2018年崇明高三二模数学

最大最全最精的教育资源网2018 年上海市崇明县中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1．（ 4 分） 8 的相反数是（ ）A ．B ．8C ．D ．﹣ 82．（ 4 分）以下计算正确的选项是（ ）A ．B ．336 ÷a 3 2a 2a=3a C ．（ 2a ）=2a D ． a=a+3．（ 4 分）今年 3 月 12 日，某学校展开植树活动，某植树小组 20 名同学的年龄状况以下表：年纪（岁） 1213 14 15 16人数14375那么这 20 名同学年纪的众数和中位数分别是（ ）A ．15，14B ．15，15C ．16，14D ．16，154．（ 4 分）某美术社团为练习素描，他们第一次用120 元买了若干真同样的画册，第二次用 240 元在同一家商铺买与前一次同样的画册，此次商家每本优惠 4 元，结果比前一次多买了20 本．求第一次买了多少本画册？设第一次买了 x 本画 册，列方程正确的选项是 （ ） A ． B ．C ．D ．5．（ 4 分）以下图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．等边三角形B ．平行四边形C ．菱形D ．正五边形6．（ 4 分）已知△ ABC 中， D 、E 分别是 AB 、AC 边上的点， DE ∥BC ，点 F 是 BC 边上一点，联络 AF 交 DE 于点 G ，那么以下结论中必定正确的选项是 （ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） ．（ 分）因式分解： x 2﹣9= ． 748．（ 4 分）不等式组的解集是．9．（ 4 分）函数 y=的定义域是．10．（4分）方程的根是 x=．11．（4 分）已知袋子中的球除颜色外均同样，此中红球有 3 个，假如从中随机摸得 1个红球的概率为，那么袋子中共有个球．12．（424x﹣ k=0有两个相等的实数根，那么实数 k 分）假如对于 x 的方程 x +的值是．．（4分）假如将抛物线y=x2+2x﹣1 向上平移，使它经过点 A （1，3），那13么所得新抛物线的表达式是．14．（4 分）某校组织了主题为“共建生态岛”的电子小报作品搜集活动，先从中随机抽取了部分作品，按 A，B， C， D 四个等级进行评分，而后依据统计结果绘制了如图两幅不完好的统计图，那么此次抽取的作品中等级为 B 的作品数为．15．（4 分）已知梯形 ABCD ，AD ∥ BC，BC=2AD ，假如，，那么=（用表示）．16．（4 分）如图，正六边形ABCDEF 的极点 B、C 分别在正方形 AGHI 的边AG、GH 上，假如 AB=4 ，那么 CH 的长为．17．（4 分）在矩形 ABCD 中， AB=5 ，BC=12，点 E 是 AB 上一点（不与 A 、 B 重合），以点 A 心， AE 半径作⊙ A ，假如⊙ C 与⊙ A 外切，那么⊙ C的半径 r 的取范是．18．（ 4 分）如，△ ABC 中，∠ BAC=90°，AB=6 ， AC=8，点 D 是 BC 的中点，将△ABD ，将△ ABD 沿 AD 翻折获得△ AED， CE，那么段 CE 的等于．三、解答（本大共7 ，分 78 分）19．（ 10 分）算：+ （29π 3.14）0 2）+（20．（ 10 分）解方程：21．（10 分）已知 O 的直径 AB=12 ，点 C 是上一点，且∠ ABC=30°，点 P 是弦 BC 上一点，点 P 作 PD⊥OP 交 O 于点 D．（1）如 1，当 PD∥AB ，求 PD 的；（2）如 2，当 BP 均分∠ OPD ，求 PC 的．22．（10 分）温度往常有两种表示方法：氏度（位：°F）与氏度（位：℃），已知氏度数 y 与氏度数 x 之是一次函数关系，下表列出了部分氏度与氏度之的关系：氏度数 x （℃）⋯0⋯35⋯100⋯氏度数 y （℉）⋯32⋯95⋯212⋯（ 1）用表格中出的数据，求y 对于 x 的函数分析式；（2）有一种温度上有两个刻度，即量某一温度左是氏度，右是氏度，那么在多少氏度，温度上右氏度的刻度正好似左氏度的刻度大 56？23．（12 分）如， AM 是△ ABC 的中，点 D 是段 AM 上一点（不与点 A 重合）． DE∥AB 交 BC 于点 K ，CE∥AM ， AE ．（ 1）求：；（2）求： BD=AE ．24．（ 12 分）已知抛物点 A （ 0， 3）、 B（4，1）、 C（3，0）．（1）求抛物的分析式；（2） AC、 BC、 AB ，求∠ BAC 的正切；（ 3）点 P 是抛物上一点，且在第一象限内，点P 作 PG⊥AP 交 y 于点 G，当点 G 在点 A 的上方，且△ APG 与△ ABC 相像，求点 P 的坐．25．（14 分）如，已知△ ABC 中， AB=8 ，BC=10， AC=12，D 是 AC 上一点，且 AB 2=AD?AC ，联络 BD ，点 E、F 分别是 BC、AC 上两点（点 E 不与 B、C 重合），∠AEF=∠C，AE 与 BD 订交于点G．（1）求证： BD 均分∠ ABC ；（2）设 BE=x， CF=y，求 y 与 x 之间的函数关系式；（3）联络 FG，当△ GEF 是等腰三角形时，求 BE 的长度．2018 年上海市崇明县中考数学二模试卷参照答案与试题分析一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）1．（ 4 分） 8 的相反数是（）A．B．8 C．D．﹣ 8【解答】解： 8 的相反数是﹣ 8，应选： D．2．（ 4 分）以下计算正确的选项是（）A．336÷a3 2B． a 2a=3a C．（ 2a）=2a D． a=a+【解答】解： A、+，没法计算，故此选项错误；B、a+2a=3a，正确；C、（ 2a）3=8a3，故此选项错误；D、 a6÷a3 =a3，故此选项错误；应选： B．3．（ 4 分）今年 3 月 12 日，某学校展开植树活动，某植树小组20 名同学的年龄状况以下表：年纪（岁）12 13 14 1516人数14375那么这 20 名同学年纪的众数和中位数分别是（）A．15，14 B．15，15 C．16，14 D．16，15【解答】解：因为 15 岁出现次数最多，因此众数为 15 岁，中位数为第 10、 11 个数据的均匀数，因此中位数为=15（岁），应选： B．4．（ 4 分）某美术社团为练习素描，他们第一次用120 元买了若干真同样的画册，第二次用240 元在同一家商铺买与前一次同样的画册，此次商家每本优惠4 元，结果比前一次多买了 20 本．求第一次买了多少本画册？设第一次买了 x 本画册，列方程正确的选项是（）A．B．C．D．【解答】解：设第一次买了x 本画册，依据题意可得：，应选： A．5．（ 4 分）以下图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形 B．平行四边形 C ．菱形D．正五边形【解答】解：A 、等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；C、菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．应选： C．6．（ 4 分）已知△ ABC 中， D、E 分别是 AB 、AC 边上的点， DE∥BC，点 F是 BC 边上一点，联络 AF 交 DE 于点 G，那么以下结论中必定正确的选项是（）A．B．C．D．【解答】解：∵ DE∥ BC，∴△ ADG ∽△ ABF ，△AEG∽△ ACF，∴= ，∴，应选： D ．二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）27．（ 4 分）因式分解： x ﹣9= （x+3）（ x ﹣ 3） ．故答案为：（ x+3）（ x ﹣ 3）．8．（ 4 分）不等式组 的解集是 ﹣3＜x ＜1 ．【解答】 解：，解不等式①得： x ＜1，解不等式②得： x ＞﹣ 3，因此不等式组的解集是﹣ 3＜ x ＜ 1．故答案为：﹣ 3＜x ＜1．9．（ 4 分）函数 y= 的定义域是 x ≠ 2 ．【解答】 解：依据题意得： x ﹣2≠0解得： x ≠2，故答案为： x ≠2．10．（ 4 分）方程的根是 x= 8 ．【解答】 解：方程两边平方得： x 1=9，解得： x=8 ，+经查验： x=8 是方程的解．故答案是： 8．11．（4 分）已知袋子中的球除颜色外均同样，此中红球有 3 个，假如从中随机摸得 1 个红球的概率为，那么袋子中共有24个球．【解答】解：设袋子中共有x 个球，∵红球有 3 个，从中随机摸得 1 个红球的概率为，∴= ，解得： x=24（个）．故答案为： 24．2 12．（ 4 分）假如对于 x 的方程 x +4x﹣ k=0 有两个相等的实数根，那么实数 k 的值是﹣4 ．2∵对于 x 的方程 x +4x﹣k=0 有两个相等的实数根，故答案为：﹣ 4．13．（ 4 分）假如将抛物线 y=x2+2x﹣1 向上平移，使它经过点 A （1，3），那么所得新抛物线的表达式是 y=x2+2x ．2【解答】解：∵将抛物线 y=x +2x﹣ 1 向上平移，使它经过点 A （1， 3），2∴平移后的分析式为： y=x +2x﹣1+h，则 3=1+2﹣ 1+h，解得： h=1，故所得新抛物线的表达式是： y=x2+2x．故答案为： y=x2+2x．14．（4 分）某校组织了主题为“共建生态岛”的电子小报作品搜集活动，先从中随机抽取了部分作品，按A，B， C， D 四个等级进行评分，而后依据统计结果绘制了如图两幅不完好的统计图，那么此次抽取的作品中等级为 B 的作品数为48．【解答】解：∵ 30÷25%=120（份），∴一共抽取了 120 份作品，∴此次抽取的作品中等级为 B 的作品数 120﹣36﹣30﹣ 6=48 份，故答案为： 48．15．（4 分）已知梯形 ABCD ，AD ∥ BC，BC=2AD ，假如，，那么=﹣（用表示）．【解答】解：∵= ，= ，∴=﹣=﹣，∵ AD∥BC， BC=2AD ，∴==（﹣）=﹣．故答案为：﹣．16．（4 分）如图，正六边形ABCDEF 的极点 B、C 分别在正方形 AGHI 的边AG、GH 上，假如 AB=4 ，那么 CH 的长为．【解答】解：正六边形的内角的度数 ==120°，则∠ CBG=180° ﹣120°=60°，∴∠ BCG=30°，∴BG= BC=2， CG= BC=2 ，∴AG=AB +BG=6，∵四边形 AGHI 是正方形，∴GH=AG=6 ，∴CH=HG﹣CG=6﹣2 ，故答案为： 6﹣2 ．17．（4 分）在矩形 ABCD 中， AB=5 ，BC=12，点 E 是边 AB 上一点（不与 A 、B 重合），以点 A 为圆心， AE 为半径作⊙ A ，假如⊙ C 与⊙ A 外切，那么⊙ C 的半径 r 的取值范围是8＜r＜13 ．【解答】解：∵四边形 ABCD 为矩形，∴∠ B=90°， AD=BC=12 ，在 Rt△ABC 中， AC==13，∵以点 A 为圆心， AE 为半径作⊙ A ，假如⊙ C 与⊙ A 外切，可得：⊙ C 的半径 r 的取值范围是 8＜r＜ 13．故答案为： 8＜r＜ 1318．（ 4 分）如图，△ ABC 中，∠ BAC=90°，AB=6 ， AC=8，点 D 是 BC 的中点，将△ ABD ，将△ ABD 沿 AD 翻折获得△ AED，联络 CE，那么线段 CE 的长等于．【解答】解：如图连结 BE 交 AD 于 O，作 AH ⊥BC 于 H．在 Rt△ABC 中，∵ AC=8 ，AB=6 ，∴ BC==10，∵CD=DB，∴AD=DC=DB=5 ，∵BC?AH= AB?AC，∴AH=，∵AE=AB ，∴点 A 在 BE 的垂直均分线上．∵DE=DB=DC ，∴点 D 在 BE 使得垂直均分线上，△BCE 是直角三角形，∴ AD 垂直均分线段 BE ，∵ AD?BO=BD?AH，∴OB= ，∴ BE=2OB=，在 Rt△BCE 中， EC=== ，故答案为三、解答题（本大题共7 题，满分 78 分）19．（ 10 分）计算：+ （29π 3.14）0﹣2）+﹣（﹣【解答】解：原式 =3 +7﹣4+3﹣1 =9﹣．20．（ 10分）解方程组：【解答】解：由①得：x 3y=0 或 x ﹣ 3y=0③，+由②得： x﹣ y=2 或 x ﹣ y=﹣2④，由③和④构成方程组，，，，解得：，，，，因此原方程组的解为：，，，．21．（10 分）已知圆 O 的直径 AB=12 ，点 C 是圆上一点，且∠ ABC=30°，点 P 是弦 BC 上一动点，过点 P 作 PD⊥OP 交圆 O 于点 D．（1）如图 1，当 PD∥AB 时，求 PD 的长；（2）如图 2，当 BP 均分∠ OPD 时，求 PC 的长．【解答】解：如图 1，联络 OD∵直径 AB=12∴OB=OD=6∵PD⊥ OP∴∠ DPO=90°∵PD∥ AB∴∠ DPO+∠ POB=180°∴∠ POB=90°又∵∠ ABC=30°，OB=6∴∵在 Rt△ POD 中， PO2+PD2=OD2∴∴（ 2）如图 2，过点 O 作 OH⊥BC，垂足为 H ∵OH⊥ BC∴∠ OHB=∠ OHP=90°∵∠ ABC=30°， OB=6∴，∵在⊙ O 中，OH⊥BC∴∵BP 均分∠ OPD∴∴PH=OH?cot45°=3∴．22．（10 分）温度往常有两种表示方法：氏度（位：°F）与氏度（位：℃），已知氏度数 y 与氏度数 x 之是一次函数关系，下表列出了部分氏度与氏度之的关系：氏度数 x （℃）⋯0⋯35⋯100⋯氏度数 y （℉）⋯32⋯95⋯212⋯（ 1）用表格中出的数据，求y 对于 x 的函数分析式；（2）有一种温度上有两个刻度，即量某一温度左是氏度，右是氏度，那么在多少氏度，温度上右氏度的刻度正好似左氏度的刻度大 56？【解答】（1）解： y=kx +b（k≠0）把x=0，y=32；x=35，y=95代入 y=kx b，得，+解得∴ y 对于 x 的函数分析式（ 2）由意得：解得x=30∴在 30 氏度，温度右氏度的刻度正好似左氏度的刻度大56．23．（12 分）如， AM 是△ ABC 的中，点 D 是段 AM 上一点（不与点 A 重合）． DE∥AB 交 BC 于点 K ，CE∥AM ， AE ．（ 1）求：；（2）求： BD=AE ．【解答】证明：（ 1）∵ DE∥AB ，∴∠ ABC= ∠ EKC．∵CE∥ AM ，∴∠ AMB= ∠ECK ，∴△ ABM ∽△ EKC ，∴= ．∵AM 是△ ABC 的中线，∴ BM=CM ，∴．（2）证明：∵ CE∥AM ，∴△ KDM ∽△ KEC ，∴ = ，∴，又∵，∴DE=AB ．又∵ DE∥AB ，∴四边形 ABDE 是平行四边形，∴BD=AE ．24．（ 12 分）已知抛物线经过点 A （ 0， 3）、 B（4，1）、 C（3，0）．（1）求抛物线的分析式；（2）联络 AC、 BC、 AB ，求∠ BAC 的正切值；（ 3）点 P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P 作 PG⊥AP 交 y轴于点 G，当点 G 在点 A 的上方，且△ APG 与△ ABC 相像时，求点 P 的坐标．【解答】解：（ 1）设所求二次函数的分析式为y=ax2+bx+c（a≠0），将 A （0，3）、 B（ 4， 1），C（ 3，0）代入，得：，解得：，因此，这个二次函数的分析式为：；（2）∵ A（0，3、B（4，1）、 C（3，0 ）∴ AC=3，BC=，AB=2，∴AC2+BC2=AB 2∴∠ ACB=90°，∴；（ 3）过点 P 作 PH⊥y 轴，垂足为 H设 P则 H∵A（0，3）∴，PH=x，∵∠ ACB= ∠ APG=90°∴当△ APG 与△ ABC 相像时，存在以下两种可能：①∠ PAG=∠ CAB则 tan∠PAG=tan∠CAB= ，即∴，解得： x=11，∴点 P 的坐标为（ 11， 36）；②∠ PAG=∠ ABC则 tan∠PAG=tan∠ABC=3即∴解得： x=，∴点 P 的坐标为，综上所述：点 P 的坐标为或（11，36）．25．（14 分）如图，已知△ ABC 中， AB=8 ，BC=10， AC=12，D 是 AC 边上一点，且 AB 2=AD?AC ，联络 BD ，点 E、F 分别是 BC、AC 上两点（点 E 不与 B、 C 重合），∠AEF=∠C，AE 与 BD 订交于点G．（1）求证： BD 均分∠ ABC ；（2）设 BE=x， CF=y，求 y 与 x 之间的函数关系式；（3）联络 FG，当△ GEF 是等腰三角形时，求 BE 的长度．【解答】解：（ 1）∵ AB=8，AC=12 ，又∵ AB 2=AD?AC ，∴，∴，∵AB2=AD?AC ，∴，又∵∠ BAC 是公共角，∴△ ADB ∽△ ABC ，∴∠ ABD= ∠C，，∴，∴BD=CD，∴∠DBC=∠C，∴∠ABD= ∠ DBC，∴BD 均分∠ ABC ；（ 2）如图，过点 A 作 AH ∥ BC，交 BD 的延伸线于点H，∵AH∥BC，∴，∵， AH=8 ，∴，∴BH=12，∵AH∥BC，∴，∴，∴，∵∠ BEF=∠C+∠EFC，∴∠ BEA+∠AEF= ∠C+∠EFC，∵∠ AEF=∠C，∴∠ BEA=∠ EFC，又∵∠ DBC= ∠C，∴△ BEG∽△ CFE，∴，∴，∴；（ 3）当△ GEF 是等腰三角形时，存在以下三种状况：1°若 GE=GF，则∠ GEF=∠GFE=∠ C=∠DBC ，∴△ GEF∽△ DBC ，∵BC=10， DB=DC= ，∴= = ，又∵△ BEG∽△ CFE，∴，即，又∵，∴x=BE=4；2°若 EG=EF，则△ BEG 与△ CFE 全等，∴BE=CF，即 x=y，又∵，∴ x=；3°若 FG=FE，则同理可得= =，由△ BEG∽△ CFE，可得，即，又∵，∴ x=．。

.函数y = lg x —1的零点是 ,函数y =lg x 的反函数是2 (2021普陀二模).假设函数f (x)=函数,那么实数m 二.假设函数f (x)=底工3的反函数为g(x),那么函数g(x)的零点为x x、3 (2021徐汇二模).函数f (x) =lg(3 -2 )的定义域为3 (2021黄浦二模).假设函数f (x) = J8—ax —2x 2是偶函数,那么该函数的定义域是4 (2021浦东二模).f 」(x)是函数f(x) = log 2(x+1)的反函数,那么f,(2)=4 (2021松江二模).定义在R 上的函数f (x) =2x -1的反函数为y = f,(x),那么f,(3)= ..... 一一 94 (2021金山二模).函数y=x+—, x = (0,+=叼的最小值是x, ,,, 4 10g 2 x -1e,4 (2021崇明二模).假设=0,那么x =-42-xx 芝0 —」 」5(2021 虹口二模).函数 f(x)=« 乂,那么 f ,［f ,(—9)］ =2 -1 x <0xx6(2021 黄浦二模).方程 10g 3(3 2 +5)—log 3(4 +1)=0 的解 x=9 (2021崇明二模).设f(x)是定义在R 上以2为周期的偶函数,当 xW ［0,1］时,f(x) =log 2(x +1),贝U 函数 f(x)在［1,2］上的解析式是29 (2021奉贤二模).给出以下函数：① y=x+,；②y = x 2+x ；③y =2|x|；④y = x 3； x ⑤ y =tanx;⑥ y =sin(arccosx);⑦ y =lg(x + J x 2 +4) -lg2 .从这 7 个函数中任取两个函数,那么其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是10(2021长嘉二模).函数f(x) = lg(dx 2+1+ax)的定义域为R,那么实数a 的取值范 围是 ________210 (2021松江二模).右函数f(x)=log a (x —ax +1) ( a > 0且a =1)没有最小值,那么a 的 取值范围是210 (2021宝山二模).奇函数f(x)定义域为R,当x>0时,f(x)=x+ -------------------------- 1 (这里m 为x正常数),假设f (x) Mm-2对一切x£0成立,那么m 的取值范围是10( 2021青浦二模).f(x)是定义在［—2,2］上的奇函数,当xW(0,2］时,f(x)=2x —1 , 函数g(x) =x 2 — 2x +m ,如果对于任意的 x 1亡［—2,2］,总存在x 2 €［-2,2］,使得3 (2021静安二模).函数y = Jlg(x+2)的定义域为1 (2021杨浦二模)2 (2021金山二模)3 (2021普陀二模)f(x 1) <g(x 2),那么实数m 的取值范围是11 (2021浦东二模).f(x)是定义在R 上的偶函数,且 f (x)在[0,收)上是增函数, 如果对于任意xw[1,2], f (ax+1) w f (x —3)恒成立,那么实数a 的取值范围是. ....................... 1、x . . 1.11.设 M ={y|y =(—) ,x w R } , N ={ y | y =(——+1)(x-1)+(| m |-1)(x-2),1 <x<2}, 2m —1假设N J M ,那么实数m 的取值范围是 (普陀二模)11 (2021虹口二模).[x]是不超过x 的最大整数,那么方程(2x )2—7 [2x ]—1=0满足x<1 4 4的所有实数解是22(x 7) ^sin x -11 (2021徐汇二模).假设函数f (x)=———2 ------------- 的取大值和取小值分别为M 、m,那么x 1函数g(x)=(M +m)x+sin[(M +m)x-1]图像的一个对称中央是25_12 (2021浦东二模).函数f(x)=x —5x +7 ,右对于任意的正整数 n,在区间[1,n+—] n上存在m+1个实数a .、a 1、a 2、■■■、a m ,使得f (a .)a f (a 1)十f (a 2)十…十f (a m )成立,那么m 的最大值为212 (2021黄浦二模).函数f(x) = ax +bx+c(0 <2a<b)对任意x =R 恒有f(x)至0 成立,那么代数式 _____ 9一的最小值是f(0) -f (-1) 13 (2021虹口二模).以下函数是奇函数的是()列四个结论正确的选项是(A. f(—x)为奇函数B. f(—x)为偶函数C. f(x+3)为奇函数D. f(x+3)为偶函数15 (2021青浦二模).函数f (x)是R 上的偶函数,对于任意X E R 都有f (X 1) f (x 2)f (x +6) =f (x) +f(3)成立,当 X i ,X2^[0,3],且 X i #X 2 时,都有————>0,给A. f (x) =x 1 C. f (x) = arccosxB. f (x) = sin x cosx D. 二xf (x)=-X x 0x :: 015 (2021宝山二模).假设函数f (x) (x W R)满足f (_1+x)、f (1+x)均为奇函数,那么下15 (2021长嘉二模).点P 在边长为1的正方形ABCD 的边上运动, 是CD 中点,那么当P 沿A-B-C-M 运动时,点P 经过的路程x 与 △APM 的面积y 的函数y = f (x)的图像的形状大致是以下图中的(A. B.C. D.X1 - x2出以下三个命题：①直线x = -6是函数f (X)图像的一条对称轴；②函数f (x)在区间[_9,_6]上为增函数；③函数f (x)在区间[—9,9]上有五个零点；问：以上命题中正确的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 316 (2021静安二模).函数f(x)=x +x+10,头数x1、x2、X3满足2+*2<0,X2 +X3 <0, X3 +X1 <0,那么f (X1)十f (X2) + f (X3)的值( )A. 一定大于30B. 一定小于30C.等于30D.大于30、小于30都有可能16 (2021松江二模).给出以下三个命题：命题1 ：存在奇函数f (x) (x W D1)和偶函数g(x) ( x W D2 ),使得函数f (x)g(x)(x w D1 Pl D2 )是偶函数；命题2：存在函数f(x)、g(x)及区间D ,使得f (x)、g(x)在D上均是增函数,但f (x)g(x)在D上是减函数；命题3：存在函数f(x)、g(x)(定义域均为D),使得f(x)、g(x)在x = x0( x0w D )处均取到最大值,但f(x)g(x)在x = x0处取到最小值；那么真命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 316 (2021浦东二模).设P、Q是R上的两个非空子集,如果存在一个从P到Q的函数y = f(x)满足：(1) Q ={ f(x) |x w P} ；(2)对任意x,X2 W P,当x <X2 时,恒有f(xj < f (X2),那么称这两个集合构成“P T Q恒等态射〞,以下集合可以构成“P T Q恒等态射〞的是( )A. R- ZB. Z- QC. [1,2] > (0,1)D. (1,2) > R17 (2021杨浦二模).共享单车给市民出行带来了诸多便利, 某公司购置了一批单车投放到...... .... 一,,、、.... ........ ........ ...、、—一 . * 某地给市民使用,据市场分析,每辆单车的营运累计利润.... y(单位：元)与营运天数x(x w N )1 0满足函数关系式y = —-x2• 60X -800. 2(1)要使营运累计利润高于800元,求营运天数的取值范围；(2)每辆单车营运多少天时,才能使每天的平均营运利润、的值最大？X18 (2021黄浦二模).某企业欲做一个介绍企业开展史的铭牌, 铭牌的截面形状是如下图的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).OA = 10米,OB = x米,0<x<10,线段BA、线段CD与弧BC、弧AD的长度之和为30米,圆心角为日弧度.(1)求白关于x的函数解析式；(2)记铭牌的截面面积为y,试问x取何值时,y的值最大？并求出最大值x2 1 .18 2021 奉贤二模.函数f(x)= —+ r—1, k#0,k 2(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)f (x)在(-g,0]上单调递减,求实数k的取值范围.19 (2021宝山二模).某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点,研究说明：用该技术进行淡水养虾时,在一定的条件下, 每尾虾的平均生长速度为g(x)(单位：千克/年)养殖密度为x , x >0 (单位：尾/立方分米),当x不超过4 时,g(x)的值恒为2;当4WxW20, g(x)是x的一次函数,且当x到达20时,因养殖空间受限等原因,g(x)的值为0.(1)当0<xE20时,求函数g(x)的表达式；(2)在(1)的条件下,求函数f(x)=x g(x)的最大值.219 (2021徐汇二模).函数f(x) = x —3tx+1,其定义域为[0,3] U[12,15].(1)当t=2时,求函数y = f(x)的反函数；(2)如果函数y = f(x)在其定义域内有反函数,求实数t的取值范围.19 (2021长嘉二模).某创新团队拟开发一种新产品,根据市场调查估计能获得10万元到1000万元的收益,先准备制定一个奖励方案：奖金y (单位：万元)随收益x (单位：万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金不超过收益的20%.(1)假设建立函数y = f(x)模型制定奖励方案,试用数学语言表示该团队对奖励函数 f (x)模x 一 .........型的根本要求,并分析y=——+2是否符合团队要求的奖励函数模型,并说明原因；15010x—3a作为奖励函数模型,试确定最小正整数a的值. (2)假设该团队采用模型函数f(x) :x 219 (2021松江二模).某公司利用APP线上、实体店线下销售产品A,产品A在上市20天内全部售完,据统计,线上日销售量f(t)、线下日销售量g(t)(单位：件)与上市时间t10t 1 <t <10 , 、 2 2…一一系满足：f(t)=4 ,g(t)=—t +20t (lMtM20),广品 A 每件的-10t 200 10 :二t <20〞,、40 1 <t <15 、,、,销售利润为h(t)=V (单位：元)(日销售量=线上日销售量+线下日销售量).20 15 <t <20(1)设该公司产品A的日销售利润为F(t),写出F(t)的函数解析式；(2)产品A上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？220 (2021 青浦二模).设函数f(x) =| ——ax+5| (a w R). x(1)求函数的零点；(2)当a =3时,求证：f (x)在区间(3,_1)上单调递减；(3)假设对任意的正实数a,总存在*0亡［1,2］,使得f(%)之m,求实数m的取值范围.20 (2021普陀二模).定义在R上的函数f(x)满足：对任意的实数x ,存在非零常数t,都有f (x +t) = —tf (x)成立.(1)假设函数f (x) =kx+3 ,求实数k和t的值；(2)当t=2时,假设x^ ［0,2］ , f(x)=x(2—x),求函数f(x)在闭区间［—2,6］上的值域；(3)设函数f (x)的值域为［菖,a］,证实：函数f(x)为周期函数.-2x, -1 < x < 0,20 (2021黄浦二模).函数f(x) =42x -1, 0 - x -1.(1)求函数f (x)的反函数f/(x);(2)试问：函数f (x)的图像上是否存在关于坐标原点对称的点,假设存在,求出这些点的坐标；假设不存在,说明理由；(3)假设方程f(x)+2*一x2十| f (x) —221 —x2|—2ax —4 = 0的三个实数根x1、x2、x3满足X <x2 <x3,且x3 —x2 = 2(x2 -X I),求实数a 的值.20 (2021浦东二模).函数y = f(x)定义域为R,对于任意x W R恒有f (2x) =-2 f (x).(1)假设f(1) = —3 ,求f (16)的值；⑵假设x w (1,2］时,f(x) =x2—2x+2 ,求函数y=f(x), x w (1,8］的解析式及值域；3 .(3)右x=(1,2］时,f(x) = -|x--|,求y = f(x)在区间(1,2 ］, n= N 上的最大值与最小值.2x a _20 (2021 崇明二模).函数f(x)=2^, x w R.2 1(1)证实：当a >1时,函数y = f (x)是减函数；(2)根据a的不同取值,讨论函数y = f (x)的奇偶性,并说明理由；(3)当a =2,且b <c时,证实：对任意d w[f (c), f (b)],存在唯一的x° w R,使得f(%) = d , 且X [b,c].21 (2021杨浦二模).记函数f (x)的定义域为D.如果存在实数a、b使得f( a— X)十f( a+X b任意满足a-x w D且a+x w D的x恒成立,那么称f(x)为中函数.1(1)设函数f(x)=」-1,试判断f (x)是否为受函数,并说明理由；x1(2)设函数q(x) = ^^ ,其中常数t#0,证实：g(x)是中函数；2x t(3)假设h(x)是定义在R上的中函数,且函数h(x)的图象关于直线x = m ( m为常数)对称,试判断h(x)是否为周期函数？并证实你的结论.21 (2021金山二模).假设函数y= f(x)对定义域内的每一个值X I ,在其定义域内都存在唯一的x2 ,使f (x1) f诲)=1成立,那么称该函数为“依赖函数〞 .(1)判断函数g(x)=2x是否为“依赖函数〞,并说明理由；(2)假设函数f(x)=(x-1)2在定义域[m,n] (m>1)上为“依赖函数〞,求实数m、n乘积mn的取值范围；2 4 4(3)函数f(x)=(x-a) ( a <-)在定义域[4,4]上为依赖函数,假设存在实数3 342x = [ —,4],使得对任意的t WR,有不等式f (x)至-t2+(s-t)x+4都成立,求实数s的最3大值.3 - - x z21 (2021 虹口二模).函数f(x)=ax +x—a (a = R, x - R) , g(x) = ------------------------------ 3 (x =1 -xR). …… … … .................................................................................. ............(1)如果x=—a一是关于x的不等式f(x)M0的解,求实数a的取值范围；…- -3 4 -34 .〜一,(2)判断g(x)在(-1,——]和[——,1)的单调性,并说明理由；2 2(3)证实：函数f (x)存在零点q ,使得a =q +q4+q7 + '" +q3n^十一成立的充要条件是-34 a .321 (2021 静安二模).设函数f(x) = |2x—7|+ax+1 ( a 为实数).(1)假设a = —1 ,解不等式f (x)至0 ;(2)假设当一x—A0时,关于x的不等式f(x)之1成立,求a的取值范围；1 -x2 x+1 一(3)设g(x)= ,假设存在x使不等式f(x)Eg(x)成立,求a的取值范围-a x -1。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. $y = \sqrt{x^2 - 1}$B. $y = \frac{1}{x}$C. $y = \log_2(x - 1)$D. $y = |x|$答案：D解析：A选项的定义域为$x \geq 1$；B选项的定义域为$x \neq 0$；C选项的定义域为$x > 1$；D选项的定义域为全体实数。

2. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f(-1)$的值为（）A. 0B. 1C. -1D. -2答案：B解析：将$x = -1$代入函数$f(x)$中，得$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = 1$。

3. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2n - 1$，则数列的前$n$项和$S_n$的值为（）A. $n^2$B. $n^2 - n$C. $n^2 + n$D. $n^2 - 2n$答案：A解析：数列的前$n$项和$S_n$可以表示为$S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$。

代入通项公式，得$S_n = (2 \cdot 1 - 1) + (2 \cdot 2 - 1) + \ldots + (2\cdot n - 1) = 2(1 + 2 + \ldots + n) - n = n^2$。

4. 若向量$\overrightarrow{a} = (1, 2)$，$\overrightarrow{b} = (2, -1)$，则$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$的值为（）A. 3B. -3C. 5D. -5答案：A解析：向量的数量积（点积）公式为$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b} = a_1b_1 + a_2b_2$。

代入向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的坐标，得$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) = 3$。

2018届高三数学二模典题库一、填空题1.集合1.设全集R U =，若集合{}2,1,0=A ，{}21|<<-=x x B ，()B C A U ⋂= . 【答案】{}2 【来源】18届宝山二模1 【难度】集合、基础题2.集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=02x xxA ，{|}B x x Z =∈，则A B ⋂等于 ．【答案】{}1或{}1=x x 【来源】18届奉贤二模1 【难度】集合、基础题3. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B ≠∅，则实数a 的范围是【答案】1a ≥ 【来源】18届虹口二模1 【难度】集合、基础题4．已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是 ．【答案】2 【来源】18届黄浦二模1 【难度】集合、基础题5．已知集合},2,1{m A =，}4,2{=B ，若}4,3,2,1{=B A ，则实数=m _______． 【答案】3【来源】18届长嘉二模1 【难度】集合、基础题6. 设集合1|,2xM y y x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，()()()1|1112,121N y y x m x x m ⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是 .【答案】(1,0)- 【来源】18届普陀二模11 【难度】集合、中档题7．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U . 【答案】]3,1[- 【来源】18届徐汇二模1 【难度】集合、基础题8. 已知集合{|(1)(3)0}P x x x =+-<，{|||2}Q x x =>，则P Q =【答案】(2,3) 【来源】18届金山二模3 【难度】集合、基础题9.已知集合{1,0,1,2,3}U =-，{1,0,2}A =-，则U C A =【答案】{1,3} 【来源】18届崇明二模1 【难度】集合、基础题2.命题、不等式1．不等式|1|1x ->的解集是 ．【答案】(,0)(2,)-∞+∞【来源】18届黄浦二模2 【难度】不等式、基础题2．已知函数2()(02)f x ax bx c a b =++<<对任意R x ∈恒有()0f x ≥成立，则代数式(1)(0)(1)f f f --的最小值是 ．【答案】3【来源】18届黄浦二模2 【难度】不等式、压轴题3．不等式|3|2x -<的解集为__________________． 【答案】{}15x x <<或()1,5 【来源】18届青浦二模1 【难度】不等式、基础题4．若为等比数列，0n a >，且2018a =，则2017201912a a +的最小值为 ．{}n a【答案】4【来源】18届杨浦二模10 【难度】不等式、中档题5. 函数9y x x=+，(0,)x ∈+∞的最小值是 【答案】6 【来源】18届金山二模4 【难度】不等式、基础题3.函数1.给出下列函数：①1y x x=+；②x x y +=2；③2x y =；④23y x =；⑤x y tan =；⑥()sin arccos y x =；⑦(lg lg 2y x =-．从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是 ． 【答案】37【来源】18届奉贤二模9 【难度】函数、中档题2.已知函数()()θ-=x x f 2sin 5，⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ，[]π5,0∈x ，若函数()()3-=x f x F 的所有零点依次记为n x x x x ,,,,321 ，且n n x x x x x <<<<<-1321 ，*N n ∈若π283222212321=++++++--n n n x x x x x x ，则=θ ． 【答案】9π【来源】18届奉贤二模12 【难度】函数、压轴题3.已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---=【答案】-2【来源】18届虹口二模5 【难度】函数、基础题4.若函数()f x =是偶函数，则该函数的定义域是 ． 【答案】[2,2]- 【来源】18届黄浦二模3 【难度】函数、基础题5.已知函数)1lg()(2ax x x f ++=的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_________．【答案】]1,1[-【来源】18届长嘉二模10 【难度】函数、中档题6.若函数1()21f x x m =-+是奇函数，则实数m =________.【答案】12【来源】18届普陀二模2 【难度】函数、基础题7.若函数()f x =()g x ，则函数()g x 的零点为________.【答案】x =【来源】18届普陀二模3 【难度】函数、基础题8.已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21xf x =-，函数 2()2g x x x m =-+. 如果对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f xg x ≤，则实数m 的取值范围是 .【答案】5m ≥- 【来源】18届青浦二模10 【难度】函数、中档题9.若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是 ．【答案】114⎛⎫⎪⎝⎭，【来源】18届徐汇二模11 【难度】函数、中档题10.设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，2()log (1)f x x =+，则函数()f x 在[1,2]上的解析式是 【答案】2()log (3)f x x =- 【来源】18届崇明二模9 【难度】函数、中档题4.指数函数、对数函数1.方程33log (325)log (41)0x x ⋅+-+=的解x = ． 【答案】2【来源】18届黄浦二模6 【难度】对数函数、基础题2.[]x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是【答案】12x =或1x =- 【来源】18届虹口二模11 【难度】指数函数、中档题3.若实数x 、y 满足112244+++=+y x yx，则y x S 22+=的取值范围是____________．【答案】]4,2(【来源】18届长嘉二模12 【难度】指数函数、压轴题4.函数()lg(32)x xf x =-的定义域为_____________． 【答案】(0,)+∞ 【来源】18届徐汇二模3 【难度】对数函数、基础题5.定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -=【答案】2【来源】18届松江二模4 【难度】指数函数、基础题6.若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围 【答案】()[)0,12,+∞【来源】18届松江二模10 【难度】指数函数、中档题7.函数lg 1y x =-的零点是 ． 【答案】10x = 【来源】18届杨浦二模1 【难度】对数函数、基础题8.函数lg y x =的反函数是【答案】1()10xf x -=【来源】18届金山二模2 【难度】对数函数、基础题5. 三角函数1.已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为AB ∠∠，，C ∠所对的边．若222b c a +-=，则A ∠= ．【答案】4π或045 【来源】18届奉贤二模5 【难度】三角函数、基础题2.已知ABC ∆的三内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若2222sin a b c bc A =+-，则内角A 的大小是 ． 【答案】4π【来源】18届黄浦二模4 【难度】三角函数、基础题3.若1sin 3α=，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________．【答案】13【来源】18届青浦二模3 【难度】三角函数、基础题4.在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222()tan b c a A bc +-=，则角A 的大小为________.【答案】6π 【来源】18届普陀二模5 【难度】三角函数、基础题5..函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 . 【答案】4π 【来源】18届宝山二模4 【难度】三角函数、基础题6.已知22s 1(,,0)cos 1a a in M a a a a θθθ-+=∈≠-+R ，则M 的取值范围是 ．【答案】⎣⎦【来源】18届青浦二模12 【难度】三角函数、压轴题7. 函数3sin(2)3y x π=+的最小正周期T =【答案】π【来源】18届金山二模1 【难度】三角函数、基础题8.若53sin )cos(cos )sin(=---x y x x y x ，则y 2tan 的值为 【答案】2424.77-或 【来源】18届杨浦二模9 【难度】三角函数、中档题9.在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，2a =，2sin sin A C =． 若B 为钝角，412cos -=C ，则ABC ∆的面积为 ．【来源】18届杨浦二模11 【难度】三角函数、中档题 10. 若2018100922sin(2cos )(3cos cos )(1cos cos )αββαβα--≥---+，则sin()2βα+=【答案】-1或1【来源】18届金山二模12 【难度】三角函数、压轴题题6. 数列1.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q = 【答案】1或12-【来源】18届虹口二模7 【难度】数列、基础题2.已知数列{}n a 是共有k 个项的有限数列，且满足11(2,,1)n n nna a n k a +-=-=-，若1224,51,0k a a a ===，则k = ．【答案】50【来源】18届黄浦二模11 【难度】数列、中档题3.设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠），若m 是等比数列{}n a （*N n ∈）的公比，且2462018()7f a a a a =，则22221232018()()()()f a f a f a f a ++++的值为_________.【答案】1990-【来源】18届普陀二模9 【难度】数列、中档题4.在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，若51S =，则10S = ． 【答案】33【来源】18届青浦二模5 【难度】数列、基础题7. 向量1.如图，已知O 为矩形4321P P P P 内的一点，满足7,543131===P P OP OP ，，则24OP OP ⋅的值为 .【答案】-4 【来源】18届宝山二模11 【难度】向量、中档题2.已知向量a 在向量b 方向上的投影为2-，且3b =，则a b ⋅= ．(结果用数值表示) 【答案】-6 【来源】18届黄浦二模5 【难度】向量、基础题3.在△ABC 中，M 是BC 的中点，︒=∠120A ，21-=⋅AC AB ，则线段AM 长的最小值为____________． 【答案】21 【来源】18届长嘉二模114.已知曲线29C y x =--：，直线2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是 ．11、 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【来源】18届青浦二模11 【难度】向量、中档题5.已知向量a 、b 的夹角为60°，||1a =，||2b =，若(2)()a b xa b +⊥-，则实数x 的值为 【答案】3【来源】18届松江二模7 【难度】向量、基础题6.点1F ，2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右两焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足：2122MNMF MF =⋅，则122MF MF +的最大值为__________.【答案】6【来源】18届普陀二模12 【难度】向量、压轴题7.已知两个不同向量(1,)OA m =，(1,2)OB m =-，若OA AB ⊥，则实数m =____________． 【答案】1【来源】18届青浦二模48.已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++，定义点集{|}||||FP FM FQ FMA F FP FQ ⋅⋅==. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的最小值为 ． 【答案】34【来源】18届杨浦二模12 【难度】向量、压轴题9.已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足||a =、||b =，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为 . 【答案】815【来源】18届徐汇二模12 【难度】向量、压轴题10. 在平面四边形ABCD 中，已知1AB =，4BC =，2CD =，3DA =，则AC BD ⋅的值为 【答案】10【来源】18届崇明二模12 【难度】向量、压轴题8. 解析几何1.设抛物线的焦点坐标为()01，，则此抛物线的标准方程为 . 【答案】24y x = 【来源】18届宝山二模2【难度】解析几何、基础题2.抛物线2y x =的焦点坐标是 ．【答案】（0，14） 【来源】18届奉贤二模3 【难度】解析几何、基础题3.椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为【答案】2mn【来源】18届虹口二模10 【难度】解析几何、中档题4.角的始边是x 轴正半轴，顶点是曲线2522=+y x 的中心，角的终边与曲线2522=+y x 的交点A 的横坐标是3-，角的终边与曲线2522=+y x 的交点是B ，则过B 点的曲线2522=+y x 的切线方程是 ．（用一般式表示）11、 【答案】7241250x y ±+= 【来源】18届奉贤二模11 【难度】解析几何、压轴题5.直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = 【答案】2 【来源】18届虹口二模2 【难度】解析几何、基础题ααα26.已知平面直角坐标系xOy 中动点),(y x P 到定点)0,1(的距离等于P 到定直线1-=x 的距离，则点P 的轨迹方程为______________． 【答案】x y 42= 【来源】18届长嘉二模4 【难度】解析几何、基础题7. 抛物线212x y =的准线方程为_______. 【答案】3y =- 【来源】18届普陀二模1 【难度】解析几何、基础题8.双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a =【答案】2a = 【来源】18届松江二模1 【难度】解析几何、基础题9.已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 . 【答案】2220x y x y +--= 【来源】18届徐汇二模10 【难度】解析几何、中档题10.已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a = . 【答案】1【来源】18届徐汇二模4 【难度】解析几何、基础题11.若双曲线222161(0)3x y p p-=>的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p = ．【答案】4【来源】18届杨浦二模8 【难度】解析几何、中档题12.平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=，如果这三条直线将平面化分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A = 【答案】{2,1,0}-- 【来源】18届金山二模10 【难度】解析几何、中档题13.已知双曲线22:198x y C -=，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得190F PQ ∠=︒，则1F PQ ∆的内切圆的半径r = 【答案】2【来源】18届金山二模11 【难度】解析几何、中档题14.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为 （结果保留π） 【答案】12π【来源】18届崇明二模6 【难度】解析几何、基础题15. 已知椭圆2221x y a +=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若123F F FF =，则a =【来源】18届崇明二模8 【难度】解析几何、中档题9. 复数1.设z 是复数，()a z 表示满足1nz =时的最小正整数n ，i 是虚数单位，则⎪⎭⎫⎝⎛-+i i a 11=______． 【答案】4【来源】18届奉贤二模7 【难度】复数、基础题2.已知α是实系数一元二次方程22(21)10x m x m --++=的一个虚数根，且||2α≤，则实数m 的取值范围是 ．【答案】3(4- 【来源】18届黄浦二模8 【难度】复数、中档题3.已知复数z 满足i 342+=z （i 为虚数单位），则=||z ____________． 【答案】5【来源】18届长嘉二模3 【难度】复数、基础题4.若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 【答案】512i -【来源】18届青浦二模2 【难度】复数、基础题5.设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = 【答案】-1【来源】18届松江二模3 【难度】复数、基础题6.若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是 ． 【答案】2【来源】18届杨浦二模6 【难度】复数、中档题7.i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 【答案】-2【来源】18届崇明二模3 【难度】复数、基础题10. 立体几何1.已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为 . 【答案】4π 【来源】18届宝山 二模5 【难度】立体几何、基础题2.已知半径为2R 和R 的两个球，则大球和小球的体积比为 ．【答案】8或1:8 【来源】18届奉贤 二模2 【难度】立体几何、基础题3.长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++= 4.2【答案】2【来源】18届虹口 二模4 【难度】立体几何、中档题4.如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，AD =O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于【答案】3π 【来源】18届虹口 二模9 【难度】立体几何、中档题5.将圆心角为32π，面积为π3的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为___________．【答案】π322【来源】18届长嘉二模7【难度】立体几何、中档题6.三棱锥ABCP-及其三视图中的主视图和左视图如下图所示，则棱PB的长为________．【答案】24【来源】18届长嘉二模8【难度】立体几何、中档题7.如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为__________．【答案】4π【来源】18届青浦二模7【难度】立体几何、中档题8.若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．【答案】16π【来源】18届徐汇二模5【难度】立体几何、基础题9.若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .【答案】15π【来源】18届徐汇二模8【难度】立体几何、中档题10.若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为【答案】16π【来源】18届松江二模8 【难度】立体几何、中档题11.若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形， 则该圆锥的体积是 ．【来源】18届杨浦二模7 【难度】立体几何、中档题12.记球1O 和2O 的半径、体积分别为1r 、1V 和2r 、2V ，若12827V V =，则12r r = 【答案】23【来源】18届金山二模6 【难度】立体几何、中档题11. 排列组合、概率统计、二项式定理1.某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为68.1，71.1，73.1，63.1，81.1，74.1，66.1，78.1，则这组数据的中位数是 (米）.【答案】1.72 【来源】18届宝山二模3 【难度】统计、基础题2.若B A 、满足()()()525421===AB P B P A P ，，，则()()P AB P AB -= . 【答案】310【来源】18届宝山二模9 【难度】概率、中档题3.在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示） 【答案】1688 【来源】18届宝山二模7 【难度】排列组合、中档题4.从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为 【答案】12【来源】18届虹口二模6 【难度】概率、中档题5.若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于 【答案】20 【来源】18届虹口二模8 【难度】二项式、中档题6.已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是人．【答案】140【来源】18届黄浦二模9【难度】概率统计、中档题7.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是．(结果用数值表示) 10．【答案】5 16【来源】18届黄浦二模10 【难度】概率统计、中档题8.nxx⎪⎭⎫⎝⎛+1的展开式中的第3项为常数项，则正整数=n___________．【答案】4【来源】18届长嘉二模2【难度】二项式、基础题9.某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．则顾客抽奖中三等奖的概率为____________．9．【答案】167【难度】概率统计、中档题10.代数式2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 ．（用数字作答） 【答案】3【来源】18届奉贤二模10 【难度】二项式、中档题11.书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为_______（结果用数值表示）. 【答案】24【来源】18届普陀二模4 【难度】二项式、基础题12.若321()nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_________.5 【答案】5【来源】18届普陀二模6 【难度】二项式、基础题13.某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为120和121，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为_________（结果用最简分数表示）.【答案】221【难度】概率统计、中档题14.设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对1234(,,,)x x x x 的组数为【答案】45【来源】18届松江二模11 【难度】排列组合、压轴题15.设*n N ∈，n a 为(4)(1)n nx x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R1222[][][]555n n n na a ab =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t b c -++的最小值为【答案】25【来源】18届松江二模12 【难度】二项式、压轴题16.在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是 .【答案】20【来源】18届徐汇二模2 【难度】二项式、基础题 17.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为______________．8、30【答案】30【来源】18届青浦二模8 【难度】二项式、中档题18.高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为78、34、512，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A +的概率是 ．【答案】151192【来源】18届青浦二模9 【难度】概率统计、中档题19.将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--，向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是 . 【答案】16【来源】18届徐汇二模9 【难度】概率统计、中档题20.若的二项展开式中项的系数是，则n = ． 【答案】4【来源】18届杨浦二模3 【难度】概率统计、基础题21.掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为 ．()13nx +2x 542【来源】18届杨浦二模4 【难度】概率统计、基础题22.若一个布袋中有大小、质地相同的三个黑球和两个白球，从中任取两个球，则取出的两球中恰是一个白球和一个黑球的概率是【答案】11322535C C C ⋅=【来源】18届金山二模8 【难度】概率统计、中档题23.(12)nx +的二项展开式中，含3x 项的系数等于含x 项的系数的8倍， 则正整数n = 【答案】5【来源】18届金山二模9 【难度】二项式、中档题24.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 石（精确到小数点后一位数字） 【答案】169.1【来源】18届崇明二模5 【难度】统计、基础题25. 若二项式7(2)ax x+的展开式中一次项的系数是70-，则23lim()n n a a a a →∞+++⋅⋅⋅+=3【来源】18届崇明二模7 【难度】二项式、基础题26.某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在 相邻车位的概率是【答案】47【来源】18届崇明二模10 【难度】概率、中档题12. 行列式、矩阵、程序框图1.若某线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫⎪⎝⎭，且此方程组有唯一一组解，则实数m的取值范围是 【答案】0D ≠，即2m ≠±【来源】18届金山二模7 【难度】矩阵、中档题2.三阶行列式13124765x -中元素5-的代数余子式为()x f ，则方程()0f x =的解为____． 【答案】2log 3x = 【来源】18届奉贤二模6 【难度】矩阵、中档题3.若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 【答案】 40【来源】18届松江二模2 【难度】矩阵、基础题4.函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．【答案】π【来源】18届徐汇二模7 【难度】矩阵、基础题5.若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210221c c 的解为⎩⎨⎧==31y x ，则=+21c c . 【答案】9【来源】18届宝山二模6 【难度】矩阵、基础题6.已知函数2sin cos 2()1cos x x f x x-=，则函数()f x 的单调递增区间是 ． 【答案】3[,],Z 88k k k ππππ-+∈【来源】18届黄浦二模7 【难度】矩阵、基础题7.已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是111012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=【答案】5【来源】18届崇明二模2【难度】矩阵、基础题8.若2log 1042x -=-，则x =【答案】4【来源】18届崇明二模4 【难度】行列式、基础题13. 数学归纳法、极限1.已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则limnn nS n a →∞=⋅【答案】12【来源】18届松江二模6 【难度】极限、基础题2.计算：=+∞→142limn nn ．【答案】12【来源】18届杨浦二模2 【难度】极限、基础题14. 参数方程、线性规划1.已知实数,x y 满足20102x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2u x y =+的最大值是 ．【答案】4 【来源】18届奉贤二模4 【难度】线性规划、中档题2.设变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥,043,04,1y x y x x 则目标函数y x z -=3的最大值为_________．【答案】4 【来源】18届长嘉二模6 【难度】线性规划、基础题3.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C的参数方程为cos 1sin 2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则直线l 与椭圆C 的公共点坐标为__________.【答案】(24-【来源】18届普陀二模8 【难度】参数方程、中档题4.设变量x 、y 满足条件0220x y x y y x y m-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数m 的取值范围是__________. 【答案】4(0,1][,)3+∞ 【来源】18届普陀二模10 【难度】参数方程、中档题5.若,x y 满足2,10,20,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为____________．【答案】12-【来源】18届青浦二模6 【难度】参数方程、中档题6.已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，． 则目标函数z x y =-的最小值为___________．【答案】-1【来源】18届徐汇二模6 【难度】线性规划、基础题7.若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为 ．【答案】3【来源】18届杨浦二模5 【难度】线性规划、基础题8.直线l 的参数方程为112x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为【答案】()2,1- 【来源】18届松江二模5 【难度】线性规划、基础题9.若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||14x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-，则常数k = 【答案】5k =【来源】18届松江二模9 【难度】线性规划、中档题10.已知,x y ∈R，且满足00y y y +≤-≥≥⎪⎩，若存在θ∈R 使得cos sin 10x y θθ++=成立，则点(,)P x y 构成的区域面积为【答案】6π【来源】18届崇明二模11 【难度】线性规划、中档题15.其它1.函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于 【答案】16【来源】18届虹口二模12 【难度】其它、压轴题 二、选择题1.命题、不等式)(C 充要条件． )(D 既不充分也不必要条件．【答案】 B 【来源】18届宝山二模13 【难度】命题与条件、基础题2.在给出的下列命题中，是假命题的是 答( )． (A )设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈， 则点A B C 、、必共线(B )若向量a b 和是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的(C )已知平面向量OA OB OC 、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>|=|，且0OA OB OC ++=， 则ABC ∆是等边三角形(D )在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d 、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直【答案】D【来源】18届黄浦二模16 【难度】命题与条件、压轴题3.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 1}$，则$f(x)$的定义域为（）A. $x \neq 1$B. $x \neq 0$C. $x \neq -3$D. $x \neq 1$且$x \neq 0$2. 若复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z - 1| = |z + 1|$，则实部$a$的取值为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在3. 已知等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1 = 3$，公差$d = 2$，则第10项$a_{10}$的值为（）A. 23B. 21C. 19D. 174. 若函数$y = \log_2(x - 1) + \log_2(x + 3)$的定义域为$D$，则集合$D$的元素个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 无穷多5. 在直角坐标系中，点$A(2, 3)$关于直线$x + y = 5$的对称点为（）A. $(-3, -2)$B. $(-2, -3)$C. $(3, -2)$D. $(-2, 3)$6. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$），若$f(1) = 2$，$f(2) = 3$，$f(3) = 4$，则$a + b + c = $（）A. 3B. 4C. 5D. 67. 若等比数列$\{a_n\}$的首项$a_1 = 1$，公比$q = 2$，则第4项$a_4$的值为（）A. 8B. 4C. 2D. 18. 已知复数$z = 1 + i$，则$|z^2 - 1| = $（）A. $\sqrt{2}$B. 2C. $\sqrt{5}$D. 59. 若函数$y = \sqrt{x^2 - 4}$的值域为$[0, 2]$，则$x$的取值范围为（）A. $[-2, 2]$B. $[-2, 0] \cup [2, +\infty)$C. $[-2, 2] \cup [2, +\infty)$D. $[-2, 0] \cup [0, 2]$10. 若直线$l: y = kx + 1$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则$k$的取值为（）A. $\pm 1$B. $\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$C. $\pm \sqrt{2}$D. $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 函数$y = \frac{1}{x^2 - 1}$的奇偶性为______，周期为______。

2018年上海市崇明区高考数学二模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知集合U ={−1, 0, 1, 2, 3}，A ={−1, 0, 2}，则∁U A =________．2. 已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是(1−11012)，则x +y =________3. i 是虚数单位，若复数(1−2i)(a +i)是纯虚数，则实数a 的值为________．4. 若|log 2x−1−42|=0，则x =________．5. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为________石（精确到小数点后一位数字）.6. 已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为________（结果保留π）．7. 若二项式(2x +a x )7的展开式中一次项的系数是−70，则lim n→∞(a +a 2+a 3+...+a n )=________8. 已知椭圆x 2a 2+y 2=1(a >0)的焦点F 1、F 2，抛物线y 22x 的焦点为F ，若F 1F →=3FF 2→，则a ＝________√29. 设f(x)是定义在R 上以2为周期的偶函数，当x ∈[0, 1]时，f(x)=log 2(x +1)，则函数f(x)在[1, 2]上的解析式是________10. 某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的概率是________11. 已知x ，y ∈R ，且满足{√3x +y ≤4√3√3x −y ≥0y ≥0，若存在θ∈R 使得xcosθ+ysinθ+1＝0成立，则点P(x, y)构成的区域面积为________12. 在平面四边形中，已知AB =1，BC =4，CD =2，DA =3，则AC →⋅BD →的值为________．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）“x >1”是“2x >1”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件若1+√2i 是关于x 的实系数方程x 2+bx +c =0的一个复数根，则（ ）A.b =2，c =3B.b =2，c =−1C.b =−2，c =3D.b =−2，c =−1将函数y =sin (2x −π3)图象上的点P (π4,t)向左平移s(s >0)个单位长度得到点P ′．若P ′位于函数y =sin 2x 的图象上，则( )A.t =12，s 的最小值为π6B.t =√32，s 的最小值为π6 C.t =12，s 的最小值为π3D.t =√32，s 的最小值为π3在平面直角坐标系中，定义d(A, B)=max{|x 1−x 2|, |y 1−y 2|}为两点A(x 1y 1)、B(x 2, y 2)的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称d(P, Q)的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作d(P, t)，给出下列三个命题：①对任意三点A 、B 、C ，都有d(C, A)+d(C, B)≥d(A, B)；②已知点P(3, 1)和直线l:2x −y −1=0，则d(P, l)=43；③定点F 1(−c, 0)、F 2(c, 0)，动点P(x, y)满足|d(P, F 1)−d(P, F 2)|=2a(2c >2a >0)，则点P 的轨迹与直线y =k （k 为常数）有且仅有2个公共点；其中真命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，BC // AD ，AB ⊥BC ，∠ADC =45∘，PA ⊥平面ABCD ，AB =AP =1，AD =3．（1）求异面直线PB 与CD 所成角的大小；（2）求点D 到平面PBC 的距离．已知点F 1、F 2依次为双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a, b >0)的左右焦点，|F 1F 2|=6，B 1(0, −b)，B 2(0, b)．(1)若a =√5，以d →=(3, −4)为方向向量的直线l 经过B 1，求F 2到l 的距离；(2)若双曲线C 上存在点P ，使得PB 1→⋅PB 2→=−2，求实数b 的取值范围．如图，某公园有三条观光大道AB ，BC ，AC 围成直角三角形，其中直角边BC =200m ，斜边AB =400m ，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB ，BC ，AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点D ，E ，F ．(1)若甲、乙都以每分钟100m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；(2)设∠CEF =θ，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且∠DEF =π3，请将甲乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．已知函数f(x)=2x +a2x +1，x ∈R ．（1）证明：当a >1时，函数y ＝f(x)是减函数；（2）根据a 的不同取值，讨论函数y ＝f(x)的奇偶性，并说明理由；（3）当a ＝2，且b <c 时，证明：对任意d ∈[f(c), f(b)]，存在唯一的x 0∈R ，使得f(x 0)＝d ，且x 0∈[b, c]．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若12≤a n+1a n ≤2(n ∈N ∗)，则称{a n }是“紧密数列”．（1）已知数列{a n }是“紧密数列”，其前5项依次为1，32,94,x,8116，求x 的取值范围；（2）若数列{a n }的前n 项和为S n =14(n 2+3n)(n ∈N ∗)，判断{a n }是否是“紧密数列”，并说明理由；（3）设{a n }是公比为q 的等比数列，若{a n }与{S n }都是“紧密数列”，求q 的取值范围．参考答案与试题解析2018年上海市崇明区高考数学二模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.【答案】{1, 3}【考点】补集及其运算【解析】利用补集定义直接求解．【解答】解：∵ 集合U ={−1, 0, 1, 2, 3}，A ={−1, 0, 2}，∴ ∁U A ={1, 3}．故答案为：{1,3}.2.【答案】5【考点】几种特殊的矩阵变换【解析】根据增广矩阵求得二元一次方程组，即可求得x 和y ，即可求得答案．【解答】由增广矩阵是(1−11012)，则二元一次方程组{x −y =10+y =2 ， 解得：x =3，y =2，∴ x +y =5，3.【答案】−2【考点】虚数单位i 及其性质复数的运算复数的模复数的基本概念【解析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求得a 的值．【解答】由(1−2i)(a +i)=(a +2)+(1−2a)i 为纯虚数，得{a +2=01−2a ≠0，解得：a =−2． 4.【答案】4【考点】对数的运算性质【解析】由二阶行列式展开式性质得2log2x−4=0，由此利用对数运算法则和性质能求出x．【解答】∵|log2x−1−42|=0，∴2log2x−4=0，∴log2x=2，解得x=4．5.【答案】169.1【考点】简单随机抽样【解析】根据抽样比例求出这批米内夹谷的多少．【解答】解：根据题意，这批米内夹谷为1534×28254≈169.1（石）．故答案为：169.1.6.【答案】12π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为ℎ，根据侧面积公式算出底面半径r=3，用勾股定理算出高ℎ=√l2−r2=4，代入圆锥体积公式即可算出此圆锥的体积．【解答】设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为ℎ∵圆锥的母线长为l=5，侧面积为15π，∴12×l×r=15π，解之得底面半径r=3因此，圆锥的高ℎ=√l2−r2=4∴圆锥的体积为：V=13πr2ℎ=13×π×9×4=12π7.【答案】−1 3【考点】数列的极限二项式定理的应用【解析】利用通项公式T r+1=C n r a n−r b r来解决，在通项中令x的指数幂为1可求出含x是第几项，由此算出a．然后利用数列的极限的运算法则求解即可．【解答】由二项式定理的通项公式T r+1=C nr a n−r b r 可设含x 2项的项是 T r+1=C 7r (2x)7−r (a x )r =a r 27−r C 7r x 7−2r ， 令7−2r =1，解得：r =3，∴ 系数为a 324C 73=−70，解得a =−12， lim n→∞(a +a 2+a 3+...+a n )=a 1−a =−121+12=−13， 8.【答案】 √2【考点】圆锥曲线的综合问题【解析】先根据椭圆和抛物线的方程分别求得其焦点坐标，根据F 1F →=3FF 2→，建立等式求得a 的值即可．【解答】依题意可知抛物线的焦点为(12, 0)，椭圆的焦点为(±√a 2−1, 0)，∵ F 1F →=3FF 2→，∴ 12+√a 2−1=3(√a 2−1−12)，整理得a =√2，9.【答案】f(x)=log 2(3−x)【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】设x ∈(1, 2)，则x −2∈(−1, 0)，2−x ∈(0, 1)，由已知表达式可求得f(2−x)，再由f(x)为周期为2的偶函数，可得f(x)=f(x −2)=f(2−x)，从而得到答案．【解答】∵ f(x)是定义在R 上以2为周期的偶函数，当x ∈[0, 1]时，f(x)=log 2(x +1)，∴ 设x ∈(1, 2)，则x −2∈(−1, 0)，2−x ∈(0, 1)，∴ f(2−x)=log 2[(2−x)+1]=log 2(3−x)，又f(x)为周期为2的偶函数，所以f(x)=f(x −2)=f(2−x)=log 2(3−x)．10.【答案】47【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】基本事件总数n =C 73=35，恰有两辆车停放在相邻车位包含的基本事件个数m =A 52=20，由此能求出恰有两辆车停放在相邻车位的概率．【解答】某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，基本事件总数n=C73=35，恰有两辆车停放在相邻车位包含的基本事件个数m=A52=20，∴恰有两辆车停放在相邻车位的概率是p=mn =2035=47．11.【答案】4√3−π6【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组表示的平面区域，求出xcosθ+ysinθ+1＝0成立的等价条件，利用数形结合求出对应的面积，即可得出正确的结果．【解答】又直线y=√3x的倾斜角为π3，则∠AOB=π3，即扇形的面积为16π⋅12=π6，则P(x, y)构成的区域面积为S＝4√3−π6，故答案为：4√3−π6．12.【答案】10【考点】椭圆中的平面几何问题平面向量数量积的性质及其运算律【解析】方向条件，四边形是椭圆的内接图形，利用椭圆的简单性质以及焦半径公式转化求解即可．【解答】解：∵AB+BC=DA+DC=5，所以把四边形放入椭圆内，AC为左右焦点，不妨令B(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)则2a =5，由焦半径公式可得ex 1+a =1，ex 2+a =3，两式相减可得：e(x 2−x 1)=2，而AC →⋅BD →=2c(x 2−x 1)=2c ⋅2e =4a =10． 故答案为：10.二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】由2x >1得x >0，则“x >1”是“2x >1”的充分不必要条件，【答案】C【考点】实系数多项式虚根成对定理【解析】利用实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出．【解答】∵ 1+√2i 是关于x 的实系数方程x 2+bx +c =0的一个复数根，∴ 1−√2i 是关于x 的实系数方程x 2+bx +c =0的一个复数根，∴ {1+√2i +1−√2i =−b (1+√2i)(1−√2i)=c，解得b =−2，c =3． 【答案】A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】解：将x =π4代入y =sin (2x −π3)得t =12，所以P (π4,12)，点P 向左平移s(s >0)个单位长度得到的点的坐标为P ′(π4−s,12)．又因为P ′在y =sin 2x 上，所以sin2(π4−s)=12，所以2s =2kπ+π3或2s =2kπ−π3(k ∈Z)，即s =kπ+π6或s =kπ−π6(k ∈Z)．因为s >0，所以当k =0时，有s min =π6．故选A ．【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】①讨论A ，B ，C 三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断； ②设点Q 是直线y =2x −1上一点，且Q(x, 2x −1)，可得d(P, Q)=max{|x −3|, |2−2x|}，讨论|x −3|，|2−2x|的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值； ③讨论P 在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断．【解答】①对任意三点A 、B 、C ，若它们共线，设A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)，C(x 3, y 3)，如图，结合三角形的相似可得d(C, A)，d(C, B)，d(A, B)为AN ，CM ，AK ，或CN ，BM ，BK ， 则d(C, A)+d(C, B)=d(A, B)；若B ，C 或A ，C 对调，可得d(C, A)+d(C, B)>d(A, B)；若A ，B ，C 不共线，且三角形中C 为锐角或钝角，如图，由矩形CMNK 或矩形BMNK ，d(C, A)+d(C, B)≥d(A, B)；则对任意的三点A ，B ，C ，都有d(C, A)+d(C, B)≥d(A, B)；故①正确； ②设点Q 是直线y =2x −1上一点，且Q(x, 2x −1)，可得d(P, Q)=max{|x −3|, |2−2x|}，由|x −3|≥|2−2x|，解得−1≤x ≤53，即有d(P, Q)=|x −3|，当x =53时，取得最小值43；由|x −3|<|2−2x|，解得x >53或x <−1，即有d(P, Q)=|2x −2|，d(P, Q)的范围是(3, +∞)∪(43, +∞)=(43, +∞)．无最值，综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为43．故②正确；③定点F 1(−c, 0)、F 2(c, 0)，动点P(x, y)满足|d(P, F 1)−d(P, F 2)|=2a(2c >2a >0)，可得P 不y 轴上，P 在线段F 1F 2间成立，可得x +c −(c −x)=2a ，解得x =a ，由对称性可得x =−a 也成立，即有两点P 满足条件；若P 在第一象限内，满足|d(P, F 1)−d(P, F 2)|=2a ，即为x +c −y =2a ，为射线，由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，则点P 的轨迹与直线y =k （k 为常数）有且仅有2个公共点．故③正确．∴ 真命题的个数是3．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）【答案】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则P(0, 0, 1)，B(1, 0, 0)，C(1, 2, 0)D(0, 3, 0)，∴ PB →=(1, 0, −1)，CD →=(−1, 1, 0)，设异面直线PB 与CD 所成角为θ，则cosθ=|PB →∗CD →||PB →|∗|CD →|=12，所以异面直线PB 与CD 所成角大小为π3．设平面PBC 的一个法向量为n →=(x, y, z)，PB →=(1, 0, −1)，BC →=(0, 2, 0)，CD →=(−1, 1, 0)，则{n →∗PB →=x −z =0n →∗BC →=2y =0 ，取x =1，得n →=(1, 0, 1)， ∴ 点D 到平面PBC 的距离d =|n →∗CD →||n →|=√22．【考点】异面直线及其所成的角点、线、面间的距离计算 【解析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PB 与CD 所成角大小．（2）求出平面PBC 的一个法向量，利用向量法能求出点D 到平面PBC 的距离． 【解答】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则P(0, 0, 1)，B(1, 0, 0)，C(1, 2, 0)D(0, 3, 0)， ∴ PB →=(1, 0, −1)，CD →=(−1, 1, 0)， 设异面直线PB 与CD 所成角为θ， 则cosθ=|PB →∗CD →||PB →|∗|CD →|=12，所以异面直线PB 与CD 所成角大小为π3． 设平面PBC 的一个法向量为n →=(x, y, z)，PB →=(1, 0, −1)，BC →=(0, 2, 0)，CD →=(−1, 1, 0)，则{n →∗PB →=x −z =0n →∗BC →=2y =0 ，取x =1，得n →=(1, 0, 1)， ∴ 点D 到平面PBC 的距离d =|n →∗CD →||n →|=√22．【答案】解：(1)由题意可知：c =3，F 2(3, 0)， c 2=a 2+b 2，a =√5，∴ b =2， 设直线l 的方程为y =kx +m ， d →=(3,−4)为方向向量的直线l ， ∴ k =−43，点B 1(0, −2)在直线l 上，m =−2，∴ 直线方程为4x +3y +6=0， F 2到l 的距离d =√42+32=185.(2)由题意可知：c =3，设P(x 0, y 0)，c 2=a 2+b 2，得a 2=c 2−b 2=9−b 2，① PB 1→=(x 0, y 0+b)，PB 2→=(x 0, y 0−b)，PB 1→⋅PB 2→=−2，整理得：x 02+y 02−b 2=−2， 则：x 02=b 2−y 02−2，② 由点P 在双曲线上：∴x 02a 2−y 02b 2=1，③ 将①②代入③整理得：b 2−y 02−29−b 2−y 02b 2=1， ∴ (b 2−y 02−2)×b 2−y 02×(9−b 2)=(9−b 2)×b 2， 整理得：2b 4−11b 2=9y 02，∵ y 02≥0，∴ 2b 4−11b 2≥0，解得：b ≥√222，∵ b <3，实数b 的取值范围[√222, 3)．【考点】直线与椭圆结合的最值问题 【解析】（1）由题意可知：c ＝3，由a =√5，求得b 的值，根据向量共线定理求得直线的斜率k ，直线过F 2(3, 0)，求得直线方程，根据点到直线的距离公式即可求得F 2到l 的距离； （2）设出P 点坐标，由双曲线的性质可知：a 2＝9−b 2，根据向量数量积的坐标表示求得x 02+y 02−b 2＝−2，由点P 在双曲线上，将P 点坐标代入双曲线上，整理得2b 4−11b 2＝9y 02，由y 02≥0，及b <3，即可求得b 的取值范围． 【解答】解：(1)由题意可知：c =3，F 2(3, 0)， c 2=a 2+b 2，a =√5，∴ b =2， 设直线l 的方程为y =kx +m ， d →=(3,−4)为方向向量的直线l ， ∴ k =−43，点B 1(0, −2)在直线l 上，m =−2， ∴ 直线方程为4x +3y +6=0， F 2到l 的距离d =√42+32=185.(2)由题意可知：c =3，设P(x 0, y 0)，c 2=a 2+b 2，得a 2=c 2−b 2=9−b 2，① PB 1→=(x 0, y 0+b)，PB 2→=(x 0, y 0−b)，PB 1→⋅PB 2→=−2，整理得：x 02+y 02−b 2=−2， 则：x 02=b 2−y 02−2，② 由点P 在双曲线上：∴x 02a 2−y 02b 2=1，③将①②代入③整理得：b 2−y 02−29−b 2−y 02b 2=1，∴ (b 2−y 02−2)×b 2−y 02×(9−b 2)=(9−b 2)×b 2，整理得：2b 4−11b 2=9y 02，∵ y 02≥0，∴ 2b 4−11b 2≥0，解得：b ≥√222，∵ b <3，实数b 的取值范围[√222, 3)．【答案】解：(1)由题意，BD =300，BE =100， △ABC 中，cosB =12，B =π3， △BDE 中，由余弦定理可得：DE =√3002+1002−2×300×100×12=100√7m ； (2)由题意，EF =2DE =2y ，∠BDE =∠CEF =θ． △CEF 中，CE =EFcos∠CEF =2ycosθ △BDE 中，由正弦定理可得200−2ycosθsinθ=ysin60∘，∴ y =√3sinθ+3cosθ=50√3sin(θ+π3)，0<θ<π2，∴ θ=π6，y min =50√3m ．【考点】 解三角形 余弦定理 正弦定理 【解析】（1）由题意，BD =300，BE =100，△BDE 中，由余弦定理可得甲乙两人之间的距离；(2)△BDE 中，由正弦定理可得200−2ysinθsinθ=ysin60∘，可将甲乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离． 【解答】解：(1)由题意，BD =300，BE =100， △ABC 中，cosB =12，B =π3， △BDE 中，由余弦定理可得：DE =√3002+1002−2×300×100×12=100√7m ；(2)由题意，EF =2DE =2y ，∠BDE =∠CEF =θ． △CEF 中，CE =EFcos∠CEF =2ycosθ △BDE 中，由正弦定理可得200−2ycosθsinθ=y sin60∘，∴ y =√3sinθ+√3cosθ=50√3sin(θ+π3)，0<θ<π2，∴ θ=π6，y min =50√3m ． 【答案】证明：任取x 1，x 2∈R ，设x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(a−1)(2x 2−2x 1)(2x 1+1)(2x 2+1)，∵ x 1<x 2，∴ 2x 1<2x 2，又a >1，∴ f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)． 所以当a >1时，函数y ＝f(x)是减函数．当a ＝1时，f(x)＝1，所以f(−x)＝f(x)＝1，所以函数y ＝f(x)是偶函数， 当a ＝−1时，f(x)=2x −12x +1，f(−x)=2−x −12−x +1=1−2x1+2x=−f(x)， 所以函数y ＝f(x)是奇函数． 当a ≠1且a ≠−1时，f(1)=a+23，f(−1)=2a+13，∴ f(−1)≠f(1)且f(−1)≠−f(1)，所以函数y ＝f(x)是非奇非偶函数．证明：由（1）知，当a ＝2时，函数y ＝f(x)是减函数， 所以函数f(x)在[b, c]上的值域为[f(c), f(b)]，因为d ∈[f(c), f(b)]，所以存在x 0∈R ，使得f(x 0)＝d ． 假设存在x 1∈R ，x 1≠0使得f(x 1)＝d ，若x 1>x 0，由f(x)的单调性可得f(x 1)<f(x 0)，若x 1<x 0，则f(x 1)>f(x 0)， 与f(x 1)＝f(x 0)＝d 矛盾，故x 0是唯一的． 假设x 0∉[b, c]，即x 0<b 或x 0>c ，由单调性可得f(x 0)>f(b)或f(x 0)<f(c)，所以d ∉[f(c), f(b)]，与d ∈[f(c), f(b)]矛盾，故x 0∈[b, c]． 【考点】函数与方程的综合运用 【解析】（1）设x 1<x 2，计算f(x 1)−f(x 2)，判断f(x 1)−f(x 2)的符号得出结论； （2）令f(−x)＝f(x)和f(−x)＝−f(x)分别求出a 的值得出结论； （3）利用反证法得出结论． 【解答】证明：任取x 1，x 2∈R ，设x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(a−1)(2x 2−2x 1)(2x 1+1)(2x 2+1)，∵ x 1<x 2，∴ 2x 1<2x 2，又a >1，∴ f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)． 所以当a >1时，函数y ＝f(x)是减函数．当a ＝1时，f(x)＝1，所以f(−x)＝f(x)＝1，所以函数y ＝f(x)是偶函数， 当a ＝−1时，f(x)=2x −12x +1，f(−x)=2−x −12−x +1=1−2x1+2x=−f(x)， 所以函数y ＝f(x)是奇函数． 当a ≠1且a ≠−1时，f(1)=a+23，f(−1)=2a+13，∴ f(−1)≠f(1)且f(−1)≠−f(1)， 所以函数y ＝f(x)是非奇非偶函数．证明：由（1）知，当a ＝2时，函数y ＝f(x)是减函数， 所以函数f(x)在[b, c]上的值域为[f(c), f(b)]，因为d ∈[f(c), f(b)]，所以存在x 0∈R ，使得f(x 0)＝d ． 假设存在x 1∈R ，x 1≠0使得f(x 1)＝d ，若x 1>x 0，由f(x)的单调性可得f(x 1)<f(x 0)，若x 1<x 0，则f(x 1)>f(x 0)， 与f(x 1)＝f(x 0)＝d 矛盾，故x 0是唯一的． 假设x 0∉[b, c]，即x 0<b 或x 0>c ，由单调性可得f(x 0)>f(b)或f(x 0)<f(c)，所以d ∉[f(c), f(b)]，与d ∈[f(c), f(b)]矛盾，故x 0∈[b, c]． 【答案】 由题意得：12≤x94≤2，12≤8116x≤2，解得98≤x ≤92≤818．由S n =14(n 2+3n)(n ∈N ∗)，n ≥2时，a n =S n −S n−1=14(n 2+3n)−14[(n −1)2+3(n −1)]=12n +12， n =1时，a 1=S 1=1，对于上式也成立． 因此a n =12n +12． ∴a n+1a n=12(n+1)+1212n+12=1+1n+1．因为对任意n ∈N ∗，0<1n+1≤12，即1<1+1n+1≤32， ∴ 12≤a n+1a n≤2(n ∈N ∗)，即数列{a n }是“紧密数列”．由{a n }是公比为q 的等比数列，得q =a n+1a n，∵ {a n }是“紧密数列”，∴ 12≤q ≤2． ①当q =1时，S n =na 1，S n+1S n=n+1n=1+1n ，∵ 1<1+1n+1≤32<2，∴ q =1时，数列{S n }为“紧密数列”，故q =1满足题意． ②当q ≠1时，S n =a 1(1−q n )1−q，则S n+1S n=1−q n+11−q n，∵ 数列{S n }为“紧密数列”， ∴ 12≤1−q n+11−q ≤2，对任意n ∈N ∗恒成立．(ⅰ)当12≤q <1时，12(1−q n )≤1−q n+1≤2(1−q n )， 即{q n (2q −1)≤1q n(q −2)≥−1，对任意n ∈N ∗恒成立．∵ 0<q n ≤q <1，0≤2q −1<1，−32≤q −2<−1，∴ q n (2q −1)<q <1，q n (q −2)≥q(q −2)≥12×(−32)=−34>−1， ∴ 当12≤q <1时，{q n (2q −1)≤1q n (q −2)≥−1，对任意n ∈N ∗恒成立．(ⅱ)当1<q ≤2时，12(q n −1)≤qn+1−1≤2(q n−1)，即{q n (2q −1)≥1q n (q −2)≤−1，对任意n ∈N ∗恒成立．∵ q n ≥q >1，2q −1>1，−1<q −2≤0． ∴ {q(2q −1)≥1q(q −2)≤−1 ，解得q =1，又1<q ≤2，此时q 不存在． 综上所述，q 的取值范围是[12,1]． 【考点】 数列递推式 【解析】（1）由题意得：12≤x94≤2，12≤8116x≤2，解得x 范围．（2）由S n =14(n 2+3n)(n ∈N ∗)，n ≥2时，a n =S n −S n−1，n =1时，a 1=S 1=1，对于上式也成立．可得a n ．a n+1a n=1+1n+1．因为对任意n ∈N ∗，0<1n+1≤12，即1<1+1n+1≤32，即可得出结论．（3）由{a n }是公比为q 的等比数列，得q =a n+1a n，{a n }是“紧密数列”，可得12≤q ≤2．分类讨论：①当q =1时，S n =na 1，S n+1S n=n+1n=1+1n ，即可判断出结论．②当q ≠1时，S n =a 1(1−q n )1−q，S n+1S n=1−q n+11−q n，由数列{S n }为“紧密数列”，可得12≤1−q n+11−q n≤2，对任意n ∈N ∗恒成立．(ⅰ)当12≤q <1时，12(1−q n)≤1−q n+1≤2(1−q n)，即{q n (2q −1)≤1q n (q −2)≥−1，对任意n ∈N ∗恒成立．即可得出结论． (ⅱ)当1<q ≤2时，12(q n −1)≤q n+1−1≤2(q n−1)，即{q n (2q −1)≥1q n (q −2)≤−1，对任意n ∈N ∗恒成立．即可得出结论． 【解答】 由题意得：12≤x94≤2，12≤8116x≤2，解得98≤x ≤92≤818．由S n =14(n 2+3n)(n ∈N ∗)，n ≥2时，a n =S n −S n−1=14(n 2+3n)−14[(n −1)2+3(n −1)]=12n +12，n =1时，a 1=S 1=1，对于上式也成立． 因此a n =12n +12． ∴a n+1a n=12(n+1)+1212n+12=1+1n+1．因为对任意n ∈N ∗，0<1n+1≤12，即1<1+1n+1≤32， ∴ 12≤a n+1a n≤2(n ∈N ∗)，即数列{a n }是“紧密数列”．由{a n }是公比为q 的等比数列，得q =a n+1a n，∵ {a n }是“紧密数列”，∴ 12≤q ≤2． ①当q =1时，S n =na 1，S n+1S n=n+1n=1+1n ，∵ 1<1+1n+1≤32<2，∴ q =1时，数列{S n }为“紧密数列”，故q =1满足题意． ②当q ≠1时，S n =a 1(1−q n )1−q，则S n+1S n=1−q n+11−q n，∵ 数列{S n }为“紧密数列”， ∴ 12≤1−q n+11−q n≤2，对任意n ∈N ∗恒成立．(ⅰ)当12≤q <1时，12(1−q n )≤1−q n+1≤2(1−q n )， 即{q n (2q −1)≤1q n(q −2)≥−1，对任意n ∈N ∗恒成立． ∵ 0<q n ≤q <1，0≤2q −1<1，−32≤q −2<−1，∴ q n (2q −1)<q <1，q n (q −2)≥q(q −2)≥12×(−32)=−34>−1， ∴ 当12≤q <1时，{q n (2q −1)≤1q n (q −2)≥−1，对任意n ∈N ∗恒成立．(ⅱ)当1<q ≤2时，12(q n −1)≤qn+1−1≤2(q n−1)，即{q n (2q −1)≥1q n (q −2)≤−1，对任意n ∈N ∗恒成立．∵ q n ≥q >1，2q −1>1，−1<q −2≤0． ∴ {q(2q −1)≥1q(q −2)≤−1 ，解得q =1，又1<q ≤2，此时q 不存在． 综上所述，q 的取值范围是[12,1]．。

高三数学 共4页 第1页崇明区2018学年第二次高考模拟考试试卷数 学考生注意：1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3,4}A =，{1,3,5}B =，则()U C A B =I ． 2．函数sin cos y x x =的最小正周期T = ．3．设函数2()(0)f x x x =>的反函数为1()y f x -=，则1(4)f -= ．4．若复数2zi a i =+（i 为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数a 的值为 ． 5．已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为2，且经过点(0,2)，则该椭圆的标准方程为 ．6．已知二项式62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含3x 项的系数是160，则实数a 的值是 ．7．已知直线1:(3)(4)10l a x a y -+-+=与2:2(3)230l a x y --+=平行，则a = ． 8，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的侧面积为 ． 9．已知n S 是公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和．若对任意的*k N ∈，都有1lim()n k k n S S a +→∞-=成立，则q = ．10．甲、乙、丙、丁4名同学参加志愿者服务，分别到三个路口疏导交通，每个路口有1名或2名志愿者，则甲、乙两人在同一路口的概率为 （用数字作答）． 11．已知函数9()f x x a a x=+-+在区间[1,9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围 是 ．12．已知点C 是平面ABD 上一点，,1,33BAD CB CD π∠===．若AP AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，则AP u u u r的最大值为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】高三数学 共4页 第2页13．下列函数中既是奇函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数为A．y =B ．12log y x =C ．3y x =-D ．1y x x=+14．对于实数x ，“||1x <”是“1x <”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件15．已知线段AB 上有一动点D （D 异于A 、B ），线段CD AB ⊥，且满足2CD AD BD λ=⋅（λ是大于0且不等于1的常数），则点C 的运动轨迹为A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分16．在平面直角坐标系中，已知(1,0)A -、(1,0)B ．若对于y 轴上的任意n 个不同的点12,,n P P P L ，总存在两个不同的点,(,1,2,,)i j P P i j n =L ，使得1sin sin 4i jAPB AP B ∠-∠≤，则n 的最小值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分） 已知在直三棱柱111ABC A B C -中，1901BAC AB BB ∠=︒==，，直线1B C 与平面ABC 成30︒的角．（1）求三棱锥11C AB C -的体积；（2）求二面角1B B C A --的余弦值．18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）已知函数12lg ,(6)()5,(6)4a x a x f x x x x ⎧+⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩≤ （1）已知(6)3f =，求实数a 的值；（2）判断并证明函数在区间[7,8]上的单调性．B C A 1B 1C 1高三数学 共4页 第3页19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分9分） 某公园内有一块以O 为圆心半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个端点A ，B 分别在圆周上；观众席为等腰梯形ABQP 内且在圆O 外的区域，其中AP AB BQ ==，23PAB QBA π∠=∠=，且AB PQ ，在点O 的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到 舞台中心O 处的距离都不超过60米（即要求60PO ≤）．设,0,3OAB παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭．（1）当6πα=时，求舞台表演区域的面积； （2）对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？20．（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分）对于直线l 与抛物线2:4x y Γ=，若l 与Γ有且只有一个公共点且l 与Γ的对称轴不平行（或重合），则称l 与Γ相切，直线l 叫做抛物线Γ的切线．（1）已知00(,)P x y 是抛物线上一点，求证：过点P 的Γ的切线l 的斜率02x k =； （2）已知00(),M x y 为x 轴下方一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为1122(,)(,)A x y B x y ，．求证：102,,x x x 成等差数列；（3）如图所示，(,)D m n 、(,)E s t 是抛物线Γ上异于坐标原点的两个不同的点，过点D 、E 的Γ的切线分别是12,l l ，直线12,l l 交于点(,)G a b ，且与y 轴分别交于点1D 、1E ．设12x x 、为方程20(,)x ax b a b R -+=∈的两个实根，max{,}c d 表示实数,c d 中较大的值．求证：“点G 在线段1DD 上”的充要条件是“12||max{||,||}2m x x =”．OABPQD E GE 1 D 1xy高三数学共4页第4页x y21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知数列{}na是公差为(0)d d>的等差数列，如果数列*12,,,(3,)mx x x m m∈NL≥满足11221m ma x a x x a+<<<L≤≤≤，则称数列12,,,mx x xL是“可等距划分数列”．（1）判断数列2, 4, 8, 14是否是“可等距划分数列”，并说明理由；（2）已知,k t R∈，0k>，设nb kn t=+，求证：对任意的*3,m m∈N≥，数列{}(1,2,,)nb n m=L 都是“可等距划分数列”；（3）若数列{2}(1,2,,)n n m=L是“可等距划分数列”，求m的所有可能值．崇明区2018学年第二次高考模拟考试（数学）参考答案及评分标准一、填空题1.{2,4,5}；2. π；3. 2；4. 2-；5.22154x y+=； 6. 2；7.3或5；8. 2π；9.12-+；10.16；11. 8a≤；12.二、选择题13. C；14. A；15. B；16. C.三、解答题17.解：（1）1B B ABC⊥Q平面，130B CB∴∠=︒.....................................................2分又11AB BB==，BC∴=AC=1,BA AC BA AA⊥⊥Q，1BA ACC∴⊥平面，111B A ACC∴⊥平面..........................4分111111113C AB C B ACC ACCV V S B A--∴==⋅=V.....................................................7分（2）建立如图所示空间直角坐标系由题意，得：11,0),(0,0,1)BC BB=-=u u u r u u u r设平面1BB C的一个法向量为1(,,)n u v w=u r，则111n BCn BB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r，即vw-==⎪⎩高三数学 共4页 第5页令1u =，则1n =u r同理，可得：平面1AB C 的一个法向量为2(0,1,1)n =-u u r................................4分设12,n n u r u u r 的夹角为θ，则1212cos 3||||n n n n θ⋅==⋅u r u u ru r u u r 又观察知二面角1B B C A --为锐角，∴二面角1B B C A --的余弦值是3.....................................................7分 18. 解：（1）(6)12lg36af a =+=-................................................3分 lg16aa ∴=-， ∴106a a =-，203a =....................................................6分（2）任取12,[7,8]x x ∈，设12x x <，则有111212121255()()44(4)(4)x x x x f x f x x x x x ----=-=----...................................................3分 因为1278x x ≤<≤，所以上式0<，即12()()f x f x <...................................................6分所以函数在区间[7,8]上单调递增...................................................8分19.解：（1）当6πα=时，23AOB π∠=所以舞台表演区域的面积2140023OABS r απ==扇形平方米.................................................5分（2）作OH AB ⊥于H ，则22cos 40cos AB AH OA αα==⋅= 在OAP V 中，22222cos()3OP OA AP OA AP πα=+-⋅+................................................2分2400(6cos cos 1)ααα=++400(3cos 224)αα=++................................................4分)16003πα=++................................................6分因为(0,)3πα∈，所以当12πα=时，max 60OP =<................................................8分所以对于任意α，上述设计方案均能符合要求................................................9分19. 解：（1）证明：由题意知，l 的斜率必然存在，设l 的方程为00()y y k x x -=-.............................................2分高三数学 共4页 第6页代入抛物线方程，得：2001()04x kx kx y -+-= 由题意，得：2000k kx y ∆=-+=，又2004x y =，所以20()02x k -=，所以02xk =.............................................4分（2）证明：由（1）知，直线MA 的方程是：111()2xy y x x -=-，直线MB 的方程是222()2xy y x x -=-.............................................2分由111222()2()2x y y x x x y y x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，得：211221()()22x x y y x x x x -=---所以222221211222244x x x x x x x -=-+- 因为12x x ≠，所以1202x x x +=，.............................................5分即102,,x x x 成等差数列.............................................6分（3）证明：由（1）知：1l ：()2my n x m -=-（*），故21(0,)4m D - 由（2）知：2m s a +=，代入（*）中，得：4ms b =，所以(,)24m s msG +.所以方程20x ax b +=-的两个根是12m x =，22sx =............................................2分设1DG GD λ=u u u r u u u u r ()R λ∈，则22(,)(,)244244s m ms m m s ms m λ-+-=-+ 所以22s m m s λ-+=-.............................................3分 ①必要性：当点G 在线段1DD 上时，有0λ≥， 所以()()0s m s m -+≤，所以||||s m ≤所以12||max{||,||}2m x x =②充分性：当12||max{||,||}2m x x =时，所以||||s m ≤，所以()()0s m s m -+≤所以0λ≥，所以点G 在线段1DD 上综上所述：“点G 在线段1DD 上”的充要条件是“12||max{||,||}2m x x =”.................6分21.解：（1）数列2, 4, 8, 14是“可等距划分数列”高三数学 共4页 第7页因为存在等差数列1,3,7,11,15-满足123478111415-≤<≤<≤<≤<................4分 (2) 证明：对任意的*3,m m ∈N ≥，设2n ka kn t =+-(1,2,,1)n m =+L ， 则对任意的{1,2,,}n m ∈L ，有1n n a a k +-=即数列{}n a (1,2,,1)n m =+L 是等差数列...............................................3分 又因为0k >，所以对任意的{1,2,,}n m ∈L ，有(1)22k k kn t kn t k n t +-≤+<++- 即满足11221m m a b a b b a +≤<≤<≤<L所以任意的*3,m m ∈N ≥，数列{}(1,2,,)n b n m =L 都是“可等距划分数列”...................6分（3）当3m =时，对于数列2,4,8存在等差数列0,3,6,9满足条件...................2分 当4m =时，对于数列2,4,8,16存在等差数列3,2.5,8,13.5,19-满足条件...................4分当5m ≥时，若存在等差数列121,,,m a a a +L 满足121242mm m a a a a +≤<≤<<≤<L则有1234562481632a a a a a a ≤<≤<≤<≤<≤<所以32826d a a =-<-=，62442428a a d =+<+=，与632a >矛盾 所以当5m ≥时，若数列{2}(1,2,,)n n m =L 不可能是“可等距划分数列”综上所述，m 的所有可能值是3,4.....................................................................8分更多高考数学信息，请关注。

【题干序号】1已知集合{1,0,1,2,3}U =-，{1,0,2}A =-，则U C A =________【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三4月模拟考试（二模)数学试题 【答案】{1,3}【解析】由题意结合补集的定义可得：{}1,3U C A =.【题干序号】2已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是111012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=________【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三4月模拟考试（二模)数学试题 【答案】5【解析】由题意可得：12x y y -=⎧⎨=⎩，则：32x y =⎧⎨=⎩，据此可得：325x y +=+=.【题干序号】3i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 .【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三4月模拟考试（二模)数学试题 【答案】2-【解析】由复数的运算可知，()()12i a i -+是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.【题干序号】4 若2log 1042x -=-，则x =______【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三4月模拟考试（二模)数学试题 【答案】4【解析】由行列式的定义可得：()()222log 140,log 2,4x x x --⨯-=∴==.【题干序号】5我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为_______石．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三4月模拟考试（二模)数学试题 【答案】168石【解析】由题意，得这批米内夹谷约为281524168254⨯=石．【题干序号】6已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为________.【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三4月模拟考试（二模)数学试题 【答案】12π【解析】设圆锥的半径为r ，则侧面积为15215,32r r ππ⨯⨯==，圆锥的高为4=，所以圆锥的体积为2134123ππ⨯⨯⨯=．故答案为：12π【题干序号】7若二项式7(2)a x x+的展开式中一次项的系数是70-，则23lim()nn a a a a →∞+++⋅⋅⋅+=____【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三4月模拟考试（二模)数学试题 【答案】13-【解析】由二项式定理展开式公式可得展开式的通项公式为：()777217722rrr r r r rr a T C x a C x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令721r -=可得：3r =，则一次项的系数为：733372a C -⨯，据此可得：73337270a C -⨯=-，解得：12a =-，则：()23112lim 11312nn a a a a aa →∞-++++===--+L .【题干序号】8已知椭圆2221x y a+=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若123F F FF =u u u v u u u u v，则a =________【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三4月模拟考试（二模)数学试题【解析】由抛物线的标准方程可得其焦点坐标为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， 设椭圆的焦点坐标为：()()12,0,,0F c F c -，则：1211,0,,022F F c FF c ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u uu v ，由题意有：11,03,022c c ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则：11322c c ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求解关于c 的方程可得：1c =，则：a ==.【题干序号】9设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，2()log (1)=+f x x ，则函数()f x 在[1,2]上的解析式是________【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三4月模拟考试（二模)数学试题 【答案】2()log (3)f x x =-【解析】设[]1,0x ∈-，则[]0,1x -∈，结合题意可得：()()()2log 1f x f x x =-=-+， 设[]1,2x ∈，则[]21,0x -∈-，故()()()22log 21log 3f x x x ⎡⎤=--+=-⎣⎦. 综上可得，函数()f x 在[]1,2上的解析式是()()23f x log x =-.【题干序号】10某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的概率是__________．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三4月模拟考试（二模)数学试题 【答案】47【解析】7个车位都排好车辆，共有77A 种方法，满足题意的排法等价于7辆车排列，满足其中三辆中恰有两辆车停放在相邻车位， 则首先排列余下的四辆车，有44A 种方法， 然后从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑，3辆车看作2个元素插入4辆车的5个空位中，共有2235A A 种方法，由乘法原理结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：4224357747A A A p A ==.【题干序号】11已知,x y ∈R ，且满足00y y y +≤-≥≥⎪⎩，若存在θ∈R 使得cos sin 10x y θθ++=成立，则点(,)P x y 构成的区域面积为________【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三4月模拟考试（二模)数学试题【答案】6π【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB ， 若存在θ∈R 使得10xcos ysin θθ++=成立，1θθ⎫⎪=-⎪⎭，令sin α=,则cos α=()1αθ+=-， 即()sin αθ+=，∵存在θ∈R 使得10xcos ysin θθ++=成立，∴1≤,即x 2+y 2⩾1，则对应的区域为单位圆的外部，由0y y +=-=⎪⎩,解得2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即(2,B ， A (4,0),则三角形OAB的面积142S =⨯⨯=直线y =的倾斜角为3π， 则6AOB π∠=,即扇形的面积为6π， 则P (x ,y )构成的区域面积为6S π=.【题干序号】12在平面四边形ABCD 中，已知1AB =，4BC =，2CD =，3DA =，则AC BD ⋅u u u v u u u v的值为________【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三4月模拟考试（二模)数学试题 【答案】10【解析】因为AB +BC =DA +DC =5，所以将四边形放入椭圆内，A 、C 为左右两个焦点，不妨令椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，设()()1122,,,B x y D x y ，则2a =5，由焦半径公式得121,3ex a ex a +=+=，两式相减得()212e x x -=，而()21222410AC BD c x x c a e⋅=-=⋅==u u u v u u u v .【题干序号】13“1x >”是“21x >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三4月模拟考试（二模)数学试题 【答案】A【解析】21x >可得0x > 当1x >时，必有0x >成立；当0x >成立时，不一定有1x >成立所以“1x >”是“21x >”的充分而不必要条件. 故选A.【题干序号】14若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2,3b c == B ．2,1b c ==- C ．2,1b c =-=- D ．2,3b c =-=【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三4月模拟考试（二模)数学试题 【答案】D【解析】由题意1i 是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0 ∴i ﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．【题干序号】15 将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A ．12t =，s 的最小值为6πB．t =，s的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3πD．2t =，s的最小值为3π【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三4月模拟考试（二模)数学试题【解析】由题意得，1sin(2)432t ππ=⨯-=， 可得1(,)42P s π'-， 因为P'位于函数sin 2y x =的图象上所以1sin(2)cos 222s s π-==， 可得22,36s k s k ππππ=±+=±+s 的最小值为6π，故选A.【题干序号】16在平面直角坐标系中，定义1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题： ① 对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥； ② 已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =； ③ 定点1(,0)F c -、2(,0)F c ，动点(,)P x y 满足12|(,)(,)|2d P F d P F a -=（220c a >>），则点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点； 其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三4月模拟考试（二模)数学试题 【答案】D【解析】设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y ，由题意可得：()(){}{},,max ,max ,,A C A CBC B C A C B C A B d C A d C B x x y y x x y y x x x x x x +=--+--≥-+-≥-同理可得：()(),,A B d C A d C B y y +≥-,则：()(){}(),,max ,,A B A B d C A d C B x x y y d A B +≥--=，设点Q 是直线y =2x -1上一点，且Q （x ,2x -1），可得(){},max 3,22d P Q x x =--， 由322x x -≥-，解得513x -≤≤，即有(),3d P Q x =-，当53z =时取得最小值43； 由322x x -<-，解得53x >或1x <-，即有(),22d P Q x =-， (),d P Q 的范围是()443,,,33⎛⎫⎛⎫+∞+∞=+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，无最小值. 综上可得，P ,Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为43. 说法②正确.定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()12,,2d P F d P F a -=（220c a >>），则：{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x ≥0，y ≥0. (1)当x c yx c y ⎧+≥⎪⎨-≥⎪⎩时，有2x c x c a +--=，得：0x a y a c =⎧⎨≤≤-⎩；(2)当x c y x c y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩时，有02a =，此时无解；(3)当x c yx c y⎧+>⎪⎨-<⎪⎩时，有2,x c y a a x +-=<；则点P 的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.结合图象可知，点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点，命题③正确.综上可得命题①②③均正确，真命题的个数是3. 本题选择D 选项.【题干序号】17如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，BC ∥AD ，AB BC ⊥， 45ADC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，1AB AP ==，3AD =. （1）求异面直线PB 与CD 所成角的大小； （2）求点D 到平面PBC 的距离.【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三4月模拟考试（二模)数学试题 【答案】(1)3π【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系， 则()0,0,1P ,()1,0,0B ,()1,2,0C ,()0,3,0D ，所以()1,0,1PB =-u u u v ，()1,1,0CD =-u u u v，设异面直线PB 与CD 所成角为θ，则12PB CD cos PB CDθ⋅==⋅u u u v u u u v u u uv u u u v ， 所以异面直线PB 与CD 所成角大小为3π.(2)设平面PBC 的一个法向量为(),,n u v w =v，则00PB n BC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，所以020u w v -=⎧⎨=⎩，取1u w ==，得()1,0,1n =v，所以点D 到平面PBC的距离n CD d n ⋅==u u u v v v.【题干序号】18已知点1F 、2F 依次为双曲线2222:1x y C a b -=（,0a b >）的左右焦点，126F F =，1(0,)B b -，2(0,)B b .（1）若a =(3,4)d =-v为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离；（2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ⋅=-u u u v u u u u v，求实数b 的取值范围.【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三4月模拟考试（二模)数学试题 【答案】(1)185(2) ,3)2【解析】（1）由题意知：3c =,()23,0F,2b = ， 所以直线l 的方程为：234x y +=-，即4360x y ++= ， 所以2F 到l的距离185d ==. （2）设(),P x y , 则()1,PB x y b =+u u u v ，()2,PB x y b =-u u u u v，所以222122PB PB x y b ⋅=+-=-u u u v u u u u v，22221x y a b -=，22222b x y b a=- ， ∴2222122b x b a ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即222222c x b a =-，因为x a ≥，3,c = 所以2222229c b x a-=≥，所以2b ≥3b c <=，故实数b的取值范围是2⎫⎪⎪⎣⎭.【题干序号】19如图，某公园有三条观光大道AB 、BC 、AC 围成直角三角形，其中直角边200BC m =，斜边400AB m =，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB 、BC 、AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点D 、E 、F .（1）若甲乙都以每分钟100m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离； （2）设CEF θ∠=，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且3DEF π∠=，请将甲乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离.【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三4月模拟考试（二模)数学试题 【答案】(1) DE =(2)【解析】(1)依题意得BD=300，BE=100，在三角形ABC 中1cos 23BC B B AB π==∴= 在三角形BDE 中，由余弦定理得222222cos 13001002300100270000,DE BD BE BD BE B DE =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=∴=（2）由题意得22,EF DE y BDE CEF θ==∠=∠= ，在直角三角形CEF 中，cos 2cos CE EF CEF y θ=∠= ，在三角形BDE 中由正弦定理得2002cos ,sin sin sin sin 60oBE DE y yBDE DBE θθ-==∠∠2sin 3y πθθ∴==<<+ ⎪⎝⎭ 所以当π6θ=时，y有最小值即甲乙之间的最小距离为.【题干序号】20已知函数2()21x x a f x +=+，x ∈R. （1）证明：当1a >时，函数()y f x =是减函数；（2）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（3）当2a =，且b c <时，证明：对任意[(),()]d f c f b ∈，存在唯一的0x ∈R ，使得0()f x d =，且0[,]x b c ∈.【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三4月模拟考试（二模)数学试题【答案】(1)见解析(2) 当1a =-时，函数()y f x =是奇函数；当1a =时，函数()y f x =是偶函数；当1a ≠且1a ≠-时，函数()y f x =是非奇非偶函数，（3）见解析【解析】（1）任取12,x x R ∈，设12x x <，则()()()()()()2112121222121xx x x a f x f x ---=++，∵12x x <，所以2122x x >，又1a >，∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， 所以当1a >时，函数()y f x =是减函数.(2)当1a =时，()1f x =，所以()()f x f x -=，所以函数()y f x =是偶函数，当1a =-时，()2121x x f x -=+，()()21122121x xx x f x f x -----===-++，所以函数()y f x =是奇函数， 当1a ≠且1a ≠-时，()213a f +=，()2113a f +-=， 因为()()11f f -≠且()()11f f -≠-， 所以函数()y f x =是非奇非偶函数.(3)由（1）知，当2a =时函数()y f x =是减函数， 所以函数()y f x =在[],b c 上的值域为()(),f c f b ⎡⎤⎣⎦， 因为()(),d f c f b ⎡⎤∈⎣⎦，所以存在0x R ∈，使得()0f x d =. 假设存在110,x R x x ∈≠使得()1f x d =，若10x x >，则()()10f x f x <，若10x x <，则()()10f x f x >， 与()()10f x f x d ==矛盾，故0x 是唯一的，假设[]0,x b c ∉，即0x b <或0x c >，则()()0f x f b >或()()0f x f c <， 所以()(),d f c f b ⎡⎤∉⎣⎦，与()(),d f c f b ⎡⎤∈⎣⎦矛盾，故[]0,x b c ∈.【题干序号】21设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1122n na a +≤≤（*n N ∈），则称{}n a 是“紧密数列”. （1）已知数列{}n a 是“紧密数列”，其前5项依次为39811,,,,2416x ，求x 的取值范围； （2）若数列{}n a 的前n 项和为21(3)4n S n n =+（*n N ∈），判断{}n a 是否是“紧密数列”，并说明理由；（3）设{}n a 是公比为q 的等比数列，若{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的取值范围.【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三4月模拟考试（二模)数学试题 【答案】(1)8181328x ≤≤ (2) {}n a 是“紧密数列”(3) 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由题意得：8111162,29224x x ≤≤≤≤，所以8181328x ≤≤. （2）由数列{}n a 的前n 项和()()2*134n S n n n N =+∈，得()1*11,1,11111,222,222n n n n S n a n n N S S n n n -=⎧=⎧⎪===+∈⎨⎨-≥+≥⎩⎪⎩． 所以，()111121221111122n n n a n a n n n ++++===++++， 因为对任意*n N ∈，11012n <≤+，即131112n <+≤+，所以，1122n na a +≤≤， 即{}n a 是“紧密数列”．（3）由数列{}n a 是公比为q 的等比数列，得1n na q a +=， 因为{}n a 是“紧密数列”，所以122q ≤≤． ①当1q =时，1111,1n n n S n S na S n n ++===+，因为11122n≤+≤， 所以1q =时，数列{}n S 为“紧密数列”，故1q =满足题意．②当1q ≠时，()111nn a q S q-=-，则1111n n n nSq S q++-=-，因为数列{}n S 为“紧密数列”， 所以111221n nq q+-≤≤-，对任意*n N ∈恒成立． （ⅰ）当112q ≤<时，()()1111212n n n q q q +-≤-≤-， 即()()21121n n q q q q ⎧-≤⎪⎨-≥-⎪⎩，对任意*n N ∈恒成立． 因为01nq q <≤<，0211q ≤-<，3212q -≤-<-， 所以()211nq q q -<<，()()133221224n q q q q ⎛⎫-≥-≥⨯-=->- ⎪⎝⎭，所以，当112q ≤<时，()()21121nn q q q q ⎧-≤⎪⎨-≥-⎪⎩，对任意*n N ∈恒成立．（ⅱ）当12q <≤时，()()1111212n n nq q q +-≤-≤-,即()()21121nn q q q q ⎧-≥⎪⎨-≤-⎪⎩，对任意*n N ∈恒成立．因为1,211,120nq q q q ≥>->-<-≤．所以()()21121q q q q ⎧-≥⎪⎨-≤-⎪⎩，解得1q =，又12q <≤，此时q 不存在． 综上所述，q 的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。

2（2018松江二模）. 若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 2（2018崇明二模）. 已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是111012-⎛⎫
⎪⎝⎭，则
x y +=
6（2018宝山二模）. 若线性方程组的增广矩阵为121220c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的解为13x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 6（2018奉贤二模）. 三阶行列式56
742103
1
x
-中元素5-的代数余子式为()f x ，则方程()0f x =的解为 9（2018静安二模）. 秦九韶是我国南宋时期数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，右边的流程图是秦九韶算法的一个实例. 若输入n 、x 的值分别为4、2，则输出q 的值为
（在算法语言中用“*”表示乘法运算符号，例如5210*=）。

2018年上海市崇明县中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）8的相反数是（）A．B．8 C．D．﹣82．（4分）下列计算正确的是（）A．B．a+2a=3a C．（2a）3=2a3D．a6÷a3=a23．（4分）今年3月12日，某学校开展植树活动，某植树小组20名同学的年龄情况如下表：那么这20名同学年龄的众数和中位数分别是（）A．15，14 B．15，15 C．16，14 D．16，154．（4分）某美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本相同的画册，第二次用240元在同一家商店买与上一次相同的画册，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本画册？设第一次买了x本画册，列方程正确的是（）A．B．C．D．5．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．菱形D．正五边形6．（4分）已知△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，DE∥BC，点F是BC 边上一点，联结AF交DE于点G，那么下列结论中一定正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）因式分解：x2﹣9=．8．（4分）不等式组的解集是．9．（4分）函数y=的定义域是．10．（4分）方程的根是x=．11．（4分）已知袋子中的球除颜色外均相同，其中红球有3个，如果从中随机摸得1个红球的概率为，那么袋子中共有个球．12．（4分）如果关于x的方程x2+4x﹣k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．13．（4分）如果将抛物线y=x2+2x﹣1 向上平移，使它经过点A（1，3），那么所得新抛物线的表达式是．14．（4分）某校组织了主题为“共建生态岛”的电子小报作品征集活动，先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D 四个等级进行评分，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，那么此次抽取的作品中等级为B的作品数为．15．（4分）已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=（用表示）．16．（4分）如图，正六边形ABCDEF 的顶点B、C 分别在正方形AGHI 的边AG、GH 上，如果AB=4，那么CH的长为．17．（4分）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点E是边AB上一点（不与A、B重合），以点A为圆心，AE为半径作⊙A，如果⊙C与⊙A外切，那么⊙C的半径r 的取值范围是．18．（4分）如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D是BC的中点，将△ABD，将△ABD沿AD翻折得到△AED，联结CE，那么线段CE的长等于．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：+（﹣2）2+9﹣（π﹣3.14）020．（10分）解方程组：21．（10分）已知圆O的直径AB=12，点C是圆上一点，且∠ABC=30°，点P是弦BC上一动点，过点P作PD⊥OP交圆O于点D．（1）如图1，当PD∥AB 时，求PD的长；（2）如图2，当BP平分∠OPD时，求PC的长．22．（10分）温度通常有两种表示方法：华氏度（单位：°F）与摄氏度（单位：℃），已知华氏度数y 与摄氏度数x 之间是一次函数关系，下表列出了部分华氏度与摄氏度之间的对应关系：（1）选用表格中给出的数据，求y关于x的函数解析式；（2）有一种温度计上有两个刻度，即测量某一温度时左边是摄氏度，右边是华氏度，那么在多少摄氏度时，温度计上右边华氏度的刻度正好比左边摄氏度的刻度大56？23．（12分）如图，AM 是△ABC的中线，点D是线段AM上一点（不与点A 重合）．DE∥AB交BC 于点K，CE∥AM，联结AE．（1）求证：；（2）求证：BD=AE．24．（12分）已知抛物线经过点A（0，3）、B（4，1）、C（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）联结AC、BC、AB，求∠BAC的正切值；（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作PG⊥AP交y轴于点G，当点G在点A 的上方，且△APG与△ABC相似时，求点P的坐标．25．（14分）如图，已知△ABC 中，AB=8，BC=10，AC=12，D是AC边上一点，且AB2=AD•AC，联结BD，点E、F分别是BC、AC上两点（点E不与B、C重合），∠AEF=∠C，AE与BD相交于点G．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）设BE=x，CF=y，求y与x 之间的函数关系式；（3）联结FG，当△GEF 是等腰三角形时，求BE的长度．2018年上海市崇明县中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）8的相反数是（）A．B．8 C．D．﹣8【分析】根据相反数的意义求解即可．【解答】解：8的相反数是﹣8，故选：D．2．（4分）下列计算正确的是（）A．B．a+2a=3a C．（2a）3=2a3D．a6÷a3=a2【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则和同底数幂的除法运算分别计算得出答案．【解答】解：A、+，无法计算，故此选项错误；B、a+2a=3a，正确；C、（2a）3=8a3，故此选项错误；D、a6÷a3=a3，故此选项错误；故选：B．3．（4分）今年3月12日，某学校开展植树活动，某植树小组20名同学的年龄情况如下表：那么这20名同学年龄的众数和中位数分别是（）A．15，14 B．15，15 C．16，14 D．16，15【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．【解答】解：由于15岁出现次数最多，所以众数为15岁，中位数为第10、11个数据的平均数，所以中位数为=15（岁），故选：B．4．（4分）某美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本相同的画册，第二次用240元在同一家商店买与上一次相同的画册，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本画册？设第一次买了x本画册，列方程正确的是（）A．B．C．D．【分析】设第一次买了x本画册，根据结果比上次多买了20本列出方程解答即可．【解答】解：设第一次买了x本画册，根据题意可得：，故选：A．5．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．菱形D．正五边形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；C、菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．6．（4分）已知△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，DE∥BC，点F是BC 边上一点，联结AF交DE于点G，那么下列结论中一定正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF，∴=，∴，故选：D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）因式分解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=（x+3）（x﹣3），故答案为：（x+3）（x﹣3）．8．（4分）不等式组的解集是﹣3＜x＜1．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出其公共部分即可．【解答】解：，解不等式①得：x＜1，解不等式②得：x＞﹣3，所以不等式组的解集是﹣3＜x＜1．故答案为：﹣3＜x＜1．9．（4分）函数y=的定义域是x≠2．【分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x﹣2≠0，解得x的范围．【解答】解：根据题意得：x﹣2≠0解得：x≠2，故答案为：x≠2．10．（4分）方程的根是x=8．【分析】把方程两边平方去根号后求解．【解答】解：方程两边平方得：x+1=9，解得：x=8，经检验：x=8是方程的解．故答案是：8．11．（4分）已知袋子中的球除颜色外均相同，其中红球有3个，如果从中随机摸得1个红球的概率为，那么袋子中共有24个球．【分析】设袋子中共有x个球，再根据概率公式即可得出结论．【解答】解：设袋子中共有x个球，∵红球有3个，从中随机摸得1个红球的概率为，∴=，解得：x=24（个）．故答案为：24．12．（4分）如果关于x的方程x2+4x﹣k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是﹣4．【分析】由方程根的个数，根据根的判别式可得到关于k的方程，则可求得k的值．【解答】解：∵关于x的方程x2+4x﹣k=0有两个相等的实数根，∴△=0，即42﹣4（﹣k）=0，解得k=﹣4，故答案为：﹣4．13．（4分）如果将抛物线y=x2+2x﹣1 向上平移，使它经过点A（1，3），那么所得新抛物线的表达式是y=x2+2x．【分析】直接利用平移的性质假设出平移后的解析式进而得出答案．【解答】解：∵将抛物线y=x2+2x﹣1 向上平移，使它经过点A（1，3），∴平移后的解析式为：y=x2+2x﹣1+h，则3=1+2﹣1+h，解得：h=1，故所得新抛物线的表达式是：y=x2+2x．故答案为：y=x2+2x．14．（4分）某校组织了主题为“共建生态岛”的电子小报作品征集活动，先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D 四个等级进行评分，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，那么此次抽取的作品中等级为B的作品数为48．【分析】利用共抽取作品数=C等级数÷对应的百分比求解，即可一共抽取了120份作品，进而得到抽取的作品中等级为B的作品数．【解答】解：∵30÷25%=120（份），∴一共抽取了120份作品，∴此次抽取的作品中等级为B的作品数120﹣36﹣30﹣6=48份，故答案为：48．15．（4分）已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=﹣（用表示）．【分析】根据向量的三角形法则表示出，再根据BC、AD的关系解答．【解答】解：∵=，=，∴=﹣=﹣，∵AD∥BC，BC=2AD，∴==（﹣）=﹣．故答案为：﹣．16．（4分）如图，正六边形ABCDEF 的顶点B、C 分别在正方形AGHI 的边AG、GH 上，如果AB=4，那么CH的长为．【分析】求出正六边形的内角的度数，根据直角三角形的性质求出BG、CG，根据正多边形的性质计算．【解答】解：正六边形的内角的度数==120°，则∠CBG=180°﹣120°=60°，∴∠BCG=30°，∴BG=BC=2，CG=BC=2，∴AG=AB+BG=6，∵四边形AGHI是正方形，∴GH=AG=6，∴CH=HG﹣CG=6﹣2，故答案为：6﹣2．17．（4分）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点E是边AB上一点（不与A、B重合），以点A为圆心，AE为半径作⊙A，如果⊙C与⊙A外切，那么⊙C的半径r 的取值范围是8＜r＜13．【分析】先利用勾股定理计算出AC=13，利用⊙C与⊙A外切可确定⊙C的半径r 的取值范围．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°，AD=BC=12，在Rt△ABC中，AC==13，∵以点A为圆心，AE为半径作⊙A，如果⊙C与⊙A外切，可得：⊙C的半径r的取值范围是8＜r＜13．故答案为：8＜r＜1318．（4分）如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D是BC的中点，将△ABD，将△ABD沿AD翻折得到△AED，联结CE，那么线段CE的长等于．【分析】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵AC=8，AB=6，∴BC==10，∵CD=DB，∴AD=DC=DB=5，∵BC•AH=AB•AC，∴AH=，∵AE=AB，∴点A在BE的垂直平分线上．∵DE=DB=DC，∴点D在BE使得垂直平分线上，△BCE是直角三角形，∴AD垂直平分线段BE，∵AD•BO=BD•AH，∴OB=，∴BE=2OB=，在Rt△BCE中，EC===，故答案为三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：+（﹣2）2+9﹣（π﹣3.14）0【分析】直接利用零指数幂的性质以及分数值幂的性质、完全平方公式分别化简得出答案．【解答】解：原式=3+7﹣4+3﹣1=9﹣．20．（10分）解方程组：【分析】先把高次方程组转化成二元一次方程组，求出求出二元一次方程组的解即可．【解答】解：由①得：x+3y=0或x﹣3y=0③，由②得：x﹣y=2或x﹣y=﹣2④，由③和④组成方程组，，，，解得：，，，，所以原方程组的解为：，，，．21．（10分）已知圆O的直径AB=12，点C是圆上一点，且∠ABC=30°，点P是弦BC上一动点，过点P作PD⊥OP交圆O于点D．（1）如图1，当PD∥AB 时，求PD的长；（2）如图2，当BP平分∠OPD时，求PC的长．【分析】（1）先判断出∠POB=90°，进而求出最后用勾股定理即可得出结论；（2）先求出，，进而求出，即可得出结论．【解答】解：如图1，联结OD∵直径AB=12∴OB=OD=6∵PD⊥OP∴∠DPO=90°∵PD∥AB∴∠DPO+∠POB=180°∴∠POB=90°又∵∠ABC=30°，OB=6∴∵在Rt△POD 中，PO2+PD2=OD2∴∴（2）如图2，过点O 作OH⊥BC，垂足为H∵OH⊥BC∴∠OHB=∠OHP=90°∵∠ABC=30°，OB=6∴，∵在⊙O 中，OH⊥BC∴∵BP 平分∠OPD∴∴PH=OH•cot45°=3∴．22．（10分）温度通常有两种表示方法：华氏度（单位：°F）与摄氏度（单位：℃），已知华氏度数y 与摄氏度数x 之间是一次函数关系，下表列出了部分华氏度与摄氏度之间的对应关系：（1）选用表格中给出的数据，求y关于x的函数解析式；（2）有一种温度计上有两个刻度，即测量某一温度时左边是摄氏度，右边是华氏度，那么在多少摄氏度时，温度计上右边华氏度的刻度正好比左边摄氏度的刻度大56？【分析】（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，由待定系数法求出其解即可；（2）根据题意列出方程求出其解即可．【解答】（1）解：设y=kx+b（k≠0）把x=0，y=32；x=35，y=95 代入y=kx+b，得，解得∴y 关于x 的函数解析式为（2）由题意得：解得x=30∴在30摄氏度时，温度计右边华氏度的刻度正好比左边摄氏度的刻度大56．23．（12分）如图，AM 是△ABC的中线，点D是线段AM上一点（不与点A 重合）．DE∥AB交BC 于点K，CE∥AM，联结AE．（1）求证：；（2）求证：BD=AE．【分析】（1）由DE∥AB可得出∠ABC=∠EKC，由CE∥AM可得出∠AMB=∠ECK，进而可证出△ABM∽△EKC，根据相似三角形的性质可得出=，再结合三角形中线的定义即可得出BM=CM，替换后即可证出；（2）由CE∥AM可得出，结合（1）的结论可得出DE=AB，由DE∥AB可得出四边形ABDE是平行四边形，再利用平行四边形的性质即可证出BD=AE．【解答】证明：（1）∵DE∥AB，∴∠ABC=∠EKC．∵CE∥AM，∴∠AMB=∠ECK，∴△ABM∽△EKC，∴=．∵AM是△ABC的中线，∴BM=CM，∴．（2）证明：∵CE∥AM，∴△KDM∽△KEC，∴=，∴，又∵，∴DE=AB．又∵DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴BD=AE．24．（12分）已知抛物线经过点A（0，3）、B（4，1）、C（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）联结AC、BC、AB，求∠BAC的正切值；（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作PG⊥AP交y轴于点G，当点G在点A 的上方，且△APG与△ABC相似时，求点P的坐标．【分析】（1）直接利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用勾股定理的逆定理、以及∠BAC的正切值；（3）当△APG与△ABC相似时，存在以下两种可能：①∠PAG=∠CAB ②∠PAG=∠ABC，进而得出答案．【解答】解：（1）设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），将A（0，3）、B（4，1），C（3，0）代入，得：，解得：，所以，这个二次函数的解析式为：；（2）∵A（0，3、B（4，1）、C（3，0 ）∴AC=3，BC=，AB=2，∴AC2+BC2=AB2∴∠ACB=90°，∴；（3）过点P作PH⊥y轴，垂足为H设P则H∵A（0，3）∴，PH=x，∵∠ACB=∠APG=90°∴当△APG与△ABC相似时，存在以下两种可能：①∠PAG=∠CAB则tan∠PAG=tan∠CAB=，即∴，解得：x=11，∴点P 的坐标为（11，36）；②∠PAG=∠ABC则tan∠PAG=tan∠ABC=3即∴解得：x=，∴点P 的坐标为，综上所述：点P 的坐标为或（11，36）．25．（14分）如图，已知△ABC 中，AB=8，BC=10，AC=12，D是AC边上一点，且AB2=AD•AC，联结BD，点E、F分别是BC、AC上两点（点E不与B、C重合），∠AEF=∠C，AE与BD相交于点G．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）设BE=x，CF=y，求y与x 之间的函数关系式；（3）联结FG，当△GEF 是等腰三角形时，求BE的长度．【分析】（1）依据AB=8，AC=12，AB2=AD•AC，即可得到CD的长，再根据△ADB ∽△ABC，即可得出BD的长，依据BD=CD 即可得到∠ABD=∠DBC，即BD平分∠ABC；（2）过点A作AH∥BC，交BD的延长线于点H，依据平行线分线段成比例定理以及相似三角形的对应边成比例，即可得到，进而得出，即可得到y与x 之间的函数关系式；（3）当△GEF是等腰三角形时，存在三种情况，分别依据相似三角形的对应边成比例，即可得到关于x的方程，进而得出BE的长．【解答】解：（1）∵AB=8，AC=12，又∵AB2=AD•AC，∴，∴，∵AB2=AD•AC，∴，又∵∠BAC是公共角，∴△ADB∽△ABC，∴∠ABD=∠C，，∴，∴BD=CD，∴∠DBC=∠C，∴∠ABD=∠DBC，∴BD平分∠ABC；（2）如图，过点A作AH∥BC，交BD的延长线于点H，∵AH∥BC，∴，∵，AH=8，∴，∴BH=12，∵AH∥BC，∴，∴，∴，∵∠BEF=∠C+∠EFC，∴∠BEA+∠AEF=∠C+∠EFC，∵∠AEF=∠C，∴∠BEA=∠EFC，又∵∠DBC=∠C，∴△BEG∽△CFE，∴，∴，∴；（3）当△GEF是等腰三角形时，存在以下三种情况：1°若GE=GF，则∠GEF=∠GFE=∠C=∠DBC，∴△GEF∽△DBC，∵BC=10，DB=DC=，∴==，又∵△BEG∽△CFE，∴，即，又∵，∴x=BE=4；2°若EG=EF，则△BEG与△CFE全等，∴BE=CF，即x=y，又∵，∴x=；3°若FG=FE，则同理可得==，由△BEG∽△CFE，可得，即，又∵，∴x=．赠送：初中数学几何模型【模型一】半角型：图形特征：F AB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DFE-aa B E1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°E-aa B E挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.（1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形； （3）求AE －CE 的值.。