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2022年高考数学总复习考点培优——圆的方程

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2022届新教材高考数学一轮复习9.3圆的方程课件

2022届新教材高考数学一轮复习9.3圆的方程课件

答案：B
角度3|距离型最值问题 [例5] 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求x2＋y2的最大 值和最小值．
类题通法 求形如t＝(x－a)2＋(y－b)2的最值，可转化为圆上的点到定点的距 离的最值，即把(x－a)2＋(y－b)2看作是点(a，b)与圆上的点(x，y)连线 的距离的平方，利用数形结合法求解．
A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2 C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16
答案：B
类题通法
求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求 圆的方程有两种方法：
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方 程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心 三点共线；
类题通法
形如|PA|＋|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P，Q均为动点)， 要立足两点：①减少动点的个数；②“曲化直”，即折线段转化为同 一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
答案：A
[预测1] 核心素养——直观想象、数学运算 已知实数x，y满足(x＋2)2＋(y－3)2＝1，则|3x＋4y－26|的最小值 为________．
类题通法
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程． ④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足 的关系式．
巩固训练2：设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以 OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程．

2022年高考数学(江苏版)一轮配套课件：§14.2 圆的方程

2022年高考数学(江苏版)一轮配套课件：§14.2 圆的方程
(2)易知 n 表3 示直线MQ的斜率,
m 2
设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0,且 n =3k.
m 2
因为直线MQ与圆C有交点,
所以 | 2k≤722, k 3|
2
1 k2
可得2- 3≤k≤2+ ,3
所以 n 的3 最大值为2+ ,最3小值为2- . 3
m 2
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月14日星期一2022/2/142022/2/142022/2/14 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/142022/2/142022/2/142/14/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/142022/2/14February 14, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/142022/2/142022/2/142022/2/14
x
2
0,
(
2
y 0 )2
r2,
|
x
0
y0
1
|
r,
2
解得
x y
0 0
1, 4
,
r
2
2.
因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
方法 2 与圆有关的最值问题的求解方法
1.研究与圆有关的最值问题时,可借助圆的性质,利用数形结合求解. 2.常见的最值问题有以下几种类型:(1)形如μ= y 的b 最值问题,可转化

高考数学一轮复习考点知识与题型讲解42 圆的方程(含解析)

高考数学一轮复习考点知识与题型讲解42 圆的方程(含解析)

高考数学一轮复习考点知识与题型讲解考点42 圆的方程一．求圆的方程1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． 2．圆的标准方程(1) 若圆的圆心为C(a,b ),半径为r ，则该圆的标准方程为：． (2) 方程表示圆心为C(a,b ),半径为r 的圆． 3．圆的一般方程(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程． (2) 对方程：. ①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆； ②若，则方程只表示一个点，； ③若，则方程不表示任何图形． 4.点与⊙C 的位置关系(1)|AC |<r ⇔点A 在圆内⇔； (2)|AC |＝r ⇔点A 在圆上⇔； (3)|AC |>r ⇔点A 在圆外⇔.二．圆与圆的位置关系设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、(). (1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.222()()x a y b r -+-=222()()x a y b r -+-=220x y Dx Ey F ++++=220x y Dx Ey F ++++=2240D E F +->(2D -)2E -F E D 42122-+0422=-+F E D (2D -)2E-0422<-+F E D 00()A x y ，22200()()x a y b r <－＋－22200()()x a y b r =－＋－22200()()x a y b r >－＋－1C 2C 12d C C =R r R r >d R r >+(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解. (3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解. (4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆.三．直线与圆位置关系(或交点个数)的解题思路（1）把圆化成圆的标准方程22200()()x x y y r -+-=找出圆心()00,x y 和半径r （2）利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离d =（3）d 与r 比较大小d r d r d r >⎧⎪=⎨⎪<⎩相离，没有交点相切，一个交点相交，两个交点四．直线与圆弦长解题思路---垂定定理(1)把圆化成圆的标准方程22200()()x x y y r -+-=找出圆心()00,x y 和半径r (2)利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离d =(3)利用弦长公式l =五．圆上的点到直接距离最值的解题思路(1)把圆化成圆的标准方程22200()()x x y y r -+-=找出圆心()00,x y 和半径r(2)利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离d =(3)判断位置关系max min max min max min 200d d rd r d d r d d r r d r d d d r d r d ⎧=+⎧>⎨⎪=-⎩⎪⎪=+=⎧⎪=⎨⎨=⎩⎪⎪=+⎧⎪<⎨=⎪⎩⎩相离，相切，相交，d R r =+R r d R r -<<+d R r =-0d R r ≤<-0d =考点题型分析考点题型一 圆的方程【例1】(1)(2022·浙江杭州市·学军中学)圆22(1)3x y -+=的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(-1，0)，3 B ．(1，0)，3 C ．()1,0-D ．()1,0(2)(2022·河南洛阳市)已知圆C 经过原点(0,0)O ，()4,3A ，(1,3)B -三点，则圆C 的方程为( ) A ．22430x y x y +--= B ．2230x y x y +-+= C ．22550x y x +--= D ．2270x y x y +-+=【答案】(1)D(2)D【解析】(1)根据圆的标准方程可得，22(1)3x y -+=的圆心坐标为(1,0)，故选：D.(2)设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->，把点(0,0)O ，(4,3)A ，(1,3)B -代入得16943019300D E F D E F F ++++=⎧⎪++-+=⎨⎪=⎩，解得7D =-，1E =，0F =， 所以圆的方程是2270x y x y +-+=．故选：D ． 【举一反三】1．(2022·河北区)圆22221x y x y ++-=的圆心和半径分别是( ) A ．()1,1-；1 B ．(1,1)-C ．()1,1-；1D ．()1,1-【答案】D【解析】圆22221x y x y ++-=的标准方程是：()()22113x y ++-=，所以圆的圆心和半径分别是()1,1-故选：D2．(2022·河南周口市)圆224240x y x y +-++=的半径和圆心坐标分别为( ) A ．1;(2,1)r =- B ．2;(2,1)r =-C ．2;(2,1)r =-D ．1;(2,1)r =-【答案】D 【解析】22(2)(1)1x y -++=∴半径和圆心坐标分别为()1;2,1r =-,选D3．(2022·全国课时练习)若方程x 2＋y 2＋2λx ＋2λy ＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(1，＋∞)∪1(,)5-∞ D ．R【答案】A【解析】因为方程x 2＋y 2＋2λx ＋2λy ＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D 2＋E 2―4F ＞0， 即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．故选：A. 4．(2022·内蒙古包头市)AOB 顶点坐标分别为()2,0A ，()0,4B ，()0,0O ．则AOB 外接圆的标准方程为______． 【答案】()()22125x y -+-=【解析】设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，因为过点()2,0A ，()0,4B ，()0,0O所以()()()()()()222222222200400a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩解得2125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆的标准方程为()()22125x y -+-=故答案为：()()22125x y -+-=考点题型二 点与圆的位置关系【例2】(1)(2022·福建厦门市·大同中学)点()3,4P 与圆的2224x y +=的位置关系是( )A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不确定(2)(2022·黑龙江哈尔滨市)已知圆22:2440C x y x y ++++=，则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为( )A B ．6C 1D 1【答案】(1)A(2)D 【解析】(1)223424+>，因此，点P 在圆2224x y +=外.故选：A.(2)由222440x y x y ++++=得：()()22121x y +++=，∴圆心()1,2C --，半径1r =，∴圆心到坐标原点的距离d ==∴圆上的点到坐标原点的距离的最大值为1d r +=+.故选：D.【举一反三】1．(2022·山东省济南回民中学)若圆的方程是()()22234x y -+-=，则点()1,2( )A ．是圆心B ．在圆上C ．在圆内D ．在圆外【答案】C【解析】圆心()2,3，半径2r ，圆心到点()1,2距离2d ==<，故点()1,2在圆内，故选：C.2．(2022·江苏省苏州中学园区校)点P 在圆()22:34C x y -+=上，点()3,0Q -，则PQ 的最大值为( ) A ．6 B ．4 C ．8 D ．3【答案】C【解析】由于()22330364--+=>，所以Q 在圆C 外，圆C 的圆心为()3,0C ，半径2r ，则PQ 的最大值为2628QC r +==+=.故选：C3．(2022·四川宜宾市)若点(2,1)在圆22()5x a y -+=的内部，则实数a 的取值范围是______________. 【答案】()0,4【解析】因为点(2,1)在圆22()5x a y -+=的内部，所以2(2)15a -+<，即240a a -<，解得04a <<故答案为：()0,4考点题型三 直线与圆的位置关系【例3】(1)(2022·天津高三月考)已知直线:1l y kx =-与圆22:430C x y x +-+=相切，则正实数k 的值为___________.(2)2022·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三一模(文))直线l ：0x y -=与圆C ：()2211x y -+=交于A 、B 两点，则AB =______.【答案】(1)43【解析】(1):110l y kx kx y =-⇒--=，()2222:43021C x y x x y +-+=⇒-+=， 圆心为()2,0，1r =1=，解得43k =或0k =，所以正实数k 的值为43故答案为：43(2)2=，故AB ==【举一反三】1．(2022·黑龙江哈尔滨市)若过点()4,3A 的直线l 与曲线22231x y 有公共点，则直线l的斜率的取值范围为( )A．⎡⎣B．(C．33⎡-⎢⎣⎦ D．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()34y k x -=-，即340kx y k -+-= 曲线22231x y 表示圆心()2,3，半径为1的圆，圆心()2,3到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，1≤，即2k -≤，解得33k -≤≤.故选：C.2．(2022·林芝市第二高级中学)直线4350x y +-=与圆22(1)(2)9x y -+-=相交于A ，B 两点，则AB 的长度等于__________.【答案】【解析】22(1)(2)9x y -+-=圆心(1,2)C ，半径为3， 圆心C 到直线4350x y +-=的距离为d ，1,||d AB ==∴==.故答案为：3．(2022·宁夏吴忠市·高三其他模拟(文))若直线430x y a ++=与圆22(1)(2)9x y -+-=相交于,A B两点，且||AB =a =________. 【答案】5a =-或15a =- 【解析】直线430x y a ++=与圆22(1)(2)9x y -+-=相交于,A B 两点，且||AB =∴圆心()1,2到直线430x y a ++=1=，即1=，解得5a =-或15a =-.故答案为：5a =-或15a =-考点题型四 圆与圆的位置关系【例4】(2022·沙坪坝区·重庆八中)圆221:4C x y +=与圆()222:11C x y -+=的位置关系是( )A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】D【解析】圆1C 的圆心为()10,0C ，半径为12r =，圆2C 的圆心为()21,0C ，半径为21r =，12121C C r r ∴==-，因此，两圆内切.故选：D.【举一反三】1．(2022·云南省大姚县第一中学)圆221:46120O x y x y +--+=与圆222:86160O x y x y +--+=的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．内含D ．内切【答案】D【解析】圆221:46120O x y x y +--+=即22231x y ，则圆心为()2,3，半径为1圆222:86160O x y x y +--+=即()()22439x y -+-=，则圆心为()4,3，半径为3两圆心间的距离122d r r ===-，所以两圆的位置关系为内切，故选：D ．2．(2022·重庆)已知圆2123:C x y +=和圆()()222:1312C x y ++-=，那么这两个圆的位置关系是( ) A ．相离 B ．外切 C ．相交 D ．内切【答案】C【解析】由已知的()()12120,0,1,3,C C r r -==所以2112r r r r =+=-12C C == 所以211212r r C C r r <<+-，故两圆相交.故选：C.3．(2022·河南洛阳市)已知圆221:64120C x y x y +-++=，圆222:142340C x y x y +--+=，两圆公切线的条数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】圆()()221:321C x y -++=，圆心()13,2C -，半径11r =，圆()()222:7116C x y -+-=，圆心()27,1C ，半径24r =，圆心距5d ==，12d r r =+，所以两圆相外切，公切线条数是3条.故选：C4．(2022·四川凉山彝族自治州)已知圆221:1C x y +=和圆()()2222:20C x y r r +-=>，若圆1C 和2C 有公共点，则r 的取值范围是( ) A ．(]0,1 B ．(]0,3 C ．[]1,3D ．[)1,+∞【答案】C【解析】由题意可知，圆1C 的圆心为()10,0C ，半径为1，圆2C 的圆心为()20,2C ，半径为r ， 所以，122C C =，由于两圆有公共点，则1211r C C r -≤≤+，即1210r r r ⎧-≤≤+⎨>⎩，解得13r ≤≤.故选：C.。

高考数学总复习39圆的方程_点_直线_圆的位置关系

高考数学总复习39圆的方程_点_直线_圆的位置关系

共 54 页
14
解析 :
x1
x2
b a
,
x1x2
c a
,
x12
x22
( x1
x2 )2
2x1x2
b2 a2
2c . a
又
c a
1 , b2 2 a2
1. x12
x22
1
b2 a2
2.
故点P x1, x2 一定在圆x2 y2 2内,因此选A.
答案:A
评析:本题综合考查了韦达定理以及点与圆的位置关系.
共 54 页
29
【典例3】已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x2my+m2-3=0,试就m的取值讨论两圆的位置关系.
[分析]求两圆的圆心距d,判断d与R+r,R-r的关系.
共 54 页
30
[解]圆C1 : x m2 y 22 9, 圆C2 : x 12 y m2 4.
,半
若D2+E2-4F=0,则表示点
D 2
,
E 2
.
若D2+E2-4F<0,则不表示任何曲线.
共 54 页
2
3.点与圆的位置关系及判断
(1)设点P到圆心的距离为d,圆半径为r,点P在圆外⇔d>r;点P 在圆上⇔d=r;点P在圆内⇔d<r.
(2)点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系可以这样判 断:当(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点P在圆外;当(x0-a)2+(y0b)2=r2时,点P在圆上;当(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点P在圆内.

2022版高考数学一轮复习第9章平面解析几何第3讲圆的方程课件

2022版高考数学一轮复习第9章平面解析几何第3讲圆的方程课件

04
配套训练
第三页，编辑于星期六：四点 十一分。
1
基础整合 自测纠偏
第四页，编辑于星期六：四点 十一分。
1.圆的定义和圆的方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆
标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心 C(a，b) 半径为 r
方程
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)
【答案】C
第十一页，编辑于星期六：四点 十一分。
4．(2020年北京)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的
距离的最小值为
()
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【解析】由题意，圆心到原点的距离的最小值为 32＋42－1＝4.
第十二页，编辑于星期六：四点 十一分。
5．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为 ____________．
上．
第七页，编辑于星期六：四点 十一分。
(3)当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时， 圆与y轴相切于原点．
(4)当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切．
第八页，编辑于星期六：四点 十一分。
1．(2019年绍兴学业考试)圆x2＋(y－2)2＝9的半径是
A．3
B．2
C．9
则圆 C 的方程为________．
(2)已知两直线 x－2y＝0 和 x＋y－3＝0 的交点为 M，则以点 M 为圆
心，半径长为 1 的圆的方程是 ( )
A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝1
B．(x－1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1

2022届《金版学案》高考数学总复习 第三节 圆的方程

2022届《金版学案》高考数学总复习 第三节 圆的方程
第八章 平面解析几何
第三节 圆的方程
新课程标准
考向预测
回顾确定圆的几何 要素，在平面直角 坐标系中，探索并 掌握圆的标准方程 与一般方程.
1.圆的方程 命题
2.与圆有关的轨迹问题 角度
3.与圆有关的最值问题 核心
数学运算、直观想象 素养
1．圆的定义与方程
2．点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圆心C的 坐标为(a，b)，半径为r，设M的坐标为(x0，y0)．
答案：48
考点1 求圆的方程
1．经过点(1，0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2
的交点的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：由
x＝1， x＋y＝2，
得
x＝1， y＝1，
即所求圆的圆心坐标
考点2 与圆有关的轨迹问题 [例1] (1)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连 接的线段的中点的轨迹方程为( ) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 (2)(2020·全国卷Ⅲ)在平面内，A，B是两个定点，C 是动点，若A→C·B→C＝1，则点C的轨迹为( )
6．已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝4，则3x2＋4y2的 最大值为________．
解析：由(x－2)2＋y2＝4，得y2＝4x－x2≥0，得0≤ x≤4，所以3x2＋4y2＝3x2＋4(4x－x2)＝－x2＋16x＝－(x－ 8)2＋64(0≤x≤4)，所以当x＝4时，3x2＋4y2取得最大值48.
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第三节 圆的方程【教材回扣】1．圆的定义及方程点M(x 0，y 0)与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r ＞0)的位置关系： (1)若M(x 0，y 0)在圆外，则______________________. (2)若M(x 0，y 0)在圆上，则______________________. (3)若M(x 0，y 0)在圆内，则______________________.【题组练透】题组一 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．确定圆的几何要素是圆心与半径．( )2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为（－a 2，－a ），半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．( )3．已知点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )4．方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF ＞0.( )题组二 教材改编1．圆心为C(8，－3)，且过点A(5,1)的圆的方程是( ) A ．(x －8)2＋(y ＋3)2＝5 B ．(x ＋8)2＋(y －3)2＝5 C ．(x ＋8)2＋(y －3)2＝25 D ．(x －8)2＋(y ＋3)2＝252．圆C 的圆心在x 轴上，并且过A(－1,1)和B(1,3)两点，则圆C 的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝10 B ．(x －2)2＋y 2＝100 C ．(x ＋2)2＋y 2＝10 D ．(x ＋2)2＋y 2＝1003．(一题两空)当m ∈______时，方程x 2＋y 2－4x ＋2my ＋2m 2－2m ＋1＝0表示圆，此时半径最大时圆的一般方程为________．题组三 易错自纠1．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞)2．若点(1,1)在圆(x －a)2＋(y ＋a)2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜1C ．a ＞1或a ＜－1D ．a ＝±43．半径为3，圆心的纵、横坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为________________．题型一 求圆的方程[例1] (1)已知圆E 经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A ．(x －32）2＋y 2＝254B ．(x ＋34）2＋y 2＝2516C ．(x －34）2＋y 2＝2516D ．(x －34）2＋y 2＝254(2)在平面直角坐标系xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝4B ．x 2＋(y －1)2＝2C ．x 2＋(y －1)2＝8D ．x 2＋(y －1)2＝16 [听课记录]类题通法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.巩固训练1：(1)经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2(2)圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为________．题型二 与圆有关的轨迹问题[例2] 已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A(－1,0)，B(3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程． [听课记录]类题通法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.巩固训练2：设定点M(－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程．题型三 与圆有关的最值问题 高频考点角度|斜率型最值问题[例3] 已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P(x ，y)为圆上任一点，则y －2x －1的最大值为________．[听课记录]类题通法形如μ＝y －b x －a 型的最值问题，可转化为过定点(a ，b)的动直线斜率的最值问题求解．如yx ＝y －0x －0表示过坐标原点的直线的斜率.巩固训练3：已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx的最大值和最小值．角度|截距型问题[例4] 已知点P(x ，y)在C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，求x ＋y 的最大值与最小值． [听课记录]类题通法求形如u ＝ax ＋by 的最值，可转化为求动直线截距的最值，具体方法是： (1)数形结合法，当直线与圆相切时，直线在y 轴上的截距取得最值；(2)把u ＝ax ＋by 代入圆的方程中，消去y 得到关于x 的一元二次方程，由Δ≥0求得u 的范围，进而求得最值.巩固训练4：已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( )A．(－23，4) B．[－23，4]C．[－4,4] D．[－4,23]角度|距离型最值问题[例5]已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求x2＋y2的最大值和最小值．[听课记录]类题通法求形如t＝(x－a)2＋(y－b)2的最值，可转化为圆上的点到定点的距离的最值，即把(x－a)2＋(y－b)2看作是点(a，b)与圆上的点(x，y)连线的距离的平方，利用数形结合法求解.巩固训练5：已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．角度|利用对称性求最值[例6]已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值为________．[听课记录]类题通法形如|PA|＋|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P，Q均为动点)，要立足两点：①减少动点的个数；②“曲化直”，即折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.巩固训练6：已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为() A．52－4 B.17－1C．6－2 2 D.17[预测1]核心素养——直观想象、数学运算已知实数x，y满足(x＋2)2＋(y－3)2＝1，则|3x＋4y－26|的最小值为________．[预测2]新题型——多选题已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为12，则圆C的方程为()A．x2＋y＋332＝43B．x2＋y－332＝43C．(x－3)2＋y2＝4 3D．(x＋3)2＋y2＝4 3第三节 圆的方程 课前基础巩固[教材回扣](x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (a ，b ) r x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（－D 2，－E 2） 12D 2＋E 2－4F(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2 (x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2 (x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2 [题组练透] 题组一1．√ 2.× 3.√ 4.√ 题组二1．解析：圆的半径为|AC |＝ (8－5)2＋(－3－1)2＝5故圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25. 故选D. 答案：D2．解析：由题意知，圆心在AB 的垂直平分线上，其方程为x ＋y －2＝0. 又因为圆C 和圆心在x 轴上，所以两交线的交点就为圆心，即为C (2,0)， 则圆的半径为|AC |＝(2＋1)2＋(0－1)2＝10.故圆C 的方程是(x －2)2＋y 2＝10，故选A. 答案：A3．解析：原方程化为(x －2)2＋(y ＋m )2＝－m 2＋2m ＋3， 当－m 2＋2m ＋3＞0，即－1＜m ＜3时， 方程表示圆．由－m 2＋2m ＋3＝－(m －1)2＋4知， 当m ＝1时，圆的半径最大，此时圆的方程为：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0. 答案：(－1,3) x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0 题组三1．解析：将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得（x ＋m 2）2＋(y －1)2＝m 24－2.由其表示圆可得m 24－2＞0，解得m ＜－22或m ＞2 2.故选B. 答案：B2．解析：因为点(1,1)在圆内，所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4，即－1＜a ＜1. 故选A. 答案：A3．解析：由题意可设圆心坐标为(a ，a )则圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝9 ∴|a |＝r ＝3， ∴a ＝±3，∴所求圆的方程为：(x －3)2＋(y －3)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝9.答案：(x －3)2＋(y －3)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝9课堂题型讲解题型一例1 解析：(1)由题意可设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a ＞0)，半径为r 则有⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝r 2a 2＋(0＋1)2＝r2a 2＋(0－1)2＝r2解得a ＝34，r 2＝2516，故所求圆的方程为（x －34）2＋y 2＝2516.故选C.(2)由题意可得圆心(0,1)到直线x －by ＋2b ＋1＝0的距离 d ＝|1＋b |1＋b 2＝(1＋b )21＋b 2＝1＋2b1＋b 2≤ 1＋2|b |1＋b 2≤ 2. 当且仅当b ＝1时取等号． 所以半径最大的圆的半径r ＝2， 此时圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2. 故选B.答案：(1)C (2)B巩固训练1 解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)． 又由该圆过点(1,0)， ∴半径为1，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1. 故选B.(2)设圆C 上的任意一点M (x ，y )，则点M 关于y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )． ∵点(－y ，－x )在圆(x －1)2＋y 2＝1上，∴(－y －1)2＋(－x )2＝1即x 2＋(y ＋1)2＝1. 答案：(1)B (2)x 2＋(y ＋1)2＝1 题型二例2 解析：(1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在， 所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)． 巩固训练2 解析：如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为（x 2，y2），线段MN 的中点坐标为（x 0－32，y 0＋42）.因为平行四边形的对角线互相平分， 所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点（－95，125）和（－215，285），不符合题意，舍去，所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点（－95，125）和（－215，285）.题型三例3 解析：设y －2x －1＝k ，即kx －y －k ＋2＝0，圆心C (－2,0)，r ＝1.当直线与圆相切时，k 有最值，∴|－2k －0－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝3±34，∴y －2x －1的最大值为3＋34.答案：3＋34巩固训练3 解析：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆.yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k＝± 3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.例4 解析：设x ＋y ＝b ，则当直线x ＋y ＝b 与圆(x ＋3)2＋(y －3)2＝4相切时，b 取得最大值或最小值．圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆的半径长2，则3＋3－b 12＋12＝2，即|b －6|＝22， 解得b ＝6±2 2.所以x ＋y 的最大值为6＋22， 最小值为6－2 2.巩固训练4 解析：∵y ≥0， ∴x 2＋y 2＝4为上半圆，如图，当直线过点(－2,0)时，m ＝－23，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，d ≤r ，即⎩⎨⎧m ≥－23，|－m |2≤2，解得m ∈[－23，4]．故选B. 答案：B例5 解析：x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)．又圆心到原点的距离为 (2＋0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.巩固训练5 解析：设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|P A |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(32＋42＋1)2＝36，∴d max ＝74.答案：74例6 解析：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5， 则圆心C (2,1)，半径r ＝ 5.设A 关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点B (a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2＋b 2＋2＝0b －2a ＝1，∴a ＝－4，b ＝－2，∴B (－4，－2)． ∴|P A |＋|PQ |的最小值是 |BC |－r ＝(2＋4)2＋(1＋2)2－5＝2 5.答案：25巩固训练6 解析：如图圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A (2，－3)，半径为1，圆C 2的圆心坐标(3,4)，半径为3，由图象可知当P ，C 2，A 三点共线时，|PM |＋|PN |取得最小值，(|PM |＋|PN |)min ＝|AC 2|－r 1－r 2＝(3－2)2＋(－3－4)2－4＝50－4＝52－4.故选A.答案：A高考命题预测预测1 解析：|3x ＋4y －26|最小值的几何意义是圆心到直线3x ＋4y －26＝0的距离减去半径后的5倍，|3x ＋4y －26|min ＝5(|3a ＋4b －26|32＋42－r )，(a ，b )是圆心坐标，r 是圆的半径．圆的圆心坐标为(－2,3)，半径是1，所以圆心到直线的距离为|3×(－2)＋4×3－26|5＝4，所以|3x＋4y －26|的最小值为5×(4－1)＝15.答案：15预测2 解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋(y ±33)2＝43.故选AB.答案：AB。