八年级数学上册第2章实数2.2平方根第2课时平方根作业课件(新版)北师大版

2.2.2 平方根教材分析《平方根》是北师版初中数学八年级上第二章第二节。

在此之前，学生已经学习了有理数、有理数的乘方、用字母表示数等知识，这为过渡到本节起着铺垫作用。

本节主要学习平方根和算术平方根的概念和性质，在运算方面，引入了开方运算，使学生掌握的代数运算由原来的加、减、乘、除、乘方五种扩展到六种，建立起较完善的代数运算体系。

本节内容既是对前面所学知识的深化和发展，也是今后学习二次根式、实数的预备知识，还是用直接开平方法、公式法解一元二次方程的重要依据。

因此，本节处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。

学生分析八年级的学生已经能从具体事例中归纳问题的本质，通过观察、类比等活动抽象出问题的规律，同时学生在前面的学习中已经熟练掌握算术平方根的知识，具备了用所学知识来分析平方根性质的基础。

教学目标【知识与技能】掌握平方根与算术平方根的概念，能及时通过开方运算求一个非负数的平方根及算术平方根，理解平方与开平方互为逆运算。

【过程与方法】通过对平方根概念及性质的探究，渗透分类讨论和数形结合的数学思想方法，提高数学探究能力和归纳表达能力。

【情感、态度与价值观】鼓励学生积极主动地参与教与学的整个过程，激发学生求知的欲望，增加学生学习数学的兴趣与信心。

教学重、难点本节课的重点是平方根与算术平方根的概念和性质。

因为平方根与算术平方根的概念和性质始终贯穿本章，正确理解这两个概念是学好本章的关键。

本节课的难点是平方根与算术平方根的区别与联系。

因为平方根与算术平方根这两个概念容易引起学生理解上的偏差和意义上的混淆，如处理不当将直接影响以后的学习。

说教法与学法【教法】学生在七年级学过乘方运算，但由于间隔时间长，他们会有不同程度的遗忘，为了实现新旧教学方式和学习方式的接轨，我利用情景教学激发学生的兴趣，利用对比教学让学生掌握概念的本质，完善学生的知识结构。

【学法】学生才是学习的主人，教师应该把过程还给学生，让过程与结果并重。

北师版 八年级上学期第二章 平方根与立方根学案一、【基础知识——精要精讲】 (一)无理数的概念无理数是无限不循环小数.它包括：（1）开方产生的无理数，如2； （2）有特定结构的数，如......010010001.0（相邻两个1之间0的个数逐渐加1）； （3）有特定意义的数，如π.（二）平方根1.定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根（或二次方根），如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根. 这里，a 是x 的平方数，它是一个非负数，即a ≥0.2.平方根的表示方法:(1)当a >0时，a 的平方根记为±a ；(2)当a ＝0时，a 的平方根是a ，即0＝0； (3)当a <0时，a 没有平方根.3.平方根的性质:一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它就是0本身；负数没有平方根.4.算术平方根: 正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a ，0的算术平方根是0.5.算术平方根具有双重非负性：被开方数a 具有非负性，即0≥a ；算术平方根a 本身是非负数，即0≥a . 6.开平方：①求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫被开方数；②开平方是一种运算方法，与加、减、乘、除、乘方一样，都是一种运算； ③平方与开平方互为逆运算.7.(1)(a )2＝a ，(a ≥0) (2)⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0......()0.........(0)0.........(2a a a a a a a（三）立方根1.定义：若a x =3，则x 叫做a 的立方根；每个实数都有一个立方根，记作3a2.立方根的性质：(1) 正数有一个立方根，仍为正数，如：8的立方根是2，记作283=； (2)零的立方根是零，记作003=；(3) 负数有一个立方根，仍为负数，如：－8的立方根为－2，记作283-=-.3.开立方：正如开平方是平方的逆运算一样，开立方运算也是立方运算的逆运算. 求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方，其中a 叫被开方数. 4.(1) 33a a -=- (a>0) (2) a a =33)( (3) a a =)(33二、【经典例题——精析巧变】 （一）无理数的概念例1、下列各式中..23.2，72-，14.3，10199，π-，......011011001100.0，3π，0，1415926.3，2无理数有：( ); 正有理数有：( ); 负有理数有：( ). 把以上各数按由小到大的顺序排列起来，并用“<”连接.例2、一个面积是11的正方形，它的边长x 等于_____,x 是___.(填“有理数”或“无理数”)例3、右图是由77⨯个边长为单位1的正方形组成的大的正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请连结下图的格点.（1）使所得的线段AB 是有理数； （2）使所得的线段CD 是无理数； （3）使所得的新正方形的面积为5.思路点拨：构造特殊直角三角形，使其斜边长为所需线段的长度.（二）平方根、算术平方根例4、判断下列各式是否有平方根：22;;5;01.0;0;3;22222+-----a a a a ）（例5、说出下列各式的平方根和算术平方根：223.0）（- ， 0 ， 900 ， 210- ， 412 ， 23）（-例6、求下列各式的值：225）（- ，()236 ，1214变式：1.求下列各式的值：（1）)0(102>=x x ； （2）102=x ； （3）()102=x（4）1012=+x ； （5）16)32(2=+x ； （6）016942=-x例7、（1）如果0<a ，那么()__________,22=-=a a ； （2）a 具有双重非负性：（1） （2） ； （3）使2-x 有意义的x 的取值范围是 ；（4）使m m --21有意义的m 的取值范围 ；（5）若a a -=-2)2(2则a 的取值范围 .变式：1.当x 是多少时，1223-+-x x 在实数范围内有意义.2.已知233+-+-=x x y ，求y x +的值.3.已知011=++-b a ，求20162015b a +的值.例8、0)3(9322=+-+-x x y x ，求y x的值.例9、已知某数有两个平方根，分别是3+a 与152-a ，求这个数.变式：已知01692=-y ，且y 是负数，求53+y 的算术平方根.例10、如图，已知一个正方形ABCD 的面积是24a ，点E 、F 、G 、H 分别为正方形ABCD 个边的中点，依次连接E 、F 、G 、H 得一个正方形. （1）求正方形EFGH 的边长；（2）求当2=a 时，正方形EFGH 的边长大约是多少？（三） 立方根、n 次方根 例11、下列各式正确的有：（1）00=；（2）33125125-=-；（3）a a =33；（4）a a =33）（；（5）283±=-；（6）318.0318.033=-）（例12、求下列各数的立方根：（1）27-；（2）729.0；（3）343；（4）27125；（5）8191-.变式:1.求下列各式的值:(1)3372.3）（--; (2)322107.2）（-⨯-2.解方程：（1）02783=+x （2）641)1(3-=-x例13、若a a --532（a 为整数）表示32-a 的算术根，求a 及a a --532的值.例14、已知321a -和31-b 互为相反数，求a b 2-的值变式：021753=++x ，求x +21的平方根.三、【创新探究——走进名校】1.下列说法中，正确的是（ ）. A.3a 一定是正数 B.32016是有理数C.22是有理数D.平方等于自身的数只有1 2.()0312=++-+y y x ，y x -的值为 .3.如果22332+-+-=x x y ，那么=+y x 2 .4.化简()2232144--+-x x x 的结果是 .5.已知x 是实数，则πππ1-+-+-x x x 的值是（ ）A.π11- B.π11+ C.11-πD.无法确定6.如果式子()212-+-x x 化简的结果为32-x ，则x 的取值范围是（ ）A.1≤xB.2≥xC.21≤≤xD.0>x7.若a 、b 是实数，且42212+-+-=b b a ，则b a +的值是（ ）A.3或-3B.3或-1C.-3或-1D.3或18.当1<a 时，化简()a a -1-3的结果是（ ）.A.()1-a a aB.()1--a a aC.()a a a -1D.()a a a --19.设实数a 、b 、c 满足2a +b +c +14=2(a 2+21+b +31-c ),求ca b-的值.10.已知521332412---=----+c c b a b a ，求c b a ++的值.四、【专题过手——随堂精练】（一）平方根1．填空题（1）0.16的平方根是__________，0.16的平方是_________. （2）若17是m 的一个平方根，则m 的另一个平方根是_____. （3）9的平方根是_____，81的算术平方根是_____.（4）若2a ＝2，则a ＝_____.（5）（－4）3的相反数的倒数的平方根是_____.（6）_____的算术平方根等于它的平方根.（7）下列各数：－2，（－3）2，｜－0.5｜，32，0，－（－141），其中有平方根的数有___个.（8）若x x -+有意义，则1+x 的值是_____. 2．求下列各式中的x（1）49(x 2＋1)＝50； （2）(3x －1)2＝(－5)2．3．求下列各式的值（1）225)12(+-； （2）2)7(-；（3）9005136.031+； （4）81424.3⨯.4.设x 是16的算术平方根，2(2)y =-，则x 与y 的关系是_____________________.5.平方根是它本身的数是______________，算术平方根是它本身的数是_________________.8116.6的平方根是_______；9的平方根是_______．7.一个自然数的一个平方根是m -，那么紧跟它后面的一个自然数的平方根是 .二．解答题1．已知29160y -=，且y 是负数，求3y +5的算术平方根.2.若实数a 、b 、c 满足23(5)0a b -++=，求代数式ab c+的值.3.若33n m =-，求m+n 的值.4.=05.已知m 满足关系式：216490m -=，求47m +的平方根.6.求使等式0=成立的x 的值，王强同学的解答过程如下：解：要使0=，则x =00=，即x =0或x =1，所以当x =0或x =1时，原式成立.该同学的解答过程是否正确？如果正确，说明每一步的理由；如果不正确，请指出错误的原因，并写出正确的解答过程.7.已知35的整数部分为a ，37的整数部分为b ，求：a 2+b 2的值.（二）立方根1.（14=，则(x +13)的立方根是____________.（2830b -=2.若3x +16的立方根是4，则2x +4的平方根是___________.3.当a <0可化简为_______________.4．已知643+a +|b 3－27|=0，求(a －b )b 的立方根.5．已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm 3，求第二个纸盒的棱长.6x+y 的平方根.7.（培优）已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：a b b c -++++8.328、3、10 三者之间的大小关系是（ ）A ．3＜328＜10B ．3＜10＜328C ．328＜3＜10D ．328＜10＜3五、【专题回顾——家庭作业】一、 基础闯关—水滴石穿1.求下列各题 （1）425的平方根是_________； （2） (－12)2的算术平方根是_________； （3）25的算术平方根是______； （4）364的平方根是 . 2．若31<<a ，化简22)3()1(a a -+-的值 . 3.若023=-+-+y x y x ，则y x -的值是（ ）.A.—1B.1C.3D.—34.下列计算或命题：（1）3±是27的立方根；（2）64的平方根是2；（3）552=-；（4）12116的算术平方根是114±，其中正确的个数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.全部错误5.下列各组三个数不能作为一个三角形的三条边的是（ ）A.100100,1，B.532，，C.33364278，， D.222543，， 6.2)21(-的算术平方根是_______.7.若53-x 的平方根是1±，则=x _________. 8.（1）a 的平方根是2±,则a =____；（2）一个数的立方根的算术平方根为2，则这个数为 _；（3，则这个数为 ；（4）大于的整数分别是 ；（5）整数a 是一个完全平方数，它的下一个完全平方数是 . 9.一个数的平方根是22b a +和1364+-b a ，那么这个数是 . 10.已知一个正数的平方根是23-x 和65+x ，求这个数的平方根 . 11.若()2221.1-=x ，则=x .12.若()336－＝x ，则=x . 13.计算下列各题（1）(a )2＝_____；(a ≥0) （2； (3)3=______；(4) =_____.14.化简下列根式（1= （2）2= （3= (5) = (6) 3=15.（1）计算: _____________)4()3(22=-+-ππ.（2）设a 、b 、c 是△ABC 的三边的长，化简(a – b – c )2 + (b – c – a )2 + (c – a – b )2的结果是 . 16.22)1(12x x x -++-= .1117.已知063=-+-y x ，以x 、y 为两边的等腰三角形的周长为 .18.（1）若x 为实数,求|12--x |的平方根是 .（21+x 的值是 . 二、 综合提升—努力攀登1．若x <0， 则2x = , 33x =_ .2. 当x =______时，45+x 有最小值，其最小值为 .3.立方根等于其本身的数是 ；平方根等于其本身的数是 .4.一个正数的平方根分别是23a +和45a --，求这个数.5.设面积为π10的圆半径为x .（1）x 是有理数吗？请说明理由；（2）请估计x 的整数部分是多少；（3）将x 保留到十分位是几?6.ABC ∆的三边长分别为z y x ,,，且y x ,满足09622=+-+-y y x ，求z 的取值范围.。

第二章实数第七节二次根式第二课时二次根式及其性质教案二次根式的乘除运算教案一、教学目标1. 理解并掌握二次根式的乘除运算规则，理解其算术运算性质。

2. 学会对二次根式进行乘除运算，并能够应用于实际问题中。

3. 培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

二、教学重点和难点1. 教学重点：二次根式的乘除运算规则及其算术运算性质。

2. 教学难点：二次根式乘除法的应用，以及运算符的使用。

三、教学过程1. 概念和定义：讲解二次根式的定义和相关概念，包括平方根、算术平方根等，使学生对二次根式有一个初步的认识。

2. 整数乘法口诀：回顾整数乘法口诀，引导学生总结规律，为后续学习打下基础。

3. 二次根式的乘除运算：通过具体的例子，讲解二次根式的乘除运算规则，并引导学生自己推导，加深理解。

4. 运算符的使用：强调运算符的优先级和运算顺序，通过练习题使学生掌握正确的运算方法。

四、教学方法和手段1. 利用多媒体讲解二次根式的乘除运算，形象生动，易于学生理解。

2. 通过小组讨论学习二次根式的乘除运算，互相交流，发现并解决问题。

3. 阅读相关题型进行练习，巩固所学知识，提高解题能力。

五、课堂练习、作业与评价方式1. 选择练习题进行课堂练习，检验学习效果，巩固所学知识。

2. 布置作业题，要求学生在规定时间内完成，培养学生独立思考和解决问题的能力。

3. 对学生的练习和作业进行评价，给予肯定和鼓励，同时指出不足之处，提出改进意见。

六、辅助教学资源与工具1. PPT讲解：通过PPT展示，帮助学生更好地理解二次根式的概念和性质。

2. 各类题型练习：提供多种类型的练习题，包括选择题、填空题和计算题等，以便学生进行巩固和拓展。

3. 参考书籍：推荐一些相关的数学参考书籍，供学生自行阅读和学习。

七、结论本节课旨在使学生掌握二次根式的乘除运算规则和方法，并通过实际问题的解决提高其数学应用能力。

通过课堂讲解、小组讨论和练习与作业等多种方式，学生对二次根式的乘除运算有了更深入的理解和掌握。

北师大版数学八年级上册《平方根（第2课时）》教案一、本节课的教学目标是 ①了解平方根、 开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联系． ②进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系．③经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学知识的应用能力．教学重点是①了解平方根、开平方的概念．②了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根．③了解平方根与算术平方根的区别与联系．教学难点是①平方根与算术平方根的区别和联系．②负数没有平方根，即负数不能进行开平方的运算．二、教学过程设计:本节课采用引导、探究、类比相结合的教学方法，设计了六个教学环节 第一环节 复习旧知 引入新知；第二环节 形成概念，辨析概念；第三环节 例题和巩固练习；第四环节 课堂小结；第五环节 思维拓展；第六环节 布置作业．第一环节 复习旧知 引入新知内容:方法一 复习引入1．什么叫算术平方根?3的平方等于9，那么9的算术平方根就是 3 ． 52的平方等于 254 ，那么254 的算术平方根就是_____52_________．展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长_ 7_米．2．到目前为止，我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何？乘方有没有逆运算?平方与算术平方根之间的关系？已知折叠着的正方形ABCD 面积为1，则边长为__1___．将它扩展，若面积变为原来的2倍，那么它的边长为___2___；若面积变为原来的3倍，则边长为____3_____；若面积变为原来的n 倍，则边长为____n ____．方法二 复习引入问题 平方等于9，254，49的数还有吗？目的: 这一环节主要是复习旧知识和提出问题，由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的关系，让学生在几何图形中认识．熟悉它们的互化关系．并把上节课的思考题制作成Flash 情景引入，增加动画效果．说明 数学知识源于生活，并服务于我们的生活．这两种方法通过生活中的具体问题激发学生的学习兴趣，并让他们产生解决问题的强烈愿望．第二环节 : 新课学习内容 （一）探究新知填空32=(9 )(－3)2=(9 ) ( )2=9 02=0(12)2=(14)()214= (不存在)2=－4 (12-)2=(14) （二）形成概念(1)一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根．而把正的平方根叫做a 的算术平方根．表达式为:若x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根． 记作 a ±．例如:(±4)2=16，则+4和－4都是16的平方根；即16的平方根是±4；4是16的算术平方根．（三）探索平方与开平方的关系:给出几组具体的数据，由平方探知开平方与平方的互逆关系．（四）概念辨析平方根与算术平方根的联系与区别联系 1．包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种．2．只有非负数才有平方根和算术平方根．3． 0的平方根是0，算术平方根也是0．区别 1．个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根．2．表示法不同：平方根表示为 a ± ，而算术平方根表示为a ．目的 形成“平方根”的概念．在列举一些具体数据的感性认识基础上，由平方运算反推出平方根的概念和定义，并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化并，明白它们之间的互逆关系，辨析概念 “平方根”与 “算术平方根”的区别与联系，使之与上一节课紧密联系．说明 平方根与算术平方根的区别是本节课的一大难点，也是学生经常容易出错的地方．对这两个概念加以比较与区别有利于学生的理解与掌握．第三环节 例题和新知巩固（一）例题示范求下列各数的平方根:(1)64；(2)49121；(3) 0.0004；(4)()225-；(5) 11 解 （1）()2648=±Q ，648∴±的平方根是，648±=±即；（2）()24949771211211111,=∴±±Q 的平方根为，49712111±=±即；（3）()20.0004,0.00040.020.02=∴±±Q 的平方根是，0.00040.02±=±即；（4）()()()22,25252525=∴±±--Q 2的平方根是， ()22525=±-即； （5）1111Q 的平方根是目的 这是书上的例题，要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达．能熟练地求出一个数的平方根，然后由题中的数据探索出正数、0、负数的平方根的个数． （二）思考提升1．()25-的平方根是 ，81_____，49的平方根是_____； 2．264= ，()25=- ，64= ，0.04=_______； 32a = ，20a a ≥=当时， ．（三）巩固练习1 ．下列说法正确的是 ①381-是的平方根；②25的平方根是5；③－36的平方根是－6；④平方根等于0的数是0；⑤64的平方根是8．2．下列说法不正确的是( ) ．(A)0的平方根是0 (B)22-的平方根是2±(C)非负数的平方根是互为相反数 (D)一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数3．已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）．(A) a +1 (B)1a + (C) 2a +1 (D)21a +4．x 为何值，2x -有意义？答 因为02x -≥，所以0x ≤ 目的 围绕本节课的重点知识 （平方根）作适当的练习，在不同的变式练习中加深对平方根意义的理解．第四环节 课堂小结内容 引导学生总结本课时的知识、方法．目的 让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰，既巩固了有关知识，又培养了学生良好的学习习惯．效果 在老师的引导下学生自己总结本节课的知识、方法，如平方根的概念 若2x a =，则x 叫a 的平方根，x a =平方根的个数 正数有2个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．平方与开方之间的关系；求平方根的方法 求一个数的平方根就是转化寻找哪个数平方等于这个数．第五环节 提高训练内容 1.511a ，511-b ，求a b +的值．2．已知实数a ，b 满足2496b a b +-=①若a ，b 为ABC ∆的两边，求第三边c 的取值范围；②若a ，b 为ABC ∆的两边，第三边c 等于5，求ABC ∆的面积．目的 安排了两道题，其中最后一题是用算术平方根的意义来解决三角形的问题，这一环节主要针对层次较好的学生提供的题．可供老师根据教学的实际情况灵活处理．第六环节 作业布置习题2．４。