2020上海高三数学一模详答

2020年一模汇编——平面向量一、填空题 【徐汇2】 向量(3,4)a =在向量(1,0)b =方向上的投影为【答案】3【解析】向量a →在向量b →方向上的投影为3cos 31a ba ba a a bbθ→→→→→→→→→⋅⋅=⨯===⨯【闵行5】在△ABC 中，已知AB a =，BC b =，G 为△ABC 的重心，用向量a 、b 表示向量AG =【答案】2133a b + 【解析】因为G 为△ABC 的重心，设BC 边中线为AD ，交BC 于D 点，则()222121333233AG AD AB BD AB BC a b ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭ 【长宁，嘉定，金山6】己知向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,21AB ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21,23AC ,则BAC ∠= 【答案】6π【解析】向量的夹角公式23cos 222221212121=+⋅++=y x y x y y x x θ，6πθ=∴【静安7】如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅的值为_____.【答案】-3【解析】()()14-3AC BD AB AD AD AB ⋅=+-=-=【松江7】已知向量()1,2a →=，(),3b m →=-，若向量2a b b →→→⎛⎫- ⎪⎝⎭∥，则实数m =【答案】32-【解析】()212,8a b m →→-=-，又2a b b →→→⎛⎫- ⎪⎝⎭∥，()()12380m m ∴---=，解得：32m =-【长宁，嘉定，金山10】已知非零向量..a b c 两两不平行，且()(),+c ab c b a +，设c=,,,+2y=xa yb x y R +∈则x【答案】-3【解析】由题意得()()1;b c ma b xa yb y b m x a +=⇒++=+=-即1y =-，()()=1a c na a xa yb x a n y b +⇒++⇒+=-；即1x =- 23x y ∴+=-【虹口10】如图所示，两块斜边长均等于2的直角三角板拼在一起，则OD AB ⋅= 【答案】1-【解析】以O 为坐标原点OA 为x 轴OB 为y 轴建立直角坐标系，可得(0,0)(1,0)(0,1)()01O A B OD AB OA AD AB OA AB AD AB AB AD AD AB OD AB OA AB →→→→→→→→→→→→→→→==+⊥∴=∴==-、、【普陀11】设P 是边长为22的正六边形123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN 的取值范围为____________. 【答案】646,882⎡⎤-+⎣⎦【解析】构建平面直角坐标系，取MN 中点C ，∴()()PM PN PC CM PC CN ⋅=+⋅+2224PC CM PC =-=-，max ||22222PC OC =+=+，min ||62PC OB OC =-=-，∴2[1046,1282]PC ∈-+，即[646,882]PM PN ⋅∈-+，另外，本题也可利用参数方程转化为三角函数求最值问题得思路解题。

2020年一模汇编——解析几何一、填空题【普陀1】若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 为___________.【答案】2【解析】抛物线的性质：p=1，所以m=2【黄浦3】抛物线28x y =的焦点到准线的距离为___________. 【答案】4【解析】由题抛物线的焦点为(0,2)，准线为直线2x =-，易得焦点到准线的距离为4【青浦3】直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是【答案】6π 【解析】设夹角为θ，则23213cos =⨯=θ，故夹角6πθ=【静安3】若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32和152则1l 与2l 的夹角为_____.【答案】60【解析】1801523260-+=【静安4】若直线l 的一个法向量为(2,1)n =，则若直线l 的斜率k =_____. 【答案】2-【解析】(2,1)n =，则单位向量(1,2)d =-，221k ==-【宝山5】以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 .【答案】9)23(22=++y x【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 【松江5】已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122PF PF =，则1=PF【答案】4【解析】由椭圆定义得：1226PF PF a +==，又122PF PF =，联立得：1=PF 4【虹口6】抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为_________. 【答案】1【解析】抛物线26x y =的焦点为)23,0(，焦点到直线3410x y +-=的距离33041215d ⨯+⨯-==【杨浦7】椭圆22194x y +=焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若15PF =，则12cos F PF ∠= 【答案】35【解析】因为3a ==，2b ==，所以c ==，所以1(F，2F ，225651PF a =-=-=，所以22212513cos 2155F PF +-∠==⋅⋅【奉贤7】若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为则该双曲线的标准方程为____________.【答案】2219y x -=±【解析】根据双曲线的渐近线方程为3y x =±，可知3b a =或3ab=；由焦距为得出c =222c a b =+，求得,,a b c 的值【普陀8】设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=＞，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP △是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA →→=，则Γ的长轴长等于_________.【答案】【解析】由题知(),0A a -、()0,P a ，设(),Q x x a +，有(),PQ x x =、(),QA a x x a =----， 所以()2x a x =⋅--，解得23x a =-，将(),Q x x a +代入2221x y a +=得22211210x ax a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，整理得Γ的长轴长2a = 【崇明8】若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是__________．【答案】116922=-y x 【解析】由题意得3=a ，5210=÷=c ，16222=-=a c b ，标准方程为116922=-y x【杨浦9】在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:+2C x y =上，则PA PB ⋅的取值范围为___________.【答案】(22+【解析】因为22+2x y =，设)P θθ，则(2,)PA θθ=--，(,1)PB θθ=-，22222cos 2sin PA PB θθθθ⋅=++，22)PA PB θθθϕ⋅=+=++，【崇明9】已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于___________.【答案】81 【解析】两直线互相垂直得1121-=-⋅-ba ，b a 21-=，代入得b b ab )21(-=， 0,0a b >>，最小值为81【宝山9】已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为___________.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=【奉贤9】设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，6ON =，5ON OM =，过点M 作1MM x ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设11OT M M N N =+，则点T 的轨迹方程是______________.【答案】22536x y +=05x x ⎛≠≠ ⎝⎭且【解析】设(),T x y ，点()11,N x y ，则()11,0N x ，又1111,OM y M y ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭11,0M M ⎫=⎪⎭，()110,N N y =，于是1111,OT M M N N x y ⎫=+=⎪⎭，由此能求出曲线C的方程。

上海市宝山区2020届高三一模数学试卷2019.12一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.若(1i)2i z +=（i 是虚数单位），则||z =2.已知4251λλ-=-，则λ=3.函数13x y -=（1x ≤）的反函数是4.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有场球赛5.以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是6.在53(1)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为7.不等式22|2|36x x x x -->--的解集是8.已知方程220x kx -+=（k ∈R ）的两个虚根为1x 、2x ，若12||2x x -=，则k =9.已知直线l 过点(1,0)-且与直线20x y -=垂直，则圆22480x y x y +-+=与直线l 相交所得的弦长为10.有一个空心钢球，质量为142g ，测得外直径为5cm ，则它的内直径是cm（钢的密度为7.93/g cm ，精确到0.1cm ）11.已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n c a b =⋅，若{}n c 前三项是7、9、9，则10c =12.已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（）A.01a << B.11a e<< C.111a e-<< D.111a e+<<14.下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（）A.2()log (41)x f x x=+- B.()||2cos f x x x =-C.2210()0x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩ D.|lg |()10x f x =15.已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足的是（）A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面16.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：sin cos )a x b x x ϕ+=+，πϕπ-<<，下列判断错误的是（）A.当0a >，0b >时，辅助角arctan b a ϕ=B.当0a >，0b <时，辅助角arctan b a ϕπ=+C.当0a <，0b >时，辅助角arctan b a ϕπ=+D.当0a <，0b <时，辅助角arctanb aϕπ=-三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ︒∠=，13DD =，E 是AB 的中点.（1）求四棱锥1C EBCD -的体积；（2）求异面直线1C E 和AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18.已知函数()sin cos()cos 2f x x x x x π=++.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若()f x a =在区间[0,2π上有两个解1x 、2x ，求a 的取值范围及12x x +的值.19.一家污水处理厂有A 、B 两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.（1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A 、B 两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时）20.已知直线:l x t =(02)t <<与椭圆22:142x y Γ+=相交于A 、B 两点，其中A 在第一象限，M 是椭圆上一点.（1）记1F 、2F 是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB 过2F ，当M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等时，求点M 的横坐标；（2）若点M 、A 关于y 轴对称，当MAB 的面积最大时，求直线MB 的方程；（3）设直线MA 和MB 与x 轴分别交于P 、Q ，证明：||||OP OQ ⋅为定值.21.已知数列{}n a 满足11a =，2a e =（e 是自然对数的底数），且2n a +=，令ln n n b a =（n ∈*N ）.（1）证明：2n b +>；（2）证明：211{}n n n n b b b b +++--是等比数列，且{}n b 的通项公式是121[1()]32n n b -=--；（3）是否存在常数t ，对任意自然数n ∈*N 均有1n n b tb +≥成立？若存在，求t 的取值范围，否则，说明理由.上海市宝山区2020届高三一模数学试卷答案解析版2019.12一、填空题（本大题共12题，每题4分，127-每题5分，共54分）1.若i i z 2)1(=+（i 是虚数单位），则=||z .【答案】2【解析】i iiz +=+=112，得到2=||z 2.已知5124=--λλ，则=λ.【答案】3【解析】由行列式的运算得：524=---)()(λλ，即3=λ3.函数)1(31<=-x y x 的反函数是.【答案】1log 3+=xy ，]1,0(∈x 【解析】y x ,互换，13-=y x ⇒1log 3+=xy ]1,0(∈x 4.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有场球赛.【答案】66【解析】单循环66212=C 5.以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是.【答案】9)23(22=++y x 【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 6.在)1()1(35x x +-的展开式中,3x 的系数为.【答案】9-【解析】335532359)(1xx C x C -=+-⋅7.不等式63|2|22-->--x x x x 的解集是.【答案】),4(-∞-【解析】63222-->+-x x x x ⇒4->x 8.已知方程)(022R k kx x ∈=+-的两个虚根为21,x x ，若2||21=-x x ，则=k .【答案】2±【解析】228||221±=⇒=-=∆-=-k k x x 9.已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=10.有一个空心钢球，质量为g 142，测得外直径为cm 5，则它的内直径是cm .【答案】5.4【解析】由题意得，142]3425(34[9.733=⋅-⋅x ππ⇒5.42≈x ，11.已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n b a c ⋅=，若{}n c 前三项是7、9、9，则=10c .【答案】47-【解析】z yn xn c n ++=2，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++9399247z y x z y x z y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-=351z y x ⇒352++-=n n c n ，4710-=c 12.已知0>>b a ,那么，当代数式)(162b a b a -+取最小值时，点),(b a P 的坐标为.【答案】)2,22(【解析】22()()24b a b a b a b +--≤=Q 1664)(16222≥+≥-+∴aa b a b a 当且仅当⎩⎨⎧=-=82a b a b 即⎩⎨⎧==222b a 时取等号，可求得点P 坐标二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（）【A 】01a <<【B 】11a e<<【C 】1e -1<a <1【D 】1e +1<a <1【答案】C【解析】由零点存在性定理得：1(1)(1)0a a e -+-+<解得：111a e-<<14.下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（）【A 】2()log (41)xf x x=+-【B 】()2cos f x x x=-【C 】221(0)0(0))(x x xf x x +≠=⎧⎪=⎨⎪⎩【D 】lg ()10xf x =【答案】A【解析】222411()log (41)log log (2)22x xxx xf x x +=+-==+,()()f x f x ∴-=∴是偶函数，由复合函数单调性知()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴选A15．已知平面,,αβγ两两垂直，直线,,a b c 满足,,a b c αβγ⊆⊆⊆,则直线,,a b c 不可能满足的是（）【A 】两两垂直【B 】两两平行【C 】两两相交【D 】两两异面【答案】B【解析】可以借助墙角模型16.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下:sin cos ),a x b x x ϕπϕπ+=+-<≤下列判断错误的是（）【A 】当0,0a b >>时，辅助角arctan b a ϕ=【B 】当0,0a b ><时，辅助角arctan ba ϕπ=+【C 】当0,0a b <>时，辅助角arctan ba ϕπ=+【D 】当0,0a b <<时，辅助角arctan baϕπ=-【答案】B【解析】sin cos )a xb x x x x ϕ⎫+=+=+⎪⎭其中cos b aϕϕϕ===；当0,0a b ><时，cos 0,sin 0,ϕϕϕ><∴∈Q 第四象限，所以B 错。

2020年一模汇编——客观难题一、填空题【浦东11】已知数列{}n a 中，111,(1)1n n a na n a +==++，若对于任意的[2,2]a ∈-、*n N ∈，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为_____________． 【答案】(],1-∞-【解析】111,(1)1n n a na n a +==++，则11111n n a a n n n n +=+-++，则利用累加法可得到11211n a n n +=-++，由1321t n a a n +<-⋅+，可得21ta ⋅≤，只需221221tt⎧-⋅≤⎨⋅≤⎩，得(],1t ∈-∞- 【宝山11】已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n b a c ⋅=，若{}n c 前三项是7、9、9，则=10c _________. 【答案】47-【解析】z yn xn c n ++=2，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++9399247z y x z y x z y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-=351z y x ⇒352++-=n n c n ，4710-=c【长宁，嘉定，金山11】已知数列{}n a 满足：{}()11121,,,,n n n a a a a a a n N*+=-∈⋅⋅⋅∈，记数列{}n a 得前n 项和为n S ，若对所有满足条件的数列{}n a ，10S 的最大值为M.最小值为m ，则M+m=________. 【答案】1078【解析】21122a a a a -=⇒=，可知{}n a 一定是单调递增数列，则11n n n a a a a +≤-≤，即112n n n a a a +≤≤≤，当11,n n n n a a a n S +=+=时，取最小值此时101+1010m===552S ⨯（）当12n n a a +=时，12n n a -=，n S 取最大值此时()1010112102312M S ⋅-===- 1078M m ∴+=【徐汇11】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N ，1(1)32n n n nS a n =-++-且12()()0a p a p --<，则实数p 的取值范围是_________.【答案】311,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意得，()()()()11111111311311+1222nn n n n n n n n n n n n n a S S a n a n a a ----⎡⎤=-=-++---++--=----⎢⎥⎣⎦当n 为偶数时，1112n n n n a a a -=+-+，即1112n n a -=-，所以1112n n a +=-（n 为奇数） 当n 为奇数时，1112n n n n a a a -=-+-+，即11132n n a --=-，所以132n n a =-（n 为偶数）于是可知奇数项11311,24n n a +⎛⎤=-∈-- ⎥⎝⎦，偶数项1113,324n n a ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，所以可知311,44p ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【杨浦11】已知函数1()1(0)f x x x=->，若关于x 的方程[]2()()230f x mf x m +++=有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为 【答案】34(,]23m ∈-- 【解析】设()f x t =，则当(0,1)x ∈时，t 有两个解，当{}1[1,)x ∈⋃+∞时，t 有一个解，因为2230t mt m +++=有三个解，而一个一元二次方程最多两个解，因此这两个解一定一个在(0,1)，另一个在{}1[1,)⋃+∞，当另一个为1x =时，两根之积为0，此时32m =-，而两根之和不可能为32，矛盾，因此另一个在[1,)+∞，因此(0)0(1)0f f >⎧⎨≤⎩，即230340m m +>⎧⎨+≤⎩，所以34(,]23m ∈-- 【闵行11】若()|||3|f x x a x a =-⋅-，且[0,1]x ∈上的值域为[0,(1)]f ，则实数a 的取值范围是【答案】10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】当0a =时，符合，当0a >时必有14104a a ≤⇒<≤当0a <时，()f x 单调递增，值域为()()()20,13,1f f a f ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，不符合【奉贤11】给出下列一组函数：()()212log +23f x x x =+、()()22ln 2+58f x x x =+、()()23lg 3+813f x x x =+、()()240.3log +7.46551713.931034f x x x =+，......，请你通过研究以上所给的四个函数解析式具有的特征，写出一个类似的函数解析式()2log a y Ax Bx C =++()0,1a a >≠：______________.【答案】()23log 4710y x x =++（答案不唯一） 【解析】()222,log 2610A CB y x x +==++【黄浦11】设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，则称函数()f x 具有性质M ，下列结论：① 函数3y x x =-具有性质M ；② 函数35x x y =+具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[0,]x t ∈具有性质M ，则510t =；④若3sin 4x ay +=具有性质M ，则5a =；其中正确结论的序号是 【答案】②③【解析】①函数3y x x =-，由于(0)0f =，故不成立 ②函数35x x y =+值域(0,)+∞，所以具有性质M ③函数8log (2)y x =+，[0,]x t ∈单调递增，1(0)3f =，故()3510f t t =⇒=④若3sin 4x ay +=具有性质M ，则5a =±，故不成立 【松江11】若实数,0a b >，满足abc a b c =++，221a b +=，则实数c 的最小值为________. 【答案】22-【解析】法1（三角换元），令cos ,sin ,0,2a b πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭代入得cos sin sin cos 1c θθθθ+=-，再设sin cos t θθ=+，可知(2t ∈所以222231312t t c t t t t ===----，在(2t ∈上单调递减，故2t =时c 最小，最小为22-法2. 根据对称式的形式，大胆猜测当22a b ==时c 最小，代入得22c =-【虹口11】如图，1F 、2F 分别是双曲线222:1x C y a -=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若2F A AB =uuu r uu u r ，120F B F B ⋅=uuu r uuu r ，则双曲线C 的焦距12||F F 为【答案】334 【解析】由2F A AB =uuu r uu u r ，120F B F B ⋅=uuu r uuu r可知22||||,F A AB F A AB =⊥uuu r uu u r uuu r uu u r得A 为2F B 的中点，O 为12F F 的中点，所以OA 为三角形12F F B 的中位线，21222||||2OAF F BF OB OF OA BOF π∴∠=∠==∴∠，，平分Q渐近线为334231=⇒==c x x a y 【静安11】设双曲线222x y a a -=1+1的两个焦点为2F 1、F ，点P 在双曲线上，若2PF PF 1⊥，则点P 到坐标原点O 的距离的最小值为________. 【答案】32【解析】22c a a =++1,12a =-时，可知min 32c =【普陀11】设P 是边长为22的正六边形123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN u u u u r u u u rg 的取值范围为____________.【答案】646,882⎡⎤-+⎣⎦【解析】构建平面直角坐标系，取MN 中点C ，∴()()PM PN PC CM PC CN ⋅=+⋅+uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r2224PC CM PC =-=-u u u r u u u r u u u r ，max ||22222PC OC =+=+u u u r ，min ||62PC OB OC =-=-uu u r ，∴2[1046,1282]PC ∈-+uu u r ，即[646,882]PM PN ⋅∈-+uuu r uuu r ，另外，本题也可利用参数方程转化为三角函数求最值问题得思路解题。

上海市闵行区2020届高三一模数学试卷及详解2019.12一. 填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分) 1. 已知集合A ={-3,-1,0,1,2}，B ={x ||x |>1},则A ∩B =______ 2. 复数52i -的共轭复数是______ 3. 计算23lim 13(21)x n n →∞+++-L =______4. 已知0<x <1,使得()1x x -取到最大值时，x =______5. 在△ABC 中，已知AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，G 为△ABC 的重心，用向量a r 、b r表示向量AG u u u r=______6. 设函数()f x =22log (1)1log 1x x --，则方程()f x =1的解为______7. 已知()22416012881x a a x a x a x -=+++⋯+则3a =______ (结果用数字表示)8. 若首项为正数的等比数列{n a }，公比q =lg x ,且100a <99a <101a ，则实数x 的取值范围是______9. 如图，在三棱锥D -AEF 中，A 1、B 1、C 1 分别是DA 、DE 、DF 的中点，B 、C 分别是 AE 、AF 的中点，设三棱柱ABC - A 1B 1C 1的 体积为V 1,三棱锥D -AEF 的体积为V 2, 则V 1:V 2=______10. 若O 是正六边形123456A A A A A A 的中心，Q ={i OA u u u r|i =1,2,3,4,5,6}，,,a b c r r r ∈Q,且a r 、b r 、c r 互不相同，要使得()·0b c a +=r r r ，则有序向量组),(,a c b r r r的个数为______11. 若()f x =3x a x a -⋅-，且x ∈(0,1)上的值域为[0,f (1)]，则实数a 的取值范围是______12. 设函数()f x =sin(x )6A πω-(ω>0，A >0)，x ∈[0,2π]，若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：①若0()()f x f x ≥恒成立，则x 的值有且仅有2个；②()f x 在[0,819π]上单调递增；③存在ω和1x ，使得11()()()2f x f x f x π≤≤+对任意x ∈[0,2π]恒成立；④“A ≥1”是“方程()f x =12-在[0,2π]内恰有五个解”的必要条件；所有正确结论的编号是______二. 选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13. 已知直线l 的斜率为2，则直线l 的法向量为（ ）A. (1,2)B. (2,1)C. (1,-2)D. (2,-1) 14. 命题“若x a >，则10x x->”是真命题，实数a 的取值范围是（ ） A. (0,+∞) B. (-∞,1] C. [1,+∞) D. (-∞,0] 15. 在正四面体A -BCD 中，点P 为△BCD 所在平面上的动点，若AP 与AB 所成角为定值θ，θ∈(0,2π)，则动点P 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 16. 已知各项为正数的非常数数列{a n }满足11n a n a a +=，有以下两个结论:①若32a a >，则数列{a n }是递增数列；②数列{a n }奇数项是递增数列；则（ ）A. ①对②错B. ①错②对C. ①②均错误D. ①②均正确三. 解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)17. 如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱(圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上)，圆锥的母线长为4，AB 、CD 是底面的两条直径，且AB =4，AB ⊥CD ，圆柱与圆锥的公共点F 恰好为其所在母线P A 的中点，点O 是底面的圆心.(1) 求圆柱的侧面积；(2) 求异面直线OF 和PC 所成的角的大小.18. 已知函数()f x =22x xa +. (1) 若()f x 为奇函数，求a 的值；(2) 若()f x <3在x ∈[1,3]上恒成立，求实数a 的取值范围.19. 某地实行垃圾分类后，政府决定为A 、B 、C 三个校区建造一座垃圾处理站M ，集中处理三个小区的湿垃圾，已知A 在B 的正西方向，C 在B 的北偏东30°方向，M 在B 的北偏西20°方向，且在C 的北偏西45°方向，小区A 与B 相距2 km ，B 与C 相距3 km .(1) 求垃圾处理站M 与小区C 之间的距离；(2) 假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费用为每公里a 元，一辆小车的行车费用为每公里λa 元(其中λ为满足100λ是1-99内的正整数)，现有两种运输湿垃圾的方案:方案1：只用一辆大车运输，从M 出发，依次经A 、B 、C 再由C 返回到M ； 方案2：先用两辆小车分别从A 、C 运送到B ，然后并各自返回到A 、C ，一辆大车从M 直接到B 再返回到M ；试比较哪种方案更合算？请说明理由. (结果精确到小数点后两位)20. 已知抛物线Γ：2y =8x 和圆Ω:2240x y x +-=，抛物线Γ的焦点为F . (1) 求Ω的圆心到Γ的准线的距离；(2) 若点T (x,y )在抛物线Γ上，且满足x ∈[1,4],过点T 作圆Ω的两条切线,记切线为A 、B ，求四边形TAFB 的面积的取值范围；(3) 如图，若直线l 与抛物线Γ和圆Ω依次交于M 、P 、Q 、N 四点，证明：“|MP |=|QN |=12|PQ |”的充要条件是“直线l 的方程为2x =”.21. 已知数列{a n }满足1a =1，2a =a (a >1)，211n n n n a a a a d +++-=-+（d >0）， n ∈N *.(1) 当d =a =2时，写出4a 所有可能的值；(2) 当d =1时，若221n n a a ->且221n n a a +> 对任意n ∈N *恒成立，求数列{n a }的通项公式；(3) 记数列{n a }的前n 项和为n S ，若{2n a }、{21n a }分别构成等差数列，求2n S .上海市闵行区2020届高三一模数学答案详解一．填空题1. {-3,2}，将A 中元素逐个代入|x |>1，符合条件的有-3、2，即A ∩B ={-3,2}；2. -2+i ，522z i i ==---，2z i ∴=-+；3. 3，1+3+...+(2n -1)2(121)2n n n +-=，22233limlim 313(21)x x n n n n →∞→∞==++-L ；4.12，(1)x x +-≥12≤，当且仅当1x x =-时等号成立，12x =.或设2(1)t x x x x =-=-+，01x <<，转化为二次函数最值问题；5. 211111121,(),333333333a b BG BA BC b a AG AB BG a b a a b+=+=-=+=+-=+u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r r r r r ；6. ()()()222222log 1log log 1,2(2)1x f x x x x x x x x x ==-+=-=-===-，，或舍；7. ()()5652638335615656a x C x x a -=-=-=-，，；8. 221999999991(0,),0,0,11,1,,10a q a a a a q q q q <>∴><∴<>∴<-Q 由且1lg 1,010x x <-∴<<即；9．3:8，1,ABC S S A ABC h =令，点到平面的距离为121218,4S 2,:3:833V Sh V h Sh V V ∴==⋅⋅==；10. 48，①如左图，这样的a r 、b r 有6对，且a r 、b r 可交换，此时c r有2种情况，∴个数为62224⨯⨯=个；②如右图，这样的a r 、b r 有3对，且a r 、b r可交换，此时c r有4种情况，∴个数为32424⨯⨯=3x 2x 4=24个.综上所述，总数为24+24=48个；11. [0，14]，()()()()()230030min f x x a x a a f x f a =--<==>，当，，不符题意；()()[]()()()2200320,101max a f a f a a x f x f f ≥=≥=∈=Q 当，，结合图像，当，或，()()()21101313[0,4)]4(1f f f a a a a a ∴--≥≥∴≤∈Q 值域为[0,(1)]，，即，,综上，；12. ①③④，()()254324.61219[)12f x f x A πππωπω∴≤-<∈=Q 恰有个零点，，，①即有两个交点，正确；②结合右图，当2512ω=时，f (x )在[0,825π]递增，∴②错误;③192512121212]]12122192521925T ππωππππω∈∴∈∈∴Q Q [,]，=(,，(,，存在1()f x 为最小值，1(x )2f π+为最大值，正确;④结合右图，若方程(x)f =12-在[0，2π]内恰有五个解，需满足1(0)2f ≤-，即A ≥1，同时结合左图，当A ≥1，不一定有五个解，正确.二.选择题13.选D ，斜率为2，方向向量可以为(1,2)，∴法向量可以是(2,-1)； 14.选C ，“x >a ”⇒“x >1或x <0”，Q 范围小的推出范围大的，∴a ≥1；15.选B ，以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.当截面与圆锥母线垂直时，轨迹为抛物线，当截面与轴线垂直时，轨迹为圆，由题意可知，AB 不可能垂直于平面BCD ，即轨迹不可能为圆，可进一步计算AB 与平面BCD 所成角为，即θ=arctan 时，轨迹为抛物线，0<θ<arctan 时，轨迹为椭圆，<θ<2π时，轨迹为双曲线一支，Q θ∈(0,4π)，故选B ； 16.选D ，Q {n a }为各项为正数的非常数数列，10a ∴>且10a ≠；(1)当11a >时，显然{n a }为递增数列，①②均正确；(2)当0<1a <1时，3212113111(,1),(,)a a a a a a a a a a =∈=∈，不满足①的前提32a a >，又由，332142411132511134(,)(,),(,)(,)a a a a a a a a a a a a a a a a a a =∈==∈=，依此可得，2212221212(,),(,)k k k k k k a a a a a a --+-∈∈，即偶数项递减，奇数项递增；综上，选D.三.解答题17. (1)设圆柱上底面的圆心为O '，在△P AO 中，F 是P A 的中点，FO '//AO ，OA =2，∴FO '=1，OO '=2S rh π==圆柱侧.(2)F 、O 分别是P A 、AB 的中点，∴FO //PB ，∴异面直线OF 和PC 所成的角等于PB 和PC 的夹角∠BPC ，PB =PC =4，BC =，161683cos BPC 2444+-∠==⨯⨯，∴异面直线OF 和PC 所成的角为3arccos418. (1)解法1：Q x ∈R ，(x)f 为奇函数，∴(0)0f =，即1+a =0，∴a =-1， 当a =-1，1()22x x f x =-，11()22()22x xx x f x f x ---=-=-=-，满足奇函数的条件，∴a =-1. 解法2：()22x x af x =+，x ∈R ，Q ()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=- 1()2222x x x x a f x a ---=+=+⋅，()22x x af x -=--，∴2(a 1)(21)0x ++=恒成立，∴a =-1.(2)Q x ∈[1,3]，()f x <3恒成立，∴由232x x a+<得2322x x a <⋅-恒成立，而2239322(2)24x x x y =⋅-=--+，又2x ∈[2,8]，min 40y ∴=-，40a ∴<-19. (1)在△MBC 中，∠MBC =50°，∠MCB =105°，BC =3，∠BMC =25°，由正弦定理得：3sin 50sin 25MC =o o，3sin 50 5.44sin 25MC ∴=≈oo 答:垃圾处理站M 与小区C 间的距离为5.44公里.(2)在△MBC 中，由3sin105sin 25MB =o o得：3sin105 6.857sin 25MB =≈oo ，在△MAB 中，∠MBA =70°，AB =2，222270MA AB MB AB MB cos =⋅∴+-⋅o ， 6.452MA ∴≈，方案一费用：()()1 6.45223 5.43816.890y a MA AB BC CM a a =+++=+++=； 方案二费用：()()22213.71310|y a MB a AB BC a λλ=++=+， 当12y y >时，方案二合算，此时00.32λ<<； 当12y y <时，方案一合算，此时0.320λ<<;∴当00.32λ<<时，方案二合算；当0.320λ<<时，方案一合算.20. (1)由2240x y x +-=可得：()2224x y -+=，∴Ω的圆心与Γ的焦点F 重合，∴Ω的圆心到Γ的准线的距离为4.(2)四边形TAFB 的面积为：222S =⋅⋅===，∴当x ∈[1,4]时，四边形TAFB 的面积的取值范围为[(2)证明(充分性)：若直线l 的方程为x =2，将x =2分别代入28y x =，2240x y x +-=得：M (2,4)、P (2,2)、Q (2,-2)、N (2,-4)，2N MP Q ∴==，122PQ ⋅=，12MP QN PQ ∴==⋅；(必要性)：若12MP QN PQ ==，则线段MN 与线段PQ 的中点重合， 设l 的方程为x =ty +m ，M (11,x y )、N (22,x y )、P (33,x y )、Q (44,x y )， 则12y y +=34y y +，将x =ty +m 代入28y x =得：2880y ty m --=，12y y +=8t ，△=26432t m +>0，220t m +>，同理可得：()342221m y y t -+=+，()22281m t t -=+即t =0或()22281m t -=+， 即t =0或242m t =--而当242m t =--时，将其代入220t m +>得：2220t -->不可能成立；当t =0时，由280y m -=得：1y =，2y =-；将x =m 代入2240x y x +-=得：3y =4y =12MP PQ =Q ，12=⋅即= 220m m ∴-=，m =2或m =0(舍)，∴直线l 的方程为x =2，∴“12MP QN PQ ==”的充要条件是“直线l 的方程为x =2”.21.(1)当d =a =2时，2112n n n n a a a a +++-=-+，即{1n n a a +-}是以1为首项、2为公差的等差数列，121n n a a n +∴-=- 可得：323a a -=±，435a a -=±，35,1a ∴=，435a a =±410a =或40a =或44a =或46a =-.(2)当d =1时，2111n n n n a a a a +++-=-+，即{1n n a a +-}是首项为a -1、公差为1的等差数列，1112n n a a a n a n +-=-+-=-+21222n n a a a n +-=-+∴，22132n n a a a n --=-+221n n a a ->Q 且221n n a a +>，22122n n a a a n +∴-=-+，22132n n a a a n --=-+21211n n a a +-∴-=-，212n a n -∴=-，221321n n a a n a a n -∴=-++=-+3212n n n a n n a -⎧⎪⎪∴=⎨⎪+-⎪⎩为奇数为偶数(或21n k n a k k n k a -⎧=⎨+-⎩=2-1=2) (3)由己知得：11(1)n n a a a n d +-=-+-（*n N ∈） 若{2n a }、{21n a -}分别构成等差数列，则()221)2(122n n a a a n d n --=±-+⎤⎣⎦≥⎡-②()21212(1)1n n a a a n d n +-=±-+-⎤⎦≥⎡⎣，()2221()121n n a a a nd n ++-=±-+≥，由②+③得：()()2121122(12)12n n a a a n d a n d n +-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-=±-+-±-+-≥， Q {21n a -}是等差数列，2121n n a a +--必为定值，()()2121121122n n a a a n d a n d +-⎡⎤⎡⎤⎣∴-=-+---+-⎦⎣⎦， 或()()2121121122n n a a a n d a n d +--=--+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即2121n n a a d +--=(n 2)>或2121n n a a d +--=-(n 2)> 而由①知321a a a d -=-+，即32(1)a a a d -=±-+ ()3111a a a a d -=-±-+∴，即31a a d -=-或312(a 1)a a d -=-+(舍)， 2121n n a a d +-∴-=-(n ∈N *)，211(n 1)n a d -∴=--(n ∈N *) 同理，由③+④得：[]()22212121n n a a a nd a n d +-=±-++-+-⎡⎤⎣⎦(1)n ≥， 222n n a a d +-=∴或222n n a a d +-=-，由上面的分析可知：()32112a a a d a d -=-+-±-+∴， 而()4312a a a d -=±-+，()42112a a a d a d -=-+-±-+， 即42a d a -=或42222a a a d -=-+-(舍)，222n n a a d +-=∴， ()21n a a n d ∴=+-，从而21221221k k k k a a a a a -+++=+=+(k ∈N *)，()()()()21221...11...11n n n aS a a a a a a n a +∴=+++=++++++=+1444442444443个.。

上海市徐汇区2020届高三一模数学试卷及详细解析2019. 12一、填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1.已知集合M ｛x|x 2｝,集合N ｛x|x 1｝,则MUN r r2.向量a (3,4)在向量b (1,0)方向上的投影为3.二项式(3x 1)11的二项展开式中第3项的二项式系数为1 i ..... 一，4.复数 --------- 的共辄复数为3 4i5.已知y f(x)是定义在R上的偶函数，且它在［0,+叼上单调递增，那么使得f 2 f a成立的实数a的取值范围是6.已知函数f (x) arcsin (2x 1),则f 1(g)17.已知x R,条件p：x x ,条件q： - a(a 0),右p是q的充分不必要x条件，则实数a的取值范围是8.已知等差数列｛a n｝的公差d 3, S n表示的前n项和，若数列｛S n｝是递增数列，则a1的取值范围是9.数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为10.过抛物线C: y22x的焦点F,且斜率为V3的直线交抛物线C于点M (M 在x轴的上方)，l为抛物线C的准线，点N在l上且MNH,则M到直线NF 的距离为n 1 .11.已知数列｛a n｝的前n项和为S n ,对任意n N* , S n 1 4 27 n 3且a 1 p ⑶p ） 0 ,则实数p 的取值范围是4x 1x 1、，12 .已知函数f （x ）2关于x 的不等式f （x ） mx 2m 2 0的 x 26x 10 x1解集是（x i ,x 2）U （x 3,）,若Xx 2R 0 ,则x 1 x 2 x 3的取值范围是、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）x 1 y 113 .过点（1,0）,且与直线 —— --生有相同万向向量的直线的万程为（）5 3 B. 3x 5 y 3 0D. 5x 3y 5 014. 一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一 -半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（） A. 1:2B. 1:8C. . 2 :2D. 2:4三、解答题(本大题共 5题，共14+14+14+16+18=76分) 17 .如图所示，圆锥SO 的底面圆半径|OA| 1,母线SA 3. ⑴求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；A. 3x 5y 3 0C.3x 5y 1 015.若圆 C 1 : x 2y 2 1 和圆 C 2： x 2 的取值范围是（）y 2 6x 8y k 0没有公共点，则实数 kA. ( 9,11)B. ( 25, 9)C. (, 9)U(11,) D. ( 25, 9)U(11,)uuu 16.设H 是AABC 的垂心，且3HA uur uur r4HB 5HC 0 ,则 cos / BHC 的值为() A.30 10B.C-6.D.70 14(2)过点O在圆锥底面作OA的垂线交底面圆圆弧于点P, 设线段SO中点为M,求异面直线AM与PS所成角的大小.18.设函数f(x) x2x a (x R, a为实数)(1)若f(x)为偶函数，求实数a的值；、一1⑵设a -,求函数f(x)的取小值(用a表小)19.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C,景区管委会又开发了风景优美的景点D,经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8 km 处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB 5 km.（1）景区管委会准备由景点D向景点B修建-条笔直的公路，不考虑其他因素,求出这条公路的长；（结果精确到0.1 km）（2）求景点C与景点D之间的距离.（结果精确到0.1 km）20.给正有理数皿、吼（i j,i,j N*, m i , n , m j , n j N*,且甲m j 和n n j , n i n j不同时成立），按以下规则P排列：①若m i n i m j n j ,则以排在叫前面; n i n j②若m i n m j \ ,且叫\ ,则更排在m j的前面，按此规则排列得到数列n i n j{a n}.…12 1（例如:1,2,L ）1 1 2⑴依次写出数列｛a n｝的前10项;(2)对数列｛a n｝中小于1的各项，按以下规则Q排列：①各项不做化简运算；② 分母小的项排在前面；③分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列｛必｝, 求数列｛b n｝的前10项的和下 ,前2019项的和S2019；(3)对数列｛a n ｝中所有整数项，由小到大取前2019个互不相等的整数项构成集合A ｛q,C2,C3,L , C2019｝ , A的子集B满足：对任意的x,y B,有x y B,求集合B中元素个数的最大值.2 221.已知椭圆：，4 1 (a b 0),点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆a b上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知b 2.(1)若a卮判断椭圆是否为“圆椭圆”；(2)若椭圆是“圆椭圆”，求a的取值范围；(3)若椭圆是“圆椭圆”，且a取最大值，Q为P关于原点O的对称点，Q也异于A点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论.填空题1. (YO JU(2,XO ),由并集定义.A/UN = (ro/]U(2,+«))2. 3, |3|cos0=q 二，=3,或结合图像由投影的几何特征宜接得出 Ml 13. 55, 7；=此(34(-1)2, •••第3项的二项式系数为C ； = 5512 . [2>/7 -12. +oo), /(x) < m(x + 2) + 2 » 数形结合，»= 〃1(工+ 2) + 2表示斜率为川口经 过(-2,2)的直线，同时(-2,2)也在/(外图像上, 设三个交点为4(孙必),%)，C(x”％), 易知玉<一2, X? = -2 , X//3 > 0 , ；•需满 足与>0,结合图形可得直线斜率相£(-4,—；),4.里-=2-'-i,，其共拢复数为2+ 25 253 + 4i 25 25 25 255. y,-2]U[2,+oo),由题意，即|。

上海市松江区2020届高三数学12月一模考试试题（含解析）一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B ⋂=_____ 【答案】{}12，【解析】 【分析】求解不等式化简集合A ，再由交集的运算性质得答案． 【详解】由集合A 得x 1≥,所以{}A B 1,2⋂= 故答案为{}1,2【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题． 2.若角的终边过点(4,3)P -，则3sin()2πα+的值为_____________. 【答案】45- 【解析】 【分析】由题意可得 x ＝4，y ＝﹣3，r ＝5，再由任意角的三角函数的定义可得4cos 5α= ，由诱导公式化简，代入即可求解．【详解】解：∵角α的终边过点P （4，﹣3），则 x ＝4，y ＝﹣3，r ＝5，4cos 5α=， 34sin()cos 25παα+=-=-． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题． 3.设121iz i i-=++，则||z =______. 【答案】1. 【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其模即可. 详解：由复数的运算法则有：()()()()11122221112i i ii z i i i i i i i ----=+=+=+=++-， 则：1z i ==.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 项的系数为_______．【答案】40 【解析】 【分析】根据二项定理展开式，求得r 的值，进而求得系数． 【详解】根据二项定理展开式的通项式得()521035522rrr r r rC x C xx --⎛⎫= ⎪⎝⎭所以1034r -= ，解得2r所以系数225240C ⨯=【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题．5.已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足12||2||PF PF =，则1||PF =________ 【答案】4 【解析】 【分析】根据椭圆定义，得到1226PF PF a +==，再由题中条件，即可得出结果.【详解】由题意，在椭圆22194x y +=中，1226PF PF a +==，又122PF PF =，所以1362=PF ，因此14PF =. 故答案为：4【点睛】本题主要考查椭圆上的点到焦点的距离，熟记椭圆的定义即可，属于基础题型. 6.若关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =________【答案】2- 【解析】 【分析】根据方程组无解，得到直线42+=+mx y m 与直线+=x my m 平行，根据两直线平行的充要条件，即可求出结果.【详解】因为关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，所以直线42+=+mx y m 与直线+=x my m 平行，所以24024m m m m ⎧-=⎪⎨+≠⎪⎩，解得：2m =-.故答案为：2-【点睛】本题主要考查由方程组无解求参数，熟记直线与直线平行的判定条件，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.7.已知向量(1,2)a =，(,3)b m =-，若向量(2)a b -∥b ，则实数m =________ 【答案】32- 【解析】 【分析】先由题意，得到2(12,8)-=-a b m ，根据向量共线的坐标表示，得到()12(3)80-⨯--=m m ，求解，即可得出结果.【详解】因为向量(1,2)a =，(,3)b m =-，所以2(12,8)-=-a b m ， 又(2)a b -∥b ，所以()12(3)80-⨯--=m m ，即230m +=，解得：32m =-. 故答案为：32-【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，熟记向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.8.已知函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，若函数()2x y f x =+的图像经过点(1,6)，则函数12()log y f x x -=+的图像必经过点________ 【答案】(4,3) 【解析】 【分析】先由题意，得到6(1)2=+f ，推出函数()y f x =的图像过点(1,4)，其反函数过点(4,1)，求出1(4)1-=f，得到12(4)log 4123-+=+=f ，进而可求出结果.【详解】因为函数()2x y f x =+的图像经过点(1,6)，所以6(1)2=+f ，因此(1)4f =，即函数()y f x =的图像过点(1,4) 又()y f x =存在反函数1()y f x -=，所以1()y f x -=的图像过点(4,1)，即1(4)1-=f，所以12(4)log 4123-+=+=f ，即函数12()log y f x x -=+的图像必经过点()4,3. 故答案为：()4,3【点睛】本题主要考查反函数的应用，熟记反函数的性质即可，属于常考题型. 9.在无穷等比数列{}n a 中，若121lim()3n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=，则1a 的取值范围是________ 【答案】112(0,)(,)333【解析】 【分析】先设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，得到1q <且0q ≠，1113=-a q ，分别讨论10q -<<，和01q <<，即可得出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则其前n 项和为：11(1),11,1n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩，若1q =时，1211lim()lim 3→∞→∞++⋅⋅⋅+=≠n n n a a a na ， 若1q ≠时，112(1)1lim()lim 13→∞→∞-++⋅⋅⋅+==-n n n n a q a a a q ， 因此1q <且0q ≠，1113=-a q ，即()1113=-a q ， 所以当10q -<<时，()11121,333⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭a q ； 当01q <<时，()11110,33⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭a q .因此，1a 的取值范围是112(0,)(,)333. 故答案为：112(0,)(,)333【点睛】本题主要考查由等比数列的极限求参数的问题，熟记极限的运算法则，以及等比数列的求和公式即可，属于常考题型.10.函数ax by cx d+=+的大致图像如图，若函数图像经过(0,1)-和(4,3)-两点，且1x =-和2y =是其两条渐近线，则:::a b c d =________【答案】2:1:1:1- 【解析】【分析】先由函数图像，得到函数ax by cx d +=+关于()1,2-对称，推出02c d a c -+=⎧⎪⎨=⎪⎩，化原函数为2+=+cx by cx c，再由函数图像所过定点，即可求出参数，得出结果.【详解】由图像可得：函数ax by cx d+=+关于()1,2-对称， 所以有02c d a c-+=⎧⎪⎨=⎪⎩，即2c d a c =⎧⎨=⎩，因此2++==++ax b cx by cx d cx c ，又函数图像经过(0,1)-和(4,3)-两点，所以1834bcc b c c⎧=-⎪⎪⎨-+⎪=⎪-+⎩，解得：11b c =-⎧⎨=⎩，因此12d a =⎧⎨=⎩，所以:::2:1:1:1=-a b c d . 故答案为：2:1:1:1-【点睛】本题主要考查由函数图像求参数，熟记函数的对称性，以及待定系数法求函数解析式即可，属于常考题型.11.若实数,0a b >，满足abc a b c =++，221a b +=，则实数c 的最小值为________【答案】- 【解析】 【分析】先由题意，根据基本不等式，得到12≤ab ，得出112-≤-ab ，再由221a b +=，得到()212+-=a b ab ，根据abc a b c =++得()()()()22233+==+-+-+a b c a b a b a b ，令=+t a b ，根据题意得到(=+∈t a b ，由函数单调性，得到3=-y t t的最值，进而可求出结果. 【详解】因为,0a b >，221a b +=，所以2212a b ab +=≥，即12≤ab ，当且仅当a b =时，取等号；因此111122-≤-=-ab ， 又221a b +=，所以22212++=+a b ab ab ，即()212+-=a b ab ，由abc a b c =++得1+=-a b c ab ，所以()()()()22233+==+-+-+a b c a b a b a b ，令=+t a b ，因为+==≤=a b 当且仅当a b=时取等号.所以(=+∈t a b ， 又易知函数3=-yt t在(t ∈上单调递增，因此32=-≤=-y t t ， 因此()()2233==≥=-+--+c a b t a b t即实数c 的最小值为-故答案为：-【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型. 12.记边长为1的正六边形的六个顶点分别为1A 、2A 、3A 、4A 、5A 、6A ，集合{|(,1,2,3,4,5,6,)}i j M a a A A i j i j ===≠，在M 中任取两个元素m 、n ，则0m n ⋅=的概率为________ 【答案】851【解析】 【分析】先以41A A 的中点为坐标原点O ，以41A A 所在直线为x 轴，以41A A 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，得到各顶点坐标，列举出集合M 中所有元素，以及满足条件的组合，根据古典概型的概率计算公式，即可求出结果.【详解】以41A A 的中点为坐标原点O ，以41A A 所在直线为x 轴，以41A A 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为正六边形的边长为1，所以易得：()11,0A -、2132⎛- ⎝⎭A 、3132⎛ ⎝⎭A 、()41,0A 、513,2⎛ ⎝⎭A 、613,2⎛- ⎝⎭A ， 因此1254132⎛== ⎝⎭A A A A ，1364332⎛== ⎝⎭A A A A ，()142,0=A A ，()412,0=-A A ，152433,2⎛== ⎝⎭A A A A ，163413,2⎛== ⎝⎭A A A A ，214513,2⎛==- ⎝⎭A A A A ，()23651,0==A A A A ，(251,3=-A A ，(523=-A A ，(26350,3==A A A A ，314633,2⎛==- ⎝⎭A A A A ，()32561,0==-A A A A ，(361,3=-A A ，(633=A A ，4251332⎛==- ⎝⎭A A A A ，4361132⎛==- ⎝⎭A A A A ，(53623==A A A A ；共18个向量.因此{|(,1,2,3,4,5,6,)}i j M a a A A i j i j ===≠中含有18个不同的元素.又在M 中任取两个元素m 、n ，满足0m n ⋅=的有：132⎛ ⎝⎭与33,2⎛⎝⎭或33,22⎛- ⎝⎭；13,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭与33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或33,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭； 13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭与33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或33,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭与33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或33,22⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭；()2,0与()0,3-或()0,3；()2,0-与()0,3-或()0,3； ()1,0与()0,3-或()0,3；()1,0-与()0,3-或()0,3；()1,3与33,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；()1,3--与33,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；()1,3-与33,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或33,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；()1,3-与33,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或33,2⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭；共24种选法，又由m 、n 的任意性，因此满足0m n ⋅=的情况共有：222448=A 种； 又在M 中任取两个元素m 、n ，共有22182C A 种情况； 因此，满足0m n ⋅=的概率为：2218248851==P C A . 故答案为：851【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型. 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13.已知l 是平面α的一条斜线，直线m α，则（ ）A. 存在唯一的一条直线m ，使得l m ⊥B. 存在无限多条直线m ，使得l m ⊥C. 存在唯一的一条直线m ，使得l ∥mD. 存在无限多条直线m ，使得l ∥m【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，作出图形，结合直线与直线，直线与平面位置关系，即可得出结果. 【详解】因为l 是平面α的一条斜线，直线mα，画出图形如下：显然在平面内必存在直线m 与直线l 垂直， 且平面内有无数条直线与直线m 平行， 故存在无限多条直线m ，使得l m ⊥. 故选：B【点睛】本题主要考查直线与直线位置关系的判定，熟记线面，线线位置关系即可，属于常考题型.14.设,x y ∈R ，则“2x y +>”是“x 、y 中至少有一个数大于1”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.【详解】若2x y +>，则x 、y 中至少有一个数大于1，即“2x y +>”是“x 、y 中至少有一个数大于1”的充分条件，反之，若“x 、y 中至少有一个数大于1”，则x y +不一定大于2，如：2,1x y ==-； 因此，“2x y +>”是“x 、y 中至少有一个数大于1”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.15.若存在,b c R ∈，使2++≤x bx c M 对任意的[]0,4x ∈恒成立，则（ ） A. M 的最小值为1 B. M 的最小值为2 C. M 的最小值为4D. M 的最小值为8【答案】B 【解析】 【分析】先令2()f x x bx c =++，由题意，得到(0)(4)()2f Mf M b f M⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，推出2164222c M b c M b c M ⎧⎪≤⎪⎪++≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，三式相加得2221644-++++≤b c b c c M ，根据绝对值不等式的性质定理，得到22216416422-++++≥++b b c b c c b ，再由题中存在,b c R ∈，使结论成立，可得：只需2min44126≥++b M b ，进而可得出结果. 【详解】因为2++≤x bx c M 对任意的[]0,4x ∈恒成立，令2()f x x bx c =++，则只需(0)(4)()2f M f M b f M ⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，即21644c M b c M b c M⎧⎪≤⎪⎪++≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，所以2164222c M b c M b c M ⎧⎪≤⎪⎪++≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，所以以上三式相加可得：2221644-++++≤b c b c c M ， 由绝对值不等式的性质定理可得：22221642162224416-++++≥-++++=++b b b c b c c c b c c b ， 因此只需()222min minmin 14416412822648⎛⎫⎛⎫≥++=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b b M b b b 即2M ≥. 故选：B【点睛】本题主要考查求最值的问题，熟记绝对值不等式的性质，以及不等式的性质即可，属于常考题型.16.已知集合{1,2,3,,10}M =⋅⋅⋅，集合A M ⊆，定义()M A 为A 中元素的最小值，当A 取遍M 的所有非空子集时，对应的()M A 的和记为10S ，则10S =（ ）A. 45B. 1012C. 2036D. 9217【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先确定()M A 可能取的值为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，再得到对应的个数，根据错位相减法，即可求出结果.【详解】因为集合{1,2,3,,10}M =⋅⋅⋅，集合A M ⊆，()M A 为A 中元素的最小值，当A 取遍M 的所有非空子集，由题意可得：()M A 可能取的值为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，则共有92个1；82个2；72个3；62个4；……，02个10；因此98760102223242102=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯S ， 所以1098711022223242102=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯S ，两式作差得101098761102(12)222222101012--=------⋅⋅⋅-+=-+-S112122036=-+=-，所以102036=S . 故选：C【点睛】本题主要考查含n 个元素的集合的子集的应用，以及数列的求和，熟记错位相减法求和，会求集合的子集个数即可，属于常考题型.三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，圆锥的底面半径2OA =，高6PO =，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.（1）求圆锥的侧面积和体积；（2）求异面直线CD 与AB 所成角的大小.（结果用反三角函数表示） 【答案】（1）侧面积410π，体积8π；（2）1414. 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的侧面积公式，以及体积公式，结合题中数据，即可得出结果；（2）先由题意，得到OC ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出()2,1,3=--CD ，()0,4,0AB =，根据向量夹角公式，即可求出结果.【详解】（1）因为圆锥的底面半径2OA =，高6PO =， 所以其母线长22210=+=PA PO OA因此圆锥的侧面积为124102ππ=⋅⋅⋅=S PA OA ； 体积为：2183ππ=⋅⋅⋅=V OA PO ； （2）由题意，易得：OC ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(2,0,0)C ，(0,2,0)A -，(0,2,0)B ，(0,0,6)P ， 又点D 是母线PA 的中点，所以(0,1,3)-D ， 因此()2,1,3=--CD ，()0,4,0AB =， 记异面直线CD 与AB 所成角的大小为θ，所以414 coscos,14144θ⋅-=<>===⨯CD ABCD ABCD AB，因此，异面直线CD与AB所成角的大小为14arccos14.【点睛】本题主要考查求圆锥的侧面积与体积，以及异面直线所成的角，熟记圆锥的侧面积公式与体积公式，以及空间向量的方法求异面直线所成的角即可，属于常考题型.18.已知函数2()3sin cos 2sinf x x x x=-.（1）求()f x的最大值；（2）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若()0f A=，b、a、c成等差数列，且2AB AC⋅=，求边a的长.【答案】（1）最大值为1；（2）2a=.【解析】【分析】（1）先将函数解析式化简整理，得到()2sin216f x xπ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，根据正弦函数的性质，即可得出最大值；（2）先由题意得到1sin262Aπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求出3Aπ=；由b、a、c成等差数列，得: 2a b c=+；由2AB AC⋅=得4bc=，再由余弦定理，即可得出结果.【详解】（1）2()3sin cos2sin3sin2(1cos2)3sin2cos21 =-=--=+-f x x x x x x x x2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由x ∈R 可得26π+∈x R ，因此1sin 216x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以max ()211=-=f x ；（2）由()0f A =得2sin 2106π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭A ，即1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又0A π<<，所以132666πππ<+<A ，因此5266ππ+=A ，所以3A π=； 由b 、a 、c 成等差数列，可得: 2a b c =+； 又2AB AC ⋅=，所以1cos 22==bc A bc ，即4bc =， 由余弦定理可得：222222cos ()22cos 412=+-=+--=-a b c bc A b c bc bc A a ， 解得：2a =.【点睛】本题主要考查求正弦型函数的最大值，以及解三角形，熟记正弦函数的性质，以及余弦定理即可，属于常考题型.19.汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t 、人的反应时间1t 、系统反应时间2t 、制动时间3t ，相应的距离分别为0d 、1d 、2d 、3d ，当车速为v （米/秒），且[0,33,3]v ∈时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k 随地面湿滑成都等路面情况而变化，[0.5,0.9]k ∈）.阶段 0、准备 1、人的反应 2、系统反应 3、制动时间0t 10.8t =秒 20.2t =秒 3t（1）请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式()d v ，并求0.9k =时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间（精确到0.1秒）；（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时？【答案】（1）22020v d v k=++，最短时间3.1秒（2）汽车的行驶速度应限制在20米/秒，合72千米/小时 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到0123=+++d d d d d ，结合题中数据，即可得出函数关系式；再由0.9k =，得到汽车撞上固定障碍物的最短时间20118==++d vt v v ，根据基本不等式，即可求出最值； （2）根据题意，得到当0.5k =时，报警距离最大，推出222020802010++≤++<v v v v k ，求解即可得出结果.【详解】（1）由题意：报警距离201232020=+++=++v d d d d d v k ，当0.9k =时，22018=++v d v ，则汽车撞上固定障碍物的最短时间为：20111 3.118==++≥=≈d v t v v 秒； （2）由题意可得：2208020v d v k=++<，因为[0.5,0.9]k ∈， 所以当0.5k =时，报警距离最大，因此，只需：2 208010++<vv，解得：3020-<<v，所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒，合72千米/小时.【点睛】本题主要考查函数模型的应用，以及基本不等式的应用，熟记基本不等式，以及不等关系即可，属于常考题型.20.设抛物线2:4y xΓ=的焦点为F，经过x轴正半轴上点(,0)M m的直线l交Γ于不同的两点A和B.（1）若||3FA=，求点A 的坐标；（2）若2m=，求证：原点O总在以线段AB为直径的圆的内部；（3）若||||FA FM=，且直线1l∥l，1l与Γ有且只有一个公共点E，问：△OAE的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出M点的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）(2,22)±；（2）证明见解析；（3）存在，最小值2，(3,0)M.【解析】【分析】（1）由抛物线方程以及抛物线定义，根据||3FA=求出横坐标，代入24y x=，即可得出点的坐标；（2）设()11,A x y，()22,B x y，设直线AB的方程是：2x my=+，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及向量数量积运算，得到1212OA OB x x y y⋅=+<，推出AOB∠恒为钝角，即可得结论成立；（3）设()11,A x y，则11≠x y，由||||FA FM=得1(2,0)+M x，推出直线AB的斜率12=-AByk．设直线1l的方程为12yy x b=-+，代入抛物线方程，根据判别式等于零，得12by=-．设(),E EE x y，则14Eyy=-，21141Exy x==，由三角形面积公式，以及基本不等式，即可求出结果.【详解】（1）由抛物线方程知，焦点是(1,0)F ，准线方程为1x =-，设()11,A x y ，由||3FA =及抛物线定义知，12x =，代入24y x =得y =±所以A点的坐标(2,A或(2,A - （2）设()11,A x y ，()22,B x y ， 设直线AB 的方程是：2x my =+，联立224x my y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得：2480y my --=，由韦达定理得121248y y m y y +=⎧⎨=-⎩，所以1212OA OB x x y y ⋅=+22212121212()4804416y y y y y y y y =⋅+=+=-<，故AOB ∠恒为钝角，故原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部． （3）设()11,A x y ，则110≠x y ，因为||||FA FM =，则111-=+m x ，由0m >得12=+m x ，故1(2,0)+M x ． 故直线AB 的斜率12=-AB y k ． 因为直线1l 和直线AB 平行，设直线1l 的方程为12y y x b =-+，代入抛物线方程 得211880b y y y y +-=，由题意21164320b y y ∆=+=，得12b y =-． 设(),E E E x y ，则14E y y =-，21141E x y x ==，11111111014111222141OAEy x S x y x y x y ∆==+≥-，当且仅当11114y x x y =，即22114y x =时等号成立，由221121144y x y x ⎧=⎨=⎩得21144x x =，解得11x =或10x =（舍），所以M 点的坐标为(3,0)M ，min ()2OAE S ∆=.【点睛】本题主要考查求抛物线上的点，以及抛物线中三角形面积的最值问题，熟记抛物线的标准方程，以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型，但计算量较大. 21.已知数列{}n a 满足：①n a ∈N （*n ∈N ）；②当2k n =（*k ∈N ）时，2n na =；③当2k n ≠（*k ∈N ）时，1n n a a +<，记数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）求1a ，3a ，9a 的值；（2）若2020n S =，求n 的最小值；（3）求证：242n n S S n =-+的充要条件是211n a +=（*n ∈N ）.【答案】（1）10a =，30a =或1，90a =或1；（2）115；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先根据题中条件，求出21a =，42a =，168a =，再结合题意，即可得出结果； （2）先由题意，得到122()k k a k N -*=∈，当122k k n -<≤(,)n k N *∈时，1111212223202k k k k k a a a a ----+++≤<<<<=，由于n a N ∈，所以121k m a m -+=-或m ，11,2,3,,2 1.k m -=-分别求出()64max S ，()128max S ，进而可求出结果；（3）先由242n n S S n =-+，根据题中条件，求出21+n a ，证明必要性；再由211()n a n N *+=∈，求出242n n S S n =-+，证明充分性即可.【详解】（1）因21a =，12a a <，且1a 是自然数，10a ∴=；42a =，340a a ≤<，且34,a a 都是自然数；∴30a =或31a =； 168a =，9101608a a a ≤<<<=，且*()i a N i N ∈∈，∴90a =或91a =．（2）由题意可得：122()k k a k N -*=∈，当122k k n -<≤(,)n k N *∈时， 1111212223202k k k k k a a a a ----+++≤<<<<=，由于n a N ∈，所以121k m a m -+=-或m ，11,2,3,,2 1.k m -=-∴()64max (01)(12)(1234)(128)(1216)S =+++++++++++++++23458916173233(1232)171422222⨯⨯⨯⨯⨯++++=+++++=，()128max 646571427942S ⨯=+=， 71420202794<<，64128n ∴<<，又20207141306-=，123501275130612350511326++++=<<+++++=所以min 6451115n =+=（3）必要性：若242n n S S n =-+， 则：122422n n nS S +=-+①122214(21)2n n n S S +++=-++②①-②得：1121222141()n n n a a a n N ++*++++=-∈③由于1121220,1n n a a ++++=⎧⎨=⎩或1121221,2n n a a ++++=⎧⎨=⎩或11212202n n a a ++++=⎧⎨=⎩，且210,n a +=或1只有当112121221,1,2n n n a a a +++++===同时成立时，等式③才成立，211()n a n N *+∴=∈；充分性：若211()n a n N *+=∈，由于1212223212n n n n n a a a a ++++=<<<<=所以2(,,2)n nk a k n N k N k **+=∈∈≤，即211n a +=，222n a +=，233n a +=，…，12121n n a +-=-，又122n na +=所以对任意的n *∈N ，都有2211n n a a -=+…（I ）另一方面，由2n k a k +=，1222n k a k ++=(,,2)nn N k N k **∈∈≤所以对任意的n *∈N ，都有22n n a a =…（II ）- 21 - 21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a -∴=+++=+++++++ 2422232()24()n n a a a n a a a a n =+++-=++++-， 由于120,1a a ==2124()242n n n S a a a n S n ∴=+++-+=-+.【点睛】本题主要考查数列的综合应用，熟记等差数列与等比数列的求和公式，由递推关系求通项公式的方法，以及充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型，难度较大.。

2020年上海市普陀区高三一模数学试卷(含答案)(精校Word版)2020年上海市普陀区高三一模数学试卷（含答案）考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分。

考试时间120分钟。

2.本考试分试卷和答题纸。

试卷包括试题与答题要求。

作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。

3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）1.若抛物线 $y^2=mx$ 的焦点坐标为$(0,0)$，则实数$m$的值为$\underline{\hspace{2cm}}$。

2.$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3n+1+2n}{n+1}>1$的解集为$\underline{\hspace{2cm}}$。

3.不等式$\underline{\hspace{2cm}}$。

4.已知$i$为虚数单位，若复数$z=\frac{1+i}{1+mi}$是实数，则实数$m$的值为$\underline{\hspace{2cm}}$。

5.设函数$f(x)=\log_a(x+4)$（$a$为正实数且$a\neq1$），若其反函数的零点为2，则$a=$ $\underline{\hspace{2cm}}$。

6.$(1+\frac{1}{x})(1-x)^6$展开式中含$x^2$项的系数为$\underline{\hspace{2cm}}$（结果用数值表示）。

7.各项都不为零的等比数列$\{a_n\}$（$n\in\mathbb{N}$）满足$a_2-2a_8+3a_{10}=0$，数列$\{b_n\}$是等比数列，且$a_8=b_8$，则$b_4b_9b_{11}=$ $\underline{\hspace{2cm}}$。

8.设椭圆$\Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>1$），直线$l$过$\Gamma$的左顶点$A$交$y$轴于点$P$，交$\Gamma$于点$Q$，若$\triangle AOP$是等腰三角形（$O$为坐标原点），且$PQ=2QA$，则$\Gamma$的长轴长等于$\underline{\hspace{2cm}}$。