数学分析ppt
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9-3 数学分析全套课件
n
称 S(T ) MiΔxi 为 f 关于分割 T 的上和,其中
i 1
Mi sup f ( x) | x [ xi1 , xi ], i 1, 2, L n;
n
称 s(T ) miΔxi 为 f 关于分割 T 的下和,其中
i 1
mi inf f ( x) | x [ xi1 , xi ], i 1, 2, L n;
1 q
,
x
p q
( p,q 互素 ),
0 , x 0, 1 及 (0, 1) 中的无理数
在 [0, 1] 上可积,且
1
R( x) d x 0.
0
P74
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称 i Mimi (i 1, 2, L n) 为 f 在 [ xi1, xi ] 上的
振幅.
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结论
定理9.3（可积准则）函数 f 在[a, b]上可积的充要
条件是： 0, 分割 T ,使
n
n
S(T ) s(T ) (Mi mi )Δxi iΔxi .
i 1
i 1
三、充分条件 i Mi mi sup | f ( x) f ( x) | .
T : a0 x0 x1 L xn b,
及任意 i xi1 , xi , i 1, 2,L , n,
n
当 T maxxi 时,必有 f (i )xi J i1 前页 后页 返回
二、充要条件 定义 设 f 在 [a, b] 上有界, 对任意分割
T : a x0 x1 ... xn b,
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四、可积性举例
例1 求证 f 在 [0,1]上可积，其中
0,
x0
f (x)
1
称 S(T ) MiΔxi 为 f 关于分割 T 的上和,其中
i 1
Mi sup f ( x) | x [ xi1 , xi ], i 1, 2, L n;
n
称 s(T ) miΔxi 为 f 关于分割 T 的下和,其中
i 1
mi inf f ( x) | x [ xi1 , xi ], i 1, 2, L n;
1 q
,
x
p q
( p,q 互素 ),
0 , x 0, 1 及 (0, 1) 中的无理数
在 [0, 1] 上可积,且
1
R( x) d x 0.
0
P74
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称 i Mimi (i 1, 2, L n) 为 f 在 [ xi1, xi ] 上的
振幅.
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结论
定理9.3（可积准则）函数 f 在[a, b]上可积的充要
条件是： 0, 分割 T ,使
n
n
S(T ) s(T ) (Mi mi )Δxi iΔxi .
i 1
i 1
三、充分条件 i Mi mi sup | f ( x) f ( x) | .
T : a0 x0 x1 L xn b,
及任意 i xi1 , xi , i 1, 2,L , n,
n
当 T maxxi 时,必有 f (i )xi J i1 前页 后页 返回
二、充要条件 定义 设 f 在 [a, b] 上有界, 对任意分割
T : a x0 x1 ... xn b,
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四、可积性举例
例1 求证 f 在 [0,1]上可积，其中
0,
x0
f (x)
1
数学分析完整版本ppt课件
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牛 顿（I.Newton 1642.12.25—1727.3.3）
英国数学家和物理学家出生在一个农民家庭，出生前父亲就去世了， 三岁母亲改嫁，由外祖母抚养。1661年入剑桥大学，1665年获学士学位， 1668年获硕士学位。由于他出色的成就，1669年巴鲁（Barrow）把数学 教授的职位让给年仅26岁的牛顿。1703 年被选为英国皇家学会会长。牛 顿一生成就辉煌，堪称科学巨匠。最突出的有四项重大贡献：创立微积 分，为近代数学奠定了基础，推动了整个科学技术的发展。他发现了力 学三大定律，为经典力学奠定了基础；他发现了万有引力为近代天文学 奠定了基础；他对光谱分析的实验，为近代光学奠定了基础 。他的巨著 《自然哲学的数学原理》影响深远，他被公认为历史上伟大的科学家。可 惜他晚年研究神学，走了弯路。
n
n
1
i
2
n
1 n
它的面积
ΔSi
(1
i2 n2
)
1 n
所求的总面积
Sn
n (1 i1
i2 n2
)
1 n
1
1 n3
n
i
2
i 1
1
2n
2 3n 6n 2
1
2 3
我 们 分 别 取 n=10, 50, 100 用 计 算 机 把 它 的 图 象 画 出 来 ， 并 计
算出面积的近似值：
clf, n=10; x=0:1/n:1;
四．小结： 学习定积分，不仅要理解、记住定积分的定义，还要学习建立定积分概念
的基本思想，我们以后的学习中还会遇到其它类型的积分，比如勒贝格积分、
斯蒂疌斯积分等，只要理解了定积分的思想，其他类型的积分就很容易理解了。
现在我们再来总结一下定积分建立的的思想和方法：从定积分的实例和概念中
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第8章-不定积分 (2)可编辑全文
ln
|
x
a
|
1 2a
ln
|
x
a
|
1 ln x a C. 2a x a
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例3 求 x 1 x2dx.
解
x 1 x2dx 1
1
1 x2 2d(x2 )
2
1
1
1 x2 2d 1 x2
2
1 2 1 x2
3
2 C
23
1 1 x2
3
dx 所以(1)式成立.
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第一换元积分法亦称为凑微分法, 即
g(( x))( x)dx g(( x))d( x) G(( x)) C,
其中 G(u) g(u). 常见的凑微分形式有
(1) adx d(ax);
(2) dx d( x a);
(3)
xdx
1
1
d(x 1
a2 x2 dx a cos t d(a sin t)
a2
cos2t
dt
a2 2
(1 cos 2t)dt
a2 2
t
1 2
sin
2t
C
a2 2
arcsin
x a
x a
1
x a
2
C
1 2
a2
arcsin
x a
x
a2
x2
C.
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例8 求
解 设x
dx
a2 a tan
或 ( x) 0, x [a,b]. 因此 u ( x) 是严格单调
函数,从而 u ( x) 存在反函数 x 1(u), 且
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dx 1
.
数学分析第十六章课件偏导数与全微分
解: 已知
则
V 2 rh r r 2h
r 20, h 100, r 0.05, h 1
V 2 20100 0.05 202 (1) 200 (cm3)
即受压后圆柱体体积减少了
作业
• P192:1:(单数题) • P193:7;9 • P208:1:(双数题) • P208:3 • P209:9 • P217:1:(1;3);2:(2;4);6 • P223:2;3;8
定理16.1 ３．全微分与偏导数的关系：
f (x, y) 设 (x0 , y0 ) 可微，在表达式中 分别令 f 0 x 0 和 x 0 y 0
得
定理１６.2
从而：f 在 p0 的全微分可写成
dz |p0 fx (x0 , y0 )dx f y (x0 , y0 )dy
z f (x) 在某区域 G 内（x，y） 点的全微分为
f11,
f12,
f21,
f22
书上记号易混
链式法则的应用
偏微分方程的变换
目的
求解
2）复合函数的全微
设
u
f (x, y),若x, y为自变量，则
du f dx f dy x y
进一步，若x (s,t) y (s,t) 则有
du u ds u dt dx x ds x dt dy y ds y dt
r x 2
2x x2 y2 z2
x r
r z z r
4、计算
的近似值.
解: 设
,则
f x (x, y) y x y1 , f y (x, y) x y ln x
取
则 1.042.02 f (1.04, 2.02 )
1 2 0.04 0 0.02 1.08
数学分析课件
长度的计算
利用定积分可以计算曲线的长度，以及物体的周长。
06
高阶导数与高阶积分
高阶导数的计算与性质
高阶导数的计算方法
定义法：根据导数的定义，对函数进行多次求 导，适用于简单的函数。
莱布尼茨法则：利用已知的导数公式，通过递 推关系计算高阶导数，适用于较复杂的函数。
高阶导数的计算与性质
线性性质：若$f(x)$和$g(x)$的$n$阶导数存在 ，则$(a f+b g)^{(n)}=a f^{(n)}+b g^{(n)}$ 。
数学分析课件
目录
• 数学分析概述 • 数学分析的基本性质 • 极限理论及其应用 • 微分学及其应用 • 定积分及其应用 • 高阶导数与高阶积分 • 数学分析中的重要定理与问题
01
数学分析概述
定义与意义
定义
数学分析是研究函数、序列、极限、 微积分等概念与方法的分支，是数学 的基础学科。
意义
数学分析在数学领域中占据重要地位 ，为其他数学分支提供基础理论和工 具，也是许多实际应用领域的基础。
THANKS。
积分的基本性质
积分具有可加性、可减性、可乘性和可除性 。
积分的基本公式
积分的基本公式包括求导公式、微分公式、 乘积公式、幂函数公式等。
积分的方法
积分的方法包括换元法、分部积分法、有理 函数积分法等。
积分的应用：面积、体积、长度
面积的计算
利用定积分可以计算曲线下面积，以及平面图 形面积。
体积的计算
利用定积分可以计算旋转体的体积，以及立体 的体积。
分区求和法：将积分区间划分为若干小区间，在每个小 区间上应用牛顿-莱布尼茨公式计算积分，再求和得到 总积分值。
数学分析PPT
从而 r r ∫ a dl = ∫∫ rota dS .
L S
Yunnan University
§3. 场论初步
注：散度与坐标的选择无关. r r r u r 例1. 设a = 3i + 20 j − 15k , 对下列数量场ϕ 分别求出
gradϕ 及div (ϕ a ) , 其中ϕ = ( x 2 + y 2 + z
2 2
3 − 2 2
)
+ 15 z ( x + y + z
2 2
3 − 2 2
)
例 2.
设 u ( x , y , z ) = xyz .
(1)求u ( x , y , z ) 在点P1 ( 0, 0, 0 ) , P2 ( 1,1,1) 及P3 ( 2,1,1) 处 r r r u r 沿b = 2i + 3 j − 4k的方向导数。
( )
( )
( )
∂P ∂Q ∂R = ∫∫∫ + + dV x ∂y ∂z V ∂
r ∂P ∂Q ∂R 向量 + + 称为向量a的散度，它形成一个数量场，记为 ∂x ∂y ∂z r ∂P ∂Q ∂R . diva = + + ∂x ∂y ∂z
Yunnan University
( )
( )
( )
r ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂ Q ∂R , , 称向量 − − − 为向量a的旋度， ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y r 记为rot a .
Yunnan University
§3. 场论初步
即 r i r ∂ rot a = ∂x P r j ∂ ∂y Q r u k ∂ . ∂z R
《数学分析》课件
函数与极限
函数
函数是数学分析中的基本概念之一，它是一个从定义域到值域的映射。根据定义域和值域的不同，函数可以分为 不同的类型，如连续函数、可微函数等。
极限
极限是数学分析中描述函数在某一点的行为的工具。极限的定义包括数列的极限和函数的极限，它们都是描述函 数在某一点附近的行为。极限的概念是数学分析中最重要的概念之一，它是研究函数的连续性、可导性、可积性 等性质的基础。
复合函数的导数
复合函数的导数是通过对原函数进行 求导，再乘以中间变量的导数得到的 。
微分及其应用
微分的定义
微分是函数在某一点附近的小变化量 ，可以理解为函数值的近似值。
微分的应用
微分在近似计算、误差估计、求切线 、求极值等方面有着广泛的应用。例 如，在求极值时，可以通过比较一阶 导数在极值点两侧的正负性来确定极 值点。
数列的极限
总结词
数列极限的定义与性质
详细描述
数列极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了数列随 着项数的增加而趋近于某个固定值的趋势。极限具有一些 重要的性质，如唯一性、四则运算性质、夹逼定理等。
总结词
数列极限的证明方法
详细描述
证明数列极限的方法有多种，包括定义法、四则运算性质 、夹逼定理、单调有界定理等。这些方法可以帮助我们证 明数列的极限并理解其性质。
含参变量积分的概念与性质
含参变量积分的概念
含参变量积分是指在积分过程中包含一个或多个参数的积分。这种积分在处理一些具有参数的物理问题时非常有 用。
含参变量积分的性质
含参变量积分具有一些重要的性质，如参数可分离性、参数连续性、参数积分区间可变性等。这些性质使得含参 变量积分在解决实际问题时更加灵活和方便。
反常积分与含参变量积分的计算方法
数学分析课件
算一些复杂的极限表达式。
连续性
01 02
连续性的定义
连续性是函数的一种性质，它描述了函数在某一点处的变化情况。如果 函数在某一点处的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点处 连续。
连续性的性质
连续性具有一些重要的性质，如局部保序性、介值定理等。这些性质在 数学分析中有着广泛的应用。
03
连续性的判定
判定一个函数是否连续，可以通过计算该函数的左右极限并检查它们是
否相等来实现。此外，还可以利用连续性的性质进行判定。
导数
导数的定义
导数是函数的一种性质，它描述了函 数在某一点处的切线斜率。导数的定 义包括函数在某一点的导数和函数在 某区间的导数。
导数的性质
导数的计算
计算导数的方法有很多种，如直接法、 乘积法则、复合函数求导法则等。这 些方法可以帮助我们计算一些复杂的 导数表达式。
电子工程
在电子工程中，数学分析用于信号处理、图像处 理和通信系统设计。
计算机科学
在计算机科学中，数学分析用于算法设计、数据 分析和人工智能等领域。
06 数学分析的习题与解答
CHAPTER
习题的选择与解答
精选习题
选择具有代表性的数学分析题目，涵盖各个知识点，难度适中， 适合学生巩固所学内容。
详细解答
极限的计算方法
计算极限的方法有很多种，如直接代入法、分解因式法、等价无穷小替换法、洛必达法则 等。根据不同的情况选择合适的方法可以简化计算过程。
导数问题
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数局部性质的一种体现。导数可以分为一阶导数、二阶导数等，高阶导 数可以用来研究函数的拐点、凸凹性等性质。
03 数学分析的定理与证明
连续性
01 02
连续性的定义
连续性是函数的一种性质，它描述了函数在某一点处的变化情况。如果 函数在某一点处的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点处 连续。
连续性的性质
连续性具有一些重要的性质，如局部保序性、介值定理等。这些性质在 数学分析中有着广泛的应用。
03
连续性的判定
判定一个函数是否连续，可以通过计算该函数的左右极限并检查它们是
否相等来实现。此外，还可以利用连续性的性质进行判定。
导数
导数的定义
导数是函数的一种性质，它描述了函 数在某一点处的切线斜率。导数的定 义包括函数在某一点的导数和函数在 某区间的导数。
导数的性质
导数的计算
计算导数的方法有很多种，如直接法、 乘积法则、复合函数求导法则等。这 些方法可以帮助我们计算一些复杂的 导数表达式。
电子工程
在电子工程中，数学分析用于信号处理、图像处 理和通信系统设计。
计算机科学
在计算机科学中，数学分析用于算法设计、数据 分析和人工智能等领域。
06 数学分析的习题与解答
CHAPTER
习题的选择与解答
精选习题
选择具有代表性的数学分析题目，涵盖各个知识点，难度适中， 适合学生巩固所学内容。
详细解答
极限的计算方法
计算极限的方法有很多种，如直接代入法、分解因式法、等价无穷小替换法、洛必达法则 等。根据不同的情况选择合适的方法可以简化计算过程。
导数问题
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数局部性质的一种体现。导数可以分为一阶导数、二阶导数等，高阶导 数可以用来研究函数的拐点、凸凹性等性质。
03 数学分析的定理与证明
《数学分析》PPT课件
2 345
当n无限增大时,xn 无限接近于1.
8
数列的极限
研究数列{1 (1)n1 }当 n 时的变化趋势. n
当n无限增大时, xn无限接近于1.
“无限接近”意味着什么?
如何用数学语言刻划它.
|
xn
1|
(1 (1)n1
1)1 n
1 n
xn 1 可以要多么小就多么小,只要n充分大,
则要看 xn 1小到什么要求.
n
yn
b,
且 a b, 则存在 N , 当 n N时，有 xn yn .
26
• Thm 3.6 若对任意正整数 n, 有xn yn ,
且
lim
n
xn
a,
lim
n
yn
b,
则 a b.
• Remark
（1）因为数列的前有限项不影响数列的 极限，故上不等式的条件可减弱为：
“若 N 0,
当 n N 时，xn yn ”；
积仍为无穷大;
∗ 用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大.
例 求 lim ( x 1 x) x
解 lim ( x 1 x) x
32
无穷小与无穷大
注 (1) 无穷大是变量,不能与很大的数混淆; (2)切勿将 lim f ( x) 认为极限存在.
x x0
(3) 无穷大与无界函数的区别: 它们是两个不同的概念. 无穷大一定是无界函数, 但是无界函数 未必是某个过程的无穷大.
9
数列的极限
|
xn
1 |
1 n
给定
1 100
,
由
1 n
1, 100
只要 n 100时,有
xn
1
1, 100
当n无限增大时,xn 无限接近于1.
8
数列的极限
研究数列{1 (1)n1 }当 n 时的变化趋势. n
当n无限增大时, xn无限接近于1.
“无限接近”意味着什么?
如何用数学语言刻划它.
|
xn
1|
(1 (1)n1
1)1 n
1 n
xn 1 可以要多么小就多么小,只要n充分大,
则要看 xn 1小到什么要求.
n
yn
b,
且 a b, 则存在 N , 当 n N时，有 xn yn .
26
• Thm 3.6 若对任意正整数 n, 有xn yn ,
且
lim
n
xn
a,
lim
n
yn
b,
则 a b.
• Remark
（1）因为数列的前有限项不影响数列的 极限，故上不等式的条件可减弱为：
“若 N 0,
当 n N 时，xn yn ”；
积仍为无穷大;
∗ 用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大.
例 求 lim ( x 1 x) x
解 lim ( x 1 x) x
32
无穷小与无穷大
注 (1) 无穷大是变量,不能与很大的数混淆; (2)切勿将 lim f ( x) 认为极限存在.
x x0
(3) 无穷大与无界函数的区别: 它们是两个不同的概念. 无穷大一定是无界函数, 但是无界函数 未必是某个过程的无穷大.
9
数列的极限
|
xn
1 |
1 n
给定
1 100
,
由
1 n
1, 100
只要 n 100时,有
xn
1
1, 100
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第11章-反常积分(1)可编辑全文
u xq
1
1
q
1 u1q
ln u,
,q1 q 1,
故当 0 q 1时,
1 dx 0 xq
lim
u0
1 dx u xq
1; 1q
当 1 q 时,
1 0
dx xq
发散.
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同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱
布尼茨公式写作
b a
f
(x)
dx
0, G a, u1 ,u2 G, F (u1) F (u2 ) ,
即
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
u1
根据反常积分定义,容易导出以下性质1 和性质2.
性质1 若
a
f1
(
x
)
dx
与
a f2( x)dx
都收敛 ,
k1 ,
当 u1, u2 G 时,
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
u1
证 设 F(u)
u f ( x)dx , u [a , ), 则
f ( x)dx
a
a
收敛的充要条件是存在极限 lim F (u) .由函数 u
极限的柯西准则,此等价于
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a
a
u1
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从而 F (u) 是单调递增的 (u [a,)). 由单调递 增函数的收敛判别准则, lim F (u) 存在的充要条
u
件是 F (u) 在 [a, ) 上有界,即 M 0, 使
u [a,), 有
u
1
1
q
1 u1q
ln u,
,q1 q 1,
故当 0 q 1时,
1 dx 0 xq
lim
u0
1 dx u xq
1; 1q
当 1 q 时,
1 0
dx xq
发散.
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同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱
布尼茨公式写作
b a
f
(x)
dx
0, G a, u1 ,u2 G, F (u1) F (u2 ) ,
即
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
u1
根据反常积分定义,容易导出以下性质1 和性质2.
性质1 若
a
f1
(
x
)
dx
与
a f2( x)dx
都收敛 ,
k1 ,
当 u1, u2 G 时,
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
u1
证 设 F(u)
u f ( x)dx , u [a , ), 则
f ( x)dx
a
a
收敛的充要条件是存在极限 lim F (u) .由函数 u
极限的柯西准则,此等价于
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a
a
u1
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从而 F (u) 是单调递增的 (u [a,)). 由单调递 增函数的收敛判别准则, lim F (u) 存在的充要条
u
件是 F (u) 在 [a, ) 上有界,即 M 0, 使
u [a,), 有
u
数学分析级数课件ppt
就是该区间上的一个函数。
幂级数的求和公式
幂级数的求和公式
对于形如 (a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots) 的幂级数，其和可以通过以下公式求得：(S = lim_{n to infty} sum_{k=0}^{n} a_k x^k)
求和公式的应用
求和公式是研究幂级数的重要工具，可以用于计算函数的值、求函数的导数和积分等。
等差级数的求和公式
前n项和公式
S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)。
任意项和公式
S=n/2*(a_1+a_n)。
无限项和公式
S=a_1/2*d*(n^2+(3*n)/2)。
04
幂级数
幂级数的定义
幂级数：由形如 (a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots) 的无穷序列组成的级数，其中 (a_0, a_1, a_2, ldots) 是常数，(x) 是变量。
VS
表示方法
a_n=a_1+(n-1)d，其中a_1是首项，d是 公差，n是项数。
等差级数的性质
递增性
如果公差d>0，则等差级数递增；如果公差 d<0，则等差级数递减；如果公差d=0，则 等差级数为常数。
对称性
等差级数的对称轴是首项和末项的中点，即 (a_1+a_n)/2。
有界性
等差级数的值域为[a_1-d/2, a_1+d/2]，即 首项减去公差的一半和首项加上公差的一半 之间的所有实数。
THANKS
感谢观看
等比级数的求和公式
当公比$q$不等于1时，等比 级数的和为$frac{a(1q^n)}{1-q}$。
数学分析ppt课件
有限覆盖定理
总结词
有限覆盖定理是实数完备性定理中的另一个 重要结论，它涉及到实数集的覆盖问题。
详细描述
有限覆盖定理说明，任意一个开覆盖${(a_n, b_n)}$的实数集都可以被有限个开区间覆盖 。换句话说，对于任意一个实数集$S$，都 存在有限的开区间${(a_1, b_1), (a_2, b_2), ldots, (a_n, b_n)}$，使得$S subseteq cup_{i=1}^{n} (a_i, b_i)$。这个定理在证 明紧空间的性质和实数完备性中起到了关键 作用。
3
实数系中的基本运算
实数系中可以进行加法、减法、乘法和 除法等基本运算，这些运算具有交换律 、结合律、分配律等性质。此外，实数 系中还可以定义绝对值、最大值、最小 值等概念。
极限理论
01
极限的定义
极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了当自变量趋向某一值时，
函数值的变化趋势。极限的定义包括数列极限和函数极限两种形式。
详细描述
介绍向量值函数和空间曲线的定义，通过实例说明向量值函 数和空间曲线的性质，并解释其在数学分析中的重要性和应 用。
06
实数完备性定理
区间套定理
总结词
区间套定理是实数完备性定理中的一个 重要组成部分，它描述了闭区间套的性 质。
VS
详细描述
区间套定理指出，如果存在一个闭区间套 ，即一列闭区间${[a_n, b_n]}$，满足 $a_n < b_n$且$a_n < a_{n+1} < b_{n+1} < b_n$（对任意$n$），则该区 间套中至少存在一个实数。这个定理在数 学分析中有着广泛的应用，例如在证明连 续函数的性质和极限理论中。
1-6章数学分析课件第3章函数极限3-1
f ( x ) → A ( x → x0 ).
x +1 2 1 例5 证明 lim . = x →1 x 1 2 2
分析 对于任意正数 ε ,要找到 δ > 0, 当 0 < | x 1 | < δ 时, 使
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x +1 2 1 = x 1 2 2
1 1 x+1+ 2 2 2
x 1
x→∞
f ( x ) 定义在 ∞ 的一个邻域内，则 的一个邻域内，
的充要条件是： lim f ( x ) = A 的充要条件是：
x→ ∞
lim f ( x ) = lim f ( x ) = A.
x→ +∞
例如
π π lim arctan x = , lim arctan x = , x → ∞ 2 x →+∞ 2
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1 = 0. 例4 求证 lim 2 x →∞ 1 + x
证 对于任意正数 ε , 可取 M =
1
ε
, 当 x > M 时, 有
1 1 0 < 2 <ε, 2 1+ x x
所以结论成立. 所以结论成立.不难得到: 从定义 、2 、3 不难得到 定理 3.1
x → x0
右极限与左极限统称为单侧极限, 为了方便起见， 右极限与左极限统称为单侧极限 为了方便起见， 有时记
f ( x0 + 0) = lim+ f ( x ) , f ( x0 0) = lim f ( x ).
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在上面例题中 需要注意以下几点： 在上面例题中, 需要注意以下几点： 题中 1. 对于 δ , 我们强调其存在性 换句话说 对于固定 我们强调其存在性. 换句话说, 对于固定 的 ε , 不同的方法会得出不同的δ , 不存在哪一个更 好的问题. 好的问题 那么比它更小的正 是不惟一的, 2. δ 是不惟一的 一旦求出了δ , 那么比它更小的正 数都可以充当这个角色. 都可以充当这个角色 是任意的,一旦给出 它就是确定的常数. 一旦给出,它就是确定的常数 3. 正数 ε 是任意的 一旦给出 它就是确定的常数
数学分析 第二十一章 课件 曲线积分与曲面积分
L
f ( x, y, z )ds lim f (i ,i , i )Si
0
i 1
n
特别的,当 L为平面曲线时.
L
f ( x, y)ds lim f (i ,i )Di
0
i 1
n
2.定理
设L 为光滑曲线 x x(t ) , y y(t ) , z z (t ) ,
t
f ( x, y, z) 在L上连续.则
L
f ( x, y, z)ds f z t , y t , z (t ) x2 t y 2 t z 2 (t )dt
特别 当L 为平面光滑曲线 x (t ) , y (t ) ,
S
0 2 , 0
2
0 a sin sin a cos sin a cos cos a sin cos a sin E a2 sin 2 , G a2 , F 0
( x y z )ds
S
a(cos sin sin sin cos ) a 4 sin2 d d a3
dS EG F 2 dudv
其中
E x y z ,G x y z ,
2 u 2 u 2 u 2 v 2 v 2 v
F xu xv yu yv zu zv
S
f ( x, y, z )ds f ( x(u, v), y (u , v), z (u , v)) EG F 2 dudv
L
0
i 1
定理21.1
设L 为光滑曲线 x x(t ) y y(t ) z z (t )
数学分析 第一章ppt
(1) y log(x 1) arctan 1 cos x
2
(2) y f ( x)
g ( x)
, 其中f ( x) 0, g ( x)为初等函数
3
(3) y 1 x x x
2
2016/8/27
解:
（ 1 ）初等函数 （2）初等函数 因为y f ( x)
2016/8/27
2
; 对于
(5)对于反正弦函数 y arcsin x和反余弦函数
（ 例1：求函数y log （x1 ） 16 x ）的定义域。
2
解:
16 x 2 0 x 1 0 x 1 1
?
1 x 2或2 x 4 定义域为： D (1， 2) （2， 4）
2016/8/27
解:
x （ 1 ）y 与y x是两个不同的函数 ,因为前者 x 的定义域为 (,0) (0,), 后者的定义域为 （ ， ），两个函数定义域不 同.
2
(2) y lg( x )与y 2 lg x是两个不同的函数，
2
因为前者的定义域为 (,0) (0,), 后者的定义域为（ 0， ），两个函数定 义域不同 .
S X \ S，其中S是X的一个子集
C X
有限集与无限集
若集合S由n个元素组成，n是确定的非负整数，则称
集合S为有限集。
不是有限集的集合称为无限集，前面所说的N,Z,Q,R 都是无限集。
无限集:可列集合不可列集
可列集：若一个无限集上的元素可以按某种规律排成一个序列，或者可以表示成 { } 如 正整数集
(4)反余切函数arc cot x
数学分析课件之第二章数列极限
02
数列极限的运算性质
数列极限的四则运算性质
01
02
03
04
加法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n + y_n) =
a + b$。
减法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n - y_n) =
a - b$。
数列极限的性质
总结词
数列极限具有一些重要的性质，如唯一性、收敛性、保序性等。
详细描述
数列极限具有一些重要的性质。首先，极限具有唯一性，即一个数列只有一个极限值。其次，极限具有收敛性， 即当项数趋于无穷时，数列的项逐渐接近极限值。此外，极限还具有保序性，即如果一个数列的项小于另一个数 列的项，那么它们的极限也满足这个关系。
指数性质
若$lim x_n = a$且$0 < |a| < 1$ ，则$lim a^{x_n} = 1$。
幂运算性质
若$lim x_n = a$，则$lim x_n^k = a^k$（其中$k$为正整数）。
数列极限的运算性质在数学中的应用
解决极限问题
利用数列极限的运算性质，可以 推导和证明一系列数学定理和公 式，如泰勒级数、洛必达法则等
无穷小量是指在某个变化过程中，其 值无限趋近于0的变量。
性质
无穷小量具有可加性、可减性、可乘 性和可除性，但不可约性。
无穷大量的定义与性质
定义
无穷大量是指在某个变化过程中，其值无限增大的变量。
性质
无穷大量具有可加性、可减性、可乘性和可除性，但不可约性。
无穷小量与无穷大量的关系
1 2
无穷量是无穷大量的极限状态
数学分析3课件：数学分析_22-2 第二型曲面积分
S
D yz
(前正后负)
若曲面 S 是母线平行于 x 轴的柱面（垂直于 yz 坐
标面） S : ( y, z) 0
则 P(x, y, z)d y d z 0
S 首页 ×
积分 Q( x, y, z)d z d x 的计算方法
S
将曲面 S 表示为
Q( x, y, z)d z d x Q( x, y(z, x), z)d z d x
首页 ×
三、第二型曲面积分的计算 定理22.2 设光滑曲面
取上侧,
是 S 上的连续函数, 则
R( x, y, z)d x d y R( x, y, z(x, y) )d x d y
S
Dxy
注：积分 R( x, y, z)d x d y 的计算，必须先将曲面Sຫໍສະໝຸດ 表示成：再代公式计算
首页 ×
n
§2 第二型曲面积分
双侧曲面 • 曲面分类
单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
首页 ×
设连通曲面 S 上处处有连续
L
变动的切平面（或法线）
M0
设 M0 为曲面 S 上一点，确定 曲面在M0 点的一个法线 方向为正方向，另一个方向为负方向.
L 为 S 上任一经过点 M0 且不超出 S 边界的闭曲线. 设点 M 从 M0 出发，沿 L 连续移动， M 在 M0 点与M0 有相同的法线方向，当点 M 连续移动时，其法线方向
z
S1 : z 1 x2 y2
S1
S2 : z 1 x2 y2
O
x2 y2 1
( x,
y)
Dx y
《数学分析微分方程》课件
III. 高阶微分方程的解法
特征方程法
将高阶齐次微分方程转化为特征方程，通过解特征方程得到齐次部分的解。
待定系数法
假设解为某些未知函数，代入原方程得到待定系数，通过求导和代入原方程求解未知函数。
常数变易法
假设解为常数的函数，通过求导和代入原方程得到常数的解。
IV. 常系数线性微分方程的解法
特征根法
2
方程得到常数的解。
假设解为某些未知函数，代入原方程得到
待定系数，通过求导和代入原方程求解未
知函数。
3
求解自由项
通过求解无齐次项情况下的特解，再加上 通解，得到非齐次线性微分方程的解。
VI. 傅里叶级数方法
傅里叶级数方法可以将周期函数表示成正弦和余弦函数的无穷级数，通过求解系数得到函数的展开式。
VII. 拉普拉斯变换方法
通过求解特征方程的根，得到齐 次线性微分方程的通解。
待定系数法
假设解为某些未知函数，代入原 方程得到待定系数，通过求导和 代入原方程求解未知函数。
常数变易法
假设解为常数的函数，通过求导 和代入原方程得到常数的解。
V. 变系数线性微分方程的解法
1
常数变易法
假设解为常数的函数，通过求导和代入原
待定系数法
《数学分析微分方程》 PPT课件
欢迎来到《数学分析微分方程》PPT课件。本课件将深入介绍微分方程的基本 概念，并详细讲解一阶、高阶、常系数线性、变系数线性微分方程的解法， 以及傅里叶级数和拉普拉斯变换方法的应用。
I. 介绍微分方程的基本概念
学习微分方程前，我们先了解微分方程的基本概念和意义，掌握微分方程的 分类和形式，并探讨微分方程在实际问题中的应用。
拉普拉斯变换方法是一种将时间域函数转换为复频域函数的方法，通过求解 拉普拉斯变换的积分得到函数的解析表达式。
(完整版)数学分析全套课件(华东师大)
证明
由于x
<
y, 故存在非负整数n，使得x n
< yn.令r
1 2
(xn
yn
)
则r为有理数，且有x xn < r < yn y,即得x < r < y.
例2 设a,b R,证明: 若对任何正数e有a < b e ,则a b.
证明 用反证法.假若结论不成立 ，则根据实数的有序性
有a > b.令e a - b,则e为正数且a b e , 这与假设 a < b e矛盾.从而必有a b.
§3 函数概念
1.函数概念
❖定义
设数集DR, 则称映射f : D R为定义在D上的函数, 通常简记为
yf(x), xD, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即DfD.
说明:
记为函号了数f叙的和述记f(x方号)的便是区可, 常别以用:任前记意者号选表“取示f(的x自), 变除x量了Dx用”和或f因“外变y, 还量f(可xy)之,用x间“D的g””对来 应表、法示“则 定F”义,、而在“后D者”上表等的示,函此与数时自, 函这变数时量就应x对记理应作解的y为函g由(数x它)、值所.y确F定(x的)、函y数f(x.)
的集合, RR常记作R2.
3.实数集 ❖两个实数的大小关系
• 定义1
给定两个非负实数
x a0.a1a2 Lan L, y b0 .b1b2 Lbn L,其中a0 ,b0为非负整数， ak ,bk (k 1,2,L)为整数，0 ak 9,0 bk 9. 若有ak bk , k 1,2,L,则称x与y相等，记为x y；
称有理数xn a0.a1a2 Lan为实数x的n 位不足近似，
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n n n x
分时,可用分部积分法使 xn 逐次降幂. 例11 求 x cos xdx.
2
2 2 2 x cos x d x x dsin x x sin x 2 x sin xdx 解
x 2 sin x 2 xdcos x
2
x sin x 2 xcos x 2 cos x dx
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三、分部积分法
定理8.6 (分部积分法) 若u(x)与v(x)可导, 不定积分 u( x )v( x )dx存在,
则 u( x )v( x )dx 也存在, 且
u( x)v( x)dx u( x)v( x) u( x)v( x)dx.
证 由 ( u( x )v( x )) u( x )v( x ) u( x )v ( x ) 或
且 ( x ) , x [a , b]. 又u ( x )在[a , b
G ( u) C G ( ( x )) C . (1)
d 证 因为 G ( ( x )) G( ( x )) ( x ) g( ( x )) ( x ). dx
解
(a 0).
π , 2 2 1 dx a sec t 2 d t cos tdt 3 ( x 2 a 2 )2 a 4 sec4 t a 1 3 (1 cos 2t )dt 2a 1 x2 a2 3 ( t sin t cos t ) C x 2a t 1 x ax 3 arctan 2 C. 2 a a x a 2a x a tan t , | t |
x 2 sin x 2 x cos x 2 sin x C .
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2. 升幂法
求 x arctan x, x ln x, x arcsin x 等类型函数的不
定积分时,需要使用升幂法.
3 x 例12 ln xdx .
4 1 4 x 3 3 x ln x d x ln x d ( x ln x x dx ) 解 4 4 4 x (4 ln x 1) C . 16
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dx (a 0). 例1 求 2 2 a x 解 x d dx 1 a a 2 x 2 a x 2 1 a
1 du 1 arctan u C 2 a a 1 u
1 x arctan C . a a
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1
dx 1 . du ( x ) x 1 ( u )
d 1 1 F ( ( u)) F ( x ) 于是 dx ( x ) 1 g( ( x )) ( x ) g( u), ( x ) 所以(2)式成立.
第二类换元积分法常用在 f (a 2 x 2 ), f (a 2 x 2 ),
x
x2 a2
t
a
sec tdt ln | sec t tan t | C
x ln a
x2 a2 C ln x x 2 a 2 C1 , a
其中 sec t 和 tan t 可借助辅助直角三角形求出.
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dx 例10 求 2 ( x a 2 )2
d(sec x tan x ) ln | sec x tan x | C . sec x tan x
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二、第二换元积分法
定理8.5 (第二换元积分法)
若 g( u) 在 [ , ] 上有定义, u ( x )在[a , b] 上可导,
( x ) 0, 且 g( ( x )) ( x )dx F ( x ) C ,
所以(1)式成立.
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第一换元积分法亦称为凑微分法, 即
g( ( x)) ( x)dx g( ( x))d ( x) G( ( x)) C ,
其中 G( u) g( u). 常见的凑微分形式有
(1) adx d(ax );
(2) dx d( x a );
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例8 求
a2 x2 π 解 设 x a tan t , | t | . 2 2 dx a sec tdt a 2 x 2 a sec t
dx
(a 0).
sec tdt ln | sec t tan t | C
ln( a 2 x 2 x ) C .
§2 换元积分法与分部积分法
不定积分是求导运算的逆运算, 相应 于复合函数求导数的链式法则和乘法 求导公式, 不定积分有换元积分法和分 部积分法.
一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法
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一、第一换元积分法
定理8.4 (第一换元积分法)
设 g ( u) 在 [ , ] 上有定义， 且 g(u)du G(u) C .
1 x a ln C. 2a x a
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2 求 x 1 x dx . 例3
1 2 2 解 x 1 x dx 1 x d(x ) 2 1 1 1 x 2 2d 1 x 2 2
2
1 2
3 2
1 2 1 x2 C 2 3 3 1 1 x2 2 C . 3
这里可借助辅助直角三 角形, 求出 sec t , tan t .
t
x2 a2
x
a
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例9 求
π 解 设 x a sec t , 0 t , 2 dx a sec t tan t x 2 a 2 a tan t dt
dx 2 2 x a
(a 0).
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4. 递推法
例14 求不定积分I n cos n xdx.
解 I1 cos xdx sin x C .
I n cosn xdx cosn1 xdsin x sin x cos
n1
x (n 1) cos
n 2
sin xdx
2
n
n
n
注 通过对 xn 的升幂和 ln x 的求导, 化解了难点.
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3. 循环法
求 e x sin x , e x cos x 类型的函数的不定积分时,用分
部积分法两次,循环得到含未知不定积分的方程,
解出方程加上常数C 即可得不定积分. 例13 求 I1 eax cos bx dx 和 I 2 eax sin bx dx .
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I1 的另一种求法是: 1 ax ax I1 (e cos bx b e sin bx dx ) a 1 ax b (e cos bx sin bx deax ) a a 1 ax b ax b2 ax (e cos bx e sin bx e cos bxdx ) a a a 1 ax b ax b2 (e cos bx e sin bx I1 ) a a a b sin bx a cos bx ax 所以 I1 e C . I 2 的求法类似. 2 2 a b
(4)式代入(3)式,得
b ax 1 ax I1 [ e cos bx (e sin bx bI1 ) ]. a a
整理后得到
同理
b sin bx a cos bx ax I1 e C. 2 2 a b a sin bx b cos bx ax I2 e C. 2 2 a b
ax 1 解 I1 a cos bx d(e ) 1 ax (e cos bx b eax sin bx dx ) a 1 (eax cos bx bI 2 ), a
(3)
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1 I 2 sin bx d(eax ) 1 (eax sin bx b eax cos bxdx ) a a 1 ax (4) (e sin bx bI1 ). a
u( x )v( x ) ( u( x )v ( x )) u( x )v ( x ), 两边积分,得
u( x)v( x)dx u( x)v( x) u( x)v( x)dx.
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1. 降幂法
在求 x sin x , x cos x , x e 等类型函数的不定积
1 1 (3) x dx d(x ); (4) cos xdx d(sin x ); 1 (5) sin xdx d( cos x ); (6) 1 x dx d( ln x ); dx 2 d(arctan x ). (7) sec x d x d( tan x ); (8) 2 1 x
2 2
2 a a cos t dt (1 cos 2t )dt 2
2
2
2 a 1 a x x x t sin 2t C arcsin 1 C 2 2 2 a a a 1 2 x 2 2 a arcsin x a x C . 2 a 2
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例6 求 sec xdx .
cos x d(sin x ) dx 解 (解法一) sec xdx 2 cos x 1 sin 2 x
1 1 sin x ln C. 2 1 sin x
sec x(sec x tan x ) dx (解法二) sec xdx sec x tan x
sin x cosn1 x (n 1) cosn2 (1 cos2 x )dx sin x cos
分时,可用分部积分法使 xn 逐次降幂. 例11 求 x cos xdx.
2
2 2 2 x cos x d x x dsin x x sin x 2 x sin xdx 解
x 2 sin x 2 xdcos x
2
x sin x 2 xcos x 2 cos x dx
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三、分部积分法
定理8.6 (分部积分法) 若u(x)与v(x)可导, 不定积分 u( x )v( x )dx存在,
则 u( x )v( x )dx 也存在, 且
u( x)v( x)dx u( x)v( x) u( x)v( x)dx.
证 由 ( u( x )v( x )) u( x )v( x ) u( x )v ( x ) 或
且 ( x ) , x [a , b]. 又u ( x )在[a , b
G ( u) C G ( ( x )) C . (1)
d 证 因为 G ( ( x )) G( ( x )) ( x ) g( ( x )) ( x ). dx
解
(a 0).
π , 2 2 1 dx a sec t 2 d t cos tdt 3 ( x 2 a 2 )2 a 4 sec4 t a 1 3 (1 cos 2t )dt 2a 1 x2 a2 3 ( t sin t cos t ) C x 2a t 1 x ax 3 arctan 2 C. 2 a a x a 2a x a tan t , | t |
x 2 sin x 2 x cos x 2 sin x C .
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2. 升幂法
求 x arctan x, x ln x, x arcsin x 等类型函数的不
定积分时,需要使用升幂法.
3 x 例12 ln xdx .
4 1 4 x 3 3 x ln x d x ln x d ( x ln x x dx ) 解 4 4 4 x (4 ln x 1) C . 16
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dx (a 0). 例1 求 2 2 a x 解 x d dx 1 a a 2 x 2 a x 2 1 a
1 du 1 arctan u C 2 a a 1 u
1 x arctan C . a a
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1
dx 1 . du ( x ) x 1 ( u )
d 1 1 F ( ( u)) F ( x ) 于是 dx ( x ) 1 g( ( x )) ( x ) g( u), ( x ) 所以(2)式成立.
第二类换元积分法常用在 f (a 2 x 2 ), f (a 2 x 2 ),
x
x2 a2
t
a
sec tdt ln | sec t tan t | C
x ln a
x2 a2 C ln x x 2 a 2 C1 , a
其中 sec t 和 tan t 可借助辅助直角三角形求出.
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dx 例10 求 2 ( x a 2 )2
d(sec x tan x ) ln | sec x tan x | C . sec x tan x
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二、第二换元积分法
定理8.5 (第二换元积分法)
若 g( u) 在 [ , ] 上有定义, u ( x )在[a , b] 上可导,
( x ) 0, 且 g( ( x )) ( x )dx F ( x ) C ,
所以(1)式成立.
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第一换元积分法亦称为凑微分法, 即
g( ( x)) ( x)dx g( ( x))d ( x) G( ( x)) C ,
其中 G( u) g( u). 常见的凑微分形式有
(1) adx d(ax );
(2) dx d( x a );
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例8 求
a2 x2 π 解 设 x a tan t , | t | . 2 2 dx a sec tdt a 2 x 2 a sec t
dx
(a 0).
sec tdt ln | sec t tan t | C
ln( a 2 x 2 x ) C .
§2 换元积分法与分部积分法
不定积分是求导运算的逆运算, 相应 于复合函数求导数的链式法则和乘法 求导公式, 不定积分有换元积分法和分 部积分法.
一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法
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一、第一换元积分法
定理8.4 (第一换元积分法)
设 g ( u) 在 [ , ] 上有定义， 且 g(u)du G(u) C .
1 x a ln C. 2a x a
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2 求 x 1 x dx . 例3
1 2 2 解 x 1 x dx 1 x d(x ) 2 1 1 1 x 2 2d 1 x 2 2
2
1 2
3 2
1 2 1 x2 C 2 3 3 1 1 x2 2 C . 3
这里可借助辅助直角三 角形, 求出 sec t , tan t .
t
x2 a2
x
a
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例9 求
π 解 设 x a sec t , 0 t , 2 dx a sec t tan t x 2 a 2 a tan t dt
dx 2 2 x a
(a 0).
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4. 递推法
例14 求不定积分I n cos n xdx.
解 I1 cos xdx sin x C .
I n cosn xdx cosn1 xdsin x sin x cos
n1
x (n 1) cos
n 2
sin xdx
2
n
n
n
注 通过对 xn 的升幂和 ln x 的求导, 化解了难点.
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3. 循环法
求 e x sin x , e x cos x 类型的函数的不定积分时,用分
部积分法两次,循环得到含未知不定积分的方程,
解出方程加上常数C 即可得不定积分. 例13 求 I1 eax cos bx dx 和 I 2 eax sin bx dx .
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I1 的另一种求法是: 1 ax ax I1 (e cos bx b e sin bx dx ) a 1 ax b (e cos bx sin bx deax ) a a 1 ax b ax b2 ax (e cos bx e sin bx e cos bxdx ) a a a 1 ax b ax b2 (e cos bx e sin bx I1 ) a a a b sin bx a cos bx ax 所以 I1 e C . I 2 的求法类似. 2 2 a b
(4)式代入(3)式,得
b ax 1 ax I1 [ e cos bx (e sin bx bI1 ) ]. a a
整理后得到
同理
b sin bx a cos bx ax I1 e C. 2 2 a b a sin bx b cos bx ax I2 e C. 2 2 a b
ax 1 解 I1 a cos bx d(e ) 1 ax (e cos bx b eax sin bx dx ) a 1 (eax cos bx bI 2 ), a
(3)
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1 I 2 sin bx d(eax ) 1 (eax sin bx b eax cos bxdx ) a a 1 ax (4) (e sin bx bI1 ). a
u( x )v( x ) ( u( x )v ( x )) u( x )v ( x ), 两边积分,得
u( x)v( x)dx u( x)v( x) u( x)v( x)dx.
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1. 降幂法
在求 x sin x , x cos x , x e 等类型函数的不定积
1 1 (3) x dx d(x ); (4) cos xdx d(sin x ); 1 (5) sin xdx d( cos x ); (6) 1 x dx d( ln x ); dx 2 d(arctan x ). (7) sec x d x d( tan x ); (8) 2 1 x
2 2
2 a a cos t dt (1 cos 2t )dt 2
2
2
2 a 1 a x x x t sin 2t C arcsin 1 C 2 2 2 a a a 1 2 x 2 2 a arcsin x a x C . 2 a 2
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例6 求 sec xdx .
cos x d(sin x ) dx 解 (解法一) sec xdx 2 cos x 1 sin 2 x
1 1 sin x ln C. 2 1 sin x
sec x(sec x tan x ) dx (解法二) sec xdx sec x tan x
sin x cosn1 x (n 1) cosn2 (1 cos2 x )dx sin x cos