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第十二章 数项级数 1、级数的收敛性定义1 给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n u u u 21 （1）称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中n u 称为数项级数（1）的通项.数项级数（1）也常写作:∑∞=1n nu或简单写作∑nu.数项级数（1）的前n 项之和，记为n nk k n u u u u S +⋅⋅⋅++==∑=211， （2）称它为数项级数（1）的第n 个部分和，也简称部分和.定义 2 若数项级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即S Snn =∞→lim ），则称数项级数（1）收敛，称S 为数项级数（1）的和，记作⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=n u u u S 21或∑=n u S .若{}n S 是发散数列，则称数项级数（1）发散.定理12.1（级数收敛的柯西准则）级数（1）收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N ，使得当m >N 以及对任意的正整数，都有p m m m u u u ++++⋅⋅⋅++21<ε. （6）定理12.2 若级数∑nu与∑nυ都收敛，则对任意常数,,d c 级数()∑+n nd cuυ亦收敛，且()∑∑∑+=+.n n n nd u c d cuυυ定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的收敛性.定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号，即不改变级数的收敛性，也不改变级数的和。
正向级数定理12.5 正项级数∑nu收敛的充要条件：部分和数列{}n S 有界，即存在某个正数M ，对一切正整数n 有n S <M .定理12.6（比较原则） 设∑nu与∑nυ是两个正项级数，如果存在某个正数N ，对一切n >N 都有，n n u υ≤，则（i ）若级数∑nυ收敛，则级数∑nu也收敛；（ii ）若级数∑nυ发散，则级数∑nυ也发散.推论 设⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n n u u u υυυ2121,()()43是两个正项级数，若,lim l u nnn =∞→υ则（i ）当+∞<<l 0时，级数（3）、（4）同时收敛或同时发散； （ii ）当0=l 且级数（4）收敛时，级数（3）也收敛； （iii ）当+∞=l 且级数（4）发散时，级数（3）也发散.定理12.7（达朗贝尔判别法，或称比式判别法） 设∑nu为正项级数，且存在某正整数0N 及常数().10<<q q（i ）若对一切,0N n >成立不等式,1q u u n n ≤+则级数∑nu收敛.（ii ）若对一切,0N n >成立不等式,11≥+n n u u则级数∑nu发散.推论1（比式判别法的极限形式） 若∑nu为正项级数，且,lim1q u u nn n =+∞→则（i ）当1<q 时，级数∑nu收敛；（ii ）当1>q 或+∞=q 时，级数∑nu发散.推论2 设∑nu为正项级数.（i ）若11______lim <=+∞→q u u nn n ，则级数收敛； （ii ）若11______lim >=+∞→q u u nn n ，则级数发散. 定理12.8（柯西判别法，或称根式判别法） 设∑nu为正项级数，且存在某正数0N 及常数l ，（i ）若对一切,0N n >成立不等式,1<≤l u nn则级数∑nu收敛；（ii ）若对一切,0N n >成立不等式,1≥nn u则级数∑nu发散.推论1（根式判别法的极限形式） 设∑nu为正项级数，且,liml u nn n =∞则（i ）当1<l 时，级数∑nu收敛；（ii ）当1>l 时，级数∑nu发散.推论2 设∑nu为正项级数，且,lim______l u nn n =∞→则当（i ）1<l 时级数收敛； （ii ）1>l 时级数发散.定理12.9 设f 为[)+∞,1上的非负减函数，那么正项级数()∑n f 与反常积分()⎰+∞1dxx f 同时收敛或同时发散.定理12.10（拉贝判别法） 设∑nu为正项级数，且存在某正整数N及常数r ，（i ）若对一切Nn 0>，成立不等式,111>≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-r u u n n n则级数∑nu收敛；（ii ）若对一切Nn 0>，成立不等式,111≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-n n u u n则级数∑nu发散；推论（拉贝判别法的极限形式） 设∑nu为正项级数，且极限ru u n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→11lim存在，则（i ）当1>r 时，级数∑nu收敛；（ii ）当1<r 时，级数∑nu发散.2、一般项数级数定理12.11（莱布尼茨判别法） 若交错级数()⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-+n n u u u u u 143211 (),,2,1,0⋅⋅⋅=>n u n （1）满足下述两个条件：（i ）数列{}n u 单调递减； （ii ）,0lim =∞→nn u则级数（1）收敛.推论 若级数（1）满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数（1）的余项估计式为.1+≤n n u R 定理12.12 绝对收敛的级数一定收敛.定理12.13 设级数⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n u u u 21绝对收敛，且其和等于S ，则任意重排列后所得到的级数也绝对收敛亦有相同的和数. 级数的乘积设有收敛级数,,2121B v v v vA u u u u n nn n=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++==⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=∑∑()()32 把级数（2）与（3）中的每一项所有可能的乘积列成下表：这些乘积j i v u 可以按各种方法排成不同的级数.定理12.4（柯西定理） 若级数（2）（3）都绝对收敛，则对（4）中的所有乘积j i v u 按任意顺序排列所得的级数∑nw也绝对收敛，且其和等于.AB引理（分部求和公式，也称阿贝耳变换） 设()n i v i i ,,2,1,⋅⋅⋅=ε为两组实数，若令k k v v v +⋅⋅⋅++=21σ (),,,2,1n k ⋅⋅⋅=则有如下分部求和公式成立：()()().1112321211n n n n n ni i i v σεσεεσεεσεεε+-+⋅⋅⋅+-+-=--=∑推论（阿贝耳引理） 若（i ）n εεε,,,21⋅⋅⋅是单调数组；（ii ）对任一正整数()n k k ≤≤1有A k ≤σ(这里k k v v +⋅⋅⋅+=1σ)，则记（4）{}k kεεmax =时，有.31A v nk k k εε≤∑=定理12.5（阿贝耳判别法） 若{}n a 为单调有界数列，且级数∑nb收敛，则级数⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=∑n n nn b a b a b a ba 2211（5）收敛.定理12.6（狄利克雷判别法） 若数列{}n a 单调递减，且,0lim =∞→nn a又级数∑n b 的部分和数列有界，则级数（5）收敛.第十三章 函数列与函数项级数 1、第十四章 幂级数 第十五章 傅里叶级数第十六章 多元函数的极限与连续 第十七章 多元函数微分学 第十八章 隐函数定理及其应用 第十九章 含参量积分 第二十章 曲线积分 第二十一章 重积分 第二十二章 曲面积分第二十三章 流形体上微积分初阶段。
数学分析第十二章广义积分与含参变量积分第一，广义积分的概念和性质。
在数学分析中，我们通常通过定积分来求解曲线下面的面积。
然而，如果被积函数在有限区间上发散或无定义，就无法使用定积分。
这时，我们就需要用到广义积分。
广义积分可以看作是一些特殊函数的面积，其被积函数在有限区间上可能发散或无定义，但在无穷区间上是收敛的。
广义积分的概念可以统一定积分与不定积分的特点，并在此基础上建立一些重要的性质。
第二，广义积分的判定和应用。
对于广义积分的求解，我们需要先进行判定，即判断广义积分是否存在。
常用的判定方法有比较判定法、绝对收敛判定法、积分判别法等。
这些方法可以帮助我们准确地判断广义积分的存在性，并进一步应用于实际问题的求解。
广义积分在实际问题中的应用非常广泛，比如物理学、工程学等领域都需要用到广义积分的计算。
第三，含参变量积分的概念和性质。
含参变量积分是将被积函数中的参数视为独立变量进行积分。
含参变量积分可以看作是广义积分的一种特殊情况，其被积函数中的参数在一定范围内变化。
含参变量积分的性质与普通的定积分类似，可以满足线性性质、积分换序等性质。
同时，由于含参变量积分中的参数是变化的，所以可以应用于优化问题的求解，帮助我们找到最优解。
第四，含参变量积分的应用。
含参变量积分在实际中的应用非常广泛。
比如，在经济学中，我们可以用含参变量积分来求解收益函数或成本函数的最优解，从而确定最优生产方案。
在物理学中，我们可以用含参变量积分来求解一个变量随时间变化的过程，如物体的运动方程。
在金融学中，我们可以用含参变量积分来计算一些金融衍生品的价格，如期权的定价。
这些都是含参变量积分在实际问题中的应用。
综上所述，数学分析第十二章的广义积分与含参变量积分的概念、性质以及应用都非常重要。
通过对广义积分与含参变量积分的学习与理解，我们能够更好地理解数学中的积分概念，并应用于实际问题的求解。
数学分析第十二章提供了一种更加灵活且广泛的积分方法，对我们的数学思维与解决问题的能力都有很大的提升作用。
09第九讲拉贝判别法数学分析第⼗⼆章数项级数拉贝判别法第九讲数学分析第⼗⼆章数项级数由于⽐式和根式判别法的⽐较对象是⼏何级数,如果级数的通项收敛速度较慢,它们就失效了, 如p 级数.这类级数的通项收敛于零的速度较慢,因此较⽐式法或根式法在判断级数收敛时更精细.*拉贝判别法拉贝(Raabe)判别法是以p 级数为⽐较对象,数学分析第⼗⼆章数项级数定理12.10（拉贝判别法）+??-≥> ??111,n n u n r u ;n u 则级数收敛∑>0(ii),n N 若对⼀切成⽴不等式+??-≤ ?? 111,n n u n u .n u ∑则级数发散>0(i),n N 若对⼀切成⽴不等式设n u ∑为正项级数, 且存0.N r 在某正整数及常数数学分析第⼗⼆章数项级数.1p p r <<选使得故存在正数N , 111pr n n ，?>--证(i)111,n n u n r u +??-≥> ??由11.n n u ru n +≤-得111lim pn n r n →∞?-- ()101lim p x p x r -→-=p r=,1<使对任意n >N ，都有由于()011limpx x rx→--=1pn n -??≤111.pr n n 或??-<-数学分析第⼗⼆章数项级数1111n n N n N n n Nu u u u u u u u +++-=于是, 当n >N 时，有1211p p pNn n N u n n N ---≤ ? ? ?- >∑∑11,,.n p p u n因为时收敛所以是收敛的这样11n n u r u n +<-11p n ??<- 1.p n n -??=()1pNpN u n-=()11.pp NN u n-=数学分析第⼗⼆章数项级数131212n n n n n u u u u u u u u ++-= 212112n n u n n -->- 21.u n=∑∑1,.n u n因为发散故是发散的1(ii)11,n n u n u +??-≤ ??由1111,n n u n u n n +-≥-=得于是数学分析第⼗⼆章数项级数推论（拉贝判别法的极限形式）设∑nu为正项级数,且极限+→∞??-= ??1lim 1n n n u n r u 存在, 则(i)1,;n r u 当时级数收敛>∑(ii)1,.n r u 当时级数发散<∑数学分析第⼗⼆章数项级数(21)!!.(0(14)(2)!!Sn s n ）->∑的敛散性.例14 讨论下⾯级数解由于1lim 1n n nu u ，+→∞=所以考虑⽤拉贝判别法.洛必达法则因为121lim 1lim 122sn n n n u n n n u n +→∞→∞+??-=-?? ? ?+012lim 122st t t t →??+??=-?? ?+12022lim 22(22)s t t s t t -→??+-??=-??? ?++?? .2s =数学分析第⼗⼆章数项级数当s = 2时, 由于由拉贝法的⾮极限形式知级数(14)发散.11n n u n u +??- ??()()24322n n n +=+2243484n n n n +=++,1<(21)!!(14)(2)!!Sn n ??-∑由此可知当s > 2时，原级数收敛；当s < 2时，原级数发散；数学分析第⼗⼆章数项级数或根式法更⼴泛,13似乎可以得出这样的结论：的收敛级数.的收敛问题,⽽不能解决所有级数的收敛问题.我们还可以建⽴⽐拉贝判别法更为精细有效的判别法,但这个过程是⽆限的.从上⾯看到,拉贝判别法虽然判别的范围⽐⽐式法但当r =1时仍⽆法判别.⽽从例没有收敛得“最慢”因此任何判别法都只能解决⼀类级数当然。
数学分析第四版十二讲课件高等教育出版社1五、Γ函数与B函数Γ函数与B函数是含参变量的反常积分所定义的非初等函数，它们在数学、物理、经济中有广泛的应用．（一）Γ函数（Gamma函数）函数10()某某ed某αα+∞--Γ=称为Γ函数．由§12.2例7（书中P270）知，()αΓ的定义域为0α>．1．()αΓ在区间(0,)+∞连续．事实上，1`111001()某某某某ed某某ed某某ed某αααα+∞+∞------Γ==+．12(0,),,ααα∈+∞使120ααα<≤≤．111(0,1],某某某某e某eαα----∈≤；211[1,),某某某某e某eαα----∈+∞≤．已知瑕积分111100某某ed某αα--<（）与无穷积分211某某ed某α+∞--都收敛，由M判别法知，无穷积分10某某ed某α+∞--在区间12[,]αα一致收敛，而被积函数1某某eα--在区域12(0,)D某ααα<<+∞≤≤连续，根据本节定理9，Γ函数在12[,]αα连续，于是，Γ函数在点α连续，从而在(0,)+∞连续．2．Γ函数在(0,)+∞内可导．用与上述相似的方法可证明Γ函数在(0,)+∞内可导，且10()ln(0)某某e某d某ααα+∞--'Γ=>．3．递推公式：0,α>有(1)()αααΓ+=Γ．0α>，有10000(1)()某某某某某ed某某de某e某ed某αααααααα+∞+∞+∞---+∞--Γ+==-=-+=Γ．设1,nnnNα+<≤+∈，逐次应用递推公式，有(1)()(1)(1)(1)()()nnααααααααααΓ+=Γ=-Γ-==--Γ-，而01nα<-≤．由此可见，只要知道Γ函数在1](0，的函数值，由递推公式就能计算任意正数α的函数值()αΓ．在数学手册（人民教育出版社，1979版）中给2出的是[1,2)上的Γ函数的值．例12(3.65)2.651.65(1.65)Γ=Γ，查表知，(1.65)0.9001Γ=，带入上式，得(3.65)2.651.65(1.65)2.651.650.90013.9357Γ=Γ=≈．若求(0.65)Γ，则(1.65)0.9001(1.65)0.65(0.65),(0.65)1.38480.650.65ΓΓ=ΓΓ==≈．当,nnNα+=∈，有(1)()(1)(1)(1)1(1)!nnnnnnnnnΓ+=Γ=-Γ-==-Γ=，即0(1)!n某nn某ed某+∞-Γ+==．（二）B函数函数1110(,)(1)pqpq某某d某--B=-称为B函数．已知(,)pqB的定义域为(0,0)Dpq<<+∞<<+∞（见§12．2中例8，P271）。
第十二章 数项级数 （ 1 4 时 ）§1 级数的收敛性（ 3 时 ）一． 概念：1．级数：级数,无穷级数;通项 (一般项, 第n 项), 前n 项部分和等概念 (与中学的有关概念联系).级数常简记为∑nu.2. 级数的敛散性与和:介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本, 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 . 例1 讨论几何级数∑∞=0n nq的敛散性.解 当1||<q 时, ) ( , 11110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, ()n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当 1||<q 时收敛, 且和为q-11( 注意n 从0开始 ). 例2 讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性. 解 用链锁消去法求. 例3 讨论级数∑∞=12n n n的敛散性. 解 设 ∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212, =n S 211432221 232221++-++++n n nn ,1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S12211211211→--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n , ) (∞→n .⇒ n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛. 例4 讨论级数∑∞=-1352n n n的敛散性. 解52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.3. 级数与数列的关系:⑴设∑nu对应部分和数列{n S }, 则∑nu收敛 ⇔ {n S }收敛;⑵对每个数列{n x },对应级数∑∞=--+211)(n n nx xx ,对该级数,有n S =n x .于是,数列{n x }收敛⇔级数 ∑∞=--+211)(n n nx xx 收敛.可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式. 4. 级数与无穷积分的关系:⑴⎰∑⎰+∞∞=+==111)(n n nf dx x f ∑∞=1n nu, 其中 ⎰+=1n nn f u . 无穷积分可化为级数;⑵对每个级数, 定义函数 , 2 , 1 , 1 , )(=+<≤=n n x n u x f n , 易见有∑∞=1n nu=⎰+∞1)(dx x f . 即级数可化为无穷积分.综上所述,级数和无穷积分可以互化,它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.二 级数收敛的充要条件 —— Cauchy 准则 ：把部分和数列{n S }收敛的Cauchy 准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy 准则.Th1 ( Cauchy 准则 )∑nu收敛⇔N n N >∀∃>∀ , , 0ε和∈∀p N ⇒ε | |21<++++++p n n n u u u .由该定理可见,去掉或添加上或改变(包括交换次序) 级数的有限项, 不会影响级数的敛散性. 但在收敛时, 级数的和将改变.去掉前 k 项的级数表为∑∞+=1k n nu或∑∞=+1n kn u.推论 (级数收敛的必要条件)∑nu收敛⇒ 0lim =∞→n n u .例5 证明2-p 级数∑∞=121n n 收敛 . 证 显然满足收敛的必要条件.令 21nu n =, 则当 2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N . 例6 判断级数∑∞=11sinn nn 的敛散性. (验证 0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)例7 证明调和级数∑∞=11n n发散. 证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.三． 收敛级数的基本性质：（均给出证明）性质1∑nu收敛,a 为常数⇒∑nau收敛,且有∑nau=a∑nu(收敛级数满足分配律)性质2∑nu和∑nv收敛⇒)(n nv u±∑收敛,且有)(n n v u ±∑=∑n u ±∑nv.问题:∑nu、∑nv、)(n nv u±∑三者之间敛散性的关系.性质3 若级数∑nu收敛, 则任意加括号后所得级数也收敛, 且和不变.(收敛数列满足结合律)例8 考查级数 ∑∞=+-11)1 (n n 从开头每两项加括号后所得级数的敛散性. 该例的结果说明什么问题 ?Ex [1]P 5—7 1 — 7.§2 正项级数（ 3 时 ）一. 正项级数判敛的一般原则 :1.正项级数: n n S u , 0>↗; 任意加括号不影响敛散性.2. 基本定理: Th 1 设0≥n u .则级数∑nu收敛⇔)1(0=n S .且当∑nu发散时,有+∞→n S ,) (∞→n . ( 证 )正项级数敛散性的记法 . 3. 正项级数判敛的比较原则: Th 2 设∑nu和∑nv是两个正项级数, 且N n N >∃ , 时有n n v u ≤, 则 ⅰ> ∑nv <∞+ , ⇒ ∑nu<∞+ ;ⅱ>∑nu=∞+, ⇒∑nv=∞+ . ( ⅱ> 是ⅰ>的逆否命题 )例1 考查级数∑∞=+-1211n n n 的敛散性 .解 有 , 2 11 012222nn n n n <+-⇒>+- 例2 设)1( 0π><<q q p . 判断级数∑∞=+111sin n n n q p 的敛散性.推论1 (比较原则的极限形式) 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数且l v u nnn =∞→lim,则ⅰ> 当∞+<< 0l 时,∑nu和∑nv共敛散 ; ⅱ> 当0=l 时 ,∑nv<∞+⇒∑nu<∞+ ;ⅲ> 当+∞=l 时,∑nv=∞+⇒∑nu=∞+ . ( 证 )推论2 设∑nu和∑nv 是两个正项级数,若n u =)(0n v ，特别地，若 n u ～n v ,) (∞→n ， 则∑nu<∞+⇔∑nv=∞+.例3 判断下列级数的敛散性:⑴∑∞=-121n n n ; ( n n -21～ n 21) ; ⑵ ∑∞=11sin n n ; ⑶ ∑∞=+12) 11 ln(n n .二 正项级数判敛法:1．比值法：亦称为 D ’alembert 判别法.用几何级数作为比较对象,有下列所谓比值法. Th 3 设∑nu为正项级数, 且0 N ∃ 及 0 , ) 10 ( N n q q ><<时ⅰ> 若11<≤+q u u nn ⇒∑n u <∞+; ⅱ> 若11≥+nn u u ⇒∑n u =∞+ . 证 ⅰ> 不妨设 1≥n 时就有11<≤+q u u nn 成立, 有, , , , 12312q u u q u u q u u n n ≤≤≤- 依次相乘⇒11-≤n n q u u , 即 11-≤n n qu u . 由 10<<q , 得∑<nq∞+⇒∑n u <∞+.ⅱ> 可见}{n u 往后递增⇒ , 0→/n u ) (∞→n . 推论 (比值法的极限形式) 设∑n u 为正项级数, 且 q u u nn n =+∞→1lim. 则ⅰ> 当q <1⇒∑nu<∞+; ⅱ>当q >1或q =∞+⇒∑nu=∞+. ( 证 )注: ⑴倘用比值法判得∑nu=∞+, 则有 , 0→/n u ) (∞→n .⑵检比法适用于n u 和1+n u 有相同因子的级数, 特别是n u 中含有因子!n 者. 例4 判断级数 ()()+-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)1(41951)1(32852951852515212n n的敛散性. 解 1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ⇒∑+∞<.例5 讨论级数∑>-)0( 1x nx n 的敛散性.解 因为) ( , 1)1(11∞→→+⋅+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<x 时,∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.例6 判断级数∑+nn n n !21的敛散性 .注: 对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n,均有 11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛.Ex [1]P 16 1⑴―⑺， 2⑴⑵⑷⑸，3，4，12⑴⑷；2. 根值法 ( Cauchy 判别法 ): 也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th 4 设∑nu为正项级数,且 0 N ∃ 及 0>l , 当 0N n >时,ⅰ> 若 1 <≤l u n n ⇒∑nu<∞+;ⅱ> 若1 ≥n n u ⇒∑nu =∞+. ( 此时有 , 0→/n u ) (∞→n .) ( 证 ) 推论 (根值法的极限形式) 设∑nu为正项级数,且 l u n n n =∞→lim . 则ⅰ> 当1 <l 时⇒∑nu<∞+; ⅱ> 当1 >l 时⇒∑nu=∞+ . ( 证 )注: 根值法适用于通项中含有与n 有关的指数者.根值法优于比值法. (参阅[1]P 12)例7 研究级数 ∑-+nn2) 1 (3的敛散性 .解 1212)1(3l i m l i m <=-+=∞→∞→nnn n nn u ⇒∑+∞<. 例8 判断级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 和∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 的敛散性 .解 前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 . 3． 积分判别法：Th 5 设在区间) , 1 [∞+上函数0)(≥x f 且↘. 则正项级数∑)(n f 与积分⎰+∞1)(dx x f 共敛散.证 对] , 1[ , 1 A R f A ∈>∀ 且 ⎰-=-≤≤nn n n f dx x f n f 1, 3 , 2 , )1()()(⇒⎰∑∑∑=-===-≤≤mmn m n mn n f n f dx x f n f 12112, )()1()()( . 例9 讨论 -p 级数∑∞=11n pn的敛散性. 解 考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间 ) , 1 [∞+上非负递减. 积分⎰+∞1)(dxx f当1>p 时收敛, 10≤<p 时发散⇒级数∑∞=11n pn当1>p 时收敛,当10≤<p 时发散,当0≤p 时,01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛. 例10 讨论下列级数的敛散性:⑴ ∑∞=2) ln ( 1n p n n ; ⑵ ∑∞=3)ln ln ( ) ln ( 1n pn n n .Ex [1]P 16 1⑻，2⑶⑹，5，6，8⑴―⑶，11；§3 一般项级数 ( 4 时 )一. 交错级数: 交错级数, Leibniz 型级数.Th 1 ( Leibniz ) Leibniz 型级数必收敛,且余和的符号与余和首项相同, 并有1 ||+≤n n u r . 证 (证明部分和序列 } {n S 的两个子列} {2n S 和} {12+n S 收敛于同一极限. 为此先证明} {2n S 递增有界. ))()()()(22122124321)1(2++-+-+-++-+-=n n n n n u u u u u u u u S ≥ n n n S u u u u u u 22124321)()()(=-++-+-- ⇒n S 2↗; 又 1212223212)()(u u u u u u u S n n n n ≤------=-- , 即数列} {2n S 有界. 由单调有界原理, 数列} {2n S 收敛 . 设 )( , 2∞→→n s S n .)( , 12212∞→→+=++n s u S S n n n . ⇒s S n n =∞→lim .由证明数列} {2n S 有界性可见 , ∑∞=+≤-≤111)1 (0n n n u u . 余和∑∞=++-nm m m u 12)1(亦为型级数 ⇒余和n r 与1+n u 同号, 且1 ||+≤n n u r .例1 判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解 当10≤<x 时, 由Leibniz 判别法⇒∑收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.二. 绝对收敛级数及其性质:1. 绝对收敛和条件收敛: 以Leibniz 级数为例, 先说明收敛⇒/ 绝对收敛.Th 2 ( 绝对收敛与收敛的关系 ) ∑∞+< ||na, ⇒∑na收敛.证 ( 用Cauchy 准则 ).注: 一般项级数判敛时, 先应判其是否绝对收敛. 例2 判断例1中的级数绝对或条件收敛性 . 2. 绝对收敛级数可重排性: ⑴ 同号项级数：对级数∑∞=1n nu，令⎩⎨⎧≤>=+=. 0 , 0 , 0 , 2||n n n n n n u u u u u v ⎩⎨⎧≥<-=-= . 0 , 0 ,0 , 2||n n n n n n u u u u u w 则有 ⅰ>∑nv和∑nw均为正项级数 , 且有|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤;ⅱ> n n n w v u +=|| , n n n w v u -= . ⑵ 同号项级数的性质: Th 3 ⅰ> 若∑||nu +∞< ， 则∑n v +∞< ，∑n w +∞< .ⅱ> 若∑nu条件收敛 , 则∑nv+∞= ,∑nw+∞= .证 ⅰ> 由|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤, ⅰ> 成立 .ⅱ> 反设不真 , 即∑nv和∑nw中至少有一个收敛 , 不妨设∑nv+∞< .由 n u = n v n w - , n w =n v n u - 以及 ∑nv+∞<和∑n u 收敛 ⇒∑n w +∞<.而n n n w v u +=||⇒∑||nu+∞<, 与∑n u 条件收敛矛盾 .⑶ 绝对收敛级数的可重排性: 更序级数的概念. Th 4 设∑'nu 是∑nu的一个更序. 若∑||nu+∞<,则||∑'nu +∞<,且∑'n u =∑n u . 证 ⅰ> 若n u 0≥,则∑'nu 和∑nu是正项级数,且它们的部分和可以互相控制.于是,∑nu+∞< ⇒∑'nu +∞<, 且和相等. ⅱ> 对于一般的n u , ∑nu=∑nv ∑-nw⇒∑'nu = ∑'nv ∑'-nw .正项级数∑'nv 和∑'n w 分别是正项级数∑nv和∑nw的更序. 由∑||nu+∞<, 据Th 1 ,∑nv和∑nw收敛. 由上述ⅰ>所证,有∑'nv +∞<,∑'nw +∞<, 且有∑nv =∑'nv , ∑n w ∑n u =∑'n w ⇒∑nu =∑'nu .由该定理可见, 绝对收敛级数满足加法交换律.是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢 ? 回答是肯定的 . Th 5 ( Riemann ) 若级数∑nu条件收敛, 则对任意实数s ( 甚至是∞± ),存在级数∑nu的更序∑'nu , 使得∑'nu =s .证 以Leibniz 级数∑∞=+-111) 1 (n n n为样本, 对照给出该定理的证明. 关于无穷和的交换律, 有如下结果: ⅰ> 若仅交换了级数∑nu的有限项,∑nu的敛散性及和都不变.ⅱ> 设∑'nu 是的一个更序. 若N ∈∃K , 使 nu在∑'nu 中的项数不超过K n +,106则∑'n u 和∑n u 共敛散, 且收敛时和相等 .三. 级数乘积简介:1. 级数乘积: 级数乘积, Cauchy 积. [1] P 20—22.2．级数乘积的Cauchy 定理:Th 6 ( Cauchy ) 设∑||n u +∞<, ||∑n v +∞<, 并设∑n u =U , ∑n v =V . 则 它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛, 且乘积级数的和为UV . ( 证略 ) 例3 几何级数1 || ,1112<+++++=-r r r r rn 是绝对收敛的. 将()2∑n r 按Cauchy 乘积排列, 得到 +++++++++++=++个12222)()()(1)1(1n n n n r r r r r r r r r ++++++=n r n r r )1(3212 .Ex [1] P 24—25 1⑴—⑻ ⑽，4； 31(总Ex ) 2，3，4⑴⑵；四. 型如∑n n b a 的级数判敛法：1．Abel 判别法：引理1 (分部求和公式，或称Abel 变换)设i a 和i b m i ≤≤1)为两组实数.记) (1 ,1m k b B k i i k ≤≤=∑=. 则∑∑=-=++-=m i m i m m i i i i i B a B a a b a 1111)(.证 注意到 1--=i i i B B b , 有∑∑==-+-=m i m i i i ii i b a B B a b a 12111)()()()(123312211--++-+-+=m m m B B a B B a B B a B a107 m m m m m B a B a a B a a B a a +-++-+-=--11232121)()()() )( ( . )(111111∑∑-=+-=+--=+-=m i i i i m m m m m i i i i B a a B a B a B a a. 分部求和公式是离散情况下的分部积分公式. 事实上,⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a ba x a dt t g d x f dx x g x f )()()()( ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a x a b a x a x df dt t g dt t g x f )()()()(⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a b ax a x df dt t g dt t g b f )()()()(. 可见Abel 变换式中的i B 相当于上式中的⎰x a dt t g )(, 而差i i a a -+1相当于)(x df , 和式相当于积分. 引理 2 ( Abel )设i a 、i b 和i B 如引理1 .若i a 单调 , 又对m i ≤≤1,有M B i ≤||，则||1∑=mi i i b a ) ||2|| (1m a a M +≤.证 不妨设i a ↘.||1∑=m i i i ba ∑-=++-≤111||||||m i m m i i i B a B a a ) ||2|| ( ||)(1111m m i m i i a a M a a a M +≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤∑-=+. 推论 设i a , 0≥i a ↘,(m i ≤≤1 ). i b 和i B 如引理1. 则有||1∑=m i i i ba 1Ma ≤.( 参引理2证明 ) Th 7 (Abel 判别法)设ⅰ> 级数∑n b 收敛,ⅱ> 数列}{n a 单调有界.则级数∑n n b a 收敛. 证 (用Cauchy 收敛准则,利用Abel 引理估计尾项)设K a n ≤||, 由∑n b 收敛 ⇒对N n N >∃>∀ , , 0ε时 , 对N ∈∀p , 有108 ε | |21<++++++p n n n b b b .于是当N n >时对p ∀有()εεK a a b a p n n pn n k k k 3 ||2|| 11≤+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则 ⇒∑n n b a 收敛.2. Dirichlet 判别法:Th 8 ( Dirichlet)设ⅰ> 级数∑n b 的部分和有界, ⅱ> 数列}{n a 单调趋于零. 则级数∑n n b a 收敛.证 设∑==n i n n bB 1, 则M B n ||≤ ⇒对p n , ∀, 有M B B b b b n p n p n n n 2 ||||21≤-=+++++++ .不妨设n a ↘0 ⇒对εε<⇒>∀∃>∀|| , , , 0n a N n N . 此时就有εM a a M b a P n n pn n k k k 6|)|2|(|2 11<+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则,∑n n b a 收敛. 取n a ↘0,∑n b ∑+-=1) 1(n ,由Dirichlet 判别法, 得交错级数∑+-n n a 1) 1(收敛 . 可见Leibniz 判别法是Dirichlet 判别法的特例.由Dirichlet 判别法可导出 Abel 判别法. 事实上, 由数列}{n a 单调有界 ⇒}{n a 收敛, 设) ( , ∞→→n a a n .考虑级数∑∑+-n n n b a b a a )(,a a n -单调趋于零,n B 有界 ⇒级数∑-n n b a a )(收敛,又级数∑n b a 收敛⇒级数∑∑+-n n n b a b a a )(收敛.109 例4 设n a ↘0.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈∀x 收敛.证 ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑= 2s i n 23s i n 2s i n c o s 212s i n 21x x x kx x n k x n x n x n ) 21sin() 21 sin() 21 sin(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++， ) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ⇒∑=+=+nk x x n kx 12sin 2) 21 sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx a n cos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .Ex [1]P 24 — 25 2， 3.。
