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第十四讲 第六章能量法

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高中化学知识点总结(第六章 化学反应与能量)

高中化学知识点总结(第六章 化学反应与能量)

第六章化学反应与能量第1课时基本概念一课过知识点一焓变、热化学方程式1．化学反应的实质与特征2．焓变、反应热(1)焓(H)用于描述物质所具有能量的物理量。

(2)焓变(ΔH)ΔH＝H(生成物)－H(反应物)，单位kJ·mol－1。

(3)反应热当化学反应在一定温度下进行时，反应所放出或吸收的热量，通常用符号Q表示，单位kJ·mol－1。

(4)焓变与反应热的关系对于等压条件下进行的化学反应，如果反应中物质的能量变化全部转化为热能，则有：ΔH＝Q p。

(5)反应热、活化能图示①在无催化剂的情况下，E1为正反应的活化能，E2为逆反应的活化能，ΔH＝E1－E2。

②催化剂能降低反应的活化能，但不影响焓变的大小。

3．吸热反应与放热反应(1)从能量高低角度理解反应物的总能量大于生成物的总能反应物的总能量小于生成物的总能(3)常见的放热反应与吸热反应的还有发光、放电等。

②化学反应表现为吸热或放热，与反应的条件没有必然关系，而是取决于反应物和生成物具有的总能量(或焓)的相对大小。

③化学反应表现为吸热或放热，与反应开始时是否需要加热无关。

需要加热的反应不一定是吸热反应，如C ＋O 2=====点燃CO 2为放热反应；不需要加热的反应也不一定是放热反应，如Ba(OH)2·8H 2O 与NH 4Cl 的反应为吸热反应。

4．热化学方程式(1)概念表示参加反应的物质的量和反应热关系的化学方程式。

(2)意义不仅表明了化学反应中的物质变化，也表明了化学反应中的能量变化。

(3)书写步骤知识点二燃烧热、中和热、能源1．燃烧热2．中和热(1)中和热的概念及表示方法(2)中和热的测定①装置②计算公式(以50 mL 0.5 mol·L －1盐酸与50 mL 0.55 mol·L －1 NaOH 溶液反应为例)ΔH ＝－0.418(t 2－t 1)0.025 kJ·mol －1t 1——起始温度，t 2——终止温度。

能量法

能量法


1

3Eh2 10GL2

It is therefore customary in engineering practice to neglect the effect of shear in computing the strain energy of slender beams.
F 广义力
1
广义位移
基本变形下杆的应变能：（线弹性范围内）
F
V

1 2
Fl

FN2l 2EA
l
FN2 x dx
2EA
Me
V

1 2
M e

T 2l 2GI P

T 2 xdx
l 2GIP
M
V

1 M
2

M 2l 2EI
横力弯曲
M 2 x dx
2EI 0
2GI p 0
4EI 4GI p
外力功
V
W

1 2
P
A
A

PR3
2EI

3PR3
2GI p
互等定理 (Reciprocal theorems)
1. 功的互等定理
设有两组外力F1和F2分别作用于同一线弹性结构上，如 图所示，(a)、(b)分别称为结构的第一状态和第二状态。
F1 Δ11 1
F1 dF
0
线弹性范围内：
1

1
Vc
V

F 2
➢ 余能仅具有与应变能相同的量纲，无具体 的物理意义。线弹性材料，余能数值上等 于应变能，应区分两者的概念。
应变能的普遍表达式

第十四章动荷载讲解

第十四章动荷载讲解

qd

A an

A
D w2
2
将圆环沿直径截分为二，并研究上半部分(图c)
由
Fy 0 得
2FNd
0
qd
sin
D 2
d
qd D
FNd

qd D 2

A D2
4
w2
作为薄壁圆环，可近似认为正应力沿壁厚 均匀分布。于是，可得圆环径截面上的拉 FNd
应力为
y
qd

A
D 2
w2
qd
d

D
c FNd
d

FNd A

D2
4
w2



D 2
w
2

v2
式中，v=(D/2)w是圆环
轴线上的点的线速度。
圆环匀速转动时的强度条件为 d v2 t
圆环轴线上各点的许用 线速度为
v
t

15106 44.3m s 7.65 103
例14-1 图示均质水平杆，以匀加速度a起吊。杆的长度为l，材材
的密度为，弯曲截面系数为Wz，弯曲刚度为EIz。求杆中的最大
动应力d,max及最大动挠度wd,max。
Fd
Fd
解： 把杆简化成受均布荷载的
简支梁，其静载集度qst＝Ag
a
qst
最大静弯矩发生在C截面处，其值为 A
C
B
l/2
l/2
Mst,max
A
A
Δst B
B Δst
Δd
图示重量为P的重物(通常称为冲击物)从距杆端为h处自由 落下。当冲击物与杆B端接触时(杆AB称为被冲击物)，由于杆 件阻碍冲击物的运动，它的速度迅速减小，直至为零。这一过 程称为冲击。

能量法

能量法

第十章能量法承载的构件或结构发生变形时，加力点的位置都要发生变化，从而使载荷位能减少。

如果不考虑加载过程中其他形式的能量损耗，根据机械能守恒定律，减少了的载荷位能将全部转变为应变能储存于构件或结构内。

据此，通过计算构件或结构的应变能，可以确定构件或结构加力点处沿加力方向的位移。

但是，机械能守恒定律难以确定构件或结构上任意点沿任意方向的位移，也不能确定构件或结构上各点的位移函数。

应用更广泛的能量方法，不仅可以确定构件或结构上加力点处沿加力方向的位移，而且可以确定构件或结构上任意点沿任意方向的位移；不仅可以确定特定点的位移，而且可以确定梁的位移函数。

本章介绍的是：用应变能的概念，根据能量守恒原理来解决与弹性结构或构件变形有关问题的一般方法，这种方法称为能量法。

能量法既可用于计算构件或结构位移；也可用以解决静不定问题及其它一些问题；本章只讨论用能量方法计算位移。

§10.1 杆件的应变能计算前面我们曾讨论过拉伸（压缩）、扭转或弯曲时的变形计算。

但是在工程上还常遇到比较复杂的结构，例如图10-1中所示的桁架、刚架——是指由直杆组成的具有刚性结点的结构、拱——是指杆轴为曲线而且在铅垂载荷作用下会产生水平支座反力的结构等。

在计算这些结构上某一点或某一截面的位移时，能量法是比较简单的方法。

通过拉伸（压缩）、扭转、弯曲时的应变能分析，可见：杆件在受力变形后，都储藏有应变能。

若不计杆件变形过程中少量的热能等损失，则杆件能量守恒，外力在弹性体变形过程中所作的功W应等于杆件内储藏的应变能Vε，即Vε=W。

在第七章我们曾经分别得到等截面杆各横截面上的内力为常量时，拉伸（压缩）、扭转、弯曲（参看图10-2）时的应变能表达式如下拉伸（压缩）时2122NPF lV F lEAε=∆=此处F N=F P（10-1）圆轴扭转时 2122x P PM l V M GI εϕ== 此处M x =M P （10-2）平面弯曲时 2122P M lV M EIεθ== 此处M =M P （10-3）综合以上三个表达式中外力表达的部分，可以把应变能概括地写为12V W F εδ==(10-4) 式中 F ——在拉伸（压缩）时表示拉力（压力），在扭转或弯曲时表示集中力偶，所以此处F 称为广义力；δ——在广义力作用处与广义力F 相应的位移，称为广义位移，在拉伸（压缩）时它是与拉力（压力）相应的位移l ∆，在扭转时它是与扭转力偶矩相应的转角φ，在平面弯曲时它是与弯曲力偶矩相应的截面转角θ（如图2所示）。

能量法(上课用)

能量法(上课用)
f1 f2
δ1
F2 ∆1
δ2
∆2
不论加载方式如何， 不论加载方式如何，在卸载过程中弹性体所作的总功均为 1 1 ' W = F1 ∆ 1 + F2 ∆ 2 2 2 由能量受恒定律： 由能量受恒定律： W ' 应等于加载时作的总功 W 克拉比隆定理 不论加载方式如何， 不论加载方式如何，作用在弹性体上的广义载荷在相应位移上 2011-4-24 所作的总功为： 所作的总功为： 1 W = ∑ Fi ∆ i 17 材料力学 2
式中P——广义力(力或力偶)； 广义力(力或力偶 ； 式中 广义力 广义位移( δ——广义位移(线位移或角位移) 广义位移 线位移或角位移)
• 弹性体的变形能决定于外力和位移的最终值，与加载 弹性体的变形能决定于外力和位移的最终值， 的过程无关。 的过程无关。
2011-4-24 材料力学 14
广义力与广义位移的相应关系： 广义力与广义位移的相应关系：
能量法与超静定系统/变形能的普遍表达式 能量法与超静定系统 变形能的普遍表达式
•特别注意点： 特别注意点：
广义力， 广义力 力或力偶，或一对力，或一对力偶。 Pi ——广义力，力或力偶，或一对力，或一对力偶。
δ i ——在所有力共同作用下与广义力 Pi 相对应的沿着力 在所有力共同作用下与广义力
的方向的广义位移。 的方向的广义位移。
2 MnL 1 U = W = mϕ = 2 2GI p
m A ϕ B
2011-4-24 材料力学
圆杆横截面上的扭矩； 式中 Mn——圆杆横截面上的扭矩； 圆杆横截面上的扭矩 圆杆横截面对圆心的极惯性矩。 圆杆横截面对圆心的极惯性矩 I p ——圆杆横截面对圆心的极惯性矩。
6

能量法

能量法

11 X 1 1 p 0 11 ( X1 ) 11 X1 11 X 1 1P 0
1P , 11
MP
l
X1 1
M1
4、系数与自由项
M 1M P ql4 1P dx EI 8 EI
5、解方程
M 1M 1 l3 11 dx EI 3 EI
求C点挠度。
M ( x)M ( x) 莫尔定理 dx EI （莫尔积分） l M ( x)M ( x) dx EI l
对于组合变形： FN ( x)FN ( x) T ( x)T ( x) M ( x)M ( x) dx dx dx EA GI p EI l l l
M 1 m
6
6
M 1M P 702 dx EI EI
2 P
15
M 2M P 520 dx EI EI
X2 1
M 2 m

4、 解方程
135X 1 144X 2 520 0.......... ....2
X 1 2.67 kN X 2 1.11kN
能量法
能量法
一 外力功 二 变形能
三 利用功能原理计算位移
四 求位移的卡氏定理
五 单位载荷法 莫尔积分
六 力法
能量法/一 外力功 一 外力功 定义:
任何弹性体在外力作用下都要发生变
形。弹性体在变形过程中,外力沿其作用线
方向所作的功,称为外力功。
能量法/一 外力功
计算
1、常力作功
若体系上受到一个大小不变的常力P的作用,然
中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功
时，才可应用。 4 变形能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆

第六章 能量法

时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这 种外因的作用，并试图使物体从变形后的位置恢复到变形 前的位置。
§6-1 应变能
1. 应变与应力
应力：
第六章 能量法
σ τ τ
σ ij
=
τ
x xy
xy
σ y
τ
xz yz

τ xz
τ zy
Байду номын сангаас
σ z
第六章 能量法
§6-1 应变能
∆
P
T' T T' P
第六章 能量法
§6-2 虚位移原理
2. 最小势能定理
解： （1）计算结构应变能，按拉压杆处理
l'θ
l
∆'
∆
P
T' T T' P
U1 = U3
=
EA ∆'2 2l '
=
EAcosθ (∆ cosθ )2
2l
= EA∆2 cos3θ
2l
U2
=
EA ∆2 2l
U = EA∆2 cos3θ + EA ∆2
第六章 能量法
§6-1 应变能
1. 应变与应力
应变与应力：
σ, τ
A σS τS B
C D
O εC εD a)
τ 初始屈服轨迹
D
F (σ f ,τ f )
B
I
F'
后继屈服轨迹
J
ε, γ O
E A Cσ b)
不同加载路线的应力与应变
a ) 应力—应变曲线
b ) 屈服轨迹
第六章 能量法
§6-1 应变能
l

能量法(1)-第二讲

e
B (q)
M ( x ) M ( x ) dx l EI M e M 0

e
－附加力法
2. 位移计算
ql M e 2 l M x qlx M e x qx 2 M ( x) M e l 2 l 2 M ( x ) M ( x ) B (q) dx l EI M e M 0 FAy
U DA, F1 U fA F2
B a A
F2
B
F1
若令
F1 F ,
F2 F
则由复合求导法则
U U F1 U F2 U U F F1 F F2 F F1 F2 DA
F1 F
fA
F2 F
可见，
U F
为两F载荷相应位移的代数和。
2
W0 D kd Fk
Vc Dk Fk
例题 例 3-1 用卡氏定理求DBy
解：
Δk

l
FN (x ) FN (x ) dx EA Fk FNi li FNi EA Fk

i 1
n
FN1 l1 FN1 FN2 l2 FN2 DBy EA F EA F
c c
cbh 5/2 Fx M 5 2 1 5 2Fx cbh 5/2


5 2Fx y bh5/2
c
2. 余能与位移计算
vc


0
d


2
c
2
0
d
Vc 2

l h/2
0 0
25F 3 l 4 vc dydx 2 2 5 6c b h
卡氏定理直接推导

北京理工大学工程力学学习

课程名称：工程力学一级学科：08 工学二级学科：0817 工程力学类教学层次：本科教师姓名：梅凤翔学校名称：北京理工大学院系名称：北京理工大学理学院力学系申报状态：已获奖申报级别：国家级课程介绍：工程力学是北京理工大学许多工科专业（如机械类、土建类、航天航空类、船舶类、水利类等）的一门重要技术基础课，它不仅是整个力学学科的基础，而且也为有关专业学生学习后续相关课程和将来从事科学技术工作奠定必要的基础。

学生在学习工程力学时需要有清晰的物理概念和形象的几何直观，准确地理解基本概念和基本原理，熟练地掌握数学推理和分析与求解问题的基本方法，因此，工程力学具有科学严密性和应用灵活性紧密结合的魅力，是培养和训练学生综合研究素质的一门课程，可以很好地培养学生的逻辑思维能力、抽象简化能力、实践应用能力和初步的科学研究能力。

通过该课程的学习，学生不仅可以掌握力学的基本概念和定理或原理，还可以学会处理力学问题的基本方法和技能。

同时，它又是一门将高等数学知识较早地应用于工程实际的课程，在对学生进行工程意识与工程能力、科学素质与创新能力的培养中起到了举足轻重的作用。

4-2-2知识模块顺序及对应的学时（上册）第一章运动学基础与点的运动学 (6学时)第二章刚体的平面运动 (9学时)第三章复合运动 (9学时)第四章刚体的定点运动和一般运动 (自学)第五章静力学基本概念 (6学时)第六章力系的简化 (4学时)第七章力系的平衡 (10学时)第八章虚位移原理 (9学时)第九章变形固体静力学概述及一般杆件的内力分析 (2学时)第十章应力应变分析及应力应变关系 (6学时)第十一章轴向拉压 (6学时)第十二章扭转 (4学时)第十三章梁的弯曲 (12学时)（下册）第十四章组合变形 (7学时)第十五章能量法 (6学时)第十六章静不定结构 (5学时)第十七章压杆稳定 (4学时)第十八章实验应力分析（课堂讲授6学时，课外实验8学时）第十九章动能定理 (6学时)第二十章动量原理 (7学时)第二十一章达朗贝尔原理 (8学时)第二十二章变形固体的动力失效问题（8学时)第二十三章动力学普遍方程和拉格朗日方程 (3学时)（附件7（a）：教学大纲；附件7（b）:教学计划）。

《材料力学电子教案》课件

《材料力学电子教案》PPT课件第一章：材料力学概述1.1 课程介绍1.2 材料力学的定义与发展历程1.3 材料力学的研究对象与方法1.4 材料力学的应用领域第二章：内力、应力与应变2.1 内力的概念2.2 应力的概念2.3 应变的概念2.4 应力-应变关系第三章：弹性与塑性力学3.1 弹性力学的概念3.2 弹性模量的概念与计算3.3 塑性力学的概念3.4 塑性极限与屈服准则第四章：材料的力学性能4.1 强度与韧性4.2 硬度与疲劳强度4.3 弹性与塑性4.4 材料力学性能的测试方法第五章：杆件的扭转与弯曲5.1 扭转的基本概念5.2 扭转的弹性条件5.3 扭转的塑性条件5.4 弯曲的基本概念5.5 弯曲的弹性条件5.6 弯曲的塑性条件第六章：杆件的组合6.1 组合截面的概念6.2 组合截面的弹性扭转6.3 组合截面的弯曲6.4 组合截面的塑性扭转与弯曲第七章：压杆稳定7.1 压杆稳定的基本概念7.2 压杆稳定的弹性屈曲7.3 压杆稳定的塑性屈曲7.4 压杆稳定的影响因素与设计准则第八章：弹性基础梁8.1 弹性基础梁的基本概念8.2 弹性基础梁的弹性弯曲8.3 弹性基础梁的塑性弯曲8.4 弹性基础梁的稳定性分析第九章：弹性板壳9.1 弹性板壳的基本概念9.2 弹性板壳的弹性弯曲与扭转9.3 弹性板壳的塑性弯曲与扭转9.4 弹性板壳的稳定性分析第十章：材料力学中的能量原理10.1 能量原理的基本概念10.2 势能原理及其应用10.3 最小势能原理与平衡条件10.4 能量原理在材料力学中的应用第十一章：力法在材料力学中的应用11.1 力法的基本概念11.2 弹性方程与受力分析11.3 弹性方程的求解方法11.4 力法在实际问题中的应用第十二章：位移法在材料力学中的应用12.1 位移法的基本概念12.2 位移方程与受力分析12.3 位移法的求解步骤12.4 位移法在实际问题中的应用第十三章：能量法在材料力学中的应用13.1 能量法的基本概念13.2 动能定理与势能原理13.3 能量法的求解步骤13.4 能量法在实际问题中的应用第十四章：复杂应力状态下的材料力学行为14.1 复杂应力状态的基本概念14.2 主应力与主应变14.3 材料的屈服与破坏14.4 复杂应力状态下的弹性与塑性分析第十五章：材料力学的数值方法与应用15.1 数值方法的基本概念15.2 有限元法在材料力学中的应用15.3 有限差分法在材料力学中的应用15.4 材料力学的其他数值方法与应用重点和难点解析1. 内力、应力与应变的关系及其计算方法。

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i i
1、位能驻值原理
此式中之∑PiδΔi不是外力功,现另用符号U表示,并称为“力函数”,即 U Pi i , U Pi i
于是虚位移原理变为δU=δV，或可改写为δ（U- V）=0 W V
总位能(total potential energy)
其中 位能驻值原理 θ ^2) ∏ （principle of stationary potential energy） △
Next
Exit
∵根据题意,Δ是未知的，现变化Δ 满足δ Π = 0条件,故得:

2EA 2EA cos3 P 0 2l l
从而得到: EA 1 2 cos3 P 0
l
Pl 所以得: EA 1 2cos3
，
0
V V 由于虚位移的任意性,故有 V P , P , P3 1 2
或
V Pi i
1
2
3
i 1, 2,3,
……………. 称为“应变能原理”或“卡氏第一定 理” ,它代表了结构力的平衡条件,在结构分析中可用来建 立位移法方程式。 Pre Next Exit
Rx3 Rl 2 x 4 Rl 3 EI 0 EI 0 3 EI
l
l
∴柔性系数为:
4 Rl 3 A 3 EI
注意:单位载荷法在选取单位载荷时,一定要在所求的位移处,且与 所求位移性质相对应. 如求线位移,则在所求位移处加单位力;如求转角,则加单位力矩
§6-4 虚位移原理的应用
在虚位移原理中,我们有δW=δV,其中δW=∑PiδΔi为外力对 虚位移的虚功，由于在发生虚位移过程中外力不变，故上式中的 Pi不随Δi变化，因此δW又可写作： W Pi i Pi i
§6-3 虚功原理
一组真实力系在任意满足变形协调条件的虚位 “虚位移原理” 移过程中作功的情况，等价于结构的平衡条件 虚功 原理 “虚力原理” 任一组满足平衡条件的虚力系在真实位移 过程中的作功情况, 等价于变形协调条件
1、虚位移原理
设结构在外力作用下处于平衡状态，如果给结构一个肯发生的 位移即虚位移，则外力对虚位移所做的功必等于结构因变形获得的 虚应变能，称为虚位移原理。 （证明部分自习）
解：对于两端自由支持受均布载荷
的单跨梁，∵ v( x) ai sin ix l i 1 满足所有的边界条件： v 0、v 0、v 0、v 0 n l ∴ 0[ EI ai ( i ) 4 sin ix q] sin ix 0, i 1,2,3,... l l l i 1


即 i 0 d


{ε}为真实应变,等式右边的积分是单位载 荷引起的虚应力在真实应变上作的功,即 结构获得的虚余能.
………..单位载荷法
对于梁的弯曲问题,上式又可化为:
M 0 i M dx EI
式中M为真实外力引起的弯矩,Mdx/EI=0为真实外力引起的变形, M0为在i处的单位载荷引起的弯矩,所以等式右边仍为虚余能.
i 1
n
aii ( x) 代入即可得到：
i 1
IV ( EIv q)vdx 0 0 l
l
[ EI aii
0 i 1
n
IV
( x) q]i ( x)dx 0
上式是一个包含a i 的方程组，求解后可得a i ，从而可以求得挠曲
线方程。这个方法叫做“迦僚金法”。
水平杆在单位载荷的作用下 断面弯矩为 M0=x 竖直杆在单位载荷作用下的 断面弯矩为 M0=l 将M和M0代入
A
B C
R A B C
1 A
B C
l Rx l Rl M 0 M dx xdx ldx 0 0 EI EI EI 可得到A点的挠度为：
i
M 0 M dx EI
i i
＝V－U V Pi i
i
V-应变能；U-力函数； V－U-力位能
△
＝0
Exit
△
Pre
Next
例 用位能驻值原理解图中的静不定桁架。
解: 为了计算结构的总位能,
先算出结构的应变能. 设各杆断面面积均为A ,则 对杆1,3有:
EA 2 EA cos EA 2 2 V1 V3 cos cos3 2l 2l 2l
∏
△
△
对杆2,有: V2 EA 2 2l
2 2 EA EA 3 ∴有 V V1 V2 V3 cos l 2l
外力的力函数为PΔ，故结构的总位能为:
EA 2 EA 2 3 V U cos p 2l l
Pre
v( x) aii ( x)
i 1 n
移边界条件的函数）。
ai －待定系数； i ( x)－形状函数或基函数（不破坏梁端位
然后将此v(x)代入总位能Π中，使Π变为含有参数a1,a2,……的多元函数, 于是按多元函数求极值的方法将Π对ai求偏导数后令其等于零，即可定出 a1,a2,……。最后将求得之ai代入，即得满足Π为极值的v(x)的解。
V
力函数
l
1 1 i n ix 2 EIl n 2 i 4 EI v2 dx EI [( ) 2 ai sin ] dx＝ ai ( l ) 2 0 2 0 l i 1 l 4 i 1 ix ql n 1 cosi qvdx q ai sin l dx＝ ai i i 1 0 0 i 1
真实位移 虚外力＝ 真实位移 虚外力 d

W V
*
*
或 i P i d
T i
Pre
Next
Exit
虚位移原理中要求虚设一个可能位移，与真实力系发生关系； 虚力原理要求虚设一个可能力系与真实变形发生关系。 一般来说,一个结构可以选取若干个可能位移,也可以选取若干个 可能力系。所以灵活地选取虚位移状态或虚力系,就可以解决不同 的问题。
l n
U
＝V U
0 ai
EIl n 2 i 4 ql n 1 cosi ai ai ( l ) 4 i 1 i i 1
ai
2ql (1 cosi ) 当i为偶数时 (n ) EI
5
4
ai
＝0，则
ai
4ql 4 (n )5 EI
Pre
Next
Exit
李兹法不仅适用于梁的弯曲问题,而且可广泛地应用于其他结构, 如板的弯曲问题和杆、板的稳定性问题,有关的内容将在以后介绍。 在表6-1中给出了梁在某些边界条件时的位移函数,可供计算时选用。
2、迦僚金法
n
) 选取一挠曲线方程 v( x) aii ( x，若其满足所有的边界条件，
则根据单位位移法
ii d 由虚位移原理公式， P T i
若结构仅在i处发生一单位虚位移δΔi=1,则公式变为:
Pi 1
T
0
d
单位位移法
式中：1－结构在I 处发生一单位 } 虚位移， { 0 －单位虚位移引起 Pi 1＝ { }T { 0 }d 的虚应变。可用来计算结构在某 点需施加多大的力才能才能保证 结构的平衡。
W V 或 T Pii d
i
真实外力 虚位移＝ 真实应力 虚位移 d

Pre
Next
Exit
2、虚力原理
设结构在外力作用下处于平衡状态,如果给外力一个 破坏静力平衡条件及静力边界条件的虚变化，并且由此 虚力产生的变形是协调的,则外力的虚余功必等于结构的 虚余能,这就是虚力原理。

单位位移法在以后总结构分析的单元刚度矩阵计算 中十分有用.
§6-5 位能驻值原理的近似解法
位能驻值原理的重要应用之一是对于不能精确求解的结构或 求解比较困难的结构进行近似分析。以梁的弯曲为例，可以利用 位能驻值原理近似地求出梁的挠曲线方程式。
1、李兹法
Ritz method or Rayliegh-Ritz method是变分法中的直接法， 是利用位能驻值原理δΠ＝０把变分问题看作是求一个包含有有限 个变量的平台函数的极值问题。 对于梁的弯曲，先把梁的挠曲线方程写成如下的级数形式：
由于在发生虚位移δΔ1, δΔ2,……时，应变能V的变分可写作
V
V V V 1 2 3 1 2 3
∴有
V V V P P2 2 P3 3 1 1 1 2 3
Pre
Next
Exit
例:考虑图中两端自由支持受均布荷重
作用的单跨梁。
可选取v(x) :
解:考虑到边界条件x=0, x=l时,v=0,v′≠0,则
v( x) ai sin
n i 1
i ∴ v l
应变能
ix ai cos l i 1
l l
n
ix l
i 2 n ix v ( ) ai sin l i 1 l
3、虚功原理的应用
单位载荷法——虚力原理的应用 如果要求结构中的某个位移,可以使用虚力原理.首先,根据要求 的位移Δi ,虚设与之相对应的单位载荷δPi=1,并将此单位载荷下及 其作用下的静力可能内力,作为虚设可能受力状态,则虚力方程可变 为: i 1 0 d 式中, {σ0}是单位载荷引起的应力,
Δ求得后，即可求出各杆的力，可见用位能驻值原理的计算方法 是“位移法”，并且所得的就是力的平衡方程式。若以Π为纵坐标， Δ为横坐标作图，得图如下,可见满足结构平衡条件的Δ值使总位能 获得极小值。
∏