(完整word)上海市高三数学一模填选难题解析

上海高中2024年高三第一次模拟考试（数学试题含解析）请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆ 2．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 3．已知数列{}n a 中，112,()1,n n n a n a a a n N *+=-=+∈ ，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),21,-∞-⋃+∞B ．(][),22,-∞-⋃+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]2,2- 4．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >>5．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ）A ．23-B ．23C ．3D ．-36．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：参加用户比 40% 40% 10% 10%脱贫率 95% 95% 90% 90%那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）A ．2728倍B ．4735倍C ．4835倍D ．75倍 7．已知函数()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,0)2-B ．1(2,)2-C ．(1,1)-D ．1(,1)28．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．2D ．－2 9．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）10．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（ ）A ．170B ．10C ．172D ．12 11．下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2x y = B ．21log 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．21log y x = D ．14y x =12．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）．A ．122B ．112C ．102D ．92二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

* 上海 2012-2015 高考填选难题解析2015 年13.（理）已知函数 f (x ) = sin x ，若存在 x 1 、 x 2 、…、 x m 满足 0 ≤ x 1 < x 2 < ... < x m ≤ 6π ，且 | f (x 1 ) - f (x 2 ) | + | f (x 2 ) - f (x 3 ) | +...+ | f (x m -1) - f (x m ) | = 12 (m ≥ 2, m ∈ N的最小值为；【解析】根据题意，| f ( x m -1 ) - f ( x m ) | ≤ 2 ，如图所示，最少需要 8 个数) ，则m13.（文）已知平面向量 a 、b 、c 满足 a ⊥ b ，且{| a |,| b |,| c |} = {1, 2, 3} ，则| a + b + c | 的最大值是；【解析】平方后可知 c 与 a + b 同向时，取最大， 情况不是很多，可以列举法，如图可得最大值为3 + 514. 在锐角三角形 ABC 中， tan A = 1， D 为边 BC 上的点，△ ABD 与△ ACD 的面积分2别为 2 和 4，过 D 作 DE ⊥ AB 于 E ， DF ⊥ AC 于 F ，则DE DF ⨯u u u r u u u r =；【解析】取特殊情况 AB = AC ，根据题意 DC = 2DB ， 设 DB = a ，则 DC = 2a ，∵ tan A = 1 ，∴ tanA=5 - 22 23( 5 + 2)a 4可表示高 h = ，∵△ ABC 面积为 6，∴ h =2 a即 4 = 3( 5 + 2)a ，解得 a 2 = 8( 5 - 2) ， DE = a sin B a 2 3DF = 2a sin B ，∴ DE ⋅ DF = 2a 2 sin 2 B ⋅ cos ∠EDF = 2a 2 cos 2 A ⋅ (- cos A ) = - 162 1517.（理）记方程①：x 2 + a 1 x +1 = 0 ；方程②：x 2 + a 2x + 1 = 0 ；方程③：x 2+ a 3x +1 = 0 ；其中 a 1 、 a 2 、 a 3 是正实数，当 a 1 、 a 2 、 a 3 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无 实数根的是（）A. 方程①有实根，且②有实根B. 方程①有实根，且②无实根C. 方程①无实根，且②有实根D. 方程①无实根，且②无实根nnn【解析】A 选项，方程①有实根说明 a 2≥ 4 ，方程②有实根说明 a 2≥ 4 ，并不能推出是递12增还是递减，也就无法得出 a 2 < 4 ；B 选项， a 2 ≥ 4 ， a 2 < 4 ，说明递减，则 a 2< 4 ，3 1 2 3可推出方程③无实数根；C 、D 选项同理分析，均不对，故选 B ； 17.（文）已知点 A 的坐标为 (43,1) ，将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转3π至OB ，则B 点纵坐标为（）3 3 5 3 11 13 A.B.C.D.2222【解析】设 ∠AOx = θ ，∴ sin= 1， cos = 4 3 ， 7 7∴，根据题意， B 点纵坐标可表示为 7 sin( +) ，3∴ 7 s in( + ) = 7 s in ⋅ 1 + 7 c os ⋅ 3 = 133 2 2 2n*18、设(),n n n x y P 是直线21nx y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim1n n n y x →∞-=-（ ） A ．1- B ．12-C ．1D ．2 【解析】当 n → ∞ 时，直线方程趋近于 2x - y = 1，与圆 x 2+ y 2= 2 在第一象限的交点逐 渐靠近 (1,1) ，而y n -1可看作点 P (x , y ) 与点 (1,1) 连线的斜率，这两个点是越来越靠近x n -1的，它的斜率会逐渐接近圆 x 2+ y 2= 2 在点 (1,1) 处的切线的斜率，斜率为 -1，故选 A ；a b13. 某游戏的得分为1、2 、3 、4 、5 ，随机变量ξ 表示小白玩该游戏的得分，若 E (ξ ) = 4.2 ， 则小白得 5 分的概率至少为；【解析】设得 i 分的概率为 p i ，∴ p 1 + 2 p 2 + 3 p 3 + 4 p 4 + 5 p 5 = 4.2 ，且 p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 = 1 ，∴ 4 p 1 + 4 p 2 + 4 p 3 + 4 p 4 + 4 p 5 = 4 ，与前式相减得：-3 p 1 - 2 p 2 - p 3 + p 5 = 0.2 ，∵ p i ≥ 0 ，∴ -3 p 1 - 2 p 2 - p 3 + p 5 ≤ p 5 ，即 p 5 ≥ 0.214. 已知曲线 C : x = - 4 - y 2，直线 l : x = 6 ，若对于点 A (m , 0) ，存在 C 上的点 P 和 l 上的 Q 使得 AP + AQ = 0 ，则 m 的取值范围为；x + x 【解析】根据题意，A 是 PQ 中点，即 m = P Q=x P + 6 ，∵ -2 ≤ x ≤ 0 ，∴ m ∈[2, 3] 2 2 P17. 已知 P 1 (a 1 , b 1 )与 P 2 (a 2 , b 2 ) 是直线 y = kx +1（ k 为常数）上两个不同的点，则关于 x 和 ⎧a x + b y = 1 y 的方程组 ⎨1 1的解的情况是（ ）⎩a 2 x + b 2 y = 1A. 无论 k , P 1 , P 2 如何，总是无解B. 无论 k , P 1 , P 2 如何，总有唯一解C. 存在 k , P 1 , P 2 ，使之恰有两解D. 存在 k , P 1 , P 2 ，使之有无穷多解a 1b 1 【解析】由已知条件 b 1 = ka 1 +1， b 2 = ka 2 +1， D =2 2= a 1b 2 - a 2b 1 = a 1 (ka 2 +1) -a 2 (ka 1 +1) = a 1 - a 2 ≠ 0 ，∴有唯一解，选 B ；⎧(x - a )2 , ⎪x ≤ 018. 设 f (x ) = ⎨ 1 ，若 f (0) 是 f (x ) 的最小值，则 a 的取值范围为（）⎪x + + a , x > 0 ⎩ x A. [-1 , 2]B. [-1 , 0]C. [1 , 2]D. [0 , 2]【解析】先分析 x ≤ 0 的情况，是一个对称轴为 x = a 的二次函数，当 a < 0 时，f (x )min = f (a ) ≠ f (0) ，不符合题意，排除 AB 选项；当 a = 0 时，根据图像 f (x )min = f (0) ，即 a = 0 符合题意，排除 C 选项；∴选 D ；解这类题要熟悉图像，找出关键区别点；13. 在 xOy 平面上，将两个半圆弧 (x -1)2+ y 2= 1 (x ≥ 1) 和 (x - 3)2+ y 2= 1 (x ≥ 3) 、两 条直线 y = 1和 y = -1围成的封闭图形记为 D ，如图中阴影部分．记 D 绕 y 轴旋转一周而 成的几何体为 Ω ．过 (0, y ) (| y |≤ 1) 作 Ω 的水平截面，所得截面面积为 2418y ππ-+试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出 Ω 的体积值为.【解析】题目中已经给出截面面积为 4 1- y 2 + 8 ；所以根据祖暅原理，构造一个平放的圆柱和一个长方 体（题中有提示，如下图所示），圆柱的底面半径为 1， 高为 2 ，长方体底面积为 8 ，高为 2；所以当用同 一个平面去截下图三个几何体，圆柱的截面为长方形， 长是 2 ，宽是 2 1- y 2，所以面积为 41- y 2 ，长方体的截面面积始终是 8 ，根据祖暅原理，该圆柱和长方体的体积之和即我们所求几何体的体积，易求得体积为 2 2+16 ；14.（理）对区间 I 上有定义的函数 g (x ) ，记 g (I ) = {y | y = g (x ), x ∈ I }，定义域为[0, 3] 的函数 y = f (x ) 有反函数 y = f -1 (x ) ，且 f -1 ([0,1)) = [1, 2) ， f -1((2, 4]) = [0,1) ，若方程f (x ) - x = 0 有解 x 0 ，则 x 0 =；【解析】根据已知条件 f -1([0,1)) = [1, 2) ，f -1 ((2, 4]) = [0,1) ，可知 f ([1, 2)) = [0,1) ， f ([0,1)) = (2, 4]，推出 f ([2, 3]) ⊆ [1, 2] ，画出如右示意图，若有解，只能 x 0 = 2 ；14.（文）已知正方形 ABCD 的边长为 1．记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 a 1 、a 2 、 a 3 ；以 C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 c 1 、 c 2 、 c 3 ．若 i , j , k , l ∈{1, 2, 3} ，且 i ≠ j ， k ≠ l ，则 (a i + a j ) ⋅ (c k + c l ) 的最小值是.【解析】 (a i + a j ) ⋅ (c k + c l ) =| a i + a j | ⋅ | c k + c l | ⋅cos，如下图所示，当夹角为 ，| a i + a j |=| c k + c l |= 5 时，取得最小值 -5 ；n17. 在数列{a n }中， a n = 2 -1，若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素 c i , j =a i ⋅ a j + a i + a j （ i = 1, 2, , 7 ； j = 1, 2, ,12 ），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）A . 18 B. 28C. 48D. 63【解析】 c i , j = a i ⋅ a j + a i + a j = (a i + 1)(a j + 1) -1 = 2i + j-1，根据已知条件 i = 1, 2, , 7 ，j = 1, 2, ,12 ，∴ i + j = 2, 3, ,19 ，∴可以取到 18 个不同数值，选 A ； 18.（理）在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分 别为 a 1 、 a 2 、a 3 、 a 4 、 a 5 ；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 d 1 、 d 2 、 d 3 、 d 4 、 d 5 ，若 m 、 M 分别为 (a i + a j + a k ) ⋅ (d r + d s + d t ) 的最小值、最大值，其中{i , j , k } ⊆ {1, 2, 3, 4, 5}，{r , s , t } ⊆ {1, 2, 3, 4, 5} ，则 m 、 M 满足（）A. m = 0 ， M > 0 C. m < 0 ， M = 0B. m < 0 ， M > 0 D. m < 0 ， M < 0【解析】因为点 A 、点 D 是六边形正相对的点，∴ a 1 、 a 2 、 a 3 、 a 4 、 a 5 中任三个向量 的合向量与 d 1 、d 2 、 d 3 、d 4 、 d 5 中任三个向量的合向量的大致方向是相反的（至少夹角 为钝角），所以数量积是负值；选 D ；这类题目，与其说是考计算，不如说是考数学感觉；18．记椭圆22441x ny n ++＝1围成的区域(含边界)为Ωn (n ＝1，2，…)，当点(x ，y )分别在Ω1，Ω2，…上时，x ＋y 的最大值分别是M 1，M 2，…，则lim n n M →∞＝( )A ．0B ．14` C ．2D ．22答案：D 椭圆方程为：2222221lim 114414444n x ny x y x y n n→∞+=⇒+=+=++， 联立22144x y n x y ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩⇒x 2＋(u －x )2＝4⇒2x 2－2ux ＋u 2－4＝0⇒Δ＝4u 2－8(u 2－4)≥0⇒u 2－2(u 2－4)≥0⇒8≤u 2⇒u ∈[22-，22，所以x ＋y 的最大值为22 D. （2010 年 11 题）将直线 l 1 : nx + y - n = 0 、 l 2 : x + ny - n = 0 (n ∈ N的封闭区域的面积记为 S n ，则 lim S n = ；n →∞*) 、 x 轴、 y 轴围成yx【解析】直线先化为 l 1 : x +-1 = 0 、l 2 : + y -1 = 0 ，当 n → +∞ 时，l 1 趋近于直线 x = 1 ，n nl 2 趋近于直线 y = 1，封闭区域的极限位置是一个边长为 1 的正方形，∴面积极限为 1；（2011 年 14 题） 已知点 O (0, 0) 、Q 0 (0,1) 和点 R 0 (3,1) ，记 Q 0 R 0 的中点为 P 1 ，取 Q 0 P 1 和P 1R 0 中的一条，记其端点为Q 1 、 R 1 ，使之满足 ( OQ 1 - 2)( OR 1 - 2) < 0 ，记 Q 1 R 1 的中点为 P 2 ，取 Q 1 P 2 和 P 2 R 1 中的一条，记其端点为 Q 2 、 R 2 ，使之满足 ( OQ 2 - 2)( OR 2 - 2) < 0依次下去，得到 P 1 , P 2 , , P n , , 则 lim n →+∞Q 0 P n =；【解析】依次下去，有 ( OQ n - 2)( OR n - 2) < 0 ，表示 OQ n 、OR n 其中一条长度大于 2，另一条长度小于 2，当 n → +∞ 时，它们的长度都会趋近于 2，即 OP n 的长度趋近于 2，结合勾股定理，可知 lim n →+∞Q 0 P n = 3 ；2012 年12．在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD BC =⋅的取值范围是 .【答案】[]5,2【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2==AD AB ，所以 51(0,0),(2,0),(,1)(,1).22A B C D 设1515515151(,1)(), , - , - , (2,()sin ).22224284423N x x BM CN CN x BM x M x x π≤≤===+--则根据题意，有)83235,4821(),1,(xx AM x AN --==→→. 所以83235)4821(x x x AN AM -+-=•→→⎪⎭⎫⎝⎛≤≤2521x ，所以2 5.AM AN →→≤•≤【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13. 已知函数 y = f (x ) 的图像是折线段 ABC ，其中 A (0, 0) 、 B ( 1, 5) 、 C (1, 0) ，函数2y = xf (x ) （ 0 ≤ x ≤ 1）的图像与 x 轴围成的图形的面积为 ；⎧10x , x ∈[0, 0.5] 【解析】根据题意 f (x ) = ⎨ ，⎩10 -10x , x ∈ (0.5,1]⎧⎪10x 2, x ∈[0, 0.5]∴ xf (x ) = ⎨⎪⎩10x -10x 2, x ∈ (0.5,1]，画出图像，如 图所示，利用割补法，所求面积即三角形 AB 'C 的5642246105510ADCBMN面积，求得面积为4；或者用计算器求积分；14.（理）如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC = 2 ，若AD = 2c ，且AB + BD = AC + CD = 2a ，其中a, c 为常数，则四面体ABCD 体积最大值是；【解析】如图作截面EBC ⊥AD ，∴V = 1 S3 E BCAD ，AD = 2c ，即求截面EBC 面积的最大值，∵AB + BD= AC + CD = 2a ，∴B 、C 在一个以A 、D 为焦点的椭球上，易知当E 为AD 中点时，EB 和EC 同时取到最大值a2 - c2 ，即截面面积最大为a2 - c2 -1 ，即2 2 2体积最大为 c a - c -1 ；314.（文）已知f (x) =11+ x，各项均为正数的数列{a n } 满足a1 = 1，a n+2 = f (a n ) ，若a 2010 = a2012，则a20 + a11 的值是.1 2 ， a 7 = 3 5 8 25 8 13【解析】∵ a 1 = 1，代入求得 a 3 = ， a 5 =1 1 ， a 9 = ， a 11 = ；再根据 a 2010 = a 2012 =-1 1+ a 2010 ，解得a 2010 = a 2012 = 2，代入 a n +2 = f (a n ) 继续求得偶数项均 -1 8 3 为 ，∴ a + a = + = ；220 11 2 13 26 17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（ ）A ．21ξξD D >B ．21ξξD D =C ．21ξξD D < D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关 【答案】 A【解析】 由随机变量21,ξξ的取值情况，它们的平均数分别为：1123451(),5x x x x x x =++++，2334455112211,522222x x x x x x x x x x x x +++++⎛⎫=++++= ⎪⎝⎭且随机变量21,ξξ的概率都为2.0，所以有1ξD ＞2ξD . 故选择A.【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题. 18．设25sin 1πn n a n =，n n a a a S +++=Λ21，在10021,,,S S S Λ中，正数的个数是（ ） A ．25 B ．50 C ．75 D ．100 【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力. 18.若2sin sin...sin 777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A ．16 B.72 C.86 D.100 【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.。

上海市宝山区届高考数学一模试卷-Word版含解析————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2017年上海市宝山区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．=．2．设全集U=R，集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩∁U B=．3．不等式的解集为．4．椭圆（θ为参数）的焦距为．5．设复数z满足（i为虚数单位），则z=．6．若函数的最小正周期为aπ，则实数a的值为．7．若点（8，4）在函数f（x）=1+log a x图象上，则f（x）的反函数为．8．已知向量，，则在的方向上的投影为．9．已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为．10．某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为（结果用最简分数表示）11．设常数a＞0，若的二项展开式中x5的系数为144，则a=．12．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，那么称该数列为N型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．设a∈R，则“a=1”是“复数（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（）A．80 B．96 C．108 D．11015．设M、N为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M、N为互斥事件，且，，则；（2）若，，，则M、N为相互独立事件；（3）若，，，则M、N为相互独立事件；（4）若，，，则M、N为相互独立事件；（5）若，，，则M、N为相互独立事件；其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．416．在平面直角坐标系中，把位于直线y=k与直线y=l（k、l均为常数，且k＜l）之间的点所组成区域（含直线y=k，直线y=l）称为“k⊕l型带状区域”，设f（x）为二次函数，三点（﹣2，f（﹣2）+2）、（0，f（0）+2）、（2，f（2）+2）均位于“0⊕4型带状区域”，如果点（t，t+1）位于“﹣1⊕3型带状区域”，那么，函数y=|f （t）|的最大值为（）A．B．3 C．D．2三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为，侧面积为36；（1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）求异面直线A1C与AB所成的角的大小．18．已知椭圆C的长轴长为，左焦点的坐标为（﹣2，0）；（1）求C的标准方程；（2）设与x轴不垂直的直线l过C的右焦点，并与C交于A、B两点，且，试求直线l的倾斜角．19．设数列{x n}的前n项和为S n，且4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*）；（1）求数列{x n}的通项公式；（2）若数列{y n}满足y n+1﹣y n=x n（n∈N*），且y1=2，求满足不等式的最小正整数n的值．20．设函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；（1）当m=2时，解不等式；（2）若f（0）=1，且在闭区间[2，3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数f（x）的图象过点（98，2），且不等式f[cos（2n x）]＜lg2对任意n ∈N均成立，求实数x的取值集合．21．设集合A、B均为实数集R的子集，记：A+B={a+b|a∈A，b∈B}；（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*，且n≥2时，曲线的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B=，设A+B中的所有元素之和为S n，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式S m+S n﹣λS k＞0恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合A1⊆A1+A1，则称A1为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合A2的某个非空有限子集中所有元素的和，则称A2为“N*的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集？请说明理由．2017年上海市宝山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．=2．【考点】极限及其运算．【分析】分子、分母都除以n，从而求出代数式的极限值即可．【解答】解：==2，故答案为：2．2．设全集U=R，集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩∁U B={﹣1，0，1} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，写出∁U B与A∩∁U B即可．【解答】解析：因为全集U=R，集合B={x|x≥2}，所以∁U B={x|x＜2}=（﹣∞，2），且集合A={﹣1，0，1，2，3}，所以A∩∁U B={﹣1，0，1}故答案为：{﹣1，0，1}．3．不等式的解集为（﹣2，﹣1）．【考点】其他不等式的解法．【分析】不等式转化（x+1）（x+2）＜0求解即可．【解答】解：不等式等价于（x+1）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜﹣1，∴原不等式组的解集为（﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣1）．4．椭圆（θ为参数）的焦距为6．【考点】椭圆的参数方程．【分析】求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距．【解答】解：消去参数θ得：，所以，c==3，所以，焦距为2c=6．故答案为6．5．设复数z满足（i为虚数单位），则z=1+i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】设z=x+yi，则代入，再由复数相等的充要条件，即可得到x，y的值，则答案可求．【解答】解：设z=x+yi，∴．则=x+yi+2（x﹣yi）=3﹣i，即3x﹣yi=3﹣i，∴x=1，y=1，因此，z=1+i．故答案为：1+i．6．若函数的最小正周期为aπ，则实数a的值为1．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用行列式的计算，二倍角公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的周期性，求得a的值．【解答】解：∵y=cos2x﹣sin2x=cos2x，T=π=aπ，所以，a=1，故答案为：1．7．若点（8，4）在函数f（x）=1+log a x图象上，则f（x）的反函数为f﹣1（x）=2x ﹣1．．【考点】反函数．【分析】求出函数f（x）的解析式，用x表示y的函数，把x与y互换可得答案．【解答】解：函数f（x）=1+log a x图象过点（8，4），可得：4=1+log a8，解得：a=2．∴f（x）=y=1+log2x则：x=2y﹣1，∴反函数为y=2x﹣1．故答案为f﹣1（x）=2x﹣1．8．已知向量，，则在的方向上的投影为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据投影公式为，代值计算即可．【解答】解：由于向量，，则在的方向上的投影为=．故答案为：9．已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为18π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由题意，得：底面直径和母线长均为6，利用侧面积公式求出该圆锥的侧面积．【解答】解：由题意，得：底面直径和母线长均为6，S侧==18π．故答案为18π．10．某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为（结果用最简分数表示）【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=，在选出的3人中男、女生均有的对立事件是三人均为男生或三人均为女生，由此能求出在选出的3人中男、女生均有的概率．【解答】解：某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，基本事件总数n=，在选出的3人中男、女生均有的对立事件是三人均为男生或三人均为女生，∴在选出的3人中男、女生均有的概率：p==．故答案为：．11．设常数a＞0，若的二项展开式中x5的系数为144，则a=2．【考点】二项式系数的性质．=（r=0，1，2，…，9）．令9﹣2r=5，解得r，【分析】利用通项公式T r+1即可得出．==（r=0，1，2，…，9）．【解答】解：T r+1令9﹣2r=5，解得r=2，则=144，a＞0，解得a=2．故答案为：2．12．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，那么称该数列为N型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为6．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意，公差d=1，na1+=2668，∴n（2a1+n﹣1）=5336=23×23×29，得出满足题意的组数，即可得出结论．【解答】解：由题意，公差d=1，na1+=2668，∴n（2a1+n﹣1）=5336=23×23×29，∵n＜2a1+n﹣1，且二者一奇一偶，∴（n，2a1+n﹣1）=（8，667），（23，232），（29，184）共三组；同理d=﹣1时，也有三组．综上所述，共6组．故答案为6．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．设a∈R，则“a=1”是“复数（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及纯虚数的定义判断即可．【解答】解：当a=1时，（a﹣1）（a+2）+（a+3）i=4i，为纯虚数，当（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数时，a=1或﹣2，故选：A．14．某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（）A．80 B．96 C．108 D．110【考点】分层抽样方法．【分析】求出高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400，即可得出该样本中的高二学生人数．【解答】解：设高二x人，则x+x﹣50+500=1350，x=450，所以，高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400因为=，所以，高二学生抽取人数为：=108，故选C．15．设M、N为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M、N为互斥事件，且，，则；（2）若，，，则M、N为相互独立事件；（3）若，，，则M、N为相互独立事件；（4）若，，，则M、N为相互独立事件；（5）若，，，则M、N为相互独立事件；其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】在（1）中，P（M∪N）==；在（2）中，由相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件；在（3）中，由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件；在（4）中，当M、N为相互独立事件时，P（MN）=；（5）由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件．【解答】解：在（1）中，若M、N为互斥事件，且，，则P（M∪N）==，故（1）正确；在（2）中，若，，，则由相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（2）正确；在（3）中，若，，，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（3）正确；在（4）中，若，，，当M、N为相互独立事件时，P（MN）=，故（4）错误；（5）若，，，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（5）正确．故选：D．16．在平面直角坐标系中，把位于直线y=k与直线y=l（k、l均为常数，且k＜l）之间的点所组成区域（含直线y=k，直线y=l）称为“k⊕l型带状区域”，设f（x）为二次函数，三点（﹣2，f（﹣2）+2）、（0，f（0）+2）、（2，f（2）+2）均位于“0⊕4型带状区域”，如果点（t，t+1）位于“﹣1⊕3型带状区域”，那么，函数y=|f （t）|的最大值为（）A．B．3 C．D．2【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】设出函数f（x）的解析式，求出|t的范围，求出|f（t）|的解析式，根据不等式的性质求出其最大值即可．【解答】解：设f（x）=ax2+bx+c，则|f（﹣2）|≤2，|f（0）|≤2，|f（2）|≤2，即，即，∵t+1∈[﹣1，3]，∴|t|≤2，故y=|f（t）|=|t2+t+f（0）|=|f（2）+f（﹣2）+f（0）|≤|t（t+2）|+|t（t﹣2）|+|4﹣t2|=|t|（t+2）+|t|（2﹣t）+（4﹣t2）═（|t|﹣1）2+≤，故选：C．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为，侧面积为36；（1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）求异面直线A1C与AB所成的角的大小．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为a，高为h，由底面积和侧面积公式列出方程组，求出a=3，h=4，由此能求出正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．（2）由AB∥A1B1，知∠B1A1C是异面直线A1C与AB所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1C与AB所成的角．【解答】解：（1）设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为a，高为h，则，解得a=3，h=4，∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC•h=．（2）∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴AB∥A1B1，∴∠B1A1C是异面直线A1C与AB所成的角（或所成角的补角），连结B1C，则A1C=B1C=5，在等腰△A1B1C中，cos==，∵∠A1B1C∈（0，π），∴．∴异面直线A1C与AB所成的角为arccos．18．已知椭圆C的长轴长为，左焦点的坐标为（﹣2，0）；（1）求C的标准方程；（2）设与x轴不垂直的直线l过C的右焦点，并与C交于A、B两点，且，试求直线l的倾斜角．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：设椭圆方程为：（a＞b＞0），则c=2，2a=2，a=，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程为：y=k（x﹣2），将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得k的值，即可求得直线l的倾斜角．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为：（a＞b＞0），则c=2，2a=2，a=，b==2，∴C的标准方程；（2）由题意可知：椭圆的右焦点（2，0），设直线l的方程为：y=k（x﹣2），设点A（x1，y1），B（x2，y2）；整理得：（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，丨AB丨=•=•=，由丨AB丨=，=，解得：k2=1，故k=±1，经检验，k=±1，符合题意，因此直线l的倾斜角为或．19．设数列{x n}的前n项和为S n，且4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*）；（1）求数列{x n}的通项公式；（2）若数列{y n}满足y n+1﹣y n=x n（n∈N*），且y1=2，求满足不等式的最小正整数n的值．【考点】数列与不等式的综合．【分析】（1）由4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*），可得n=1时，4x1﹣x1﹣3=0，解得x1．n ≥2时，由S n=4x n﹣3，可得x n=S n﹣S n﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）y n+1﹣y n=x n=，且y1=2，利用y n=y1+（y2﹣y1）+（y3﹣y2）+…+（y n﹣y n﹣1）与等比数列的求和公式即可得出y n．代入不等式，化简即可得出．【解答】解：（1）∵4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*），∴n=1时，4x1﹣x1﹣3=0，解得x1=1．n≥2时，由S n=4x n﹣3，∴x n=S n﹣S n﹣1=4x n﹣3﹣（4x n﹣1﹣3），∴x n=，∴数列{x n}，是等比数列，公比为．∴x n=．（2）y n+1﹣y n=x n=，且y1=2，∴y n=y1+（y2﹣y1）+（y3﹣y2）+…+（y n﹣y n﹣1）=2+1+++…+=2+=3×﹣1．当n=1时也满足．∴y n=3×﹣1．不等式，化为：=，∴n﹣1＞3，解得n＞4．∴满足不等式的最小正整数n的值为5．20．设函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；（1）当m=2时，解不等式；（2）若f（0）=1，且在闭区间[2，3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数f（x）的图象过点（98，2），且不等式f[cos（2n x）]＜lg2对任意n ∈N均成立，求实数x的取值集合．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】（1）根据对数的运算解不等式即可．（2）根据f（0）=1，求f（x）的解析式，根据在闭区间[2，3]上有实数解，分离λ，可得λ=lg（x+10）﹣，令F（x）=lg（x+10）﹣，求在闭区间[2，3]上的值域即为λ的范围．（3）函数f（x）的图象过点（98，2），求f（x）的解析式，可得f（x）=lg（2+x）那么：不等式f[cos（2n x）]＜lg2转化为lg（2+cos（2n x））＜lg2转化为，求解x，又∵2+x＞0，即x＞﹣2和n∈N．讨论k的范围可得答案．【解答】解：函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；（1）当m=2时，f（x）=lg（x+2）那么：不等式；即lg（+2）＞lg10，可得：，且解得：．∴不等式的解集为{x|}（2）∵f（0）=1，可得m=10．∴f（x）=lg（x+10），即lg（x+10）=在闭区间[2，3]上有实数解，可得λ=lg（x+10）﹣令F（x）=lg（x+10）﹣，求在闭区间[2，3]上的值域．根据指数和对数的性质可知：F（x）是增函数，∴F（x）在闭区间[2，3]上的值域为[lg12﹣，lg13﹣]故得实数λ的范围是[lg12﹣，lg13﹣]．（3）∵函数f（x）的图象过点（98，2），则有：2=lg（98+m）∴m=2．故f（x）=lg（2+x）那么：不等式f[cos（2n x）]＜lg2转化为lg（2+cos（2n x））＜lg2即，∴，n∈N．解得：＜x＜，n∈N．又∵2+x＞0，即x＞﹣2，∴≥﹣2，n∈N．解得：k，∵k∈Z，∴k≥0．故得任意n∈N均成立，实数x的取值集合为（，），k∈N，n ∈N．21．设集合A、B均为实数集R的子集，记：A+B={a+b|a∈A，b∈B}；（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*，且n≥2时，曲线的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B=，设A+B中的所有元素之和为S n，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式S m+S n﹣λS k＞0恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合A1⊆A1+A1，则称A1为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合A2的某个非空有限子集中所有元素的和，则称A2为“N*的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集？请说明理由．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）根据新定义A+B={a+b|a∈A，b∈B}，结合已知中的集合A，B，可得答案；（2）曲线表示双曲线，进而可得a n=，S n=n2，则S m+S n﹣λS k ＞0恒成立，⇔＞λ恒成立，结合m+n=3k，且m≠n，及基本不等式，可得＞，进而得到答案；（3）存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集，结合已知中“自生集”和“N*的基底集”的定义，可证得结论；【解答】解：（1）∵A+B={a+b|a∈A，b∈B}；当A={0，1，2}，B={﹣1，3}时，A+B={﹣1，0，1，3，4，5}；（2）曲线，即，在n≥2时表示双曲线，故a n=2=，∴a1+a2+a3+…+a n=，∵B=，∴A+B中的所有元素之和为S n=3（a1+a2+a3+…+a n）+n（）=3•﹣m=n2，∴S m+S n﹣λS k＞0恒成立，⇔＞λ恒成立，∵m+n=3k，且m≠n，∴==＞，∴，即实数λ的最大值为；（3）存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集，理由如下：设整数集合A={x|x=（﹣1）n•F n，n∈N*，n≥2}，其中{F n}为斐波那契数列，即F1=F2=1，F n+2=F n+F n+1，n∈N*，下证：整数集合A既是自生集又是N*的基底集，①由F n=F n+2﹣F n+1得：（﹣1）n•F n=（﹣1）n+2•F n+2+（﹣1）n+1•F n+1，故A是自生集；﹣1]，存在集合Ar一个有限子集②对于任意n≥2，对于任一正整数t∈[1，F2n+1{a1，a2，…，a m}，使得t=a1+a2+…+a m，（|a i＜F2n+1，i=1，2，…，m），当n=2时，由1=1，2=3+1﹣2，3=3，4=3+1，知结论成立；假设结论对n=k时成立，则n=k+1时，只须对任何整数m∈[F2k，F2k+3]讨论，+1，则m=F2k+2+，∈（﹣F2k+1，0），若m＜F2k+2故=﹣F2k+m′，m′∈[1，F2k+1），+1的元素的和．由归纳假设，m′可以表示为集合A中有限个绝对值小于F2k+1因为m=F2k﹣F2k+1+m′=（﹣1）2k+2•F2k+2+（﹣1）2k+1•F2k+1+m′，+2所以m可以表示为集合A中有限个绝对值小于F2k的元素的和．+3若m=F2k，则结论显然成立．+2若F2k＜m＜F2k+3，则m=F2k+2+m′，m′∈[1，F2k+1），+2由归纳假设知，m可以表示为集合A中有限个绝对值小于F2k的元素的和．+3所以，当n=k+1时结论也成立；由于斐波那契数列是无界的，所以，任一个正整数都可以表示成集合A的一个有限子集中所有元素的和．因此集合A又是N*的基底集．。

上海市杨浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析2019. 12一、填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分,共54分)1. 函数2()f x x =的定义域为______2. 关于x 、y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为______ 3. 已知函数()f x 的反函数12()log f x x -=，则(1)f -=______4. 设a ∈R ，2(1)i a a a a --++为纯虚数（i 为虚数单位），则a =______5. 己知圆锥的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为______6. 已知7(1)ax+二项展开式中3x 的系数为280，则实数a =______7. 椭圆22194x y +=焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，若PF =15，则12cos F PF ∠=______8. 已知数列{n a }的通项公式为1(2)1()32n n n n a n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩(n ∈N *)，n S 是数列{n a }的前n 项和.则lim n x S →∞=______ 9. 在直角坐标平面xOy 中，A (-2,0)，B (0,1)，动点P 在圆C ：222x y +=上，则 PA PB ⋅的取值范围为______10. 已知六个函数：①21y x=；②cos y x =；③12y x =；④arcsin y x =；⑤1lg()1x y x+=-；⑥1y x =+.从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法有______种11. 已知函数1|1()|xf x =-，（0x >），若关于x 的方程[]2()()230f x mf x m +++=有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为______12. 向量集合S ={(),|,,a a x y x y =∈R }，对于任意α、S β∈,以及任意λ∈(0,1)，都有()12S λαβ+-∈，则称S 为“C 类集”.现有四个命题：①若S 为“C 类集”，则集合M ={,|a a S R μμ∈∈}也是“C 类集”； ②若S 、T 都是“C 类集”，则集合M ={|,a b a S b T +∈∈}也是“C 类集”； ③若1A 、2A 都是“C 类集”，则12A A 也是“C 类集”；④若1A 、2A 都是“C 类集”，且交集非空，则12A A 也是“C 类集”. 其中正确的命题有______二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13. 已知实数a 、b 满足a b >，则下列不等式中恒成立的是( )A. 22a b >B. 11a b< C. |a ||b |> D. 22a b > 14. 要得到函数2sin(2)3y x π=+的图象，只要将2sin2y x =的图象( )A. 向左平移6π个单位B. 向右平移6π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位 15. 设1z 、2z 为复数，则下列命题中一定成立的是( )A. 如果120z z ->，那么12z z >B. 如果12z z =，那么12z z =±,C. 如果12||1z z >，那么12z z >D. 如果22120z z +=,那么120z z == 16. 对于全集R 的子集A ，定义函数1(()0())A x f x x A A ⎧=∈⎨⎩∈R为A 的特征函数.设A 、B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是( )A. 若A B ∈，则()()A B f x f x ≤B. ()1()A A f x f x =-RC. ()()()A A B B f x f x f x =⋅D. ()()()A A B B f x f x f x =+三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)17. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，AB =P A =1，AD =3，E 、F 分别为棱PD 、P A 的中点.(1)求证：B 、C 、E 、F 四点共面；(2)求异面直线PB 与AE 所成的角.18. 已知函数()22x xa f x =+，其中a 为实常数. (1) (0)7f =，解关于x 的方程()5f x =；(2) 判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.19. 东西向的铁路上有两个道口A 、B ，铁路两侧的公路分布如图，C 位于A 的南偏西15°，且位于B 的南偏东15°方向，D 位于A 的正北方向，AC =AD =2km ，C 处一辆救护车欲通过道口前往D 处的医院送病人，发现北偏东45°方向的E 处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60 km /h .(1) 判断救护车通过道口A 是否会受到火车影响，并说明理由；(2) 为了尽快将病人送到医院，救护车应选择A 、B 中的哪个道口?通过计算说明.20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，己知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点A 是第一象限内抛物线C 上的一点，点D 的坐标为(,0t )，0t >,(1)若||5OA =，求点A 的坐标；(2)若△AFD 为等腰直角三角形，且FAD ∠=90o ，求点D 的坐标；(3)弦AB 经过点D ，过弦AB 上一点P 作直线x t =-的垂线，垂足为点Q ，求证：“直线QA 与抛物线相切” 的一个充要条件是“p 为弦AB 的中点”.21. 已知无穷数列{n a }的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n ，均有210n S -≥，20n S ≤,则称数列{n a }具有性质P .(1) 判断首项为1，公比为2-的无穷等比数列{n a }是否具有性质P ，并说明理由；(2) 已知无穷数列{n a }具有性质P ，且任意相邻四项之和都相等，求证：40S =；(3) 已知21n b n =-，n ∈N *,数列{n c }是等差数列，122n n n b n a c n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，若无穷数列{n a }具有性质P ，求2019c 的取值范围.上海市杨浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析。

【高三】上海市青浦区届高三一模数学试卷（word版，含解析）试卷说明：青浦区高考第一次数学模拟考试（150分，120分钟），学生注：1。

本文由试卷和答题两部分组成。

2如果试卷上的答案无效，你必须按照答题纸上指定位置的要求回答问题。

你可以用一个合格的计算器来回答问题1、填空（56分）这个问题有14个问题。

考生应直接在答题纸上相应编号的空格中填写结果。

如果每个空间填充正确，将给出4个点，否则将在直角坐标系中给出零点，与点（1,0）和直线距离相同的点的轨迹方程为。

[analytic]（水平理解/），其轨迹为抛物线，其中轨迹方程给出完整的集合u=R，set，和R，实数a的值范围为。

【分析】（探索性理解水平/集合的并补运算、集合的描述方法）如果所有项都是实数，则很容易获得【分析】（探究性理解水平/等比序列的中间项）：如果点已知，向量在方向上的投影为。

【分析】（对水平/平面向量的探索性理解）根据问题的意思，让和之间的角度为，，并知道方向上的投影，然后。

【分析】（探索性理解水平/归纳公式），然后，，因此已知圆锥体底部圆的周长为4π，侧边与底部之间的角度为，则圆锥体的体积为。

[分析]（探索性地理解水平/圆锥体的体积）让底圆的半径为r，高度为h，侧边和底边之间的角度为，然后，和。

如果函数的逆区间是一个实数，那么函数的逆区间是一个单调的区间。

[分析]（解释性理解水平/极限的计算），因为，因此，其值范围是已知的，定义域R上的偶数函数f（x）是减法函数，不等式的解集为。

【分析】（探索性理解函数的级别/奇偶性和性质）是一个递增函数，因此不等式的解集是。

10（1月青浦）对于已知集合，从a的非空子集中取任意一个，集合中所有元素之和为奇数的概率为。

[分析]（探索性理解水平/）a中有5个元素，子集的数量为① 集合中有1个元素种类；② 种③ 元素种类；④ 元素种类；⑤ 一个因素，所以概率是：如果P点是开着的，那么[分析]（探索性理解水平/双曲线）从问题的意义上是已知的。

2021年上海市高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．（4分）（2021•闵行区一模）已知集合A={x||x﹣|＞}，U=R，则∁U A=[﹣1，4]．【考点】：补集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R求出A的补集即可．【解析】：解：由A中不等式变形得：x﹣＞或x﹣＜﹣，解得：x＞4或x＜﹣1，即A=（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），∵U=R，∴∁U A=[﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]【点评】：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（4分）（2021•闵行区一模）若复数z满足（z+2）（1+i）=2i（i为虚数单位），则z=﹣1+i．【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解析】：解：由（z+2）（1+i）=2i，得，∴z=﹣1+i．故答案为：﹣1+i．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（4分）（2021•闵行区一模）函数f（x）=xcosx，若f（a）=，则f（﹣a）=﹣．【考点】：函数的值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由已知得f（a）=acosa=，由此能求出f（﹣a）=﹣acos（﹣a）=﹣acosa=．【解析】：解：∵f（x）=xcosx，f（a）=，∴f（a）=acosa=，∴f（﹣a）=﹣acos（﹣a）=﹣acosa=．故答案为：﹣．【点评】：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4．（4分）（2021•闵行区一模）计算=．【考点】：极限及其运算．【专题】：导数的综合应用．【分析】：利用极限的运算法则即可得出．【解析】：解：∵=，∴=．∴原式==．故答案为：．【点评】：本题考查了极限的运算法则，属于基础题．5．（4分）（2021•闵行区一模）设f（x）=4x﹣2x+1（x≥0），则f﹣1（0）=1．【考点】：反函数．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由互为反函数的两个函数的定义域和值域间的关系得到4x﹣2x+1=0，求解x的值得答案．【解析】：解：由4x﹣2x+1=0，得（2x）2﹣2•2x=0，即2x=0（舍）或2x=2，解得x=1．∴f﹣1（0）=1．故答案为：1．【点评】：本题考查了反函数，考查了互为反函数的两个函数的定义域和值域间的关系，是基础题．6．（4分）（2021•闵行区一模）已知θ∈（，π），sin﹣cos=，则cosθ=．【考点】：二倍角的余弦．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由θ∈（，π），sin﹣cos=，求出sin2θ，然后求出cos2θ．【解析】：解：∵θ∈（，π），sin﹣cos=，∴1﹣sinθ=，∴sinθ=，∵θ∈（，π），∴cosθ=﹣=﹣．故答案为：．【点评】：本题考查二倍角的余弦，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的符号的正确选取．7．（4分）（2011•上海）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：计算题．【分析】：求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解析】：解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π=．故答案为．【点评】：本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力．8．（4分）（2021•闵行区一模）已知集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率是．【考点】：古典概型及其概率计算公式．【专题】：概率与统计．【分析】：集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，基本事件总数n=23=8，“以a，b，c为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数m=5，由此能求出“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率．【解析】：解：集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，基本事件总数n=23=8，“以a，b，c为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数m=5，∴“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率：p=．故答案为：．【点评】：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．9．（4分）（2021•闵行区一模）已知等边△ABC的边长为3，M是△ABC的外接圆上的动点，则的最大值为．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：画出图形，==3||cos∠BAM，设OM是外接圆⊙O的半径，则当且同向时，则取得最大值．【解析】：解：如图，==3||cos∠BAM，设OM是外接圆⊙O的半径为3×=，则当且同向时，则取得最大值．所以3||cos∠BAM=3（+OM）=；故答案为：．【点评】：本题考查了向量的数量积运算、向量的投影，考查了推理能力和计算能力，属于难题．10．（4分）（2021•闵行区一模）函数y=|2x|+|x|取最小值时x的取值范围是．【考点】：对数的运算性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：y=|1+log2x|+|log2x|=f（x）．对x分类讨论：当x≥1时，f（x）=1+2log2x；当0＜x1时，f（x）=﹣1﹣2log2x；当时，f（x）=1，即可得出．【解析】：解：y=|2x|+|x|=|1+log2x|+|log2x|=f（x）．当x≥1时，f（x）=1+2log2x≥1，当且仅当x=1时取等号；当0＜x1时，f（x）=﹣1﹣2log2x≥1，当且仅当x=时取等号；当时，f（x）=1，因此时等号成立．综上可得：函数f（x）取最小值1时x的取值范围是．故答案为：．【点评】：本题考查了绝对值函数、对数函数的单调性、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（4分）（2021•闵行区一模）已知函数f（x）=（）x，g（x）=x，记函数h（x）=，则函数F（x）=h（x）+x﹣5所有零点的和为5．【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：运用函数f（x）=（）x与g（x）=x关于直线y=x对称，可知h（x）关于直线y=x对称．利用y=x与y=5﹣x的交点，结合图求解即可．【解析】：解：∵函数f（x）=（）x，g（x）=x，关于直线y=x对称，记函数h（x）=，∴可知h（x）关于直线y=x对称．∵y=x与y=5﹣x，交点为A（2.5，2.5）∴y=5﹣x，与函数h（x）交点关于A对称，x1+x2=2×=5∴函数F（x）=h（x）+x﹣5，的零点．设h（x）与y=5﹣x交点问题，可以解决函数F（x）=h（x）+x﹣5零点问题．故函数F（x）=h（x）+x﹣5所有零点的和为5．故答案为：5．【点评】：本题考查了函数的交点，解决复杂函数的零点问题，反函数的对称问题，12．（4分）（2021•闵行区一模）已知F1、F2是椭圆Γ1：=1和双曲线Γ2：=1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，则mn的最大值为．【考点】：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】：解三角形；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：设|PF1|=s，|PF2|=t，求出焦点，可得c=2，由余弦定理可得s，t的方程，再由椭圆和双曲线的定义可得m，n的关系，再由重要不等式a2+b2≥2ab，即可求得最大值．【解析】：解：设|PF1|=s，|PF2|=t，由题意可得公共焦点为知F1（﹣2，0），F2（2，0），即有c=2，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2=s2+t2﹣2stcos60°即s2+t2﹣st=16，由椭圆的定义可得s+t=2m（m＞0），由双曲线的定义可得s﹣t=2n（n＞0），解得s=m+n，t=m﹣n．即有16=（m+n）2+（m﹣n）2﹣（m+n）（m﹣n）=m2+3n2≥2mn，即有mn≤．当且仅当m=n，取得最大值．故答案为：．【点评】：本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查椭圆和双曲线的定义，同时考查三角形的余弦定理和重要不等式的运用，属于中档题．13．（4分）（2021•闵行区一模）在△ABC中，记角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，设S是△ABC的面积，若2SsinA＜（•）sinB，则下列结论中：①a2＜b2+c2；②c2＞a2+b2；③cosBcosC＞sinBsinC；④△ABC是钝角三角形．其中正确结论的序号是①②④．【考点】：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】：解三角形．【分析】：由题意可得：bcsinAsinA＜acsinBcosB，又bsinA=asinB＞0，可得cosB＞sinA＞0，可得A、B均是锐角，从而可得A+B＜90°，∠C＞90°，由余弦定理及两角和的余弦公式结合三角函数值的符合即可判断得解．【解析】：解：∵2SsinA＜（•）sinB，∴2×bcsinA×sinA＜cacosBsinB，∴可得：bcsinAsinA＜acsinBcosB，又由正弦定理可得：bsinA=asinB＞0，则cosB＞sinA＞0，可得：A、B均是锐角，而cosB=sin（90°﹣B），故有sin（90°﹣B）＞sinA，即90°﹣B＞A，则A+B＜90°，∠C＞90°，∴由余弦定理可得：cos∠C=＜0，即有：c2＞a2+b2，故②正确，∴由余弦定理可得：cos∠A=＞0，可得a2＜b2+c2，故①正确；∴△ABC是钝角三角形，故④正确；∵cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=﹣cosA＜0，故③不正确；故答案为：①②④．【点评】：本题考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，两角和的余弦公式等知识的应用，借助考查命题的真假判断，考查三角形形状的判断，属于中档题．14．（4分）（2021•闵行区一模）已知数列f（2x）=af（x）+b满足：对任意n∈N*均有a n+1=pa n+3p ﹣3（p为常数，p≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}，则a1所有可能值的集合为{﹣1，﹣3，﹣29}．【考点】：数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：从{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}中任取两值作为a2，a3的值，求出p．从而求出a4，a5，由此能求出a1所有可能值的集合．【解析】：解：（1）取a2=﹣19，a3=﹣7时，﹣7=﹣19p+3p﹣3，解得p=，=﹣4，不成立；（2）取a2=﹣19，a3=﹣3时，﹣3=﹣19p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（3）取a2=﹣19，a3=5时，5=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=5×=﹣7，a5=﹣7×=﹣1，不成立；（4）取a2=﹣19，a3=10时，10=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=10×=﹣，不成立；（5）取a2=﹣19，a3=29时，29=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣2，a4=29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=﹣67，不成立；（6）取a2=﹣7，a3=﹣3时，﹣3=﹣7p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（7）取a2=﹣7，a3=5，得5=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣2，∴a4=﹣2×5﹣3×2﹣3=﹣19，a5=﹣19×（﹣2）﹣3×2﹣3=29，∴﹣7=﹣2a1﹣3×2﹣3，解得a1=﹣1；（8）取a2=﹣7，a3=10时，10=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣，=，不成立；（9）取a2=﹣7，a3=29时，29=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣8，a4=29×（﹣8）+3×（﹣8）﹣3=﹣259，不成立；（10）取a2=﹣7，a3=﹣19时，﹣19=﹣7p+3p﹣3，解得p=4，a4=﹣19×4+3×4﹣3=﹣67，不成立；（11）取a2=﹣3，a3=﹣19时，﹣19=﹣3p+3p﹣3，不成立；（12）取a2=﹣3，a3=﹣7时，﹣7=﹣3p+3p﹣3，不成立；（13）取a2=﹣3，a3=5时，5=﹣3p+3p﹣3，不成立；（14）取a2=﹣3，a3=10时，10=﹣3p+3p﹣3，不成立；（15）取a2=﹣5，a3=29时，29=﹣3p+3p﹣3，不成立；（16）取a2=5，a3=﹣19时，﹣19=5p+3p﹣3，解得p=﹣2，a4=﹣19×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=29，a5=29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=﹣67，不成立；（17）取a2=5，a3=﹣7时，﹣7=5p+3p﹣3，解得p=﹣，=﹣1，不成立；（18）取a2=5，a3=﹣3时，﹣3=5p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（19）取a2=5，a3=10时，10=5p+3p﹣3，解得p=，=，不成立；（20）取a2=5，a3=29时，29=5p+3p﹣3，解得p=4，a4=29×4+3×4﹣3=125，不成立；（21）取a2=10，a3=﹣19时，﹣19=10p+3p﹣3，解得p=﹣，=﹣，不成立；（22）取a2=10，a3=﹣7时，﹣7=10p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=﹣7×=﹣，不成立；（23）取a2=10，a3=﹣3时，﹣3=10p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（24）取a2=10，a3=5时，5=10p+3p﹣3，解得p=，a4=5×﹣3=，不成立；（25）取a2=10，a3=29时，29=10p+3p﹣3，解得p=，a4=29×+3×=，不成立；（26）取a2=29，a3=﹣19时，﹣19=29p+3p﹣3，解得p=﹣，=5，，29=﹣﹣3×，解得a1=﹣67；（27）取a2=29，a3=﹣7时，﹣7=29p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=﹣7×﹣3=﹣，不成立；（28）取a2=29，a3=5时，5=29p+3p﹣3，解得p=，a4==1，不成立；（29）取a2=29，a3=10时，10=29p+3p﹣3，解得p=，a4=10×=，不成立；（30）取a2=29，a3=﹣3时，﹣3=29p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3．综上所述，a的集合为{﹣1，﹣3，﹣67}．故答案为：{﹣1，﹣3，﹣67}．【点评】：本题考查满足条件的集合的求法，是基础题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．（5分）（2021•闵行区一模）已知圆O：x2+y2=1和直线l：y=kx+，则k=1是圆O与直线l相切的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆的位置关系．【专题】：计算题；直线与圆；简易逻辑．【分析】：圆O与直线l相切，可得圆心到直线的距离d==1，求出k，即可得出结论．【解析】：解：∵圆O与直线l相切，∴圆心到直线的距离d==1，∴k=±1，∴k=1是圆O与直线l相切的充分不必要条件．故选：B．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，考查充要条件的判断，正确运用点到直线的距离公式是关键．16．（5分）（2021•闵行区一模）（2﹣）8展开式中各项系数的和为（）A．﹣1 B．1 C．256 D．﹣256【考点】：二项式系数的性质．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：给二项式中的x赋值1，得到展开式中各项的系数的和．【解析】：解：令二项式（2﹣）8中的x=1，得到展开式中各项的系数的和为（2﹣1）8=1∴展开式中各项的系数的和为1故选：B．【点评】：求二项展开式的各项系数和问题，一般通过观察给二项式中的x赋值求得．17．（5分）（2021•闵行区一模）已知y=f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）A．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）•f（b）＜0B．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点C．若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点D．如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：据函数零点的定义，函数零点的判定定理，运用特殊函数判断即可．【解析】：解：①y=x2，在（﹣1，1）内有零点，但是f（﹣1）•f（1）＞0，故A不正确，②y=x2，f（﹣1）•f（1）＞0，在（﹣1，1）内有零点，故B不正确，③若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，f（a）=﹣1，f（b）=1，在（a，b）恒成立有f（x）＞0，可知满足f（a）•f（b）＜0，但是其在（a，b）内没有零点．故C不正确．所以ABC不正确，故选；D【点评】：本题主要考查函数零点的定义，函数零点的判定定理，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题18．（5分）（2021•闵行区一模）数列{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，若记数据a1，a2，a3，…，a2021的方差为λ1，数据的方差为λ2，k=．则（）A．k=4．B．k=2．C．k=1．D．k的值与公差d的大小有关．【考点】：等差数列的性质．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：分别计算平均数与方差，即可得出结论．【解析】：解：由题意，数据a1，a2，a3，…，a2021的平均数为=a1008，所以λ1=[（a1﹣a1008）2+（a2﹣a1008）2+…+（a2021﹣a1008）2]=•（12+22+…+10072）．数据，，，…，的平均数为a1+d，所以λ2=[（a1﹣a1﹣d）2+（a2﹣a1﹣d）2+…+（a2021﹣a1﹣d）2]=•（12+22+…+10072）．所以k==2，故选：B．【点评】：本题考查等差数列的通项与求和，考查平均数与方差的计算，考查学生的计算能力，正确计算是关键．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）（2021•闵行区一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arctan．求三棱锥C1﹣A1BC的体积．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：解法一：利用线面垂直的判定定理可得：A1C1⊥平面BB1C1C，因此∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角．利用tan∠A1BC1=即可得出．法二：如图，建立空间直角坐标系，设CC1=y．平面BB1C1C的法向量为．设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ，利用线面角公式：即可得出．【解析】：解法一：∵A1C1⊥B1C1，A1C1⊥CC1，B1C1∩C1C=C1，∴A1C1⊥平面BB1C1C，∴∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角．设CC1=y，，∴，∴．法二：如图，建立空间直角坐标系，设CC1=y．得点B（0，2，0），C1（0，0，y），A1（2，0，y）．则，平面BB1C1C的法向量为．设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ，则，∴．【点评】：本题考查了线面垂直的判定定理、线面角的向量计算公式、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）（2021•闵行区一模）某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=﹣，10＜x＜100，该公司在电饭煲的生产中所获年利润W（万元）．（注：利润=销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）为了让年利润W不低于2760万元，求年产量x的取值范围．【考点】：函数模型的选择与应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：（1）当10＜x＜100时，W=xR（x）﹣（40+16x）=4360﹣﹣16x；（Ⅱ）4360﹣﹣16x≥2760，由此得到年产量x的取值范围．【解析】：解：（1）当10＜x＜100时，W=xR（x）﹣（40+16x）=4360﹣﹣16x．（2）4360﹣﹣16x≥2760，所以x2﹣100x+2500≤0（x≠0），所以（x﹣50）2≤0，所以x=50．【点评】：本题考查函数的解析式的求法，考查年利润的最大值的求法．属于中档题．21．（14分）（2021•闵行区一模）椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，已知椭圆Γ过点P（，），且•=0．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，）对称，求|CD|．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）代入点P，求得a2=2，运用向量的数量积的坐标表示，结合a，b，c的关系，解方程即可得到c，即有椭圆方程；（2）方法一、运用点差法，设出C，D的坐标，代入椭圆方程，作差再由中点坐标公式，求得CD的斜率，得到直线CD的方程，联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到；方法二、运用对称的方法，设出C，D的坐标，再作差，可得直线CD的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到．【解析】：解：（1）由于椭圆Γ过点，即有，解得a2=2，又•=0，则以AP为直径的圆恰好过右焦点F2，又，得，，即有，而b2=a2﹣c2=2﹣c2，所以c2﹣2c+1=0得c=1，故椭圆Γ的方程是．（2）法一：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则，且x1+x2=2，y1+y2=1，由，得：（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，即，所以CD所在直线的方程为，将，代入x2+2y2=2得，即有x1+x2=2，x1x2=．．法二：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（2﹣x1，1﹣y1），则，两等式相减得，将，代入x2+2y2=2得，则有．【点评】：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，同时考查平面向量的数量积的坐标表示和点差法、弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．22．（16分）（2021•闵行区一模）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+sin2x﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＞0，求实数m的取值范围；（3）对任意的x1∈[﹣，]，是否存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f（x2）=1成立，请说明理由．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】：（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用三角函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数的取值范围．（3）利用函数的单调性求出函数的值域，进一步说明函数的单调性问题．【解析】：解：（1）=，函数f（x）的最小正周期T=π，（2）当时，，，存在，满足F（t）﹣m＞0的实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）．（3）存在唯一的，使f（x1）•f（x2）=1成立．当时，，，设，则a∈[﹣1，1]，由，得．所以x2的集合为，∵，∴x2在上存在唯一的值使f（x1）•f（x2）=1成立．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用正弦型函数的定义域求函数的值域，函数的存在性问题的应用．23．（18分）（2021•闵行区一模）已知数列{a n}为等差数列，a1=2，其前n和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=（n﹣1）•2n+2+4对任意的n∈N*恒成立．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q=2022成立，若存在，求出所有满足条件的p，q；若不存在，说明理由．（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ（1﹣）（1﹣）…（1﹣）cos＜对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【考点】：数列与不等式的综合．【专题】：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】：（1）法1、求数列{a n}、{b n}的通项公式，在于求等差数列的公差和等比数列的首项和公比，设出等差数列{a n}的公差d和等比数列{b n}的公比为q．在已知数列递推式中令n=1，2，3分别得到关于待求量的关系式，然后求解公差和公比，则等差数列的公差和等比数列的公比可求；法2：由已知数列递推式取n=n﹣1（n≥2）得另一递推式，两式作差后得到，由数列{a n}为等差数列，可令a n=kn+b，得，由，得（qk﹣2k）n2+（bq﹣kq﹣2b+2k）n﹣qb=0恒成立，由系数为0求得q，b，k的值得数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）假设存在p，q∈N*满足条件，由（4p+4）2﹣2q=2022，得4p2+8p﹣501为奇数，进一步得到2q﹣2为奇数，求得q=2，进一步求出，这与p∈N*矛盾；（3）把数列{a n}的通项公式代入λ（1﹣）（1﹣）…（1﹣）cos整理，设，可得数列{b n}单调递增．则不等式等价于（﹣1）n+1λ＜b n，然后假设存在实数λ，使得不等式（﹣1）n+1λ＜b n对一切n∈N*都成立，分n为奇数和n为偶数求得，结合λ是非零整数可求得满足条件的λ．【解析】：解（1）法1：设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q．∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=（n﹣1）•2n+2+4，令n=1，2，3分别得a1b1=4，a1b1+a2b2=20，a1b1+a2b2+a3b3=68，又a1=2，∴，即，解得：或．经检验d=2，q=2符合题意，不合题意，舍去．∴．法2：∵①则（n≥2）②①﹣②得，，又a1b1=4，也符合上式，∴，由于{a n}为等差数列，令a n=kn+b，则，∵{b n}为等比数列，则（为常数），即（qk﹣2k）n2+（bq﹣kq﹣2b+2k）n﹣qb=0恒成立，∴q=2，b=0，又a1=2，∴k=2，故；（2）假设存在p，q∈N*满足条件，则（4p+4）2﹣2q=2022，化简得4p2+8p﹣501=2q﹣2，由p∈N*得，4p2+8p﹣501为奇数，∴2q﹣2为奇数，故q=2．得4p2+8p﹣501=1，即2p2+4p﹣251=0，故，这与p∈N*矛盾，∴不存在满足题设的正整数p，q；（3）由a n=2n，得，设，则不等式等价于（﹣1）n+1λ＜b n.，∵b n＞0，∴b n+1＞b n，数列{b n}单调递增．假设存在这样的实数λ，使得不等式（﹣1）n+1λ＜b n对一切n∈N*都成立，则①当n为奇数时，得；②当n为偶数时，得，即．综上，，由λ是非零整数，知存在λ=±1满足条件．【点评】：本题考查了数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的函数特性，训练了利用函数的单调性求函数的最值，体现了数学转化、分类讨论、分离参数等数学思想方法，属难题．。

上海市2021届高三一模考试客观题难题解析数学2020.12一､(宝山区)11.设函数f(x)=a·sin2x+b·cos2x(a,b ∈R),给出下列结论: (1)当a=0,b=1时,f(x)为偶函数 (2)当a=1,b=0时,f(2x)在区间(0,)4π上是单调函数;(3)当3,1a b ==-时,(||)2xf 在区间(-2π,2π),上恰有3个零点; (4)当3,1a b ==时,设f(x)在区间[,]()4t t t R π+∈上的最大值为φ(t),最小值为()t ψ,则()()22t t ϕψ-≤，则所有正确结论的序号是___.12.若定义在N 上的函数f(x),g(x)满足:存在0,x N ∈使得00()()f x g x <成立,则称f(x)与g(x)在N 上具有性质P(f,g).设函数1()2x a f x -=与3(),g x x =其中a>0,已知f(x)与g(x)在N 上不具有性质P(f,g),将a 的最小值记为0,a 设有穷数列{}n b 足*1101,1(,504),][n n b b b n N n a +==+∈≤⨯这里0[]a 表示不超过0a 的最大正整数｡若去掉{}n b 中的一项t b 后,剩下的所有项之和恰可表示为2*(),m m N ∈则t b m +的值为___. 16.下列结论中错误的是() (A)存在实数x,y 满足||1||1x x y ≤⎧⎨+≤⎩，使得4(x+1)(y+1)>9成立;(B)存在实数x,y 满足||1||1x x y ≤⎧⎨+≤⎩，使得4(x+1)(y+1)=7成立:(C)满足||1||1x x y ≤⎧⎨+≤⎩，使得4(x+1)(y+1)=-9成立的实数v x 不存在;(D)满足||1||1x x y ≤⎧⎨+≤⎩且使得4(x+1)(y+1)<-9成立的实数x,y 不存在.二、崇明区)11.已知函数y=f(x),对任意x ∈R,都有f(x+2)f(x)=k(k 为常数),且当x ∈[0,2]时,则f(2021)=___.12.已知点D 为圆O 22:4x y +=的弦MN 的中点,点A 的坐标为(1,0),且1,AM AN ⋅=则OA OD ⋅的最大值为___.16.设函数y=f(x)的定义域是R,对于下面四个命题: (1)若函数y=f(x)是奇函数,则函数y=f(f(x))是奇函数; (2)若函数y=f(x)是周期函数,则函数y=f(f(x))是周期函数; (3)若函数y=f(x)是单调减函数,则函数y=f(f(x))是单调减函数; (4)若函数y=f(x)存在反函数1(),y f x -=且函数1()()y f x f x -=-有零点,则函数y=f(x)-x 也有零点;其中正确的命题共有() A.1个B.2个C.3个D.4个三､[虹口区)11.若a,b 分别是正数p,q 的算术平均数和几何平均数,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则P+q+pq 的值形成的集合是____. 12.已知数列{}n a 满足132,2n n a S a n =-=+(其中n S 为数列{}n a 前n 项和),f(x)是定义在R 上的奇函数,且满足f(2-x)=f(x),则,2021()f a =___.16.在空间,已知直线l 及不在l 上两个不重合的点A,B,过直线l 做平面α,使得点A,B,到平α的距离相等,则这样的平面α的个数不可能是() A.1个B.2个C.3个D.无数四､(闵行区)11.已知平面向量,,,a b c 对任意实数t,都有||||,|||b ta b a b tc -≥--≥|b c -成立.若||3,||2,||7,a c a c ==-=则||b =___.12.已知函数1()||,f x x x=+给出下列命题: ①存在实数a,使得函数y=f(x)+f(x-a)为奇函数;②对任意实数a,均存在实数m 使得函数y=f(x)+f(x-a)关于x=m 对称;③若对任意非零实数a,使得f(x)+f(x-a)≥k 都成立,则实数k 的取值范围为(-∞,4]; ④存在实数k,使得函数y=f(x)+f(x-a)-k 对任意非零实数a 均存在6个零点. 其中的真命题是_____.(写出所有真命题的序号)15.已知点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点,点12,F F 分别为双曲线的左右焦点,点I 是12PF F ∆的内心(三角形内切圆的圆心),若恒有1212IPF IPF IF F S S ∆∆∆-=,则双曲线的渐近线方程是()A.y=±x.2B y x =± .C y =.3D y x =±16.如图,正四棱锥P-ABCD 的底面边长和高均为2,M 是侧棱PC 的中点,若过作该正四棱锥的截面,分别交棱PB ､PD 于点E ､F(可与端点重合),则四棱锥P-AEMF 的体积的取值范围是()1.[,1]2A14.[,]23B4.[1,]3C8.[,1]9D五､[普陀区)11.如图所示,在直角梯形ABCD 中,已知AD//BC,∠ABC=AB=AD=1,BC=2,M 为BD 的中点设P ､Q 分别为线段AB ､CD.上的动点,若P ､M ､Q 三点共线,则AQ CP ⋅的最大值为____.12.设b,c 均为实数,若函数()bf x x c x=++在区间[1,+∞)上有零点,则22b c +的取值范围是___. 16.设b ､c 均为实数,关于x 的方程2||0x b x c ++= 复数集C 上给出下列两个结论:(1)存在b ､c,使得该方程仅有两个共轭虚根. (2)存在b ､c,使得该方程最多有6个互不相等的根. 其中正确的是() (A)①与②均正确(B)①正确,②不正确(C)①不正确,②正确 (D)①与②均不正确六､[青浦区)11.记m a 为数列{3}n在区间*(0,]()m n ∈N 中的项的个数,则数列{}m a 的前100项的和100S =___.12.已知向量e 的模长为1,平面向量,m n 满足:|2|2,||1,m e n e -=-=则m n ⋅的取值范围是___. 七､[徐汇区)11.己知函数f(x)=ax+b(其中a,b ∈R),对任意x ∈[0,1],f(x)≤1则(2a+1)(2b+1)的最小值为___.12.已知双曲线Γ：22145x y -=的左右焦点分别为F 1､F 2,直线与Γ的左右支分别交于点P ､Q(P ､Q 均在x 轴上方).若直线12,PF QF 的斜率均为k,且四边形21PQF F的面积为则k=___.16.设T 是平面直角坐标系xOy 上以A((0,2),(1),1)B C --为顶点的正三角形,考虑以下五种平面上的变换:①绕原点作120°的逆时针旋转;②绕原点作240°的逆时针旋转;③关于直线OA 的对称:④关于直线OB 的对称;⑤关于直线OC 的对称.任选三种变换(可以相同)共有125种变换方式若要使得T 变回起始位置(即点A,B,C 分别都在原有位置),共有() 种变换方式. A.12B.6C.20D.24八､[长宁区)11.设O 为坐标原点,从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取两个不同的元素x ､y,组成A ､B 两点的坐标(x,y)､(y,x),则12arctan 3AOB ∠=的概率为___.12.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为.n S 若数列{}n a 满足:存在三个不同的正整数r,s,t,使得,,r s t a a a 成等比数列,222,,r s t a a a 也成等比数列,则1990nnS S a +的最小值为___.16.设123()|||||2|f x x b kx b x b =-+---,其中常数k>0,123,,b b b ∈R .若函数y=f(x)的图像如图所示,则数组123(,,)b b b 的一组值可以是().(3,1,1);A -.(1,2,1);B -- .(1,2,2);C - .(1,3,1).D -九､[嘉定区)11.设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 首项10,a >公差d<0,若对任意的*,n N ∈总存*,k N ∈使21(21).k n S k S -=-则k-3n 的最小值为___.12.已知函数f(x)=x|x-a|+3x,若存在a ∈[-3,4],使得关于x 的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根,则实数t 的取值范围是___.16.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,点P 是该正方体棱上一点.若满足1||||(0)PB PC m m +=>的点的个数为4,则m 的取值范围是()4]A.[4,2B + .[4,C .[2D +十､[金山区]11.关于x 的方程230(,)x ax b a b R ++-=∈在上有实根,则22(4)a b +-的最小值为___.12.若f(x)=|x+1|+|x+2|+...+|x+2020|+|x-1|+|x-2+...+|x-2020|,x ∈R,且2(32)(1)f a a f a -+=-)则满足条件的所有整数a 的和是____.16.已知△ABC 的外接圆圆心为O,∠A=120°,若(,)AO x AB y AC x y R =+∈,则x+y 的最小值为()1.2A2.3B3.2C D.2十一､[浦东新区) 11.设函数2()||,f x x a a x=--+若关于x 的方程f(x)=1有且仅有两个不同的实数根,则实数a 的取值构成的集合为____.12.对于任意的正实数a ､b,___.16.已知函数2,(),()()x x f x x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数.则下列4个命题:①f(x)是偶函数;②f(x)在[0,+∞)上是增函数; ③f(x)的值域为R;④对于任意的正有理数a ，g(x)=f(x)-a 存在奇数个零点. 其中正确命题的个数为() A.0B.1C.2D.3十二､[杨浦区)11.如图所示矩形ABCD 中,AB=2,AD=1,分别将边BC 与DC 等分成8份,并将等分点自下而上依次记作127,,,,E E E 自左至右依次记作127,,F F F 满足2,j i AE AF ⋅≤(其中*,,1,7i j N i j ∈≤≤)的有序数对(i,j)共有___对.12.已知函数y=f(x)在定义域R 上是单调函数,值域为(-∞,0),满足1(1),3f -=-对于任意x,y ∈R ,都有f(x+y)=-f(x)f(y)，y=f(x)的反函数为1(),y f x -=将y=kf(x)(其中常数k>0)的反函数的图像向上平移1个单位,将得到函数1()y fx -=的图像,则实数k 的值为___.16.设集合{|,0}xA y y a x ==>(其中常数a>0,a≠1),{|,}kB y y x x A ==∈(其中常数k ∈Q),则"k<0"是"A B ⋂=∅"的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件十三､(松江区)11.已知向量||||||1,a b c ===若1,2a b ⋅=且,c xa yb =+则x+y 的最大值为___. 12.对于定义城为D 的函数f(x),若存在12,x x D ∈且12,x x ≠使得221212()()2()f x f x f x x ==+,则称函数f(x)具有性质M.若函数2()|log 1|g x x =-x ∈(0,a]具有性质M,则实数a 的最小值为___.16.记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知点(,)n n a 在直线y=10-2x 上､若有且只有两个正整数n 满足,n S k ≥则实数k 的取值范围是() (A)(8,14](B)(14,18](C)(18,20]81()(18,)4D 十四､[奉贤区)11在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点12,P P 分别是线段B ､1BD (不包括端点)上的动点,且线段12P P 平行于平面11A ADD 则四面体121PP AB 的体积的最大值___.12､已知y=f(x)是奇函数,定义域为[-1,1],当x>0时, 211()|()2|1x a f x x --=-(a>0,a ∈Q),当函数g(x)=f(x)-t 有3个零点I 时,则实数t 的取值范围是___.16.是一个特殊的函数,由德国著名的数学家波恩哈德黎曼发现提出,在高等数学的应用,其定义黎曼函数R(x)为:当(,q x p p =q 为正整数,是既约真分数)时1()R x p=,当x=0或x=1或x 为[0,1]上的无理数时R(x)=0.已知a,b,a+b 都是区间[0,1]内的实数,则下列不等式一定正确的是() A.R(a+b)≥R(a)+R(b) B.R(a·b)≥R(a)·R(b)C.R(a+b)≤R(a)+R(b)D.R(a·b)≤R(a)·R(b)答案一、宝山区11.12.16.二、崇明区11.12.16.三、虹口区11.12.16.四、闵行区11.12.15.16.五、普陀区11.12.16.六、青浦区11.12.七、徐汇区11.12.16.八、长宁区11.16.九、嘉定区11.16.十、金山区11.12.16.十一、浦东新区11.12.16.十二、杨浦区11.12.16.十三、松江区11.12.16.十四、奉贤区11.12.16.。

上海市闵行区2020届高三一模数学试卷及详解2019.12一. 填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分) 1. 已知集合A ={-3,-1,0,1,2}，B ={x ||x |>1},则A ∩B =______ 2. 复数52i -的共轭复数是______ 3. 计算23lim 13(21)x n n →∞+++-L =______4. 已知0<x <1,使得()1x x -取到最大值时，x =______5. 在△ABC 中，已知AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，G 为△ABC 的重心，用向量a r 、b r表示向量AG u u u r=______6. 设函数()f x =22log (1)1log 1x x --，则方程()f x =1的解为______7. 已知()22416012881x a a x a x a x -=+++⋯+则3a =______ (结果用数字表示)8. 若首项为正数的等比数列{n a }，公比q =lg x ,且100a <99a <101a ，则实数x 的取值范围是______9. 如图，在三棱锥D -AEF 中，A 1、B 1、C 1 分别是DA 、DE 、DF 的中点，B 、C 分别是 AE 、AF 的中点，设三棱柱ABC - A 1B 1C 1的 体积为V 1,三棱锥D -AEF 的体积为V 2, 则V 1:V 2=______10. 若O 是正六边形123456A A A A A A 的中心，Q ={i OA u u u r|i =1,2,3,4,5,6}，,,a b c r r r ∈Q,且a r 、b r 、c r 互不相同，要使得()·0b c a +=r r r ，则有序向量组),(,a c b r r r的个数为______11. 若()f x =3x a x a -⋅-，且x ∈(0,1)上的值域为[0,f (1)]，则实数a 的取值范围是______12. 设函数()f x =sin(x )6A πω-(ω>0，A >0)，x ∈[0,2π]，若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：①若0()()f x f x ≥恒成立，则x 的值有且仅有2个；②()f x 在[0,819π]上单调递增；③存在ω和1x ，使得11()()()2f x f x f x π≤≤+对任意x ∈[0,2π]恒成立；④“A ≥1”是“方程()f x =12-在[0,2π]内恰有五个解”的必要条件；所有正确结论的编号是______二. 选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13. 已知直线l 的斜率为2，则直线l 的法向量为（ ）A. (1,2)B. (2,1)C. (1,-2)D. (2,-1) 14. 命题“若x a >，则10x x->”是真命题，实数a 的取值范围是（ ） A. (0,+∞) B. (-∞,1] C. [1,+∞) D. (-∞,0] 15. 在正四面体A -BCD 中，点P 为△BCD 所在平面上的动点，若AP 与AB 所成角为定值θ，θ∈(0,2π)，则动点P 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 16. 已知各项为正数的非常数数列{a n }满足11n a n a a +=，有以下两个结论:①若32a a >，则数列{a n }是递增数列；②数列{a n }奇数项是递增数列；则（ ）A. ①对②错B. ①错②对C. ①②均错误D. ①②均正确三. 解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)17. 如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱(圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上)，圆锥的母线长为4，AB 、CD 是底面的两条直径，且AB =4，AB ⊥CD ，圆柱与圆锥的公共点F 恰好为其所在母线P A 的中点，点O 是底面的圆心.(1) 求圆柱的侧面积；(2) 求异面直线OF 和PC 所成的角的大小.18. 已知函数()f x =22x xa +. (1) 若()f x 为奇函数，求a 的值；(2) 若()f x <3在x ∈[1,3]上恒成立，求实数a 的取值范围.19. 某地实行垃圾分类后，政府决定为A 、B 、C 三个校区建造一座垃圾处理站M ，集中处理三个小区的湿垃圾，已知A 在B 的正西方向，C 在B 的北偏东30°方向，M 在B 的北偏西20°方向，且在C 的北偏西45°方向，小区A 与B 相距2 km ，B 与C 相距3 km .(1) 求垃圾处理站M 与小区C 之间的距离；(2) 假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费用为每公里a 元，一辆小车的行车费用为每公里λa 元(其中λ为满足100λ是1-99内的正整数)，现有两种运输湿垃圾的方案:方案1：只用一辆大车运输，从M 出发，依次经A 、B 、C 再由C 返回到M ； 方案2：先用两辆小车分别从A 、C 运送到B ，然后并各自返回到A 、C ，一辆大车从M 直接到B 再返回到M ；试比较哪种方案更合算？请说明理由. (结果精确到小数点后两位)20. 已知抛物线Γ：2y =8x 和圆Ω:2240x y x +-=，抛物线Γ的焦点为F . (1) 求Ω的圆心到Γ的准线的距离；(2) 若点T (x,y )在抛物线Γ上，且满足x ∈[1,4],过点T 作圆Ω的两条切线,记切线为A 、B ，求四边形TAFB 的面积的取值范围；(3) 如图，若直线l 与抛物线Γ和圆Ω依次交于M 、P 、Q 、N 四点，证明：“|MP |=|QN |=12|PQ |”的充要条件是“直线l 的方程为2x =”.21. 已知数列{a n }满足1a =1，2a =a (a >1)，211n n n n a a a a d +++-=-+（d >0）， n ∈N *.(1) 当d =a =2时，写出4a 所有可能的值；(2) 当d =1时，若221n n a a ->且221n n a a +> 对任意n ∈N *恒成立，求数列{n a }的通项公式；(3) 记数列{n a }的前n 项和为n S ，若{2n a }、{21n a }分别构成等差数列，求2n S .上海市闵行区2020届高三一模数学答案详解一．填空题1. {-3,2}，将A 中元素逐个代入|x |>1，符合条件的有-3、2，即A ∩B ={-3,2}；2. -2+i ，522z i i ==---，2z i ∴=-+；3. 3，1+3+...+(2n -1)2(121)2n n n +-=，22233limlim 313(21)x x n n n n →∞→∞==++-L ；4.12，(1)x x +-≥12≤，当且仅当1x x =-时等号成立，12x =.或设2(1)t x x x x =-=-+，01x <<，转化为二次函数最值问题；5. 211111121,(),333333333a b BG BA BC b a AG AB BG a b a a b+=+=-=+=+-=+u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r r r r r ；6. ()()()222222log 1log log 1,2(2)1x f x x x x x x x x x ==-+=-=-===-，，或舍；7. ()()5652638335615656a x C x x a -=-=-=-，，；8. 221999999991(0,),0,0,11,1,,10a q a a a a q q q q <>∴><∴<>∴<-Q 由且1lg 1,010x x <-∴<<即；9．3:8，1,ABC S S A ABC h =令，点到平面的距离为121218,4S 2,:3:833V Sh V h Sh V V ∴==⋅⋅==；10. 48，①如左图，这样的a r 、b r 有6对，且a r 、b r 可交换，此时c r有2种情况，∴个数为62224⨯⨯=个；②如右图，这样的a r 、b r 有3对，且a r 、b r可交换，此时c r有4种情况，∴个数为32424⨯⨯=3x 2x 4=24个.综上所述，总数为24+24=48个；11. [0，14]，()()()()()230030min f x x a x a a f x f a =--<==>，当，，不符题意；()()[]()()()2200320,101max a f a f a a x f x f f ≥=≥=∈=Q 当，，结合图像，当，或，()()()21101313[0,4)]4(1f f f a a a a a ∴--≥≥∴≤∈Q 值域为[0,(1)]，，即，,综上，；12. ①③④，()()254324.61219[)12f x f x A πππωπω∴≤-<∈=Q 恰有个零点，，，①即有两个交点，正确；②结合右图，当2512ω=时，f (x )在[0,825π]递增，∴②错误;③192512121212]]12122192521925T ππωππππω∈∴∈∈∴Q Q [,]，=(,，(,，存在1()f x 为最小值，1(x )2f π+为最大值，正确;④结合右图，若方程(x)f =12-在[0，2π]内恰有五个解，需满足1(0)2f ≤-，即A ≥1，同时结合左图，当A ≥1，不一定有五个解，正确.二.选择题13.选D ，斜率为2，方向向量可以为(1,2)，∴法向量可以是(2,-1)； 14.选C ，“x >a ”⇒“x >1或x <0”，Q 范围小的推出范围大的，∴a ≥1；15.选B ，以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.当截面与圆锥母线垂直时，轨迹为抛物线，当截面与轴线垂直时，轨迹为圆，由题意可知，AB 不可能垂直于平面BCD ，即轨迹不可能为圆，可进一步计算AB 与平面BCD 所成角为，即θ=arctan 时，轨迹为抛物线，0<θ<arctan 时，轨迹为椭圆，<θ<2π时，轨迹为双曲线一支，Q θ∈(0,4π)，故选B ； 16.选D ，Q {n a }为各项为正数的非常数数列，10a ∴>且10a ≠；(1)当11a >时，显然{n a }为递增数列，①②均正确；(2)当0<1a <1时，3212113111(,1),(,)a a a a a a a a a a =∈=∈，不满足①的前提32a a >，又由，332142411132511134(,)(,),(,)(,)a a a a a a a a a a a a a a a a a a =∈==∈=，依此可得，2212221212(,),(,)k k k k k k a a a a a a --+-∈∈，即偶数项递减，奇数项递增；综上，选D.三.解答题17. (1)设圆柱上底面的圆心为O '，在△P AO 中，F 是P A 的中点，FO '//AO ，OA =2，∴FO '=1，OO '=2S rh π==圆柱侧.(2)F 、O 分别是P A 、AB 的中点，∴FO //PB ，∴异面直线OF 和PC 所成的角等于PB 和PC 的夹角∠BPC ，PB =PC =4，BC =，161683cos BPC 2444+-∠==⨯⨯，∴异面直线OF 和PC 所成的角为3arccos418. (1)解法1：Q x ∈R ，(x)f 为奇函数，∴(0)0f =，即1+a =0，∴a =-1， 当a =-1，1()22x x f x =-，11()22()22x xx x f x f x ---=-=-=-，满足奇函数的条件，∴a =-1. 解法2：()22x x af x =+，x ∈R ，Q ()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=- 1()2222x x x x a f x a ---=+=+⋅，()22x x af x -=--，∴2(a 1)(21)0x ++=恒成立，∴a =-1.(2)Q x ∈[1,3]，()f x <3恒成立，∴由232x x a+<得2322x x a <⋅-恒成立，而2239322(2)24x x x y =⋅-=--+，又2x ∈[2,8]，min 40y ∴=-，40a ∴<-19. (1)在△MBC 中，∠MBC =50°，∠MCB =105°，BC =3，∠BMC =25°，由正弦定理得：3sin 50sin 25MC =o o，3sin 50 5.44sin 25MC ∴=≈oo 答:垃圾处理站M 与小区C 间的距离为5.44公里.(2)在△MBC 中，由3sin105sin 25MB =o o得：3sin105 6.857sin 25MB =≈oo ，在△MAB 中，∠MBA =70°，AB =2，222270MA AB MB AB MB cos =⋅∴+-⋅o ， 6.452MA ∴≈，方案一费用：()()1 6.45223 5.43816.890y a MA AB BC CM a a =+++=+++=； 方案二费用：()()22213.71310|y a MB a AB BC a λλ=++=+， 当12y y >时，方案二合算，此时00.32λ<<； 当12y y <时，方案一合算，此时0.320λ<<;∴当00.32λ<<时，方案二合算；当0.320λ<<时，方案一合算.20. (1)由2240x y x +-=可得：()2224x y -+=，∴Ω的圆心与Γ的焦点F 重合，∴Ω的圆心到Γ的准线的距离为4.(2)四边形TAFB 的面积为：222S =⋅⋅===，∴当x ∈[1,4]时，四边形TAFB 的面积的取值范围为[(2)证明(充分性)：若直线l 的方程为x =2，将x =2分别代入28y x =，2240x y x +-=得：M (2,4)、P (2,2)、Q (2,-2)、N (2,-4)，2N MP Q ∴==，122PQ ⋅=，12MP QN PQ ∴==⋅；(必要性)：若12MP QN PQ ==，则线段MN 与线段PQ 的中点重合， 设l 的方程为x =ty +m ，M (11,x y )、N (22,x y )、P (33,x y )、Q (44,x y )， 则12y y +=34y y +，将x =ty +m 代入28y x =得：2880y ty m --=，12y y +=8t ，△=26432t m +>0，220t m +>，同理可得：()342221m y y t -+=+，()22281m t t -=+即t =0或()22281m t -=+， 即t =0或242m t =--而当242m t =--时，将其代入220t m +>得：2220t -->不可能成立；当t =0时，由280y m -=得：1y =，2y =-；将x =m 代入2240x y x +-=得：3y =4y =12MP PQ =Q ，12=⋅即= 220m m ∴-=，m =2或m =0(舍)，∴直线l 的方程为x =2，∴“12MP QN PQ ==”的充要条件是“直线l 的方程为x =2”.21.(1)当d =a =2时，2112n n n n a a a a +++-=-+，即{1n n a a +-}是以1为首项、2为公差的等差数列，121n n a a n +∴-=- 可得：323a a -=±，435a a -=±，35,1a ∴=，435a a =±410a =或40a =或44a =或46a =-.(2)当d =1时，2111n n n n a a a a +++-=-+，即{1n n a a +-}是首项为a -1、公差为1的等差数列，1112n n a a a n a n +-=-+-=-+21222n n a a a n +-=-+∴，22132n n a a a n --=-+221n n a a ->Q 且221n n a a +>，22122n n a a a n +∴-=-+，22132n n a a a n --=-+21211n n a a +-∴-=-，212n a n -∴=-，221321n n a a n a a n -∴=-++=-+3212n n n a n n a -⎧⎪⎪∴=⎨⎪+-⎪⎩为奇数为偶数(或21n k n a k k n k a -⎧=⎨+-⎩=2-1=2) (3)由己知得：11(1)n n a a a n d +-=-+-（*n N ∈） 若{2n a }、{21n a -}分别构成等差数列，则()221)2(122n n a a a n d n --=±-+⎤⎣⎦≥⎡-②()21212(1)1n n a a a n d n +-=±-+-⎤⎦≥⎡⎣，()2221()121n n a a a nd n ++-=±-+≥，由②+③得：()()2121122(12)12n n a a a n d a n d n +-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-=±-+-±-+-≥， Q {21n a -}是等差数列，2121n n a a +--必为定值，()()2121121122n n a a a n d a n d +-⎡⎤⎡⎤⎣∴-=-+---+-⎦⎣⎦， 或()()2121121122n n a a a n d a n d +--=--+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即2121n n a a d +--=(n 2)>或2121n n a a d +--=-(n 2)> 而由①知321a a a d -=-+，即32(1)a a a d -=±-+ ()3111a a a a d -=-±-+∴，即31a a d -=-或312(a 1)a a d -=-+(舍)， 2121n n a a d +-∴-=-(n ∈N *)，211(n 1)n a d -∴=--(n ∈N *) 同理，由③+④得：[]()22212121n n a a a nd a n d +-=±-++-+-⎡⎤⎣⎦(1)n ≥， 222n n a a d +-=∴或222n n a a d +-=-，由上面的分析可知：()32112a a a d a d -=-+-±-+∴， 而()4312a a a d -=±-+，()42112a a a d a d -=-+-±-+， 即42a d a -=或42222a a a d -=-+-(舍)，222n n a a d +-=∴， ()21n a a n d ∴=+-，从而21221221k k k k a a a a a -+++=+=+(k ∈N *)，()()()()21221...11...11n n n aS a a a a a a n a +∴=+++=++++++=+1444442444443个.。

上海市奉贤区2021-2022学年高三上学期数学一模试卷一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A＝{1，2}，B＝{2，a}，若A∪B＝{1，2，3}，则a＝．2．（4分）计算＝．3．（4分）已知圆的参数方程为（θ为参数），则此圆的半径是．4．（4分）函数y＝sin x﹣cos x的最小正周期是．5．（4分）函数y＝x3+a cos x是奇函数，则实数a＝．6．（4分）若圆锥的底面面积为π，母线长为2，则该圆锥的体积为．7．（5分）函数y＝lg的定义域是．8．（5分）等差数列{a n}满足a3+a2＝8，a4+a3＝12，则数列{a n}前n项的和为．9．（5分）如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口直径是24厘米，灯深10厘米，则灯泡与反射镜顶点的距离是厘米．10．（5分）已知曲线+＝1的焦距是10，曲线上的点P到一个焦点距离是2，则点P 到另一个焦点的距离为．11．（5分）从集合{0，1，2，3，4，5，6，7，8、9}中任取3个不同元素分别作为直线方程Ax+By+C＝0中的A、B、C，则经过坐标原点的不同直线有条（用数值表示）．12．（5分）设平面上的向量、、、满足关系＝﹣，＝m﹣（m≥2），又设与的模均为1且互相垂直，则与的夹角取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列函数中为奇函数且在R上为增函数的是（）A．y＝2x B．y＝|x|C．y＝sin x D．y＝x314．（5分）已知（+）n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n的值为（）A．7B．8C．9D．1015．（5分）对于下列命题：①若a＞b＞0，c＞d＞0，则＞；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则a c＞b d.关于上述命题描述正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题16．（5分）复数（cos2θ+i sin3θ）•（cosθ+i sinθ）的模为1，其中i为虚数单位，θ∈[0，2π]，则这样的θ一共有（）个．A．9B．10C．11D．无数三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）在△ABC中，A、B、C所对边a、b、c满足（a+b﹣c）（a﹣b+c）＝bc．（1）求A的值；（2）若a＝，cos B＝，求△ABC的周长．18．（14分）第一象限内的点P在双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上，双曲线的左、右焦点分别记为F1、F2，已知PF1⊥PF2，|PF1|＝2|PF2|，O为坐标原点．（1）求证：b＝2a；（2）若△OF2P的面积为2，求点P的坐标．19．（14分）图1是某会展中心航拍平面图，由展览场馆、通道等组成，可以假设抽象成图2，图2中的大正方形AA1A2A3是由四个相等的小正方形（如ABCD）和宽度相等的矩形通道组成．展览馆可以根据实际需要进行重新布局成展览区域和休闲区域，展览区域由四部分组成，每部分是八边形，且它们互相全等．图2中的八边形EFTSHQMG是小正方形ABCD中的展览区域，小正方形ABCD中的四个全等的直角三角形是休闲区域，四个八边形是整个的展览区域，16个全等的直角三角形是整个的休闲区域．设ABCD的边长为300米，△AEF的周长为180米．（1）设AE＝x，求△AEF的面积y关于x的函数关系式；（2）问AE取多少时，使得整个的休闲区域面积最大．（长度精确到1米，面积精确到1平方米）20．（16分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，P A＝AB＝2，E、F分别为PB、PD的中点，平面AEF与棱PC的交点为G．（1）求异面直线AE与PF所成角的大小；（2）求平面AEGF与平面ABCD所成锐二面角的大小；（3）求点G的位置．21．（18分）已知数列{a n}满足a n＝．（1）当q＞1时，求证：数列{a n}不可能是常数列；（2）若qt＝0，求数列{a n}的前n项的和；（3）当q＝，t＝1时，令b n＝（n≥2，n∈N），判断对任意n≥2，n∈N，b n是否为正整数，请说明理由．上海市奉贤区2021-2022学年高三上学期数学一模试卷答案与解析一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A＝{1，2}，B＝{2，a}，若A∪B＝{1，2，3}，则a＝3．【分析】利用集合并集的定义求解即可．【解答】解：因为集合A＝{1，2}，B＝{2，a}，A∪B＝{1，2，3}，则a＝3．故答案为：3．2．（4分）计算＝．【分析】直接利用数列的极限的运算法则，化简求解即可．【解答】解：＝＝＝．故答案为：﹣．3．（4分）已知圆的参数方程为（θ为参数），则此圆的半径是2．【分析】根据已知条件，结合三角函数的同角公式，即可求解．【解答】解：∵圆的参数方程为（θ为参数），∴，sinθ＝，∵sin2θ+cos2θ＝1，∴，即x2+y2＝4，∴此圆的半径为2．故答案为：2．4．（4分）函数y＝sin x﹣cos x的最小正周期是2π．【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数的周期．【解答】解：函数y＝sin x﹣cos x＝2sin（x﹣），所以函数的周期为：＝2π．故答案为：2π．5．（4分）函数y＝x3+a cos x是奇函数，则实数a＝0．【分析】由已知结合奇函数性质f（0）＝0代入可求．【解答】解：由奇函数性质得，f（0）＝a＝0，此时f（x）＝x3为奇函数．故答案为：0．6．（4分）若圆锥的底面面积为π，母线长为2，则该圆锥的体积为．【分析】求出圆锥的底面半径，根据勾股定理求出圆锥的高，再利用公式计算圆锥的体积．【解答】解：圆锥的底面面积为π，所以，底面半径为r＝1，母线长为l＝2，所以圆锥的高为h＝＝；所以圆锥的体积为V＝πr2h＝．故答案为：．7．（5分）函数y＝lg的定义域是（﹣∞，log23）．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：由题意可知3﹣2x＞0，∴2x＜3，∴x＜log23，∴函数的定义域为（﹣∞，log23），故答案为：（﹣∞，log23），8．（5分）等差数列{a n}满足a3+a2＝8，a4+a3＝12，则数列{a n}前n项的和为n2．【分析】由已知结合等差数列的性质先求出公差d，进而可求首项a1，然后结合等差数列的求和公式可求．【解答】解：因为等差数列{a n}中，a3+a2＝8，a4+a3＝a3+d+a2+d＝12，所以d＝2，所以a1+2d+a1+d＝8，所以a1＝1，则数列{a n}前n项的和S n＝＝n+n（n﹣1）＝n2．故答案为：n2．9．（5分）如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口直径是24厘米，灯深10厘米，则灯泡与反射镜顶点的距离是 3.6厘米．【分析】先设出抛物线的标准方程y2＝2px（p＞0），点（10，12）代入抛物线方程求得p，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离．【解答】解：建立平面直角坐标系，以O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y 轴，如图所示：则：设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），点（10，12）在抛物线y2＝2px上，∴144＝2p×10．∴＝3.6．∴灯泡与反射镜的顶点O的距离3.6cm．故答案为：3.6．10．（5分）已知曲线+＝1的焦距是10，曲线上的点P到一个焦点距离是2，则点P 到另一个焦点的距离为2﹣2或10．【分析】利用曲线是椭圆或双曲线，结合已知条件求解a，通过圆锥曲线的定义，转化求解即可．【解答】解：当曲线是椭圆时，因为焦距为10，所以a﹣16＝25，所以a＝41，由椭圆的定义，可得点P到另一个焦点的距离为：2﹣2；当曲线是双曲线时，a＜0，所以16﹣a＝25，解得a＝﹣9，此时点P到另一个焦点的距离为：2×4+2＝10．故答案为：2﹣2或10．11．（5分）从集合{0，1，2，3，4，5，6，7，8、9}中任取3个不同元素分别作为直线方程Ax+By+C＝0中的A、B、C，则经过坐标原点的不同直线有54条（用数值表示）．【分析】先根据条件知道C＝0，再根据计算原理计算即可．【解答】解：若直线方程Ax+By+C＝0经过坐标原点，则C＝0，那么A，B任意取两个即可，有＝72，其中，1，2；2，4；3，6；4，8；重复；1，3；2，6；3，9；重复；1，4；2，8；重复；2，3；4，6；6，9；重复；3，4；6，8；重复；所以满足条件的直线有72﹣18＝54．故答案为：54．12．（5分）设平面上的向量、、、满足关系＝﹣，＝m﹣（m≥2），又设与的模均为1且互相垂直，则与的夹角取值范围为[arccos，]．【分析】求出，由与的模均为1且互相垂直，m≥2，求出||，||，由向量数量积公式求出，进而求出与的夹角余弦值，由此能求出与的夹角取值范围．【解答】解：∵平面上的向量、、、满足关系＝﹣，＝m﹣（m≥2），∴，∵与的模均为1且互相垂直，m≥2，∴||＝＝，||＝＝，＝＝，∴与的夹角余弦值为：∴cos＜＞＝＝＝，∵m≥2，∴cos＜＞＝≥，∵＜＞∈[0，π]，∴与的夹角取值范围为[arccos，]．故答案为：[arccos，]．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列函数中为奇函数且在R上为增函数的是（）A．y＝2x B．y＝|x|C．y＝sin x D．y＝x3【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．【解答】解：y＝2x不是奇函数，A不符合题意；y＝|x|为偶函数，不符合题意；y＝sin x在R上不单调，不符合题意；根据幂函数性质可知，y＝x3为奇函数且在R上单调递增，符合题意．故选：D．14．（5分）已知（+）n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n的值为（）A．7B．8C．9D．10【分析】展开式中前三项的系数分别为1，，，根据其成等差数列可得n的值．【解答】解：（+）n的展开式的通项公式为：T r+1＝••（）n﹣r•（）r，展开式中前三项的系数分别为1，，，由题意得2×＝1+，∴n＝8，（n＝1舍）．故选：B．15．（5分）对于下列命题：①若a＞b＞0，c＞d＞0，则＞；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则a c＞b d.关于上述命题描述正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题【分析】对于①，结合不等式的性质，即可求解，对于②，结合特殊值法，即可求解．【解答】解：对于①，∵c＞d＞0，∴，∴＞0，即，∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴a+c＞b+d＞0，∴＞，故①为真命题，对于②，令a＝c＝，b＝d＝，满足a＞b＞0，c＞d＞0，但a c＝b d，故②为假命题．故选：C．16．（5分）复数（cos2θ+i sin3θ）•（cosθ+i sinθ）的模为1，其中i为虚数单位，θ∈[0，2π]，则这样的θ一共有（）个．A．9B．10C．11D．无数【分析】先根据复数（cos2θ+i sin3θ）•（cosθ+i sinθ）的模为1及复数模的运算公式，求得cos22θ+sin23θ＝1，即cos22θ＝cos23θ，接下来分cos2θ＝cos3θ与cos2θ＝﹣cos3θ两种情况进行求解，结合0∈[0，2π]，求出θ的个数．【解答】解：|（cos2θ+i sin3θ）•（cosθ+i sinθ）|＝|cos2θ+i sin3θ|•|cosθ+i sinθ|，其中|cosθ+i sinθ|＝1，所以|cos2θ+i sin3θ|＝1，即cos22θ+sin23θ＝1，cos22θ＝1﹣sin23θ，当cos2θ＝cos3θ时，①2θ＝3θ+2k1π，k1∈Z，所以θ＝﹣2k1π，k1∈Z，因为θ∈[0，2π]所以θ＝0或2π；②2θ＝﹣3θ+2k2π，k2∈Z，所以，因为θ∈[0，2π]，所以θ＝0，，或2π；当cos2θ＝﹣cos3θ时，①2θ＝3θ+（2k3+1）π，k3∈Z，即θ＝﹣（2k3+1）π，k3∈Z，因为θ∈[0，2π]，所以θ＝π，③2θ＝﹣3θ+（2k4+1）π，k4∈Z，即，因为θ∈[0，2π]，所以，，，，综上：，m＝0，1，•，10一共有11个．故选：C．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）在△ABC中，A、B、C所对边a、b、c满足（a+b﹣c）（a﹣b+c）＝bc．（1）求A的值；（2）若a＝，cos B＝，求△ABC的周长．【分析】（1）根据已知条件和余弦定理求出A；（2）先求出sin B，再利用正弦定理求出b，再利用余弦定理求出c，即可得出结果．【解答】解：（1）∵（a+b﹣c）（a﹣b+c）＝bc，∴a2﹣（b﹣c）2＝bc，化简可得a2﹣b2﹣c2＝﹣bc，由余弦定理可得，故A＝．（2）∵，B∈（0，π），∴，由正弦定理可得，即，求得b＝，由余弦定理得：，即，解得，其中c＞0，故，故△ABC的周长为．18．（14分）第一象限内的点P在双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上，双曲线的左、右焦点分别记为F1、F2，已知PF1⊥PF2，|PF1|＝2|PF2|，O为坐标原点．（1）求证：b＝2a；（2）若△OF2P的面积为2，求点P的坐标．【分析】（1）由|PF1|＝2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|＝2a，解得|PF1|，|PF2|，根据PF1⊥PF2，利用勾股定理及其c2＝a2+b2，即可证明结论．（2）由题意可得：×2a×4a＝2×2，c•|y P|＝2，b＝2a，c2＝a2+b2，解出y P，并且代入双曲线方程解得x P．【解答】解：（1）证明：∵|PF1|＝2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，∵PF1⊥PF2，∴（2c）2＝（4a）2+（2a）2，化为：c2＝5a2，又c2＝a2+b2，∴b2＝4a2，a＞0，b＞0，∴b＝2a．（2）由题意可得：×2a×4a＝2×2，c•|y P|＝2，又b＝2a，c2＝a2+b2，解得a＝1，b＝2，y P＝±，把y P＝±代入双曲线方程：﹣＝1，x P＞0，解得x P＝．∴P（，±）．19．（14分）图1是某会展中心航拍平面图，由展览场馆、通道等组成，可以假设抽象成图2，图2中的大正方形AA1A2A3是由四个相等的小正方形（如ABCD）和宽度相等的矩形通道组成．展览馆可以根据实际需要进行重新布局成展览区域和休闲区域，展览区域由四部分组成，每部分是八边形，且它们互相全等．图2中的八边形EFTSHQMG是小正方形ABCD中的展览区域，小正方形ABCD中的四个全等的直角三角形是休闲区域，四个八边形是整个的展览区域，16个全等的直角三角形是整个的休闲区域．设ABCD的边长为300米，△AEF的周长为180米．（1）设AE＝x，求△AEF的面积y关于x的函数关系式；（2）问AE取多少时，使得整个的休闲区域面积最大．（长度精确到1米，面积精确到1平方米）【分析】（1）根据给定条件结合勾股定理用x表示出AF长即可求出函数关系式．（2）利用（1）的函数关系借助换元法求出y的最大值及对应的x值即可计算作答．【解答】解：（1）依题意，在Rt△AEF中，EF＝，则有x+AF+＝180，解得AF＝（0＜x＜90），则△AEF的面积y＝＝，所以△AEF的面积y于x函数关系式是：y＝（0＜x＜90）；（2）由（1）知，y＝（0＜x＜90），令180﹣x＝t∈（90，180），y＝＝90[270﹣（t+）]≤90（270﹣2）＝8100（3﹣2），当且仅当t＝，即t＝90时取“＝”，整个休闲区域是16个与Rt△AEF全等的三角形组成，因此整个休闲区域面积最大，当且仅当△AEF的面积y最大，当t＝90，即x＝180﹣90≈53米，整个休闲区域面积最大为y＝平方米，所以当AE取53米时，整个休闲区域面积最大为22235平方米．20．（16分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，P A＝AB＝2，E、F分别为PB、PD的中点，平面AEF与棱PC的交点为G．（1）求异面直线AE与PF所成角的大小；（2）求平面AEGF与平面ABCD所成锐二面角的大小；（3）求点G的位置．【分析】（1）作出辅助线，找到异面直线AE与PF所成的角是∠OEA（或补角），利用余弦定理求出；（2）作出辅助线，找到平面AEGF与平面ABCD所成锐二面角为∠OAQ，经过计算得到；（3）证明出A、Q、G三点共线，利用第二问的求出的，和题干中的条件确定点G的位置．【解答】解：（1）连接AC，BD，相交于点O，因为四边形ABCD是正方形，所以O是正方形的中心，连接PO，因为四棱锥P﹣ABCD是正四棱锥，则PO⊥底面ABCD，连接OE，因为E为PB的中点，所以EO是△PBD的中位线，所以EO∥PD，∠OEA（或补角）即为异面直线AE与PF所成角的大小，因为正四棱锥P﹣ABCD中，，所以△P AB是等边三角形，所以，由勾股定理得：，所以AO＝2，因为PO⊥BD，E为PB的中点，所以，在△AOE中，由余弦定理得：，所以异面直线AE与PF所成角的大小为．（2）连接EF，与OP相交于点Q，则Q为OP，EF的中点，因为EF分别为PBPD的中点，所以EF是三角形PBD的中位线，所以EF∥BD，因为BD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，设平面AEGF与平面ABCD相交于直线l，故EF∥l∥DB，连接QA，则因为AE＝AF，所以AQ⊥EF，又因为OA⊥BD，故∠QAO即为平面AEGF与平面ABCD所成锐二面角，其中，AO＝2，所以，故，即平面AEGF与平面ABCD所成锐二面角的大小为．（3）延长AQ，则由两平面相交的性质可得AQ一定过点G，过点G作GM∥PO交AC于点M，因为PO⊥底面ABCD，所以GM⊥底面ABCD，设GM＝CM＝x，则AM＝4﹣x，由第二问知：，所以，即，解得：，故，所以点G的位置为线段PC靠近P的三等分点．21．（18分）已知数列{a n}满足a n＝．（1）当q＞1时，求证：数列{a n}不可能是常数列；（2）若qt＝0，求数列{a n}的前n项的和；（3）当q＝，t＝1时，令b n＝（n≥2，n∈N），判断对任意n≥2，n∈N，b n是否为正整数，请说明理由．【分析】（1）由题干条件得到a2＝2q+＞2，故可说明数列{a n}不可能是常数列；（2）分q＝0，t≠0与t＝0，q≠0两种情况进行求解；（3）先求出b2＝4，b3＝24，故猜想对任意n≥2，n∈N，b n是正整数，对b n＝（n≥2，n∈N）平方后整理为，代入＝中，消去a n，得到关于b n的式子，再进行整理得到b n+1＝2b n（b2n﹣1+1），故可类推出结果．【解答】解：（1）证明：a2＝qa1+＝2q+，因为q＞1，t≥0，所以a2＝2q+＞2，故当q＞1时，数列{a n}不可能是常数列；（2）因为qt＝0，q2+t2≠0，所以当q＝0时，t≠0，n≥2时，a n＝，即当n为奇数时，a n＝2；当n为偶数时，a n＝，设数列{a n}的前n项的和为S n，当n为奇数时，S n＝（2+）×+2＝n+1+，当n为偶数时，S n＝（2+）×＝n+，综上：S n＝，当t＝0时，q≠0，n≥2时，a n＝qa n﹣1，此时{a n}为等比数列，首项为2，公比为q，当q＝1时，S n＝2n，当q≠1时，S n＝，故S n＝．（3）对任意n≥2，n∈N，b n是正整数，理由如下：当q＝，t＝1时，a2＝a1+＝，所以b2＝4，a3＝a2+＝，b3＝24，猜想：b n＝（n≥2，n∈N）为正整数，证明：b n＝＞0，则，a2n+1＝+2，代入到＝中得：＝（+2）++1，整理得：b2n+1＝b2n（4+2b2n），从而b2n＝b2n﹣1（4+2b2n﹣1），（n≥3），于是b2n+1＝b2n[4+2b2n﹣1（4+2b2n﹣1）]，所以b n+1＝2b n（b2n﹣1+1），因此知，当b2∈N时，b3∈N；当b3∈N时，b4∈N，以此类推，所以对任意n≥2，n∈N，b n∈N．。

高三数学一模考试试题（含解析）一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.若(1)2z i i +=（i 是虚数单位），则||z =________．【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算性质先求出z ，再根据模的计算公式求解即可． 【详解】解：∵(1)2z i i +=，∴21iz i ==+()()()21111i i i i i -=++-，∴||z ==．【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算性质，考查复数的模，属于基础题． 2.已知4251λλ-=-，则λ=________【答案】3 【解析】 【分析】由行列式的计算公式化简求解即可． 【详解】解：4251λλ-=-()()4125λλ∴-⨯-⨯-=，解得3λ=， 故答案为：3．【点睛】本题考查二阶行列式的计算，属于基础题． 3.函数13x y -=（1x ≤）的反函数是________【答案】31log ,(0,1]y x x =+∈ 【解析】【分析】首先求出函数的值域，再利用反函数的求法，先反解x ，再对换x ，y ，求出即可． 【详解】解：13(1)x y x -=，(]0,1y ∴∈，得31log x y -=，x ，y 对换，得31log y x =+，(]0,1x ∈，故答案为：31log y x =+，(]0,1x ∈，【点睛】本题考查了反函数的求法，属于基础题．4.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有_______ 场球赛. 【答案】66 【解析】 【分析】直接利用组合数的应用求出结果．【详解】解：根据题意利用组合数得2121211662C ⨯==． 故答案为：66．【点睛】本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．5.以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是________【答案】22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】首先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，进一步求出圆的方程． 【详解】解：抛物线26y x =-的焦点坐标为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线的方程为32x =， 所以焦点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．故答案为：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 6.在53(1)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为________ 【答案】9- 【解析】 【分析】利用二项展开式把5(1)x -展开，再求展开式中3x 的系数． 【详解】解：53(1)(1)x x -+()()2345315101051x x x x x x =-+-+-+()()23453234515101051510105x x x x x x x x x x x =-+-+-+-+-+-则含3x 的项有310x -与3x 两项∴展开式中3x 的系数为1109-=-．故答案为：9-．【点睛】本题考查了二项式系数的性质与应用问题，属于基础题． 7.不等式22|2|36x x x x -->--的解集是________ 【答案】(4,)-+∞ 【解析】 【分析】将不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--，再根据220x x -+>恒成立，则原不等式等价于22236x x x x -+>--解得即可；【详解】解：不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--， 由于函数22y x x =-+的图象在x 轴上方，所以220x x -+>恒成立，所以22236x x x x -+>--， 解得4x >-，故不等式的解集为(4,)-+∞． 故答案为：(4,)-+∞【点睛】本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.已知方程220x kx -+=（k ∈R ）的两个虚根为1x 、2x ，若12||2x x ，则k =_____【答案】2± 【解析】 【分析】由题意设1x a bi =+，2(,)x a bi a b R =-∈，利用根与系数的关系结合12||2x x 求得a 与b 的值，则k 可求． 【详解】解：方程程220x kx -+=的两个虚根为1x 、2x ，可设1x a bi =+，2(,)x a bi a b R =-∈． 122x x a k ∴+==，22122x x a b =+=，12||2x x -=，|2|2bi ∴=， 联立解得：1b =±，1a =±．2k ∴=±．故答案为：2±．【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.已知直线l 过点(1,0)-且与直线20x y -=垂直，则圆22480x y x y +-+=与直线l 相交所得的弦长为__【答案】【解析】 【分析】先求出直线l 的方程，再求出圆心C 与半径r ，计算圆心到直线l 的距离d ，由垂径定理求弦长||AB ．【详解】解：由题意可得，l 的方程为210x y ++=，22480x y x y +-+=可化为22(2)(4)20x y -++=，圆心(2,4)-，半径r =，∴圆心(2,4)-到l的距离d ==，AB ∴==故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，属于基础题．10.有一个空心钢球，质量为142g ，测得外直径为5cm ，则它的内直径是________cm （钢的密度为7.93/g cm ，精确到0.1cm ）【答案】4.5 【解析】 【分析】直接利用球的体积公式和物理学的关系式的应用求出结果． 【详解】解：设钢球的内半径为r ， 所以33457.9 3.1414232r ⎡⎤⎛⎫⨯⨯⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得 2.25r ≈． 故内直径为4.5cm ． 故答案为：4.5．【点睛】本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11.已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n c a b =⋅，若{}n c 前三项是7、9、9，则10c =_______ 【答案】47- 【解析】 【分析】{}n a 、{}n b 均是等差数列，故{}n c 为二次函数，设2n c an bn c =++，根据前3项，求出a ，b ，c 的值，即可得到10c ．【详解】解：因为{}n a 、{}n b 均是等差数列，其通项公式均为关于n 的一次式，所以n n nc a b =⋅为关于n 的二次式，故设2n n n c c b n a an b =+⋅+=，17c =，29c =，39c =则7429939a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得153a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩253n c n n ∴+-+=210110510347c ∴=-⨯+⨯+=-， 故答案为：47-．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．12.已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为________【答案】 【解析】 【分析】先根据基本不等式得到22()24b a b a b a b +-⎛⎫-=⎪⎝⎭；再利用基本不等式即可求解． 【详解】解：因0:a b >>22()24b a b a b a b +-⎛⎫∴-≤=⎪⎝⎭； 所以222166416()a a b a b a +≥+≥=-．当且仅当464a b a b ⎧=⎨=-⎩，即a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取等号，此时(,)P a b的坐标为：(． 故答案为：(．【点睛】本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13.若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1)e ，上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ） A. 01a <<B.11a e<< C.111a e-<< D.111a e+<< 【答案】C 【解析】 【分析】函数f(x)在定义域内单调递增，由零点存在性定理可知()()10,0f f e <>，解不等式即可求得a 的取值范围.【详解】函数1()ln f x x a x=-+在区间()1,e 上为增函数， ∵(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>， 可得111a e-<< 故选：C ．【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况. 14.下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 2()log (41)x f x x =+-B. ()||2cos f x x x =-C. 2210()0x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩D. |lg |()10x f x =【答案】A 【解析】 【分析】由偶函数的定义，及在[0,)+∞上单调即可求解； 【详解】解：对于2241:()log (41)log 4x xx A f x x x -+-=++=+2222log (41)log 2log (41)()x x x x x f x =+-+=+-=．且2222(2)11()log (41)log log (2)22x xxx xf x x +=+-==+， 当0x 时，函数122xx y =+单调递增，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，故A 正确； :0B x >时，()2cos f x x x =-，令()12sin 0f x x '=->，得(0x ∈，52)(266k k ππππ++⋃，*22)()k k N ππ+∈，故B 不正确；:0C x ≠时，2212x x +，当且仅当221x x =，即1x =±时，等号成立， ∴不满足在[)0,+∞上单调递增，故C 不正确；对于D ：|lg |()10x f x =定义域为()0,∞+，由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D 错；故选：A ．【点睛】考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于基础题；15.已知平面αβγ、、两两垂直，直线a b c 、、满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线a b c 、、不可能满足以下哪种关系（ ） A. 两两垂直 B. 两两平行 C. 两两相交 D. 两两异面【答案】B 【解析】 【分析】通过假设//a b ，可得,a b 平行于,αβ的交线，由此可得c 与交线相交或异面，由此不可能存在////a b c ，可得正确结果.【详解】设l αβ=，且l 与,a b 均不重合假设：////a b c ，由//a b 可得：//a β，//b α 又l αβ=，可知//a l ，//b l又////a b c ，可得：//c l因为,,αβγ两两互相垂直，可知l 与γ相交，即l 与c 相交或异面 若l 与a 或b 重合，同理可得l 与c 相交或异面 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行 本题正确选项：B【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果. 16.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：22sin cos sin()a x b xa b x，πϕπ-<<，下列判断错误的是（ ）A. 当0a >，0b >时，辅助角arctan b a ϕ=B. 当0a >，0b <时，辅助角arctan ba ϕπ=+C. 当0a <，0b >时，辅助角arctan ba ϕπ=+D. 当0a <，0b <时，辅助角arctan baϕπ=-【答案】B 【解析】 【分析】分别判断出a ，b 的值，对辅助角ϕ的影响． ①0a >，0b >，则辅助角ϕ在第一象限； ②0a >，0b <，则辅助角ϕ在第四象限； ③0a <，0b <，则辅助角ϕ在第三象限； ④0a <，0b >，则辅助角ϕ在第二象限． 【详解】解：因为cos ϕ=sin ϕ=，tan baϕ=，(,]ϕππ∈-对于A ，因为0a >，0b >，则辅助角ϕ在第一象限02πϕ∴<<，0b a>，arctan (0,)2b a π∴∈，故A 选项正确；对于B ，因为0a >，0b <，则辅助角ϕ在第四象限02πϕ∴-<<；0b a <， arctan (,)2b a πππ∴+∈，故B 选项错误； 对于C ，因为0a <，0b >，则辅助角ϕ在第二象限2πϕπ∴<<；0b a <， arctan (,)2b a πππ∴+∈，故C 选项正确； 对于D ，因为0a <，0b <，则辅助角ϕ在第三象限2ππϕ∴-<<-，0b a <， arctan (,)2b a πππ∴-∈--，故D 选项正确； 故选：B ．【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力，属于中档题． 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ︒∠=，13DD =，E 是AB 的中点.（1）求四棱锥1C EBCD -的体积；（2）求异面直线1C E 和AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 【答案】（133；（2）5arccos 8；【解析】 【分析】（1）求解三角形求出底面梯形BCDE 的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，由题意可得11//AD B C ，则11B C E ∠即为异面直线1C E 和AD 所成角，求解三角形得答案．【详解】解：（1）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中， 底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，B ∴到DC 边的距离为3，又E 是AB 的中点，1BE ∴=，则()3311232BCDE S =+⨯=梯形． 13DD =，∴11333311333C BCDE BCDE V S DD -=⨯=⨯⨯=四边形；（2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//AD B C ，11B C E ∴∠即为异面直线1C E 和AD 所成角，连接1B E ，在11C B E ∆中，112B C =，2213110B E =+=， 222211121211()942C E EC CC =+=+-⨯⨯⨯-+=．2221124(10)5cos 8B C E +-∴∠==，∴异面直线1C E 和AD 所成角的大小为5arccos 8．【点睛】本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．18.已知函数()sin cos()cos 2f x x x x x π=+.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心； （2）若()f x a =在区间[0,]2π上有两个解1x 、2x ，求a 的取值范围及12x x +的值.【答案】（1）π，对称中心：1,,2122k k Z ππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭；（2）10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，123x x π+=【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数a 的范围和12x x +的值．【详解】解：（1）函数()sin cos cos 2f x x x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21cos 21sin 22sin 2262x x x x x π-⎛⎫=-+=-+=+- ⎪⎝⎭． 所以函数的最小正周期为22T ππ==， 令2()6x k k Z ππ+=∈，解得()212k x k Z ππ=-∈， 所以函数的对称中心为1,()2122k k Z ππ⎛⎫--∈⎪⎝⎭． （2）由于02xπ，所以72666x πππ+，在区间[0,]2π上有两个解1x 、2x ，所以函数1sin 2126x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭时，函数的图象有两个交点， 故a 的范围为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭．由于函数的图象在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上关于6x π=对称， 故12263x x ππ+=⋅=．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.一家污水处理厂有A B 、两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.（1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A B 、两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时） 【答案】（1）7小时；（2）17小时 【解析】 【分析】（1）由题意可得A 池每小时剩余原来的90%，设A 池要用t 小时才能把污物的量减少一半，则0.90.5x =，两边取对数，计算可得所求值；（2）设A 、B 两池同时工作，经过x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池每小时剩余原来的81%，可得090.810.12x x+=，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值． 【详解】解：（1）A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，剩余原来的90%， 设A 池要用t 小时才能把污物的量减少一半， 则0.90.5x=，可得0.570.9lg x lg =≈， 则A 池要用7小时才能把污物的量减少一半；（2）设A 、B 两池同时工作，经过x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%，剩余原来的81%， 可得090.810.12x x+=，即20.90.90.20x x +-=， 可得0.9x=， 可得170.9lg x lg ⎝⎭=≈． 则A 、B 两池同时工作，经过17小时后把两池水混合便符合环保规定．【点睛】本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.已知直线:l x t =(02)t <<与椭圆22:142x y Γ+=相交于AB 、两点，其中A 在第一象限，M 是椭圆上一点.（1）记1F 、2F 是椭圆1(,]2t ∈-∞的左右焦点，若直线AB 过2F ，当M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等时，求点M 的横坐标；（2）若点M A 、关于y 轴对称，当MAB △的面积最大时，求直线MB 的方程； （3）设直线MA 和MB 与x 轴分别交于P Q 、，证明：||||OP OQ ⋅为定值.【答案】（1）642-+（2）2y x =；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得焦点1F ，2F 的坐标，进而可求出A 的坐标，设M 的坐标，注意横坐标的范围[]22-,，在椭圆上，又M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等，可求出M 的横坐标； （2）M ，A ，3B 个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB 的方程；（3）设M ，A 的坐标，得出直线MA ，MB 的方程，进而求出两条直线与x 轴的交点坐标，用M ，A 的坐标表示，而M ，A 又在椭圆上，进而求出结果． 【详解】（1）设1(,),(2,0)M x y F -22(2)||x y x t ++=-，联立椭圆方程：22:142x y Γ+=，把22122y x =-代入得：22221222222x x x x tx t +++-=-+，(22)2x t ∴=--；又因为2t =，代入得：642M x =-+；（2）设()()11,,A t y B t y -，则()1,M t y -，则12MABSt y =⋅，又因为()1,A t y 在椭圆22:142x y Γ+=上，所以221142y t +=，11122t y ∴≥1ty ∴≤则MAB S≤，当且仅当1t =时，取等号，即t =，则(1)M B -，所以:2MB l y x =-； （3）设()()()1100,,,,,A t y B t y M x y -，则01100110:():()MA MB y y l y x t y x ty y l y x t y x t-⎧=-+⎪-⎪⎨+⎪=--⎪-⎩100101001,00,0d y t y x P y y y y t y x Q y y ⎧⎛⎫-⎪⎪-⎪⎝⎭=⎨⎛⎫+⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎩令，则22220102201||||=y t y x O Q y P O y --⋅，又因为2212200122122y t y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入得：2202222||||41122t x OP OQ t x -⋅==-，故为定值.【点睛】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．21.已知数列{}n a 满足11a =，2a e =（e 是自然对数的底数），且2n a +=令ln n nb a =（n ∈*N ）.（1）证明：2n b +> （2）证明：211{}n n n n b b b b +++--是等比数列，且{}n b 的通项公式是121[1()]32n n b -=--；（3）是否存在常数t ，对任意自然数n ∈*N 均有1n n b tb +≥成立？若存在，求t 的取值范围，否则，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，12t ≤ 【解析】 【分析】（1）由已知可得：1n a >．利用基本不等式的性质可得：112n n nlna lna lna +++，可得1n lna lna +，代入化简即可得出．（2）设1+=-n n n c b b ，由2n a +=*()n n b lna n N =∈．可得121112n n n n n n c b b c b b ++++-==--．即可证明211n n n n b b b b +++⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +成立．由（2）可得：1211032n n b -⎡⎤⎛⎫=--≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．1n =时，10t ，解得t R ∈．2n 时，1min n n b t b +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，利用单调性即可得出．【详解】解：（1）依题意得，要证明2n b +>2ln na + 又因为2n a +=2lnn a +=，要证明2lnn a+>> 要证明>()1ln n n aa +⋅> 又因为1ln ln n n a a ++≥.（2）设1+=-n n n c b b ，因为2n a +=*ln ()n n b a n N =∈，则2112111111lnln 212ln ln n n nn n n n n n n n n n n a ac b b a a a a c b b a a +++++++++--====--所以：{}1n n b b +-是公比为12的等比数列，则()111211122n n n n b b b b --+⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()121321n n n b b b b b b b b -∴=+-+-++-2211101()()()222n -=++-+-+⋯⋯+-11111221113212n n --⎡⎤⎛⎫⋅--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭． nb 的通项公式是121132n n b -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦； （3）假设存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +≥成立，由（2）知，1211032n n b -⎡⎤⎛⎫=--≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 1︒当1n =时，t R ∈；2︒当2n ≥时，1minn n b t b +⎛⎫≤⎪⎝⎭， 而1111(2)1(2)23321(2)2(2)2(2)2112nn n n n n n n b b +-⎛⎫-- ⎪---+-⎝⎭-===--+-+-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则当2n =时，m 132in12n n b b b b +⎛⎫==⎪⎝⎭，故存在这样的t ，12t ≤ 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2013年上海市高三数学一模客观压轴题汇编一、填空题1（2014年闵行区一模理科12）设,i j r r依次表示平面直角坐标系x 轴、y 轴上的单位向量，且25a i a j -+-=r r r r ，则2a i +r r 的取值范围是答案：65[,3]5详解：根据题意，25a i a j -+-=r r r r的几何意义为一个点到(1,0)的距离加上这个点到(0,2)的距离等于5，如下图所示，即到A 点的距离加上到B 的距离等于5，而AB 就等于5，所以这个点的轨迹即线段AB ，而我们要求的取值范围的几何意义即转化成线段AB 上的点到点(2,0)-的距离的取值范围，最短距离即下图中的CD 的长度，用点到直线的距离公式或者等面积法可求得655CD =，因为22BC =，3AC =，所以距离的最大值为3教法指导：用代数的方法计算，因为有根号，过程会很繁杂，结合向量的模的几何意义，转化成图形问题，简洁明了，易于理解，教学过程中注意引导数形结合的使用2（2014年闵行区一模理科13）22log (04)()2708(4)33x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,,a b c d 互不相同，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是 答案：(32,35)详解：根据题意，如图所示，1ab =，2(12)12abcd cd c c c c ==-=-，45c <<，所以答案为(32,35)教法指导：这类题出现较多，典型的数形结合题型，要让学生熟悉各类函数图象，以及相应的性质，尤其是对称性和周期性；在草稿纸上作图的时候，虽然是草图，但有必要做出一些特殊点进行定位；写区间的时候，务必考虑区间的开闭情况 变式练习（2014年闵行区一模文科13）已知函数()11f x x =--，若关于x 的方程()f x t =()t R ∈恰有四个互不相等的实数根1234,,,x x x x （1234x x x x <<<），则1234x x x x ++⋅的取值范围是 答案：(3,4)详解：根据题意，如图所示120x x +=，21234343333(4)4x x x x x x x x x x ++⋅=⋅=⋅-=-，3(1,2)x ∈3（2014年闵行区一模理科14）211,1k A x x kt t kt k ⎧⎫==+≤≤⎨⎬⎩⎭，其中2,3,......,2014k =，则所有k A 的交集为答案：5[2,]2详解：因为2,3,......,2014k =，所以2111k k <<，结合耐克函数的图像，如图所示，当211t k ≤≤时，1[2,]k A k k =+，因为2,3,......,2014k =时，1k k +递增，所以所有k A 的交集为5[2,]2教法指导：本题考查了耐克函数的图像与性质，结合图像以及函数的定义域，处理函数的值域问题；难度不大，但学生可能会因为含有参数k 而产生畏难心理，可以让学生先求234,,A A A ，发现一般规律，再总结归纳 变式练习（2014年闵行区一模文科14）已知42421()1x kx f x x x ++=++（k 是实常数），则()f x 的最大值与最小值的乘积为答案：+23k4（2014年徐汇区一模理科12）如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r ，则xy x y+的值为答案：13详解：解法一：∵,,M G N 三点共线，假设AG AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r ，有=1λμ+，∵,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r，∴AG AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r ＝+xAB y AC λμu u u r u u u r ，因为G 是重心，所以1133AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r即13=x y λμ=，∵=1λμ+，∴11133x y +=，化简xy x y +＝13解法二：特殊值法，取23x y ==教法指导：作为填空题，本题的第一做法应是解法二，但对于一些特别认真的学生，一定会问具体做法的，要求我们能够写出具体过程；注意向量一些常用知识点，以及一些转化技巧5（2014年徐汇区一模理科13）一个五位数abcde 满足,,,a b b c d d e <>><且,a d b e >>(如37201,45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有 个五位数符合“正弦规律” 答案：2892详解：根据题意，第二位最大，第四位最小，其他三个数介于二者之间；由此可以展开分类① 第二位数与第四位数相差2，情况为318⨯种； ② 第二位数与第四位数相差3，情况为327⨯种； ③ 第二位数与第四位数相差4，情况为336⨯种； ……以此类推，总共的情况为3333333318+27+36+45+54+63+72+81=2892⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯种教法指导：特殊元素优先原则，这里面最大的第二位数与最小的第四位数最特殊，由此可以展开分类；这类题型学生一般不知道从何下手，我们要教会学生发现规律，找出特殊元素或特殊位置，从而合理分类6（2014年徐汇区一模理科14）定义区间(),c d 、[),c d 、(],c d 、[],c d 的长度均为()d c d c ->.已知实数(),a b a b >.则满足111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为 答案：2详解：因为求的是区间的长度，原不等式111x a x b +≥--()a b >的解的区间长度和不等式111x t x+≥-(0)t >的解的区间长度是一样的，因为只是图像发生了平移，移项通分得220()x tx x tx x t --+≥-，因式分解后用数轴标根法解得222424(0,](,]22t t t t x t +-++++∈⋃，区间长度之和为22242422t t t t t +-+++++-2= 教法指导：因为含有两个字母，不等式不好解，所以我们要化归成一个字母的不等式问题，因为描述的是区间长度，根据题意，图像平移并不改变区间长度，就转化成一个字母，然后解出不等式即可求区间长度，注意转化化归的领会；当然，这道题也可以用特殊值法，不再赘述7（2014年松江区一模理科11）对于任意实数x ，x 表示不小于x 的最小整数，如1.22,0.20=-=．定义在R 上的函数()2f x x x =+，若集合{}(),10A y y f x x ==-≤≤，则集合A 中所有元素的和为 答案：4-详解：1x =-时，()3f x =-；10.5x -<≤-，()1f x =-；0.50x -<≤，()0f x =；{}3,1,0A =-- 教法指导：根据题目定义，引导学生发现规则，用枚举法列出所有元素即可，重在理解8（2014年松江区一模理科13）已知函数()log 1(0,1)a f x x a a =->≠，若1234x x x x <<<，且12()()f x f x =34()()f x f x ==，则12341111x x x x +++= 答案：2详解：设()log 1a f x x t =-=，∴log 1a x t -=±，1t x a ±-=，1tx a±-=±1t x a ±⇒=±四个根为1ta +，1ta -，11t a -，11t a +，它们的倒数为11t a +，11t a --，1t t a a -，1t t a a +倒数之和等于2解法二：特殊值，例如2a =，令()1f x =，解出四个根即可教法指导：本题直接求出四个解，并不难，就怕有些学生认为没这么简单，从而去从其他角度分析，反而复杂了，当然，本题可以借助数形结合的方法进行理解，作为填空题，特殊值不失为一种好方法9（2014年松江区一模理科14）设集合{1,2,3,,}A n =L ，若B ≠∅且B A ⊆，记()G B 为B 中元素的最大值与最小值之和，则对所有的B ，()G B 的平均值＝答案：1n +详解：当最大值为n 时，最小值可以为1，2，3…n ，()G B 个数为n ，()G B 之和为12...n n n ++++⨯＝22(1)31222n n n n n ++=+；同理当最大值为1n -时，()G B 个数为1n -，和为231(1)(1)22n n -+-； 以此类推，所有()G B 的个数为(1)12 (2)n n n ++++=，所有()G B 的和为 22231(12...)(12...)22n n +++++++＝1111(1)(21)(1)2222n n n n n ⋅+++⋅+，除以()G B 的个数(1)2n n + 就是()G B 的平均值＝11(21)122n n ++=+教法指导：本题可以举一些{1,2,3,,}A n =L 的子集，让学生理解()G B 的意思，然后按最大值或者最小值进行分类，注意B 可能是个单元素集合，不要遗漏这种情况；这类题目注意培养学生的耐心10（2014年青浦区一模理科13）已知直角坐标平面上任意两点11(,)P x y 、22(,)Q x y ，定义212121212121(,)x x x x y y d P Q y y x x y y ⎧--≥-⎪=⎨--<-⎪⎩为,P Q 两点的“非常距离”，当平面上动点(,)M x y 到定点(,)A a b 的距离满足3MA =时，则(,)d M A 的取值范围是 答案：32[,3]2详解：根据题意，通过比较两点的水平距离和垂直距离，较大的为“非常距离”，A 为定点，M 的轨迹是A 为圆心，3为半径的圆，根据下图，例如1,A M 两点的垂直距离较大，那么此时,A M 的非常距离为图中的绿色线段部分，而2,A M 两点的水平距离相比垂直距离更大，那么非常距离为图中的紫色线段部分，可以得出M 与A 的水平距离或垂直距离最大为3，当水平距离等于垂直距离的时候取到最小值322，即图中取4M 的时候教法指导：理解性的题型，注意引导学生如何理解题意，讲解时，一定要辅以图像帮助理解11（2014年青浦区一模理科14）若不等式1(1)(1)31n na n +--<++对任意自然数n 恒成立，则实数a 的取值范围是答案：[3,2)-详解：当n 为奇数时，131a n -<++，1(3)1a n >-++，因为是恒成立，大于最大值，不等式右边的最大值永远小于3-，所以3a ≥-；当n 为偶数时，131a n <-+，小于最小值，因为n N ∈，0n =时取最小值2 教法指导：恒成立问题均为最值问题，注意分类讨论，并且n 是自然数，讨论n 为偶数的时候，n 是可以取0的，学生可能会取2，这是个易错点，需要给学生强调12（2014年金山区一模理科13）如图，已知直线:4360l x y -+=，抛物线2:4C y x =图像上的一个动点P 到直线l 与y 轴的距离之和的最小值是 答案：1详解：如下图，11'11PH PA PH PB PH PF PH +=+-=+-≥-=，'PH 用点到直线距离公式求教法指导：这是2012长宁区二模题，注意圆锥曲线的相关定义，进行巧妙的转化，结合图像引导学生分析13（2014年金山区一模理科14）在三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===.设M 是底面ABC 内一点，定义()(,,)f M m n p =，其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、 三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积.若1()(,2,)2f M x y =，且18ax y+≥恒成立，则正实数a 的最小值为 答案：642-详解：依题意得，122x y +=，122y x =-，将不等式中的a 分离得111(8)(2)6(16)22a x x x x≥--=-+，右边的最大值为642-，所以642a ≥-教法指导：这是2012长宁区二模题，主要是理解题意，得出2x y +是个定值，要引导学生看透看似复杂的表象，抓住条件的本质，然后就是一道常见的恒成立题型14（2014年奉贤区一模理科13）已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(2)()f x f x +=-，当11x -≤<时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-只有4个零点，则a 的取值范围是答案：11(,)(3,5)53⋃详解：根据已知条件，()f x 周期为4，先画()f x 一个周期图像，当13x ≤<时，3(2)(2)()f x x f x -=-=-，3()(2)f x x =--，由此画出[1,3)-的图像，此为一个周期，图像如下，()()log a g x f x x =-只有4个零点即()f x 与log a y x =只有4个交点，因为a 是未知的，需要分类讨论：①当01a <<时，有两个界值，如下图，此时5个交点，代入点(5,1)--，解出15a =此时3个交点，代入点(3,1)-，解得13a =②当1a >时，也有两个界值，如下图，此时3个交点，代入点(3,1)-，解得3a =此时5个交点，代入点(5,1)，解得5a =教法指导：数形结合的题型，一定要结合图像分析，并且一些用于定位的特殊点要善于把握；另一方面，必须熟悉初等函数的所有性质以及函数图像的变换15（2014年奉贤区一模理科14）已知函数()y f x =，任取t R ∈，定义集合：{}(),(,()),(,()),2t A y y f x P t f t Q x f x PQ ==≤点，设,t tM m 分别表示集合t A 中元素的最大值和最小值，记()t t h t M m =-，则（1）若函数()f x x =，则(1)h = （2）若函数()sin 2f x x π=，则()h t 的最大值为答案：（1）2；（2）2详解：定义的意思是函数()y f x =在以定点P （点P 在函数图像上）为圆心半径为2的圆内的部分，这部分函数图像的值域即t A ，第一问，1t =，定点P (1,1)，如下图，蓝色实线段部分为符合定义的图像部分，这部分图像最大值为2，最小值为0，所以(1)h =2第二问，对于()sin2f x x π=，函数最大值与最小值之差为2，如下图，通过理解观察，可得出t A 能够同时包含最大值和最小值，所以()h t 的最大值为2，此时2,t k k Z =∈教法指导：这是一道理解性的定义题型，理解题目的定义很重要，然后结合函数图像进行分析就不难了二、选择题1（2014年奉贤区一模理科18）设双曲线22(1)1nx n y -+=（*n N ∈）上动点P 到定点(1,0)Q 的距离的最小值为n d ，则lim n n d →+∞的值为（ ）A ．22 B. 12C. 0D. 1 答案：A详解：双曲线方程两边同时除n ，得到2211(1)x y nn -+=，当n →+∞，10n→，即方程220x y →-=，这就是方程的极限位置，即求点(1,0)Q 到直线y x =±的距离，所以选A教法指导：这是一类要考虑极限位置的极限题型，在高考题中出现过类似题型，一般找到了极限位置，题目是很容易解的，很多学生不会做是因为没有想到极限位置，而是想把n d 用n 表示出来，这就复杂了2（2014年徐汇区一模理科18） 已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使得12120x xy y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合：①()1,M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭； ②(){},sin 1M x y y x ==+； ③(){}2,log M x y y x ==； ④(){},2xM x y y e==-.其中是“垂直对点集”的序号是（ ）A ．①② B. ②③ C. ①④ D. ②④ 答案：D详解：根据题意，对于图像上任意点A ，图像上存在点B ，使得OA ⊥OB ，所以用排除法，①中（1,1）点不符合，③中（1,0）点不符合，所以选D教法指导：这类题型，重在理解题意；作为选择题，排除法与特殊值法是要学生能够灵活运用3（2014年青浦区一模理科18）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，称()f x 为“局部奇函数”，若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1313m -≤≤+ B. 1322m -≤≤ C. 2222m -≤≤ D. 2213m -≤≤- 答案：B详解：因为存在实数x ，满足()()f x f x -=-，所以1212423423xx x x m m m m --++-+-=-+-+，化简得：21142(2)26042x x x x m m +-++-=，换元122xxt =+（2t ≥）得：222280t mt m -+-=，根据题意，此方程在[2,)t ∈+∞上有解，设22()228h t t mt m =-+-，按对称轴分类讨论：①当2m ≤，(2)0h ≤，且0∆≥，解得132m -≤≤；②当2m >，0∆≥即可，解得222m <≤ 两种情况取并集，综上所述，所以选B教法指导：本题要透过抽象的定义，看到它的本质，本质上还是一道方程在定义域内有解的问题，是平时练习过程中经常碰到的题型，按对称轴分类讨论即可；讲解的时候，要让学生区分开“恒成立”与“有解”（或者“能成立”的情况），讨论根的分布情况时，最好结合图像帮助理解实用文档文案大全 4（2014年金山区一模理科18）已知有相同两焦点12,F F 的椭圆221x y m +=(1)m >和双曲线221x y n-=(0)n >，点P 是它们的一个交点，则△12F PF 面积的大小是（ ）A ．12B. 22C. 1D. 2 答案：C详解：结合下图，依题意得：211c m n =-=+，122PF PF m +=，122PF PF n -=，两式平方相减得： 122PF PF m n ⋅=-=，∴2222212121212()2444PF PF PF PF PF PF m c F F +=+-⋅=-==，即12PF PF ⊥教法指导：熟悉圆锥曲线的定义非常重要，根据条件找到变量之间恒定的关系，做数学题，很多时候都需要辩证思考，透过变化的表象，发现不变的内在联系，动静结合，有机分析，以静制动，以不变应万变。

2022学年第一学期高三第一次模拟考试数学考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.】1 已知集合{|04}A x x ， 1,2,3,4,5B ，则A B ______.2. 不等式212x x 的解集为______.3. 已知复数12i z a ，23i z ，若12z z 是纯虚数，则实数 a ______.4. 若对数函数log (0a y x a 且1a ）的图象经过点(4,2)，则实数 a ______.5. 设等比数列n a 满足a 1+ a 2= –1, a 1– a 3= –3，则a 4= ___________．6. 已知方程组2168x my mx y无解，则实数m 的值等于______.7. 已知角的终边与单位圆221x y 交于点1,2y P ，则sin 2 ______. 8. 将半径为2的半圆形纸片卷成一个无盖的圆锥筒，则该圆锥筒的高为______. 9. 已知函数2f x x ，则曲线y f x 在点1,1P 处的切线方程是______.10. 设函数π()sin (0)6f x x k ，若π()3f x f对任意的实数x 都成立，则 的最小取值等于______.11. 在边长为2的正六边形ABCDEF 中，点P 为其内部或边界上一点，则AD BP的取值范围为______. 12. 已知椭圆1 与双曲线2 的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点1F 、2F ，P 是1 与.2 在第一象限的交点，当12π6F PF时，双曲线2 的离心率等于______.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13、14题每题4分，15、16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.】13. 下列函数中，既是奇函数又在区间 0,1上是严格增函数的是（ ）A. yB. 3y xC. lg y xD.sin y x14. 设x R ， 则“ 12x x”是“ 1x ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件15. 设函数()sin 6f x x，若对于任意5,62，在区间 0,m 上总存在唯一确定的 ，使得 0f f ，则m 的最小值为 Aπ6B.π2C.7π6D. π16. 已知曲线C ：3222216x yx y ，命题p ：曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q ：曲线C 上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是（ ） A. p 、q 都是真命题 B. p 是真命题，q 是假命题 C. p 是假命题，q 是真命题D. p 、q 都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】17. 如图，长方体1111ABCD A B C D中，AB BC1AC 与底面ABCD 所成的角为45..（1）求四棱锥1A ABCD 的体积； （2）求异面直线1A B 与11B D 所成角的大小. 18. 已知函数21()sin cos sin 2f x x x x . （1）求()f x 的单调递增区间；（2）在 ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 对边，且满足cos 2cos sin b A b A a B ，且π02A，求()f B 的取值范围. 19. 某公园有一块如图所示的区域OACB ，该场地由线段OA OB AC 、、及曲线段BC 围成.经测量，90AOB ，100OA OB 米，曲线BC 是以OB 为对称轴的抛物线的一部分，点C 到OA 、OB 的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF ，其中点D 在线段AC 或曲线段BC 上，点E 、F 分别在线段OA 、OB 上，且该游乐场最短边长不低于30米.设DF x 米，游乐场的面积为S 平方米.（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段BC 的方程； （2）求面积S 关于x 的函数解析式 S f x ；（3）试确定点D 的位置，使得游乐场的面积S 最大.（结果精确到0.1米）20. 已知椭圆2221(1)x y a a的右焦点为F ，左右顶点分别为A 、B ，直线l 过点B 且与x 轴垂直，点P 是椭圆上异于A 、B 的点，直线AP 交直线l 于点D .（1）若E 是椭圆上顶点，且AEF △是直角三角形，求椭圆的标准方程； （2）若2a ，PAB 45 ，求PAF △的面积；（3）判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明. 21. 已知数列 n a 满足112(1,2,,2) i i i i a a a a i n . （1）若数列 n a 的前4项分别为4，2，3a ，1，求3a 的取值范围；（2）已知数列 n a 中各项互不相同.令1(1,2,,1) m m m b a a m n ，求证：数列n a 是等差数列充要条件是数列 m b 是常数列；（3）已知数列n a 是m （N m 且3m ）个连续正整数1，2，…，m 的一个排列.若的的的1112m kk k aa m ，求m 的所有取值.2022学年第一学期高三第一次模拟考试数学考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.】1. 已知集合{|04}A x x ， 1,2,3,4,5B ，则A B ______.【答案】 2,3,4【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】解：因为{|04}A x x ， 1,2,3,4,5B ， 所以A B {|04}{1,2,3,4,5}{2,3,4}x x . 故答案为： 2,3,4 2. 不等式2102x x 的解集为______. 【答案】1|22x x【分析】直接根据分式不等式计算方法进行求解即可. 【详解】由2102x x ，得 2120x x ， 解得122x，即不等式的解集为1|22x x.故答案为：1|22x x3. 已知复数12i z a ，23i z ，若12z z 是纯虚数，则实数 a ______. 【答案】6【分析】根据复数的乘法运算，求得 12632i z z a a ，再根据12z z 为纯虚数，即可求解.【详解】 12632i z z a a ，若12z z 是纯虚数 所以60320a a即6a故答案为：64. 若对数函数log (0a y x a 且1a ）的图象经过点(4,2)，则实数 a ______. 【答案】2【分析】直接将点代入计算即可.【详解】将点(4,2)代入log a y x 得2log 4a ，解得2a 故答案为：2.5. 设等比数列 n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________． 【答案】-8【详解】设等比数列 n a 的公比为q ，很明显1q ，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：12121311113a a a q a a a q ，①，②，由②①可得：2q ，代入①可得11a ， 由等比数列的通项公式可得3418a a q .【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 6. 已知方程组2168x my mx y 无解，则实数m 的值等于______.【答案】4 【分析】方程组2168x my mx y无解，转化为直线2x my 与直线168mx y 平行，即可解决.【详解】由题知，方程组2168x my mx y无解，所以直线2x my 与直线168mx y 平行， 所以2160m ，解得4m ，当4m 时，两直线重合，方程组有无数解，不满足题意， 当4m 时，两直线平行，方程组有无解，满足题意， 故答案为：47. 已知角 的终边与单位圆221x y 交于点1,2y P ，则sin 2______.【答案】12##0.5【分析】由三角函数的定义可得1cos 2，然后利用诱导公式可计算出sin cos 2，可得答案. 【详解】把1,2 y P 代入单位圆221x y ，可得2y ，故11cos 2，由三角函数的定义可得1cos 2 ，因此，1sin cos 22.故答案为：12.8. 将半径为2的半圆形纸片卷成一个无盖的圆锥筒，则该圆锥筒的高为______.【分析】根据圆锥侧面展开图即可计算.【详解】如图所示，图1是圆锥(图2)的侧面展开图，2OA OB ，则扇形弧长2πl ，设圆锥底面圆半径为r ，则2π2πr ，得1r ， 则在Rt OAD中，圆锥的高h OD，故答案为.9. 已知函数 2f x x ，则曲线 y f x 在点 1,1P 处的切线方程是______.【答案】21y x【分析】求导得 2f x x ，从而可得切线的斜率2k ，用点斜式写出切线方程再化简即可.【详解】解：因为 2f x x ，所以 2f x x ，所以曲线 y f x 在点 1,1P 处的切线的斜率 12k f ， 所以切线方程为：12(1)y x ， 即21y x 或210x y . 故答案为：21y x 10. 设函数π()sin (0)6f x x k ，若π()3f x f对任意的实数x 都成立，则 的最小取值等于______. 【答案】2【分析】π()3f x f 对任意实数x 都成立，这个条件说明ππsin 136，解方程可得答案.【详解】π()3f x f对任意的实数x 都成立，πππsin sin 636x k k，πππππsin 1,2π,Z 36362k k，62,k 又min 0, 2.故答案为：211. 在边长为2的正六边形ABCDEF 中，点P 为其内部或边界上一点，则AD BP的取值范围为______. 【答案】 4,12【分析】利用数量积几何意义去求AD BP的取值范围即可解决. 详解】正六边形ABCDEF 中，过点B 作BB AD 于B ，则的的【4,3,1AD B D B A =cos ,AD BP AD BP AD BP又cos ,AD B A AD BP AD BP AD B D即4cos ,12AD BP AD BP ，故AD BP的取值范围为 4,12故答案为： 4,1212. 已知椭圆1 与双曲线2 的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点1F 、2F ，P 是1 与2 在第一象限的交点，当12π6F PF时，双曲线2 的离心率等于______.【答案】22【分析】根据P 点是椭圆和双曲线的交点，结合椭圆双曲线的定义表示出1PF ，2PF ，在△12PF F 中结合余弦定理即可列出方程求解．【详解】设椭圆1 标准方程为 2211221110x y a b a b ，椭圆离心率为1e ，设双曲线2 标准方程为 2222222210,0x y a b a b ，双曲线离心率为2e ，由题可知：121e e ． 设1PF m ，2PF n ，则122222,2,π42cos ,6m n a m n a c m n mn①②③， 由①②得，12m a a ，12n a a ，代入③整理得，22212422c a a ，两边同时除以2c得，2212224e e，即2222242e e，即42222420e e ，解得222(2e ，即2e2 ．故答案为：2【点睛】本题综合考查椭圆和双曲线的几何性质，解题关键是熟练应用椭圆和双曲线的定义，结合焦点三角形中的余弦定理，列出方程组即可求解.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13、14题每题4分，15、16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.】13. 下列函数中，既是奇函数又在区间 0,1上是严格增函数的是（ ）A. yB. 3y xC. lg y xD.sin y x【答案】D【分析】根据函数的奇偶性以及常见基本函数的单调性即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A; y 的定义域为 0x x ，定义域不关于原点对称，因此不是奇函数，不符合题意，对于B; 3y x 的定义域为R ,关于原点对称，且 33,f x x f x x ，故0f x f x ，因此为奇函数，但是111111,,2832732f f f f，故不是 0,1上是严格增函数，不符合题意，对于C; lg y x 的定义域为0x x ，定义域不关于原点对称，因此不是奇函数，不符合题意，对于D, sin y x 的定义域为R ,关于原点对称，且 sin ,sin f x x f x x ，故0f x f x ，因此为奇函数，又根据正弦函数的性质可知sin y x 在π0,2上单调递增，而 π0,20,1，所以sin y x 在 0,1上是严格增函数，符合题意，故选：D14. 设x R ， 则“ 12x x”是“ 1x ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分性、必要性的定义进行分析判断即可. 【详解】当12x x成立时，显然1x ， 当1x 时，例如0x 时，分式1x没有意义， 所以“ 12x x”是“ 1x ”的充分不必要条件， 故选：A15. 设函数()sin 6f x x，若对于任意5,62，在区间 0,m 上总存在唯一确定的 ，使得 0f f ，则m 的最小值为 A.π6B.π2C.7π6D. π【答案】B 【分析】先求 [,0]2f，再由存在唯一确定的 ，使得 [0,2f f ，得2[,)633m，从而得解.【详解】当5,62时，有2,36 ，所以 [,0]2f .在区间 0,m 上总存在唯一确定的 ，使得 0f f ，所以存在唯一确定的 ，使得 [0,2f f .0,,[,666m m ，所以25[,[,)63326m m.故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，考查了函数与方程的思想，正确理解两变量的关系是解题的关键，属于中档题. 16. 已知曲线C ：3222216x y x y ，命题p ：曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q ：曲线C 上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是（ ） A. p 、q 都是真命题 B. p 是真命题，q 是假命题 C. p 是假命题，q 是真命题 D. p 、q 都是假命题【答案】A【分析】结合均值不等式得到当且仅当22x y 时，等号成立，以及224x y ，从而可判断命题q的真假性，检验点0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2 是否在曲线上即可判断命题p 的真假性. 【详解】因为2223222216162x y x y x y，当且仅当22x y 时，等号成立，所以224x y ，因此曲线C 所围成的区域的在圆224x y 2?， 故曲线C 上的点到原点的最大距离是2，因此命题q 为真命题， 圆224x y 上以及内部横坐标与纵坐标都是整数的点有0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2 ，其中点 0,0显然在曲线C 上，但是1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2 不在曲线上，故曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点，因此命题p 为真命题， 故选：A.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】17. 如图，长方体1111ABCD A B C D 中，AB BC1AC 与底面ABCD 所成的角为45.（1）求四棱锥1A ABCD 的体积； （2）求异面直线1A B 与11B D 所成角的大小. 【答案】（1）43（2）arccos6【分析】（1）先求得长方体1111ABCD A B C D 高1A A 的值，进而求得四棱锥1A ABCD 的体积；（2）先作出异面直线1A B 与11B D 所成角，再利用余弦定理求其大小即可解决. 【小问1详解】连接AC ，因为1A A 平面ABCD ， 所以1A CA 是1AC 与底面ABCD 所成的角. 所以145A CA ，所以12A A ，所以111142333A ABCD ABCD V S AA. 【小问2详解】联结BD ，则11BD B D ∥，的所以1A BD 就是异面直线1A B 与11B D 所成的角（或其补角）1A BD中，11A B A D ，2BD ，所以2221111cos 26A B BD A D A BD A B BD ，又 10,πA BD，则1arccos6A BD 所以异面直线1AB 与11B D所成角的大小为arccos 6. 18. 已知函数21()sin cos sin 2f x x x x . （1）求()f x 的单调递增区间；（2）在 ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos 2cos sin b A b A a B ，且π02A，求()f B 的取值范围. 【答案】（1）3ππ[π,π]88k k（Ζk ）； （2）22，. 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简函数可得π224f x x，然后利用正弦函数的性质即得； （2）根据正弦定理及二倍角的余弦公式可得π4A ，再利用三角函数的性质即得. 【小问1详解】 由题知 111sin21cos2222f x x x11=sin2cos222x xπ=sin 224x，由πππ2π22π242k x k（Ζk ）， 解得 3ππππ88k x k， 所以 f x 单调递增区间为3ππ[π,π]88k k （Ζk ）； 【小问2详解】依题意，由正弦定理，sin cos2sin cos sin sin B A B A A B ， 因为在三角形中sin 0B ，所以cos2cos sin A A A ， 即 cos sin cos sin 10A A A A ， 当cos sin A A 时，π4A， 当cos sin 1A A 时，22cos sin 2sin cos 1A A A A ，sin 0A ， ∴cos 0A ，π2A ， 由于π02A，所以4A ，则3+π4B C ，则30π4B ， 又ππ7π2444B ， 所以1sin 214B，由sin 224f B B， 所以 f B的取值范围是22，. 19. 某公园有一块如图所示的区域OACB ，该场地由线段OA OB AC 、、及曲线段BC 围成.经测量，90AOB ，100OA OB 米，曲线BC 是以OB 为对称轴的抛物线的一部分，点C 到OA 、OB 的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF ，其中点D 在线段AC 或曲线段BC 上，点E 、F 分别在线段OA 、OB 上，且该游乐场最短边长不低于30米.设DF x 米，游乐场的面积为S 平方米.（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段BC 的方程；（2）求面积S 关于x 的函数解析式 S f x ；（3）试确定点D 的位置，使得游乐场的面积S 最大.（结果精确到0.1米） 【答案】（1）20.02100(050)y x x（2） 320.02100,3050100,5070x x x f x x x x （3）当点D 在曲线段BC 上且其到OA 的距离约为66.7米时，游乐场的面积S 最大 【分析】（1）先以O 为坐标原点，OA 、OB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，然后根据题意求解析式即可；（2）分别求出D 在不同线段的解析式，然后计算面积；（3）在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值，然后确定D 的位置.【小问1详解】以O 为坐标原点，OA 、OB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 100,0A ， 50,50C ， 0,100B ， 设曲线段BC 所在抛物线的方程为 20y ax b a ，由题意可知，点 0,100B 和 50,50C 在此抛物线上， 代入可得：0.02a ，100b .所以曲线段BC 的方程为：20.02100(050)y x x . 【小问2详解】由题意，线段AC 的方程为100(50100)y x x ，当点D 在曲线段BC 上时，20.02100(3050)S x x x ，当点D 在线段AC 上时，(100)(5070)S x x x ，所以 320.02100,3050100,5070x x x f x x x x . 【小问3详解】当3050x 时， 20.06100f x x ，令20.061000x，得13x，23x（舍去）.当30,3x 时，()0f x ¢>；当,503x时， 0f x .因此当3x时，39S f是极大值，也是最大值. 当5070x 时，2()(50)2500f x x ， 当50x 时， 502500S f 是最大值.因为25009，所以当3x时，S取得最大值，此时200,33D， 所以当点D 在曲线段BC 上且其到OA 的距离约为66.7米时，游乐场的面积S 最大.20. 已知椭圆2221(1)x y a a的右焦点为F ，左右顶点分别为A 、B ，直线l 过点B 且与x 轴垂直，点P 是椭圆上异于A 、B 的点，直线AP 交直线l 于点D .（1）若E 是椭圆的上顶点，且AEF △是直角三角形，求椭圆的标准方程； （2）若2a ，PAB 45 ，求PAF △的面积；（3）判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明.【答案】（12212y （2）45（3）以BD 为直径的圆与直线PF 相切，证明见解析【分析】（1）根据题意得90AEF ，然后利用0EA EF列方程得到1ac ，再结合221a c ，解方程得到2a 即可得到椭圆的标准方程；（2）根据2a 得到椭圆方程，根据PAB 45 得到直线AP 的方程为2y x ，联立直线和椭圆方程得到点P 坐标，然后利用三角形面积公式求面积即可；（3）设00,P x y ，得到直线AP 的方程为00()y y x a x a，跟直线l 的方程联立得到002,ay D a x a ，BD 中点00,ay M a x a，然后根据点M 到直线PF 的距离和半径的关系判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系即可. 【小问1详解】由题意， ,0A a ， ,00F c c ， 0,1E ，由题意，90AEF ， ,1EA a ， ,1EF c ，故10EA EF ac，所以1ac ，又221a c，所以2a221y . 【小问2详解】当2a 时，椭圆方程为2214x y ，则 2,0A，F，由对称性，不妨设点P 在x 轴上方，则直线AP 的方程为2y x ，代入椭圆方程，得 2516120x x ，解得12x （舍去），265x ，所以64,55P，所以1425PAF P AF y S△. 【小问3详解】设 00,P x y ，则220021x y a，直线AP 方程为00()y y x a x a， 令,x a 则002ay y x a，所以002,ay D a x a ，BD 中点00,ay M a x a，当直线PF 的斜率不存在时，方程为x c ； 当直线PF 的斜率不存在时，方程为 00y y x c x c即 00()0y x c x c y ， 经检验x c 满足 00()0y x c x c y ，故直线PF 方程为的00()0y x c x c y ，点M 到直线PF 的距离d20000000a cx x a ay y MB c x a x a a，所以以BD 为直径的圆与直线PF 相切.【点睛】方法点睛：涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21. 已知数列 n a 满足112(1,2,,2) i i i i a a a a i n . （1）若数列 n a 的前4项分别为4，2，3a ，1，求3a 的取值范围；（2）已知数列 n a 中各项互不相同.令1(1,2,,1) m m m b a a m n ，求证：数列n a 是等差数列的充要条件是数列 m b 是常数列；（3）已知数列 n a 是m （N m 且3m ）个连续正整数1，2，…，m 的一个排列.若1112m kk k aa m ，求m 的所有取值.【答案】（1） 34a ，（2）证明见解析 （3）4或5【分析】（1）根据题意，找到关于3a 的不等关系，即可求解. （2）分别从充分性、必要性两个角度证明即可.（3）对m 取不同的值进行判断，再对k b 分情况讨论即可. 【小问1详解】由题意，112i i i i a a a a ，令1i ，得1232a a a a ，即322a ，则322a 或322a ，此时解得30a 或34a ；令2i ，得4233a a a a ，即3321a a ，两边同时平方解得332a.则求交集可得，34a ，即 34a ，【小问2详解】必要性：若数列 n a 是等差数列，设公差为d ， 则1m m m b a a d ，所以数列 m b 是常数列. 充分性：若数列 m b 是常数列，则1(1,2,,2)m m b b m n ，即112(1,2,,2)m m m m a a a a m n . 所以112m m m m a a a a 或 112m m m m a a a a . 因为数列 n a 的各项互不相同，所以112m m m m a a a a . 所以数列 n a 是等差数列. 【小问3详解】当3m 时，因为12(1,2) i i a a i ，所以12235 a a a a ，不符合题意； 当4m 时，数列为3，2，4，1，此时1223346 a a a a a a ，符合题意； 当5m 时，数列为2，3，4，5，1，此时122334457 a a a a a a a a ，符合题意；下证当6m 时，不存在m 满足题意. 令1(1,2,,1) k k k b a a k m ， 则1211m b b b L ，且112m k k b m ，所以k b 有以下三种可能：① 11,2241k k m b k m，，，，；②11,232231k k m b k m k m，，，，，； ③11,2,,42321k k m b k m m m，，，，.当 112241k k m b k m，，，，，时，因为122m b b b L ，由（2）知：1a ，2a ，…，1m a 是公差为1（或－1）的等差数列. 当公差为1时，由14m b 得14m m a a 或14m m a a ，所以1142m m a a a m m 或14m m m s a a a ，与已知矛盾.当公差为－1时，同理得出与已知矛盾.所以当112241kk mbk m，，，，，时，不存在m满足题意.其它情况同理可得.综上可知，m的所有取值为4或5.。

.
xP xQ 2

xP 6 ， ∵ 2 xP 0 ， ∴ m [2, 3] 2
17. 已知 P （ k 为常数） 上两个不同的点， 则关于 x 和 1 ( a1 , b 1) 与 P 2 ( a2 , b2 ) 是直线 y kx 1
a x b1 y 1, y 的方程组 1 的解的情况是 （ a2 x b2 y 1
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17 ． 在 数 列 {an } 中 ， an 2n 1 ． 若 一 个 7 行 12 列 的 矩阵 的第 i 行 第 j 列 的 元 素
ci , j ai a j ai a j （ i 1, 2, , 7 ； j 1, 2, ,12 ） ，则该矩阵元素能取到的不同数值的
，边 AB 、 AD 的长分别为 2、1，若 M 、 N 分别 3 | BM | | CN | ，则 AM AN 的取值范围是 是边 BC 、 CD 上的点，且满足 . | BC | | CD | | BM | | CN | x ，则 AM AN ( AB BM ) ( AD DN ) 【解析】结合下图，设 | BC | | CD | AM AN ( AB x AD) ( AD (1 x) AB )
于图形的极限问题，解题的关键是找到图形的极限位置，化动为静，然后求值；类似的图形 极限经典题目包括上海高考 2003 年 11 题、2010 年 11 题以及 2011 年 14 题；可对比总结； （2003 年 11 题）已知点 A(0, ) 、 B (0, ) 、 C (4

2016-2021年高考数学一模试卷一、填空题（共14小题，每题4分，共56分）1．设复数z1=1+i，z2=2+xi，（x∈R），若z1•z2∈R，则x的值等于．2．函数f（x）=+的定义域是．3．已知线性方程组的增广矩阵为，则其对应的方程组为．4．在二项式的展开式中，x的一次项系数为．（用数字表示）5．已知双曲线k2x2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线的法向量是（1，2），那么k=．6．圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的侧面积为．7．设无穷等比数列{a n}（n∈N*）的公比q=﹣=1，则=．8．为了估计鱼塘中鱼的尾数，先从鱼塘中捕出2000尾鱼，并给每条尾鱼做上标记（不影响存活），然后放回鱼塘，经过适当的时机，再从鱼塘中捕出600尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该鱼塘中鱼的尾数为．9．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为．10．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．11．f（x）是定义在R上周期为2的函数，在区间[﹣1，1]时，有f（x）=，其中a，b∈R，若，则a+3b的值为．12．在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC，，则△ABC面积的最大值为．13．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=．14．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是．二、选择题（共4小题，每题5分，共20分）15．若a＜0，b＜0，则p=与q=a+b的大小关系为（）A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q16．已知圆x2+y2=1及以下三个函数：（1）f（x）=x3；（2）f（x）=xcosx；（3）f（x）=tanx．其中图象能等分圆的面积的函数个数为（）A．3 B．2 C．1 D．017．定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．18．如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．三、解答题（共5大题，满分74分）19．如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=1，AD=3，∠ADC=45°．又已知PA⊥平面ABCD，PA=1．求：（1）异面直线PD与AC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）（2）四棱锥P﹣ABCD的体积．20．已知函数f（x）=cos2x sin2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最大值和最小值．21．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表；月数 1 2 3 4 …污染度60 31 13 0 …污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f（x）=20|x﹣4|（x≥1），g（x）=（x≥1），h（x）=30|log2x﹣2|（x≥1），其中x表示月数，f（x）、g（x）、h（x）分别表示污染度．（1）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60？22．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．23．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．（1）求{a n}的通项公式；（2）若m=，数列{b n}满足关系式b n=，求证：数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1；（3）设（2）中的数列{b n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，（1﹣n）•（S n+n+2）+（n+p）•2n+1＜2恒成立，求实数p的取值范围．参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每题4分，共56分）1．设复数z1=1+i，z2=2+xi，（x∈R），若z1•z2∈R，则x的值等于﹣2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，然后由虚部等于0求得x的值．【解答】解：∵z1=1+i，z2=2+xi，由z1•z2=（1+i）（2+xi）=（2﹣x）+（x+2）i∈R，得x+2=0，即x=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．函数f（x）=+的定义域是[0，1）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，则，解得0≤x＜1，故函数的定义域为[0，1）．故答案为：[0，1）．【点评】此题主要考查函数定义域的求法问题，题中涉及到对数函数和幂函数的定义域求法，计算量小，属于基础题目．3．已知线性方程组的增广矩阵为，则其对应的方程组为．【考点】二阶矩阵．【专题】计算题．【分析】首先应理解线性方程组增广矩阵的涵义，由增广矩阵即可直接写出原二元线性方程组．【解答】解：由二元线性方程组的增广矩阵为，可得到线性方程组的表达式：．故答案为：．【点评】此题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．4．在二项式的展开式中，x的一次项系数为﹣10．（用数字表示）【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】运用二项式的通项公式，即得T r+1=，化简整理，再令x的指数为，即可得到系数．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为：T r+1==，令10﹣3r=1，解得，r=3．则有x的一次项系数为=﹣10．故答案为：﹣10．【点评】本题考查二项式的展开式的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题．5．已知双曲线k2x2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线的法向量是（1，2），那么k=．【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】已知双曲线k2x2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线的法向量是（1，2），可求出渐近线的斜率，由此求出k的值即可．【解答】解：由题意双曲线k2x2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线的法向量是（1，2），可得渐近线的斜率为﹣，由于双曲线的渐近线方程为y=±kx故k=，故答案为：【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线的法向量是（1，2），由此关系求k，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．6．圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的侧面积为3π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先求圆锥的母线，然后直接利用圆锥侧面积公式求解即可．【解答】解：圆锥的高为1，底面半径为3，所以圆锥的母线为：，圆锥的侧面积：×2×3×π×=3π，故答案为：3π．【点评】本题考查圆锥的侧面积公式，是基础题．7．设无穷等比数列{a n}（n∈N*）的公比q=﹣=1，则=﹣．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】运用等比数列的通项公式，求出数列{a2n}为公比为，首项为﹣的等比数列，再由无穷递缩等比数列的求和公式，即可得到极限．【解答】解：a2=a1q=﹣，a4=a1q3=﹣，…，a2n=a1q2n﹣1=（﹣）2n﹣1．则数列{a2n}为公比为，首项为﹣的等比数列，则===﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查无穷递缩等比数列的和，考查等比数列的通项和求和，考查运算能力，属于基础题．8．为了估计鱼塘中鱼的尾数，先从鱼塘中捕出2000尾鱼，并给每条尾鱼做上标记（不影响存活），然后放回鱼塘，经过适当的时机，再从鱼塘中捕出600尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该鱼塘中鱼的尾数为30000．【考点】收集数据的方法．【专题】概率与统计．【分析】根据题意，利用抽样方法中样本与总体的比例是一致的，列出方程，求出该鱼塘中鱼的尾数即可．【解答】解：根据题意，设该鱼塘中鱼的尾数为x，则；=，解得x=30000；∴估计该鱼塘中鱼的尾数为30000．故答案为：30000．【点评】本题考查了抽样方法的应用问题，是基础题目．9．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为8．【考点】抛物线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据抛物线的方程可求得其焦点坐标，和k的坐标，过A作AM⊥准线，根据抛物线的定义可知|AM|=|AF|根据已知条件可知|AK|=|AM|，设出A的坐标，利用|AK|=|AF|求得m，然后利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：F（2，0）K（﹣2，0）过A作AM⊥准线则|AM|=|AF|∴|AK|=|AM|∴△AFK的高等于|AM|设A（m2，2m）（m＞0）则△AFK的面积=4×2m=4m又由|AK|=|AF|，过A作准线的垂线，垂足为P，三角形APK为等腰直角三角形，所以m=2，∴△AFK的面积=4×2m=8故答案为：8【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握．10．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．【考点】等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．【专题】等差数列与等比数列；概率与统计．【分析】先由题意写出成等比数列的10个数为，然后找出小于8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解【解答】解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是P=故答案为：【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题11．f（x）是定义在R上周期为2的函数，在区间[﹣1，1]时，有f（x）=，其中a，b∈R，若，则a+3b的值为﹣10．【考点】函数的周期性；分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由周期性可得f（）=f（﹣2）=f（﹣），代已知解析式可得3a+2b=﹣2，①，再由f（﹣1）=f（1）可得﹣a+1=，②，联立①②可解得a=2，b=﹣4，可得a+3b的值．【解答】解：由题意可得f（）==，又f（）=f（﹣2）=f（﹣）=+1，∴=+1，∴3a+2b=﹣2，①又∵f（﹣1）=f（1），∴﹣a+1=，②联立①②解得a=2，b=﹣4，∴a+3b=﹣10故答案为：﹣10【点评】本题考查函数的周期性，涉及分段函数和方程组的解法，属基础题．12．在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC，，则△ABC面积的最大值为．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanB的值，确定出B的度数，利用余弦定理列出关系式，把b，cosB的值代入并利用基本不等式求出ac的最大值，即可确定出三角形面积的最大值．【解答】解：（1）由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即2=a2+c2﹣ac，∴2+ac=a 2+c2≥2ac，即ac≤=2+，当且仅当a=c，即a=c=时取“=”，∵S△ABC=acsinB=ac，∴△ABC面积的最大值为．故答案为：．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．13．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式．【专题】导数的概念及应用．【分析】先根据定义求出曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，然后根据曲线C1：y=x2+a的切线与直线y=x平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可．【解答】解：圆x2+（y+4）2=2的圆心为（0，﹣4），半径为，圆心到直线y=x的距离为=2，∴曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离为2﹣=．则曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于，令y′=2x=1解得x=，故切点为（，+a），切线方程为y﹣（+a）=x﹣即x﹣y﹣+a=0，由题意可知x﹣y﹣+a=0与直线y=x的距离为，即解得a=或﹣．当a=﹣时直线y=x与曲线C1：y=x2+a相交，故不符合题意，舍去．故答案为：．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及点到直线的距离的计算，同时考查了分析求解的能力，属于中档题．14．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是②④．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】压轴题；新定义．【分析】根据集合X上的拓扑的集合τ的定义，逐个验证即可：①{a}∪{c}={a，c}∉τ，③{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，因此①③都不是；②④满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此②④是，从而得到答案．【解答】解：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；而{a}∪{c}={a，c}∉τ，故①不是集合X上的拓扑的集合τ；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此②是集合X上的拓扑的集合τ；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；而{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的拓扑的集合τ；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此④是集合X上的拓扑的集合τ；故答案为②④．【点评】此题是基础题．这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意．本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高．二、选择题（共4小题，每题5分，共20分）15．若a＜0，b＜0，则p=与q=a+b的大小关系为（）A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q【考点】不等式比较大小．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用作差法即可得到结论．【解答】解：p﹣q=﹣a﹣b==（b2﹣a2）=，∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，若a=b，则p﹣q=0，此时p=q，若a≠b，则p﹣q＜0，此时p＜q，综上p≤q，故选：B【点评】本题主要考查不等式的大小比较，利用作差法是解决本题的关键．16．已知圆x2+y2=1及以下三个函数：（1）f（x）=x3；（2）f（x）=xcosx；（3）f（x）=tanx．其中图象能等分圆的面积的函数个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】若图象能等分圆的面积，则等价为函数为奇函数，关于原点对称即可．【解答】解：若函数图象能等分圆的面积，则函数为奇函数，则：（1）f（x）=x3；为奇函数，满足条件．（2）f（x）=xcosx；为奇函数，满足条件．（3）f（x）=tanx．为奇函数，满足条件，故选：A【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，比较基础．17．定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】函数单调性的性质；函数的周期性．【专题】计算题；压轴题．【分析】要求f（），则必须用f（x）=sinx来求解，那么必须通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间[0]上，再应用其解析式求解．【解答】解：∵f（x）的最小正周期是π∴f（）=f（﹣2π）=f（﹣）∵函数f（x）是偶函数∴f（）=f（）=sin=．故选D【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性以及应用区间上的解析性求函数值，是基础题，应熟练掌握．18．如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．【解答】解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以∠BGA=﹣，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为﹣（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．【点评】由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．三、解答题（共5大题，满分74分）19．如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=1，AD=3，∠ADC=45°．又已知PA⊥平面ABCD，PA=1．求：（1）异面直线PD与AC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）（2）四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题．【分析】（1）利用平移法作出异面直线所成的角，进而利用余弦定理可求线线角；（2）四棱锥的体积为×底面积×高，求出底面梯形的面积即可．（1）连接AC，过点C作CF∥AB交AD于点F，因为∠ADC=45°，所以FD=1，从而BC=AF=2，……【解答】解：延长BC至E，使得CE=AD=3，则AC∥DE，∴∠PDE（或其补角）是异面直线PD与AC所成角，且DE=AC=，AE=，PE=3，PD=．在△PDE中，cos∠PDE=﹣．…所以，异面直线PD与AC所成角的大小为arccos．…（2）∵BC=2，AD=3，AB=1，∴底面梯形面积为∵PA⊥平面ABCD，PA=1．∴四棱锥P﹣ABCD的体积为．…【点评】本题考查线线角，考查棱锥的体积，解题的关键是正确作出线线角，属于中档题．20．已知函数f（x）=cos2x sin2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最大值和最小值．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）根据二倍角的余弦、两角和的正弦公式化简解析式，再求出函数的最小正周期；（Ⅱ）由x的范围求出“”的范围，再由正弦函数的最值求出此函数的最值，以及对应的x的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，==则f（x）的最小正周期T=π（Ⅱ）∵，∴，当=时，即x=时，f（x）的最大值为1+，当=0时，即x=时，f（x）的最小值为．【点评】本题考查了二倍角的余弦、两角和的正弦公式，以及正弦函数的最值的应用，考查了整体思想．21．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表；月数 1 2 3 4 …污染度60 31 13 0 …污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f（x）=20|x﹣4|（x≥1），g（x）=（x≥1），h（x）=30|log2x﹣2|（x≥1），其中x表示月数，f（x）、g（x）、h（x）分别表示污染度．（1）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60？【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）通过计算f（1），f（2），f（3），f（4）；g（1），g（2），g（3），g（4）和h（1），h（2），h（3），h（4）的值；可知h（x）更接近表中的实际值，用h（x）模拟较为合理．（2）由复合函数的单调性知，函数h（x）=30|log2x﹣2|在x≥4上是增函数，且h（16）=60，知整治后有16个月的污染度不超过60．【解答】解：（1）∵f（2）=40，g（2）≈26.7，h（2）≈27.3f（3）=20，g（3）≈6.7，h（3）≈10.9由此可得h（x）更接近实际值，所以用h（x）模拟比较合理．（2）因h（x）=30|log2x﹣2|在x≥4上是增函数，又因为h（16）=60故整治后有16个月的污染度不超过60．【点评】本题考查了函数模型的选择与应用问题，选择函数模拟实际问题时，函数值越接近实际值，函数模拟效果越好．22．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设椭圆的顶点为P，则a=2c，又由a﹣c=1，由PF1=PF2=2结合椭圆的定义可得2a，结合b2=a2﹣c2可求椭圆的方程；（2）存在直线l，使得成立．设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8lmx+4m2﹣12=0．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）设椭圆的顶点为P，由两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，可得a=2c，又∵右焦点到右顶点的距离为1．∴a﹣c=1，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3椭圆的方程为：，（2）解：存在直线l，使得成立．理由如下：设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8lmx+4m2﹣12=0．△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=．若成立，即，等价于=0．所以x1x2+y1y2=0．x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，（1+k2）•﹣km•+m2=0，化简得7m2=12+12k2．即k2=m2﹣1，代入3+4k2＞m2中，3+4（m2﹣1）＞m2，解得m2＞．又由7m2=12+12k2≥12，得m2≥，从而m2≥，解得m≥或m≤﹣．所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地加以运用．23．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．（1）求{a n}的通项公式；（2）若m=，数列{b n}满足关系式b n=，求证：数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1；（3）设（2）中的数列{b n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，（1﹣n）•（S n+n+2）+（n+p）•2n+1＜2恒成立，求实数p的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）由等差数列有通项公式，得到首项与公差的方程组，得出首项与公差的值，得到通项公式；（2）已知数列的递推公式，由叠加法，得到数列的通项公式；（3）将数列求和得到前n项和后，将条件变形后，得到关于参数p的关系式，这是一个恒成立问题，通过最值的研究，得到本题结论．【解答】解：（1）设等差数列a n的公差为d，由已知，有解得所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1，即差数列a n的通项公式为a n=2n+1，n∈N*．（2）因为，所以，当n≥2时，．证法一（数学归纳法）：①当n=1时，b1=1，结论成立；②假设当n=k时结论成立，即，那么当n=k+1时，=2k﹣1+2k=2k+1﹣1，即n=k+1时，结论也成立．由①，②得，当n∈N*时，成立．证法二：当n≥2时，，所以将这n﹣1个式子相加，得，即=．当n=1时，b1=1也满足上式．所以数列{b n}的通项公式为．（3）由（2），所以，∴原不等式变为（1﹣n）2n+1+（n+p）•2n+1＜2，即p•2n+1＜2﹣2n+1，∴对任意n∈N*恒成立，∵n为任意的正整数，∴p≤﹣1．∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查的是数列和不等式的知识，涉及到等差数列的通项公式、前n项和公式、叠加法求通项，以及不等关系式．本题有一定的思维量，运算量较大，属于难题．精品Word 可修改欢迎下载。

2023届金山区高考数学一模一､填空题1.函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是_________2.已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B = ___________3.若0x >，则2x x +的最小值为___________.4.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为()2,0，则p 的值为___________.5.已知一个圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的侧面积为________．6.已知()2f x x x=+，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程是___________.7.若0x >时，指数函数()23xy m =-的值总大于1，则实数m 的取值范围是___________.8.已知m 是实数，i 是虚数单位，若复数6i12i m z +=+的实部和虚部互为相反数，则z =___________.9.从7个人中选4人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和第三天均安排1人，且人员不重复，则一共有___________种安排方式（结果用数值表示）.10.函数22π3sin cos cos ,0,2y x x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦的值域为___________.11.若集合()(){}2,20A x y x y x y =+++-≤，()()(){}222,211B x y x a y a a =-+--≤-，且A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是___________.12.设{}n a 是由正整数组成且项数为m 的增数列，已知11a =，100m a =，数列{}n a 任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于{}n a 中任意序数不同的两项s a 和t a ，在剩下的项中总存在序数不同的两项p a 和q a ，使得s t p qa a a a +=+，则1mii a=∑的最小值为___________.二､选择题13.已知直线()1:3260l x a y -++=，直线()2:2320l ax a y +-+=，则“9a =-”是“12l l //”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.已知角α的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（）A .sin ,cos ,tan αααB.sin ,tan ,cos αααC .22sin ,cos ,tan αααD.22cos ,sin ,tan ααα15.已知正四面体ABCD 的棱长为6，设集合{Ω|P AP =≤P ∈平面}BCD ，则Ω表示的区域的面积为（）A.πB.3πC.4πD.6π16.对于函数()y f x =，若自变量x 在区间[],a b 上变化时，函数值()f x 的取值范围也恰为[],a b ，则称区间[],a b 是函数()y f x =的保值区间，区间长度为b a -.已知定义域为R 的函数()y g x =的表达式为()21g x x =-，给出下列命题：①函数()y g x =有且仅有4个保值区间；②函数()y g x =的所有保值区间长度之和为352+.下列说法正确的是（）A.结论①成立，结论②不成立B.结论①不成立，结论②成立C.两个结论都成立D.两个结论都不成立三､解答题17.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PA AB =.（1）求证：直线BD ⊥平面PAC ；（2）求直线PC 与平面PBD 所成的角的大小.18.近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达40%，每年年底把除运营成本a 万元，再将剩余资金继续投入直播平合.（1）若100a =，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？（2）每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底㧅除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到0.1万元）19.在ABC 中，设角A B C ､､所对的边分别为a b c ､､，且()cos 4cos 0a B b c A +-=.（1）求cos A ；（2）若2,1BD DC AD ==，求2c b +的最大值.20.已知椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12F F ､.（1）以2F 为圆心的圆经过椭圆的左焦点1F 和上顶点B ，求椭圆Γ的离心率；（2）已知5,4a b ==，设点P 是椭圆Γ上一点，且位于x 轴的上方，若12PF F △是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）已知2,a b ==，过点2F 且倾斜角为π2的直线与椭圆Γ在x 轴上方的交点记作A ，若动直线l 也过点2F 且与椭圆Γ交于M N ､两点（均不同于A ），是否存在定直线00:l x x =，使得动直线l 与0l 的交点C 满足直线AM AC AN ､､的斜率总是成等差数列？若存在，求常数0x 的值；若不存在，请说明理由.21.若函数()y f x =是其定义域内的区间I 上的严格增函数，而()f x y x=是I 上的严格减函数，则称()y f x =是I 上的“弱增函数”.若数列{}n a 是严格增数列，而n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是严格减数列，则称{}n a 是“弱增数列”.（1）判断函数ln y x =是否为()e,+∞上的“弱增函数”，并说明理由（其中e 是自然对数的底数）；（2）已知函数()y f x =与函数2248y x x =---的图像关于坐标原点对称，若()y f x =是[],m n 上的“弱增函数”，求n m -的最大值；（3）已知等差数列{}n a 是首项为4的“弱增数列”，且公差d 是偶数.记{}n a 的前n 项和为n S ，设2(2n n nS T n λ+=是正整数，常数2)λ≥-，若存在正整数k 和m ，使得1k m >>且k mT T =，求λ所有可能的值.2023届金山区高考数学一模一､填空题1.函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是_________【答案】π【分析】利用正弦的周期公式直接求解即可【详解】sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为22ππ=，故答案为：π2.已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B = ___________【答案】{1,2}【分析】利用交集的定义进行求解.【详解】因为{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，所以{1,2}A B = .故答案为：{1,2}.3.若0x >，则2x x+的最小值为___________.【答案】.【分析】根据基本不等式，即可求解.【详解】因为0x >，则2x x +=≥，当且仅当2x x =时，即x =所以2x x+的最小值为.故答案为：4.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为()2,0，则p 的值为___________.【答案】4【分析】利用抛物线的标准方程得到焦点坐标，从而求得p 值.【详解】因为抛物线22(0)y px p =>，所以抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，又因为抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为()2,0，所以22p=，则4p =.故答案为：4.5.已知一个圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的侧面积为________．【分析】求出圆锥的母线长即可得侧面积．【详解】由题意底面半径为3r =，高为4h =，则母线长为5l ==，所以侧面积为3515S rl πππ==⨯⨯=．故答案为：15π．6.已知()2f x x x =+，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程是___________.【答案】y x=【分析】首先求出原函数的导函数()'fx ，然后将切点处的横坐标0x =代入导函数中求出直线的斜率()0k f ='，再将切点的横坐标代入，求出切点的纵坐标，最后用点斜式()00y y k x x -=-求出切线方程.【详解】因为()21f x x '=+，()2f x x x =+，所以()()00,01f f '==，即切点为()0,0，斜率为1k =，代入点斜式直线方程()00y y k x x -=-中则曲线()y f x =在0x =处的切线方程是y x =.故答案为：y x =.7.若0x >时，指数函数()23xy m =-的值总大于1，则实数m 的取值范围是___________.【答案】2m <-或m>2【分析】根据指数函数的性质以及单调性，即可得到关于m 的不等式，求解不等式即可得到结果.【详解】由已知可得，230m ->且231m -≠.又0x >时，1y >，即()()022313x m m ->=-，所以有231m ->，即()()220m m +->，解得2m <-或m>2.故答案为：2m <-或m>2.8.已知m 是实数，i 是虚数单位，若复数6i12im z +=+的实部和虚部互为相反数，则z =___________.【答案】【分析】利用复数的运算化简，结合题意求出m 的值，再用模长公式计算即可.【详解】由题意6i (6i)(12i)62(12)i12i (12i)(12i)5m m m m z ++-++-===++-，因为实部和虚部互为相反数，所以62120m m ++-=，解得2m =，此时22z i =-，则z ==故答案为：9.从7个人中选4人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和第三天均安排1人，且人员不重复，则一共有___________种安排方式（结果用数值表示）.【分析】分别确定第一天、第二天、第三天值班的人，结合分步乘法计数原理可求得结果.【详解】从7个人中选4人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和第三天均安排1人，且人员不重复，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为211754C C C 2154420=⨯⨯=.故答案为：420.10.函数22π3sin cos cos ,0,2y x x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦的值域为___________.【答案】[]1,4【分析】由三角恒等变换得()π2sin 226f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再整体代换求解值域即可.【详解】221cos21cos23sin cos cos 3·22x xy x x x x x -+=++=++cos222sin 226x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]π2sin 221,46x ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以函数22π3sin cos cos ,0,2y x x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦的值域为[]1,4.故答案为：[]1,411.若集合()(){}2,20A x y x y x y =+++-≤，()()(){}222,211B x y x a y a a =-+--≤-，且A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是___________.【答案】11,17⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】化简集合(){},21A x y x y =-≤+≤，其表示两平行线线上及其中间部分的点(如阴影部分所示)，集合B 表示以(),21M a a +为圆心为半径的圆及其圆内的点，而A B ⋂≠∅，即表示该圆与阴影部分有交点，可利用直线与圆的位置关系来解决此题.【详解】因为()(){}(){}2,20,21A x y x y x y x y x y =+++-≤=-≤+≤，所以集合A 是被两条平行直线2,1x y x y +=-+=夹在其中的区域，如图所示，()()(){}222,211B x y x a y a a =-+--≤-，其中()()222211x a y a a -+--=-由210a -≥，解得1a ≤-或1a ≥，当1a =±时，B 表示点(1,3)或()1,1--，当1a ≠±时，B 表示以(),21M a a +21a -为半径的圆及其内部的点，其圆心在直线21y x =+上，依题意A B ⋂≠∅，即表示圆M 应与阴影部分相切或者相交，当1a =-时，显然满足题意，当1a =时，不满足题意，当1a <-时，因为A B ⋂≠∅，所以d r ≤222112a a a +++≤-，所以()()17110a a ++≤，所以1117a -≤<-；当1a >时，因为A B ⋂≠∅，所以d r ≤221112a a a ++-≤-，所以2720a +≤，无解；综上，头数a 的取值范围足11,17⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.故答案为：11,17⎡⎤--⎢⎥⎣⎦12.设{}n a 是由正整数组成且项数为m 的增数列，已知11a =，100m a =，数列{}n a 任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于{}n a 中任意序数不同的两项s a 和t a ，在剩下的项中总存在序数不同的两项p a 和q a ，使得s t p q a a a a +=+，则1mi i a =∑的最小值为___________.【答案】5454【分析】本题为数列的新定义题，由已知可推出，当2k m ≤≤时，1k k a a -=或11k k a a -=+，根据11a =，可推出数列{}n a 前6项，结合题意，应有73a =，84a =，95a =，…，698m a -=，中间各项为公差为1的等差数列时，可使得m 值最小，同理推出数列后6项，即可得出最小值.【详解】因为数列{}n a 任意相邻两项的差的绝对值不超过1，11a =，所以202a ≤≤，又{}n a 是由正整数组成且项数为m 的增数列，所以21a =或22a =，当22a =时，432a a ≥≥，此时12343a a a a +=<+，这与在剩下的项中总存在序数不同的两项p a 和q a ，使得s t p q a a a a +=+矛盾，所以21a =，类似地，必有31a =，41a =，52a =，62a =，由s t p q a a a a +=+得前6项任意两项之和小于等于3时，均符合，121mim i aa a a ==+++∑ 要最小，则每项尽可能小，且m 值要尽量小，则56174a a a a +==+，73a =，同理，84a =，95a =，…，698m a -=，当{}n a 中间各项为公差为1的等差数列时，可使得m 值最小，且满足已知条件.由对称性得最后6项为123100m m m m a a a a ---====，4599m m a a --==，则121mi m i a a a a ==+++∑ 的最小值()1999941003129954542S +⋅=+⨯+⨯++=.【点睛】对于数列的新定义题，关键在于读懂题意.根据题意，可得出当2k m ≤≤时，1k k a a -=或11k k a a -=+，根据已知，可推出数列的前6项以及后6项，进而推得中间项和取的最小值应满足的条件.二､选择题13.已知直线()1:3260l x a y -++=，直线()2:2320l ax a y +-+=，则“9a =-”是“12l l //”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可.【详解】若9a =-，则两直线方程分别为1:3760l x y ++=和22:3703l x y +-=，满足两直线平行，即充分性成立，若12l l //，当0a =时，两直线分别为1:3260l x y -+=和2:320l y -+=，此时两直线不平行，不满足条件.当0a ≠时，若两直线平行则()()236232a a a -+=≠-，由()()2323a a a -+=-得()()3232a a a -=-+，即2890a a +-=，所以9a =-或1a =，当1a =时，()()236232a a a -+==-，不满足条件.则1a ≠，即9a =-，则“9a =-”是“12l l //”的充要条件，故选：C14.已知角α的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（）A.sin ,cos ,tan αααB.sin ,tan ,cos αααC.22sin ,cos ,tan αααD.22cos ,sin ,tan ααα【答案】D【分析】对于ABC ，举反例排除即可；对于D ，利用三角函数的基本关系式即可判断.【详解】对于A ，令π4α=，则22sin tan 122ααα===，所以2122cos ,sin tan 1222ααα===，即2cos sin tan ααα≠，故A 错误；对于B ，令π4α=，则21tan 1,cos sin 2ααα==，即2tan cos sin ααα≠，故B 错误；对于C ，令π6α=，则222211331sin ,cos tan 24233ααα⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2223111cos ,sin tan 44312ααα==⨯=，即222cos sin tan ααα≠，故C 错误；对于D ，因为角α的终边不在坐标轴上，所以cos 0α≠，sin 0α≠，tan 0α≠，所以sin tan cos ααα=，即sin cos tan ααα=，则222sin cos tan ααα=，所以22cos ,sin ,tan ααα一定成等比数列，故D 正确.故选：D.15.已知正四面体ABCD 的棱长为6，设集合{Ω|P AP =≤P ∈平面}BCD ，则Ω表示的区域的面积为（）A.πB.3πC.4πD.6π【答案】C【分析】过点A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，利用正四面体的特点求出,BO AO 的长，从而得到2OP ≤，即得到其表示圆及其内部，则得到其表示的区域面积.【详解】过点A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，则2π23sin 633332BO BC =⋅⋅=⨯⨯=()22226236AO AB BO =-=-因为7AP ≤，则()()222227262OP AP AO =-≤-，则Ω表示的区域为以O 为圆心，2为半径的圆及其内部，面积为4π，故选：C.16.对于函数()y f x =，若自变量x 在区间[],a b 上变化时，函数值()f x 的取值范围也恰为[],a b ，则称区间[],a b 是函数()y f x =的保值区间，区间长度为b a -.已知定义域为R 的函数()y g x =的表达式为()21g x x =-，给出下列命题：①函数()y g x =有且仅有4个保值区间；②函数()y g x =的所有保值区间长度之和为352+.下列说法正确的是（）A.结论①成立，结论②不成立B.结论①不成立，结论②成立C.两个结论都成立D.两个结论都不成立【答案】B【分析】分析可知0a b ≤<，分01a b ≤<≤、0a b ≤<1<两种情况讨论，分析函数()g x 在[],a b 上的单调性，根据函数()g x 在[],a b 上的值域为[],a b 求出a 、b 的值，即可得出结论.【详解】因为()210gx x =-≥，所以0a b ≤<，①当01a b ≤<≤时，当[],x a b ∈时，()21g x x =-，则函数()g x 在[],a b 上单调递减，由题意可得()()221101g a a bg b b a a b ⎧=-=⎪=-=⎨⎪≤<≤⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩；②当0a b ≤<1<时，则当[],x a b ∈时，()()min 10g x g ==，必有0a =，则()221,011,1x x g x x x b⎧-≤≤=⎨-<≤⎩，所以，函数()g x 在[]0,1上递减，在[]1,b 上单调递增，由()211g b b =-=，可得2b =，当1b <时，()(]210,1g b b =-∈，故当[]0,x b ∈时，()()min 10g x g ==，()()(){}()max max 0,01g x g g b g ===，故当1b <时，函数()g x 在[]0,b 上的值域为[]0,1，不合乎题意；当b >时，有()21g b b b =-=，得12b +=，此时，当[]0,x b ∈时，()()min 10g x g ==，()()(){}()max max 0,g x g g b g b b ===，合乎题意.综上，()y g x =有2个保值区间，故①错；所有的保值区间为[]0,1和150,2⎡+⎢⎣⎦，长度之和为1310022-+-=，故②对.故选：B.三､解答题17.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PA AB =.（1）求证：直线BD ⊥平面PAC ；（2）求直线PC 与平面PBD 所成的角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）1arcsin 3【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明；（2）以A 为坐标原点，分别以AB AD AP ､､为x y z ､､轴，建立空间直角坐标系.分别求出直线PC 的方向向量与平面PBD 的法向量，由线面角的向量公式代入即可求解.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥.在正方形ABCD 中，AC BD ⊥.而PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，故BD ⊥平面PAC .【小问2详解】以A 为坐标原点，分别以AB AD AP ､､为x y z ､､轴，建立空间直角坐标系.设1AB =，则()()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0B D P C ，从而()()()1,0,1,0,1,1,1,1,1PB PD PC =-=-=- .设平面PBD 的法向量为(),,n x y z =r，0000PB n x z x z y z y z PD n ⎧⎧⋅=-==⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-==⋅=⎩⎪⎩⎩，令1z =，则()1,1,1n = .设直线PC 与平面PBD 所成的角为θ，则1sin |cos ,3PC n PC n PC n θ⋅===⋅ ∣，故PC 与夹面PBD 的所成角大小为1arcsin 3.18.近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达40%，每年年底把除运营成本a 万元，再将剩余资金继续投入直播平合.（1）若100a =，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？（2）每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底㧅除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到0.1万元）【答案】（1）936万元（2）3000万元【分析】（1）用n a 表示第n 年年底扣除运营成本后直播平台的资金，然后根据已知计算123,,a a a 可得；（2）由已知写出1236,,,,a a a a ，然后由63000a ≥求得a 的范围．【小问1详解】记n a 为第n 年年底扣除运营成本后直播平台的资金，则15001.4100600a =⨯-=，26001.4100740a =⨯-=37401.4100936a =⨯-=故第3年年底扣除运营成本后直播平台的资金为936万元.【小问2详解】15001.4a a =⨯-，()225001.4 1.45001.4 1.4a a a a a=⨯-⨯-=⨯--L()6546500 1.4 1.4 1.41a a=⨯-+++ 661 1.45001.41 1.4a -=⨯-⋅-由63000a ≥，得46.8a ≤，故运营成本最多控制在46.8万元，才能使得直播平台在第6年年底扣除运营成本后资金达到3000万元.19.在ABC 中，设角A B C ､､所对的边分别为a b c ､､，且()cos 4cos 0a B b c A +-=.（1）求cos A ；（2）若2,1BD DC AD == ，求2c b +的最大值.【答案】（1）1cos 4A =（2）6105【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再由诱导公式和两角和的正弦公式化简即可；（2）由cos cos 0ADB ADC ∠+∠=得2222411199021212133a c ab a a +-+-+=⨯⨯⨯⨯，因为2221cos 42bc a A bc +-==，两方程联立结合均值不等式即可得出答案.【小问1详解】由()cos 4cos 0a B b c A +-=，得()sin cos sin 4sin cos 0A B B C A +-=即()sin 4sin cos 0A B C A +-=，从而sin 4sin cos 0C C A -=，由sin 0C >，得1cos 4A =.【小问2详解】由cos cos 0ADB ADC ∠+∠=得2222411199*********a c ab a a +-+-+=⨯⨯⨯⨯，从而222241121099ac a b ⎛⎫+-++-= ⎪⎝⎭，即()2223232a c b =+-又因为2221cos 42b c a A bc+-==，得22212a b c bc =+-所以()2222132322b c bc c b +-=+-，即2249c bc b ++=，从而()2293c b bc +-=，而()()223332224b c bc b c +=⋅≤⋅，故()()2232298b c c b ++-≤解得()27225c b +≤，当且仅当310310,105b c ==时取等号，所以2c b +的最大值为5.20.已知椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12F F ､.（1）以2F 为圆心的圆经过椭圆的左焦点1F 和上顶点B ，求椭圆Γ的离心率；（2）已知5,4a b ==，设点P 是椭圆Γ上一点，且位于x 轴的上方，若12PF F △是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）已知2,a b ==，过点2F 且倾斜角为π2的直线与椭圆Γ在x 轴上方的交点记作A ，若动直线l 也过点2F 且与椭圆Γ交于M N ､两点（均不同于A ），是否存在定直线00:l x x =，使得动直线l 与0l 的交点C 满足直线AM AC AN ､､的斜率总是成等差数列？若存在，求常数0x 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）12（2）答案见解析（3）存在，04x =，理由见解析【分析】（1）由题意知2a c =，即可知离心率；（2）分12PF PF =，112PF F F =和212PF F F =三种讨论即可；（3）设直线():1l y k x =-，联立椭圆方程得到韦达定理式，计算AM AN k k +，将韦达定理式整体代入，再计算AC k ，得到方程即可.【小问1详解】由题意得2c =即2a c =，所以离心率12c e a ==.【小问2详解】由题意得椭圆22:12516x y Γ+=①当12PF PF =时，由对称性得()0,4P .②当112PF F F =时，1126PF F F ==，故2124PF a PF =-=，设(),P x y ，由()()123,0,3,0F F --得()()2222222233662767316x y x x y x x y x y ⎧++=⎧++=⎪⇒⎨⎨-+=-+=⎩⎪⎩，两式作差得53x =，代入椭圆方程，得3y =（负舍），故5,33P ⎛ ⎪⎝⎭③当212PF F F =时，根据椭圆对称性可知582,33P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.【小问3详解】由题意得椭圆()()22123Γ:1,1,0,1,0,1,432x y F F A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.设直线():1l y k x =-，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +-+-=.设()()1122,,,M x y N x y ，则2122212284341243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()()1212121233331122221111AM AN y y k x k x k k x x x x ------+=+=+----()()221212222212122234123822232223243243214128114343k k kx x k x x k k k k k k k k k x x x x k k -⎛⎫⎛⎫-++++⋅-+⋅++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭===---++-+++，()()000003313221121AC y k x k k x x x ---===----，由032121k k x -=--，得04x =.【点睛】关键点睛：对于第三问，我们通常选择设线法，设直线():1l y k x =-，从而将其与椭圆方程联立得到两根之和与之积式，然后再计算出AM AN k k +的值，再将韦达定理式整体代入，当然本题也可引入m ，设直线:1l x my -=.21.若函数()y f x =是其定义域内的区间I 上的严格增函数，而()f x y x =是I 上的严格减函数，则称()y f x =是I 上的“弱增函数”.若数列{}n a 是严格增数列，而n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是严格减数列，则称{}n a 是“弱增数列”.（1）判断函数ln y x =是否为()e,+∞上的“弱增函数”，并说明理由（其中e 是自然对数的底数）；（2）已知函数()y f x =与函数2248y x x =---的图像关于坐标原点对称，若()y f x =是[],m n 上的“弱增函数”，求n m -的最大值；（3）已知等差数列{}n a 是首项为4的“弱增数列”，且公差d 是偶数.记{}n a 的前n 项和为n S ，设2(2n n nS T n λ+=是正整数，常数2)λ≥-，若存在正整数k 和m ，使得1k m >>且k m T T =，求λ所有可能的值.【答案】（1）ln y x =是()e,+∞上的“弱增函数”，理由见解析（2）1（3）λ所有可能的值为1-和2-【分析】（1）根据“弱增函数”的定义，分析ln y x =和ln x y x=在()e,+∞上的单调性即可；（2）由函数()y f x =与函数2248y x x =---的图像关于坐标原点对称，求出函数()2248f x x x =-+，因为()y f x =是[],m n 上的“弱增函数”，根据二次函数和对勾函数的图像性质分别求出()f x 的增区间和()f x x 的减区间，得到[][],1,2m n ⊆，即可求出n m -的最大值；（3）由等差数列{}n a 是首项为4的“弱增数列”，且公差d 是偶数，解得2d =，即可求出2322n n n n T λ++=，通过分析n T 的单调性，可得2m =，从而赋值别求得符合题意的λ的值.【小问1详解】函数ln y x =是()e,+∞上的“弱增函数”，理由如下：显然，ln y x =是()e,+∞上的严格增函数，对于函数ln x y x =，21ln x y x -='，当()e,x ∈+∞时，0'<y 恒成立，故ln x y x=是()e,+∞上的严格减函数，从而ln y x =是()e,+∞上的“弱增函数”.【小问2详解】记()2248g x x x =---，由题意得()()[]2248,,f x g x x x x m n =--=-+∈，()[]824,,f x x x m n x x=+-∈，由()y f x =是[],m n 上的“弱增函数”可得函数()y f x =是[],m n 上的严格增函数，而()f x y x =是[],m n 上的严格减函数，函数2248y x x =-+图像的对称轴为1x =，且是区间[]1,n 上的严格增函数，令()[]824,,h x x x m n x =+-∈，则()282h x x'=-，当()0h x '=，即2820x-=时，解得2x =-或2x =，当22x -≤≤时，()2820h x x '=-≤，则函数()h x 在[],2m 上单调递减，即函数()h x 是区间[],2m 上的严格减函数，由()y f x =是[],m n 上的“弱增函数”，得[][],1,2m n ⊆，所以12m n ≥⎧⎨≤⎩，所以n m -的最大值为1.【小问3详解】()441,n n a d a n d d n n-=+-=+，由{}n a 是“弱增数列”得0,40d d >->，即04<<d .又因为d 是偶数，所以2d =，从而()22113222,23,22n n n n n n n n a n S na n n T λ-++=+=+⨯=+=.故211422n n n n n T T λ++--+--=，由2λ≥-得428λ-≤，所以当3n ≥时，10n n T T +-<，即1n n T T +<，故若3k m >≥，则不存在k 和m ，使得k m T T =.从而252,2m T λ+==.若238992T T λ++==，解得1λ=-，满足；若241612216T T λ=+=+，解得2λ=-，满足；若252515232T T λ=++=，解得2027λ=-<-，不满足.当5n >时，2520n T T T T -<-<，故不存在大于5的正整数，使得2n T T =.综上，λ所有可能的值为1-和2-.【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法。