苏教版高中数学必修教案：第20课时斜线在平面内的射影习题课

第20课时立体几何体复习一、【学习导航】知识网络学习要求1.温故本章内容，使知识系统化，条理化．分清重点，明确难点，再现注意点，达到巩固与知新的效果。

2. 会证线线、线面、面面的平行与垂直的问题,会求简单的线线、线面、面面间的角与距离以及简单几何体的面积与体积的问题.【课堂互动】自学评价1.空间几何体(柱锥台球,三视图) 的概念：2.平面的基本性质(3个公理与3个推论) ：.3.空间两直线的位置关系(3种关系)：4. 直线和平面的位置关系(3种关系)：5.平面和平面的位置关系(2种关系) ：6.空间几何体的表面积和体积公式.7.三种角与六种距离的简单计算方法：8.物体按正投影向投影面投射所得到的图形叫视图．光线自物体的前面向后投射所得的投影称为主视图，自上向下的称为俯视图．自左向右的称为左视图．【精典范例】例1：已知平面外两平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条直线也平行于这个平面．略证．先写已知，求证，再进行证明．突出使用线面平行的性质与判定定理．例2：已知直线AC,DF被三个平行平面α,β,γ所截,交点为A,B,C及D,E,F.求证：AB DEBC EF=证明：连ＡＦ交β于Ｋ．连ＢＫ，ＫＥ，ＣＦ，ＡＤ．由β∥γ得ＢＫ∥ＣＦ．因α∥β得ＡＤ∥ＫＥ．所以ＡＢ／ＢＣ＝ＡＫ／ＫＦ．ＡＫ／ＫＦ＝ＤＥ／ＥＦ所以ＡＢ／ＢＣ＝ＤＥ／ＥＦ．例3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC和BD的交点，G为CC1中点，求证：A1O⊥面GBD．听课随笔略证：连ＯＧ．易证：BD O A ⊥1． 又易证OG A 1∆为直角三角形． 所以 OG O A ⊥1 所以⊥O A 1面GBD ．例4.四面体ABCD 中， AB ，BC ，BD 两两垂直，且AB ＝BC ＝2， E 是AC 的中点，异面直线AD与BE 所成角的余弦值为,求四面体ABCD 的体积．思路：用作证求角法或建空间直角坐标系的方法可求出ＢＤ＝４， 所以四面体ABCD 的体积＝384231=⨯⨯．例5.设P 、A 、B 、C 是球O 表面上的四点, PA 、PB 、PC 两两垂直, 且PA=PB=PC=1, 则球的体积为π23, 球的表面积为π3 .例6．平面四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝a,∠Ｂ＝90°，∠ＤＣＢ＝135°，沿对角线ＡＣ将四边形折成直二面角，求证：（１）求证：ＡＢ⊥面ＢＣＤ（２）求面ＡＢＤ与面ＡＣＤ成的角．略证：（１）易证略（２）作ＣＨ⊥ＤＢ于Ｈ，作ＣE ⊥ＤA 于E ，连ＨＥ，可证得∠ＣＥＨ为所求二面角的平面角．在直角三角形ＣＥＨ中可求得sin ∠ＣＥＨ=23,所以∠ＣＥＨ＝ 60 所以所求二面角的大小为60.追踪训练1.已知a//b,且c 与a,b 都相交，求证：a,b,c 共面．易证略2.空间四边形ABCD 中, AB=CD , 且AB 与CD 成60°角, E 、F 分别为AC 、BD 的中点, 则EF 与AB 所成角的度数为 6030或.3.设长方体三棱长分别为a,b,c,若长方体所有棱长的和为24,一条对角线长为5,体积为2,则=++cb a 111 ( A )A411 B 114 C 211 D 1124.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5:2:8,体积为14, 则棱台的高为 ( B )A 3B 2C 5D 45. 一个正四面体的所有棱长都为2，四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( A )A 3πB 4πC 5πD 6π听课随笔。

课 题：9．7直线与平面所成的角和二面角(一)教学目的：1.理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念2.根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角3.培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等4.培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣 教学重点：线面夹角的概念及利用概念分步求夹角教学难点：直线和平面所成角的概念及12cos cos cos θθθ=⋅的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节有三个知识点：直线与平面所成的角、二面角、两平面垂直的性质要求学生掌握直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念并能灵活运用勾股定理、正余弦定理和向量代数方法计算有关的角和距离了解异面直线距离的概念和计算在学生已初步掌握向量工具的基础上，可用向量工具解决立体几何中的一些较难的问题，一方面可进一步显示向量工具的威力，另外也为解决空间的度量问题找到了通法，减少学生学习度量问题的困难过去学生解这类问题，主要方法是构造三角形，应用勾股定理、余弦定理和正弦定理求解这种解法需要对图形进行平移、投影等转化技能，而且不同的问题需要不同的技巧实践证明，没有向量工具，学生求解这类问题比较困难有了向量运算工具，很多较难的空间计算问题，就有了统一的方法求解、但如果全用向量处理夹角相距离问题，虽有通法，但有时在解决一些较难问题时，运算量较大并需要一定的技巧，学所以在教材具体编写时，不是都用向量计算方法，有些直接使用勾股定理和三角能解决的问题，就不再使用向量方法了教学过程：一、复习引入：1．平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质：2．直线和平面的位置关系（平行、相交和直线在平面内）二、讲解新课： 1 斜线,垂线,射影⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,斜线和平面的交点叫斜足段叫这点到这个平面的斜线段⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上2．射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中 ⑴射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长 ⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长 ⑶垂线段比任何一条斜线段都短 ⑴OB=OC ⇒AB=AC OB >OC ⇒AB >AC⑵AB=AC ⇒OB=OC AB >AC ⇒OB >OC ⑶OA <AB ，OA <AC3．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角直线和平面所成角范围： [0，2π]（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角证明：设平面α的一条斜线l 在α内的射影为l '，角θ是l 与l '所成的角直线OD 是平面α内与l '不同的任意一条直线，过点l 上的点A 引AC 垂直于OD ，垂足为C因为AB<AC ， 所以AOAC AOAB <，即AOC ∠<sin sin θ,因此AOC ∠<θ4．公式已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=OCBAα用几何法研究：在平面α的斜线a 上取一点P ，过点P 分别作直线c 、b 的垂线PO 、PB ，垂足为O 、B连接OB ，则OB ⊥b.在直角△AOP 中，AP AO =1cos ϕ. 在直角△ABC 中，AO AB =2cos ϕ.在直角△ABP 中，AP AB =θcos .所以 θϕϕcos cos cos 21==⋅=APAB AOAB APAO所以θϕϕcos cos cos 21=成立用向量运算研究：如图，A P 是平面α的斜线，A 是斜足，P O 垂直于平面α，O 为垂足，则直线A O 是斜线在平面α内的射影A B 是平面α内的任意一条直线，且O B A B ⊥，垂足为B ，又设A P 与A O 所成角为1θ，A B 与A O 所成角为2θ，A P 与A B 所成角为θ，则易知：1||||cos AO AP θ= ，212||||cos ||cos cos AB AO AP θθθ==又∵||||cos A B A P θ=，可以得到：12cos cos cos θθθ=⋅，则同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角； 三、讲解范例：例1 如图，已知A B 是平面α的一条斜线，B 为斜足，,AO O α⊥为垂足，BC 为α内的一条直线，60,45ABC O BC ∠=∠=，求斜线A B 和平面α所成角解：∵A O α⊥，由斜线和平面所成角的定义可知，A B O ∠为A B 和α所成角， 又∵12cos cos cos θθθ=⋅，ODCBA1A∴cos cos 601cos cos cos 45222ABC ABO C BO∠∠===÷=∠，∴45BAO ∠= ，即斜线A B 和平面α所成角为45 ．例2．如图，在正方体1AC 中，求面对角线1A B 与对角面11BB D D 所成的角解法一：连结11A C 与11B D 交于O ，连结O B ，∵111DD A C ⊥，1111B D A C ⊥，∴1A O ⊥平面11BB D D ， ∴1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角， 在1Rt A BO ∆中，1112A O AB =，∴130A B O ∠=．解法二：由法一得1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角，又∵11cos cos 452ABB ∠==，11cos 3B B B BO BO∠==，∴1111cos cos cos 23A B B A B O B B O∠∠===∠，∴130A B O ∠= ．说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角另外，在条件允许的情况下，用公式21cos cos cos θθθ=⋅求线面角显得更加方便解法三：建立空间直角坐标系，用向量计算例3．已知空间四边形A B C D 的各边及对角线相等，求A C 与平面BC D 所成角的余弦值解：过A 作A O ⊥平面BC D 于点O ，连接,,CO BO DO ，∵A B A C A D ==，∴O 是正三角形BC D 的外心， 设四面体的边长为a ，则3C O a =，CA∵90AOC ∠= ，∴A CO ∠即为A C 与平面BC D 所成角，∴cos 3AC O ∠=，所以，A C 与平面BCD 所3．例4 如图，已知AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∠ABP =∠ACP =60º，PB =PC =2BC ，D 是BC 中点，求AD 与平面PBC 所成角的余弦值. 解：∵AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∴AP ⊥PBC 连PD ，则PD 就是AD 在平面PBC 上的射影 ∴∠PDA 就是AD 与平面PBC 所成角又∵∠ABP =∠ACP =60º，PB =PC =2BC ，D 是BC 中点，∴PD=BC 27, PA=6BC ∴AD=BC 231∴31217cos ==∠ADPD PDA∴AD 与平面PBC 217四、课堂练习： 1 选择题（1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ）（A ）（0º,90º） （B ）[0º,90º] （C ）[0º,180º] （D ）[0º,180º)（2）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是 （ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 （3）从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是（ ）（A ）0条或1条 （B ）0条或无数条（C ）1条或2条 （D ）0条或1条或无数条答案：（1）B (2)C (3)D 2．填空题（1）设斜线与平面α所成角为θ，斜线长为l ，则它在平面内的射影长是 . （2）一条与平面相交的线段，其长度为10cm ，两端点到平面的距离分别是2cm ，E13cm ，这条线段与平面α所成的角是 .（3）若（2）中的线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，则线段所在直线与平面α所成的角是 .答案：（1）θcos l （2）030 （3）101arcsin3．若P 为⊿ABC 所在平面外一点，且P A =PB =PC ，求证点P 在⊿ABC 所在平面内的射影是⊿ABC 的外心.分析：斜线段长相等，则射影长也相等从而由PA =PB =PC ，点P 的射影到⊿ABC 的三个顶点的距离相等，所以射影为⊿ABC 的外心.五、小结 ：我们学习了有关平面的斜线、射影和直线与平面成角的几个概念，射影定理中的三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的．否则，结论不成立．线面夹角的概念及解题步骤：先找垂线，后找射影最后确定夹角在具体解题时，关键是求斜线在平面内的射影六、课后作业：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、A 1D 1的中点，求：（1）D 1B 1与面AC 所成角的余弦值； （2）EF 与面A 1C 1所成的角； （3）EF 与面AC所成的角．解：（1）设正方体的边长为a ，则在1Rt D BD ∆中，1,DB D B ==.∴1cos 3D B D ∠==.（2）45°．（3）45°． 七、板书设计（略）八、课后记：在具体解题时往往找不出夹角，关键是不能求斜线在平面内的射影，通过练习，使学生在不同的视图中能较熟练地找出射影。

第2021 斜线在平面内的射影习题课教学目标：使学生正确区分各个概念，并能结合线面平行和垂直的有关知识解决具体问题，进一步培养学生的空间想象能力和分析问题的能力。

教学重点、难点：问题的分析、论证。

教学过程：复习定义、定理。

例1：直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，两直角边AB、AC与α都斜交，点A在平面α内的射影是点A′，求证：∠BA′C是钝角三角形。

证明：过A作AD⊥BC于D，连结A′D∵AA′⊥α，BCα∴AA′⊥BC∴BC⊥A′D∵tan∠BAD ＝BDBDAD＜tan∠BA′D＝A′DC DC Dtan∠CAD＝AD＜tan∠CA′D＝A′D∴∠BAD＜∠BA′D，∠CAD＜∠CA′D∴∠BAC＜∠BA′C，即∠BA′C是钝角。

推广：1〕图中，假设∠ABC、∠ACB均为钝角，那么射影角较大。

2〕假设∠ABC、∠ACB中有一钝角，那么射影角较小。

3〕锐角的一边与面平行或者在面内，另一边是面的斜线时，射影角较小。

4〕角的两边都是面的斜线，顶点在面上时，大小关系不确定。

例2：如图，直角三角形ABC在平面α上的射影是正三角形A1B1C1，且AA1＝5，BB1＝4，CC1＝3，求Rt△ABC中，斜边BC的长。

解：过C作CD∥B1C1，CF∥A1C1，过B作BE∥A1B1那么△BCD、△ABE、△ACF均为Rt△，且CD＝CF＝BE设为a，∴BC2＝a2＋4，AC2＝a2＋1，AB2＝a2＋1得：a2＝2∴BC＝a2＋4＝6例3：如图，四面体A－BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC 所成的角的正切值。

解：过A作AO⊥面BCD，连结OD、OB、OC，那么可证O是△BCD的中心作QP⊥OD∵QP∥AO∴QP⊥面BCD连结CP，那么∠QCP即为所求的角第1页共3页设四面体的棱长为a，那么：正△ACD中，Q是AD的中点∴CQ＝32a∵QP∥AO，Q是AD的中点∴QP＝AO＝1236a＝62a－(a)3QP2得：sin∠QCP ＝CQ＝3练习题：如图，线段AB的两端在平面α的同侧，斜线段AM、BN所在的直线分别与平面α300、600的角，且AM⊥AB，BN⊥AB，AM＝6，BN＝22，AB＝61〕求证：AB∥α；〔2〕求MN的长。

课题：直线的倾斜角与斜率授课人贾林山工作单位江苏省涟水中学直线的斜率〔第一课时〕一、教学的根本信息课题：本节课是?普通高中课程标准实验教科书·数学〔2〕?〔苏教版〕第二章第一节第一课〔〕二、指导思想与理论依据随着中学数学教育改革的深化，数学课程标准把课堂教学改革的实践目标定在探索、创造充满活力的课堂教学气氛，强调要把学生的“学〞作为教师“教〞的根底。

在对?课程标准?、教学大纲、教学法、教育学的理解根底之上，从教材分析、教学目标、重点、难点、教学方法、教学过程、板书设计、设计意图等方面入手设计本课，力图突出重点，突破难点，使学生更好掌握?直线的斜率?这节课内容。

同时大胆放手给学生一个自行探索的空间和时机，让学生在自我开展中发现，在自我开展中成长。

三、教材分析1、教材的地位和作用直线的倾斜角与斜率是直线的重要特征量，是研究直线的方程形式，直线与圆锥曲线位置关系等问题的起点，又是高考的热点和难点，担负着开启全章的重任,起到奠定基调，明确方向，承前启后的作用，因此在本课时的教学中不但要落实显性知识，更重要的是要揭示隐性知识：研究解析几何的根本方法——坐标法。

本课时涉及到两个概念——倾斜角和斜率,它们都是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度的量，倾斜角从“形〞的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率从“数〞的角度刻画直线的倾斜程度。

二者联系的桥梁是正切函数值，进一步可以用直线上两点的坐标表示直线的斜率。

倾斜角是一个桥梁，利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题。

而在建立直线方程，研究直线的几何性质时斜率起着重要的作用。

因此，坐标法和斜率是本课时的核心内容。

2、课时安排“直线的倾斜角和斜率〞可安排两个课时，这一节课是第一课时，主要在学生的认知根底之上来研究直线的倾斜角和斜率。

四、教法分析1、学情分析学生已经学习了一次函数、正切函数、平面向量等根本知识。

局部同学已经具备分析问题解决问题的能力,同时同学们还具备了自学的能力，大多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性，但自主探究问题的能力，合作交流的意识等方面开展不够均衡，尚有待加强。

2021年高中数学第2章平面解析几何初步1直线的斜率教学案（无答案）苏教版必修2目标要求:1、理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式2、理解直线的倾斜角的定义，知道直线的倾斜角的范围3、掌握直线的斜率和倾斜角之间的关系重点难点:重点：直线的斜率和倾斜角概念难点：对直线的斜率的概念理解与斜率公式典例剖析:例1、如图，直线都经过点P（3，2）例2、已知点（1）若直线AB的倾斜角为锐角，求m的取值范围；（2）若直线AB的倾斜角为直角，求m的取值范围；（3）若直线AB 的倾斜角为钝角，求m 的取值范围.例3、证明()()()1,5,3,3,7,11A B C --三点共线.例4、设点，直线l 经过点P （1，2），且与线段AB 相交，求直线l 的斜率的取值范围.学习反思：1、过两点的直线的斜率为k = _______________ ;2、注意直线的倾斜角和斜率之间的对应关系：当直线的斜率k = 0 时，倾斜角α= _____；当直线的斜率k > 0 时，倾斜角α为_____角；当直线的斜率k < 0 时，倾斜角α为_____角；特别地，直线的斜率不存在时，直线的倾斜角为_____角. 课堂练习：1、分别求经过下列两点的直线的斜率：（1）（2，3），（4，5）；（2）（—1，3），2、已知直线的倾斜角α的范围为（30°，120°），则斜率的范围为_______________.3、判断下列命题的真假：（1）若直线的斜率存在，则必有倾斜角与它对应；（2）若直线倾斜角存在，则必有斜率与它对应；（3）直角坐标系中所有的直线都有倾斜角；（4）直角坐标系中所有的直线都有斜率.4、若三点A（3，1），B（—2，b），C（8，11）在同一直线上，求实数b的值.江苏省泰兴中学高一数学作业(98)班级姓名得分1、过两点的直线的斜率为1，则n的值为 ____________.2、设直线l的倾斜角为α（α≠0°），则它关于y轴对称的直线的倾斜角是___________.3、已知直线l的斜率是，其倾斜角是，则=_____________.4、直线l经过第二、三、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围为___________;斜率k的取值范围为_____________.5、分别判断下列三点是否在同一直线上：（1）（0，2），（2，5），（3，7）：_________；（2）（—1，4），（2，1），（—2，5）：_________6、已知直线的斜率k的范围为，则倾斜角α的范围是_____________.7、过原点引直线l，使l与连接点A（1，1）和B（1，－1）两点的线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围是______________.8、△ABC的三个顶点为A（3，2），B（—4，1），C（0，—1），写出△ABC三边所在直线的斜率：__________；__________；__________.9、如图中的直线l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3，10、如果直线沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移一个单位后，又回到原来位置，求这条直线的斜率11、若过点的直线的倾斜角为钝角,求实数的取值范围.12、已知过点及点（0，b）的直线的倾斜角，求实数b的取值范围.。

高二数学同步辅导教材（第29讲）主讲: 孙福明(江苏省常州高级中学一级教师)一、本讲进度第九章直线、平面、简单几何体9．6 斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角二、主要内容1、空间直角坐标系的概念；2、空间直角坐标系下向量及向量运算的坐标表示；3、用向量的坐标运算证明立体几何中的相关问题，如角与距离。

三、学习指导1、通过上一节的学习可知，对于不共面的三个向量→-a，→-b，→-c，都可以把它们作为一个基底{→-a，→-b，→-c}，从而用它们的线性组合x→-a+y→-b+z→-c（x，y，z∈R）去表示空间任一向量→-p，并且→-p与有序数组（x，y，z）是一一对应的。

为了研究问题的方便，同时也是为了使基底的取法具有规律性，通常取{→-a，→-b，→-c}为两两互相垂直且长度为1，此时的基底称为单位正交基底，习惯用{→-i，→-j，→-k}来表示。

设定空间任意一点O为原点，分别以→-i，→-j，→-k的方向为正方向建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，则建立的图形称为空间直角坐标系，用O—xy表示。

如图，在中学阶段建立的是右手直角坐标系。

点O叫做原点，x轴、y轴、z轴称为坐标轴，→-i，→-j，→-k称为坐标向量，任两根坐标轴确定的平面称为坐标平面，如xOy平面，yOz平面，zOx平面。

2、在刚才的空间直角坐标系，由空间向量的基本定理，任一向量→-a都可以表示成→-a=a1→-i+a2→-j+a3→-k，称为有序数组（a1，a2，a3）为→-a向量在空间直角坐标系O—xyz的坐标。

因为这样表示是唯一的，所以可以直接表示为→-a=（a1，a2，a3）。

平移→-a，使表示→-a的有向线段的起点为原点O，设终点为A，则一定有→--OA=（x，y，z）（x，y，z∈R），称定义（x，y，z）为点A在空间直角坐标系中的坐标，可以简记为A（x，y，z），其中x，y，z分别叫做点A的横坐标，纵坐标，竖坐标。

注意：点的坐标与向量坐标之间的区别与联系。