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5、举例
[例题1] 设X1,X2,…,Xn是结构中n个相 互独立的随机变量，其平均值为μxi （i=1,2,…,n)，标准差为σxi(i=1,2,…,n)，
功能函数Z=g(X1,X2,…,Xn)。求结构可靠指标
β？
[解] 将功能函数Z在随机变量的平均值处
泰勒级Z数展g(开1, ，2,且,保n)留 i一n1 次Xg项i X，i 即Xi
法) 4. 映射变换法 5. 实用分析法
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g
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一、基本概念
西南交通大学
Southwest Jiaotong
University
1、解决的问题
现代的结构可靠度理论是以概率论 和数理统计学为基础发展起来的，要解 决的中心问题是围绕着怎样描述和分析 可靠度，以及研究影响可靠度各基本变 量的概率模型。
(3-1)
ZL平均值和方差为：
ZL
E(Z L )
g(X1 , X2 ,, Xn
)
n i 1
g X i
n i 1
E(Xi) Xi
g(X1 , X2 ,, Xn )
(3-2) 2 ZL
E
ZL
E
ZL
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n i 1
g X i
2
2 X
i
结构可靠指标为
ZL g X1 , X2 ,, Xn
ZL (3-3)
n
i 1
g X i
2
2 Xi
3、几何意义
可靠指标β的几何意义是什么？证明如下 功能函数泰勒级数展开至一次项，即
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《隧道与地下结构可靠度》课程 第三讲
结构可靠度计算方法
龚 伦 副教授
西南交通大学
Southwest Jiaotong University
主要内容
1. 基本概念 2. 一次二阶矩理论的中心点法 3. 一次二阶矩理论的验算点法(JC
2、推导过程
设X1,X2,…,Xn是结构中n个相互独立的随机
变量，其平均值为 Xi ,标准差为 Xi ,功能
函数
Z g(x1, x2 ,, xn )
将功能函数Z在平均值P*(μX1,μX2,…,μXn)
处展开Z 且g(保X留1 , 至X2 , 一,次Xn项) ，in1即 Xgi Xi Xi
ZL的平均值和方差为：
Z E(Z ) g(X1 , X2 ,, Xn )
2 ZL
EZ
E(Z )2
n i 1
g X i
2
X i E( X i ) 2 pi
n i 1
g X i
2
2 Xi
Z
g(X1 , X2 ,, Xn )
n i 1
g X i
Xi Xi
(3-4)
假定正态变X换i ，X即i：Xi Xi
将(3-5)式代入(3-4)式，得
Z
(3-6)
g(X1 , X2
,, Xn
)
n i 1
g X i
2、计算方法
结构可靠度计算方法分精确法和近似法 两种。
精确法：求解结构的失效概率 pf 的方
法，通常称为全概率法； 近似法：一次二阶矩计算方法等，虽然
是近似的，但仍属概率法。
3、一次二阶矩法
结构功能函数大多是非线性函数，且非线 性不是很强的条件下，但又不能直接精确积分 计算得到结构的可靠度，而通过计算结构可靠 指标，近似得到结构可靠度的计算方法。
P* 可靠区 均值点
极限方程曲面
中心点法
验算点法
4、优缺点
优点：计算简便。 缺点：
对于非线性功能函数，均值点一般在可靠区 内，而不在极限边界上；
选择不同极限状态方程（数学表达式不同， 同样物理含义），得到的可靠指标不同。例 如：p30例3-1。
适用条件：结果比较粗糙，适用于可靠度要求 不高的情况，如钢筋混凝土结构正常使用极限 状态的可靠度分析。
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二、一次二阶矩理论的中心点法
西南交通大学
Southwest Jiaotong
University
1、一次二阶矩中心点法
中心点法是结构可靠度研究初期提出的 一种方法。
其基本思想：首先，将非线性功能函数 在随机变量的平均值(中心点)处作泰勒级数展 开，并保留至一次项；然后，近似计算功能函 数的平均值和标准差。
X i
Xi
(3-6)式为一个超平面方程，点
P*(μX1,μX2,…μXn)到平面的距离为：
(3-7)
d g(X1 , X2 ,, Xn )
2
n g
i1 X i
2 Xi
显然，点P*(μX1,μX2,…,μXn)到平面的距离 d，就是所求的可靠指标值β，两者是相等的。
结构可靠指标为： Z g(X1 , X2 ,, Xn )
Z
n
i 1
g X i
2
2 Xi
[例题2] 某结构构件正截面强度的功能函
数为Z＝g(R,S)=R-S，其中抗力R服从对数正态 分布，μR=100kNm，δR=0.12；荷载效应S服从 极值I型分布，μS=50kNm，δS=0.15。试用中心 点法求结构失效概率Pf?
[解]：
R RR 100 0.12 12
S SS 50 0.15 7.5
结构可靠指标
R S
2 R
2 S
100 50 3.533 122 7.52
在通常情况下，结构功能函数的一阶矩 (均值)和二阶矩(方差)较容易得到，故称之为 一次二阶矩法。
一次二阶矩法是一种在随机变量的分布尚 不清楚时，采用均值和标准差的数学模型，求 解结构的可靠指标、结构可靠度的方法。
该法将功能函数 Z g(x1, x2 ,, xn )
在某点用泰勒级数展开，使之线性化，然后求 解结构的可靠度，因此称为一次二阶矩。
