b 2=1,所以，椭圆方程为2212xy +=. (4)分(2)设PQ:y=x-1，由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3y 2+2y-1=0, …………………..6分解得： P(41,33),Q(0,-1)，由条件可知点(2,0)T , PQTS ∆=12|FT||y 1-y 2|=23. ….. ……………………………………10分(3) 判断：P Q ' 与Q T共线. ..... ........ ........ (11)分设1122(,),(,)P x y Q x y则P '(x 1,-y 1)，P Q' =(x 2-x 1,y 2+y 1)，T Q=(x 2-2,y 2), ……………………………..12分由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4220k x k x k +-+-=. (13)分(x 2-x 1)y 2-(x 2-2)(y 1+y 2)=(x 2-x 1)k(x 2-1)-(x 2-2)(kx 1-k+kx 2-k) =3k(x 1+x 2)-2kx 1x 2-4k=3k22412kk+-2k222212k k-+-4k=k(2222124441212kk kk---++)=0. (15)分所以，P Q ' 与Q T共线. (16)分 23．（文）解:(1)由a 32=a 1a 5， ………………………………………………………………………..2分即(a 1+2d)2=a 1(a 1+4d)，得d=0. (4)分(2) 解：a n =1+3(n-1)，如b n =4n-1便为符合条件的一个子数列. (7)分 因为b n =4n-1=(1+3)n-1=1+11n C -3+21n C -32+…+11n n C --3n-1=1+3M, …………………..9分 这里M=11n C -+21n C -3+…+11n n C --3n-2为正整数，所以,b n =1+3M =1+3 [(M+1)-1]是{a n }中的第M+1项，得证. ……………….11分(注：b n 的通项公式不唯一) (3)该命题为假命题. …………………………………………………….12分 由已知可得111,,k m n k m n c aq c aq c aq ---===, 因此,11k n k n c c aq aq --+=+,又122m m c aq -=,故 1111()22(12)k n m k n k m kk n m c c c aq aq aqaq q q ------+-=+-=+-, …………..15分由于,,k m n 是正整数，且n m >，则1,1n m n k m k ≥+-≥-+, 又q 是满足1q >的正整数，则2q ≥,112121212210n km km k m km km km km kqqqqqqqqq---+-----+-≥+-=+-≥+-=>,所以，k n c c +>2m c ,从而原命题为假命题. …………………………………………..18分。

徐汇区高三数学本卷共5页第1页2024学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学试卷（考试时间120分钟满分150分）2024.12一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.不等式2430x x -+<的解集为.2.已知函数()y f x =，其中ln ,0()1,0x x f x x >⎧=⎨-≤⎩，则(1)f =.3.在(1)n x +的二项展开式中，若各项系数和为32，则正整数n 的值为.4.已知向量(2,5,1)a = ，(4,,5)b m =，若3a b ⋅= ，则实数m 的值为.5.设,R a b ∈，3()3sin f x x x b =++.若函数()y f x =是定义在[,21]a a --上的奇函数，则a b +=.6.已知m n 、为空间中两条不同的直线，αβ、为两个不同的平面，若m α⊂，n αβ= ，则m //n 是m //β的条件.（填：“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个）7.某景点对30天内每天的游客人数（单位：万人）进行统计，得到样本的茎叶图（如右图所示），则该样本的第75百分位数是.8.已知复数1z 和复数2z 满足121234i,2i z z z z +=+-=-+（i 为虚数单位），则2212||z z -=________.9.设R a ∈，2()ln f x x ax x =++，若函数()y f x =存在两个不同的极值点，则a 的取值范围为__________.徐汇区高三数学本卷共5页第2页10.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且213PF F π∠=1-，则12PF F ∠的大小为________.11.徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往观展并拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上､下底面直径分别为30cm 和26cm ，下面圆台的上､下底面直径分别为24cm 和18cm ，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等．若上面圆台的高为8cm ，则该花盆上、下两部分母线长的总和为__________cm．12.已知定义域为{1,2,3}A =的函数()y f x =的值域也是A ,所有这样的函数()y f x =形成全集B .设非空集合C B ⊆且C 中的每一个函数都是C 中的两个函数(可以相同)的复合函数,则集合C 的元素个数的最小值为__________.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.下列抛物线中，焦点坐标为1(0,)8的是（）A.212y x =B.214y x =C.212x y= D.214x y =14.一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（）A.40个 B.45个 C.50个 D.55个徐汇区高三数学本卷共5页第3页15.已知函数()y f x =与它的导函数()y f x '=的定义域均为R .若函数()y f x =是偶函数且()y f x '=在(),0-∞上是严格增函数，则下列各表中，可能成为()y f x =取值的是（）A.x()f x 1 2.81882 1.000030.364440.2468B.x()f x 10.75802 1.00003 1.318841.7979C.x()f x 1 2.41322 1.00003 1.588544.1116D.x()f x 10.86642 1.00003 1.118841.224016.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设nn S t n=（n 为正整数）.若存在常数c ，使得任意两两不相等的正整数,,i j k ，都有()()()k i j i j t j k t k i t c -+-+-=，则称数列{}n a 为“轮换均值数列”.现有下列两个命题：①任意等差数列{}n a 都是“轮换均值数列”.②存在公比不为1的等比数列{}n b 是“轮换均值数列”.则下列说法正确的是（）A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题C.①、②都是真命题D.①、②都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知()sin cos (0)f x a x b x ωωω=+>，若定义在R 上的函数()y f x =的最小正周期为π，且对任意的R x ∈，都有()()412f x f π≤=.（1）求实数,a b 的值；（2）设12,(0,)x x π∈，当12x x ≠时，12()()2f x f x ==-，求12x x +的值.徐汇区高三数学本卷共5页第4页18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD //BC ，2ADC PAB π∠=∠=，12BC CD AD ==.E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成角的大小为2π．（1）求证：CD //平面PBE ；（2）若二面角P CD A --的大小为4π，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值．19.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）某企业招聘员工，指定“英语听说”、“信息技术”、“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案.方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过.假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是123,,p p p （(0,1),1,2,3i p i ∈=），且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.（1）分别求该应聘者选方案一考试通过的概率1T 和选方案二考试通过的概率2T ；（2）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由.徐汇区高三数学本卷共5页第5页20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知过点P 的双曲线C的渐近线方程为0x ±=.如图所示，过双曲线C 的右焦点F 作与坐标轴都不垂直的直线l 交C 的右支于A ，B 两点.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）已知点3(,0)2Q ，求证：AQF BQF ∠=∠；（3）若以AB 为直径的圆被直线32x =截得的劣弧为 MN ，则 MN 所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知定义域为D 的函数()y f x =，其导函数为()y f x '=，若点00(,)x y 在导函数()y f x '=图像上，且满足00()()0f x f y ''⋅≥，则称0x 为函数()y f x =的一个“T 类数”，函数()y f x =的所有“T 类数”构成的集合称为“T 类集”.（1）若()sin f x x =，分别判断2π和34π是否为函数()y f x =的“T 类数”，并说明理由；（2）设()y f x '=的图像在R 上连续不断，集合{}|()0M x f x '==.记函数()y f x =的“T 类集”为集合S ，若R S ⊂，求证：M ≠∅；（3）已知1()cos()(0)f x x ωϕωω=-+>，若函数()y f x =的“T 类集”为R 时ϕ的取值构成集合A ，求当ϕA ∈时ω的最大值.2024学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学参考答案2024.12一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．(1,3)2.0 3.5 4.2-5.16.充要7.518.9.(,-∞-10.6π11.12.2二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.C14.B15.B16.A三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由()f x 的最小正周期为π可知：2ω=22()sin cos 4,()4,12661342216f a b f x a b a b πππ=+=≤⎧+=⎪∴⎨⎪+=⎩2a b =⎧⎪⇒⎨=⎪⎩（2）由（1）可得：()2sin 224sin(2)3f x x x x π=+=+14sin(2)2sin(2)332x x ππ+=-⇒+=- ，72222,3636x k x k ππππππ∴+=-+=+或121235,(0,),,,412x x x x π∈∴== 又1276x x π∴+=.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）AD //BC ，12BC AD =，E 为棱AD 的中点，BC ∴//ED 且BC ED =，∴四边形BCDE 是平行四边形.∴CD //BE ，又,BE PBE CD ⊂平面不在平面PBE 上，由线面平行的判定定理知，CD //平面PBE .（2）,2PAB π∠=即PA AB ⊥，且异面直线PA 与CD 所成的角为2π，即PA CD ⊥，又AB CD M = ，,AB CD ⊂平面ABCD ，AP ∴⊥平面ABCD ．又CD AD ⊥，由三垂线定理，CD PD ∴⊥.因此PDA ∠是二面角P CD A --的平面角，PDA ∠=4π．PA AD ∴=．不妨设2AD a =，则12BC CD AD a ===.以A 为坐标原点，平行于CD 的直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，(0,0,2),(0,,0),(,2,0)P a E a C a a ∴-，(0)a >其中则(,,0),(0,,2),(0,0,2)EC a a PE a a AP a =-=-=，设平面PCE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,0n PE n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得：20,0y z x y -=⎧⎨-+=⎩令2y =，则2,1,x z ==(2,2,1)n ∴=.设直线PA与平面PCE所成角为θ，则||21 sin|cos,|323||||AP nAP nAP nθ⋅=<>===⨯.法二：过A作AH CE⊥，交CE的延长线于H，连接PH.由（1）知：CD//BE，PA CD⊥，PA BE∴⊥，,2ADC PABπ∠=∠=即PA AB⊥，又AB BE B=，,AB BE⊂平面ABCD，PA∴⊥平面ABCD．CE⊂平面ABCD，PA CE∴⊥，又AH是PH在平面ABCD上的射影，由三垂线定理知，PH CE⊥，又PA PH P=，CE∴⊥平面PAH．再过A作AI PH⊥，交PH于I，CE⊥平面PAH，AI⊂平面PAH，AI CE∴⊥，又PH CE H=，AI∴⊥平面PCE，API∴∠即为直线PA与平面PCE的所成角.CD AD⊥，PA⊥平面ABCD．由三垂线定理，CD PD∴⊥.因此PDA∠是二面角P CD A--的平面角，PDA∠=4π．设1(0)2BC CD AD x x===>，则2AD PA x==，,BC CD CD AD=⊥，∴四边形BCDE为正方形，4CED AEHπ∴∠=∠=.22AH x∴=，22tan tan24xAHAPI APHPA x∴∠=∠===，1sin3API∴∠=，∴直线PA与平面PCE所成角的正弦值为13.19.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为,,A B C ，则123(),(),()P A p P B p P C p ===.（1）应聘者选方案一考试通过的概率1()()()()T P A B C P A B C P A B C P A B C =+++ 123231132123(1)(1)(1)p p p p p p p p p p p p =-+-+-+1223311232p p p p p p p p p =++-.应聘者选方案二考试通过的概率2111()()()333T P A B P B C P A C =++ 1223311()3p p p p p p =++.（2）因为123,,(0,1)p p p ∈,所以121223311232()23T T p p p p p p p p p -=++-]1232313122(1)(1)(1)0,3p p p p p p p p p ⎡=-+-+->⎣故12T T >，即选方案一，该应聘者考试通过的概率较大.20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）因为双曲线C 的渐近线方程为0x ±=，所以设双曲线方程为223(0)x y λλ-=≠，又双曲线过点P ，则9323λ=-⨯=，所以双曲线的方程为2233,x y -=，即2213x y -=.（2）由（1）可知(2,0)F ，l 的斜率存在且不为0，设l 的方程为(2)y k x =-，联立22(2)33y k x x y =-⎧⎨-=⎩，消去y 得2222(13)121230k x k x k -+--=，设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意得21212130033(,))3300k k x x x x ⎧-≠⎪∆>⎪⇒∈-∞-+∞⎨+>⎪⎪⋅>⎩ ，则21222122121312313k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪-⎨--⎪⋅=⎪-⎩，所以12121212121212127[2()6](2)(2)2333339()222224AQ BQ k x x x x y y k x k x k k x x x x x x x x -++--+=+=+=-----++2222227[2(123)126(13)20,3912312(13)24k k k k k k k --+⨯+-==--+⨯+-所以AQ BQ k k =-，AQF BQF ∠=∠得证．（3）222222(2)(13)12(123)033y k x k x k x k x y =-⎧⇒-+-+=⎨-=⎩，212120k ∆=+>恒成立，21221213k x x k -+=-，所以圆心到32x =的距离222263333122(31)k k d k k +=-=--，半径22||3(1)2|31|AB k r k +==-，设 MN 所对圆心角为θ，则223(1)3cos 22(31)2d k r k θ+===-，26θπ=，所以3πθ=，即 MN所对圆心角的大小为定值3π.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）00()cos (0,()cos 012f x x y f f y π'''=∴==== ，00()()()(0)00,2f x f y f f π''''∴⋅=⋅=≥2π∴是函数()sin f x x =的“T 类数”；...............6113()cos (,()cos()0422f x x y f f y π'''=∴==-=-> ，11()()0f x f y ''∴⋅<，34π∴不是函数()sin f x x =的“T 类数”.（2）因为函数()y f x =的“T 类集”为集合S ，且S R ⊂，所以存在0x R ∈，使得00()y f x '=且00()()0f x f y ''⋅<，若00x y =，则2000()()[()]0f x f y f y '''⋅=≥，所以00x y ≠，因为函数()y f x '=的图像是连续不断的，不妨设00x y <，由零点存在定理知，必存在100(,)x x y ∈使得1()0f x '=，所以()y f x '=存在零点，即M ≠∅.（3）1()cos()(0)f x x ωϕωω=-+>，1()()[cos()]sin()f x x x x ωϕωϕωϕω'''=-++=+.先证明ωπ≤：因为函数1()cos()(0)f x x ωϕωω=-+>的“T 类集”为R ，所以对任意0x R ∈，令00()y f x '=，则00()0y f y '⋅≥，因为函数()sin()(0)f x x ωϕω'=+>的值域为[1,1]-，所以当0(0,1]y ∈时，必有0()0f y '≥，即()sin()0(0)f x x ωϕω'=+≥>对于(0,1]x ∈恒成立，所以函数()y f x '=的最小正周期T 应有102T ≥-，即22T πω=≥，则ωπ≤.再证明0A ∈，此时()sin()f x x ω'=，对于任意0x R ∈，0000()()sin()f x f y y y ω''=.当00()[0,1]y f x '=∈时，00wy w π≤≤≤，则0()[0,1]f y '∈，00()()0f x f y ''⋅≥；当00()[1,0]y f x '=∈-时，00w wy π-≤-≤≤，则0()[1,0]f y '∈-，00()()0f x f y ''⋅≥，所以0ϕ=时函数1()cos()(0)f x x ωϕωω=-+>的“T 类集”为R ，即0A ∈.我们不难发现，上述过程中令ω=π也成立.因此，ω的最大值是π.。

2014学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）2015.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．已知3sin 5θ=-，则cos 2θ=__ ___．2．若实数,x y 满足4xy =，则224x y +的最小值为 ． 3．设i 是虚数单位，复数z 满足(2)5i z +⋅=，则z = ． 4．函数2()2(0)f x x x =-<的反函数1()f x -= ．5．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213y x -=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．6．若正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________．（结果用反三角函数值表示） 7．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，*110()2n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为 ．8．若全集U R =，不等式11111x x+≥-的解集为A ，则U A C = ．9．已知圆22:(1)(1)2C x y -+-=，方向向量(1,1)d =的直线l 过点(0,4)P ，则圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为 ．10．如图：在梯形ABCD 中，//AD BC 且12AD BC =，AC 与 BD 相交于O ，设A B a =，D C b =，用,a b 表示BO ，则BO = ．11．已知函数()2sin(2)6f x x π=+，将()y f x =的图像向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图像．若()y g x =的图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，则ϕ的值为 ．12．已知函数222111()1()()(1)2222015n n n f x x n =+++++++，其中*n N ∈． 当1 2 3 n =，，，时，()n f x 的零点依次记作123 x x x ，，，，则lim n n x →∞= ．13．在平面直角坐标系中，对于函数()y f x =的图像上不重合的两点,A B ，若,A B 关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一组“奇点对”（规定(),A B 与(),B A 是相同的“奇点对”）．函数()()()1lg 01sin 02x xf x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩的“奇点对”的组数是 ．14．设集合(){}{}12310,,,,|1,0,1,1,2,3,,10i A x x x x x i =∈-=，则集合A 中满足条件“1231019x x x x ≤++++≤”的元素个数为 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15． “14a ≥”是“实系数一元二次方程20x x a ++=有虚数根”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件16．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中一定能推出m β⊥的是 （ ）（A ）αβ⊥且m α⊂≠（B ）αβ⊥且α//m（C ）n m //且n β⊥ （D ）m n ⊥且//n β17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n 类*()n N ∈，分别编号为1,2,,n ，买家共有m 名*(,)m N m n ∈<，分别编号为1,2,,m ．若1,1,10,ij i j a i m j n i j ⎧=≤≤≤≤⎨⎩第名买家购买第类商品第名买家不购买第类商品，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（ ） （A ）1112121222m m a a a a a a +++++++（B ）1121112222m m a a a a a a +++++++（C ）1112212212m m a a a a a a +++ （D ）1121122212m m a a a a a a +++18．对于方程为||1x +||1y =1的曲线C 给出以下三个命题： （1）曲线C 关于原点中心对称；（2）曲线C 既关于x 轴对称,也关于y 轴对称，且x 轴和y 轴是曲线C 仅有的两条对称轴； （3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M,N,P,Q 都在曲线C 上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2．其中正确的命题是（ ） (A)（1）（2） (B)（1）（3） (C)（2）（3） (D)（1）（2）（3）三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分． 已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ． （1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f ．20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数()22()x x f x k k R -=+⋅∈．（1）若函数()f x 为奇函数，求k 的值；（2）若函数()f x 在(],2-∞上为减函数，求k 的取值范围．21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图所示，某传动装置由两个陀螺12,T T 组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的13，且12,T T 的轴相互垂直，它们相接触的直线与2T 的轴所成角2arctan3θ=．若陀螺2T 中圆锥的底面半径为()0r r >．（1）求陀螺2T 的体积；（2）当陀螺2T 转动一圈时，陀螺1T 中圆锥底面圆周上一点P 转动到点1P ，求P 与1P 之间的距离．22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆222:1x y aγ+=（常数1a >）的左顶点为R ，点(,1),(,1)A a B a -，O 为坐标原点．（1）若P 是椭圆γ上任意一点，OP mOA nOB =+，求22m n +的值； （2）设Q 是椭圆γ上任意一点，()3,0S a ，求QS QR ⋅的取值范围；（3）设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆γ上的两个动点，满足OM ON OA OB k k k k ⋅=⋅，试探究OMN ∆的面积是否为定值，说明理由．23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知有穷数列}{n a 各项均不相等．．．．，将}{n a 的项从大到小重新排序后相应的项数．．．．．构成新数列}{n p ，称}{n p 为}{n a 的“序数列”．例如数列：321,,a a a 满足231a a a >>，则其序数列}{n p 为2,3,1． （1）写出公差为(0)d d ≠的等差数列12,,,n a a a L 的序数列}{n p ；（2）若项数不少于5项的有穷数列}{n b 、}{n c 的通项公式分别是nn n b )53(⋅=(*n N ∈)，tn n c n +-=2(*n N ∈)，且}{n b 的序数列与}{n c 的序数列相同，求实数t 的取值范围；（3）若有穷数列}{n d 满足11=d ，nn n d d )21(||1=-+*()n N ∈，且}{12-n d 的序数列单调递减，}{2n d 的序数列单调递增，求数列}{n d 的通项公式．理科参考答案一、填空题：（每题4分）1.7252. 163.4. 2)x >-5. 2x =-6. 7. 2*1,123,2,n n n a n n N -=⎧=⎨⋅≥∈⎩8. (]1,0- 9. 10. 4233a b -+r r 11. 6π12. 3- 13. 3 14. 58024二、选择题：（每题5分）15. B 16. C 17. C 18. B三、解答题19、解：（1）553()sin()121242f A πππ=+=，322A ⋅=……………………..2’A ∴=; ……………………..4’（2）3()()))42f f +-=+-+=ππθθθθ，3cos )sin cos )]2+-+=θθθθ，……………………..6’32=θ，cos =θ，……………………..8’又)2,0(πθ∈，sin ∴==θ， ……………………..10’)43(θπ-f )=-==πθθ．……………………..12’20、解：（1）()()(1)(22)0x x f x f x k -+-=++=对一切的x R ∈成立，……………………..4’ 所以1k =-……………………..6’（2）若0k ≤，则函数()f x 在(],2-∞单调递增（舍）……………………..8’当0k >时，令(]20,4xt =∈，……………………..9’则函数()kg t t t=+在(]0,4上单调递减……………………..10’4≥，……………………..13’ 即16k ≥……………………..14’ 21、解：（1）设陀螺2T 圆锥的高为h ，则23r h =，即32h r =……………………..2’得陀螺2T 圆柱的底面半径和高为3r……………………..3’ 231=3327r r V r ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭柱……………………..5’23131=322V r r r ππ=椎……………………..7’232954T V V V r π=+=柱椎……………………..8’（2）设陀螺1T 圆锥底面圆心为O ，则12PP r π=，……………………..10’得1124332PP r POP OP r ππ∠===……………………..12’ 在1POP ∆中，12PPr ==……………………..14’ 22、解：（1）(),OP mOA nOB ma na m n =+=-+， 得(),P ma na m n -+……………………..2’()()221m n m n -++=，即2212m n +=……………………..4’ （2）设(),Q x y ，则()()3,,QS QR a x y a x y ⋅=-----()()()()222331x x a x a y x a x a a=-++=-++-……………………..5’22221213a x ax a a-=-+-()22342222144111a a a a x a x a a a a ⎛⎫--+=---≤≤ ⎪--⎝⎭……………………..6’ 由1a >，得321a a a >-……………………..7’ ∴ 当x a =-时，QS QR ⋅最大值为0；……………………..8’当x a =时，QS QR ⋅最小值为24a -；……………………..9’即QS QR ⋅的取值范围为24,0a ⎡⎤-⎣⎦……………………..10’（3）（解法一）由条件得，122121y y x x a=-，……………………..11’ 平方得224222222121212()()x x a y y a x a x ==--,即22212x x a +=……………………..12’122112OMN S x y x y ∆=-……………………..13’=2a==……………………..15’ 故OMN ∆的面积为定值2a……………………..16’（解法二）①当直线MN 的斜率不存在时，易得OMN ∆的面积为2a……………………..11’ ②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx t =+()()22222222211210x y a k x kta x a t ay kx t ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩……………………..12’ 由1122(,),(,)M x y N x y ，可得()2221212222212,11a t kta x x x x a k a k --+==++， ()()()2222212121212221t a k y y kx t kx t k x x kt x x x t a k -=++=+++=+又122121OM ON y y k k x x a⋅==-，可得22221t a k =+……………………..13’因为12MN x x =-，……………………..14’ 点O 到直线MN的距离d =……………………..15’12122OMNt S MN d x x ∆=⋅⋅=⋅-2t =22t a==综上：OMN ∆的面积为定值2a……………………..16’ 23、解：(1)当0>d 时，序数列}{n p 为,1,,2,1n n -L ；……………………..2’ 当0<d 时，序数列}{n p 为1,2,,1,n n -L ……………………..4’ (2)因为523)53(1nb b nn n -⋅=-+，……………………..5’当1=n 时，易得12b b >，当2≥n 时，n n b b <+1， 又因531=b ，33)53(3⋅=b ，44)53(4⋅=b ，314b b b <<， 即2314n b b b b b >>>>>L ，故数列}{n b 的序数列为2,3,1,4,,n L ，……………………..8’ 所以对于数列}{n c 有2522<<t ， 解得：54<<t ……………………..10’(3)由于}{12-n d 的序数列单调递减，因此}{12-n d 是递增数列，故01212>--+n n d d ，于是0)()(122212>-+--+n n n n d d d d ，而122)21()21(-<n n，所以||||122212-+-<-n n n n d d d d ，从而0122>--n n d d ， 122121222)1()21(----==-n n n n n d d (1) ……………………..12’ 因为}{2n d 的序数列单调递增，所以}{2n d 是递减数列，同理可得0212<-+n n d d ，故21221221(1)()22n n n nnd d ++--=-= (2) ……………………..14’ 由(1)(2)得：nn n n d d 2)1(11++-=-……………………..15’于是 )()()(123121--++-+-+=n n n d d d d d d d d ……………………..16’122)1(21211--++-+=n n211)21(12111+--⋅+=-n ……………………..17’12)1(3134--⋅+=n n 即数列}{n d 的通项公式为12)1(3134--⋅+=n n n d (*n N ∈)……………………..18’。

高三年级第二学期徐汇区数学学科学习能力诊断卷（文科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分）2013.4一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若函数的反函数图像过点，则= .2．若直线与直线平行，则= .3．若正整数使得行列式，则.4．已知函数的值域为，集合，则.5．已知，且，则=___________.6．已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为__________（结果保留）. 7．已知（为虚数单位）是一元二次方程( 均为实数)的一个根，则=__________.8．如图给出的是计算的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入.9．某国际体操比赛，我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参加, 最终将有3人上场比赛,其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是（结果用最简分数表示）.10．满足条件的目标函数的最大值是.11. 在二项式的展开式中，常数项的值是，则= .12．已知椭圆内有两点为椭圆上一点，则的最大值为.13．如图，有以下命题成立：设点是线段的三等分点，则有.将此命题推广，设点是线段的六等分点，则.14.如图，对正方形纸片进行如下操作：第一步，过点任作一条直线与边相交于点, 记；第二步，作的平分线交边于点,记；第三步，作的平分线交边于点,记；按此作法从第二步起重复以上步骤……，得到，则用和表示的递推关系式是.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知为实数，命题甲：，命题乙：，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16．已知函数，设，则是（）A.奇函数，在上单调递减B.奇函数，在上单调递增C.偶函数，在上递减，在上递增D.偶函数，在上递增，在上递减17．如图,已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是( ) 学科网A．B．C．D．学科网学科网18．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 (0C)”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为，众数为；②乙地：5个数据的中位数为，总体均值为；③丙地：5个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为；则肯定进入夏季的地区有( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分)在中，分别是角的对边，且,若的面积，求的值.20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为.轮船的最大速度为海里/小时.当船速为海里/小时，它的燃料费是每小时元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时元.假定运行过程中轮船以速度匀速航行．（1）求的值；（2）求该轮船航行海里的总费用（燃料费+航行运作费用）的最小值.21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，已知是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是．（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求三棱锥的体积.22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知双曲线的中心在原点，是它的一个顶点，是它的一条渐近线的一个方向向量.(1) 求双曲线的方程；(2) 若过点( )任意作一条直线与双曲线交于两点( 都不同于点)，求的值；(3) 对于双曲线 : ，为它的右顶点，为双曲线 上的两点( 都不同于点)，且，求证：直线与轴的交点是一个定点.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列的前项和为,数列是首项为，公差为的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，对任意的正整数，将集合中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为，求；（3）对（2）题中的，设，，动点满足，点的轨迹是函数的图像,其中是以为周期的周期函数,且当时, ,动点的轨迹是函数的图像，求.（文）参考答案一．填空题:(本题共有14题，每小题4分)1． 2. 3. 42 4. 5. 6. 7. 8.9. 10. 11. 12. ；13. ；14.二．选择题：（本题共有4小题，每小题5分）15．B 16. B 17. B 18. C三．解答题19．（本题12分）解：由条件可知，……………2分即，……………4分………………………………8分由余弦定理,得………………10分于是，. ………………………………………12分20.（本题14分）本题共有2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解：（1）由题意得燃料费，………………………………2分把=10，代入得=0.96.………………………………………………6分（2），……………………………………9分= ，………………………11分其中等号当且仅当时成立，解得，……………13分所以，该轮船航行海里的总费用的最小值为2400（元）. ……………………14分21．（本题12分）本题共有2题，第(1)小题6分,第(2)小题8分. （1），………………………………………1分连接，则为异面直线所成角. ………3分由题意得……………………………………4分………5分所以，异面直线与所成角的大小为……………………………………6分（2）由题意得, …………………………………………………………9分的面积，……………………………………12分，三棱锥的体积为.………………………………………14分22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分, 第（3）小题满分6分.解：(1)设双曲线C的方程为，则，…….2分又，得，所以，双曲线C的方程为. ………….4分(2) 当直线垂直于轴时，其方程为，的坐标为( , )、( , )，，所以=0. ………………..6分当直线不与轴垂直时，设此直线方程为，由得 .设，则, ，……………..8分故.……....9分＋＋=0 .综上，=0. ………………10分(3) 设直线的方程为：，由，得,设，则, ，…………12分由，得，即,………………14分，化简得，或(舍), ……………………………………….15分所以，直线过定点( ,0). ………………………………..16分23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分, 第（3）小题满分8分.解：(1)由条件得，即…………………………..2分所以. ……………………………………………………..4分(2) 由（1）可知,所以，. …………………………..7分由及得依次成递增的等差数列, …………………………..9分所以. …………………………..10分(3)由（2）得,即…………………..12分当时，,由是以为周期的周期函数得，,即. ………………..14分设是函数图象上的任意点，并设点的坐标为,则. ………………..16分而,于是，,所以，. ……………..18分。

2025届上海市徐汇、金山、松江区高三第一次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．2．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则12n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为( )A ．60B ．80C ．90D ．1203．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．24．已知圆锥的高为33体积的比值为( ) A ．53B ．329C ．43D ．2595．已知3log 2a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>6．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，23c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则sin C =（ ） A ．37B ．217C ．2112D ．57198．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4cos sin 3b B C c =，则B =（ ）A ．6π或56πB ．4πC ．3π D ．6π或3π 9．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ） A ．19B ．20C ．21D ．2210．已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1zz +=（ ） A ．32i+ B ．12i+ C ．132i- D ．132i+ 11．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A ．B ．C ．D ．12．若复数z 满足3(1)1z z i +=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．132-+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

专题三 解析几何2013年2月（杨浦区2013届高三一模 理科）17．若1F 、2F 为双曲线C : 1422=-y x 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠21PF F =︒60，则P 到x 轴的距离为 ………（ ）)(A． )(B ． )(C ． )(D ． 17．)(B ；（青浦区2013届高三一模）15．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为………………………………………………（ D ）．A . x y 2±= .B x y 2±=C . x y 21±= D . x y 22±=（嘉定区2013届高三一模 理科）9．点M 是曲线1212+=x y 上的一个动点，且点M 为线段OP 的中点，则动点P 的轨迹方程为__________________． 9．2412+=x y （崇明县2013届高三一模）17、等轴双曲线C ：222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，AB =，则双曲线C 的实轴长等于……………………………………………………………………（ ）AB ．C ．4D ．817、C（黄浦区2013届高三一模 理科）13．已知F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 是双曲线C 的中心，直线y =是双曲线C 的一条渐近线．以线段OF 为边作正三角形MOF ，若点M 在双曲线C上，则m 的值为 ． 13．3+；（松江区2013届高三一模 理科）7．抛物线的焦点为椭圆14522=+y x 的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为 ▲ 7．24y x =（虹口区2013届高三一模）14、设点P 在曲线22+=x y 上，点Q 在曲线2-=x y 上，则PQ 的最小值等于 ． 14、427； （松江区2013届高三一模 理科）14．定义变换T 将平面内的点(,)(0,0)P x y x y ≥≥变换到平面内的点Q ．若曲线0:1(0,0)42x yC x y +=≥≥经变换T 后得到曲线1C ，曲线1C 经变换T 后得到曲线2C L ，依次类推，曲线1n C -经变换T 后得到曲线n C ，当*n N ∈时，记曲线n C 与x 、y 轴正半轴的交点为(,0)n n A a 和(0,)n n B b ．某同学研究后认为曲线n C 具有如下性质： ①对任意的*n N ∈，曲线n C 都关于原点对称； ②对任意的*n N ∈，曲线n C 恒过点(0,2)；③对任意的*n N ∈，曲线n C 均在矩形n n n OA D B （含边界）的内部，其中n D 的坐标为(,)n n n D a b ；④记矩形n n n OA D B 的面积为n S ，则lim 1n n S →∞=其中所有正确结论的序号是 ▲ ． 14． ③④（杨浦区2013届高三一模 理科）3．抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为 . 3．2；（黄浦区2013届高三一模 理科）11．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m 到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点到直线MF 的距离为d ，则d 的值为 ．11．165；（奉贤区2013届高三一模）13、（文）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为____________．文4（青浦区2013届高三一模）3．抛物线22x y =的焦点坐标是____)81,0( ．（奉贤区2013届高三一模）14、（文）椭圆()01342222>=+a ay a x 的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________． 文23a（杨浦区2013届高三一模 理科）5．若直线l :012=--x y ，则该直线l 的倾斜角是 . 5．2arctan ；（金山区2013届高三一模）11．双曲线C ：x 2 – y 2 = a 2的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则双曲线C 的方程为__________．11．14422=-y x（虹口区2013届高三一模）4、双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角大小等于 ． 4、3π；（嘉定区2013届高三一模 理科）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）经过)1,1(与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,26两点，过原点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 上一点M 满足||||MB MA =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：222||2||1||1OM OB OA ++21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）将)1,1(与⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,26代入椭圆C 的方程，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+143231112222b ab a ，…………（2分） 解得32=a ，232=b ．…………（5分）所以椭圆C 的方程为132322=+y x ．…………（6分）（2）由||||MB MA =，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A 、B 关于原点对称．①若点A 、B 在椭圆的短轴顶点上，则点M 在椭圆的长轴顶点上，此时2112211||2||1||122222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++b a a b b OM OB OA ．……（1分） 同理，若点A 、B 在椭圆的长轴顶点上，则点M 在椭圆的短轴顶点上，此时2112211||2||1||122222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++b ab a a OM OB OA ．……（2分） ②若点A 、B 、M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为kx y =（0≠k ）， 则直线OM 的方程为x ky 1-=．设),(11y x A ，),(22y x M ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=132322y x kx y ，解得221213k x +=，2221213k k y +=，……（4分） 所以2221212221)1(3||||k k y x OB OA ++=+==，同理可得2222)1(3||kk OM ++=， 所以2)1(3)2(2)1(321)1(321||2||1||1222222222=++++++++=++k k k k k k OM OB OA ．……（7分） 综上，222||2||1||1OM OB OA ++为定值2．…………（8分）（黄浦区2013届高三一模 理科）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O C的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为F ，其短轴的一个端点到点F ． （1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；（2）若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点，,B D 是椭圆C 上的两相异点，且BD x ⊥轴，求AB AD ⋅u u u r u u u r的取值范围；（3）在椭圆C 的“准圆”上任取一点P ，过点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，试判断12,l l 是否垂直？并说明理由．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．解：（1）由题意知c =a ==，可得1b =，故椭圆C 的方程为2213x y +=，其“准圆”方程为224x y +=． ………………4分（2）由题意，可设(,),(,)B m n D m n -(m <<，则有2213m n +=，又A 点坐标为(2,0)，故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--u u u r u u u r， 故2222(2)44(1)3m AB AD m n m m ⋅=--=-+--u u u r u u u r2244343()332m m m =-+=-, …………………………8分又m <<，故243()[0,732m -∈+，所以AB AD ⋅u u u r u u u r的取值范围是[0,7+． …………………………10分（3）设(,)P s t ，则224s t +=．当s =时，1t =±，则12,l l 其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有12l l ⊥．当s ≠(,)P s t 且与椭圆有一个公共点的直线l 的斜率为k ， 则l 的方程为()y t k x s -=-，代入椭圆C 方程可得223[()]3x kx t ks ++-=，即222(31)6()3()30k x k t ks x t ks ++-+--=，由222236()4(31)[3()3]0k t ks k t ks ∆=--+--=， …………………………13分 可得222(3)210s k stk t -++-=，其中230s -≠， 设12,l l 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是上述方程的两个根，故22122211(4)133t s k k s s ---===---，即12l l ⊥．综上可知，对于椭圆C 上的任意点P ，都有12l l ⊥． …… …………………………16分（虹口区2013届高三一模）21、（本题满分14分）已知圆:O 422=+y x ． （1）直线1l ：0323=-+y x 与圆O 相交于A 、B 两点，求AB ； （2）如图，设),(11y x M 、),(22y x P 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线1PM 、2PM 与y 轴分别交于),0(m 和),0(n ，问n m ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．21、（14分）解：（1）圆心)0,0(O 到直线0323=-+y x 的距离3=d ．圆的半径2=r ，∴2222=-=d r AB ．………………4分 （2）),(11y x M ，),(22y x P ，则),(111y x M --，),(112y x M -，42121=+y x ，42222=+y x ．………………8分1PM ：))(())((212212y y x x x x y y -+=-+，得121221x x y x y x m +-=．2PM ：))(())((212212y y x x x x y y --=-+，得121221x x y x y x n ---=．…………12分∴4)4()4(212222212122212222212122=----=--=⋅x x x x x x x x y x y x n m ………………14分（金山区2013届高三一模）22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．过Ｂ1作直线l 交椭圆于P 、Q 两点．(1) 求该椭圆的标准方程；(2) 若22QB PB ⊥，求直线l 的方程；(3) 设直线l 与圆O ：x 2+y 2=8相交于M 、N 两点，令|MN |的长度为t ，若t ∈[4,，求△B 2PQ 的面积S 的取值范围．22．解：（1）设所求椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为)0,(2c F .因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|=|AB 2|，故∠B 1AB 2=90º，得c =2b …………1分 在Rt △AB 1B 2中，1224AB B S b ∆==，从而20222=+=c b a .………………3分因此所求椭圆的标准方程为：221204x y += …………………………………………4分(2)由(1)知1(2,0),(2,0)B B -,由题意知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为：2x my =-,代入椭圆方程得()2254160m y my +--=,…………………………6分设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则y 1、y 2是上面方程的两根，因此12245my y m +=+，516221+-=⋅m y y ，又()()2112222,,2,B P x y B Q x y =-=-u u u u r u u u u r ，所以 212122)2)(2(y y x x Q B P B +--=⋅2216645m m -=-+………………………………8分由21PB QB ⊥，得22B P B Q ⋅u u u u r u u u u r=0，即216640m -=，解得2m =±；所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x +2y +2=0和x –2y +2=0……………………10分 (3) 当斜率不存在时，直线:l 2-=x ，此时4||=MN ，5516=S ………………11分 当斜率存在时，设直线:l )2(+=x k y ，则圆心O 到直线的距离1|2|2+=k k d ，因此t=721482||22≤+-=k k MN ，得312≥k ………………………………………13分联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1420),2(22y x x k y 得0164)51(222=--+k ky y k ，由韦达定理知， 22212215116,514kk y y k k y y +-=+=+，所以222421)51(454||k k k y y ++=-，因此1214||2S y y =⋅⋅-=.设28153u k u =+≥，，所以S =，所以)5516,35[∈S …15分 综上所述：△B 2PQ 的面积]5516,35[∈S ……………………………………………16分（宝山区2013届期末）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分． 设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点． (1)若2p =，求线段AF 中点M 的轨迹方程；(2) 若直线AB 的方向向量为(1,2)n =r ，当焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭时，求OAB ∆的面积；(3) 若M 是抛物线C 准线上的点，求证：直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列． 解：(1) 设00(,)A x y ，(,)M x y ，焦点(1,0)F ，则由题意00122x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即00212x x y y =-⎧⎨=⎩……………………………………2分所求的轨迹方程为244(21)y x =-，即221y x =-…………………………4分(2) 22y x =，12(,0)F ，直线12()212y x x =-=-，……………………5分由2221y x y x ⎧=⎨=-⎩得，210y y --=， 2511212=-+=y y kAB ……………………………………………7分d =……………………………………………8分 4521==∆AB d S OAB ……………………………………………9分 (3)显然直线MA 、MB 、MF 的斜率都存在，分别设为123k 、k 、k ． 点A 、B 、M 的坐标为11222pA(x ,y )、B(x ,y )、M(-,m)． 设直线AB ：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，代入抛物线得2220p y y p k --=，……………………11分 所以212y y p =-，……………………………………………12分 又2112y px =，2222y px =，因而()22211112222y p p x y p p p +=+=+，()24222212211222222y p p p p p x y p p py y +=+=+=+ 因而()()()22121112122222111222222p y m p y m y y m y m m k k p p p p y p p y p x x ⎛⎫-- ⎪---⎝⎭+=+=+=-++++ (14)分 而30222m mk p p p -==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故1232k k k +=．……………………………………………16分（崇明县2013届高三一模）23、（本题18分，第(1)小题6分；第(2)小题12分） 如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>> 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，2ABF ∆的周长为8，且12AF F ∆面积最大时，12AF F ∆为正三角形．（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ．试探究：① 以PQ 为直径的圆与x 轴的位置关系？② 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．23、解：（122=4,=3b ∴a ，椭圆E 的方程为22+=143x y（2）①由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得方程222(43)84120k x kmx m +++-=由直线与椭圆相切得220,0,430.m k m ≠∆=⇒-+=求得43(,)k P m m -，(4,4)Q k m +，PQ 中点到x 轴距离 223(2)22m d k m=++ 2222212()(1)0(4302)2kPQ d k m m k m-=->-+=⇒≠。

徐汇区高三数学 本卷共5页 第1页2024学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学 试卷（考试时间120分钟 满分150分） 2024.12一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 不等式2430x x -+<的解集为 . 2. 已知函数()y f x =，其中ln ,0()1,0x x f x x >⎧=⎨-≤⎩，则(1)f = .3. 在(1)n x +的二项展开式中，若各项系数和为32，则正整数n 的值为 .4. 已知向量(2,5,1)a = ，(4,,5)b m =，若3a b ⋅= ，则实数m 的值为 .5. 设,R a b ∈，3()3sin f x x x b =++.若函数()y f x =是定义在[,21]a a --上的奇函数， 则a b += .6. 已知m n 、为空间中两条不同的直线，αβ、为两个不同的平面，若m α⊂，n αβ= ，则m //n 是m //β的 条件.（填：“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个） 7. 某景点对30天内每天的游客人数（单位：万人）进行统计，得到 样本的茎叶图（如右图所示），则该样本的第75百分位数是 .8. 已知复数1z 和复数2z 满足121234i,2i z z z z +=+-=-+（i 为虚数单位）， 则2212||z z -=________.9. 设R a ∈，2()ln f x x ax x =++，若函数()y f x =存在两个不同的极值点，则a 的取值范围为__________.徐汇区高三数学 本卷共5页 第2页10. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且213PF F∠=1-，则12PF F ∠的大小为________.11.徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往观展并拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上､下底面直径分别为30cm 和26cm ，下面圆台的上､下底面直径分别为24cm 和18cm ，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等．若上面圆台的高为8cm ，则该花盆上、下两部分母线长的总和为__________cm ．12. 已知定义域为{1,2,3}A =的函数()y f x =的值域也是A ,所有这样的函数()y f x =形成全集B .设非空集合C B ⊆且C 中的每一个函数都是C 中的两个函数(可以相同)的复合函数,则集合C 的元素个数的最小值为__________.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 下列抛物线中，焦点坐标为1(0,8的是（ ） A. 212yx =B. 214y x =C. 212x y =D. 214x y = 14. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（ ）徐汇区高三数学 本卷共5页 第3页A. 40个 B. 45个 C. 50个 D. 55个15. 已知函数()y f x =与它的导函数()y f x '=的定义域均为R . 若函数()y f x =是偶函数且()y f x '=在(),0-∞上是严格增函数，则下列各表中，可能成为()y f x =取值的是（ ）A. x()f x1 2.81882 1.00003 0.3644 40.2468B. x()f x1 0.75802 1.00003 1.3188 41.7979C. x()f x1 2.4132 2 1.00003 1.5885 44.1116D.x()f x1 0.86642 1.00003 1.1188 41.224016.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设nn S t n=（n 为正整数）.若存在常数c ，使得任意两两不相等的正整数,,i j k ，都有()()()k i j i j t j k t k i t c -+-+-=，则称数列{}n a 为“轮换均值数列”. 现有下列两个命题：①任意等差数列{}n a 都是“轮换均值数列”.②存在公比不为1的等比数列{}n b 是“轮换均值数列”. 则下列说法正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①、②都是真命题D. ①、②都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知()sin cos (0)f x a x b x ωωω=+>，若定义在R 上的函数()y f x =的最小正周期为π，且对任意的R x ∈，都有()()412f x f π≤=.（1）求实数,a b 的值；徐汇区高三数学 本卷共5页 第4页（2）设12,(0,)x x π∈，当12x x ≠时，12()()2f x f x ==-，求12x x +的值. 18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD //BC ，2ADC PAB π∠=∠=，12BC CD AD ==. E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成角的大小为2π．（1）求证：CD //平面PBE ； （2）若二面角P CD A --的大小为4π，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值．19. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）某企业招聘员工，指定“英语听说”、“信息技术”、“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案.方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是 123,,p p p （(0,1),1,2,3i p i ∈=），且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.（1）分别求该应聘者选方案一考试通过的概率1T 和选方案二考试通过的概率2T ； （2）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由.徐汇区高三数学 本卷共5页 第5页20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知过点P 的双曲线C的渐近线方程为0x ±=.如图所示，过双曲线C 的右焦点F 作与坐标轴都不垂直的直线l 交C 的右支于A ，B 两点. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）已知点3(,0)2Q ，求证：AQF BQF ∠=∠； （3）若以AB 为直径的圆被直线32x =截得的劣弧为 MN ，则 MN 所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知定义域为D 的函数()y f x =，其导函数为()y f x '=，若点00(,)x y 在导函数()y f x '=图像上，且满足00()()0f x f y ''⋅≥，则称0x 为函数()y f x =的一个“T 类数”，函数()y f x =的所有“T 类数”构成的集合称为“T 类集”. （1）若()sin f x x =，分别判断2π和34π是否为函数()y f x =的“T 类数”，并说明理由； （2）设()y f x '=的图像在R 上连续不断，集合{}|()0M x f x '==.记函数()y f x =的“T 类集”为集合S ，若R S ⊂，求证：M ≠∅；（3）已知1()cos()(0)f x xωϕωω=-+>，若函数()y f x=的“T类集”为R时ϕ的取值构成集合A，求当ϕA∈时ω的最大值.徐汇区高三数学 本卷共5页 第6页徐汇区高三数学 本卷共5页 第7页参考答案2024.12一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．(1,3) 2 . 0 3. 5 4. 2- 5. 1 6. 充要 7. 518.9. (,-∞- 10. 6π11. 12. 2二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. C 14. B 15. B 16. A三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）由()f x 的最小正周期为π可知：2ω=22()sin cos 4,()4,126614216f a b f x a a b πππ=+=≤⎧+=⎪∴⎨⎪+=⎩2a b =⎧⎪⇒⎨=⎪⎩ （2）由（1）可得：()2sin 224sin(2)3f x x x x π=+=+14sin(2)2sin(2)332x x ππ+=-⇒+=-徐汇区高三数学 本卷共5页 第8页72222,3636x k x k ππππππ∴+=-+=+或 121235,(0,),,,412x x x x πππ∈∴== 又1276x x π∴+=.18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）AD //BC ，12BC AD =，E 为棱AD 的中点， BC ∴//ED 且BC ED =，∴四边形BCDE 是平行四边形.∴CD //BE ，又,BE PBE CD ⊂平面不在平面PBE 上， 由线面平行的判定定理知，CD //平面PBE . （2）,2PAB π∠=即PA AB ⊥，且异面直线PA 与CD 所成的角为2π，即PA CD ⊥，又AB CD M = ，,AB CD ⊂平面ABCD ，AP ∴⊥平面ABCD ． 又CD AD ⊥，由三垂线定理，CD PD ∴⊥. 因此PDA ∠是二面角P CD A --的平面角，PDA ∠=4π．PA AD ∴=．不妨设2AD a =，则12BC CD AD a ===. 以A 为坐标原点，平行于CD 的直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，徐汇区高三数学 本卷共5页 第9页建立如图所示的空间直角坐标系，(0,0,2),(0,,0),(,2,0)P a E a C a a ∴-，(0)a >其中则(,,0),(0,,2),(0,0,2)EC a a PE a a AP a =-=-=， 设平面PCE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,0n PE n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得：20,0y z x y -=⎧⎨-+=⎩ 令2y =，则2,1,x z ==(2,2,1)n ∴=.设直线PA 与平面PCE 所成角为θ，则||21sin |cos ,|323||||AP n AP n AP n θ⋅=<>===⨯.法二：过A 作AH CE ⊥，交CE 的延长线于H ，连接PH . 由（1）知：CD //BE ，PA CD ⊥ ，PA BE ∴⊥，,2ADC PAB π∠=∠=即PA AB ⊥，徐汇区高三数学 本卷共5页 第10又AB BE B = ，,AB BE ⊂平面ABCD ，PA ∴⊥平面ABCD ．CE ⊂ 平面ABCD ，PA CE ∴⊥，又AH 是PH 在平面ABCD 上的射影，由三垂线定理知，PH CE ⊥，又PA PH P = ，CE ∴⊥平面PAH ． 再过A 作AI PH ⊥，交PH 于I ，CE ⊥ 平面PAH ，AI ⊂平面PAH ，AI CE ∴⊥，又PH CE H = ，AI ∴⊥平面PCE ，API ∴∠即为直线PA 与平面PCE 的所成角.CD AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ．由三垂线定理，CD PD ∴⊥.因此PDA ∠是二面角P CD A --的平面角，PDA ∠=4π．设1(0)2BC CD AD x x ===>，则2AD PA x ==， ,BC CD CD AD =⊥ ，∴四边形BCDE 为正方形，4CED AEH π∴∠=∠=.AH x ∴=，2tan tan 2xAH API APH PA x ∴∠=∠===1sin 3API ∴∠=， ∴直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为13.19. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分） 解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 ,,A B C ， 则123(),(),()P A p P B p P C p ===. （1）应聘者选方案一考试通过的概率1(()()()T P A B C P A B C P A B C P A B C =+++ 123231132123(1)(1)(1)p p p p p p p p p p p p =-+-+-+1223311232p p p p p p p p p =++-.徐汇区高三数学 本卷共5页 第11应聘者选方案二考试通过的概率2111()()()333T P A B P B C P A C =++ 1223311()3p p p p p p =++. （2）因为123,,(0,1)p p p ∈,所以121223311232()23T T p p p p p p p p p -=++- ]1232313122(1)(1)(1)0,3p p p p p p p p p ⎡=-+-+->⎣ 故12T T >，即选方案一，该应聘者考试通过的概率较大.20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 解：（1）因为双曲线C的渐近线方程为0x =，所以设双曲线方程为223(0)x y λλ-=≠，又双曲线过点P ，则9323λ=-⨯=，所以双曲线的方程为2233,x y -=，即2213x y -=. （2）由（1）可知(2,0)F ，l 的斜率存在且不为0，设l 的方程为(2)y k x =-，联立22(2)33y k x x y =-⎧⎨-=⎩，消去y 得2222(13)121230k x k x k -+--=， 设1122(,),(,)A x y B x y，由题意得212121300(,)0k k x x x x ⎧-≠⎪∆>⎪⇒∈-∞+∞⎨+>⎪⎪⋅>⎩ ， 则21222122121312313k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪-⎨--⎪⋅=⎪-⎩，徐汇区高三数学 本卷共5页 第12所以12121212121212127[2()6](2)(2)2333339()222224AQ BQ k x x x x y y k x k x k k x x x x x x x x -++--+=+=+=-----++ 2222227[2(123)126(13)20,3912312(13)24k k k k k k k --+⨯+-==--+⨯+-所以AQ BQ k k =-， AQF BQF ∠=∠得证．（3）222222(2)(13)12(123)033y k x k x k x k x y =-⎧⇒-+-+=⎨-=⎩， 212120k ∆=+>恒成立，21221213k x x k -+=-， 所以圆心到32x =的距离222263333122(31)k k d k k +=-=--，半径||2AB r ===， 设 MN 所对圆心角为θ，则cos 2d r θ=， 26θπ=，所以3πθ=，即 MN 所对圆心角的大小为定值3π.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 解：（1）00()cos ()0,()cos 012f x x y f f y π'''=∴==== ， 00()()((0)00,2f x f y f f π''''∴⋅=⋅=≥2π∴是函数()sin f x x =的“T 类数”；............... 113()cos ()()cos(04f x x y f f y π'''=∴===> ， 11()()0f x f y ''∴⋅<，34π∴不是函数()sin f x x =的“T 类数”.徐汇区高三数学 本卷共5页 第13（2）因为函数()y f x =的“T 类集”为集合S ，且S R ⊂，所以存在0x R ∈，使得00()y f x '=且00()()0f x f y ''⋅<，若00x y =，则2000()()[()]0f x f y f y '''⋅=≥，所以00x y ≠，因为函数()y f x '=的图像是连续不断的，不妨设00x y <，由零点存在定理知，必存在100(,)x x y ∈使得1()0f x '=， 所以()y f x '=存在零点，即M ≠∅.（3）1()cos()(0)f x x ωϕωω=-+>，1()()[cos()]sin()f x x x x ωϕωϕωϕω'''=-++=+.先证明ωπ≤： 因为函数1()cos()(0)f x x ωϕωω=-+>的“T 类集”为R ，所以对任意0x R ∈，令00()y f x '=，则00()0y f y '⋅≥，因为函数()sin()(0)f x x ωϕω'=+>的值域为[1,1]-，所以当0(0,1]y ∈时，必有0()0f y '≥，即()sin()0(0)f x x ωϕω'=+≥>对于(0,1]x ∈恒成立，所以函数()y f x '=的最小正周期T 应有102T ≥-，即22T πω=≥，则ωπ≤. 再证明0A ∈，此时()sin()f x x ω'=，对于任意0x R ∈，0000()()sin()f x f y y y ω''=. 当00()[0,1]y f x '=∈时，00wy w π≤≤≤，则0()[0,1]f y '∈，00()()0f x f y ''⋅≥； 当00()[1,0]y f x '=∈-时，00w wy π-≤-≤≤，则0()[1,0]f y '∈-，00()()0f x f y ''⋅≥， 所以0ϕ=时函数1()cos()(0)f x x ωϕωω=-+>的“T 类集”为R ，即0A ∈.我们不难发现，上述过程中令ω=π也成立. 因此，ω的最大值是π.徐汇区高三数学 本卷共5页 第14。