基于等效折减方差的基坑可靠度分析简易方法

基于等效折减方差的基坑可靠度分析简易方法摘要：本文提出了一种高效的基于等效方差的简易方法来考虑空间变异性对基坑稳定性的影响的实用方法。

为验证此方法的有效性，首先提出了使用随机场理论蒙特卡罗方法（Monte-Carlo）量化分析空间变异性影响的直接方法，为进一步论证新提出方法公式计算方差折减的合理性，试算迭代法也被提出用于确定合理的方差折减系数值。

实例分析表明，简易方法能得到与随机场理论分析方法一致的可靠度分析结果，另外简易方法提供的确定折减系数的公式与采用试算迭代法计算的值也一致。

新提出的方法概念明晰，模型简单，并且能大幅度的提高计算效率。

关键词:基坑, 可靠度分析, 方差折减系数, 失效概率1 引言近年来，随我国经济的发展和道路交通建设规模日益增大，许多城市大型市政设施的开发与建设也随之增加，由此产生许多深基坑工程及超深基坑工程，其规模和深度还在不断扩大。

在建设中，基坑支撑开挖时由于粘土剪切强度不足导致基坑失效破坏事件经常发生。

在基坑开挖过程中，开挖区外的土由于自重应力及外部荷载作用有向下和里面移动的趋势，这将导致开挖区内的土隆起，如果隆起量过大基坑将会被破坏。

传统分析方法是确定性分析方法，在这个方法中所有输入土体参数当做一个确定值，分析结果用安全系数（S F ）表示。

在分析计算基坑的安全系数时，极限平衡法被广泛使用。

理论上，如果安全系数小于1，基坑被认为破坏。

通常在实际工程规范中都有所需最小的安全系数的规定。

由于土体参数的不确定性，即使安全系数大于1或者规范规定最小值，基坑仍有可能被破坏。

鉴于此，在基坑设计中将土体参数不确定性考虑进去的可靠度分析设计方法就变得尤其必要。

分析结果可用失效概率（f p ）表示。

关于基坑的概率化分析在相关文献已有阐述，但是土体参数的2维（2D ）空间变异性还没有被涉及。

土体参数值呈现随机性，这一随机性可由土体参数的概率分布来表征。

对于给定的类型分布，平均值与方差是关键参数。

另外由于复杂的地质作用，土体参数值呈现空间变异性。

不同点的参数值不会完全一样且呈现相关性。

这一相关性由相关长度来度量。

相关长度是土体参数呈现相关性的最大距离。

空间变异性可由随机场理论来进行分析。

基于MONTE-CARLO 的随机场模型被越来越广泛的使用。

虽然随机场模型可以得到理想的结果，但是执行MONTE-CARLO 的时间计算周期长。

为克服时间周期过长问题，本文提出了一种基于等效方差来考虑土体参数空间变异性的简易方法。

2 滑动圆弧法本文采用简易实用的滑动圆弧法确定安全系数. 类似于其它半经验的方法, 在滑动圆弧法中FS 被定义为抵抗力矩与驱动力矩的比值:D R M M FS = (1)M R 和 M D 分别为抵抗力矩与驱动力矩. 抵抗力矩 M R , 由下式计算 (参考图1):βαπd r s r M u R ...2/0⎰+= (2)其中r 是圆弧半径, 并且 s w H H r -=， w H 和 s H 分别为地下连续墙高度与最低一排支撑距离地面高度， β 是由 ob 到 oe 对应的圆心角，圆弧长度r d ds ⨯=β.驱动力矩计算公式为2.2.2r q r W M s D += (3) 其中W 是虚线内土体重量, s q 是外部荷载大小.从上面公式可以看出，不排水剪切强度是基坑设计分析的关键参数，下面一节将用2D 随机场来度量它。

图1 基坑稳定分析滑动圆弧法几何条件与随机场区域Fig.1. Geometry of slip circle method and two-dimensional random field modeling region for basal-heave stability analysisq s =10kpa/m 随机场区域3 2D 随机场 '/v u S σ为建立简易的方法来考虑空间变异性的影响，首先需要直接使用MCS 方法考虑空间变异性并据此得到分析结果供简易方法参照与对比。

不排水剪切强度随着深度的增加而增加，而不排水剪切强度与有效应力的比值基本保持不变。

因此，本节将对'/v u S σ用对数正态分布随机场进行分析， 其它的参数被认为是空间不具变异性。

对数分布随机场越来越被广泛使用由于它能保证参数非负。

随机场中'/v u S σ的不确定性分布由平均值（ln μ），变异系数（ln COV ），相关长度（θ）定义。

其对应的正态分布的平均值（n μ）与方差（n σ）为 )1ln(2ln COV n +=σ (4) 2/)1ln(ln 2ln ln COV n +-=μμ (5)对数正态分布随机场可通过以下转换产生)},(*exp{),(/'i i n n n i i v u y x G y x s σμσ+= (6)其中 ),(i i y x 空间点坐标; ),(i i n y x G 相关方程为)(τρ的标准正态分布随机场. 2D 指数分布被用作相关方程:])()(2exp[)(22h h v v θτθττρ+-= (7) v τ 和 h τ 随机场中空间两点的竖直与水平距离， v θ 和 h θ 是竖直与水平相关长度.基于相关方程可以获得相关矩阵。

通过 Cholesky 分解可以得到矩阵L 【5-6】: )(.τρ=T L L (8) 接着，相关的标准正态分布随机场可通过线性组合独立的标准正态分布随机变量产生：∑==ij j ij i i n z L y x G 1),( i=1, 2, …, m (9)其中 m 是随机场中的点数量; j z 是独立标准正态分布随机样本.对于给定的平均值，方差，相关长度，随机场中任意位置的'/v u S σ样本可以通过MCS 产生，据此对应的u S 与S F 也可以获得。

执行足够数量的MCS 可以获取安全系数S F 的统计分布。

失效概率为失效的样本数（1<S F ）与样本总数的比值。

MCS 样本数应该大于目标失效概率倒数的10倍。

本研究中，目标失效概率大于10-4，因此MCS 样本数定为105.随机场区域包括1836⨯个大小为1m 的单元，本研究用单元近似代替空间点。

4 基于等效方差原理的简易方法简易方法基于空间平均的概念，土体参数的空间变异性被平均化以近似反应土的特性。

大范围内土性质的空间变异性可以基于等效方差技术来被量化，土体参数的方差可以通过方差折减系数（2Γ）折减。

方差折减系数的计算公式为：)]2exp(12[)(2122θθθL L L -+-=Γ (10) 其中θ是相关长度，L 是特征长度的大小。

在2D 随机场中，方差折减系数为竖直向（2v Γ）与水平向（2h Γ）折减系数的乘积： 222h v ΓΓ=Γ (11)折减后的方差（2Γσ）可计算为222σσΓ=Γ (12) 其中2σ为土体参数的方差，折减后的方差等效地考虑了空间变异性的影响。

因此，可以将土体性质'/v u S σ等效地认为其概率分布的方差为2Γσ并不具有相关性。

同样的方法可以根据均值与方差2Γσ产生随机样本，统计失效样本，计算失效概率。

5 基于试算法的折减系数确定为进一步验证上述近似经验公式考虑空间变形性的合理性，本节基于等效的概念利用试算的方法确定折减系数2Γ。

通过随机场理论将空间变异性导入与通过方差折减系数考虑方差可通过失效概率等效（][D R f M M P p <=）这一原则确定。

由于D M 为常数，R M 为随机变量，因此只要R M 分布一致等效性就能够达到。

两种方法的R M 的平均值一样，因此，只需R M 的方差一致就能满足两种方法等效。

对基于随机场理论的MCS 方法，执行预定数量样本的模拟后，R M 的方差（R σ）可以直接计算得到。

如果使用方差折减的方法考虑空间变异性，可首先设置折减系数区间][R L ΓΓ，然后采用二分法，计算中点值，计算折减后的方差，然后用折减后的方差等效考虑空间变异性，用MCS 方法产生样本，统计R M 的分布求其方差（S σ）。

如果||R S σσ-小于一个规定的误差值，则停止计算取此时对应的区间中点值作为折减系数。

如果不满足这个条件则重复迭代知道满足条件，并取最终对应的区间中点值作为折减系数。

6 实例分析对应的基坑的几何条件及物理参数如图1所示。

'/v u S σ平均值与COV 都取为0.3.水平与竖直相关长度取为常用值m m v h 5.2,50==θθ。

运用随机场理论直接量化空间变异性的MCS 方法与基于等效方差原理的简易方法的失效概率分别为8.121%与8.294%。

两种方法结果吻合一致，说明用简易方法通过方差折减考虑空间变异性的影响是可靠的。

另外，使用试算法迭代与直接使用简易公式计算的方差折减系数分别为0.0893与0.0844，两者也一直，这进一步论证了使用简易公式考虑方差折减的可靠性。

7 结论针对目前常用的利用随机场量化空间变异性需要计算量大的缺点，本文提出了一种基于等效方差的简易方法来考虑空间变异性对基坑稳定性的影响。

为进一步论证新提出方法公式计算方差折减的精度，本文使用试算迭代法确定合理的方差折减系数值。

实例分析表明，简易方法能得到与随机场理论方法一致的分析结果，另外简易方法提供的确定折减系数的公式与采用试算迭代法计算的值也一致，进一步证明了简易方法的合理性。

新提出的方法建模简单，并且能大幅度的提高计算效率，可被应用在基坑可靠度分析与设计中。

References[1]赵国藩.工程结构可靠性理论与应用. 大连: 大连理工大学出版社.1996,32- 250.[2]谭东耀,王光远.结构随机模糊优化的广义可靠度法.哈尔滨建筑工程学院学报. 1989，22(2):15-26.[3] 谭德远.建筑基坑支护结构稳定性的概率与模糊概率分析。

建筑结构,2000,(6):67-69.[4] Ang, A. H.-S., and Tang, W. H. (2007). Probability concepts in engineering:Emphasis on applications to civil and environmental engineering ,Wiley, New York.[5] Fenton, G. A., Griffiths, D. V., and Williams, M. B. (2005). “Reliability of traditional retaining wall design.” Geotechnique, 55(1), 55–62.[6] Vanmarcke, E. H. (1977). “Probabilistic modeling of soil profiles.” J. Geotech. Eng. Div., 103(11), 1227–1246.。