苏科版-数学-八年级上册-平方根典型例题

初中-数学-打印版初中-数学-打印版 开方应用在实际生活在实际应用中，许多问题涉及到开平方或开立方运算，解决这些问题的关键是理解平方根和立方根的意义，掌握开方的灵活应用．现举例说明．一、开平方的实际应用例1 小禹家最近购买了一套新房，其客厅有20平方米，经过全家的商议，打算用地板砖铺设地面，小禹计算一下，可以用80块正方形的地板砖铺设面积是20平方米的客厅，你能知道小禹家购买的正方形地板砖的边长吗？分析：本题是一道与实际生活密切相关的实际问题，根据题意可知，80块地板砖的面积和为20平方米，只要计算出一块地板砖的面积，然后再开方即可求到正方形地板砖的边长.解：设一块正方形的地板砖的边长为x 米，则80x 2=20，所以x 2=0.25,所以x =±0.5，因为地板砖的边长不能为负数，所以x =0.5.所以小禹家应购买边长为0.5米的地板砖.例2 学校准备在旗杆附近修建一个面积为81m 2的花坛，现有两种设计方案：方案一：建成正方形.芳案二：建成圆形.如果请你决策，从节省材料的角度考虑，你选择哪一种方案？请说明理由（π取3.14）.分析：从节省材料的角度考虑，就是用料少，即花坛周长小，因此只需要由已知条件计算出两种方案中各图形的周长，然后比较大小即可.解：设正方形的边长为am ，由题意，得a 2=81，则a =±81，即a =±9，又因为a ＞0，所以a =9，4a =36.所以方案一建成正方形的花坛需要用料36米.设圆的半径为rm ，由题意，得πr 2=81，则r =π81±，即r ≈±5.08，又因为r ＞0，所以r ≈5.08，2πr ≈31.90.所以方案二建成圆形的花坛需要用料约31.90米.由于31.90＜36，显然第二种方案用料少一些，所以选用第二种方案.二、开立方的实际应用例3 张师傅打算用铁皮焊制一个密封的正方体水箱，使其容积为1.331立方米，求需要多大的面积的铁皮．分析：求所需铁皮的面积，即求正方体的表面积，需知正方体的边长，根据正方体的容积为 1.331立方米，开立方即可求出边长。

《第二章2 平方根》讲解与例题1．平方根(1)平方根的概念：若是一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么那个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根).32＝9，因此3是9的平方根．(－3)2＝9，因此－3也是9的平方根，因此9的平方根是3和－3.(2)平方根的表示方式：正数a 的平方根可记作“±a ”，读作“正、负根号a ”．“ ”读作“根号”，“a ”是被开方数．例如：2的平方根可表示为± 2. (3)平方根的性质：假设x 2＝a ，那么有(－x )2＝a ，即－x 也是a 的平方根，因此正数a 的平方根有两个，它们互为相反数；只有02＝0，故0的平方根为0；由于同号的两个数相乘得正，因此任何数的平方都可不能是负数，故负数没有平方根．综合上述：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．如：4的平方根有两个：2和－2，－4没有平方根．我明白了，一个数a 的平方根能够表示成±a .你可要警惕哦！（1）不是任何数都有平方根，负数可没有平方根，（2）式子a 只有当a ≥0时才成心义,因为负数没有平方根.【例1－1】 求以下各数的平方根：(1)81；(2)(－7)2；(3)11549. 分析：依照平方根的概念，求一个数a 的平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，确实是找出平方后等于a 的数．解：(1)∵(±9)2＝81，∴81的平方根是±9，即±81＝±9.(2)∵(－7)2＝72＝49，∴(－7)2的平方根是±7，即±49＝±7. (3)∵11549＝6449，又⎝ ⎛⎭⎪⎫±872＝6449， ∴11549的平方根是±87， 即±11549＝±87. 【例1－2】 以下各数有平方根吗？若是有，求出它的平方根；假设没有，请说明理由．(1)94；(2)0；(3)－9；(4)|－0.81|；(5)－22. 分析：序号存在情况 原因 (1)有2个 正数有两个平方根 (4)有2个 (3)无 负数没有平方根 (5)无 (2) 有1个 0的平方根是它本身解：(1)∵94是正数，∴94有两个平方根． 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±322＝94，∴94的平方根是±32. (2)0只有一个平方根，是它本身．(3)∵－9是负数，∴－9没有平方根．(4)∵|－0.81|＝(±0.9)2，是正数，∴|－0.81|的平方根是±0.9.(5)∵－22＝－4，是负数，∴－22没有平方根．2.算术平方根(1)算术平方根的概念：若是一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么那个正数x 就叫做a 的算术平方根．(2)算术平方根的表示方式：正数a 的算术平方根记作“a ”，读作“根号a ”．(3)算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有平方根，固然也没有算术平方根．淡重点 算术平方根的性质(1)只有正数和0(即非负数)才有算术平方根，且算术平方根也是非负数；(2)一个正数a 的正的平方根确实是它的算术平方根．若是明白一个数的算术平方根，就能够够写出它的负的平方根．【例2】 求以下各数的算术平方根：(1)0.09；(2)121169. 分析：依照算术平方根的意义，求一个非负数a 的算术平方根，第一要找出平方等于a 的数，写出平方式；从平方式中确信a 的算术平方根的值．解：(1)∵0.32＝0.09，∴0.09的算术平方根是0.3，即0.09＝0.3；(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫11132＝121169， ∴121169的算术平方根是1113. 析规律 如何确信一个数的算术平方根 求一个数的算术平方根与求一个数的平方根类似，先找到一个平方等于所求数的数，再求算术平方根，应专门注意数的符号．3．开平方求一个数a (a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数．开平方运算是已知指数和幂求底数．(1)因为平方和开平方互逆，故可通过平方来寻觅一个数的平方根，也能够利用平方验算所求平方根是不是正确．(2)开平方与平方互为逆运算，正数、负数、0能够进行“平方”运算，且“平方”的结果只有一个；但“开平方”只有正数和0才能够，负数不能开平方，且正数开平方时有两个结果．(3)关于生活和生产中的已知面积求长度的问题，一样可用开平方加以解决．【例3】 小明家打算用80块正方形的地板砖铺设面积是20 m 2的客厅，试问小明家需要购买边长是多少的地板砖？解：设正方形的地板砖的边长为x m ，由题意，得80x 2＝20，那么x 2＝0.25.故x ＝±0.5.∵地板砖的边长不能为负数，∴x ＝0.5.∴小明家应购买边长为0.5 m 的地板砖．4.a 2与(a )2的关系a 表示a 的算术平方根，依据算术平方根的概念，(a )2＝a (a ≥0).a 2表示a 2的算术平方根，依据算术平方根的概念，假设a ≥0，那么a 2的算术平方根为a ；假设a ＜0，那么a 2的算术平方根为－a ，即a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≥0，－a ，a <0. (1)区别：①意义不同：(a )2表示非负数a 的算术平方根的平方；a 2表示实数a 的平方的算术平方根．②取值范围不同：(a )2中的a 为非负数，即a ≥0；a 2中的a 为任意数．③运算顺序不同：(a )2是先求a 的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a 2是先求a 的平方，再求平方后的算术平方根．④写法不同．在(a )2中，幂指数2在根号的外面；而在a 2中，幂指数2在根号的里面．⑤运算结果不同：(a )2＝a ；a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≥0，－a ，a <0.(2)联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算．②两式运算的结果都是非负数，即(a )2≥0，a 2≥0.③仅当a ≥0时，有(a )2＝a 2. 点技术 巧用(a )2＝a 将(a )2＝a 反过来确实是a ＝(a )2，利用此式可使某些运算更为简便．【例4】 化简：(6)2＝__________；(－7)2＝__________. 解析：(－7)2＝|－7|＝7.答案：6 75．平方根与算术平方根的关系(1)区别：①概念不同平方根的概念：若是一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么那个数x 叫做a 的平方根．算术平方根的概念：若是一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么那个正数x 叫做a 的算术平方根． ②表示方式不同平方根：正数a 的平方根用符号±a 表示．算术平方根：正数a 的算术平方根用符号a 表示，正数a 的负的平方根－a 能够看成是正数a 的算术平方根的相反数．③读法不同a读作“根号a”；±a读作“正、负根号a”．④结果和个数不同一个正数的算术平方根只有一个且必然为正数，而一个正数的平方根有两个，它们一正一负且互为相反数．(2)联系：①平方根中包括了算术平方根，确实是说算术平方根是平方根中的一个，即一个正数的平方根有一正一负两个，其中正的那一个确实是它的算术平方根，如此要求一个正数a的平方根，只要先求出那个正数的算术平方根a，就能够够直接写出那个正数的平方根±a了．②在平方根±a和算术平方根a中，被开方数都是非负数，即a≥0.严格地讲，正数和0既有平方根，又有算术平方根，负数既没有平方根，又没有算术平方根．③0的平方根和算术平方根都是0.【例5－1】(1)求(－3)2的平方根；(2)计算144；(3)求(π－3.142)2的算术平方根；(4)求16的平方根．错解(1)因为(－3)2＝9，故(－3)2的平方根是－3；(2)因为(±12)2＝144，所以144＝±12；(3)(π－3.142)2的算术平方根是(π－3.142)2＝π－3.142；〔或±(π－3.142)〕(4)16的平方根是±4.剖析(1)一个正数的平方根是互为相反数的两个数，而这里(－3)2的平方根只有一个数，只表明两个平方根中的一个负的平方根，漏掉了一个正的平方根；(2)混淆了平方根与算术平方根的概念，144表示144的算术平方根，它是一个非负数，错解中出现了增解－12；(3)错在忽视了π＜3.142，即π－3.142＜0；或混淆了平方根与算术平方根的概念；(4)这里错误地将16的平方根当成16的平方根，其实这里是求16的算术平方根的平方根，该题将两个相近概念“算术平方根”和“平方根”含在一个小题中.正解(1)±(－3)2＝±9＝±3；【例(1)±81；(2)－16；(3)925；(4)(－4)2.分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；925表示925的算术平方根，故其结果是正数；(－4)2表示(－4)2的算术平方根，故其结果必为正数． 解：(1)∵92＝81，∴±81＝±9. (2)∵42＝16，∴－16＝－4.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝925，∴925＝35. (4)∵42＝(－4)2，∴(－4)2＝4. 释疑点 与平方根相关的三种符号 弄清与平方根有关的三种符号±a ，a ，－a 的意义是解决这种问题的关键．±a 表示非负数a 的平方根，a 表示非负数a 的算术平方根，－a 表示非负数a 的负平方根．注意a ≠±a .在具体解题时，“ ”的前面是什么符号，其计算结果确实是什么符号，既不能漏掉，也不能多添．6．巧用算术平方根的两个“非负性”众所周知，算术平方根a 具有双重非负性：(1)被开方数具有非负性，即a ≥0. (2)a 本身具有非负性，即a ≥0.这两个非负性形象、全面地反映了算术平方根的本质属性．在解决与此相关的问题时，假设能认真观看、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的这两个非负性，就可幸免用常规方式造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的成效．由于初中时期学习的非负数有三类，即一个数的绝对值，一个数的平方(偶次方)和非负数的算术平方根．关于算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一样情形下都是它们的和等于0的形式．此类问题能够分成以下几种形式：(1)算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔| |＋( )2＝0，| |＋ ＝0，( )2＋＝0〕，乃至同一道题目中同时显现这三个内容〔| |＋( )2＋＝0〕．(2)题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用完全平方公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．【例6－1】假设－x2＋y＝6，那么x＝__________，y＝__________.解析：由－x2成心义得x＝0，故y＝6.答案：0 6【例6－2】假设|m－1|＋n－5＝0，那么m＝__________，n＝__________.解析：依照题意，得m－1＝0，n－5＝0，因此m＝1，n＝5.答案：1 5注：假设几个非负数的和为0，那么每一个数都为0.【例6－3】若是y＝x2－4＋4－x2x＋2＋2 013成立，求x2＋y－3的值．分析：由算术平方根被开方数的非负性知，x2－4≥0，4－x2≥0，因此，x2－4＝0，即x＝±2；又x＋2≠0，即x≠－2，因此x＝2，y＝2 013，于是得解．解：由题可知x2－4≥0，且4－x2≥0，∴x2－4＝0，即x＝±2.又∵x＋2≠0，即x≠－2，∴x＝2.将x＝2代入y＝x2－4＋4－x2x＋2＋2 013，可得y＝2 013.∴x2＋y－3＝22＋2 013－3＝2 014.点评：解答这种问题时，先确信题目中非负数的类型，然后依照类型“对症下药”．不要误以为x＝±2.。

章节测试题1.【答题】估计的值（）A. 在1和2之间B. 在2和3之间C. 在3和4之间D. 在4和5之间【答案】C【分析】本题考查了算术平方根大小的估计．【解答】∵2＜＜3，∴3＜＜4，∴在在3和4之间．选：C．2.【答题】规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3.按此规定[＋1]的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【分析】本题考查了算术平方根大小的估计．【解答】根据，则，即，根据题意可得：=4．3.【答题】25的算术平方根是（）A. 5B. -5C. ±5D.【答案】A【分析】本题考查了算术平方根．【解答】∵（5）2=25，∴25的算术平方根是5．选A．4.【答题】估计在（）A. 0～1之间B. 1～2之间C. 2～3之间D. 3～4之间【答案】C【分析】本题考查了算术平方根估计大小．【解答】∵4＜5＜9，∴，∴，选C．5.【答题】若，则m＋n的值是（）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】A【分析】本题考查了平方根．【解答】根据“几个非负数的和为0，这几个数为0”，则m-1＝0，n＋2＝0，∴m＝1，n＝-2，∴m＋n＝-1．6.【答题】4的算术平方根是（）A. 16B. 2C. -2D. ±2【答案】B【分析】本题考查了算术平方根．【解答】∵22＝4，∴4的算术平方根是2，选择B．7.【答题】若a是（-4）2的平方根，b的一个平方根是2，则a＋b的值是（）A. 8B. 0C. 8或0D. 4或-4【答案】C【分析】本题考查了平方根．【解答】a是（-4）2的平方根，则a为±4，b的一个平方根是2，b为4，所以a＋b为8或08.【答题】如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是（）A. 1B. -1C. 0D. ±1【答案】C【分析】本题考查了平方根．【解答】只有0的平方根只有它本身，负数没有平方根，1的平方根是±19.【答题】下列各式表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】本题考查了平方根．【解答】；，，故只有C正确．10.【答题】下列说法正确的是（）A. a2的平方根是aB. 的平方根是±3C. 16的四次方根是±2D. 只有正数才有平方根【答案】C【分析】本题考查了平方根．【解答】a2的平方根是±a，故A错；，3的平方根是，故B错；0也有平方根，故D错，因此选C．11.【答题】25的算术平方根是（）A. B. 5 C. -5 D. ±5【答案】B【分析】本题考查了算数平方根．【解答】根据算术平方根的定义求解，，选B．12.【答题】有下列各数：49，，0，-4，-|-3|，-（-3），-（-5）2．其中有平方根的数共有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】B【分析】本题考查了平方根．【解答】有平方根的数是49，，0，-（-3），共4个．13.【答题】下列说法错误的是（）A. 5是25的算术平方根B. 是的一个平方根C. （-4）2的平方根是-4D. 0的平方根和算术平方根都是0【答案】C【分析】本题考查了算术平方根．【解答】一个正数的平方根有两个，是成对出现的．14.【答题】下列说法正确的是（）A. 任何数的平方根都有两个B. 只有正数才有平方根C. 一个正数的平方根的平方是它本身D. a2的平方根是a【答案】C【分析】本题考查了平方根．【解答】A，B都可以是0，D，也可以是-a，C是对的15.【答题】4的平方根是（）A. 2B. 16C. ±2D. ±16【答案】C【分析】本题考查了平方根．【解答】本题考查了平方根的定义．掌握平方根的定义是解题的关键．选项A是4的算术平方根；选项B是4的平方，选项C是4的平方根，选C．16.【答题】的平方根是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本题考查了平方根．【解答】∵，，∴的平方根是．17.【答题】下列各数的算术平方根比本身大的数是（）A. B. 0 C. 1 D. （-1）2【答案】A【分析】本题考查了算术平方根．【解答】算术平方根的计算，得数大于本身．18.【答题】如果x的算术平方根是9，那么x的值是（）A. 3B. 18C. 81D. 【答案】C【分析】本题考查了算术平方根．【解答】因为81的算术平方根是9，所以x的值是81．19.【答题】若x是49的算术平方根，则x等于（）A. 7B. -7C. 49D. -49 【答案】A【分析】本题考查了算术平方根．【解答】因为72＝49，所以49的算术平方根是7．20.【答题】下列各式中，正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查了平方根．【解答】选项A、C、D的计算结果均为3，只有B选项正确．。

七年级数学《平方根》典型例题及练习【知识要点】1、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式），2、算术平方根：3、平方根的性质：（1）一个正数有 个平方根，它们 ；（2）0 平方根，它是 ；（3） 没有平方根．4、重要公式：（1）=2)(a （2）{==a a 25、平方表：1.正数有_____________个立方根, 0有__________个立方根,负数有__________个立方根,立方根也叫做_______________.2.一个正方体的棱长扩大3倍,则它的体积扩大_____________.3.若一个数的立方根等于数的算术平方根,则这个数是_____________.4. 0的立方根是___________.(-1)2005的立方根是______________.182726的立方根是________. 5. 312726-=____________. 【典型例题】例1、判断下列说法正确的个数为（ ）① -5是-25的算术平方根；② 6是()26-的算术平方根；③ 0的算术平方根是0；④ 0.01是0.1的算术平方根；⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根．A ．0 个B ．1个C ．2个D ．3个例2、36的平方根是（ ）A 、6B 、6±C 、 6D 、 6±例3、下列各式中，哪些有意义？（1）5 （2）2- （3）4- （4）2)3(- （5）310-例4、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ）A ．()1+aB ．()1+±aC ．12+aD ．12+±a例5、求下列各式中的x ：（1）0252=-x （2）4(x+1)2-169=0【巩固练习】一、选择题1． 9的算术平方根是（ ）A ．-3B ．3C ．±3D ．812．下列计算正确的是（ ）A±2 B636=± D.992-=-3．下列说法中正确的是（ ）A ．9的平方根是3 B24． 64的平方根是（ ）A ．±8B ．±4C ．±2D 5． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ）A ．4B ．18C ．-14D ．146．下列结论正确的是（ ） A 6)6(2-=-- B 9)3(2=- C 16)16(2±=- D 251625162=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--7．以下语句及写成式子正确的是（ ）A 、7是49的算术平方根，即749±=B 、7是2)7(-的平方根，即7)7(2=-C 、7±是49的平方根，即749=±D 、7±是49的平方根，即749±=8．下列语句中正确的是（ ）A 、9-的平方根是3-B 、9的平方根是3C 、 9的算术平方根是3±D 、9的算术平方根是39．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根；(4)9的平方根是3，其中正确的有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．4个10．下列语句中正确的是（ ）A 、任意算术平方根是正数B 、只有正数才有算术平方根C 、∵3的平方是9，∴9的平方根是3D 、1-是1的平方根11．下列说法正确的是（ ）A ．任何数的平方根都有两个B ．只有正数才有平方根C ．一个正数的平方根的平方仍是这个数D ．2a 的平方根是a ±12．下列叙述中正确的是（ ）A ．（-11）2的算术平方根是±11B ．大于零而小于1的数的算术平方根比原数大C ．大于零而小于1的数的平方根比原数大D ．任何一个非负数的平方根都是非负数13．25的平方根是（ ）A 、5B 、5-C 、5±D 、5±14．36的平方根是（ ）A 、6B 、6±C 、 6D 、 6±15．当≥m 0时，m 表示（ ）A ．m 的平方根B ．一个有理数C ．m 的算术平方根D ．一个正数 16．用数学式子表示“169的平方根是43±”应是（ ）A ．43169±=B ．43169±=±C ．43169=D ．43169-=-17．算术平方根等于它本身的数是（ ）A 、 1和0B 、0C 、1D 、 1±和0.如果一个数的平方根与立方根是同一个数,那么这个偶数是( )A. 8B. 4C. 0D. 1618．0196.0的算术平方根是（ ）A 、14.0B 、014.0C 、14.0±D 、014.0±19．2)6(-的平方根是（ ）A 、－6B 、36C 、±6D 、±6 20．下列各数有平方根的个数是（ ）（1）5； （2）（-4）2； （3）-22； （4）0； （5）-a 2； （6）π； （7）-a 2-1A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 21．2)5(-的平方根是（ ）A 、 5±B 、 5C 、5-D 、5±22．下列说法错误的是（ ）A. 1的平方根是1B. –1的立方根是－1C.2是2的平方根 D. –3是2)3(-的平方根 23．下列命题正确的是（ ）A ．49.0的平方根是0.7B ．0.7是49.0的平方根C ．0.7是49.0的算术平方根D ．0.7是49.0的运算结果24．若数a 在数轴上对应的点的位置在原点的左侧，则下列各式中有意义的是（ ）A ．aB ．a -C ．2a -D ．3a26．下列各式中，正确的是（ ） A. 2)2(2-=- B. 9)3(2=- C. 39±=± D. 393-=-27．下列各式中正确的是（ ）A ．12)12(2-=-B ．6218=⨯C ．12)12(2±=-D ．12)12(2=-±28.若a 、b 为实数，且471122++-+-=a a a b ，则b a +的值为（ ） (A) 1± (B) 4 (C) 3或5 (D) 529.若9,422==b a ，且0<ab ，则b a -的值为 （ ）(A) 2- (B) 5± (C) 5 (D) 5-30．已知一个正方形的边长为a ，面积为S ，则（ ） A.a S = B.S 的平方根是a C.a 是S 的算术平方根 D.S a ±=31. 若a 和a -都有意义，则a 的值是（ ）A.0≥aB.0≤aC.0=aD.0≠a 32.22)4(+x 的算术平方根是（ ）A 、 42)4(+xB 、22)4(+xC 、42+xD 、42+x33．2)5(-的平方根是（ ）A 、 5±B 、 5C 、5-D 、5±34.下列各式中，正确的是（ ） A. 2)2(2-=- B. 9)3(2=- C. 39±=± D. 393-=-35．下列各式中正确的是（ ）A ．12)12(2-=-B ．6218=⨯C ．12)12(2±=-D ．12)12(2=-±36.下列各组数中互为相反数的是（ ）A 、2)2(2--与B 、382--与C 、2)2(2-与D 、22与- 二、填空题：1．如果x 的平方等于a ，那么x 就是a 的 ，所以的平方根是2．非负数a 的平方根表示为3．因为没有什么数的平方会等于 ，所以负数没有平方根，因此被开方数一定是4_______；9的平方根是_______．5的平方根是 ，25的平方根记作 ，结果是6．非负的平方根叫 平方根7．2)8(-= ， 2)8(= 。

4.1平方根 课后练习-2022-2023学年苏科版数学八年级上册一、选择题 1、（2022·四川遂宁·八年级期末）49的平方根为( ) A ．7 B ．－7 C ．±7D ．±72、（2022·湖南永州·八年级期末）16的算术平方根是（ ）． A ．2 B ．4 C ．2± D ．4±3、（2022·江苏扬州·八年级期末）面积为9的正方形的边长是（ ） A ．9的算术平方根 B ．9的平方根 C ．9的立方根 D ．9开平方的结果4、（2021秋•通州区期末）已知m ＝20212+20222，则的值为（ ） A ．2021 B ．2022 C ．4043 D ．40445、（2022·湖南邵阳·八年级期末）m -1与3-2m 是某正数的两个平方根，则实数m 的值是（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．43-6、（2022·四川眉山·八年级期末）已知21a -和4a -+是一个正数的平方根，则这个正数的值是（ ）A ．9B ．1C ．7D ．49或4997、（2022·江苏盐城·八年级期末）已知实数,x y 满足22(1)0x y -++=，则x y -等于( ) A ．3B ．-3C ．1D ．-18、（2022·湖南·长沙市北雅中学八年级期末）若实数m ，n 满足等式360m n ，且m ，n 恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC 的周长是（ ）A ．9B ．12C ．15D ．12或159、（2022·湖南株洲·八年级期末）一个正方形的面积是18，估计它的边长的大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间10、（2022·湖南娄底·八年级期末）下列命题：①如果21x =，则1x =；②2是4的平方根③有两边和一角相等的两个三角形全等 ；④若22a b =，则a b = 其中真命题有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11、（2022·江苏盐城·八年级期末）如图，正方形ABCD 的面积为15，Rt △BCE 的斜边CE 的长为8，则BE 的长为（ ）A ．17B ．10C ．6D ．7 12、（2022春•瑶海区期中）若，则中的x 等于（ ）A ．1040.4B ．10.404C ．104.04D ．1.0404 13、（2021秋•泰兴市期末）若方程x 2＝5的解分别为a 、b ，且a ＞b ，下列说法正确的是（ ）A ．5的平方根是aB ．5的平方根是bC ．5的算术平方根是aD ．5的算术平方根是b 二、填空题 14、（2022·湖南永州·八年级期末）16的平方根是 _____；2的算术平方根是 _____． 15、（2022·四川达州·八年级期末）(-2)2的算术平方根是________. 16、（2022·江苏·81____．17、（2022·湖南娄底·八年级期末）16的算术平方根是 _____． 18、（2022·湖南益阳·八年级期末）如果0.1-是m 的一个平方根，那么m 的值为____． 19、（2022·四川遂宁·八年级期末）一个正数的两个平方根分别是7a -和1a +，则a=__________. 20、（2022·湖南怀化·八年级期末）如果一个正数的两个平方根分别为3m +4和2﹣m ，则这个数是__． 21、（2022春•如皋市校级月考）2a ﹣3与5﹣a 是同一个正数x 的平方根，则x ＝ ． 22、（2022·四川成都·八年级期末）若a ，b 为实数，且1a ++（10﹣b ）2＝0，则a b +=_____． 23、（2022·湖南岳阳·八年级期末）若()21230a b c ++++-=，则a b c -+=______．24、（2022·湖南常德·八年级期末）若实数a 、b 满足等式()2240a b -+-=，且a b 、恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长为____________． 25、（2022·江苏南京·八年级期末）如图，将五个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______．三、解答题 26、解方程：（1）21690x -= (2)（x ﹣1）2﹣4＝0． （3）2（x ﹣1）2﹣18＝0． （4）2549(32)0x -+=． 27、（2022·湖南·衡阳市第十五中学八年级期末）已知2a +1的平方根是±3，5a +2b -2的算术平方根是4，求：3a -4b的平方根． 28、（2022春•工业园区校级月考）已知a ﹣1和5﹣2a 都是非负数m 的平方根，求m 的值． 佳佳的解题过程如下：解：∵a ﹣1和5﹣2a 都是非负数m 的平方根，∴a ﹣1+5﹣2a ＝0，解得a ＝4，∴a ﹣1＝3，∴m 的值为9．请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由． 29、（2022·湖南·张家界市永定区教育研究室八年级期末）已知1250x x y --+=． （1）求x 与y 的值；（2）求x +y 的算术平方根．30、（2022·江苏无锡·八年级期末）已知22x y +-与()23x y -+互为相反数，求()2x y +的平方根． 31、（2021秋•靖江市期中）（1）求式中x 的值：（2x ﹣1）2﹣25＝0． （2）已知，（x +y ﹣1）2＝0，求y ﹣2x 的平方根．32、（2022·江苏盐城·八年级期末）已知实数a 、b 、c 满足27(1)500a b c -+-+-=． (1)求a 、b 、c 的值；(2)判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，判别此三角形的形状，并求出三角形的面积；若不能，请说明理由． 33、（2022·河南开封·七年级期末）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到如图（2）的大正方形．问题发现：若大正方形的面积为232cm ，则小正方形的面积是_______2cm ，边长为________cm ；知识迁移：某兴趣小组想将图（1）中的一个小正方形纸片，沿与边平行的方向剪裁出面积为212cm ，且长宽之比为3∶2的长方形纸片．兴趣小组能否剪裁出符合要求的长方形纸片？请说明理由．拓展延伸：如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．4.1平方根 课后练习-2022-2023学年苏科版数学八年级上册一、选择题 1、（2022·四川遂宁·八年级期末）49的平方根为( ) A ．7 B ．－7 C ．±7D ．±7解：497=，7的平方根为7±．故选D ．2、（2022·湖南永州·八年级期末）16的算术平方根是（ ）． A ．2 B ．4 C ．2± D ．4± 【解析】∵164=；∴42=；即16的算术平方根是2；故选：A3、（2022·江苏扬州·八年级期末）面积为9的正方形的边长是（ ） A ．9的算术平方根 B ．9的平方根 C ．9的立方根 D ．9开平方的结果 解：设正方形边长为x ， 根据面积公式得：x 2=9，解得x =±3，而3x =-不合题意，舍去，所以面积为9的正方形的边长是9的算术平方根，故选：A ．4、（2021秋•通州区期末）已知m ＝20212+20222，则的值为（ ） A ．2021 B ．2022 C ．4043 D ．4044 【解答】解：∵2m ﹣1＝2（20212+20222）﹣1＝2[20212+（2021+1）2]﹣1＝2（2×20212+2×2021+1）﹣1＝4×20212+4×2021+1＝（2×2021+1）2＝40432 ∴＝4043，故选：C ．5、（2022·湖南邵阳·八年级期末）m -1与3-2m 是某正数的两个平方根，则实数m 的值是（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．43-【解析】一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；互为相反数的两个数的和为0．由题意得m -1+3-2m =0，解得m =2；故选：B ．6、（2022·四川眉山·八年级期末）已知21a -和4a -+是一个正数的平方根，则这个正数的值是（ ）A ．9B ．1C ．7D ．49或499解：∵2a -1和-a +4是一个正数的平方根，∴①2a -1+4-a =0，解得a =-3， 把a =-3代入4-a =7，∴这个正数的值是49；②2a -1=4-a ，解得a =53，把a =53代入4-a =73，∴这个正数的值是499；故选：D ．7、（2022·江苏盐城·八年级期末）已知实数,x y 22(1)0x y -+=，则x y -等于( )A ．3B ．-3C ．1D ．-1【解析】因为根号和平方都具备非负性，所以20,10x y -=+=，可得2,1x y ==-，所以2(1)3x y -=--=．故选A ．8、（2022·湖南·长沙市北雅中学八年级期末）若实数m ，n 满足等式360m n ，且m ，n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长是（ ）A ．9B ．12C ．15D ．12或15解：∵实数m ，n 满足等式360m n ，∴m －3=0，n －6=0，∴m =3，n =6，∵m ，n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，∴当n =6为腰长时，m =3为底边长， 3+6＞6满足三角形的三边关系，故△ABC 的周长是3+6+6=15； 当n =6为底边长时，m =3为腰长，但3+3=6，不满足三角形三边关系，不构成三角形，舍去， 综上，△ABC 的周长是15，故选：C ． 9、（2022·湖南株洲·八年级期末）一个正方形的面积是18，估计它的边长的大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 解：∵正方形的面积是18，∴它的边长是18，∵161825<<，∴4185<<，即它的边长的大小在4与5之间．故选：C 10、（2022·湖南娄底·八年级期末）下列命题：①如果21x =，则1x =；②2是4的平方根③有两边和一角相等的两个三角形全等 ；④若22a b =，则a b = 其中真命题有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【解析】①方程21x =的解是11x =-, 21x =,故①错误，是假命题；②2是4的平方根，故②正确，是真命题；③有两边和夹角角相等的两个三角形全等，故③错误，是假命题； ④若22a b =，则 a b =±，故④错误，是假命题；所以真命题有1个， 故选：D.11、（2022·江苏盐城·八年级期末）如图，正方形ABCD 的面积为15，Rt △BCE 的斜边CE 的长为8，则BE 的长为（ ）A ．17B ．10C ．6D ．7 解：∵正方形ABCD 的面积为15，215BC ∴= ， 在Rt BCE 中，8CE =，222BC BE CE += ，222641549BE CE BC ∴=-=-= ，7BE ∴=或7BE =-（舍）， 7BE ∴=．故选D ． 12、（2022春•瑶海区期中）若，则中的x 等于（ ）A ．1040.4B ．10.404C ．104.04D ．1.0404 【解答】解：∵102，∴1022＝10404，∴10.22＝104.04，∴x ＝104.04．故选：C ．13、（2021秋•泰兴市期末）若方程x 2＝5的解分别为a 、b ，且a ＞b ，下列说法正确的是（ ）A ．5的平方根是aB ．5的平方根是bC ．5的算术平方根是aD ．5的算术平方根是b【解答】解：∵x 2＝5的解分别为a 、b ，∴5的平方根是a 、b ，∴选项A 不符合题意； ∵x 2＝5的解分别为a 、b ，∴5的平方根是a 、b ，∴选项B 不符合题意；∵x 2＝5的解分别为a 、b ，且a ＞b ，∴5的算术平方根是a ，∴选项C 符合题意； ∵x 2＝5的解分别为a 、b ，且a ＞b ，∴5的算术平方根是a ，∴选项D 不符合题意． 故选：C ．二、填空题 14、（2022·湖南永州·八年级期末）16的平方根是；2．解：16的平方根是4±，22 故答案为：4±215、（2022·四川达州·八年级期末）(-2)2的算术平方根是________. 【解析】（-2）2的算术平方根是2， 故答案为2. 16、（2022·江苏·泰州市海陵学校八年级期末）81的平方根是____．解：819=，∴实数81的平方根是93±=±．故答案为：3±． 17、（2022·湖南娄底·八年级期末）16的算术平方根是 _____．解：∵16=4，4的算术平方根是2，∴16的算术平方根是2．故答案为：218、（2022·湖南益阳·八年级期末）如果0.1-是m 的一个平方根，那么m 的值为____．【解析】0.1-是m 的一个平方根，()20.1m ∴-=；0.01m ∴=；故答案为：0.0119、（2022·四川遂宁·八年级期末）一个正数的两个平方根分别是7a -和1a +，则a=__________. 解：根据题意，得a -7+a +1=0，解得a =3，故答案为3． 20、（2022·湖南怀化·八年级期末）如果一个正数的两个平方根分别为3m +4和2﹣m ，则这个数是__． 解：根据题意知3m +4+2﹣m ＝0，解得：m ＝﹣3，所以这个数为（3m +4）2＝（﹣5）2＝25，故答案为25． 21、（2022春•如皋市校级月考）2a ﹣3与5﹣a 是同一个正数x 的平方根，则x ＝ ． 【解答】解：∵2a ﹣3与5﹣a 是同一个正数x 的平方根，∴2a ﹣3+5﹣a ＝0或2a ﹣3＝5﹣a ，解得：a ＝﹣2或a，则x ＝49或．故答案为：49或．22、（2022·四川成都·八年级期末）若a ，b 为实数，且1a ++（10﹣b ）2＝0，则a b +=_____．解：∵1a ++（10-b ）2=0，∴a +1=0，10-b =0，∴a =-1，b =10，∴a b +=110-+=3．故答案为：3． 23、（2022·湖南岳阳·八年级期末）若()21230a b c ++++-=，则a b c -+=______．解：由题意得：102030a b c +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得：1a =-，2b =-，3c =，所以1(2)34a b c -+=---+=，故答案为：4．24、（2022·湖南常德·八年级期末）若实数a 、b 满足等式()2240a b -+-=，且a b 、恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长为____________．解：22(4)0a b -+-=，20a ∴-=，40b -=，解得2a =，4b =， （1）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、4，不能组成三角形； （2）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、4、4，能组成三角形，周长为24410++=．故答案为：10． 25、（2022·江苏南京·八年级期末）如图，将五个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______．解：如下图，由剪拼可知，5个小正方形的面积之和等于拼成的一个大正方形的面积，∵55，∴5， ∴55三、解答题 26、解方程：（1）21690x -= (2)（x ﹣1）2﹣4＝0． （3）2（x ﹣1）2﹣18＝0． （4）2549(32)0x -+=． 【解析】（1）21690x -=2169x =1213,13x x ∴==-(2)（x ﹣1）2﹣4＝0移项得：()214x -=，∴12x -=或12x -=-，解得：3x =或-1．（3）∵2（x ﹣1）2﹣18＝0，∴（x ﹣1）2＝9，∴x ﹣1＝﹣3或x ﹣1＝3，解得：x ＝﹣2或x ＝4．（4）2549(32)0x -+=，整理得：29(32)54x +=，即2(32)6x +=，开平方得：326x +=±， 解得：x 36-± 27、（2022·湖南·衡阳市第十五中学八年级期末）已知2a +1的平方根是±3，5a +2b -2的算术平方根是4，求：3a -4b的平方根．解：根据题意得：2a +1=32=9，5a +2b -2=16∴a =4，b =-1，∴3a -4b =16，∴3a -4b 的平方根是164=±． 28、（2022春•工业园区校级月考）已知a ﹣1和5﹣2a 都是非负数m 的平方根，求m 的值． 佳佳的解题过程如下：解：∵a ﹣1和5﹣2a 都是非负数m 的平方根，∴a ﹣1+5﹣2a ＝0，解得a ＝4，∴a ﹣1＝3，∴m 的值为9．请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由． 【解答】解：佳佳的解题过程不正确，理由如下：∵a ﹣1和5﹣2a 是非负数m 的平方根，∴当a ﹣1+5﹣2a ＝0时，解得：a ＝4，∴a ﹣1＝3，∴m 的值为：9， 当a ﹣1＝5﹣2a ，解得：a ＝2，故m 的值为：1， 综上所述：m 的值为：1或9．29、（2022·湖南·张家界市永定区教育研究室八年级期末）已知1250x x y --+=． （1）求x 与y 的值；（2）求x +y 的算术平方根．【解析】（1）由题可得：10250x x y -=⎧⎨-+=⎩，解得：13x y =⎧⎨=⎩，∴1x =，3y =；（2）134x y +=+=，∵4的算术平方根为2，∴x y +的算术平方根为2．30、（2022·江苏无锡·22x y +-()23x y -+互为相反数，求()2x y +的平方根． 解：∵22x y +-()23x y -+互为相反数，∴22x y +-()23x y -+=0，∴2x+y =2，x-y =-3，解方程组223x y x y +=⎧⎨-=-⎩，得1383x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴221825339x y ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴()2x y +的平方根是53±．31、（2021秋•靖江市期中）（1）求式中x 的值：（2x ﹣1）2﹣25＝0． （2）已知，（x +y ﹣1）2＝0，求y ﹣2x 的平方根． 【解答】解：（1）方程整理得：（2x ﹣1）2＝25，∴2x ﹣1＝±5，2x ﹣1＝5或2x ﹣1＝﹣5，解得x ＝3或﹣2；（2）∵（x +y ﹣1）2＝0，而，x +y ﹣1≥0，∴，解得， ∴y ﹣2x ＝2+2＝4，∴y ﹣2x 的平方根是±2．32、（2022·江苏盐城·八年级期末）已知实数a 、b 、c 满足27(1)500a b c -+-+-=． (1)求a 、b 、c 的值；(2)判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，判别此三角形的形状，并求出三角形的面积；若不能，请说明理由． 【解析】(1)27(1)500a b c -+-+-=，70a ∴-=，2(1)0b -=，500c -=．7a ∴=，1b =，5052c ==．(2)∵1<7<50,1+7=8=5064>，∴以a 、b 、c 为边能构成三角形222a b c +=，即22271(25)50+==，∴根据勾股定理的逆定理得，以a 、b 、c 为边能构成直角三角形．直角边7a =，1b =， ∴直角三角形的面积11771222ab ==⨯⨯=．33、（2022·河南开封·七年级期末）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到如图（2）的大正方形．问题发现：若大正方形的面积为232cm ，则小正方形的面积是_______2cm ，边长为________cm ；知识迁移：某兴趣小组想将图（1）中的一个小正方形纸片，沿与边平行的方向剪裁出面积为212cm ，且长宽之比为3∶2的长方形纸片．兴趣小组能否剪裁出符合要求的长方形纸片？请说明理由．拓展延伸：如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．【答案】问题发现：小正方形的面积为162cm ，边长为4cm知识迁移：不能裁出符合要求的长方形纸片5【详解】问题发现：小正方形的面积为32216÷=2cm ，∴小正方形的边长为4cm ．故答案为：16；4．知识迁移：设长和宽分别为3x 、2x ，由题意得：3212x x ⋅=，整理得：22x =，∵实际问题x 为正数，∴2x =，∴长方形的长为332 5.194x =≈>，即裁剪后的长方形的长大于小正方形的边长，∴不能裁出符合要求的长方形纸片． 拓展延伸：能把它剪开并拼成一个大正方形，裁剪示意图如图所示：∵原图形的面积是5，∴裁剪后的正方形面积也是5，∴大正方形边长为5．。

苏教版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习平方根（基础）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】【389316 平方根，知识要点】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即2x a=,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；aa的算术平方根”，a叫做被开方数.要点诠释：a0，a≥0.2.平方根的定义如果2x a=，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a (a≥0)的平方根的符号表达为0)a≥是a的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质0 ||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩()()20a a a =≥ 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=.【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.因为25＝5，所以本说法正确；B.因为±1＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.因为±()24-＝±16＝±4，所以本说法错误；D.因为0±＝0，0＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（ ）（2）164=±．（ ）（3）21()10-的平方根是110±．（ ） （4）25--是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×，提示：（2）164=；（4）25是425的算术平方根． 2、 填空：（1）4-是 的负平方根．（2116表示 的算术平方根，116= ．（3）181的算术平方根为 ． （4）若3x =，则x = ，若23x =，则x = ．【思路点拨】（3）181就是181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)11;164(3)13 (4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化. 举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；提示：①④是正确的.【变式2】求下列各式的值：（1）325 （2）8136+（3）0.040.25- （4）40.36121⋅ 【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）6553、使代数式1x +有意义的x 的取值范围是______________．【答案】x ≥1-；【解析】x ＋1≥0，解得x ≥1-.【总结升华】当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0. 举一反三：【变式】（2016春•庐江县期末）已知()22230x y x y ++++=，求2x y -的平方根．【答案】解：， 解得，∴ 2x y -=1﹣2×（﹣2）=5，∴5的平方根是±．类型二、利用平方根解方程4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x值（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x﹣2）看成一个整体，移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，两边同时除以169，得1442x=169开平方，得x=（2）（x﹣2）2﹣36=0，移项，得（x﹣2）2=36开平方，得x﹣2=±6，解得：x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个．类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x，长为3x，由题意得，x·3x＝132332x＝1323x=±21x＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.。

4.1 平方根一．选择题1．（﹣2）2的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．2．实数a、b满足+4a2+4ab+b2=0，则b a的值为（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣3．若=2﹣a，则a的取值范围是（）A．a=2 B．a＞2 C．a≥2 D．a≤24．±3是9的（）A．平方根B．相反数C．绝对值D．算术平方根5．如果一个正数的平方根为2a+1和3a﹣11，则a=（）A．±1 B．1 C．2 D．96．下列等式正确的是（）A．B．C．D．7．一个正偶数的算术平方根是a，那么与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（）A．a+2 B．a2+2 C．D．8．已知a=，b=，则=（）A．2a B．ab C．a2b D．ab2二．填空题9．9的平方根是．10．对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下：，如：3*2==，那么7*（6*3）= ．11．若x，y为实数，且|x﹣2|+（y+1）2=0，则的值是．12．将一个长为2，宽为4的长方形通过分割拼成一个等面积的正方形，则该正方形的边长为．13．若（m+2）2+=0，则m﹣n= ．14．若x、y为实数，且|x+2|+=0，则（x+y）2016= ．15．已知一个正数的两个平方根分别为3a﹣4和12﹣5a，则a= ．16．如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积是．17．若x，y为实数，且|x+2|+=0，则（）2016= ．三．解答题18．已知：与互为相反数，求（x+y）2016的平方根．19．已知a，b满足+|b﹣2|=0，解关于x的方程（a+2）x+4b=2﹣a．20．已知、、（1）类比上述式子，写出第4个式子．（2）猜想第n个式子，并用字母表示出来．（3）证明（2）问中式子的正确性．参考答案一．选择题1．（2016•怀化）（﹣2）2的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【分析】直接利用有理数的乘方化简，进而利用平方根的定义得出答案．【解答】解：∵（﹣2）2=4，∴4的平方根是：±2．故选：C．【点评】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键．2．（2016•泰州）实数a、b满足+4a2+4ab+b2=0，则b a的值为（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣【分析】先根据完全平方公式整理，再根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：整理得，+（2a+b）2=0，所以，a+1=0，2a+b=0，解得a=﹣1，b=2，所以，b a=2﹣1=．故选B．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．3．（2016•山西模拟）若=2﹣a，则a的取值范围是（）A．a=2 B．a＞2 C．a≥2 D．a≤2【分析】根据二次根式的性质可得=|a|，再根据绝对值的性质进行计算即可．【解答】解：∵=|a﹣2|=2﹣a，∴a﹣2≤0，故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握绝对值的性质．4．（2016•高新区一模）±3是9的（）A．平方根B．相反数C．绝对值D．算术平方根【分析】根据平方根的定义，即可解答．【解答】解：∵（±3）2=9，∴±3是9的平方根，故选；A．【点评】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义．5．（2016•古冶区二模）如果一个正数的平方根为2a+1和3a﹣11，则a=（）A．±1 B．1 C．2 D．9【分析】根据一个正数的平方根有2个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到a 的值．【解答】解：根据题意得：2a+1+3a﹣11=0，移项合并得：5a=10，解得：a=2，故选C【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．6．（2016•南开区校级模拟）下列等式正确的是（）A．B．C．D．【分析】A、根据算术平方根的定义即可判定；B、根据负数没有平方根即可判定；C、根据立方根的定义即可判定；D、根据算术平方根的管道定义算术平方根为非负数，负数没有平方根．【解答】解：A、，故选项A错误；B、由于负数没有平方根，故选项B错误；C、，故选项C错误；D、，故选项正确．故答案选D．【点评】本题所考查的是对算术平方根的正确理解和运用，要求学生对于这些基本知识比较熟练．7．（2016•张家口一模）一个正偶数的算术平方根是a，那么与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（）A．a+2 B．a2+2 C．D．【分析】根据乘方运算，可得被开方数，根据相邻偶数间的关系，可得被开方数，根据开方运算，可得答案．【解答】解：由题意，得正偶数是a2，下一个偶数是（a2+2），与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是，故选：C．【点评】本题考查了算术平方根，利用了乘方运算，开方运算．8．（2016•河北模拟）已知a=，b=，则=（）A．2a B．ab C．a2b D．ab2【分析】将18写成2×3×3，然后根据算术平方根的定义解答即可．【解答】解：==××=a•b•b=ab2．故选D．【点评】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，难点在于对18的分解因数．二．填空题（共13小题）9．（2016•徐州）9的平方根是±3 ．【分析】直接利用平方根的定义计算即可．【解答】解：∵±3的平方是9，∴9的平方根是±3．故答案为：±3．【点评】此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．10．对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下：，如：3*2==，那么7*（6*3）= ．【分析】求出6*3=1，再求出7*1即可．【解答】解：∵6*3==1，∴7*1==，即7*（6*3）=，故答案为：．【点评】本题考查了对算术平方根的应用，主要考查学生的计算能力和理解能力．11．若x，y为实数，且|x﹣2|+（y+1）2=0，则的值是．【分析】先根据非负数的性质求出x，y的值，再根据算术平方根即可解答．【解答】解：∵|x﹣2|+（y+1）2=0，∴x﹣2=0，y+1=0，∴x=2，y=﹣1，∴，故答案为：．【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是先根据非负数的性质求出x，y的值．12．将一个长为2，宽为4的长方形通过分割拼成一个等面积的正方形，则该正方形的边长为2．【分析】先计算出长方形的面积，再根据算术平方根即可解答．【解答】解：长方形的面积为：2×4=8，则正方形的面积也为8，所以正方形的边长为：，故答案为：2．【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根．13．若（m+2）2+=0，则m﹣n= ﹣3 ．【分析】根据非负数的性质，可列方程求出m、n的值，再代值计算即可．【解答】解：根据题意得：m+2=0，n﹣1=0，∴m=﹣2，n=1，∴m﹣n=﹣2﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．14．若x、y为实数，且|x+2|+=0，则（x+y）2016= 1 ．【分析】根据绝对值与算术平方根的和为零，可得绝对值与算术平方根同时为零，可得x、y的值，再根据负数的奇数次幂是负数，可得答案．【解答】解：∵|x+2|+=0，∴x+2=0，y﹣3=0，∴x=﹣2，y=3，∴（x+y）2016=1．故答案为：1．【点评】本题考查了非负数的性质，利用绝对值与算术平方根的和为零得出绝对值与算术平方根同时为零是解题关键，注意负数的奇数次幂是负数．15．已知一个正数的两个平方根分别为3a﹣4和12﹣5a，则a= 4 ．【分析】先依据平方根的性质列出关于a的方程，从而可求得a的值．【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别为3a﹣4和12﹣5a，∴3a﹣4+12﹣5a=0．解得：a=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查的是平方根的性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．16．如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积是2﹣2．．【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算．【解答】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2，∴两个正方形的边长分别是，2，∴阴影部分的面积=（2+）×2﹣2﹣4=2﹣2．故答案为2﹣2．【点评】此题要能够由正方形的面积表示出正方形的边长，再进一步表示矩形的长．17．若x，y为实数，且|x+2|+=0，则（）2016= 1 ．【分析】根先根据非负数的性质求出x、y的值，再代入代数式进行计算即可．【解答】解：∵|x+2|+=0，∴x+2=0，y﹣2=0，∴x=﹣2，y=2，∴（）2016=1，故答案为：1．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知当几个数或式的偶次方或绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解答此题的关键．三．解答题（共2小题）18．已知：与互为相反数，求（x+y）2016的平方根．【分析】根据相反数的性质列出算式，根据非负数的性质列出二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，根据平方根的概念解答即可．【解答】解：由已知可得：+=0，则，解得，，∴（x+y）2016=1，∴（x+y）2016的平方根是±1．【点评】本题考查的是非负数的性质、二元一次方程组的解法，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．19．已知a，b满足+|b﹣2|=0，解关于x的方程（a+2）x+4b=2﹣a．【分析】根据非负数的性质得出ab的值，代入方程（a+2）x+4b=2﹣a求解即可．【解答】解：由题意得2a﹣4=0，b﹣2=0，解得a=2，b=2．所以4x+8=0，解得x=﹣2．【点评】本题考查了非负数的性质以及解一元一次方程，求得a与b的值是解题的关键．20．已知、、（1）类比上述式子，写出第4个式子．（2）猜想第n个式子，并用字母表示出来。

苏科版数学八年级上册《平方根与算数平方根》典型例题 重难点易错点辨析
的平方根是 ．
考点：平方根与算术平方根
题二：已知()b c 2490++-=，求
考点：算术平方根的非负性
金题精讲
的平方根是 ． 考点：算术平方根
题二：已知实数a 满足a a 2014-+，则a 22014-= ． 考点：非负性
题三：一个数的平方根分别是5a +3和2a
3，则这个数为 ． 考点：平方根的性质
题四： 1.162,
3.674≈≈，
考点：平方根的性质
思维拓展
题一：解方程：()x 221171--=．
考点：特殊的一元二次方程
平方根与算术平方根
讲义参考答案
重难点易错点辨析
题一：±2．题二：5．
金题精讲
题一：±2．题二：2015．题三：9．题四：367.4，±0.1162．
思维拓展
题一：7，5．。

七年级数学《平方根》典型例题及练习【知识要点】1、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式），2、算术平方根：3、平方根的性质：（1）一个正数有 个平方根，它们 ；（2）0 平方根，它是 ；（3） 没有平方根．4、重要公式：（1）=2)(a （2）{==a a 25、平方表：1.正数有_____________个立方根, 0有__________个立方根,负数有__________个立方根,立方根也叫做_______________.2.一个正方体的棱长扩大3倍,则它的体积扩大_____________.3.若一个数的立方根等于数的算术平方根,则这个数是_____________.4. 0的立方根是___________.(-1)2005的立方根是______________.182726的立方根是________. 5. 312726-=____________. 【典型例题】例1、判断下列说法正确的个数为（ ）① -5是-25的算术平方根；② 6是()26-的算术平方根；③ 0的算术平方根是0；④ 0.01是0.1的算术平方根；⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根．A ．0 个B ．1个C ．2个D ．3个例2、36的平方根是（ ）A 、6B 、6±C 、 6D 、 6±例3、下列各式中，哪些有意义？（1）5 （2）2- （3）4- （4）2)3(- （5）310-例4、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ）A ．()1+aB ．()1+±aC ．12+aD ．12+±a例5、求下列各式中的x ：（1）0252=-x （2）4(x+1)2-169=0【巩固练习】一、选择题1． 9的算术平方根是（ ）A ．-3B ．3C ．±3D ．812．下列计算正确的是（ ）A±2 B636=± D.992-=-3．下列说法中正确的是（ ）A ．9的平方根是3 B24． 64的平方根是（ ）A ．±8B ．±4C ．±2D 5． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ）A ．4B ．18C ．-14D ．146．下列结论正确的是（ ） A 6)6(2-=-- B 9)3(2=- C 16)16(2±=- D 251625162=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--7．以下语句及写成式子正确的是（ ）A 、7是49的算术平方根，即749±=B 、7是2)7(-的平方根，即7)7(2=-C 、7±是49的平方根，即749=±D 、7±是49的平方根，即749±=8．下列语句中正确的是（ ）A 、9-的平方根是3-B 、9的平方根是3C 、 9的算术平方根是3±D 、9的算术平方根是39．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根；(4)9的平方根是3，其中正确的有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．4个10．下列语句中正确的是（ ）A 、任意算术平方根是正数B 、只有正数才有算术平方根C 、∵3的平方是9，∴9的平方根是3D 、1-是1的平方根11．下列说法正确的是（ ）A ．任何数的平方根都有两个B ．只有正数才有平方根C ．一个正数的平方根的平方仍是这个数D ．2a 的平方根是a ±12．下列叙述中正确的是（ ）A ．（-11）2的算术平方根是±11B ．大于零而小于1的数的算术平方根比原数大C ．大于零而小于1的数的平方根比原数大D ．任何一个非负数的平方根都是非负数13．25的平方根是（ ）A 、5B 、5-C 、5±D 、5±14．36的平方根是（ ）A 、6B 、6±C 、 6D 、 6±15．当≥m 0时，m 表示（ ）A ．m 的平方根B ．一个有理数C ．m 的算术平方根D ．一个正数 16．用数学式子表示“169的平方根是43±”应是（ ）A ．43169±=B ．43169±=±C ．43169=D ．43169-=-17．算术平方根等于它本身的数是（ ）A 、 1和0B 、0C 、1D 、 1±和0.如果一个数的平方根与立方根是同一个数,那么这个偶数是( )A. 8B. 4C. 0D. 1618．0196.0的算术平方根是（ ）A 、14.0B 、014.0C 、14.0±D 、014.0±19．2)6(-的平方根是（ ）A 、－6B 、36C 、±6D 、±6 20．下列各数有平方根的个数是（ ）（1）5； （2）（-4）2； （3）-22； （4）0； （5）-a 2； （6）π； （7）-a 2-1A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 21．2)5(-的平方根是（ ）A 、 5±B 、 5C 、5-D 、5±22．下列说法错误的是（ ）A. 1的平方根是1B. –1的立方根是－1C.2是2的平方根 D. –3是2)3(-的平方根 23．下列命题正确的是（ ）A ．49.0的平方根是0.7B ．0.7是49.0的平方根C ．0.7是49.0的算术平方根D ．0.7是49.0的运算结果24．若数a 在数轴上对应的点的位置在原点的左侧，则下列各式中有意义的是（ ）A ．aB ．a -C ．2a -D ．3a26．下列各式中，正确的是（ ） A. 2)2(2-=- B. 9)3(2=- C. 39±=± D. 393-=-27．下列各式中正确的是（ ）A ．12)12(2-=-B ．6218=⨯C ．12)12(2±=-D ．12)12(2=-±28.若a 、b 为实数，且471122++-+-=a a a b ，则b a +的值为（ ） (A) 1± (B) 4 (C) 3或5 (D) 529.若9,422==b a ，且0<ab ，则b a -的值为 （ ）(A) 2- (B) 5± (C) 5 (D) 5-30．已知一个正方形的边长为a ，面积为S ，则（ ） A.a S = B.S 的平方根是a C.a 是S 的算术平方根 D.S a ±=31. 若a 和a -都有意义，则a 的值是（ ）A.0≥aB.0≤aC.0=aD.0≠a 32.22)4(+x 的算术平方根是（ ）A 、 42)4(+xB 、22)4(+xC 、42+xD 、42+x33．2)5(-的平方根是（ ）A 、 5±B 、 5C 、5-D 、5±34.下列各式中，正确的是（ ） A. 2)2(2-=- B. 9)3(2=- C. 39±=± D. 393-=-35．下列各式中正确的是（ ）A ．12)12(2-=-B ．6218=⨯C ．12)12(2±=-D ．12)12(2=-±36.下列各组数中互为相反数的是（ ）A 、2)2(2--与B 、382--与C 、2)2(2-与D 、22与- 二、填空题：1．如果x 的平方等于a ，那么x 就是a 的 ，所以的平方根是2．非负数a 的平方根表示为3．因为没有什么数的平方会等于 ，所以负数没有平方根，因此被开方数一定是4_______；9的平方根是_______．5的平方根是 ，25的平方根记作 ，结果是6．非负的平方根叫 平方根7．2)8(-= ， 2)8(= 。

《平方根》教学设计[课题名称]苏科版数学八年级上册第四章第一节《平方根》第一课时。

[教材简解]本节教材是学生在七年级上册学习“棋盘上的故事”认识了运算“乘方”，并能熟练计算任何一个数的平方。

在这节内容的学习中要认识学习平方根，学习平方根的概念及其运用。

并对“乘方”和“开方”、“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导——探索——类比——发现”中发展学习数学的能力。

对平方根的性质，教材是考虑学生的年龄特征，先通过“探究”中的具体问题，让学生根据平方根的意义，举例讨论分析类比得出结果，再分析结果的共同特征，由特殊到一般地归纳出结论。

因此学生必须了解平方根的性质产生的背景，经历性质的探索过程、理解、掌握基本技能；同时也力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。

[目标预设]1、培养学生的逻辑分析能力。

使学生理解经历数的平方根的概念形成过程，，能运用根号表示一个数的平方根；让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学知识的应用能力，使学生能把本节课知识与先前已学经验、知识建立联系，更好地分析问题，使知识系统化。

2、培养学生的综合转化能力。

掌握用平方运算求某些数的平方根的方法。

通过学生利用利用观察、归纳、类比、概括、推理等多种综合分析手段，从而由特殊到一般地探究出平方根性质，提高处理实际问题的能力。

3、培育学生合作交流的能力。

通过了解乘方与开方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的平方根，让学生利用已经具有的合作学习的经验，感受到创造性活动带来的愉快，体会真正的数学美，增强相互间的合作与交流，培养的数学情感。

[重点难点]1、重点：平方根的概念，会用根号表示一个非负数的平方根。

2、难点：学会理解归纳平方根的性质，并能运用开平方运算求一个非负数的平方根。

[设计思路]本小节安排两课时，第一课时：在具体的例子中抽象出数的平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根，发展学生的抽象概括能力。

先通过对乘方的意义到总结出平方根的基本概念，然后解决单纯数或者式子的平方根的计算；第二课时，归纳类比得到算术平方根的概念和基本性质并解决一些简单的现实问题。

《苏科版八年级数学》4.1 平方根[教材简解]“平方根”是苏科版数学八年级上册第4章“实数”的第一节内容。

由于实际计算中需要引入无理数，使数的范围从有理数扩充到了实数，完成了初中阶段数的扩展。

运算方面，在乘方的基础上以引入了开方运算，使代数运算得以完善.因此，本节课是今后学习根式运算、方程、函数等知识的重要基础.[目标预设]知识技能1.了解平方根的概念，会用符号表示一个正数的平方根；2.了解平方与开平方的关系，会用平方根运算求某些非负数的平方根．数学思考1.通过学习平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维.2.经历观察、归纳等数学活动过程，发展学生的合作精神和有条理的思考和探究能力．3.加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平解决问题初步学会从实际问题入手，尝试从数学的角度理解问题，并运用所学的知识和技能解决问题，进一步发展学生的应用意识.情感态度通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，渗透数学知识来源于生活，又要为生活服务的观点.[重点、难点]重点：平方根的概念，能熟练地用平方根求某些非负数的平方根．难点：用平方根运算求某些非负数的平方根．[设计理念]1.根据教材内容结合八年级学生的认知特点，力图改变学生的学习方式，教师引导学生主动地从事观察、交流、反思等数学活动，采用边启发、边分析、层层设疑、讲练结合的教学方式，鼓励学生自主探索与合作交流，使学生始终能主动地参与学习，成为学习的主人.2.关注学生的情感与态度，实施开放性教学，让学生获得成功的体验.[设计思路]导入：创设情景，引入新课，即实现“数学生活化、生活数学化”.举例子：平方等于9，100的数，为下面的学习做准备.新课学习：引导学生结合例子，学习平方根的概念，及符号表示方法 ，归纳性质，通过练习巩固知识点.小结： 归纳小结解题思路与方法.[教学过程]一、情境引入问题：若等腰直角三角形的腰长为1，则它的斜边长 是多少呢？学生复习回顾勾股定理进行计算，设AB=x ,由勾股定理可知,x ²＝1²＋1²＝2，发现问题x ＝？设计意图：以熟悉问题为情境，从实际问题出发，让学生x ²＝2发现x 用现有的知识是不能准确表示出来的，介绍第一次数学危机，激发学生对问题的兴趣，这样顺利成章的引出本课的概念平方根.二、探索活动活动1：在括号里填上合适的数：()()()() 251 4 16 3 100 2 9 12222====）（，）（，）（，）（定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也称为二次方根．如果x 2＝a ，那么x 就叫做a 的平方根，也称为二次方根．设计意图：先让学生填空，什么数的平方等于9，100等，引入平方根，什么数的平方等于16，反之，16的平方根就是多少，同时渗透开方与乘方互为逆运算.归纳：一个正数的平方根有2个，它们互为相反数．一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“－a ”．这两个平方根合起来记作“±a ”，读作“正、负根号a ”活动2：1．一个数的平方等于0，这个数是多少？2．在下列括号中，你能填写适当的数使等式成立吗？如果不能，请说明理由.（ ）2＝4， （ ）2＝169 ，（ ）2＝7， （ ）2＝0， （ ）2＝-1，（ ）2＝－9．3．通过上面的交流，你又有什么发现？设计意图：利用平方根的定义求平方根，先让学生填空，让学生通过例子自己去归纳总结平方根的求法和正数、零、负数的平方根的情况，理解负数没有平方根.总结：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根!练习：判断下列说法是否正确：（1）-2是4的平方根； ( )(2)4的平方根是-2 ； ( )(3)（-5）2的平方根是±5；（ ）（4）2表示2的正的平方根 ； （ ）（5）2的平方等于2 ； （ ）（6）-a 没有平方根. ( )活动3：例题教学例1 求下列各数的平方根．（1）25；（2）1681 ；（3）15；（4）0.09． 设计意图：巩固平方根的定义，让学生首先判断这些数是否都有平方根，根据规律各个数的平方根有几个？通过例题教学示范和学生自己动手解题，体验成功的喜悦．练习：1．写出下列各数的平方根．81， 3， 0，1.44， 0.81 ,412．2．求下列各式中的x ．(1) x ²＝36 ； (2) x ²＝15 .学生先独立思考，再与同学交流，后请学生上黑板展示．设计意图：结合学生的表述，让学生明白每一步运算的算理，并进行自我评价和修正.理解平方与开平方互为逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根．巩固提升1.下列说法正确的是（ ）（将序号写在括号里）①3是3的平方根；②25的平方根是-5；③0的平方根是0；④1的平方根是1；⑤16 =±4；⑥（-3）2平方根是±3；⑦5是（-5）2的平方根；⑧3的平方根是±9；⑨±4 是 16 的平方根；⑩7是 35 的平方根.2.填空：（1）7的平方根是；（2）一个数有一个平方根是-7，则它的另一个平方根是，这个数是；（3）4a+1的平方根是±5，则a= ；（4）要使x-5有平方根，则x的取值是 .3.求下列各式中的x．(1) x²＝64 ；（2）（x+1）²=9 .设计意图：鼓励学生独立完成，检测本节课所学知识的掌握情况，以便补差补缺.思维拓展：一个数m它的平方根分别是n+1和n-3，求m、n的值设计意图：满足学生的不同需要和发展.三、小结回顾1．我今天的收获有：2．我还有一些疑问：设计意图：鼓励学生自己总结本课所学的内容，充分体现了以学生为主体的教学理念，从而带给学生学习数学的快乐．四、布置作业课堂作业：课本 P97习题4.1第1、3；课后作业：1.必做《伴你学》随堂练习部分；学有余力的学生完成迁移应用.2.预习平方根第二课时，自学教材，并试着做一做课后练习.设计意图：作业分层布置，考虑到学生的差异性，让每个学生都有事做，都能体会到成功.。

平方根（1）教学设计1、课题：八年级数学平方根2、教材简解“平方根”是苏科版八年级数学第四章第一节内容。

由于勾股定理计算中需要引入无理数，使数的范围从有理数扩充到实数。

因此，本课是今后学习二次根式、方程、函数等知识的重要基础。

3、目标预设（一）知识目标（1）了解平方根的概念和性质，理解一个数平方根的意义。

（2）学会平方根的表示法，能正确的求出一非负数的平方根，并运用以上知识解决实际问题。

（3）通过学习平方和开平方运算是互为逆运算，体验各事物间的对立统一的辩证关系，激发学生探索数学奥秘的兴趣。

（二）能力目标（1）加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平。

（2）训练学生动脑、动口、动手能力。

（3）提倡学生进行自主学习，并能与同学交流与合作，变被动学习为主动探索。

（三）情感目标（1）让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲。

（2）鼓励学生进行探索和交流，通过学生在学习中互相帮助、相互合作，培养他们的合作意识和探索精神。

4、重点（1）了解平方根的概念、性质和求法。

（2）运用所学的平方根知识解决实际问题。

难点（1）平方根的概念和平方根的表示方法。

（2）运用所学的平方根知识解决实际问题。

5、设计理念本着以人为本的教育理念，本节课应主要采用探究式和启发式的教学方法。

以求发展学生的个性特长，让学生学会学习，培养学生可持续发展的学习能力。

6、设计思路数学是人们对客观世界的定性把握和刻画，是一个由具体到抽象、概括，最后形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。

义务教育阶段的数学课程，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学概念并进行解释与应用，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进一步的发展。

7、教学过程教师活动学生活动活动思路创设情境情境一：设图中的小方格的边长为1，你能分别说出图中2个长方形的对角线AB，A′B′的长吗？积极思考，大胆发言。

激发学生的学习兴趣，促进学生对问题进行思考。

期末复习（9）：平方根、立方根、实数一、知识点：1、如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的 ，即如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作x= ，其中a 0.2、平方根的性质：⑴任何一个正数 ⑵零的平方根 ⑶负数3、算术平方根的概念。

4、如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的 ，即如果x 3=a ，则 x= .5、立方根的性质：⑴任何一个正数有 个立方根，是 数⑵零有 个立方根，是 ⑶任何一个负数有 个立方根，是 数。

6、无限不循环小数叫做 数。

7、 和 统称为实数。

8、实数的两种分类方式。

实数 实数9、 和数轴上的点一一对应。

10、近似数与有效数字的定义。

二、基础训练:1、如果x 2=9，则x= ，81的平方根是 ，算术平方根是 。

2、64-的立方根是 ，36464+-= ；3、 算术平方根等于它本身的数是 ；平方根等于本身的数有________；立方根等于它本身的数是 ．4、下列各数中：－3，14，0，32，364，0.31，227，2π，2.161 161 161…，是无理数的是___________________________．5、比较大小：-6 7-，π 3.14；6、当m 时，4m -有意义，当m 时，33m -有意义，7、大于3小于7的整数是 ；写出一个3到4之间的无理数 。

8、（06北京）若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 ． 9、2.40万精确到__________位，有效数字有__________个. 三、典型例题例1.下列说法中正确的是（ ）。

（A ）无理数是无限小数； （B ）无限小数是无理数； （C ）数轴上的点与无理数一一对应；（D ）无理数可分为正无理数、0和负无理数。

例2.小强量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米,宽为46厘米,则这台电视机的尺寸是(实际测量的误差可不计) ( )A. 9英寸(23厘米)B. 21英寸(54厘米)C. 29英寸(74厘米)D. 34英寸(87厘米)例3.全世界人民踊跃为四川汶川灾区人民捐款，到6月3日止各地共捐款约423.64亿元，用科学记数法表示捐款数约为__________元．（保留两个有效数字） 例4. 数的平方根为3a+1，2a-6，则该数是 . 例5.下列计算中正确的有 个。

苏科版初二数学上册平方根练习题（带答案）苏科版初二数学上册平方根练习题（带答案）练习反馈 1.下列语句正确的是（） A.一个数的平方根一定是两个数 B.一个非负数的非负平方根一定是它的算术平方根 C.一个正数的平方根一定是它的算术平方根 D.一个非零的正的平方根是它的算术平方根 2.若有意义，则a能取的最小整数为（）. A.0 B.1 C.－1 D.－4 3.若，则x+y 的值是（）. A.-2 B.-3 C.-4 D.无法确定 4.一个数的算术平方根只要存在，那么这个算术平方根（）. A.只有一个，并且是正数 B.不可能等于零 C.一定小于这个数 D.必定是非负数 5.若a是有理数，下列说法正确的是（）. A. a2的算术平方根是a B. a2的平方根是a C. a2的算术平方根是�Oa�O D. a2的平方根是�Oa�O 6.一个数如果有两个平方根，那么这两个平方根的和是（）. A.大于0 B..等于0 C.小于0 D.大于或等于0 7.若a≥0,则4a2的算术平方根是（）. A.2a B.±2a C. D.�O2a�O 8. 的算术平方根是（）. A.4 B.±4 C.2 D.±2 9.25的平方根记作，结果是 . 10.361的平方根是，64的算术平方根是。

11.（-4）2的算术平方根是。

12.-9是数a的一个平方根，那么数a的另一个平方根是，数a是。

13.若，则y= . 14.求下列各式的值：⑴ = ⑵ = ⑶ = . ⑷ = ⑸ = ⑹ = . 15.求下列各式中的x. ⑴若x2=49,则x= . ⑵若４(x-1)2=25,则x= . ⑶若９(x2+1)=10,则x= . ⑷若 =3，则x= . 16.求下列各数的平方根和算术平方根。

⑴�O－1�O⑵1452-1442⑶4.9×103 ⑷a2(a＞0)17.计算. ⑴ ⑵⑶拓展提高 18.已知与互为相反数，求（x-y）2的平方根。

平方根与立方根有疑问的题目请发在“51加速度学习网”上，让我们来为你解答（ ）51加速度学习网 整理一、知识回顾1、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。

把a x +=叫做x 的算术平方根。

① 当0=a 时，它的平方根只有一个，也就是0本身；② 当0>a 时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。

③ 当0<a 时，也即a 为负数时，它不存在平方根。

2立方根：如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。

记做：3a ，读作，3次根号a 。

注意：这里的3表示的是开根的次数。

一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。

3、平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。

二、典型例题例1：下列语句中，正确的是（ ）A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数B ．负数没有立方根C ．一个实数的立方根不是正数就是负数D ．立方根是这个数本身的数共有三个分析：根据平方根、立方根的定义即可判定；解答：A 、一个非负数的平方根有两个，它们互为相反数，故选项A 错误；B 、负数有立方根，故选项B 错误，C 、一个数的立方根不是正数可能是负数，还可能是0，故选项C 错误，D 、立方根是这个数本身的数共有三个，0，1，-1，故D 正确．故选D ．例2：下列说法正确的是（ ）A ．-2是（-2）2的算术平方根B ．3是-9的算术平方根C ．16的平方根是±4D ．27的立方根是±3分析：根据算术平方根的定义、平方根的定义、立方根的定义即可判定．解答：A 、一个数的算术平方根为正，故选项A 错误；B 、负数没有平方根，故选项B 错误；C 、16的平方根是±4，故选项正确；D 、立方根的符号和本身的符号相同，即立方根只有一个根，故选项D 错误．故选C ．例3： 求下列各数的算术平方根（1）64；（2）2)3(-；（3）49151. 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数.解答：（1）因为6482=，所以64的算术平方根是8，即864=；（2）因为93)3(22==-，所以2)3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-； （3）因为496449151=，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是78，即7849151=. 注意：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2)3(-的算术平方根是3，而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似74149161=的错误. 例4：求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；259表示259的算术平方根，故其结果是正数；2)4(-表示2)4(-的算术平方根，故其结果必为正数.解答：（1）因为8192=，所以±81=±9.（2）因为1642=，所以－416-=.（3）因为253⎪⎭⎫ ⎝⎛=259，所以259=53. （4）因为22)4(4-=，所以4)4(2=-.例5：已知|x-2|+3y +，则 点P （x ，y ）在直角坐标系中（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限分析：根据非负数的性质列式求出x 、y 的值，从而得到点P 的坐标，再根据坐标位置的确定即可解答．解答：根据题意得，x-2=0，y+3=0，解得x=2，y=-3，∴点P 的坐标是（2，-3），∴点P 位于第四象限．故选D ．例6：（2012•宁波）已知实数x ，y 满足2x -2=0，则x-y 等于（ ） A ．3B ．-3C ．1D ．-1分析：根据非负数的性质列式求出x 、y 的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 解答：根据题意得，x-2=0，y+1=0，解得x=2，y=-1，所以，x-y=2-（-1）=2+1=3．故选A ．例7：下列说法中正确的是（ ）A ．4是8的算术平方根B ．16的平方根是4C 6是6的平方根D ．-a 没有平方根分析：如果一个数x2=a （a ≥0），那么x 就是a 的一个平方根．根据定义知道一个非负数的平方根有两个，它们互为相反数．解答：A 、∵4是16的算术平方根，故选项A 错误；B 、∵16的平方根是±4，故选项B 错误；C 、∵ 6 是6的一个平方根，故选项C 正确；D 、当a ≤0时，-a 也有平方根，故选项D 错误．故选C ．例8：计算（1）64的立方根是（2）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。

初中数学平方根习题精选含答案13.1平方根习题精选班级：姓名：学号1．正数a的平方根是( )A． B．± C．?D．±a2．下列五个命题：①只有正数才有平方根；②?2是4的平方根；③5的平方根是；④±都是3的平方根；⑤(?2)2的平方根是?2；其中正确的命题是( )A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④3．若= 2.291，= 7.246，那么= ( )A．22.91 B． 72.46 C．229.1 D．724.64．一个自然数的算术平方根是a，则下一个自然数的算术平方根是( )A．a+1 B．a2+1 C．+1 D．5．下列命题中，正确的个数有( )①1的平方根是1 ；②1是1的算术平方根；③(?1)2的平方根是?1；④0的算术平方根是它本身A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．若= 2.449，= 7.746，= 244.9，= 0.7746，则x、y的值分别为( )A．x = 60000，y = 0.6 B．x = 600，y = 0.6C．x = 6000，y = 0.06 D．x = 60000，y = 0.06二、填空题1．①若m的平方根是±3，则m =______；②若5x+4的平方根是±1，则x =______2．要做一个面积为π米2的圆形桌面，那么它的半径应该是______3．在下列各数中，?2，(?3)2，?32，，?(?1)，有平方根的数的个数为：______4．在?和之间的整数是____________5．若的算术平方根是3，则a =________三、求解题1．求下列各式中x的值①x2 = 361；②81x2?49 = 0；③49(x2+1) = 50；④(3x?1)2 = (?5)22．小刚同学的房间地板面积为16米2，恰好由64块正方形的地板砖铺成，求每块地板砖的边长是多少？第十二章：数的开方 (一)1、如果一个数的等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，正数的平方根有个，它们的关系是，0的平方根是，负数。

第4章 实数4.1 平方根 课程标准 课标解读 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 1.了解平方根、算术平方根的概念，会表示一个数的平方根、算术平方根 2.会求一个非负数的平方根、算术平方根知识点01 平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.【微点拨】当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.【即学即练1】1．下列说法正确的是（ ）A ．9的平方根是3B ．算术平方根等于它本身的数一定是1C ．－2是4的平方根D ．16的算术平方根是4知识点02 平方根的性质x a 2x a =x a a a a a 2x a =x a a a a (0)a a ±≥a a a a a a 目标导航知识精讲【微点拨】（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.【即学即练2】2．有理数14的算术平方根是（ ）A ．7B ．14C ．14D ．14- 知识点03 平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.【即学即练3】3．已知 1.7201 1.311=，17.201 4.147=，那么0.0017201＝（ ）A ．0.04147B ．0.4147C ．0.01311D ．0.1311考法01 平方根和算术平方根的区别和联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．【典例1】下列命题错误的是（ ）A ．4是16的算术平方根B ．2是4的一个平方根C ．平方根等于它本身的数是0D ．114的算术平方根是112考法02 求一个数的平方根20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()()20aa a =≥62500250=62525= 6.25 2.5=0.06250.25=a ±a 能力拓展如何手算求-一个数的平方根：述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下: 1.将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为-段，用撇号分开(竖式中的11'56)，分成几段，表示所求平方根是几位数;2.根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位.上的数(竖式中的3);3.从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256);4.把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数,所得的最大整数作为试商(3x20除256，所得的最大整数是4，即试商是4);5.用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商，如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数;如果所得的积大于余数，就把试商减小再试(竖式中(20*3+4)x4= 256，说明试商4就是平方根的第二位数);【典例2】16的算术平方根是( )A．4B．-4C．4±D．8题组A 基础过关练1．化简4的结果为（）A ．2±B．2C．4D．162．下列说法中，正确的是（）A．0没有平方根B．1的算术平方根是±1C．4的平方根2±D．136的平方根是163．81的平方根是（）A．3±B．3C．9±D．9 4．3的算术平方根是（）A．3B．3C．3±D．9 5．实数8的平方根是（）A．2B．22±C．2±D．26．116的算术平方根是（）分层提分A ．14 B ．14- C ．14± D ．4±7．若一个数的平方等于9，则这个数等于（ ）A ．3±B ．3C ．81±D ．81题组B 能力提升练1．已知21a -与2a -+是一个正数的平方根，则这个正数的值是（ ） A ．1或9 B ．3 C ．1 D ．812．已知三角形的三边长a 、b 、c 满足2(a ＋ |c ＝0，则三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 3．下列各数没有平方根的是（ ）A ．﹣3B ．0C ．2D ．5 4．下列命题是真命题的是（ ）A ．同位角相等B ．算术平方根等于自身的数只有1C ．直角三角形的两锐角互余D ．如果22a b =，那么a b =5224)y -（互为相反数，则y x =____．6．方程()2116x +=的根是__________．7．已知31n n <<+，则整数n =________．题组C 培优拔尖练1．若整数x 满足，则x 的值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11 2．一个自然数的一个平方根是a ，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（ ）A ．B ．1a +C ．21a +D ．3的最小整数n 的值是( )A ．48B ．49C ．50D ．514．若ABC 的三边a 、b 、c 满足2(3)50a c --=，则ABC 的面积是（ ）A ．3B ．6C ．12D ．10 5．下列说法中正确的有（ ）个①同位角相等；①三角形的内角和是180º；①3-；①如果a²=b²，那么a=b ． A ．1 B ．2C ．3D ．4 6．在下列各式中正确的是（ ）A 3=-B ．2=C 8=D 3= 7．下列说法中，正确的是 （ ）A ．64的平方根是8B 4和－4C ．()23-没有平方根D ．4的平方根是2和－2。

专题24算术平方根的整数部分和小数部分1．已知2222431849,441936,452025,462116 ．若n为整数且1n n ，则n 的值为（）A ．43B ．44C ．45D ．462．已知a ，b2a ﹣b 的值为______．3．a 的整数部分，b 的立方根为-2，则a+b 的值为________．∴a+b=-8+3=-5.故答案是：-5.4．如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为a ，则2a 的整数部分为________．三、解答题(共0分)5．已知：21a 的算术平方根是3，31b 的立方根是2 ，c23a b c 的值．∴5c ，∴2325(3)358a b c ．【点睛】本题考查了算数平方根，立方根定义，估算无理数大小，能正确求出a 、b 、c 的值是解题的关键．6＝3，3a ﹣b +1的平方根是±4，c a +b +2c 的平方根．7．设的整数部分和小数部分分别是x 、y ，试求x 、y 的值与x-1的算术平方根．8．已知a﹣4的立方根是1，3a﹣b﹣2的算术平方根是3c，求2a﹣3b+c的平方根．9．阅读并解答下列问题，例如：∵， 2，小数部分23为2)．请解答：的整数部分是_______，小数部分是_______．(2)已知：9m，9小数部分是n，请求出m+n的值．10．已知7和7ab a b的值.11的整数部分为x，小数部分为y，（1）求x、y的值；（2）求21x y的值．12．已知21a 的平方根是3 ，310a b 的立方根是3，m 是a b 的算术平方根．（1）填空：a=、b=、m =．（2）若m 的整数部分是x ，小数部分是y ，求 2y x 的值13．已知24a 的立方根是2，31a b 的算术平方根是3c．（1）分别求出a ，b ，c 的值；（2）求21c ac bc +++的平方根．14小数部分我们不可能全部写出来，而12 1请解答下列问题：的整数部分是______，小数部分是______；(2)如果3的小数部分为a，5 b ，求a1511的小数部分．根据小丽的方法请完成下列问题：（1__________，小数部分为__________．（2的整数部分a，8b，求a b 的立方根．16．观察下边图形，每个小正方形的边长为1．（1）则图中阴影部分的面积是_______，边长是_______，并在数轴上准确．．地作出表示阴影正方形边长的点．（2）已知x 为阴影正方形边长的小数部分．．．．，y ．．．．．求：①,x y 的值；②2()x y 的算术平方根．17 23 ，的整数部分为2，小数部分为2) ．请你观察上述的规律后试解下面的问题：（1的小数部分为a ，2b ，求221a b 的值．（2）已知a 3的整数部分，b 3的小数部分，求（﹣a ）3+（b +4）2的平方根．18．观察右下图，每个小正方形的边长均为1，（1）则图中阴影部分的面积是_______，边长是______，并在数轴上作出表示阴影正方形边长的点；（2）已知a为阴影正方形边长的小数部分，b的整数部分，求：①a，b的值；②(a+b)2的算术平方根．故答案为：13；13；（2）①∵3＜13＜4，3＜1119．根据表格中的数字信息回答下列问题：x16.216.316.416.516.616.716.816.917 2x262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289 (1)275.56的平方根是___；的整数部分为a，求－4a的立方根．(2)20．（1的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程如下：因为2211,24 ，所以12,因为21.4 1.96 ，21.5 2.25 ，所以1.4 1.5,因为221.41 1.9881,1.42 2.0164 ，所以1.41 1.42因为221.414 1.999396,1.415 2.002225 ，所以1.414 1.415,1.41 (精确到百分位)，(精确到百分位)．（2）我们规定用符号 x 表示数x 的整数部分，例如 0,2.42,34①按此规定2 ；a ,b 求a b 的值．。