电路第六章储能元件

3.并联的等效电感 并联的等效电感
串联的等效电感等于各个电感之和； 串联的等效电感等于各个电感之和； 并联等效电感的倒数等于各个电感倒数之和
本章小结
• 电容和电感元件的性质，作用 电容和电感元件的性质， • 电容和电感元件特性（库伏特性和伏安特 电容和电感元件特性（ 性） • 电容和电感元件的功率及能量 • 电容和电感串并联的等效电容
• 关于电感元件的结论： 关于电感元件的结论：
（1）电感元件是一个无源元件，动态元件，具有 ）电感元件是一个无源元件，动态元件， 记忆”功能的元件， “记忆”功能的元件， 短路直流的作用 （2）能储存和释放能量。具有短路直流的作用 ）能储存和释放能量。具有短路直流
（ ） 注: 1）实际的电感线圈的模型可用线性电感元件和电阻元 件串联组合。 件串联组合。 （2）非线性电感元件韦安特性不是直线 ）非线性电感元件韦安特性不是直线, 电感元件 （3）L ） 元件的参数
第六章： 第六章：储能元件
• 本章的重点： 1.电容和电感元件的特性和伏安关系 2.电容和电感的串并联的等效参数 • 本章难点： 对电容和电感元件特性的理解
§6-1 电容元件
一、电容元件符号： 电容元件符号： 二、电容元件特性（库伏特性） 电容元件特性（库伏特性）
任何时刻， 任何时刻 ， 当电压的参考方向 与电容元件极板上存储电荷的方向 一致时，电荷q与电压 成正比。 一致时，电荷 与电压 u 成正比。 C
分部电容，三极管极间存在的杂散电容。 分部电容，三极管极间存在的杂散电容。 (2)实际电容元件的模型是电容和电阻元件的并联组合。 实际电容元件的模型是电容和电阻元件的并联组合。 实际电容元件的模型是电容和电阻元件的并联组合
(3)非线性电容元件库伏特性不是直线，如变容 非线性电容元件库伏特性不是直线，

釉、聚碳酸脂、金属化纸介、
空气等；还有铝电解、钽电解、
U
合金电解电容等。
2020年3月25日星期三
2
各种类型的电容器(1)
电解电容 (有极性)
2020年3月25日星期三
3
各种类型的电容器(2)
高压陶瓷电容器 多层陶瓷电容器 金属膜电容器
可控硅专用吸收电容器 2020年3月25日(内星期置三 电阻)
2020年3月25日星期三
11
伏安关系的积分形式
由
i
=
dq dt
得
t
t0
t
q(t) = i(x) dx = i(x) dx + i(x) dx
-∞
-∞
t0
t
以t0为计时起点
q(t) = q(t0) +
i(x) dx
t0
将q = C u 代入得
u(t)
=
u(t0) +
1 C
t
i(x) dx
t0
表明
①某一时刻的电容电压值与 - 到该时刻的所有电
其它类型线性电容元件的图形符号：
+
有极性的 微调 电解电容 电容
可变 电容
同轴双连 可变电容
2020年3月25日星期三
9
2.电容元件的定义
+q C -q
任何时刻其储存的电荷 q 与其两端 的电压 u 能用 q～u 平面上的一条 曲线来描述，称库伏特性。
+uq
对于线性时不变电容元件，任 何时刻，电容元件极板上的电
29
积分表达式
i
=
i(t0)
+
1 L
两边乘以 L得

并且 u(3s) (30 + 25 3)V 105V
画出电容电压波形
-2A
o
u
3s
7s
105V 30V
o
3s
7s
t
(2)3s≤t＜7s, i= －2A 电容放电
1 t u u (3) + i ( )d C 3 1 t 105 + 3 (-2)d 0.2
135 - 10t
i

Ceq
u (t ) u1 (t ) + u2 (t ) + .... +u n (t )
1 C1 1 - i( )d + C2
t
n 1 1 Ceq k 1 Ck

t
-
1 i ( )d + ... + Cn

t
-
i ( )d
1 u1 (t0 ) + C1
1 u (t0 ) + Ceq
4s
6s
t
di u L 0.15V dt
0.45W
(c)
0.15V
u 2s 4s 6s
p ui 0.225t W
O
t
(2) 2s t 4s : i 3 A
di uL 0 dt
i
p ui 0
(3) 4s t 6s : i -1.5t + 9
di u L -0.15V dt

t
-
i ( )d
物理意义：t 时刻电容上的电荷量(电压)是 t 时刻之前 由充电、放电而积累起来的。 ——记忆元件。
讨论：
1 2 (三) WC (t ) Cu(t ) 2

t0

udξ

1 L
t
t0
udξ

i(t
)0

1 L
tt0udξ
ψ(t
)
ψ( t
)0

t
t0
udξ
讨论：
(1) u的大小取决与 i 的变化率，与 i 的大小无关； (微分形式)
(2) 电感元件是一种记忆元件；(积分形式)
i 1
t
ud

1
0
ud

1
t
ud
i(0)
的方程得到电感元件的方程；
(3) C 和 L称为对偶元件, 、q等称为对偶元素。
* 显然，R、G也是一对对偶元素: U=RI I=GU I=U/R U=I/G
电感和电容的串并联
电感的串联 电感的并联
n
Leq Lk k 1
1
n

1
Leq k1 Lk
电容的串联 电容的并联
1 n 1 Ceq k1 Ck
q =Cu
def q C
u
C 称为电容器的电容
电容 C 的单位：F (法) (Farad，法拉) F= C/V = A•s/V = s/
常用F，nF，pF等表示。
线性电容的q~u 特性是过原点的直线 q

Ou
C= q/u tg
线性电容的电压、电流关系： u, i 取关联参考方向
i
i dq C du dt dt
电容元件与电感元件的比较：
变量
电容 C 电压 u
电荷 q
电感 L 电流 i
磁链
关系式
q Cu

i
L
+ uL
伏安关系
u L di dt
只有电感上的电流变化时，电感两端才有电压。 在直流电路中，电感上即使有电流通过， 但 u = 0，相当于短路
Ψ= L i
磁化曲线
Ψ
线圈在铁磁材料的非饱和状 态下工作,L近似不变
饱和区
线性区，磁导 率大且不变
起始段，磁导率较小
i
磁滞现象与磁滞回线
Ψ
• 电流强度i缓慢地
i dq (单位时间内通过的电荷量） dt
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
电路符号：
+i uC
−
伏安关系 i C du dt
i du /dt。只有电容上的电压变化
时，电容两端才有电流。 在直流电路中，电容上即使有电压，
但 i = 0，相当于开路，即 电容具有 隔直作用。
实际电容器示例
链接 RC动画
电解电容器
瓷质电容器
固定电容器
聚丙烯膜电容器
管式空气可调电容器
可变电容器
片式空气可调电容器
伏安关系
i C du dt
uC

1 C
t

i


d
UC 0
1 C
t
0
i
d
UC(0)为初始时刻t＝0时电容的初始电压，反映t＝0前 “历史”中电容电流的积累效应——电容对它的电 流具有记忆能力，
Ψr
循环变化， Ψ-i曲
线是一封闭曲线:
磁滞回线
剩磁Ψr
i
电容元件中的电场能量
Wc
t
uidt

u(t )
Cudu

1Cu2

Li
i1

1 L1
t

u
(ξ
)dξ

L L1
i

L2i L1 L2
i2

1 L2
t

u
(ξ
)dξ

L L2
i

L1i L1 L2
注意
以上虽然是关于两个电容或两个电感
的串联和并联等效，但其结论可以推广到
n 个电容或 n 个电感的串联和并联等效。
2
2C
从t0到 t 电容储能的变化量：
WC

1 2
Cu2
(t)

1 2
Cu2
(t0
)

1 2C
q2(t) 1 2C
q2 (t0 )
表 （1）电容的储能只与当时的电压值有关，电容
明
电压不能跃变，反映了储能不能跃变；
（2）电容储存的能量一定大于或等于零。
§6.2 电感元件
电感器
（t)＝N (t)
L dt
L L1 L2
串联电感的分压
u1

L1
di dt

L1 L
u

L1
L1 L2
u
u2

L2
di dt

L2 L
u

L1
L2 L2
u
i
+
L1 u
L2
+
u1
+-
等效
u2
-
+i
uL
-
4.电感的并联
等效电感
+ i1 i2
+i

0
1
2 t /s
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若已知電流求電容電壓，有 i/A 1
0
i(t)
1 1
0
t 0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
0 -1
1
2 t /s
0t 1s
1 t 2s
uc(t)
1 C
00dξ
1 C
0t1dξ
02t
2t
uC (t)
u(1)
1 0.5
t
1
(1)d
4
2t
2t
uC (t)
u(2)
1 0.5
t
2
0d
0
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實際電容器的模型
C i
＋
－
u
C
qi +
_q
C
＋
G
－＋
u
G
－
u
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實際電容器
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電力電容
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衝擊電壓發生器
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6.2 電感元件
電感線圈把金屬導線繞在一骨架上構成一實際電感 線圈，當電流通過線圈時，將產生磁通，是一種 抵抗電流變化、儲存磁能的部件。
WL
t
Li
di dξ
dξ
1 2
Li2 (ξ)
t
1 Li2(t) 1 Li2() 1 Li2(t)
2
2
2
從t0到 t 電感儲能的變化量：
WL
1 2
Li2 (t )
1 2
Li2 (t0 )
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WL
1 2
Li2 (t )
0

），与线圈交链成磁链ψ
把金属导线绕在一骨架上 构成一实际电感线圈，当电 流通过线圈时，将产生磁通 ，是一种抵抗电流变化、储
i
i
+–
ue
–+
存磁能的部件。
电感线圈原理示意图
几种实际电感线圈示例
贴片型空心线圈
可调式电感
环形线圈
立式功率型电感
一、定义
任意时刻，能用Ψ-i平面内一条曲线来描述的二端元件→ 韦-安曲线
d(12 2t) 1 106 dt
1μA
例2 : C=0.5F的电容电流波形如图 (b)所示，求电容电压uC(t)。
解：根据图(b)波形的情况，按照时间分段来进行计算
1．当t0时，iC(t)=0，得
uC
(t)
1 C
t
iC ( )d
2 106
t
0d 0
2．当0t<1s时，iC(t)=1A，得
i +– ue L –+
对于线性电感,有： =Li =N 为电感线圈的磁链（韦伯）
L
def
ψ
i
L 称为自感系数,也代表 电感元件本身
线性电感的 ~i 特性（韦-安特性）是过原点的直线
i
L= /i tg + –
Oi
六、线性电感电压、电流关系→伏安关系：
ue L –+
u, i 取关联参考方向:根据电磁感应定律与 楞次定律
i
u, i 取关联参考方向
+ +
i dq C du dt dt
u
C
u, i 取非关联参考方向
–
–
i dq C du
dt
dt
电容充放电形成电流： u, i 取关联参考方向

2、 电容并联
du du i i1 i2 (C1 C2 ) dt C dt
等效电容： C C1 C2
扩展应用：并联电容 C C1 C2 Cn
电容并联分流：
i1 i2
C1 C
C2 C
i i
C1 C1 C2
C2 C1 C2
i i
扩展应用： 并联电容分流，正比
ik
Ck C
f (u,q) 0
q
u o
一、定义
i (t)
C
u(t) - 满足电荷量q与其端电压的关系为q(t)=Cu(t)+的元件称为电容。
电荷q —库仑（c） 电压u —伏特（v） 电容C —法拉（F）
线性时不变电容元件：该曲线为u-q平面上通过原点的一条直线，
且不随时间变化。 q(t) Cu(t)
二、电容的VAR 1、电容元件VAR的微分形式：
Cu( )du( )
u( )
1 Cu2(t) 1 Cu2() 1 Cu2(t)
2
2
2
电容储存的能量≥0，且电容不消耗能量，它只与电源进 行能量交换。电容是无源元件。
例1 电路中, us(t) 如图示, C=0.5F，求电流i，
功率p(t)和储能wC(t)， 绘出波形。
解：
0
t0
us
(t
)
2t 2(t
q(t) Cu(t)
电容上的电流
i ddqq CC dduu ddtt ddtt
(1) 通过电容的电流与该时 刻的电压变化率成正比。
直流电压，电容相当于开路。 “隔直通交”
(2) 电流为有限值，u必定是t的连续函数，而不能跃变。
“电容电压不可突变”
8Ω