基于最短路问题的研究及应用
姓名： Fanmeng
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指导老师：
摘要
最短路问题是图论中的一大问题，对最短路的研究在数学建模和实际生活中
具有很重要的实际意义，介绍最短路问题的定义及这类问题的解决办法
Dijkstra算法，并且能够在水渠修建实例运用到此数学建模的方法，为我们解
决这类图论问题提供了基本思路与方法。
关键字 数学建模 最短路问题 Dijkstra算法 水渠修建。
目录
第一章．研究背景 ............................................................. 1
第二章．理论基础 ............................................................. 2
定义.................................................................... 2
单源最短路问题Dijkstra求解: ............................................ 2
局限性 .............................................................. 2
Dijkstra算法求解步骤 ............................................... 2
时间复杂度 .......................................................... 2
简单样例 ................................................................ 3
第三章．应用实例 ............................................................. 4
题目描述 ................................................................ 4
问题分析 ................................................................ 4
符号说明 ................................................................. 5
模型假设 ................................................................ 5
模型建立与求解 ........................................................... 5
模型选用 ............................................................. 5
模型应用及求解 ....................................................... 5
模型评价 ................................................................. 5
第四章. 参考文献 ............................................................. 6
第五章．附录 ................................................................. 7
第一章．研究背景
在现实生活中中，我们经常会遇到图类问题，图是一种有顶点和边组成，顶
点代表对象，在示意图中我们经常使用点或者原来表示，边表示的是两个对象之
间的连接关系，在示意图中，我们使用连接两点G点直接按的下端来表示。顶点
的集合是V，边的集合是E的图记为G[V,E] ,连接两点u和v的边用e(u,v)表
示[1]。最短问题是图论中的基础问题，也是解决图类问题的有效办法之一，在数
学建模中会经常遇到，通常会把一个实际问题抽象成一个图，然后来进行求的接
任意两点之间的最短距离。因此掌握最短路问题具有很重要的意义
。
第二章．理论基础
定义
最短路问题（short-path problem）：若网络中的每条边都有一个数值（长
度、成本、时间等），则找出两节点，（通常是源节点和目标节点）之间总权和最
小的路径就是最短路问题。最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来
解决管道铺设，线路安装，厂区布局和设备更新等实际问题[2]。
单源最短路问题Dijkstra求解:
局限性
Dijkstra算法不能够处理带有负边的图，即图中任意两点之间的权值必须
非负。
Dijkstra算法求解步骤
(1). 先给图中的点进行编号，确定起点的编号。
(2). 得到图的构成，写出写出图的矩阵
0000(,)(,)(,)(,)n
nnn
uuuu
Guuuu
(3). 根据要求求出发点S到终点E的最短距离，那么需要从当前没被访问
过的结点集合unvist={u | u{1,2,3...}}n中找到一个距离已经标记的点的集合中
vist={u | u{1,2,3...}}n
的最短距离，得到这个顶点；
(4). 利用这个顶点来松弛其它和它相连的顶点距离S的值
(5). 重复步骤(2)和(3)，直到再也没有点可以用来松弛其它点，这样我们
就得到了由起点S到其它任意点的最短距离。
时间复杂度
时间复杂度达到2()ON
简单样例
给出对应的结点之间的关系
表1为对应的结点之间的关系
长度 A B C D E
A 0 2 15 10 10
B 2 0 11 1 5
C 15 11 1 20 7
D 10 10 20 0 3
E 10 5 7 3 0
注释：其中（A,B）= 2 表示结点A到B 的长度为2
第一步：进行编号，假定A点即为起点。
第二步：得到图
02151010
201115
15110207
1012003
105730
G
第三步：首先从起点A开始找到距离A最近的点，那就是A点了；
第四步：把A点标记到已经用过的的集合{}vistA用A来更新其它点
{,,,}unvistBCDE
到起点的距离得到的集合
dist =
02151010
ABCDE
表示起点到B,C,D,E的距离分别为2,15,10,10
第五步：重复上述步骤：得到
{,}vistAB,{,,}unvistCDE
,
dist =
021337
ABCDE
继续重复上述步骤，最后的到{,,,,}vistABCDE,unvist,得到的
dist =
021336
ABCDE
，
即最短路求解完毕。
第三章．应用实例
题目描述
农村的孩子应该都会听到大人们经常谈论这样的问题-------修建水
渠。在我们北方采用深井灌溉，所以说修建水渠更加普遍，因为一般都是水
渠直接引流到田地旁边。经常一些土地需要开发，在这个过程中，我们需要
能够将在某一个地点的水源引流到新建的田地里面，这个过程很麻烦，有时
候大家很激动的去引流，结果最后修建的水渠并不能满足要求，往往浪费了
大量的物力人力和财力，所以现在我们要设计一定的数学模型来帮助农民来
规划一下，如何修建的水渠最优，并且给出修建的路径。通常是通过步长来
估计两个点之间的长度，我们通常可以这样理解，每两步可以认为是1米。
给出的点之间的关系描述关系为（其他因素先可以不用考虑）：
表2、描述进水口之间的关系
步数 A B C D E F G H I
A 0 1 1 1 200 300 400 500 600
B 1 0 2 3 4 2 5 7 3
C 1 2 0 10 6 11 12 13 14
D 1 3 10 0 100 1 2 3 4
E 200 4 6 100 0 10 20 30 40
F 300 2 11 1 10 0 50 60 60
G 400 5 12 2 20 50 0 23 34
H 500 7 13 3 30 60 23 0 12
I 600 3 14 4 40 60 34 12 0
注：A表示的是总的进水口，其余字母表示的是每块田地的进水口的位置,
这只是部分数据。
问题分析
问题是让我们来规划一下水渠该如何来修建的问题，并且已经知道
了出水口所在的位置，并且简单的知道了一些点之间的距离，让我们帮
农民找到一条最优的水渠来完成引流工作。既然给出的是关于长度的问
题，那么长度一定是很重要的标记量了，那么我们只需要找到一条从总
出水到某一块地的修建的距离最短即可。
符号说明
G
由长度构成的矩阵
L（X,Y）
表示从X到 Y的最短距离
S 总出水口
E 田地进水口
模型假设
假设其余条件不会影响水渠修建，比如土壤硬度
假设水渠宽度不会对水流量造成影响即水渠内的流量会满足要求
模型建立与求解
模型选用
最短路模型 最短路模型解决的就是图论中任意两点之间的最短路问
题。
模型应用及求解
我们的指标是
{{,....},{,,...}}LAByAB（X,Y） = min(x,y) | x
首先对数据进行抽取，得到我们所需要的数值，并把它存储到矩阵G 这
应该是一个9*9的矩阵，其次我们可以按照最短路的模型使用Dijkstra算
法来进行求解，得到的值便是S到任一点的最短距离值，最后按照路径还原
的思想还原修建的路径即可。
模型评价
最短路模型的是行能够较好的解决单源最短路径问题，可以较好的模拟
出路径修建，得到的一定是最短的路径，能够达到预期要求的效果，得到的
最终结果如附录里“3. 应用实例结果输出”所示
