2021上海市长宁区高三数学一模

上海市长宁区高三数学上学期期末（暨一模）试题理（含解析）考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应编号的空格内填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是___________________.[考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．.专题：三角函数的图像与性质．分析：先利用二倍角公式化简函数，再求函数的周期．解答：解：函数y=sin2xcos2x=，∴函数y=sin2xcos2x 的最小正周期是=．故答案为：．点评：本题考查二倍角公式，考查三角函数的周期，考查学生的计算能力，正确化简函数是关键2．若集合2{|||2},{|30}M x x N x x x=≤=-≤，则M∩N=_______________.考点：交集及其运算．.专题：集合．分析：利用不等式的性质和交集的定义求解．解答：解：∵集合M={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x2﹣3x≤0}={x|0≤x≤3}，∴M∩N={x|0≤x≤2}=[0，2]．故答案为：[0，2]．点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．3．复数221ii+-=______________.（是虚数单位）考点：复数代数形式的乘除运算．.专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：复数==2i，故答案为：2i．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．4．已知数列{}na的前n项和542nnS-=-⨯，则其通项公式为考点：数列的函数特性．.专题：计算题．分析：由数列{an}的前n项和Sn=5﹣4×2﹣n ，利用公式直接求解．解答：解：a1=S1=5﹣4×2﹣1=3，an=Sn﹣Sn﹣1=（5﹣4×2﹣n）﹣（5﹣4×2﹣n﹣1）=．当n=1时，，∴．故答案为：．点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．5. 已知()214732lim 6752na nn n→∞++++-⎡⎤⎣⎦=--，则a=考点：极限及其运算．.专题：计算题．分析：由等差数列的前n项和公式，把等价转化为=6，进而得到=6，所以，由此能求出a．解答：解：∵，∴=6，=6，∴，解得a=28． 故答案为：28．点评：本题考查数列的极限的运算，角题时要认真审题，仔细解答，注意等差数列前n 项和公式的灵活运用．6. 已知{}3,2,1,1,2,3,---∈b a 且b a ≠，则复数bi a z +=对应点在第二象限的概率为._______（用最简分数表示）考点：古典概型及其概率计算公式．. 专题：计算题．分析：由已知中a ，b ∈{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3}且a≠b ，我们可以列举出所有（a ，b ）点的个数及复数z=a+bi 对应点在第二象限的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，即可得到答案． 解答：解：∵a ，b ∈{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3}且a≠b ， 则（a ，b ）点共有 （﹣3，﹣2），（﹣3，﹣1），（﹣3，1），（﹣3，2），（﹣3，3）， （﹣2，﹣3），（﹣2，﹣1），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣2，3）， （﹣1，﹣3），（﹣1，﹣2），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣1，3）， （1，﹣3），（1，﹣2），（1，﹣1），（1，2），（1，3）， （2，﹣3），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1），（3，1）， （3，﹣3），（3，﹣2），（3，﹣1），（3，1），（3，2），共30种情况 其中a ＜0，b ＞0，即复数z=a+bi 对应点在第二象限共有： （﹣3，1），（﹣3，2），（﹣3，3），（﹣2，1），（﹣2，2）， （﹣2，3），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣1，3），共9种情况 故复数z=a+bi 对应点在第二象限的概率P==故答案为：点评：本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，其中分别计算出基本事件的总数及满足条件的基本事件个数是解答本题的关键．7．已知函数()1log a f x x =+，1()y f x -=是函数()y f x =的反函数，若1()y f x -=的图象过点(2,4)，则a 的值为._________开始 是否 A ＜35A ←1 A ←2A +1 打印考点：反函数．.专题：函数的性质及应用．分析：由y=f ﹣1（x ）的图象过点（2，4）得函数y=f （x ）的图象过点（4，2），把点（4，2）代入y=f （x ）的解析式求得a 的值． 解答：解：∵y=f ﹣1（x ）的图象过点（2，4）， ∴函数y=f （x ）的图象过点（4，2）， 又f （x ）=1+logax ， ∴2=1+log a4，即a=4． 故答案为：4．点评：本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，是基础的计算题． 8．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的 母线与底面所成的角的大小是 .考点：直线与平面所成的角．. 专题：空间角．分析：设出圆锥的半径与母线长，利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长得到圆锥的半径与母线长，进而表示出圆锥的母线与底面所成角的余弦值，也就求出了夹角的度数． 解答：解：设圆锥的母线长为R ，底面半径为r ， 则：πR=2πr ， ∴R=2r ，∴母线与底面所成角的余弦值==， ∴母线与底面所成角是60°． 故答案为：60°．点评：本题用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；注意利用一个角相应的三角函数值求得角的度数．9．根据右面的框图，打印的最后一个数据是 . 考点：程序框图．.专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的A 的值，当A=63，不满足条件A ＜35，结束． 解答：解：执行程序框图，有A=1，A=3，输出A 的值为3，满足条件A ＜35，A=7，输出A 的值为7， 满足条件A ＜35，A=15，输出A 的值为15， 满足条件A ＜35，A=31，输出A 的值为31， 满足条件A ＜35，A=63，输出A 的值为63， 不满足条件A ＜35，结束． 故打印的最后一个数据是63． 故答案为：63．点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．10．已知数列{}n a 是以2-为公差的等差数列，nS 是其前n 项和，若7S 是数列{}n S 中的唯一最大项，则数列{}n a 的首项1a 的取值范围是 .考点：等差数列的性质；等差数列的前n 项和．. 专题：计算题．分析：因为S7是数列{Sn}中的唯一最大项 所以a7大于0 而a8小于0．由此可导出首项a1的取值范围．解答：解：∵S 7是数列{Sn}中的唯一最大项 所以a7大于0，而a8小于0， a1+6d ＞0，a1+7d ＜0， 即 a1﹣12＞0，a1﹣14＜0 得到a1的范围 12＜a1＜14． 故答案：（12，14）．点评：本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．11．五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是 考点：等可能事件的概率．. 专题：计算题．分析：根据题意，首先由排列数公式分析可得5位同学每人随机地抽取1张卡片的情况；进而分两步分析5人中恰好有2人抽取到的贺卡是其本人制作的情况数目，①先在5人中抽出2人，使其抽取到的贺卡是其本人制作的，②分析抽到的都不是其本人制作的3人，由分步计数原理可得其情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案． 解答：解：根据题意，共5张贺卡，5位同学每人随机地抽取1张，有A55=120种情况， 要满足5人中恰好有2人抽取到的贺卡是其本人制作，可以先在5人中抽出2人，使其抽取到的贺卡是其本人制作的，有C52=10种情况， 则剩余的3人，抽到的都不是其本人制作的，有2种情况，则5人中恰好有2人抽取到的贺卡是其本人制作的情况有10×2=20种， 其概率P==；故答案为．点评：本题考查等可能事件概率计算，关键是正确理解“恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的”的含义．12. 已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2226tan 5b c a acB -+=， 则sin B的值是 。

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模）试题一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7～12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合}4,3,2,1{=A ，}5,4,2{=B ,则=B A ______________。

2．不等式01≤+x x的解集为___________________。

3．已知54sin =α，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2cos πα__________。

4．=+-+∞→1313lim 1n n n _____________. 5．已知球的表面积为π16，则该球的体积为____________.6。

已知函数x x f a log 1)(+=，)(1x f y -=是函数)(x f y =的反函数，若)(1x f y -=的图像过点)4,2(，则a 的值为_____________。

7．若数列}{n a 为等比数列,且35=a ，则=-8372a a a a __________。

8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ac c b a c b a =+-++))((， 则=B ___________.9．若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为____________。

2021上海市长宁区⾼三数学⼀模答案2020学年第⼀学期⾼三数学质量检测试卷参考答案与评分标准⼀．填空题（本⼤题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考⽣应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．()1,2- 2．π 3．0 4．3.05．15 6．127．1- 8．[]1,1- 9．1 10．3- 11．19 12．45⼆．选择题(本⼤题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有⼀个正确选项．考⽣应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的⼩⽅格涂⿊．13. B 14. D 15. C 16 . A三、解答题（本⼤题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤．17．（本题满分14分，第1⼩题满分6分，第2⼩题满分8分）解：（1）OP ⊥底⾯OAB由题意⾼h =2r =，所以母线4l = ………………2分圆锥的侧⾯积=S lr 2142221=ππ8= ………………6分（2）取OA 的中点为N ，因为M 为AB 的中点所以//MN OB ，PMN ∠就是直线PM 与直线OB 所成的⾓ ………………2分因为OB OA ⊥，OB OP ⊥，所以OB ⊥平⾯POA ，MN ⊥平⾯POA ，MN PN ⊥ ………………4分在Rt △PNM 中，PN ==112MN OB == …………6分所以PMN ∠即直线PM 与直线OB ………………8分18．（本题满分14分，第1⼩题满分7分，第2⼩题满分7分）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，（1）()1,0F ，得1n = …………2分直线l 的⽅程1x my =+代⼊24y x =得，2440y myx --= 所以124y y m +=，124y y =- …………4分AB ==()2418m =+=所以1m =± …………7分（2）抛物线24y x =的准线⽅程为1x =- …………1分设()31,C y -，由OA 的⽅程为11y y x x =，得13114y y x y =-=- …………4分由（1）知124y y =-，即214y y =-…………6分所以32y y =，BC 平⾏于x 轴 …………7分19．（本题满分14分，第1⼩题满分6分，第2⼩题满分8分）解：（1）连接BD ，由题意ABD ?是等边三⾓形，所以20BD =⼜因为105ADC ∠=，所以45DBC ∠= …………2分在BCD ?中，sin sin BC BD BDC C=∠∠， …………4分得BC=3620≈16（⽶） …………6分（2）设θ=∠ADC ，则3BDC πθ∠=-，23CBD πθ∠=-，在BCD ?中，sin sin sin CD BC BD CBD BDC C ==∠∠∠，所以3BC πθ??=-，23DC πθ??=- …………4分所需板材的长度=40+??? ??-3sin 3340πθ+??? ??-θπ32sin 3340 =θsin 334040+， …………6分答：当2ADC π∠=时，所需板材最长为334040+≈73（⽶）. …………8分20．（本题满分16分，第1⼩题满分4分，第2⼩题满分6分，第3⼩题满分6分）解：（1）当0=a 时，()32f x x x =-，()32f x x x -=-+ 所以()()f x f x =--，()y f x =为奇函数. …………2分当0≠a 时，()11f a =-，()11f a -=+,因为()()11f f -≠±，所以()x f 既不是奇函数也不是偶函数. …………4分（2）原问题可化为122a x x >+在区间??1,21有解，…………1分函数122y x x =+在区间??1,21单调递减, …………3分所以min 52y =, …………4分所以a 的取值范围是5(,)2+∞ …………6分（3）假设存在对称中⼼(),m n ，则()()()3232222222x ax x m x a m x m x n +-+-+---=恒成⽴得()()2232621248442m a x m a x m am m n +-+++-=恒成⽴…………2分所以23262012408442m a m am m am m n +=??+=??+-=?…………4分得3a m =-，322273a a n =+ 所以函数()y f x =有对称中⼼322(,)3273a a a -+ …………6分21．（本题满分18分，第1⼩题满分4分，第2⼩题满分6分，第3⼩题满分8分）解（1）数列{}n a 的通项为n a n =，22a =，33a =， …………2分因为23292a a =不是正整数，所以不是数列{}n a 的项，所以数列{}n a 不是“X 数列”. …………4分（2）数列{}n a 的前n 项和()21n n S n =-∈*N ,所以12n n a -=. …………2分当3n ≥时，取1k m =-，2l m =-， …………4分则221122k l n k n la a a ---===，所以数列{}n a 是“Y 数列”. …………6分（3）证明：记21a q a =，因为数列{}n a 是各项均为正数的递增数列，所以1q >,且当k l >时, 1k la a >. …………1分若k l > ,2k k n k k l l la a a a a a a a ==?>>，则n k l >>.① ………2分因为数列{}n a 是“X 数列”，所以存在i j >,且23i ja a a =，由①知,31i j >>≥，所以2,1i j == 即222311a a a q a ==，即1a ，2a ，3a 成等⽐数列. …………4分因为数列{}n a 是“X 数列”，存在正整数k 、l ()k l >，使得24k l a a a =，由①得，4k l >>,所以3k l ≥>，进⽽22141k l k la a a q a --==，记421n k l =--∈*N . 因为数列{}n a 是“Y 数列”存在正整数m ，使得233312m a a q a a q a ==?=，由1q >，得3m a a >. …………6分若43411n a a q a q =<，再由2314a a q a =<，得423n <<，与4n ∈*N ⽭盾；若341m a a q a >=，则34m a a a <<，与数列{}n a 递增⽭盾，所以341a a q =,即1a ，2a ，3a ，4a 成等⽐数列. …………8分。

长宁区-第一学期高三级质量调研考试 数学试卷 .12考生注意：1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分． 4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B =U 2. 已知1312x -=，则x =3. 在61()x x+的二项展开式中，常数项为 （结果用数值表示）4. 已知向量(3,)a m =r ，(1,2)b =-r，若向量a r ∥b r ，则实数m =5. 若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为6. 已知幂函数()a f x x =的图像过点2(2,)2，则()f x 的定义域为 7. 已知(,)2a ππ∈，且tan 2a =-，则sin()a π-=8. 已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()0()f xg x ≥的解集是9. 如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD 的高度，D 为楼顶，线段AB 的长度为600m ，在A 处测得30DAB ∠=︒，在B 处测得105DBA ∠=︒，且此时看楼顶D 的仰角 30DBC ∠=︒，已知楼底C 和A 、B 在同一水平面上，则此楼高度CD = m（精确到1m ）10. 若甲、乙两位同学随机地从6门课程中选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的 概率为11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n n a a ++=，若数列{}n S 收敛于常数A ，则首项1a 取值的集合为12. 已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123||||||||||||x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有 个元素二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知x ∈R ，则“0x ≥”是“3x >”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 有一批种子，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，下表是 不同发芽天数的种子数的记录：发芽天数 1 2 3 4 5 6 7 8≥种子数82622241242统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（ ） A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 415. 已知向量a r 和b r 夹角为3π，且||2a =r ，||3b =r ，则(2)(2)a b a b -⋅+=r r r r （ ）A. 10-B. 7-C. 4-D. 1- 16. 某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题： 已知函数()y f x =的定义域为D ，12,x x D ∈，① 若当12()()0f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数； ② 若当12()()f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数. 下列判断正确的是（ ）A. ①和②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①和②都是假命题D. ①是假命题，②是真命题三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 求下列不等式的解集： （1）|23|5x -<； （2）442120x x -⋅->18. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四 个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢 结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD . （1）已知4AD CD m ==，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15︒，求立柱PD 的长； （精确到0.01m ）（2）求证：四面体PDBC 为鳖臑.19. 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，复数1i z a b =+，2cos icos z A B =+，（其中i 是虚数单位），且123i z z ⋅=.（1）求证：cos cos a B b A c +=，并求边长c 的值； （2）判断△ABC 的形状，并求当3b =时，角A 的大小.20. 已知函数2()1f x x mx =-++，()2sin()6g x x πω=+.（1）若函数()2y f x x =+为偶函数，求实数m 的值；（2）若0ω>，2()()3g x g π≤，且函数()g x 在[0,]2π上是单调函数，求实数ω的值； （3）若1ω=，若当1[1,2]x ∈时，总有2[0,]x π∈，使得21()()g x f x =，求实数m 的取值 范围.21. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2a a =. （1）若数列{}n a 是等差数列，且815a =，求实数a 的值；（2）若数列{}n a 满足22n n a a +-=（n *∈N ），且191019S a =，求证：{}n a 是等差数列；（3）设数列{}n a 是等比数列，试探究当正实数a 满足什么条件时，数列{}n a 具有如下性质M ：对于任意的2n ≥（n *∈N ），都存在m *∈N ，使得1()()0m n m n S a S a +--<，写出你的探究过程，并求出满足条件的正实数a 的集合.长宁区-第一学期高三级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．}6,4,3,2,1{ 2．1 3．20 4．6-5．π33 6．),0(+∞ 7．552 8．)2,1[ 9．212 10．209 11．⎭⎬⎫⎩⎨⎧31 12．3二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．B 14．B 15．D 16．C三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由5|32|<-x 得 5325<-<-x ，……………………4分 解得 41<<-x ．所以原不等式的解集是 )4,1(-．…………………………………6分 （2）原不等式可化为()()22260x x +->， ……………………4分 因为220x+>，所以62>x， ……………………………………5分 解得 6log 2>x ． ………………………………………7分所以原不等式的解集是()2log 6,+∞． ……………………………8分 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）解：因为侧棱⊥PD 底面ABCD ，则侧棱PB 在底面ABCD 上的射影是DB ，所以PBD ∠就是侧棱PB 与底面ABCD 所成的角，即︒=∠15PBD ．……2分 在PDB ∆中，)(24,9022m CD AD DB PDB =+=︒=∠， ………3分由DB PDPBD =∠tan 得 2415tan PD =︒，解得 )(52.1m PD =． ………5分 所以立柱PD 的长约为 m 52.1． ………………………………6分（2）由题意知底面ABCD 是长方形，所以BCD ∆是直角三角形． ………………………2分 因为侧棱⊥PD 底面ABCD ， 得BC PD DB PD DC PD ⊥⊥⊥,,，所以PDC ∆、PDB ∆是直角三角形． …………………………4分因为DC BC ⊥，PD BC ⊥，又D DC PD =I ，PD DC ,≠⊂平面PDC ， 所以⊥BC 平面PDC ． …………………………………………6分 又因为PC ≠⊂平面PDC ，所以PC BC ⊥，所以PBC ∆ 为直角三角形． …………………………………7分 由鳖臑的定义知，四面体PDBC 为鳖臑． ………………………8分 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）证明：由余弦定理得 bc a c b A ac b c a B 2cos ,2cos 222222-+=-+=，则 bca cb b ac b c a a A b B a 22cos cos 222222-+⋅+-+⋅=+ca cbc b c a 22222222-++-+=c = 所以 c A b B a =+cos cos ． ……………………………3分 由题意得 (i)(cos icos )3i a b A B +⋅+=， 即 3i )i cos cos ()cos -cos (=++A b B a B b A a ，由复数相等的定义可得0cos -cos =B b A a ，且3cos cos =+A b B a ，………………………5分 即 3=c ． ………………………………………………6分（2）由（1）得 0cos -cos =B b A a ． ………………………1分 由正弦定理得 0cos sin cos sin =⋅-⋅B B A A ，即 B A 2sin 2sin =． ……………………………………………………2分 因为 ),0(π∈A 、),0(π∈B ， 所以 B A 22= 或 π=+B A 22， 即 B A =或2π=+B A ，即B A =或2π=C ．所以 ABC ∆知等腰三角形或直角三角形．………………………………4分当B A =时，32cos 2cA b == ，所以6A π=； ……………………6分当2π=C 时，3sin 3b A c ==，所以3arcsin 3A = ． ……………8分20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）设()()2h x f x x =+，则()()221h x x m x =-+++ 由于()h x 是偶函数，所以对任意R ∈x ，()()h x h x -=成立．……2分 即 1)2(1))(2()(22+++-=+-++--x m x x m x 恒成立． 即 0)2(2=+x m 恒成立， …………………………………3分 所以 02=+m ，解得 2-=m ．所以所求实数m 的值是 2-=m ． …………………………………4分 （2）由()2()3g x g π≤， 得22,362k k Z πππωπ⋅+=+∈ ，即132k ω=+()k Z ∈ ………2分 当[0,]2x π∈时，[,]6626x ππωππω+∈+()0ω>，因为sin y x =在区间[,]62ππ的单调递增， 所以262ωπππ+≤，再由题设得203ω<< …………………………5分所以12ω=． ……………………………………6分（3）设函数()f x 在[]1,2上的值域为A ，()g x 在[]0,π上的值域为B ， 由题意和子集的定义，得A B ⊆．………………………………………2分 当],0[π∈x 时，]67,6[6πππ∈+x ，]2,1[)(-∈x g ． ………………3分 所以当[]1,2x ∈时，不等式2112x mx -≤-++≤恒成立，由[]1,1,2m x x x ≤+∈恒成立，得2m ≤， 由[]2,1,2m x x x≥-∈恒成立，得1m ≥，综上，实数m 的取值范围为[]1,2 ． ………………6分 其它做法，对应给分。

2021年上海市长宁区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．（4分）不等式201x x -<+解集为 ． 2．（4分）函数sin(2)6y x π=-的最小正周期为 ．3．（4分）计算：121lim 31n nn +→∞+=- ． 4．（4分）数组2.7、3.1、2.5、4.8、2.9、3.6的中位数为 ．5．（4分）在61()x x+的二项展开式中，2x 项的系数为 ．6．（4分）若函数()y f x =的反函数1()log (0,1)a f x x a a -=>≠图象经过点3(8,)2，则1()2f -的值为 ．7．（5分）若直线1201x y k-+=的法向量与直线10x y +-=的方向向量垂直，则实数k = ．8．（5分）设集合2{|1}M x x =，{}N b =，若MN M =，则实数b 的取值范围为 ．9．（5分）设F 为双曲线222:1(0)y x b bΓ-=>的右焦点，O 为坐标原点，P 、Q 是以OF 为直径的圆与双曲线Γ渐近线的两个交点．若||||PQ OF =，则b = ．10．（5分）在ABC ∆中，3AB =，2AC =，点D 在边BC 上．若1AB AD =，53AD AC =，则AB AC 的值为 ．11．（5分）设O 为坐标原点，从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取两个不同的元素x 、y ，组成A 、B 两点的坐标(,)x y 、(,)y x ，则12arctan 3AOB ∠=的概率为 ． 12．（5分）设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若数列{}n a 满足：存在三个不同的正整数r ，s ，t ，使得r a ，s a ，t a 成等比数列，2r a ，2s a ，2t a 也成等比数列，则1990nnS S a +的最小值为 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）设复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位），则“0a =”是“z 为纯虚数”的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．（5分）对任意向量a 、b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．22()||a b a b +=+B ．22()()a b a b a b +-=-C ．||||||a b a b D ．||||||||a b a b --15．（5分）设m 、n 为两条直线，α、β为两个平面，则下列命题中假命题是( )A ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥B ．若//m n ，m α⊥，//n β，则αβ⊥C ．若m n ⊥，//m α，//n β，则//αβD ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ16．（5分）设123()|||||2|f x x b kx b x b =-+---，其中常数0k >，1b ，2b ，3b R ∈，若函数()y f x =图象如图所示，则数组1(b ，2b ，3)b 的一组值可以是()A ．(3，1-，1)B ．(1，2-，1)-C ．(1-，2，2)D ．(1，3-，1)三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，高为32． （1）求该圆锥的侧面积；（2）设OA 、OB 为该圆锥的底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，求直线PM 与直线OB 所成的角的正切值，18．（14分）设抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，直线:0l x my n --=经过F 且与Γ交于A 、B 两点．（1）若||8AB =，求m 的值；（2）设O 为坐标原点，直线AO 与Γ的准线交于点C ，求证：直线BC 平行于x 轴． 19．（14分）某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域ABCD 沿边界围成一个封闭的留观区．经测量，边界AB 与AD 的长度都是20米，60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒．（1）若105ADC ∠=︒，求BC 的长（结果精确到米）；（2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）．20．（16分）设32()2()f x x ax x x R =+-∈，其中常数a R ∈．（1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； （2）若不等式33()2f x x >在区间1[2，1]上有解，求实数a 的取值范围； （3）已知：若对函数()y h x =定义域内的任意x ，都有()(2)2h x h m x n +-=，则函数()y x =的图象有对称中心(,)m n ．利用以上结论探究：对于任意的实数a ，函数()y f x =是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标（用a 表示）；若不是，证明你的结论．21．（18分）若对于数列{}n a 中的任意两项可i a ，()j a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使得2i m ja a a =，则称数列{}n a 为“X 数列”若对于数列{}n a 中的任意一项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项k a ，()l a k l >，使得2k n la a a =，则称数列{}n a 为“Y 数列”．（1）若数列{}n a 为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列{}n a 是否为“X 数列”，并说明理由；（2）若数列{}n a 的前n 项和21(*)n n S n N =-∈，求证：数列{}n a 为“Y 数列”； （3）若数列{}n a 为各项均为正数的递增数列，且既为“X 数列”，又为“Y 数列”，求证：1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列．2021年上海市长宁区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）不等式201x x -<+解集为 {|12}x x -<< ． 【解答】解：由不等式不等式201x x -<+，可得(2)(1)0x x -+<，解得12x -<<， 故答案为{|12}x x -<<． 2．（4分）函数sin(2)6y x π=-的最小正周期为 π ．【解答】解：函数sin(2)6y x π=-的最小正周期是：22ππ=． 故答案为：π．3．（4分）计算：121lim 31n nn +→∞+=- 0 ． 【解答】解：1212()2133lim lim 013113n n nnn n n+→∞→∞⨯++==--． 故答案为：0．4．（4分）数组2.7、3.1、2.5、4.8、2.9、3.6的中位数为 3.0 ． 【解答】解：该组数据按从小到大排列为：2.5，2.7，2.9，3.1，3.6，4.8； 所以这组数据的中位数为1(2.9 3.1) 3.02⨯+=． 故答案为：3.0．5．（4分）在61()x x+的二项展开式中，2x 项的系数为 15 ．【解答】解：根据二项式定理，61()x x +的通项为6621661()r r r r rr T C x C x x--+==，0r =，1，2，⋯，6，当622r -=时，即2r =时，可得2315T x =，即2x 项的系数为15， 故答案为：15．6．（4分）若函数()y f x =的反函数1()log (0,1)a f x x a a -=>≠图象经过点3(8,)2，则1()2f -的值为12． 【解答】解：由已知可得3log 82a =，即328a =，解得4a =，所以14()log f x x -=，再令41log 2x =-，即124x -=，解得12x =，由反函数的定义可得11()22f -=， 故答案为：12． 7．（5分）若直线1201x y k-+=的法向量与直线10x y +-=的方向向量垂直，则实数k =1- ．【解答】解：直线1201x y k-+=，即(1)1(2)0k x y ⨯--⨯+=，即20kx y k ---=， 直线1201x y k-+=的法向量与直线10x y +-=的方向向量垂直，∴这两条直线互相平行，故它们的斜率相等，即1k =-， 故答案为：1-．8．（5分）设集合2{|1}M x x =，{}N b =，若MN M =，则实数b 的取值范围为[1-，1] ．【解答】解：2{|1}{|11}M x x x x ==-，M N M =，N M ∴⊆，{}N b =，11b ∴-．故答案为：[1-，1]．9．（5分）设F为双曲线222:1(0)yx bbΓ-=>的右焦点，O为坐标原点，P、Q是以OF为直径的圆与双曲线Γ渐近线的两个交点．若||||PQ OF=，则b=1．【解答】解：如图，可得(2cP，)2c，又点P在渐进线by xa=上，∴22c b ca=，整理得：1ba=，又1a=，1b∴=，故答案为：110．（5分）在ABC∆中，3AB=，2AC =，点D在边BC上．若1AB AD=，53AD AC=，则AB AC 的值为3-．【解答】解：由已知设AD xAB y AC=+，且1x y+=，因为1AB AD=，53AD AC=，所以()15()3AB xAB y ACAC xAB y AC⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即91543x y AB ACy xAB AC⎧+⋅=⋯⋯⎪⎨+⋅=⋯⋯⎪⎩①②，结合1x y+=，消去AB AC，得195431x yxyx y-⎧=⎪⎪-⎨⎪+=⎪⎩，解得12,33x y==，代入①式，可得3AB AC=-．故答案为：3-．11．（5分）设O 为坐标原点，从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取两个不同的元素x 、y ，组成A 、B 两点的坐标(,)x y 、(,)y x ，则12arctan 3AOB ∠=的概率为19． 【解答】解：x ，{1y ∈，2，3，4，5，6，7，8，9}且y x ≠，∴数对(,)x y 共有9872⨯=个．12arctan 3AOB ∠=，2233tan 241()3AOB ∴∠==-，4cos 5AOB ∴∠=，又连接原点O 和(,)A x y ，(,)B y x 两点，得(,)OA x y ==，(,)OB y x =， 则2224cos 5||||OA OB xy AOB x y OA OB ∠===+，即(2)(2)0x y x y --=，即2y x =，或12y x =， ∴满足12arctan 3AOB ∠=的数对有：(1,2)，(2,4)，(3,6)，(4,8)，(2,1)，(4,2)，(6,3)， (8,4)，共8个，12arctan 3AOB ∴∠=的概率81729P ==．故答案为：19．12．（5分）设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若数列{}n a 满足：存在三个不同的正整数r ，s ，t ，使得r a ，s a ，t a 成等比数列，2r a ，2s a ，2t a 也成等比数列，则1990nnS S a +的最小值为 45 ． 【解答】解：根据题意，数列{}n a 为等差数列，设n a pn q =+，若存在三个不同的正整数r ，s ，t ，使得r a ，s a ，t a 成等比数列，2r a ，2s a ，2t a 也成等比数列，则有22()()()(2)(2)(2)pr q pt q ps q pr q pt q ps q ⎧++=+⎨++=+⎩，即()()222222224444p rt pq t r p s pqs p rt pq t r p s pqs ⎧++=+⎪⎨++=+⎪⎩①② 联立①②，变形可得222p rt p s =，又由等差数列{}n a 的公差不为0，即0p ≠，则有2rt s =，代入①式可得()2pq r t pqs +=，又由r ，s ，t 互不相等且2rt s =，则2r t s +≠，必有0q =，则n a pn =，所以11S a p ==，1()(1)22n n a a n n n pS +⨯+==， 故1(1)9909909901222nnn n p S S n a pn n +++==++，设9901()22n f n n =++，则990199011()22222n f nn n =++⨯=， 当且仅当21880n =时等号成立，此时n 不是正整数，不符合题意， 而4344<<， 所以9904311936(43)432243f =++=，990441(44)454422f =++=， 所以(43)(44)f f >， 所以1990nnS S a +的最小值为45， 故答案为：45．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）设复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位），则“0a =”是“z 为纯虚数”的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位），当0a =，且0b ≠时，z 为纯虚数，则“0a =”是“z 为纯虚数”必要非充分条件， 故选：B ．14．（5分）对任意向量a 、b ，下列关系式中不恒成立的是()A ．22()||a b a b +=+B ．22()()a b a b a b +-=-C ．||||||a b a bD ．||||||||a b a b --【解答】解：因为22||a a =，所以22()||a b a b +=+正确，所以A 正确；22()()a b a b a b +-=-，满足向量的运算法则，所以B 正确； ||||||cos ,||||a b a b a b a b =<>，所以C 正确；如果两个向量是相反向量，||||||||a b a b --，不正确，所以D 不正确；故选：D ．15．（5分）设m 、n 为两条直线，α、β为两个平面，则下列命题中假命题是( )A ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥B ．若//m n ，m α⊥，//n β，则αβ⊥C ．若m n ⊥，//m α，//n β，则//αβD ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ【解答】解：对于A ：由于m α⊥，n β⊥，所以直线m 和n 相当于平面α和β的法向量，由于m n ⊥，所以αβ⊥，故A 正确；对于B ：由于m α⊥，//n β，所以m 相当于α的法向量，由于//m n ，则αβ⊥，故B 正确；对于C ：由于m n ⊥，//m α，//n β，则αβ⊥，故C 正确； 对于D ：由于//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ，故D 正确． 故选：C ．16．（5分）设123()|||||2|f x x b kx b x b =-+---，其中常数0k >，1b ，2b ，3b R ∈，若函数()y f x =图象如图所示，则数组1(b ，2b ，3)b 的一组值可以是()A ．(3，1-，1)B ．(1，2-，1)-C ．(1-，2，2)D ．(1，3-，1)【解答】解：由图象可知，当x →+∞时，123123()2(1)()f x x b kx b x b k x b b b =-+--+=--+-恒为负值，所以1k =，1230b b b +->，即123b b b +>，观察选项可知，只有A 选项中123b b b +>， 故选：A ．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，高为23，底面半径为2． （1）求该圆锥的侧面积；（2）设OA 、OB 为该圆锥的底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，求直线PM 与直线OB 所成的角的正切值，【解答】解：（1）由题意知，23h =，2r =，∴圆锥的母线224l h r =+=，∴圆锥的侧面积112422822S l r πππ==⨯⨯⨯=．（2）取OA 的中点N ，连接MN ，PN ，M 为AB 的中点，//MN OB ∴，PMN ∴∠或其补角即为直线PM 与直线OB 所成的角， OB OA ⊥，OB OP ⊥，OA OP O =，OA 、OP ⊂平面POA ，OB ∴⊥平面POA ，MN ∴⊥平面POA ，MN PN ∴⊥，在Rt PMN ∆中，PN ==112MN OB ==，tan PNPMN MN∴∠== 故直线PM 与直线OB．18．（14分）设抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，直线:0l x my n --=经过F 且与Γ交于A 、B 两点．（1）若||8AB =，求m 的值；（2）设O 为坐标原点，直线AO 与Γ的准线交于点C ，求证：直线BC 平行于x 轴． 【解答】解：（1）根据题意，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，则(1,0)F ，直线:0l x my n --=经过点F ，则有100n --=，解可得1n =，直线l 的方程为1x my =+，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩可得：2440y my --=，则有124y y m +=，124y y =-，又由||8AB =，则2||4(1)8AB m =+=， 解可得1m =±，（2）根据题意，抛物线2:4y x Γ=的准线为1x =-，设3(1,)C y -，由直线OA 的方程11y y x x =， 则有13114y y x y =-=-， 又由124y y =-，则214y y =-，故2314y y y ==-，故直线BC平行于x 轴． 19．（14分）某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域ABCD 沿边界围成一个封闭的留观区．经测量，边界AB 与AD 的长度都是20米，60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒．（1）若105ADC ∠=︒，求BC 的长（结果精确到米）；（2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）．【解答】解：（1）连接BD ，在ABD ∆中，因为60BAD ∠=︒，AB AD =，所以ABD ∆为等边三角形，所以20BD =，因为105ADC ∠=︒，所以1056045BDC ∠=︒-︒=︒， 在BCD ∆中，由正弦定理可得sin120sin 45BC BC =︒︒，所以20616BC =≈千米，（2）连接BD ，2BD AD ==，且60ADB ∠=︒，可得2BD =， 在BCD∆中，由余弦定理可得222222232cos120()()()()24BC CD BD BC CD BC CD BC CD BC CD BC CD BC CD +=+-︒=+-+-=+，所以2241600()33BC CD BD +=，所以403()max BC CD +=，所以四边形ABCD 的周长为：403()202073max AB BC CD AD +++=++≈米．20．（16分）设32()2()f x x ax x x R =+-∈，其中常数a R ∈．（1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； （2）若不等式33()2f x x >在区间1[2，1]上有解，求实数a 的取值范围； （3）已知：若对函数()y h x =定义域内的任意x ，都有()(2)2h x h m x n +-=，则函数()y x =的图象有对称中心(,)m n ．利用以上结论探究：对于任意的实数a ，函数()y f x =是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标（用a 表示）；若不是，证明你的结论．【解答】解：（1）当0a =时，3()2f x x x =-，显然()()f x f x -=-，函数()f x 是奇函数， 当0a ≠，f （1）1a =-，(1)1f a -=+，(1)f f -≠±（1），故()f x 既不是奇函数也不是偶函数；（2）原问题转化为122a x x >+在区间1[2，1]上有解，函数122y x x =+在区间1[2，1]上单调递减，故52min y =，故a 的取值范围是5(2，)+∞；（3）假设存在对称中心(,)m n ，则32322(2)(2)2(2)2x ax x m x a m x m x n +-+-+---=恒成立，得2232(62)(124)8442m a x m a x m am m n +-+++-=恒成立，故23262012408442m a m am m am m n +=⎧⎪+=⎨⎪+-=⎩， 故3a m =-，322273a an =+， 故函数()y f x =的对称中心是(3a -，322)273a a+． 21．（18分）若对于数列{}n a 中的任意两项可i a ，()j a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使得2i m ja a a =，则称数列{}n a 为“X 数列”若对于数列{}n a 中的任意一项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项k a ，()l a k l >，使得2k n la a a =，则称数列{}n a 为“Y 数列”．（1）若数列{}n a 为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列{}n a 是否为“X 数列”，并说明理由；（2）若数列{}n a 的前n 项和21(*)n n S n N =-∈，求证：数列{}n a 为“Y 数列”； （3）若数列{}n a 为各项均为正数的递增数列，且既为“X 数列”，又为“Y 数列”，求证：1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列．【解答】解：（1）数列{}n a 的通项公式为：n a n =，22a =，33a =，23292a a =不是整数，故不是数列{}n a 的项， 故数列{}n a 不是“X 数列”；（2）数列{}n a 的前n 项和*21()n n S n N =-∈，故12n n a -=，当3n 时，取1K m =-，2l m =-，则221122k l n k n la a a ---===，故数列{}n a 是“Y 数列”， （3）证明：记21a q a =，而数列{}n a 为各项均为正数的递增数列， 故1q >且当k l >时，1k laa >，若k l >，2k kn k k l l la a a a a a a a ==⨯>>，则n k l >>①， 数列{}n a 为“X 数列”，故存在i j >，且23i ja a a =，由①知：31i j >>，故2i =，1j =，即222311a a a q a ==，即1a ，2a ，3a 成等比数列，数列{}n a 是“X 数列”，存在正整数k ，()l k l >，使得24k la a a =，由①得：4k l >>，故3k l >，从而22141k l k la a a q a --==，记*421n k l N =--∈，数列{}n a 是“Y 数列”，存在正整数m ，使得233312m a a q a a q a ==⨯=，由1q >，得3m a a >，若43411na a q a q =<，再由2314a a q a =<，得423n <<，与*4n N ∈矛盾，若341m a a q a >=，则34m a a a <<，与数列{}n a 递增矛盾， 故341a a q =，即1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列．。

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,l2中的一条相交15．(5分)对任意两个非零的平面向量和,定义,其中θ为和的夹角,假设两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角；③和的值都在集合中,那么的值为()A．B．C．1 D．16．(5分)函数,且f1 (x ) =f (x ) ,f n (x ) =f (f n﹣1 (x ) ) ,n=1 ,2 ,3 ,…．那么满足方程f n (x ) =x的根的个数为()A．2n个B．2n2个C．2n个D．2 (2n﹣1 )个三.解答题(本大题共5题,共14 +14 +14 +16 +18 =76分)17．(14分)如图,设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB =BC =3 ,AA1 =4．(1 )求四棱锥A1﹣ABCD的体积；(2 )求异面直线A1B与B1C所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)18．(14分)复数z满足,z2的虚部为2．(1 )求复数z；(2 )设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C ,求△ABC的面积．19．(14分)一根长为L的铁棒AB欲通过如下图的直角走廊,走廊的宽AC =BD =2m．(1 )设∠BOD =θ ,试将L表示为θ的函数；(2 )求L的最|小值,并说明此最|小值的实际意义．20．(16分)函数f (x ) =2x +2﹣x．(1 )求证：函数f (x )是偶函数；(2 )设a∈R ,求关于x的函数y =22x +2﹣2x﹣2af (x )在x∈[0 , +∞)时的值域g (a )表达式；(3 )假设关于x的不等式mf (x )≤2﹣x +m﹣1在x∈(0 , +∞)时恒成立,求实数m的取值范围．21．(18分)数列{a n}满足：a1 =1 ,,n∈N*．(1 )求数列{a n}的通项公式；(2 )设数列{b n}的前n项和为S n ,且满足,试确定b1的值,使得数列{b n}为等差数列；(3 )将数列中的局部项按原来顺序构成新数列{c n} ,且c1 =5 ,求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{c n}．2021年上海市长宁区、嘉定区高|考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题(本大题共12题,1 -6每题4分,7 -12每题5分,共54分) 1．(4分)集合A ={1 ,2 ,3 ,4} ,B ={2 ,4 ,5} ,那么A∩B ={2 ,4} ．【解答】解：∵集合A ={1 ,2 ,3 ,4} ,B ={2 ,4 ,5} ,∴A∩B ={2 ,4}．故答案为：{2 ,4}．2．(4分)不等式的解集为(﹣1 ,0] ．【解答】解：∵,∴或,解得：﹣1＜x≤0 ,故答案为(﹣1 ,0]．3．(4分),那么=．【解答】解：∵sinα =,∴cos ( +α ) =﹣sinα =﹣．故答案为：﹣4．(4分)=．【解答】解：==,∴=,故答案为：．5．(4分)球的外表积为16π ,那么该球的体积为．【解答】解：一个球的外表积是16π ,所以球的半径为：2 ,所以这个球的体积为：=．故答案为：．6．(4分)函数f (x ) =1 +log a x ,y =f﹣1 (x )是函数y =f (x )的反函数,假设y =f﹣1 (x )的图象过点(2 ,4 ) ,那么a的值为4．【解答】解：∵y =f﹣1 (x )的图象过点(2 ,4 ) ,∴函数y =f (x )的图象过点(4 ,2 ) ,又f (x ) =1 +log a x ,∴2 =1 +log a4 ,即a =4．故答案为：4．7．(5分)假设数列{a n}为等比数列,且a5 =3 ,那么=18．【解答】解：根据题意,=a2•a8﹣a3• (﹣a7 ) =a2•a8 +a3•a7 ,又由数列{a n}为等比数列,且a5 =3 ,那么有a2•a8 =a3•a7 =9 ,那么=9 +9 =18；故答案为：18．8．(5分)设△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a ,b ,c , (a+b+c ) (a﹣b+c ) =ac ,那么B =．【解答】解：△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a ,b ,c ,∵(a +b +c ) (a﹣b +c ) =ac ,即a2 +c2﹣b2 =﹣ac ,又cosB ==﹣,∴B =,故答案为：．9．(5分)假设的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256 ,那么该展开式中常数项的值为1120．【解答】解：由题意可知,2n =256 ,解得n =8．∴=,其展开式的通项=,令8﹣2r =0 ,得r =4．∴该展开式中常数项的值为．故答案为：1120．10．(5分)函数f (x )是定义在R上且周期为4的偶函数,当x∈[2 ,4]时,,那么的值为．【解答】解：∵函数f (x )是定义在R上且周期为4的偶函数,∴,又当x∈[2 ,4]时,,∴f () =f () =．故答案为：．11．(5分)数列{a n}的前n项和为S n ,且a1 =1 ,2S n =a n•a n+1 (n∈N* )．假设b n = (﹣1 )n,那么数列{b n}的前n项和T n =﹣1 +．【解答】解：∵2S n =a n•a n +1 (n∈N* )．=a n﹣1•a n ,当n≥2时,2S n﹣1∴2a n =2S n﹣2S n﹣1 =a n (a n +1﹣a n﹣1 ) ,∵a1 =1 ,∴a n≠0﹣a n﹣1 =2 ,∴a n+1﹣a n ) + (a n﹣a n﹣1 ) =2 ,∴(a n+1∴a n﹣a n﹣1 =1 ,∴数列{a n}是以1为首|项,以1为公差的等差数列,∴a n =1 + (n﹣1 ) =n ,∴b n = (﹣1 )n= (﹣1 )n•= (﹣1 )n• ( +) ,数列{b n}的前n项和T n=﹣(1 +) +( +)﹣( +) +… +(﹣1 )n• ( +) ,当n为偶数时,T n =﹣1 +,当n为奇数时,T n =﹣1 +﹣( +) =﹣1﹣,综上所述T n =﹣1 +,故答案为：﹣1 +．12．(5分)假设不等式x2﹣2y2≤cx (y﹣x )对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立,那么实数c的最|大值为2﹣4．【解答】解：∵不等式x2﹣2y2≤cx (y﹣x )对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立,∴c≤=,令,∴=f (t ) ,f′ (t ) ==,当t时,f′ (t )＞0 ,函数f (t )单调递增；当1＜t＜时,f′ (t )＜0 ,函数f (t )单调递减．∴当t =2 +时,f (t )取得最|小值,=2﹣4．∴实数c的最|大值为2﹣4．故答案为：﹣4．二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13．(5分)设角α的始边为x轴正半轴,那么"α的终边在第|一、二象限〞是"sinα＞0〞的()A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵角α的始边为x轴正半轴,∴"α的终边在第|一、二象限〞⇒"sinα＞0〞,"sinα＞0〞⇒"α的终边在第|一、二象限或α的终边在x轴正半轴〞,∴"α的终边在第|一、二象限〞是"sinα＞0〞的充分非必要条件．应选：A．14．(5分)假设直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,那么以下命题正确的选项是()A．l与l1 ,l2都不相交B．l与l1 ,l2都相交C．l至|多与l1 ,l2中的一条相交D．l至|少与l1 ,l2中的一条相交【解答】解：A．l与l1 ,l2可以相交,如图：∴该选项错误；B．l可以和l1 ,l2中的一个平行,如上图,∴该选项错误；C．l可以和l1 ,l2都相交,如以下图：,∴该选项错误；D．"l至|少与l1 ,l2中的一条相交〞正确,假设l和l1 ,l2都不相交；∵l和l1 ,l2都共面；∴l和l1 ,l2都平行；∴l1∥l2 ,l1和l2共面,这样便不符合的l1和l2异面；∴该选项正确．应选D．15．(5分)对任意两个非零的平面向量和,定义,其中θ为和的夹角,假设两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角；③和的值都在集合中,那么的值为()A．B．C．1 D．【解答】解：∵=cosθ =,=cosθ =,m∈N ,由与的夹角θ∈(0 ,) ,知cos2θ =∈(,1 ) ,故mn =3 ,m ,n∈N ,∵,∴0＜=＜1 ,∴m =1 ,n =3 ,∴=,应选：B．16．(5分)函数,且f1 (x ) =f (x ) ,f n (x ) =f (f n﹣1 (x ) ) ,n=1 ,2 ,3 ,…．那么满足方程f n (x ) =x的根的个数为()A．2n个B．2n2个C．2n个D．2 (2n﹣1 )个【解答】解：当x∈[0 ,]时,f1 (x ) =f (x ) =2x =x ,解得x =0；当x∈(,1]时,f1 (x ) =f (x ) =2﹣2x =x ,解得x =,∴f的1阶根的个数是2．当x∈[0 ,]时,f1 (x ) =f (x ) =2x ,f2 (x ) =4x =x ,解得x =0；当x∈(,]时,f1 (x ) =f (x ) =2x ,f2 (x ) =2﹣4x =x ,解得x =；当x∈(,]时,f1 (x ) =2﹣2x ,f2 (x ) =﹣2 +4x =x ,解得x =；当x∈(,1]时,f1 (x ) =2﹣2x ,f2 (x ) =4﹣4x =x ,解得x =．∴f的2阶根的个数是22．依此类推∴f的n阶根的个数是2n．应选C．三.解答题(本大题共5题,共14 +14 +14 +16 +18 =76分)17．(14分)如图,设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB =BC =3 ,AA1 =4．(1 )求四棱锥A1﹣ABCD的体积；(2 )求异面直线A1B与B1C所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)【解答】解：(1 )∵A1到平面ABCD的距离d =AA1=4 ,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB =BC =3 ,=AB×BC =3×3 =9 ,∴S正方体ABCD∴四棱锥A1﹣ABCD的体积V ==．(2 )∵A1B∥D1C ,∴∠D1CB1是异面直线A1B与B1C所成角(或所成角的补角) ,∵B1D1 ==3,B1C =D1C ==5 ,∴cos∠D1CB1 ===,∴∠D1CB1 =arccos．∴异面直线A1B与B1C所成角为．18．(14分)复数z满足,z2的虚部为2．(1 )求复数z；(2 )设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C ,求△ABC的面积．【解答】解：(1 )设z =a +bi (a ,b∈R ) ,由可得：,即,解得或．∴z =1 +i或z =﹣1﹣i；(2 )当z =1 +i时,z2 =2i ,z﹣z2 =1﹣i ,∴A (1 ,1 ) ,B (0 ,2 ) ,C (1 ,﹣1 ) ,故△ABC的面积S =×2×1 =1；当z =﹣1﹣i时,z2 =2i ,z﹣z2 =﹣1﹣3i ,∴A (﹣1 ,﹣1 ) ,B (0 ,2 ) ,C (﹣1 ,﹣3 ) ,故△ABC的面积S =×2×1 =1．∴△ABC的面积为1．19．(14分)一根长为L的铁棒AB欲通过如下图的直角走廊,走廊的宽AC =BD =2m．(1 )设∠BOD =θ ,试将L表示为θ的函数；(2 )求L的最|小值,并说明此最|小值的实际意义．【解答】解：(1 )∵走廊的宽AC =BD =2m．∠BOD =∠BAC =θ ,∴；(2 )∵∴．∵θ∈(0 ,) ,L′＜0 ,L为减函数；θ∈(,) ,L′＞0 ,L为增函数；∴θ =时,L取最|小值4,该最|小值表示：超过那么无法通过．20．(16分)函数f (x ) =2x +2﹣x．(1 )求证：函数f (x )是偶函数；(2 )设a∈R ,求关于x的函数y =22x +2﹣2x﹣2af (x )在x∈[0 , +∞)时的值域g (a )表达式；(3 )假设关于x的不等式mf (x )≤2﹣x +m﹣1在x∈(0 , +∞)时恒成立,求实数m的取值范围．【解答】证明：(1 )∵函数f (x ) =2x +2﹣x的定义域关于原点对称,且f (﹣x ) =2﹣x +2x =2x +2﹣x =f (x ) ,故函数f (x )是偶函数；解：(2 )令t =f (x ) =2x +2﹣x．那么t≥2 ,22x +2﹣2x =t2﹣2y =22x +2﹣2x﹣2af (x ) =t2﹣2at﹣2 ,当a≤2时,当t =2时,函数取最|小值2﹣4a ,无最|大值；此时函数的值域为[2﹣4a , +∞) ,a＞2时,当t =a时,函数取最|小值﹣a2﹣2 ,无最|大值；此时值域为[﹣a2﹣2 , +∞)；(3 )假设关于x的不等式mf (x )≤2﹣x +m﹣1在x∈(0 , +∞)时恒成立即m (2x +2﹣x )≤2﹣x +m﹣1在x∈(0 , +∞)时恒成立即m≤=1﹣=1﹣在x∈(0 , +∞)时恒成立当x =1时,2﹣x =,此时(2﹣x )2﹣2﹣x +1取最|小值,故取最|大值,故1﹣取最|小值﹣故．21．(18分)数列{a n}满足：a1 =1 ,,n∈N*．(1 )求数列{a n}的通项公式；(2 )设数列{b n}的前n项和为S n ,且满足,试确定b1的值,使得数列{b n}为等差数列；(3 )将数列中的局部项按原来顺序构成新数列{c n} ,且c1 =5 ,求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{c n}．【解答】解：(1 ),那么﹣=4 ,n∈N*∴数列{}是以1为首|项,以4为公差的等差数列,那么=1 +4 (n﹣1 ) =4n﹣3 ,∴,∴数列{a n}的通项公式；(2 )由(1 )可得,= (4n +1 )S n +16n2﹣8n﹣3 ,∵,∴(4n﹣3 )S n+1∴﹣=1 ,∴数列{}是等差数列,首|项为S1 ,公差为1．∴=b1 +n﹣1 ,∴S n = (b1 +n﹣1 ) (4n﹣3 ) ,当n≥2时,b n =S n﹣S n﹣1 = (b1+n﹣1 ) (4n﹣3 )﹣(b1+n﹣2 ) (4n﹣7 ) ,化为b n =4b1 +8n﹣11 ,假设数列{b n}为等差数列,那么上式对于n =1时也成立,∴b1 =4b1﹣3 ,解得b1 =1．∴b n =8n﹣7为等差数列．∴b1 =1 ,数列{b n}为等差数列；(3 )证明：由(1 )可得=4n﹣3．解法1：令等比数列{c n}的公比q =4m (m∈N* ) ,那么c n =c1q n﹣1 =5×4m (n﹣1 ) ,设k =m (n﹣1 ) ,因为1 +4 +42 +… +4k﹣1 =,所以5×4m (n﹣1 ) =5×[3 (1 +4 +42 +… +4k﹣1 ) +1] , =3[5 (1 +4 +42 +… +4k﹣1 ) +2]﹣1 ,… (14分)因为5 (1 +4 +42 +… +4k﹣1 ) +2为正整数,所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列,因为公比q =4m (m∈N* )有无数个不同的取值,对应着不同的等比数列,故无穷等比数列{c n}有无数个．… (16分)解法2：设c2 =4k2﹣3 (k2≥3 ) ,所以公比q =．因为等比数列{b n}的各项为整数,所以q为整数,取k2 =5m +2 (m∈N* ) ,那么q =4m +1 ,故c n=5• (4m +1 )n﹣1 ,由4k n﹣3 =5• (4m +1 )n﹣1得,k n =[5 (4m +1 )n﹣1 +3] (n∈N* ) ,而当n≥2时,k n﹣k n﹣1 =[ (4m +1 )n﹣1﹣(4m +1 )n﹣2] =5m (4m +1 )n﹣2 ,即k n =k n﹣1 +5m (4m +1 )n﹣2,… (14分)又因为k1 =2 ,5m (4m +1 )n﹣2都是正整数,所以k n也都是正整数,所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列,因为公比q =4m +1 (m∈N* )有无数个不同的取值,对应着不同的等比数列,故无穷等比数列{c n}有无数个．… (16分)。

上海市2021年高三数学一模汇编：三角函数长宁19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域ABCD 沿边界围成一个封闭的留观区. 经测量，边界AB 与AD 的长度都是20米，60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒.（1）若105ADC ∠=︒，求BC 的长（结果精确到米）；（2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）.杨浦18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数k ∈R , 2()cos 3sin cos f x k x x x =+, x ∈R . （1）若()f x 是奇函数, 求实数k 的值;（2）设1k =, ABC △中, 内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,. 若()1f A =, 7a =, 3b =,求ABC △的面积S .19. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）进博会期间，有一个边长80m 的正方形展厅OABC ， 由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O 为圆心，60m 为半径的扇形ODE 作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地PGBF ，矩形有两条边分别落在边AB 和BC 上，设∠POA=α51212ππα⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭． （1）用α表示矩形PGBF 的面积，并求出当矩形PGBF 为正方形时的面积（精确到21m ）； （2）当α取何值时，矩形PGBF 的面积S PGBF 最大？并求出最大面积（精确到21m ）．松江18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知函数2()cos cos 1f x x x x =++．（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若对任意的x R ∈，2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，求实数k 的取值范围．19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，矩形ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：6AD =米，6AE =米，2AP =米，4MPN π∠=．记EPM θ∠=（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S 平方米． （1）分别求线段PM 、PN 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）求S 的最小值．普陀区17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设a 为常数，函数1)22cos(2sin )(+-+=x x a x f π（R ∈x ） （1）设3=a ，求函数)(x f y =的单调递增区间及频率f ；（2）若函数)(x f y =为偶函数，求此函数的值域.18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()sin()6f x x πω=+(0)ω>的最小正周期为π.（1）求ω与()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，若()12Af =，求sin sin B C +的取值范围.闵行18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数2()cos 222x x xf x =+ （1）求函数在区间[]0,π上的值域；（2）若方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解，求ω的取值范围．()f x14．（本题满分16分；第1小题7分，第2小题9分）如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔CD 和EF ．张明在只有量角器（可以测量从测量人出发的两条射线的夹角）和直尺（可测量步行可抵达的两点之间的直线距离）的条件下，为了计算塔CD 的高度，他在点A 测得点D 的仰角为 30， 75=∠CAB ，又选择了相距100米的B 点，测得 60=∠ABC ． （1）请你根据张明的测量数据求出塔CD 高度；（2）在完成（1）的任务后，张明测得 90=∠BAE ，并且又选择性地测量了两个角的大小（设为α、β）．据此，他计算出了两塔顶之间的距离DF ． 请问：①张明又测量了哪两个角？（写出一种测量方案即可）②他是如何用α、β表示出DF 的？（写出过程和结论）金山17．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)已知a 、b 、c 是ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边，34=a ，6=b ，31cos -=A ． (1) 求c ；(2) 求B 2cos 的值．嘉定18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数)(cos )(x x f ω= （0>ω）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数)()4π(3)(x f x f x g --=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 的值域； （2）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π,0A ， 21)(-=A f ，ABC △的面积为33，2=-c b ，求a 的值．黄浦18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 在ABC ∆中，内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若A 为钝角，且2sin 0a B =.(1) 求角A 的大小；(2) 记B x =，求函数()cos cos()3f x x x π=++的值域.虹口18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）已知函数)1()1()1()(22-+-++=a x a x a x f ，其中R a ∈． （1）当)(x f 是奇函数时，求实数a 的值；（2）当函数)(x f 在),2[+∞上单调递增时，求实数a 的取值范围．奉贤区19、在①3=ac ；②3sin =A c ；③三边成等比数列．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；若问题中的三角形不存在，请说明理由．问题：是否存在ABC ∆，它的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且B A sin 3sin =，6π=C ，______________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．崇明18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）已知函数21()sin 22f x x x =．（1）求函数()y f x =的最小正周期；（2）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若锐角A 满足()f A =，6C π=， 2c =，求ABC △的面积．宝山1. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)（ω＞0，－π2＜φ＜π2）最小正周期为2π，且f (x )的图象过坐标原点．（1）求ω、φ的值；（2）在△ABC 中，若＋＝2 f (A )▪f (B )▪f (C )＋，且三边a 、b 、c 所对的角依次为A 、B 、C ．试求b ·f (B ＋C )c 的值．答案长宁区19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）连接BD ，由题意ABD ∆是等边三角形，所以20BD =又因为105ADC ∠=，所以45DBC ∠= …………2分 在BCD ∆中，sin sin BC BDBDC C=∠∠， …………4分 得BC=3620≈16（米） …………6分 （2）设θ=∠ADC ， 则3BDC πθ∠=-，23CBD πθ∠=-， 在BCD ∆中，sin sin sin CD BC BDCBD BDC C==∠∠∠，所以3BC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，23DC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭…………4分 所需板材的长度=40+⎪⎭⎫ ⎝⎛-3sin 3340πθ+⎪⎭⎫⎝⎛-θπ32sin 3340=θsin 334040+， …………6分 答：当2ADC π∠=时，所需板材最长为334040+≈73（米）. …………8分杨浦18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）(1) 解: 由题意()00==k f （2分）检验： ()cos =f x x x 对任意x ∈R 都有()()()cos =cos =()-=----f x x x x x f x （5分）∴()f x 是奇函数 ∴0k =.（6分）(2)解: 2()cos cos 1f A A A A ==, 整理得π1sin 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,（8分）A 是三角形的内角∴π3A =（10分） 由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=, 即219726c c+-=整理得2320c c -+=,解得1c =或2c =（12分）1sin 24==S bc A ,或2.（14分）徐汇19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】(1)S ＝（80-60cos α）（80-60sin α），51212ππα⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，-----------------3分当矩形PGBF 为正方形时，4πα=，此时S PGBF =(280-≈1412（2m ）-------6分(2)S ＝3600sin αcos α－4800(sin α＋cos α)＋6400＝1800sin2α－48002sin(α+4π)＋6400 ＝－1800cos(2α+2π)－48002sin(α+4π)＋6400＝3600 sin 2(α+4π)－48002sin(α+4π)＋4600，51212ππα⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭-----------10分记t ＝sin(α+4π)∈[2,1],则236004600S t =-+对称轴为t ＝322，∵1－322＜322∴t 即∴α＝12π或512π时， max 1421S ≈（2m ）------------------------------------------------------14分（注意：若令sin cos t αα=+，则相应给分）松江18.已知2()cos cos 1f x x x x =++（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若对任意的x R ∈，2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，求k 的取值范围．解：（1）2()cos cos 1f x x x x =++cos21133212cos2sin(2)2222262x x x x x π+=++=++=++ ………3分 ∴()f x 的为最小正周期22T ππ==， ………5分 值域为 15()[,]22f x ∈ ……………7分 （2）记()f x t = ，则15[,]22t ∈ ，…………………8分由2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，知220t kt --≤恒成立， 即22kt t ≥-恒成立，∵0t > ∴ 222t k t t t -≥=- ……………11分 ∵ 2()g t t t =- 在15[,]22t ∈时单调递增max 55417()()22510g t g ==-=∴k 的取值范围是1710k ≥……………14分青浦19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解：（1）在∆PME 中，EPM θ∠=，PE =AE -AP =4米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-， 由正弦定理得sin sin PM PEPEM PME=∠∠，所以sin 43sin sin cos sin()4PE PEM PM PME πθθθ⨯∠===∠+-， 同理在∆PNE 中，由正弦定理得sin sin PN PEPEN PNE=∠∠，所以sin sin cos sin()2PE PEN PN PNE πθθ⨯∠===∠-， 当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=,即arctan3APD ∠=，π3ππtan 3tan 344arc arc θ=--=-，所以3π0tan 34arc θ≤≤-；（2）∆PMN 的面积S 1sin 2PM PN MPN =⨯⨯∠24cos sin cos θθθ=+ 41cos 21sin 222θθ=++88sin 2cos 2)4πθθθ==++1++1， 因为3π0tan 34arc θ≤≤-，所以当242ππθ+=即30,tan 384atc ππθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦时， S1)= 所以可视区域∆PMN面积的最小值为1)平方米．普陀17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【解】（1）当3=a 时，1)62sin(212cos 2sin 3)(++=++=πx x x x f ……2分由226222πππππ+≤+≤-k x k ，得63ππππ+≤≤-k x k ，所以此函数的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππk k ，Z k ∈. ……4分 频率f ππ122==.……6分 （2）定义域R =D ，因为函数)(x f y =为偶函数，所以对于任意的R ∈x ，均有)()(x f x f =-成立.……7分即=+-+-1)2cos()2sin(x x a 12cos 2sin ++x x a ……9分也即02sin 2=x a 对于任意实数x 均成立，只有0=a .……11分 此时12cos )(+=x x f ，因为12cos 1≤≤-x ，……12分 所以22cos 10≤+≤x ，故此函数的值域为]2,0[.……14分浦东18．解：（1） 2ω=()f x 的单调递增区间：222262k x k πππππ-≤+≤+即36k x k ππππ-≤≤+()f x 的单调递增区间,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k Z ∈（2）()sin(2)6f x x π=+，由()12A f =，sin()16A π+=，(0,)A π∈，3A π=由A B C π++=，23B C π+=，23B C π=-23sin sin sin()sin sin )326B C C C C C C ππ+=-+=+=+ 250,3666C C ππππ<<∴<+<，1sin()126C π<+≤ sin sin B C +的取值范围为⎝ 闵行18．[解]（1）()f x x x =+， ………………………2分所以()2sin()4f x x π=+， ………………………4分因为函数在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数， 所以当4x π=时，()f x 的最大值为2，当x π=时，()f x的最小值为．所以函数的值域为]2,2[-． ………………………6分 （2）()2sin()(0)4f x x πωωω=+>………………………8分由(f x ω得sin()=42x πω+ 所以2=2=2()4343x k x k k ππππωπωπ++++∈Z 或…………………10分 所以225==()1212k k x x k ππππωωωωω++∈Z 或．由于方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解， 所以只需[]5,0,1212πππωω∈， ………………………12分 解得512ω≥，所以ω的取值范围为5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． ………………………14分 静安14．解：（1）在ABC ∆中，45180=∠-∠-=∠CBA CAB ACB ，（1分）由正弦定理，有ACBABCBA AC ∠=∠sin sin ，（3分） ()f x所以，65045sin 60sin 100=⨯=AC 米．（2分） DAC AC CD ∠=tan25030tan 650=⋅= 米．（1分）（2）由（1）有2100=AD 米． 测得α=∠ABF ，β=∠DAF ．（2分） 由已知，有EF AB ⊥，AE AB ⊥， 所以，AEF AB 平面⊥，得AF AB ⊥．所以，ααtan 100tan ==AB AF ．（2分） 在ADF ∆中，由余弦定理，有=DF βcos 222AF AD AF AD ⋅-+（3分）βααcos tan 22tan 21002-+=米．（2分） 【另解1】测得α=∠ABF ，β=∠DBF ．解得，αsec 100=BF ，)13(50+=BC ，32650+=BD ．在BDF ∆中，由余弦定理，有DF βααcos sec 3264sec 4326502+-++=米．（同样给分） 【另解2】测得α=∠ABE ，β=∠EAF ．（2分） 由已知，有EF AB ⊥，AE AB ⊥， 所以，AEF AB 平面⊥，得AF AB ⊥． 所以，αtan 100=AE ．（2分） 在ACE ∆中，由余弦定理，有EC 15cos tan 61000015000tan 100002αα-+=米．（2分） βαtan tan 100=EF 米． （1分） 截取CDEG =，则，=DF 22EC FG +ααβαtan )326(6tan 4)2tan tan 2(5022+-++-=米． （2分） 【另解3】测得α=∠ABE ，β=∠EBF ．（2分）由已知，有EF AB ⊥，AE AB ⊥， 所以，AEF AB 平面⊥，得AF AB ⊥． 解得，αsec 100=BE ．（2分） 在ACE ∆中，由余弦定理，有EC 15cos tan 61000015000tan 100002αα-+=米． （2分） βαtan sec 100=EF 米． （1分）截取CDEG =，则，=DF 22EC FG +ααβαtan )326(6tan 4)2tan sec 2(5022+-++-=米． （2分）金山17．解：(1) 在ABC △中，由余弦定理得，A bc c b a cos 2222-+=，………………………………2分即)31(6236482-⨯⨯⨯-+=c c ， ………………………………………………………………4分整理，得01242=-+c c ，…………………………………………………………………………6分解得2=c ； …………………………………………………………………………………………7分 (2)在ABC△中，由余弦定理得，acb c a B 2cos 222-+=，……………………………………9分得33cos =B ，……………………………………………………………………………………11分311cos 22cos 2-=-=B B . ……………………………………………………………………14分嘉定18、（1）因为函数)(cos )(x x f ω=的最小正周期为π，由 π||π2==ωT ，2||=ω， 又因为0>ω，所以2=ω． 此时x x f 2cos )(=，则得 x x x g 2cos 4π2cos 3)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=，即 x x x g 2cos 2sin 3)(-=，即)6π2sin(2)(-=x x g ．当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-65π,6π6π2x ，[]2,1)6π2sin(2-∈-x ， 所以所求函数的值域为[]2,1-．（2）由题意得 212cos -=A ． 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π,0A ，则得 ()π,02∈A ，所以 32π2=A ，解得 3π=A ． 因为ABC △的面积为33，则得 33sin 21=A bc ，即 333πsin 21=bc ， 即 12=bc ．又因为 2=-c b ，由余弦定理，得 bc c b A bc c b a -+=-+=2222cos 2bc c b +-=2)(41222=+=，所以 4=a ．黄浦18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解 (1)ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，2sin 0a B =，∴ 根据正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，2sin 0a B =可化为22sin sin 2sin 0(0,sin 0)R A B R B B B π⋅=<<≠．∴ sin A =A 为钝角，即2A ππ<<，34A π∴=. (2)B x =，A BC π++=，344C x x πππ∴=--=-，且04x π<<. ∴()cos cos()3f x x x π=++1cos cos 2x x x =+sin()3x π=-.又04x π<<，可得1263x πππ<-<.考察函数sin y x =的图像，可知sin sin()123x ππ<-<.3sin()1232x ππ<-<. 所以函数()f x的值域是3,)122π. (写成3)2也可以) 虹口19、（14分）解：（1）由条件，得505303PA PB ==, 15,9PA PB ==，……2分 则222159165cos 215927APB +-∠==⨯⨯ ,所以5arccos 27APB ∠=； (6)（2）由条件①，得505303PA PB ==，可设5,3PA t PB t ==，其中28t <<……8分22222(5)(3)1617128cos 25315t t t APB t t t +--∠==⨯⨯ , sin APB ∠=……10分 则=∆PAB S 11165322h t t ⨯⨯=⨯⨯=900)34(440961088162224+--=-+-t t t当t =,PA PB ==时，h 取得最大值15千米. …………13分 即当PA =千米，PB =.…………14分奉贤居民生活区 北崇明18.解：（1）1cos2)()sin 2sin(2)2232x f x x x π+=-=--...........................4分所以函数()y f x =的最小正周期2||T ππω==...........................6分（2）由()f A =1sin(2)=32A π- 因为(0,)2A π∈，所以22(,)333A πππ-∈-，所以2=36A ππ-，4A π=...........................3分所以22224cos 24b c a b A bc b +--===b =...........................6分所以1sin 12ABCSbc A ==...........................8分 宝山19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．解：（1）依题意，可得 2π ω＝2π，所以ω＝1，故f (x )=sin(x ＋φ)，因为f (x )的图象过坐标原点，所以f (0)＝0，即 sin φ=0，注意到－π2＜φ＜π2，因此，φ=0．（2） 由（1）得f (x )=sin x ，故由已知，可得2sin 2B ＋3sin 2C ＝2sin A ▪sin B ▪sin C ＋sin 2A ，利用正、余弦定理，并整理得sin A －cos A ＝b 2＋2c 22bc ，因为 b 2＋2c 22bc ≥2，所以 sin A －cos A ≥2，又sin A －cos A ＝≤2，所以sin A －cos A ＝2，且b =2c ，A ＝3π4， 故b ·f (B ＋C )c ＝2c ·sin(B ＋C )c＝2sin A ＝1．。

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a >0，b >0，a +b =1，若 α=11a b a bβ+=+，，则αβ+的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．62．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．323．中，如果，则的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形4．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为 A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+ B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+ C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+5．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．174π B ．214π C ．4π D ．5π6．已知i 是虚数单位，则复数24(1)i =-（ ）A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点P 为平行四边形外一点，且AP OB ，BP OA ，则DP =（ ）A ．2DA DC +B ．32DA DC + C ．2DA DC +D ．3122DA DC +9．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ） A ．1B ．1或12C 3D ．3 10．设直线l 的方程为20()x y m m -+=∈R ，圆的方程为22(1)(1)25x y -+-=，若直线l 被圆所截得的弦长为5则实数m 的取值为 A ．9-或11B ．7-或11C ．7-D ．9-11．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2B 3C ．3D 5A ．i -B ．iC ．1-D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。