高中数学 选修1-1 19.双曲线中的弦长问题

抛物线的性质 ： ：【学习目标】1．掌握抛物线的几何形状.2．理解抛物线的简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）. 3．能用抛物线的性质解决与抛物线有关的简单问题. 4．掌握抛物线与直线的位置关系并能解决有关的简单问题. 5. 进一步体会数形结合的思想方法. 【要点梳理】要点一：抛物线标准方程22(0)y px p =>的几何性质 范围：{0}x x ≥，{}y y R ∈，抛物线y 2=2px （p ＞0）在y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标（x ，y ）的横坐标满足不等式x≥0；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

抛物线是无界曲线。

对称性：关于x 轴对称抛物线y 2=2px （p ＞0）关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。

抛物线只有一条对称轴。

顶点：坐标原点抛物线y 2=2px （p ＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。

抛物线的顶点坐标是（0，0）。

离心率：1e =.抛物线y 2=2px （p ＞0）上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。

用e 表示，e=1。

抛物线的通径通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。

因为通过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，,2p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以抛物线的通径长为2p 。

这就是抛物线标准方程中2p 的一种几何意义。

另一方面，由通径的定义我们还可以看出，P 刻画了抛物线开口的大小，P 值越大，开口越宽；P 值越小，开口越窄．要点二：抛物线标准方程几何性质的对比要点诠释：（1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；（2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线l上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.要点三：直线与抛物线的位置关系=+与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元将直线的方程y kx m二次方程，其判别式为Δ.2220ky py pm-+=k=，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若0k≠若0①Δ＞0 ⇔直线和抛物线相交，有两个交点；②Δ＝0⇔直线和抛物线相切，有一个公共点；③Δ＜0⇔直线和抛物线相离，无公共点．要点四：直线与抛物线的相交弦设直线y kx m =+交抛物线交于点111222(,),(,)P x y P x y 两点，则12||PP12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -要点五：抛物线的焦点弦问题已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点。

2020-2021学年高中数学人教A版选修1-1配套作业：2.2.2 双曲线的简单几何性质含解析第二章2。

22。

2.2A级基础巩固一、选择题1．以椭圆错误!＋错误!＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为（C)A．错误!－错误!＝1B．错误!－错误!＝1C．错误!－错误!＝1或错误!－错误!＝1D．以上都不对[解析］当顶点为（±4,0)时，a＝4，c＝8，b＝43,双曲线方程为错误!－错误!＝1；当顶点为（0,±3)时，a＝3，c＝6，b＝3错误!,双曲线方程为错误!－错误!＝1。

2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是（C)A．2B．2错误!C．4D．42[解析]双曲线2x2－y2＝8化为标准形式为x24－y28＝1，∴a＝2,∴实轴长为2a＝4。

3．(全国Ⅱ文,5）若a〉1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是（C)A．(错误!，＋∞) B．（错误!，2 ）C．(1,错误!) D．（1,2）[解析]由题意得双曲线的离心率e＝错误!.∴c2＝a2＋1a2＝1＋错误!.∵a>1，∴0〈错误!<1，∴1<1＋错误!〈2，∴1〈e〈错误!.故选C．4．（2018·全国Ⅲ文，10)已知双曲线C：错误!－错误!＝1（a>0,b>0）的离心率为错误!,则点(4,0）到C的渐近线的距离为(D) A． 2 B．2C．错误!D．2错误!［解析］由题意，得e＝错误!＝错误!,c2＝a2＋b2，得a2＝b2。

又因为a〉0,b>0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，点（4,0）到渐近线的距离为错误!＝2错误!，故选D．5．(2019·全国Ⅲ卷理,10)双曲线C：错误!－错误!＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO｜＝|PF|，则△PFO的面积为（A)A．错误!B．错误!C．2错误!D．3错误![解析]双曲线错误!－错误!＝1的右焦点坐标为(错误!，0），一条渐近线的方程为y＝错误!x,不妨设点P在第一象限，由于｜PO｜＝|PF|,则点P的横坐标为错误!，纵坐标为错误!×错误!＝错误!，即△PFO 的底边长为错误!，高为错误!，所以它的面积为错误!×错误!×错误!＝错误!。

第1讲命题及其关系、充分条件与必要条件1.了解“p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题.其中的语句叫真命题，的语句叫假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性[思考探究]一个命题的“否命题”与“否定”是同一个命题吗？提示：不是.命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论，而命题的否定仅是否定命题的结论.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的，q是p的；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的.1.命题真假的判定对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假.2.四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假.[特别警示]当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动.※ 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定，并判断它们的真假： (1)若q ≤1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；(2)若x 、y 都是奇数，则x ＋y 是偶数；(3)若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0；(4)若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0.1.利用定义判断(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件； (2)若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；(3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；(4)若p ⇒q 且q p ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若p q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；(6)若p q 且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 2.利用集合判断记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则： 若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； 若A B ，则p 是q 的充分不必要条件； 若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件； 若A B ，则p 是q 的必要不充分条件； 若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A ⊈ B ，且A ⊉ B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.[特别警示] 从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围. ※ 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？(1) p ：a ＋b ＝2，q ：直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切； (2) p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0；(3) 设l ，m 均为直线，α为平面，其中l ⊄α，m ⊂α，p ：l ∥α，q ：l ∥m ； (4) 设α∈)2,2(ππ-，β∈)2,2(ππ-，p ：α＜β，q ：tan α＜tan β.1.条件已知证明结论成立是充分性.结论已知推出条件成立是必要性；2.证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性.证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明；3.证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论.※求证：关于x的方程x2 ＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.若关于x的方程x2 ＋mx ＋1＝0有两个正实根，求m的取值范围？第2讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.简单的逻辑联结词：了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.全称量词与存在量词(1)理解全称量词与存在量词的意义(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.命题p∧p2.全称量词3.1.判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是对逻辑联结词“或”、“且”、“非”含义的理解. 数学中的逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”意义不同，日常生活中的“或”带有不能同时具备之意.数学中的逻辑联结词“且”与日常生活中的“且”意义基本一致，表示而且的意思. 数学中的逻辑联结词“非”与日常生活中的“非”意义基本一致，表示否定的意思.2.解决该类问题基本步骤为：(1)弄清构成它的命题p 、q 的真假； (2)弄清它的结构形式；(3)根据真值表判断构成新命题的真假.※ 已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，下列结论： ①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧q ”是假命题； ③命题“p ∨q ”是真命题； ④命题“p ∨q ”是假命题. 其中正确的是 ( )A. ②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④1.要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证p (x )成立.2.要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可.3.要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.※ 判断下列命题是否是全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假. (1)有一个实数α，sin 2α＋cos 2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0有唯一解； (4)存在实数x ，使得2112=+-x x 。

A.双曲线
B.双曲线的一支
C.两条射线
D.一条射线
c
)
跟踪检测
下列方程分别表示什么曲线?
(1)
( x 3) y ( x 3) y 10 椭圆
( 2)
( x 3) y ( x 3) y 5 双曲线的右支
(3)
( x 3) 2 y 2 ( x 3) 2 y 2 4 双曲线
＝2|F2A|，则 cos∠AF2F1＝(
) A
1
1
2
2
A.4 B.3 C. 4 D. 3
焦点三角形基本思路：
1.曲线定义；
2.余弦定理；
3.面积公式.
4.双曲线的焦点三角形面积： S b cot
2

2
双曲线的性质
x2 y2
研究双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的简单几何性质
b
b
共渐近线的双曲线方程
x2 y 2
与 2 2 1有相同渐近线的双曲线方程我
a b
们可以假设为：
2
其中：
2
x
y
2 ( 0，为参数)
2
a
b
为什么可以这样做？
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
跟踪检测
x2 y 2
求与 1 有相同渐近线，且过点 (3,2
y
顶点是A1 ( a,0)、A2 (a,0)
（2）如图，线段 A1 A2 叫做双曲线
的实轴，它的长为2a，a叫
做实半轴长；线段 B1 B2 叫做
B2
b
o
A1 -a
-b