【精编】人教A版高中数学选修2-1课件1空间向量及其运算课件-精心整理

空间向量及其运算
一、空间向量的有关概念：
c
空间向量：在空间中,具有大小和方向的量.a
常用 a 、b 、c ……等小写字母来表示.
b
1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .
2.可用一条有向线段 AB 来表示向量,向量 AB
的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
B 终点
A 类似于平面向量,为了研究的
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
b a
C a+b B
O
A
OB OA AB CA OA OC
空间向量的加减法
B
b
b
Oa A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以 它们可用同一平面内的两条有向线段表示。
AB a , AC b , AD c , 若 M 为 BC 的 中 点 , G 为
△BCD 的重心,试用 a 、b 、c 表示下列向量:
⑴ DM
1（a b) c 2
⑵ AG
A
1（a b c) 3
D
B
G
M
C
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
b b
a
a
结 1） 论空 ：
2） 面
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运 算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?
定义: 数乘空
与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积
a 仍然是一个向量.
⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 0 时, a 是零向量.
(1) AB1 A1D1 C1C x AC
D1
A1
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
(3) AC AB1 AD1 x AC1
D
C1 B1
C
A
B
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1D1 C1C x AC
因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平 面向量中有关结论仍适用于它们。
向量加法结合律在空间中仍成立吗?
( a + b )+ c = a +( b + c )
O
O
a
a
b +c
A
CA
C
bBc
b Bc
(平面向量)
向量加法结合律： ( a + b )+ c = a +( b + c )
O
O
a a
b +c
减法:三角形法则
运 加法交换律 算 abba
加法交换律 a b成 立b 吗a ？
加法结合律
律 加法结合律:
(a b) c a (b c)
(a b) c a (b c)
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的.因为
很奇妙,这样定义出来的运算竟然和实数的运算 在运算律方面有共同特点.
AG
(4) AB

AD+
1 2
CC1＝AM
.
D1 A1
C1 B1
a
D
C
A
B
平行六面体：平行四边形ABCD按向量 a 平移
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1
注:始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
思考2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(2) 2 AD1 BD1 x AC1(3) AC AB1 AD1 x AC1
(2) 2 AD1 BD1 AD1 AD1 BD1 AD1 (BC1 BD1 )
AD1 D1C1 AC1
x 1.
D1 A1
D
C1 B1
C
A
B
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
平面向量的加法、减法运算图示意义:
b
a
向量加法的三角形法则
b
a
向量加法的平行四边形法则
减向量终点指向
b
被减向量终点
a
向量减法的三角形法则
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
思考⑴:对空间任意两个向量 a 与 b ,如果 a b ,那 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢?
类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b 0 ),
a // b R , a b . c
b
a
制作不易 尽请参考
课外思考题:
如 图 , 已 知 空 间 四 边 形 ABCD 中 , 向 量
(3) AC AB1 AD1 x AC1
(3) AC AB1 AD1
( AD AB) ( AA1 AB) ( AA1 AD)
D1
2( AD AB AA1 )
A1
2AC1
x 2. D
C1 B1
C
A
B
向量的平行与重合
定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)
C1
(2) AB AD AA1 1
(3) 3 ( AB AD AA1 )
A1 G
B1 M
(4) AB

AD

1 2
CC1
D
C
解：(1)AB BC＝AC;
A
B
(2) AB 1

AD

AA1

AC 1
AA1

AC

CC1

AC1
(3)
( AB 3
AD
AA1 )

3
AC1

例如:
2a
a
3a
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
即：(a b) a b （ ）a a a (a) ()a
思考1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量.(如图)
(1) AB BC
D1
解(1) AB1 A1D1 C1C
D1
C1
A1
B1
AB1 B1C1 C1C
AC x 1.
D
C
A
B
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
(3) AC AB1 AD1 x AC1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
我们规定:
起点方便起见,
零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行
向量、共面向量等概念。（你认为应该怎样规定?）
概念 加法 减法 运算
空间向量的加减法运算
平面向量
空间向量
定义:具有大小、方向的量,表示法、相等向量.
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
加法:三角形法则或 平行四边形法则