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九年级数学下册第2章二次函数2.2二次函数的图象与性质2.2.2二次函数的图象与性质课件

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北师大版九年级数学下册.2二次函数的图象与性质课件

北师大版九年级数学下册.2二次函数的图象与性质课件

3
y 2x2
y 2x 2 1 向上
y轴
(0,1) 当x=0时， y随x的增 ymin 1 大而增大
y随x的增 大而减小
-4 -2
o2 4
y 2x2 1
x y 2x 2 1 向上
y轴
(0,-1)
当x=0时， ymin 1
y随x的增 大而增大
y随x的增 大而减小
任务二：二次函数 y ax 2 c 的图象与性质（指向目标二） 二次函数 y ax2与 y ax 2 c 的图象的关系： 二次函数 y ax 2 c 的图象可以由 y ax2 的图象平移得到：
任务一：二次函数 y ax2的图象与性质（指向目标一）
猜想：二次函数 y 1 x2 ，y 2x 2 ，y x 2 的图象是什么样的呢？ 2
其开口大小与a又有什么关系呢？
y
-4 -2 0 2 4 x
当a<0时，a越小，开口越小.
-3
y 1 x2 2
-6
y -92x 2 y x2
总结： a决定了抛物线的开口方向和开口大 小，a>0，图象开口向上，a<0，图象 开口向下，|a|越大，开口越小.
x<0递减 x>0递增
x<0递增 x>0递减
任务一：二次函数 y ax2的图象与性质（指向目标一） 画二次函数 y 2x 2的图象. 1.列表：完成下表：
x ··· -2 -1 0 1 2 ··· y ··· 8 2 0 2 8 ···
坐标
(-2,8) (-1,2) (0,0) (1,2) (2,8)
答案：1m > 1 2m < 2 3m 1或m 3 4m 2
2
评价标准： 答案正确加4分.

九年级数学下册第2章二次函数2.2二次函数的图象与性质2.2.2二次函数的图象与性质课件(新版)北师大版

九年级数学下册第2章二次函数2.2二次函数的图象与性质2.2.2二次函数的图象与性质课件(新版)北师大版

图象形状 开口方向 对称轴
抛物线
抛物线 抛物线 向上 向上 向下 向下 y轴 y轴 y轴 y轴
顶点坐标
（0，0） （0，0）
（O，O）
（0，0）
y=-x2
抛物线
课堂探究
探究二 函数y=3x²及y=-3x²的图象会有哪些特点？
函 数
图象形状 开口方向 对称轴
抛物线 向上 y轴
顶点坐标
（0，0）
（O，O）
y=3x² y=-3x²
抛物线
向下
y轴
课堂探究
探究三
y=ax2（a≠0）的图象有哪些特征？
y=ax2 （a≠0）的图象是一条抛物线， 其顶点坐标是（0，0） 对称轴是y轴（也可写作直线x=0）
-4
y=2x2 y=x2
y
10 8
6
4
2
-2
0
2
x
当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下 随着 ︱a︱的增大，开口将越来越小
(4)当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下. 随着︱a︱的增大，开口将越来越小.
2.二次函数y=ax2的图象与y=ax2+c(a≠0)的图象的关系
y=ax2+c是由 y=ax2的图象上下平移得到的 当c>0 时，向上平移c个单位; 当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
随堂检测
1.（乐山·中考）将抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式
x y=-2x2 y=-x2 -2 -1 0 1 2
y=2x2 10
y
y=x2
8 6 4
2
-8 -4
-2 -1
0 0

2.2 二次函数的图象与性质二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 课件 初中数学北师大版九年级下册

2.2 二次函数的图象与性质二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 课件 初中数学北师大版九年级下册
(1,0).

2
(2)抛物线 y=- (x+3) 的开口向下,对称轴为直线 x=-3,顶点坐标为

(-3,0).
6.已知抛物线y=a(x-h)2向右平移4个单位长度后,所得的图象与抛物
线y=-2(x-5)2 重合,求a,h的值.
解:抛物线y=-2(x-5)2的顶点坐标为(5,0).把点(5,0)向左平移4个单
函数图象如图所示.
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0),函数有最
小值0,
当x>3时,y随x的增大而增大;当x<3时,y随x的增大而减小.
1.将二次函数y=-3x 2 的图象平移后,得到二次函数y=-3(x-1) 2 的图
象,平移方法正确的是(
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
而减小.
新知应用
2
1.已知抛物线 y=a(x+m) (m 为常数)的顶点在 y 轴的右侧,且 am<0,则
此图象的开口方向 向上 .

2
2.画出函数 y= (x-3) 的图象,并说出此函数的性质(开口方向、对称

轴、顶点坐标、最值、增减性).
解:当x=0或x=6时,y=4.5;当y=0时,x=3;当x=1或x=5时,y=2.
新知应用
1.在平面直角坐标平面内,把二次函数y=(x+1)2的图象向左平移2个
单位长度,那么图象平移后的函数表达式是( D )
A.y=(x+1)2-2
B.y=(x-1)2
C.y=(x+1)2+2
D.y=(x+3)2
2.函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x2的图象向 左

北师大版数学九年级下册课件二次函数的图像与性质第二课时

北师大版数学九年级下册课件二次函数的图像与性质第二课时

2.如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直
角
坐
标
系
,
左
面
的
一
条
抛 y 物 9 线 x2 9可x 10以 400 10
用
表示,而且左右两条抛物线关于y轴对称．
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
老师提示: 结合二次函数的图像 和性质，灵活运用顶 点坐标公式.
2.2 二次函数的图像和性质
第二课时
➢ 用心做一做 下面接着讨论y=ax²，y=a（x-h）²的二次函数的图像和 性质.
画出二次函数y=2（x-1）²的图像.
①完成下表:
x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y=2（x-1）2 50 32 18 8 2 0 2 8 18
观察上表你能发现2（x-1）²与2x²的值有什么关系？
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
➢ 用心做一做
➢1.确定下列二次函数图像的对称轴和顶点坐标： （1）y=3x2-6x+7；
（2）y=2x2-12x+8.
2.指出下列二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标， 必要时画草图进行验证： （1）y=2（x-3）²-5； （2）y=-0.5（x+1）² ;
（3）y=-3/4x²;
（4）y=2（x-2）²+5 ;
（5）y=-0.5（x+4）² +2;（6）y=--3/4（x-1）² .
➢ 我们已经认识了形如y=a（x-h）²+k的二次函数的图像 和性质，你能研究二次函数y=2x²-4x+5的图像和性质吗？

二次函数的图象与性质-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版) (2)

二次函数的图象与性质-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版) (2)
即可．
【详解】解：抛物线y=(x-3)2的顶点坐标是(3,0)，
故选A．
2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图像上，
则下列结论正确的是（
）
A．y3＜y2＜y1
B．y1＜y2＜y3
C．y1＜y3＜y2
D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【分析】根据二次函数图像与性质，结合-2＜0确定开口向下，
当x>0时，y随x的增大而减小，
当x=0时，ymax=0.
抛物线关于y轴对称.
-4 -2 0
-3
-6
-9
顶点坐标是（0，0）；是抛物线
上的最高点.
2
4
x
要点归纳
y＝x2
y＝－x2
y
图象
位置开
口方向
对称性
顶点
最值
增减性
O
y
x
O
x
开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 y=x2和y=－x2的图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握y=ax2的图象，知道它的图象是一条抛物线；
2、掌握用描点法画y=x2和y=-x2的图象；
3、掌握y=ax2的图象与性质，并灵活运用该图像的性质解决
时呢？
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
问题4 当x取何值时，y的值最小？
最小值是什么？
x=0时，ymin=0.

最北师大版九年级数学初三下册2.2《二次函数的图象与性质》优秀ppt课件

最北师大版九年级数学初三下册2.2《二次函数的图象与性质》优秀ppt课件

y=x2
8 6 4
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
(2)在直角坐标系 中描点.
2 (3)用光滑的曲线连接各点. 1 -4 - -2 -1 0 3 2
1
2
3
4 x
二次函数y=x2的性质
【议一议】 对于二次函数y=x2的图象:
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
(2)图象与x轴有交点吗?如果有,交点坐标是什么? (3)当x<0时,随着x值的增大,y的值如何变化?当x>0时呢?
… -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
描点,连线,如图所示.
第二章
二次函数
观察思考
观察下面的二次函数表达式:
学习新知
(1)y=x2 ；(2)y=-x2 ；(3)y=-2x2 ；(4)y=3x2 ；
(5)y=
1 2
x2.
它们有什么共同点和不同点? (3)(4)(5)与我们学习过的(1)(2)又有什 么不同点?
解析:二次函数y=±x2的函数图象在对称轴左右两边的 增减性是不一样的,所以A，B，C均不正确.故选D.
2.已知点A(2，a)，B(b，9)在抛物线y=x2上，则 a= 4 ， b= ±3 .
解析:分别把x=2和y=9代入y=x2 ，解得a=4，b=±3.
3.通过列表、描点、连线的方法画函数y=-x2的图象. 解:列表: x y … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
增减性
最值
【做一做】 二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想， 然后画出它的图象.它与二次函数y=x2的图象有什么关系?
-4 -3 -2 -1 -1 1 -2 -4 -6 -8 -10
0 2 3 4 x

九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.2 《二次函数的图象和性质(第四课时)》课件

2
负半轴上，所以不与x轴相交；函数y＝
3 2
x2－1与y＝
3 (x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，
2
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；
抛物线y＝
1 2
x
1 2
2
的顶点坐标为
1 2
，0
；抛物线y＝
1 2
x+
1 2
2
的对称轴是直线x＝－
1 2
.
总结
知2－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二 次函数的性质，画出图象进行判断．
y 1 (x 1)2 …
2
-2 -0.5
0 -0.5
-2 -4.5 -8 …
y 1 (x 1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2
y
画出二次函数 y = - 1 ( x + 1)2
与
y= -
1(x-
2 1)2 的图像,
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
知识点 1 二次函数y=a(x-h)2的图象
知1－导
议一议
二次函数y= 1 (x-1)2的图象与二次函数y= 1 x2
2
2
的图象有什么关系？
类似地，你能发现二次函数y= 1 (x+1)2的图象与
二次函数y=
1
2 (x-1)2的图象有什么关系吗？
2
知1－导
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
的开口方向、对称
轴、顶点坐标、增减性和最值?
(2)抛物线
y= -
1(x2
1)2

北师版九年级数学下册第二章2.2第1课时 二次函数y=x2的图象与性质


有
பைடு நூலகம்
最
高
点坐标是 (0，0) ， 时，函
它是函数图象的顶点，换一句话说，当 x ＝0 数有最大值，最大值为 的增大而 而
0
；当 x＜0 时，y 的值随 x
增大 ，当 x＞0 时，y 的值随 x 的增大
减小 ．
3. 二次函数 y＝x2 的图象是轴对称图形，对称轴是
y轴
， 若点 P(2， a)在其图象上， 则 a 的值是 4
－9
－16
(2)分别在上面的直角坐标系中描点； (3)分别用光滑的曲线连接各点，作出函数图象．
解：(2)图略；(3)图略．
知识点
： 二次函数 y＝x2 与 y＝－x2 的图象的性质
2. 函数 y＝－x2 的图象是一条开口向
下
的
抛物线 ， 它的对称轴为 y 轴
高点， 没有 最低点，其最
， 该函数图象
第二章 二次函数
2．2 二次函数的图象与性质 第1课时 二次函数y＝x2的图象与性质
◎学习目标 1. 经历探索二次函数 y＝x2 的图象的作法和性质的 过程，获得利用图象研究二次函数性质的经验． 2. 能够利用描点法作出 y＝x2 的图象，并能根据图 象认识和理解二次函数 y＝x2 的性质．
3. 能够作出二次函数 y＝－x2 的图象，并比较它与
， ．
点 P 在该抛物线图象上的对称点的坐标是 (－2，4)
4. (2018·广州)已知二次函数 y＝x2，当 x＞0 时，
y 随 x 的增大而
增大
(填“增大”或“减小”)．
探究一：根据二次函数 y＝x2 与 y＝－x2 的图象，回 答下列问题： 1. 二次函数 y＝x2 的图象是轴对称图形，对称轴是

2,2二次函数的图象与性质 第三课时-九年级数学下册课件(北师大版)

2 二次函数的图 象与性质
第3课时
复习回顾：
二次函数 y =ax ²的性质
函数y＝ ax 2
图象
开口 方向
a＞0
向上
顶点坐标 对称轴
(0，0)
y 轴(直线 x＝0)
a＜0
向下
(0，0)
y 轴(直线 x＝0)
续表：
函数y ＝ax 2
增减性
最值
a＞0
当x＞0时，y 随x 的增大而增大 当x＝0时， 当x＜0时，y 随x 的增大而减小 y最小值＝0
总结
函数 y＝ax 2＋c (a≠0)与函数y＝ax 2(a≠0)图象特征：
只有顶点坐标不同，其他都相同．
1 抛物线 y＝ax 2＋(a－2)的顶点在x 轴的下方，则a 的取 值范围是_a_＜__2__且__a_≠__0_．
2 在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是( D )
A．y＝ 1 x
数的表达式为y＝x 2－1.
总结
平移的方向决定是加还是减，平移的距离决定加 或减的数值．
例4 抛物线 y＝ax 2＋c 与抛物线 y＝－5x 2的形状相同，
开口方向一样，且顶点坐标为(0，3)，则其所对应的
函数表达式是什么？它是由抛物线y＝－5x 2怎样平移
得到的？
导引：由两抛物线的形状、开口方向相同，可确定a 的值； 再由顶点坐标为(0，3)可确定c 的值，从而可确定
＜－1，∴y3＜y2＜y1.
总结
对于在抛物线的对称轴两侧的函数值的大小比较，运用 转化思想．先根据对称性将不在对称轴同侧的点转化为在对 称轴同侧的点，再运用二次函数的增减性比较大小．
1 对于二次函数 y＝3x 2＋2，下列说法错误的是( C )

北师大版九年级数学下册第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质课件


想一想：抛物线 y = ax2 还可以怎样平移，平移 后会得到新的抛物线吗？
1 二次函数 y = a(x - h)2 的图象和性质
例1 画出二次函数 y = 2(x - 1)2 的图象，并分别指出它
们的开口方向、对称轴和顶点．
解：列表如下：
x
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
2x2
32 18 8 2
yO
x
-4 -2
24
(1) 顶点都是最_高___点，函数都
-2
有最_大___值，都为__y_=__0__；y 1 x 1 2 -4
(2)
y
函数的增减性： 1 x 1 2 当 x＜-1
时，y
2
随
x
y
增大而增大
1 2
x
12
2
当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小
y 1 x 12
2
当 x＜1 时，y 随 x 增大而增大 当 x＞1 时，y 随 x 增大而减小
2(x - 1)2 50 32 18 8
02 20
8 18 32 0 8 18
你能发现 2(x - 1)2 与 2x2 的值有什么关系？
描点、连线，如图所示： 根据图象回答下列问题:
(1) 图象的形状都是 抛物线 ；
(2) 图形的开口方向 向上 ；
(3) 从左到右对称轴分别是都 是 x = 0，x = 1 ；
(4) 从左到右顶点坐标分别是 _(_0_，__0_)_，__(_1_，__0_)___；
y = 2x2
y = 2(x - 1)2
(5) 顶点都是最_低___点，函数都有 y = 2x2 最__小__值，都为__y_=__0__； (6) 函数 y = 2(x - 1)2 的增减性 ：
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的图象． 2． 使学生能根据图象认识和理解二次函数的性质，
说出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．
预习反馈
1.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的
二次 时间t(s)的关系为h=4.9t2, h是t的________ 函数，它的
抛物线在第一象限的部分 0，0） 图象是_____ ________，顶点坐标为（ _______.
课堂探究
【解析】 函数 y=2x2 y=x2 y=-2x2
图象形状 开口方向 对称轴
抛物线 抛物线 抛物线 抛物线 向上 向上 y轴 y轴 y轴 y轴
顶点坐标
（0，0） （0，0） （O，O） （0，0）
向下
向下
y=-x2
课堂探究
探究二 函数y=3x²及y=-3x²的图象会有哪些特点？
函 数
图象形状 开口方向 对称轴
-4 -2
4
2
0
2
x
当a<0时，开口向下
随着 ︱a︱的增大，开口将越来越小 y=-x2 y=-2x2
课堂探究
探究四 二次函数y=2x2+1、y=2x2-1与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不 同？
你是怎么想的？
动手验证一下你的想法.
课堂探究
x y=2x2 y=2x2+1 y=2x2-1
-2
-1
2.上题中若物体从100米高的地方落下，它离地面的高 度h(m)与下落时间t(s)的关系为h=100-4.9t2,则h是t的
二次 函数，图象是_______________________ 抛物线在第一象限的部分 ，顶点 _____ （0，100） 坐标是___________.
课堂探究
探究一 在下列平面直角坐标系中，作出y=2x2的图象
(3)对称轴是y轴（也可写作直线x=0）.
(4)当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下. 随着︱a︱的增大，开口将越来越小. 2.二次函数y=ax2的图象与y=ax2+c(a≠0)的图象的关系 y=ax2+c是由 y=ax2的图象上下平移得到的 当c>0 时，向上平移c个单位; 当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
随堂检测
2．（济南·中考）在平面直角坐标系中，抛物线
y x2 1
A． 3 【答案】选B.
与 B．2
x
轴的交点的个数是（ C．1
） D． 0
随堂检测
3．坐标平面上有一函数y=24x248的图象，其顶点坐标为（ A.(0，2) C.(0，48) B.(1，24) D.(2，48)
）
【答案】选C.
抛物线 抛物线 向上 向下 y轴 y轴
顶点坐标
（0，0）
y=3x² y=-3x²
（O，O）
课堂探究
探究三 y=ax2（a≠0）的图象有哪些特征？ y=ax2 （a≠0）的图象是一条抛物线， y=x2
y=2x2
y
10 8
6
其顶点坐标是（0，0） 对称轴是y轴（也可写作直线x=0） 当a>0时，开口向上；
【答案】会
千里之行，始于足下
谢谢观看
北师大版九年级下册数学;
2.2.2二次函数图像与Hale Waihona Puke 质;情境导入y=x2
y
函数y=x²和y=-x²的图象
4
2
函数
-2
o -2
2
x
y=x²
图象形状 开口方向 对称轴 顶点 坐标 抛物线 向上 y轴 (O,0)
抛物线
y=-x²
-4
y=-x2
向下
y轴
(O,O)
本节目标
1．使学生会用描点法画二次函数y=ax2+c（a≠0）
10
y
x y=2x2
-2 8
-1 2
0 0
1 2
2 8
8 6 4 2 -4 -2 0 2
x 问题：它与二次函数y=x2的图象有什
么相同和不同？它的开口方向、对称
轴和顶点坐标分别是什么？
课堂探究
【解析】
函数
图象形状 开口方向 对称轴
抛物线 抛物线 向上 向上 y轴 y轴
顶点坐标
（0，0） （O，O）
随堂检测
1.（乐山·中考）将抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式 是（ ）. A. C.
y ( x 2) 2
y x2 2
y B. x2 2 y D. ( x 2) 2
【解析】选A.抛物线可以经过适当的平移得到，其平移规律是：“h左加右减” 即自变量加减左右移.
当c>0 时，向上平移c个单位;
当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
函数 关系式 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=ax2
抛物线
抛物线
a>0向上,a<0向下 a>0向上,a<0向下
y轴 y轴
（0，0） （0，c）
y=ax2+c
本课小结
1.y=ax2(a≠0)的图象的特征 (1)y=ax2的图象是一条抛物线. (2)其顶点坐标是（0，0）.
0
1
2
8 9 7
2 3 1
0 1 -1
2 3 1
8 9 7
8 6 4
y
2
-4 -2 -2
0
2
4
x
课堂探究
探究五
1 1 2- 的图象与二次函数 二次函数y=-3x2+ , y=-3x y=-3x2 的图象 2 2
有什么关系？
你能肯定吗？
课堂探究
【解析】
二次函数y=-3x2+ 由二次函数y=-3x2的图象向
随堂检测
4．（郴州·中考）将抛物线y=x2 +1向下平移2个单位，•则此时抛物线的解 析式是_____________． 【答案】y=x2－1
随堂检测
5．（西宁·中考）小汽车刹车距离s（m）与速
度v（km/h）之间的函数关系式为 s
1 v2 , 100
一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆 故障车，此时刹车 “不会”）. 有危险（填“会”或
上平移 2个单位 二次函数y=-3x2- 由二次函数y=-3x2的图象向 下平移 个单位
1 2 1 2 1
1 2
典例精析
二次函数y=ax2（a≠0）的图象与y=ax2+c（a≠0）的图象有什么异同？
典例精析
【规律方法】
y=ax²及y=ax²+c（a≠0）的图象和性质
y=ax2+c的图象是由 y=ax2的图象上下平移得到的
y=2x²
y=x²
课堂探究
做一做
在下列平面直角坐标系中， 作出y=-x²及y=-2x²的图象
x y=-2x2 y=-x2 -2 -1 0 1 2
y=2x2 10
y
y=x2
8 6 4
2
-8 -4
-2 -1
0 0
-2 -1
-8 -4
-4
-2
O 2 4
x
问题：它们与二次函数y=x²和y=2x²的图 象又有什么异同？ y=-2x2 y=-x2