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专题1.4 最短路径模型1．如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，沿着侧面需要爬行的最短路径是 13 ．【解答】解：展开圆柱的半个侧面是矩形，矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即为12，矩形的宽是圆柱的高5．根据两点之间线段最短，=，13故答案为：13．2．如图，长方体的高为3cm，底面是正方形且边长为2cm，现有一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面到达C点，蚂蚁行走的最短路程为 5 cm．【解答】解：如图1所示，==，AB cm5()如图2所示，==，AB cm)Q，5<\它爬行的最短路程为5cm．故答案为：5．3．如图，长方体盒子的长为5，宽为4，高为3．在顶点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁在顶点A处，要沿着长方体盒子的表面从点A爬到点B【解答】解：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和右面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是9和3，则所走的最短线段AB==第二种情况：如图2，把我们看到的左面与底面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是23和10，所以走的最短线段AB ==；第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和底面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是15和18，所以走的最短线段AB ==三种情况比较而言，第三种情况最短．．4．如图，圆柱的底面周长为16cm ，AC 是底面圆的直径，点P 是BC 上的一点，且20BC cm =，34PC BC =．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱体的表面爬行到点P 最短路程是( )cm ．A．17B．16C．15D．13【解答】解：如图所示，Q圆柱的底面周长为16cm，8AC cm\=．20BC cm=Q，34 PC BC=15PC cm\=，在Rt ACPD中，17()AP cm\===．故选：A．5．如图，矩形ABCD为圆柱体的横截面，BC是上底的直径，其中AB为4cm，底面圆周长为16cm，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是( )A．B．C．D【解答】解：底面周长为16cm，半圆弧长为8cm，画展开图形如下：由题意得：8BC cm =，4AB cm =，根据勾股定理得：)AC cm ===．故选：A ．6．如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ．在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为( )cm ．A ．15BC ．12D ．18【解答】解：如图所示，将圆柱沿过A 的母线剪开，由题意可知，需在杯口所在的直线上找一点F ，使AF CF +最小，故先作出A 关于杯口所在直线的对称点A ¢，连接A C ¢与杯口的交点即为F ，此时AF CF A F CF A C ¢¢+=+=，根据两点之间线段最短，即可得到此时AF CF +最小，并且最小值为A C ¢的长度，如图所示，延长过C 的母线，过A ¢作A D ¢垂直于此母线于D ，由题意可知，1829()A D cm ¢=¸=，124412()CD cm =-+=，由勾股定理得：15()A C cm ¢==，故蚂效到达蜂蜜的最短距离为15cm ，故选：A ．7．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是( )A ．13cmB ．CD ．【解答】解：如图：Q 高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm 与饭粒相对的点A 处，5A D cm \¢=，12312BD AE cm =-+=，\将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点A ¢，连接A B ¢，则A B ¢即为最短距离，13()A B cm ¢===．故选：A ．8．如图，正四棱柱的底面边长为4cm ，侧棱长为6cm ，一只蚂蚁从点A 出发，沿棱柱外表面到点C ¢处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是( )+D．10cm A．B．14cm C．4)cm¢¢¢¢爬行时，如图所示，【解答】解：当沿着平面ABB A¢¢、平面A B C D¢==，AC cm)¢¢爬行时，当沿着平面ABB A¢¢、平面BB C C¢=，10()AC cm因为10<所以蚂蚁需要爬行的最短路径的长是10cm，故选：D．9．如图，长方体的长、宽、高分别是6、3、5，一只蚂蚁要从点A爬行到点B，则爬行的最短距离是( )A B C ．10D 【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是8和6，10=；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是11和3，=第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是9和5，=；10<<Q 三种情况比较而言，第一种情况最短，最短路程10=，故选：C ．10．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m ，如果把树干看成圆柱体，其底面周长是0.5m ，如图是葛藤盘旋1圈的示意图，则这段葛藤的长是( )m ．A ．1.3B ．2.5C ．2.6D ．2.8【解答】解：Q 葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m ，\葛藤绕树干盘旋1圈升高为1.2m ，如图所示：1.3()AC m ===．\这段葛藤的长2 1.3 2.6()m =´=．故选：C ．11．如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着长方体的表面爬行到顶点B ，那么它爬行的最短路程是( )A B C D 【解答】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得222(21)318AB =++=；（2）展开前面上面由勾股定理得222(23)126AB =++=；（3）展开左面上面由勾股定理得222(31)220AB =++=．所以最短路径的长为)AB cm =．故选：B ．12．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B 离点C 的距离为1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短路程是( )A B．5C D【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1:Q长方体的宽为2，高为4，点B离点C的距离是1，AB\==；5只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2:Q长方体的宽为2，高为4，点B离点C的距离是1，\==；AB只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3:Q长方体的宽为2，高为4，点B离点C的距离是1，\==ABQ，5<<\蚂蚁爬行的最短距离是5．故选：B．13．如图，圆柱的底面半径为6cmp，AC是底面圆的直径，点P是BC上一点，且4PC cm=，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是( )A．B．C．D．10cm【解答】解：侧面展开图如图所示：Q 圆柱的底面半径为6cm p ，\圆柱的底面周长为12cm ，6AC cm \¢=．在Rt ACP D 中，)AP cm ==．故选：B ．14．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm 、3dm 、2dm ．A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为( )A ．15 dmB ．17 dmC ．20 dmD ．25 dm【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm ，宽为(23)3dm +´，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ，由勾股定理得：22228[(23)3]17x =++´=，解得17x =．故选：B ．15．如图，长方体长为8，宽为10，高为6，已知点B与点C距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 【解答】解：如图1:（1）AB===；（2）AB===；（3）AB==Q，>>\需要爬行的最短距离是，故答案为：．16．如图，一个正方体木箱子右边连接一个正方形木板，甲蚂蚁从点A 出发，沿a ，b ，d 三个面走最短路径到点B ；同时，乙蚂蚁以相同的速度从A 点B 出发，沿d ，c 两个面走最短路径到点A ．请你通过计算判断哪只蚂蚁先到达目的地？【解答】解析展开a ，b ，c 与d 在同一平面内，如图所示．由题意可知，甲蚂蚁走的路径为1A B ，1)A B cm ==．乙蚂蚁走的路径为2A B ，2)A B cm ==．>所以12A B A B >，故乙蚂蚁先到达目的地．17．如图，圆柱形容器的高为120cm ，底面周长为100cm ，在容器内壁离容器底部40cm 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm 与蚊子相对的点A 处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离．【解答】解：如图，将容器侧面展开，作A 关于EC 的对称点A ¢，连接A B ¢交EC 于F ，则A B ¢即为最短距离．Q 高为120cm ，底面周长为100cm ，在容器内壁离容器底部40cm 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm 与蚊子相对的点A 处，50A D cm \¢=，120BD cm =，\在直角△A DB ¢中，130()A B cm ¢===．故壁虎捕捉蚊子的最短距离为130cm ．18．如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于5cm 、3cm 、1cm ，A 和B 是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A 出发经过台阶爬到点B 的最短路线有多长？【解答】解：将台阶展开，如下图，因为331312AC =´+´=，5BC =，所以222169AB AC BC =+=，所以13()AB cm =，所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm ．答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm ．19．如图，是放在地面上的一个无盖的长方形盒子，长、宽、高分别是4cm ，4cm ，6cm．一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？【解答】解：（1）如图1所示：==，10()AB cm如图2所示：==．AB cm)Q，10<\蚂蚁沿着正面和右面爬行即可；蚂蚁爬行的最短路程是10cm．20．（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？【解答】解：（1）由题意得：该长方体中能放入木棒的最大长度是：=．13()cm（2）分三种情况可得：==>==>==AG AG AG，；（3）Q高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，\¢=，12312=-+=，BD AE cmA D cm5\将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A¢，连接A B¢，则A B¢即为最短距离，¢==．A B Cm13()。
2023数学建模国赛c题解答2023年数学建模国赛C题是一道有关于旅行路径优化的题目。
题目描述了有n个城市，每个城市之间的距离已知，并给出了旅行的起点和终点。
要求通过某种算法，找出一条最短路径，使得旅行的总路程最小化。
以下是一种可能的解答思路和算法：1. 首先，我们可以将问题转化为一个图论问题。
将每个城市看作图中的一个节点，城市间的距离看作图中节点之间的边。
这样，整个问题就变成了寻找图中两个节点之间的最短路径。
2. 对于图中的任意两个节点，我们可以利用Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法来求解它们之间的最短路径。
这里就不详细介绍这两个算法的原理，简单说来，Dijkstra算法适用于求解单源最短路径，即从一个节点出发到其他所有节点的最短路径；而Floyd-Warshall算法适用于求解任意两个节点之间的最短路径。
3. 由于题目给出了旅行的起点和终点，所以我们可以将起点和终点分别作为两个节点，然后利用Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法求解起点到每个城市的最短路径，以及每个城市到终点的最短路径。
4. 接下来，我们需要寻找具体的旅行路线。
一种简单的方法是利用回溯法，从终点开始回溯，依次选择上一个节点，直到回溯到起点。
这样就可以得到一条从起点到终点的旅行路径。
5. 最后，计算出旅行路径上各个城市之间的总距离，即为所求的最短路径。
需要注意的是，由于题目并没有给出具体的城市数目n和城市之间的距离数据，所以以上的解答只是给出了一种可能的解决思路，并没有具体的计算过程和示例数据。
具体的数据和计算过程可根据题目要求和实际情况进行调整。
另外，对于该题目还可以有其他的解决思路和算法，比如利用贪心算法求解局部最优解，以及利用遗传算法求解全局最优解等。
以上只是一种比较常见和简单的解决思路，具体的选择取决于题目的要求和具体的情况。
军旅导航——最短路径问题的数学模型1. 引言最短路径问题（Shortest Path Problem，SPP）是图论中的一个经典问题，旨在寻找图中两点之间的最短路径。
在军旅导航领域，最短路径问题同样具有重要的应用价值。
本文将详细介绍最短路径问题的数学模型，并探讨其在军旅导航中的应用。
2. 最短路径问题的数学模型2.1 图的定义首先，我们需要明确图的概念。
图是由顶点（节点）集合和边集合组成的一种数学结构。
其中，顶点表示图中的点，边表示顶点之间的关系。
图可以分为有向图和无向图，本文主要讨论有向图。
2.2 路径和距离路径是由一系列顶点组成的序列，表示图中两点之间的连线。
路径的长度等于路径上边的数量。
两条路径如果包含相同的顶点，且边的顺序相同，则称这两条路径为同一路径。
距离是指图中两点之间的最短路径长度。
在有向图中，距离可以是带权重的，即每条边都有一个权重。
2.3 最短路径问题最短路径问题旨在寻找图中两点之间的最短距离路径。
根据图中边的权重，最短路径问题可以分为以下两种：1. 权重均为正数的最短路径问题：这种情况下，最短路径问题可以通过Dijkstra算法或Bellman-Ford算法求解。
2. 含有负权重的最短路径问题：这种情况下，最短路径问题可以通过Floyd-Warshall算法求解。
3. 军旅导航中的应用在军旅导航领域，最短路径问题可以用于计算部队行进的最短路线、最优调度等问题。
以下是一个具体的应用场景：假设有一支军队需要从起点A到达终点B，沿途有多个城市C、D、E等，每个城市之间的道路都有不同的长度和通行条件。
我们需要找到一条从A到B的最短路径，以确保军队能够尽快到达目的地。
通过构建一个有向图，顶点集合包含A、B以及沿途的城市C、D、E等，边集合表示城市之间的道路及长度。
利用最短路径算法，我们可以计算出从A到B的最短路径，从而为军队提供导航。
4. 总结本文从军旅导航的实际应用出发，介绍了最短路径问题的数学模型。
最短时间路径摘要：本问题是一个最短时间问题，本文首先对路线图进行分析，找出并画出了汽车在拐弯时所消耗时间的等效图，经分析，找到四条规则（具体见：五、模型的建立与求解），可以按这四条规则把转弯的时间算在南北走向的路线上，对图形上数据进行处理，然后通过Dijkstra算法求的从入口点v1到出口点的v8最短时间路径为：v1——>v2——>v4——>v7——>v8，时间为：15。
关键词：最短路径Dijkstra算法的最1.2.15（53.3条路线使东西2条路线相同，那么是否可以把转弯的时间统一加在南北路线上，经分析是可行的，而且有一定的规则（具体见：五、模型的建立与求解）问题的关键:1.找到把转弯时间附加在南北路线的内在规则。
2.找到一个等效的图形（等效的办法）使得求解更为方便。
三、模型假设1.无论何时交通路线是可行的。
2.城市的路线均为方行路线（直线图）。
四、符号说明v i ——两条路的交汇处或重要地点.L i,j ——v i 与v j 两地之间的这条路。
T ij ——vi 到v j 所花费的时间 T ——是时间的总和。
五、模型建立与求解一、问题的回答把转1.2.3.4.，而此时 图一T于是建立问题的最短时间模型如下：T=T ij +T jk +···+ T km (1)按照图二写出G 的带权邻接矩阵),(v u wDijkstra 算法【1】：求G 中从顶点0u(即v 1)到其余顶点的最短路. 设G 为赋权有向图或无向图，G 边上的权均非负． 对每个顶点，定义两个标记（l v ()，z v ()），其中: l v ()：表从顶点u 到v 的一条路的权．z v ()：v 的父亲点，用以确定最短路的路线算法的过程就是在每一步改进这两个标记，使最终l v ()为从顶点u 到v 8的最短时间的权．S ：具有永久标号的顶点集。
输入: G 的带权邻接矩阵),(v u w (1)赋初值：令 S ＝{u 0, l u ()0=0},∀∈=v S V S \，令l v ()=W u v (,)0,z v ()= u 0 u ←u 0 （2）更新l v ()、z v ()： ∀∈=v S V S \,若l v ()>l u W u v ()(,)+ 则令l v ()=l u W u v ()(,)+,z v ()= u就得>v8，，为六、模型推广一、对问题的进一步的讨论对于题中简单图形进行分析，通过把转弯时所要浪费的时间附加再南北路线上进行处理，可以求的一定点到另一定点所需时间最少。
2015大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：所属学校（请填写完整的全名）：泉州师范学院参赛队员(打印并签名) ：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期： 2015 年 5 月 17 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：目录1.摘要 (3)2.问题的重述及分析 (4)3.符号说明 (4)4.模型的分析，建立和求解 (5)5.模型的评价和改进 (10)6.参考文献 (10)7.附录 (11)最短路径问题摘要由于保安资源有限，根据学校的实际情况与需求，泉州师院数学专业新引进了智能机器人---大白，目的是让他自动在校园巡逻，以确保校园的安全。
对于题中所给的三个问题，研究在不同现实背景下的最优线路设计问题，即研究在约束条件下的最短路径问题。
针对本案例，我们采用了大量的科学分析方法，利用图论中的各种知识，采用数据结构里的最短路径算法,也叫Dijkstra 算法，对最优线路的设计进行建模并使用MATLAB 和lingo 软件进行编程求解。
东北大学秦皇岛分校数学模型结课报告最短路径问题（物流路线设计）学院数学与统计学院小组成员513210 喻翔5133107赖巧明5133117楚文玉教师评语：指导教师签字：2015年12月14日1摘要现今社会网络越来越普及,网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛,每个工厂为了自身的发展需要以最快的速度及时将产品送达所需单位，即高质量高速度的完成送货任务,针对本案例，我们采用了大量的科学分析方法，并进行了反复验证,得出如下结果：问题1:根据所给问题与数据，我们将题目中给出的城市,及其之间的线路可看成一个赋权连通简单无向图,采用了求这个图最小生成树的办法，求出最优线路.在此基础上，我们通过观察分析计算对上述结果进行修正,然后我们再采用穷举法对问题结果进行验证,结果相吻合。
最终得到如下路线：（下横线不停靠）北京→香港→湖南→海南→广西→重庆→河南→云南→西藏→新疆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→黑龙江→内蒙古→黑龙江→吉林→北京。
（最短时间为61小时）问题2:要求问题1的花费最少,只需对前面模型做进一步优化即可,经过优化计算我们得到如下结果：最少花费为584250（元），路线如下：北京→香港→湖南→海南→广西→重庆→河南→云南→西藏→新疆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→黑龙江→内蒙古→黑龙江→吉林→北京关键词：关键字：最短路径送货线路优化赋权连通简单无向图最小生成树2问题重述2.1 问题的背景现今社会网络越来越普及,网购已成为一种常见的消费方式,随之物流行业也渐渐兴盛,每个工厂为了自身的发展需要以最快的速度及时将产品送达所需单位,现有实业公司,该实业公司专业生产某专用设备产品,专用设备产品每件重达5吨（其长5米,宽4米,高6米）,该实业公司库房设在北京,所有货物均由一货机送货,该机种飞机翼展88.40米（机身可用宽20米）,机长84米（可用长50米）,机高18.2米（可用14米）,最多可装载250吨货物,起飞全重达600吨,平均速度为900公里/小时，将货物送至全国各个省辖市（图1所示红色圆点，除北京之外共19个省辖市），假定货机只能沿这些连通线路飞行,而不能走其它任何路线.但由于受重量和体积限制,货机可中途返回取货.经过的各个省市都要一定的停靠费用和停靠时间（停靠时间为常量2小时）,假设经过某个省市的停靠费用为：停靠费用=5000元×该省市的消费指数.2.2相关数据1．各城市之间的通路和权数图11．1上图1描述了中国各个省市之间的航班以及权重以图中标注为准；1．2有些省市之间是没有航班,需要中转.2．城市消费指数表表11．若图示中19个省辖市每个省辖市只要一件产品,请设计送货方案,使所用时间最少,标出送货线路。
